Tema 3. Estática del sólido rígido

1. Concepto de sólido rígido. Fuerzas externas e internas

2. Momento de una fuerza respecto de un punto y respecto de un eje

4. Condiciones de equilibrio para un sólido rígido

5. Reacciones en los apoyos y uniones en un sólido rígido

6. Reacciones estáticamente indeterminadas. Ligaduras parciales.

1

3. Cálculo del centro de gravedad

Objetivos

Conocer el modelo de sólido rígido y distinguir entre fuerzas externas e internas

Saber qué es el centro de gravedad y su cálculo para figuras sencillas

Conocer y saber aplicar las condiciones de equilibrio de un sólido rígido

2

Equilibrio de una partícula

Una partícula se dice que está en equilibrio si permanece en reposo si estaba en reposo, o si se mueve con velocidad constante si estaba en movimiento.

Matemáticamente la condición de equilibrio viene dada por:

3

4

Problema de equilibrio

Una caja de 272 kg se mantiene en una posición determinada sobre la rampa basculante de un camión sostenida por la cuerda AB. Si α=25º. ¿Cuál es la tensión de la cuerda? (b) Si por seguridad la cuerda soporta una tensión máxima de 182 kg ¿Cuál es el máximo valor permitido de α?

5

¿Cómo podemos resolverlo?

1. Vamos a dibujar todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en cuestión aislándolo del resto.

- Considerar al cuerpo como una partícula

-Todas las fuerzas concurren en un punto

CENTRO DE GRAVEDAD O CENTRO DE MASAS

- Aplicamos la condición de equilibrio

Es una ecuación vectorial

¿Estamos en una, dos o tres dimensiones?

Para un sistema de fuerzas en dos dimensiones

x

y

Fx 0Fy 0

6

7

Dos dimensiones

Tenemos que tomar un sistema de referencia

Eje x Eje y

A lo largo del plano inclinado

Perpendicular al plano inclinado

xy

Ecuaciones

xy

mgcos

mgsen

8

CONDICIONES DE EQUILIBRIO

Fx 0 T mgsen 0

Fy 0 mgcos N 0De la primera ecuación obtenemos el valor de TT 1126.5N T 115kg

b)Tmáx 182 kg=1783,6N ¿Cuál será el mayor valor de alfa?

Tmáx mgsen sen Tmáx

mg 0,67 42º

Ejemplo 1 (Problema F3.5, pag 198)Si la masa del cilindro C es de 40 kg, determinar la masa del cilindro A a fin de sostener el ensamble en la posición mostrada.

9

Ejemplo 2 (Problema 3.52, pag 214)Determine la fuerza necesaria en cada uno de los tres cables para elevar el tractor cuya masa es de 8 Mg.

10

Para un sistema de fuerzas tridimensionalesz

yx

Fx 0Fy 0

Fz 011

No siempre se puede usar el modelo de

partícula Un cuerpo debe tratarse como un

conjunto de muchas partículas

Tendremos que considerar el

tamaño del cuerpo

Las fuerzas actuarán sobre

diferentes puntos del mismo

1. Concepto de sólido rígido. Fuerzas externas e internas

12

¡ Otro modelo! EL SÓLIDO RÍGIDO

Es aquel cuerpo que no se deforma

1. Concepto de sólido rígido. Fuerzas externas e internas

13

Fuerzas externas Fuerzas internas

☞ Acción de otros cuerpos sobre el sólido rígido en cuestión

☞ Responsables del comportamiento externo del sólido

☞ Son aquellas que mantienen unidas entre sí las partículas del sólido rígido

Un conjunto de fuerzas actuando sobre un sólido rígido le producirán

un movimiento de traslación y/o de rotación

La resultante de las fuerzas externas es nula

El sólido rígido está en equilibrio

El momento de todas las fuerzas respecto a un punto es igual a cero

Condiciones de equilibrio para el sólido rígido

14

Momento de una fuerza respecto de un punto y respecto de un eje

15

La propiedad de la fuerza aplicada para hacer girar el cuerpo se mide con una magnitud física que se llama MOMENTO de la fuerza.

¿Qué factores intervienen en el giro?

⇒ Intensidad de la fuerza

⇒ distancia entre el punto de aplicación de la fuerza y la línea de giro

➢ Momento de la fuerza respecto de un punto

Se define el momento de la fuerza respecto del punto O como

El módulo del momento será:

(N.m)

16

El módulo del momento mide la tendencia de la fuerza F a imprimir al sólido una rotación

alrededor de un eje dirigido según el momento.

SIGNIFICADO FÍSICO

Ejemplo 3 (problema 4.13, pag. 228)

Dos fuerzas iguales y opuestas actúan sobre la viga. Determinar la suma de los momentos de las dos fuerzas a) respecto al punto P; b) respecto al punto Q y c) respecto al punto de coordenada x = 7 m e y = 5 m.

17

Ejemplo 4 (problema 4.53, pag. 242)

Las tres fuerzas mostradas se aplican a la placa. Determinar la suma de los momentos de las tres fuerzas respecto al origen P

18

➢ Momento de una fuerza respecto de un eje

x

y

z

O

L

C

El momento de la fuerza respecto del eje OL es la proyección del momento respecto del punto O sobre el eje OL

Vector unitario en la dirección del eje OL19

También podremos escribir

x y z

x y z

Fx Fy Fz

20

➢ Momento de una fuerza respecto de un eje

SIGNIFICADO FÍSICO

El momento de la fuerza F respecto del eje OL mide la tendencia de la fuerza a imprimir al sólido rígido un movimiento de rotación alrededor del eje fijo OL

Ejemplo 5 (problema 4.82, pag. 256)

Cuatro fuerzas actúan sobre la placa mostrada en la figura. Sus componentes son:

Determinar la suma de los momentos de las fuerzas a) respecto del eje x y b) respecto al eje z

21

La condición necesaria y suficiente para que un sólido rígido esté en equilibrio es que:

Condiciones de equilibrio para el sólido rígido

22

Descomponiendo cada fuerza y cada momento en sus componentes:

∑ F x=0 ∑ F y=0 ∑ F z=0

∑ M 0x=0 ∑M 0 y

=0 ∑ M 0z=0

23

Ejemplo de condiciones de equilibrio

En cuál de los tres casos siguientes está el sólido rígido en equilibrio:

24

Veamos el primero las condiciones que se deben de cumplir.

Como el sólido está en un planoFx 01.En cuanto a las fuerzas:

Fy 02.En cuanto a los momentos:

El momento de las fuerzas respecto de un punto tendrá siempre una dirección perpendicular al plano:

• Será positivo si hace girar al sólido en sentido contrario a las agujas del reloj

• Será negativo si hace girar al sólido en el sentido de las agujas del reloj

25

Consideremos el caso 1

x

y

Momentos

−

+

Componentes de la fuerza de 5 N

5N3m

4m 5m

Componente x:

3

5F

Componente y:

4

5F

Fx 3 3 3

55 3N

Fy 4 4

55 0N

MB 3 4 3 4 0Nm

No está en equilibrio

26

Consideremos el caso 2

Momentos

−

+

10N3m

4m 5m

Componente x:

3

5F

Componente y:

4

5F

Fx 3 3 3

510 0N MB 3 4 3 3 3Nm

No está en equilibrio

x

y

Componentes de la fuerza de 10 N

Fy 8 4

510 0N

27

Consideremos el caso 3 Momentos

−

+

20N3m

4m 5m

Componente x:

3

5F

Componente y:

4

5F

Fx 4 8 3

520 0N MB 4 4 8 2 0Nm

Está en equilibrio

Componentes de la fuerza de 20 N

Fy 16 4

520 0N

x

y

28

3. Centro de MASA, centro de gravedad y centroide de un cuerpo

CENTRO DE MASAS : Es un punto donde se concentra todo la masa de un cuerpo.

PARA UN SISTEMA DISCRETO

XCM mixi

i

M

YCM miyi

i

M

ZCM mizi

i

M

29

3. Centro de gravedad, centro de masa y centroide de un cuerpo

PARA UN SISTEMA CONTINUO

XCM xdmM

YCM ydmM

ZCM zdmM

Como estas masas están situadas en el campo gravitatorio, cada una de ellas sentirá la fuerza de la gravedad, y en este caso el centro de masas pasa a CENTRO DE GRAVEDAD.

CENTROIDE DE VOLUMEN

Si el cuerpo es homogéneo y tiene una densidad constante dm dV

Al sustituir en las ecuaciones anteriores obtenemos las expresiones para localizar al centroide C o centro geométrico del cuerpo:

CENTROIDE DE ÁREA Y DE LÍNEA

32

3. Centro de gravedad, centro de masa y centroide de un cuerpo

Si los cuerpos tienen cierta simetría, el centro de masas se sitúa sobre el eje de simetría.

CGCG

CUERPOS COMPUESTOS

ΣW

x

yz

O Y

GX

x

yzW1

W3

G3

G1

G2O

W2

Problema 10 boletín

Un sistema de tres partículas se dispone, como se indica en la figura, en los vértices de un triángulo rectángulo. Calcular la posición del centro de masas del sistema.

Problemas 12, 15

12.- Demostrar que el centro de masas de una barra homogénea de masa M, longitud L y densidad lineal de masa λ, está situado en la mitad de la barra.

15.- Calcular el centro de gravedad de un triángulo.

PROBLEMAS 18 Y 1918 . Determinar el centro de gravedad de las superficies compuestas de las figuras

37

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE ESTÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO EN DOS DIMENSIONES

Determinar las componentes horizontal y vertical de la reacción en la viga , causada por el pasador en B y el balancín en A, como se muestra en la figura. No considerar el peso de la viga.

38

1.- Dibujar el diagrama de sólido libre

a. Trazar el contorno del cuerpo. Debemos imaginar el cuerpo aislado “libre” de sus restricciones y conexiones.

b. Mostrar todas las fuerzas y momentos. Identificar todas y cada una de las fuerzas externas y momentos conocidos o desconocidos que actúen sobre el cuerpo. En general se deben a (1) cargas aplicadas, (2) reacciones que ocurren en los soportes o en los puntos de apoyos con otros cuerpos y (3) el peso del cuerpo.

c. Identificar cada carga y las dimensiones dadas. Las fuerzas y los momentos conocidos se deben marcar con sus propias magnitudes y direcciones. Las fuerzas y momentos desconocidos se mostraran sus magnitudes con letras y sus direcciones con ángulos. Hay que indicar también las dimensiones del cuerpo para calcular los momentos de las fuerzas.

39

PUNTOS IMPORTANTES A CONSIDERAR PARA TRAZAR EL DIAGRAMA DE SÓLIDO LIBRE

• Ningún problema de equilibrio debe resolverse sin trazar primero el diagrama de sólido libre.

• Si un soporte evita la traslación de un cuerpo en una dirección particular, entonces el soporte ejerce una fuerza sobre el cuerpo en esa dirección.

• Si se evita la rotación, entonces el soporte ejerce un momento sobre el cuerpo.

• Las fuerzas internas nunca se muestran en el diagrama del sólido libre.

• El peso del cuerpo es una fuerza externa y su efecto se representa mediante una sola fuerza que actúa a través del centro de gravedad del cuerpo.

40

Vamos a dibujar el diagrama de sólido libre de nuestro problema.

41

REACCIONES EN LOS APOYOS PARA SÓLIDOS RÍGIDOS EN DOS DIMENSIONES

Tipo de conexión Reacción Número de incógnitas

Cable

Una incógnita. La reacción es una fuerza de tensión que actúa alejándose del elemento en la dirección del cable.

Eslabón sin peso

Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa a lo largo del eje del eslabón.

Rodillo

Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa perpendicularmente a la superficie en el punto de contacto.

42

REACCIONES EN LOS APOYOS PARA SÓLIDOS RÍGIDOS EN DOS DIMENSIONES

Tipo de conexión Reacción Número de incógnitas

Rodillo confinado en ranura lisa

Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa perpendicular a la ranura.

Balancín

Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa perpendicularmente a la superficie en el punto de contacto.

Superficie de contacto lisa

Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa perpendicularmente a la superficie en el punto de contacto.

43

REACCIONES EN LOS APOYOS PARA SÓLIDOS RÍGIDOS EN DOS DIMENSIONES

Tipo de conexión Reacción Número de incógnitas

Elemento conectado mediante un pasador a un collar sobre una barra lisa

Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa perpendicularmente a la barra.

Pasador liso o articulación lisa

Dos incógnita. Las reacciones son dos componentes de fuerza, o la magnitud y la dirección ϕ de la fuerza resultante

44

REACCIONES EN LOS APOYOS PARA SÓLIDOS RÍGIDOS EN DOS DIMENSIONES

Tipo de conexión Reacción Número de incógnitas

Elemento con conexión fija a un collar sobre una barra lisa

Dos incógnita. Las reacciones son el momento y la fuerza que actúa perpendicularmente a la barra.

Tres incógnita. Las reacciones son el momento y las dos componentes de fuerza o el momento y la magnitud y la dirección de la fuerza resultante.Soporte fijo

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SEGUIMOS CON LA RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA

Balancín

Introduce una incógnita Ay

Pasador liso o articulación lisa

Introduce dos incógnitas Bx y By

46

El resultado final del diagrama de sólido rígido es

Equilibrio de un sólido rígido en dos dimensiones

Para una estructura bidimensional y eligiendo los ejes x e y en el plano de la estructura tenemos:

0zF 0 yx MM Oz MM

Entonces las ecuaciones de equilibrio son:

0 xF 0 yF 0OM

Como el par es independiente del punto de aplicación, podemos escribir las ecuaciones de forma general:

0 xF 0 yF

Donde A es un punto arbitrario del plano de la estructura.

0AM

EJEMPLO Supongamos la siguiente estructura

A B

C DP

Q

S

Veamos cuáles son las ecuaciones de equilibrio

Diagrama de sólido libre

B

CD

P

Q

S

AAx

AyB

Py

Px Qx

Qy

Sx

Sy

W

COMPLETAMENTE LIGADO

Se dice en este caso que el SÓLIDO

Cuando los apoyos usados son tales que imposibilitan el movimiento del sólido rígido para las cargas dadas.

También se dice que:

Las REACCIONES están ESTÁTICAMETE DETERMINADAS

Cuando las incógnitas se encuentran resolviendo las tres ecuaciones de equilibrio

Reacciones estáticamente indeterminadas. Ligaduras parciales

Consideremos la siguiente estructura

A B

C DP

Q

S

Hagamos el diagrama de sólido libre

B

CD

P

Q

S

AAx

Ay

Py

Px Qx

Qy

Sx

Sy

W

Bx

By

B

C D

AAx

Ay

Py

Px Qx

Qy

Sx

Sy

W

Bx

By

Las reacciones presentan 4 incognitasLas ecuaciones de equilibrio son 3Las REACCIONES son ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

Consideremos ahora este otro caso:

A B

C DP

Q

S

Diagrama de sólido libre

B

CD

P

Q

S

A

B

Py

Px Qx

Qy

Sx

Sy

W

A

B

C D

AB

Py

Px Qx

Qy

Sx

Sy

W

A

Las ligaduras no impiden el movimiento

La estructura se puede mover horizontalmente

La estructura está PARCIALMENTE LIGADA

2 incógnitas

3 ecuaciones

La estructura no puede mantenerse en equilibrio en condiciones generales

Resumiendo

* Para que el sólido rígido esté completamente ligado

* Para que las reacciones en los apoyos estén estáticamente determinadas

TIENE QUE HABER TANTAS INCOGNITAS COMO ECUACIONES DE EQUILIBRIO

¡¡Pero!!

Esta es una condición necesaria pero no suficiente

Así, supongamos la siguiente estructura

A B

C DP

Q

S

E

B

CD

P

Q

S

A

B

Py

Px Qx

Qy

Sx

Sy

W

A

Diagrama de sólido libre

EE

B

C D

AB

Py

Px Qx

Qy

Sx

Sy

W

A EE

Se introducen 3 incógnitas

¡PERO! 0xF

NO se cumple

La estructura se moverá horizontalmente

Número insuficiente de ligaduras

La estructura está IMPROPIAMENTE LIGADA

Para estar seguros de que un sólido rígido bidimensional está completamente ligado y que las reacciones en sus apoyos están estáticamente determinadas, debe comprobarse que las reacciones introducen tres incógnitas (y sólo 3) y que los apoyos están dispuestos de forma que las reacciones no son ni concurrentes ni paralelas.

● Sólido completamente ligado: No se mueve● Sólido parcialmente ligado o impropiamente ligado: puede moverse

● Reacciones estáticamente determinadas: pueden calcularse todas

● Reacciones estáticamente indeterminadas: NO pueden calcularse todas

Resumiendo

Diferencia entre sólido parcialmente ligado e impropiamente ligado

● Los dos puede moverse.● Sólido parcialmente ligado: Pueden calcularse todas las reacciones (son estáticamente determinadas)

● Sólido impropiamente ligado: NO pueden calcularse todas las reacciones (son estáticamente indeterminadas)

P

S

P

S

Equilibrio en tres dimensiones

Equilibrio de un sólido rígido en tres dimensiones

Las condiciones de equilibrio son:

0F

y 0 FrMO

De aquí se deducen seis ecuaciones escalares

0xF 0yF 0zF

0xM 0yM 0zM

Tenemos 6 ecuaciones 6 incógnitas

* Si las reacciones introducen más de 6 incógnitas

Más incógnitas que ecuaciones

Algunas de las reacciones están ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

* Si las reacciones introducen menos de 6 incógnitas

Más ecuaciones que incógnitas

Alguna de las ecuaciones de equilibrio no pueden satisfacerse

El sólido rígido está PARCIALMENTE LIGADO

68

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE ESTÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO EN TRES DIMENSIONES

Determinar las componentes de reacción que ejercen la junta de rótula esférica ubicada en A, la horquilla lisa en B y el soporte de rodillo en C, sobre el ensamble de barras que se muestra en la figura.

69

Tenemos que hacer al igual que antes el diagrama de sólido libre

70

REACCIONES EN LOS APOYOS PARA SÓLIDOS RÍGIDOS EN TRES DIMENSIONES

Tipo de conexión Reacción Número de incógnitas

Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa alejándose del elemento en la dirección conocida del cable.

Soporte superficial liso

Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa perpendicularmente a la superficie en el punto de contacto.

Cable

71

REACCIONES EN LOS APOYOS PARA SÓLIDOS RÍGIDOS EN TRES DIMENSIONES

Tipo de conexión Reacción Número de incógnitas

Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa perpendicularmente a la superficie en el punto de contacto.

Rodillo

Rótula esférica

Tres incógnitas. Las reacciones son las tres componentes rectangulares de la fuerza.

72

REACCIONES EN LOS APOYOS PARA SÓLIDOS RÍGIDOS EN TRES DIMENSIONES

Tipo de conexión Reacción Número de incógnitas

Horquilla lisa

Cuatro incógnitas. Las reacciones son dos fuerzas y dos componentes de momento que actúan perpendicularmente al eje.

Pasador liso simple

Cinco incógnitas. Las reacciones son tres fuerzas y dos componentes de momento.

73

REACCIONES EN LOS APOYOS PARA SÓLIDOS RÍGIDOS EN TRES DIMENSIONES

Tipo de conexión Reacción Número de incógnitas

Bisagra

Cinco incógnitas. Las reacciones son tres fuerzas y dos componentes de momento.

Soporte fijo

Seis incógnitas. Las reacciones son tres fuerzas y tres componentes de momento.

Problema 29 (boletín)

El poste ABC de 6 m de altura está sometido a una fuerza de 455N como se muestra. El poste se sostiene mediante la rótula en A y los cables BD y BE. Determinar la tensión de cada cable y la reacción en A

A D

E

B

C

F

455 N

3 m

3 m

1.5 m

3 m

3 m1.5 m

3 m

2 m

X

Y

Z

Problema 31 (boletín)

Un rótulo de 1.5x2.4 m y de densidad uniforme, pesa 1350N y lo sostiene unarótula en A y dos cables. Determinar la tensión en cada cable y la reacción en A. TEC TBD

Ay

AzAx

W

G

Problema 27 (Boletín)

El tubo ACDE está soportado por las rótulas A y E y el alambre DF. Hallar la tensión de éste cuando se aplica como se indica en la figura una carga de 640N.

X Z

Y

D

A

F

E

C

20 cm49 cm

48 cm

16 cm

24 cm

640 N

Aparecen 7 incógnitas Momento respecto del eje AE igual a cero

Problema

La placa rectangular de la figura pesa 375 N y se mantiene en la posición representada mediante las bisagras A y B y el cable EF. Suponiendo que la bisagra B no ejerce empuje axial, hallar a) la tensión del cable y b) las reacciones en A y B

Ay

Az

Ax

Bz

ByTG

W

Problema 5.76 CB

El elemento se sostiene mediante un pasador en A y un cable BC. Si la carga en D es de 300 lb, determinar las componentes x, y, z de la reacción en el pasador A y la tensión en el cable BC

Mz

Az

Ax

AyMy

T

W

80

PROBLEMA 3.18 (pág. 201 CB)

Determine las fuerzas necesarias en los cables AC y AB para mantener en equilibrio la bola D de 20 kg. Considerar F=300N y d= 1m.

81

PROBLEMA 3.47 (PÁG. 213 CB)

La grúa de brazos de corte se utiliza para llevar la red de pescado de 200 kg hacia el muelle. Determine la fuerza de compresión a lo largo de cada uno de los brazos AB y CD, y la tensión en el cable DB del cabestrante. Suponga que la fuerza presente en cada brazo actúa a lo largo de su eje.

FBD

FBA

FBC

W

82

Problema 4.28 (pág. 231 cb)

Cinco fuerzas actúan sobre un eslabón en el mecanismo de cambio de velocidad de una podadora de césped. La suma vectorial de las 5 fuerzas sobre la barra es igual a cero. La suma de los momentos respecto del punto en que actúan las fuerzas Ax y Ay también es cero. a)Determine las fuerzas Ax, Ay y Bb)Determine la suma de los momentos de la fuerzas respecto al punto en que actúa la fuerza B

83

Problema 4.69 (pág. 245)

La torre que se muestra en la figura tiene 70 m de altura. Las tensiones en los cables AB, AC y AD son 4 kN, 2 kN y 2kN respectivamente. Determine la suma de los momentos respecto al origen O debido a las fuerzas ejercidas por los cables en el punto A.

84

Problema 4.90 (Pág. 257 CB)

Se tiene la fuerza

F 10

i 12

j 6k

(N). ¿Cuál es el momento de la fuerza respecto de la línea AO de la figura? Trace un bosquejo para indicar la dirección del momento.

85

PROBLEMA 4.107 (Pág. 261 CB)

El eje y apunta hacia arriba. El peso de la placa rectangular de 4 kg que se muestra en la figura actúa en el punto medio G de la placa. La suma de los momentos respecto de la línea recta que pasa por los soportes A y B debidos al peso de la placa y a la fuerza ejercida sobre la placa por el cable CD es igual a cero. ¿Cuál es la tensión del cable?

TCD W

86

Problema 5.34 (pág. 327)

Determine las componentes horizontal y vertical de la reacción en el pasador A y la normal en la la clavija lisa B sobre el elemento.

Ay

Ax

87

Problema 5.70 (Pág. 351 CB)

Determine la tensión de los cables BD y CD y las componentes de reacción x, y, z en la junta de rótula esférica ubicada en A.

TBD

TCD