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Capítulo 11:Fiabilidad de las puntuaciones
Solución 11
Sujetos A B e1 o o o2 1 1 o3 1 1 1
4 o 1 1
5 o o o6 1 1 1
7 o 1 1
8 1 1 1
9 1 1 1
10 1 1 1
p 0,6 0,8 0,7
1. Sf = 0,6 X 0,4 = 0,24
S = 0,8 X 0,2 = O,16
S = 0,7 X 0,3 = 0,21
Sj = 0,5 X 0,5 = 0,25
S = 0,6 X 0,4 = 0,24
S = 0,6 X 0,4 = 0,24
s; = 2,76
D
oooo
1
o1
1
1
1
0,5
E F X p 1 p- 1
o o o o o o1 1 4 2 2 oo 1 4 2 2 o1 o 3 1 2 -1
1 1 3 2 1 1
o o 3 1 2 -1
1 o 4 2 2 o1 1 6 3 3 o1 1 6 3 3 oo 1 5 3 2 1
0,6 0,6 X = 3,8
I SJ = 1,34
52 = 2)<2 - X2 = 17 2 - 3 82 = 2 76X N 1 1 1
a= 1 ( 1 - Is;J) = : ( 1 - ~ : ~ : = 0,62
rvx = ~ = 0,79
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134
Psicometría: problemas resueltos
Sf 2,76 ( )2. r
22= 1 -- (1 - r,,) = 1 - -- 1 - O 62 = O95S ~ 20 ' '
Solución 12
1. NC 95% = Zc = 1,96
v' = rx.x
Sv X= s x ~ Vr:x
fmáx = Sv·xZc
v' = 0,62 x 4 = 2,48
sx = 2,76 = 1,66
Svx = 1,66V0,38VQ.62 = 0,81
fmáx = Sx, vZc = 0,81 X 1,96 = 1,59
IC = v' ± Emáx = 2,48 ± 1,59
0,89 :::; V :::; 4,07
2. 3:::; V:::; 4
V+ fmáx = 4
V - fmáx = 3
fmáx = 0,50
Sv x = Sx Y1 - rxx Yr:x = 1,66 Y1 - 0,62 VQ.62 = 0,81
E Z S Z = fmáx = ~ = O 62máx = e · vx => e '
Svx 0,81
1
En las tablas una Z de 0,62 deja por debajo una probabilidad de 0,7324, y una Z
de -0,62 deja por debajo una probabilidad de 0,2676. Luego el NC vendrá dado por
la probabilidad entre esos dos valores, por lo tanto:
0,7324 - 0,2676 = 0,4648 ~ e l NC utilizado es el 46,48%
Solución 13
(0,62 - o,7o)V10 - 2--;.===== = = = = = = = -0,74V4(1 - o,62)(1 - o,1o}(1 - o,892)
Los valores críticos de t en las tablas con 8 grados de libertad vienen dados por
-2,31 y 2,31. Como -0,74 se encuentra dentro del intervalo confidencial, se acepta
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135Fiabilidad de las puntuaciones
la hipótesis nula sobre la igualdad de ambos coeficientes de fiabilidad . La diferencia
no es estadísticamente significativa.
Solución 14Sujetos A B e
1 o 1 o
2 1 o o
3 1 o o
4 o 1 1
5 o o o
6 1 1 1
7 o 1 1
8 o o o
p 0,375 0,5 0,375
Sf = 0,38 X 0,62 = 0,24
S ~ = 0,5 X 0,5 = 0,25
S ~ = 0,38 X 0,62 = 0,24
S ~ = 0,88 X O, 12 = O, 11
S ~ = 0, 7 5 X 0, 2 5 = O, 1 9
S ~ = 0,75 X 0,25 = 0,19
1. Fórmula de Rulon:
D
1
1
o
1
1
1
1
1
0,875
E F X p 1
1 1 4 3 1
1 o 3 1 2
o 1 2 1 1
1 o 4 2 2
o 1 2 2 o
1 1 6 3 3
1 1 5 3 2
1 1 3 2 1
0,75 0,75 X = 3,625
52
= ~ - 13 14 = 1 738t t
ISJ=1,22
I(pN- i)2 _ ( I (pN- i) )2~ _ ¡ = _ . : . . _ _ _ _
Sujetos X p i p-i (p - i)2 p2 j2
1 4 3 1 2 4 9 1
2 3 1 2 -1 1 1 4
3 2 1 1 o o 1 1
4 4 2 2 o o 4 4
5 2 2 o 2 4 4 o
6 6 3 3 o o 9 9
7 5 3 2 1 1 9 4
8 3 2 1 1 1 4 1
17 12 5 11 41 24
p- 1
2
-1
o
o
2
o1
1
pi
3
2
1
4
o
9
6
2
27
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136
Psicometría: problemas resueltos
s ~ = 181 - ( ~ r 0198
0198rxx = 1 - -- = 0,43
1173
2. Fórmula de Gutman-Fianagan:
'¿p2
- 41 ( 1 7 )2S ~ =N - p2 = 8- 8 = 0161
52= 24 - (_23__)2 = o 751 8 8 1
rxx = 2(1 -5k+
5= 2(1 -
0161+ 0,7
5) = O43
1 1 731
Solución 15
30 - (1 o + 11)--------- = 01625
30[1 _ ( ~ ~ r + ( ~ ~ r Jex = -
2- (1 - _2_2_+_____!_2__) = O 0
2 - 1 301
Solución 16
Datos: N = 100; X = 20; Sx = 6; S ~ = 0 183
1 1_ s ~ =
1_ ol83 =
0 98fxx = 1S ~ 36
n X fxx2. Rxx = ----"'- '----
1 + (n - 1)rxx
115X 0
198------ = 01986 = 0199
1 + 0 1 5 X 0 198
3. V' = fxx (X - X) + X = 0198(15 - 20) + 20 = 1511
svx = s x ~ V,::= 6 \h - 0198 v'0,98 = 0184
fmáx = 0 184 X 1196 = 1165
13,45::::: V::::: 16,75
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liSolución 17
Datos: N = 1 00; RN = RV = 20 ítem.
R N ( S ~ - i = 0,93; S ~ N = 4,3) R V ( S ~ = 4 5 ~ )
- 5 ~ = 1 - 0,93 = o781. rxx = 1 'S ~ 4,3
rxv = VOTa = 0,88
2. = __!_
452
S ~ = S ~ + S ~ ---7 s; = S ~ + 0 , 2 5 5 ~
r .= - v=XX S ~
S ~ =O 81 2 5 5 ~ '
n = Rxx(1 - rx) = 0,9{1 - 0,8) =2 25
rxx(1 - Rxx) 0,8(1 - 0,9) '
IF = 2,25 x 20 = 45. Tendría que tener 45 ítems.
Solución 18
Datos: CV(X = 25; 5 ~ = 5; 5 ~ = 0 , 2 5 5 ~ ) .
1. NC 95% = Zc = 1,96
137Fiabilidad de las puntuaciones
4 5 ~ = ó, S ~ = 5 5 ~ ---7
5= 5 5 ~ ---7 5 ~ =
1---7 5 ~ =
452 4
rxx' = _v = - = 0,8S ~ 5
O también:
52 52( • = _V = V = 0,8XX S ~ 1 2 5 5 ~v' = 0,80 (50 - 25) = 20 (puntuación diferencial pronosticada)
Svx = 1vQ.8 = 0,89
fmáx = 0,89 X 1,96 = 1,74 ---7 v' :!:: fmáx
18,26 :'5 V :'5 21,74
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138
Psicometría: problemas resueltos
2. Rxx = _l!Jl__ = ~ 0'80
= 0,891 + r12 1 + 0,80
Solución 19
Datos: 5 ~ = 225; rp i = 0,54.
La varianza de una variable compuesta de otras dos es igual a la suma de las
varianzas más el duplo de la covarianza:
Como las dos mitades son paralelas, la varianza de los pares será igual a la de losimpares, entonces:
Solución 20
225 = 252(1 + rP¡) = 2 5 ~ x 1 54
22552 =--= 73 05
p 3,08 '
Datos: N = 300; Cov (XX') = 144; Se= 9.
Según el modelo de Spearman, la covarianza entre las puntuaciones empíricas
obtenidas en las dos aplicaciones es igual a la varianza de las puntuaciones verdade
ras. Por lo tanto:
Solución 21
X
S ~ = 144 + 81 = 22 5
144rxx = -- = 0,64225
Test Ítems Fiabilidad
X 10 = 0.70 s;
z 15 0,80
52_e = O 70 ---+ S ~ = 0 , 7 0 5 ~ ---+ S ~ = S ~ + 0 , 7 0 5 ~ = 1 7 0 5 ~S ~ ,
r - - 5- - 5 - - - ' ~ ' - - - - = -
1- = O, 59
XX - S ~ - 1 7 0 5 ~ 1 70
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Rxx = 0,94
(XX = 0,59
RxA1 - (xx)n=-----=rxx(1 - Rx)0,94 (1 - 0,59) = 110,59 (1 - 0,94)
EF = n El = 11 X 1 O = 11 O
139Fiabilidad de las puntuaciones
Para obtener una fiabilidad de 0,94 el test X debería tener 11 O ítems.
zRxx = 0,94
(XX= 0,80
Rxx(1 - rx) 0,94 (1 - 0,80)n = ---- = --- = 3,92
rxA1 - Rxx) 0,80 (1 - 0,94)
EF = n El = 3,92 X 15 = 59
Para obtener una fiabilidad de 0,94 el test Z debería tener una longitud de 59
ítems. Por lo tanto el psicólogo debe elegir el test Z.
Solución 22
Datos: N = 500; X = 1O; Sx = 3; S ~ = 0,81
1 r - 1 - = 1 -0
'81
= O 91" XX- 'S ~ 9
2. rxv = 'vlr:x = ~ = 0,95
3. se = VD.81 = 0,90
4. S ~ = S ~ - S ~ = 9 - O,81 = 8, 1 9
Solución 23
Datos: N = 6 n = 4.
"LX= 16 IX2 = 48 ("LX) 2 = 256
p 1 = 0,83 p 2 = 0,83 p 3 = 0,33 p 4 = 0,67
p,q, = O,14 p 2q 2 = O,14 p 3q3 = 0,22 p 4q4 = 0,22
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140Psicometria: problemas resueltos il
1. KR20
= - 1 - -- = 0,23( 0,72)3 0,87
rxv = \1(),23 = 0,48
Teniendo en cuenta los resultados obtenidos, debemos concluir que el test no
constituye un buen instrumento para medir la capacidad de razonamiento numérico.
2. ra,cx, = 0,60
2 X 0,23Rxx = cx2 = -1-,n = 0,37
te. 4gl = 2,776
t = (0,37 - 0,23)V6"=2 = 0,28 = o 25
V (1 - o,37)(1 - o,23)(1 - o,36) 1,11 '
t :::; te No existen diferencias estadísticamente significativas entre ambos coefi-
cientes.
Solución 24
Datos: S ~ = 3 S ~ = 25
S2 3rxx = 1 - _e = 1 - - = o88
S2x 25 '
rxv = Vf:x = VQ,88 = 0,94
Solución 25
Solución 26
Datos: N = 300; rxx = 0,81; S ~ = 25
2 -1. rxv- -,
S2X
O 81 = S ~ S2 = O 81 X 2 5 = 2O 2 5' 25 V ' '
2. = - = 25 - 20,25 = 4,75; Se = v4,75 = 2,18
3. Svx = seVf:x = 2,18V0,81 = 1,96
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1
Solución 27
Datos: n = 60; N = 100; rxx = 0,70; Rxx = 0,85?
Rxx(1 - rxJ 0,85(1 - 0,70)n=- - - -=rxx(1 - Rxx) 0,70(1 - 0,85)
EF
141Fiabilidad de las puntuaciones
0,255 = 2 430,105 '
n = - · EF = 60 X 2 43 = 145,8 = 146El' '
146 - 60 = 86; Habría que añadir 86 ítems.
Solución 28
Datos: N = 250 n = 150 S ~ = 42 X = 25
KR = _n_ ( , - X - ~ ) = 150 (1 - _ 2 _ 5 _ - - ~ ~ - ~ - ) =o 5121
n - 1 149 42 '
El test tiene una fiabilidad baja. Debido al elevado número de ítems (n = 150),sería necesario llevar a cabo un estudio de los mismos para comprobar su adecuación
a los fines que perseguimos. Se ha utilizado la fórmula KR 21 dado que los elementos
son dicotómicos y de la misma dificultad.
Solución 29
Datos:n =
55;N =
400; Sx=
4; Se= 2; X =
18
S2 41. rxx = 1 -_e = 1 --=o 75S ~ 16 '
0,5 X 0,752. rxx = = 0,6
1 + (0,5 - 1)0,75
3. NC 99% Zc = 2,58X= 25
Se= 2; X= 18
Svx = 2V0,75 = 1 73
fmáx = ZcSvx = 2,58 X 1,73 = 4,46
v' = rxxX = O, 75(25 - 18) = 5,25
rvx = V0,75 = 0,87
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142
Psicometría: problemas resueltos
v' ::±:: fmáx
0,79 $V $ 9,71
Solución 30
Datos: N = 300; n = 5; S ~ = 4
p 1 = 0,30; P2 = 0,80; p 3 = 0,40; P4 = 0,60; Ps = 0,90
La media de un ítem dicotómico es igual a la proporción de aciertos.
'L pq = 0,3. 0,7 + 0,8. 0,2 + 0,4 . 0,6 + 0,6. 0,4 + 0,9. 0,1= 0,21 + 0,61 + 0,24 + 0,24 + 0,09 = 0,94
KR2o = !( - ¿ ~ q ) = !( :·94) = 0,96
Solución 31
Sujetos X p 1
1 24 12 12
2 20 9 11
3 23 10 13
4 16 5 11
5 14 7 7
Datos: 'LPI = 447; ¿p = 43; ¿ ¡ = 54; 'LP2 = 399; I /2 = 604;
Método de Rulon
5 X 4 77 - 43 X 54r = -r========================x ,x , Y (5 X 399 - 43 2)(5 X 604 - 542)
xp = 8,6 Sp = 2,41 S ~ = 5,84
X¡= 10,8 Si= 2,04 Sf = 4,16
X= 19,4 Sx = 3,88 S ~ = 15,04
2385 - 2322
Y146 X 104
63---= 0,51123,22
S ~ - = S ~ + S f - 2rpiSpS¡ = 5,84 + 4,16 - 2 X 0,51 X 2,41 X 2,04 = 4,99
1 - ~ = 1 -4
'99
= o 67rxx = 'S ~ 15,04
11
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Método de Guttman
R = 2( 1 _ S ~ + St) = 2( 1 _ 5,84 + 4,16) = O67XX S ~ 15,04 '
143
Fiabilidad de las puntuaciones
Como se puede apreciar, ambos métodos nos proporcionan el mismo resultado
por ser equivalentes.
Solución 32
Datos: N = 150; S = 49; rxx = 0,80 ; S = 81
S ~ 49 9,8r = 1 - - (1 - r ) = 1 - - (1 -O 80) = 1 --= O88
22 S ~ 11 81 , 81 ,
Al aumentar la heterogeneidad de la muestra aumenta el coeficiente de fiabilidad
del test.
Solución 33
Datos: El = 180; rxx = 0,98 ~ Rxx = 0,49
Rxx(1 - rxx) 0,49(1 - 0,98)n = ---- = = 0,02
rxA1 - Rxx) 0,98(1 - 0,49)
EF = n · El = 0,02 · 180 = 3,6 = 4
El test con 4 elementos tendría un coeficiente de fiabilidad de 0,49, dado quetenía 180 ítems habrá que eliminar: 180 - 4 = 176 ítems.
Solución 34
Datos: N = 300; X = 36; S ~ = 25
1. rxx = 0,81 rvx = 0,90
2. se= 5V 1 - o,81 = 2,18
3. NC 99% ~ Zc = 2,58
Svx = S e ~ = 2,18 X 0,90 = 1,96
Em áx = Z ~ = 2,58 X 1,96 = 5,06
Z ~ X ~ X
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144Psicometría: problemas resueltos
v' = rxx>< = 0,81 x 7,5 = 6,075 en puntuaciones diferenciales
1 02 :S V :S 11,14
V' = rxx>< +X= 6,075 + 36 = 42,075 en puntuaciones directas
37,015 ::; V::; 47,14
Solución 35
1. REDatos: N = 500; n = 50; 5 ~ = 1 00; II ov (j, k) = 80
Coeficiente a de Cronbach: Los ítems son dicotómicos.
a = _n_ [ II ov (j, k) ] = 50 X ~ = 0 82n - 1 5 ~ 49 100 '
2. RVDatos: N = 500; n = 1O; X = 6,2; Sx = 2,65
KR21: Además de dicotómicos tienenla
misma dificultad.
l - ( ~ ) 1 l 6 2 - ( ~ ) 1KR = _n_ 1 - n = __!_Q_ 1 - ' 10 = 0,73
21
n - 1 2,65 2 9 2,652
3. RNDatos: S ~ = 8; St = 8 rp ; = 0,7
S ~ = S ~ + Sf + 2 X rp; X SP X 5; = 8 + 9 - 2 X 0,7 X 2,83 X 3 = 28,89
Guttman-Fianagan: Se han utilizado dos mitades del test.
r . = 2 [ 1 - S ~ + S t ] = 2 [ 1 - 17] = 2X041 =0,82
XX S ~ 28,89 '
Solución 36
S ~ = 0 , 5 5 ~S ~ = S ~ + S ~ ~ S ~ = S ~ + O, 5 ~ ~ S ~ = 1 5 ~
S2rxx = _ _ - = o67
1 5 5 ~ '
11
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1
Solución 37
Datos: rvx = 0,8; Sx = 6
145
Fiabilidad de las puntuaciones
1. rxx = 0,64 --7 El coeficiente de fiabilidad indica la proporción de varianza de laspuntuaciones empíricas que se debe a la verdadera medida del rasgo. La proporción
es, por lo tanto, de 0,64.
2. se= sxv1='1: = 6 V1 - o,64 = 3,6
Solución 38
Datos: N = 300; I X= 1.800; I x2 = 2.100
- - 1.8001. X= V=--= 6
300
2. E= O
l . S ~ = 2.100 = 7300
4. Si rvx = 0,80, entonces rxx = 0,64.
S ~ = r x ~ ~S ~ = 0,64 X 7 = 4,48
5. Se= Sxv1='f: = 2,64 Y1 - 0,64 = 1,58
6. rxe = ~ = v1='f: = Y1 - 0,64 = 0,60sx
S2
7. rxx = 0,64 --7 _e = 0,36S2
El 36% de la varianza es varianza errónea.
Solución 39
rxx = 0,60
2 X 0,60 , ~Rxx = = 0,75 --7 Rvx = v0,75 = 0,87
1 + 0,60
Si sumamos dos formas paralelas de un test el resultado equivale a duplicar el test.
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146
Psicometría: problemas resueltos
Solución 40
Datos: n = 50 elementos; rxx = 0,64; Rxx = 0,80?
0,80 (1 - 0,64) = n = 2 250,64 (1 - 0,80) '
EFn=- ~ EF = 50 X 2,25 = 112,5 = 113El
11
113 son los elementos que tiene que tener el test para que el coeficiente de fia
bilidad llegue a 0,80. Como el test inicial tenía 50 elementos habrá que añadirle 63.
Solución 41
Rxx = 0,5 X 0,75 = 0,601 + (0,5 - 1)0,75
Solución 42
0,80 (1 - 0,98)n = = 0,08
0,98 (1 - 0,80)
EFn = - ~ EF = nEI = O 08 X 140 = 11 2 = 11El ' '
El test tiene que tener 11 elementos, como tenía 140 habrá que eliminar:
140 - 11 = 129 elementos.
Solución 43
Datos: Sx= 6; rxx = 0,75
S2
S ~ = 5 ~ ( 1 -rx) = 36 (1 - 0,75) = 9
9r22 = 1 -- = O 86
64 '
La varianza de los errores es independiente de la homogeneidad de la muestra y,
permanece constante.
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1:
Solución 44
52Datos: n = 200· 52 =5 2 +5 2 = 25· _v = O64
' X V e t s; 1
1. rxx = 0,64 ~ rxv = 0,80
2. se= s V1 - o,64 = 3
52 93 R - 1 - _e 1 - - = O82
• XX- 2 5 ~ 50 '
0,5 X 0,644. rxx = = 0,47
1 - 0,5 X 0,64
o,64 - oA7 = o, 17
Se reducirá en un 17%.
Solución 45
Datos: Cov (vx) = 15; Sx = 1 5
1. Cov (vx) = r v ~ v S x = 1 5
Sv ' ~rvx = - ~ Sv = V rvx . sx
sx
rvx ( r v ~ ) S x = r x ~ / = 15
15rxx = 2s = 0,6
rxv = 0,77
2. se= sx = s V 1 - o,6 = 3,16
3. NC 95% ~ Zc = 1,96
147
Fiabilidad de las puntuaciones
Utilizando el método de la distribución normal de los errores:
5e=3,16
Emáx = SeZc = 3,16 X 1,96 = 6,19
4 ± 6,19
-2,19:::; V:::; 10,19
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148
Psicometría : problemas resueltos
Utilizando el modelo de regresión:
Solución 46
Sv x = Servx = 3,16 X 0,77 = 2,43
fm áx = 2,43 X 1,96 = 4,76
v' = rxx>< = 0,60 X 4 = 2.4
v' ± fm áx
-2,36 :S V :S 7,16
Datos:N
= 300;X
= 36;S ~
=25
1. rxx = 0,81 --.¿ rvx = 0,90
2. s e= 5Y1 - o,81 = 2,18
3. NC 99% --.¿ Zc = 2.58
Se= 2,18
Svx = SeVf:x = 2,18 X 0,90 = 1,96
fm áx = Z ~ = 2,58 X 1,96 = 5,06
Z = 1,5--.¿ X= 1,5 X 5 = 7,5--.¿ X= 7,5 + 36 = 43,5
V' = 0,81 (43,5 - 36) + 36 = 42,08
V' ± fmá x
37,02::::; V :S 47,14
Solución 47
Datos: Cov (xe) = 16; Sx= 6
il
1. La covarianza entre las puntuaciones empíricas y los errores de medida es igual
a la varianza de los errores de medida.
Cov (xe)= r x e S ~ = 16
2. Utilizando el método de la distribución normal de errores:
NC 95%--.¿ Zc = 1,96
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149
Fiabilidad de las puntuaciones
S2 16rxx = 1 - _ e = 1 - - = 1 - o 44 = o 56S 36 ' '
rvx = Vf:x = y0,56 = 0,75
El error típico en puntuaciones típicas es:
sze = ~ = V 1 - o,56 = o,66
f máx = 0,66 X 1,96 = 1,29
Zx ± fm áx = 0,5 ± 1,29
-0,79 :::=; Zv ::=; 1,79
3 . NC 99% ~ Zc= 2,58
Utilizando el método de la distribución normal de los errores:
se =4
fm áx = 4 X 2,58 = 10,32
X ± fm áx = 3 ± 10,32
-7,32 ::::; V ::::;
13,32
Cuando se utiliza el modelo de regresión hay que calcular el error típico de est i-
mación de la puntuación verdadera y aplicar la ecuación de regresión correspon-
diente:
fm áx = 2,58 X 3 = 7,74
v' = rx.X = 0,56 X 3 = 1,68
v' ± Emáx = 1,68 ± 7,74
-6,06 ::::; V ::::; 9,42
Solución 48
Datos: X = 30; X = 45; Sx = 1O; X' = 40; rxx = 0,64
sd = s xV 2 (1 - rxx) = 1 o V 2 (1 - o,64) = 8,5
40 - 30Re= = 1 18
8,5 '
No hay diferencias significativas entre las dos puntuaciones, no podemos decir
que haya recuperado.
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150
Psicometría: problemas resueltos
Solución 49
Datos: RE (X) = 40; RA (Y) = 35
X= 35; Y= 20; Sx = 10; Sy = 10; rxx = 0,64; ryy = 0,70
40 - 35ZRE = = 0,5
10
35 - 20ZRA= =1,5
10
PD RE = 50 + 20 (0,5) = 60
PD RA =50+ 20(1,5) = 80
Zc = 2,33
!1
Al transformarlo a la misma escala vemos que hay una diferencia notable, pero es
mayor en RAque en RE, luego nunca será al revés.
Solución 50
S ~ = S ~ - siendo x e y mitades paralelas y S ~ equivale a
s ~ s ~ 1oorxx = 1 - S ~ = 1 - --sf = 1 -
420= O, 76
Solución 51
Solución 52
1. Subtest A
s: = s; + St + 2 Cov (PI)
s: = 8 X 18 = 144
s; + St = 144 - 36 = 108
S 2+ S2
108rxx = 2(1 - p
1
) = 2(1 - -) 0,50sx 144
KR 20 = a = n :1
( 1 - I ~ q )
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p, = 0,80
q, = 0,20
X ~ = 130
P2 = 0,80 p 3 = 0,60
q2 = 0,20 q3 = 0,40
'¿pq=1,02
130 ( 34 )2S ~ = 1Q - W = 1,44
P4 = 0,70
q4 = 0,30
KR 20 = n (1 - '¿pq) = 2_(1 -1
'02
) = O 36n - 1 5 ~ 4 1,44 '
Subtest B
151
Fiabilidad de las puntuaciones
Ps = 0,50
q5 = 0,50
p, = 0,80
q, = 0,20
X ~ = 192
p 4 = 0,60
q4 = 0,40
Ps = 0,50
q5 = 0,50
'¿pq = 0,86
52 =192
- (4 2)2 = 1 56X 1o ' '
Subtest C
S ~ , = 5,6 - 1 ,8 2 = 2,36
S ~ , = 6- 4 = 2
S ~ = 11 ,8 - 9 = 2,8
s ~ . = 2, 6 - 1 = 1 6
'I S/ = 8,76
S ~ = 71,8 - 60,84 = 10,96
n ( 'ISJ) 4 ( 8,76 )a = n - 1
1- S ~ = 3 1
- 10,96 =0
'27
2. Datos: rAA = 0,36; r88 = 0,54; rcc = 0,27
51= 1,44; S ~ = 1,56; S ~ = 10,96
X7 = puntuación de cada sujeto en la batería completa.
'I X2 = 2,572 'I Xr = 154
S2 = 'IXf - ( 'I Xr )2 = 20 04T N N '
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152
Psicometría: problemas resueltos
rTT =1
_ 25J - l.f¡¡SJ =1
_ [ (1,44 + 1,56 + 10,96) _
s: 20,04 '
-=o
54
(0,36 X 1,44 + 0,54 X 1,56 + 0,27 X 1 0,96) J20,04 '
Solución 53
S = 'i.SJ + ¿¿ cov = 70 + 25 = 95
r = - 1 - - = 0270 ( 70)XX 39 95 '
Solución 54
Datos · N= 500· n = 140· X= 20 · S2 = 401 t t X
(
20 - 400 )
KR 21 = r =140
1 -140
= O 58XX 139 40 '
Solución 55
Datos: r1kS¡Sk = 0,25; n = 1O; S ~ = 40
S ~ = 'i.SJ + n(n - 1 )r¡kS¡Sk
I SJ = 40 - 1o X 9 X 0,25 = 17,50
a = r = - 1 - - - = O 625 = O 630 ( 17,50 )XX 9 40 ' '
Solución 56
Datos: n = 6; 'i.SJ = 0,25s:
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Solución 57
153
Fiabilidad de las puntuaciones
Datos: n = 5; N = 300; p, = O, 70; p2 = 0,20; p3 = 0,60; p4 = 0,40; Ps = O,1O; = 4
'2_ pq = 0,3 X 0,7 + 0,8 X 0,2 + 0,4 X 0,6 + 0,6 X 0,4 + 0,9 X 0,1 = 0,94
KR = r = _ n _ (1 - 'i p_9_) = _?_(1 - ~ 9 4= 0,96
20xx n - 1 S ~ 4 4
Solución 58
Se aplica la fórmula de Spearman-Brown:
2rp ; 2 x 0,44r = = = 0,61XX 1 + ( p i 1 44
rxv = v'Q.61 = 0.78
Solución 59
Datos: r 11 ~ S ~ = 4; r22 ~ S ~ , = 8; r 11 = r22 = 0.75
S = r 5 = 0.75 X 4 = 3 ~ S ~ = 4- 3 = 1
S ~ = S ~ = 0.75 X 8 = 6 ~ S ~ = 8 - 6 = 2
Solución 60
Datos: r 11 = 0,60; n 1 = 60 elementos; Sf = 25
r 22 = 0,64; n2 = 50 elementos; Sf = 36
S ~ = S - rxJ = 25 (1 - 0,60) = 10
10r 11 = 1-- = 0,72
36
Dado que el error típico no varía con la variabilidad de la muestra, se recalcula el
coeficiente de fiabilidad que tendrá el test 1 si se hubiese aplicado a una muestra en
la que la varianza de las puntuaciones empíricas fuera 36.
En las dos muestras con la misma varianza el test 1 tiene un R11 = O, 72 y el test 2
tiene un R22 = 0,64. Ahora bien, hay que ver cuál sería el coeficiente de fiabilidad de
los dos test si ambos tuvieran el mismo número de elementos.
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154
Psicometría: problemas resueltos 1EF 50
n =- = - = 083El 60 '
0,83 X 0,72
r,, = 1 + (0,83- 1)0,72 =0
•68
Si el primer test se aplicara a una muestra de la misma varianza que la segunda y
además se redujera el número de ítems a 50, todavía su fiabilidad sería mayor, luego
deberíamos utilizar el test 1.
Solución 61
Datos: S ~ = 4; S ~ = 9; S ~ = 16; rAA = 0,60; Ses= 1,5; rcc = 0,67; s; = 100
fBB = 1 - = 1 - 2,25 = o 75
S ~ 9 '
rrr = 1I SJ - IrjjSJ
sx
(4 + 9 + 16) - (0,6 X 4 + 0,75 X 9 + 0,67 X 16)
= 1 - = 0,91100
Solución 62
Datos: N = 200; S ~ = 15; S ~ = 25; S ~ = 40; II ov = 20
La varianza total de un test es igual a la suma de las varianzas de los elementos
(o partes en que se divide) más la suma de sus covarianzas.
S ~ = 15 + 25 + 40 + 20 = 100
3 ( "'SJ ) 3 ( 80 )fxx = 2 1 - -----s¡.- = 2 1 -
100= 0,30
Solución 63
Datos: n = 50; N = 500; S ~ = 64; rxx = 0,81
11. n =-=O 02
50 '
0,02 X 0,81r = = 0,08JI 1 + (0,02 - 1) 0,81
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155
Fiabilidad de las puntuaciones
Dado que los elementos son paralelos todos tendrán el mismo índice de fiabi
lidad .
0,5 X 0,812. rxx = ------- = 0,68
1 + (0 ,5- 1)0,81
3. V' + fmáx = 70
V' - fmáx = 50
2V' = 120 ~ V = 60
v' = 6 0 - 55= 5
5x = -- = 6 17 ~ X = 6 17 + 55= 61
0,81 ' '
Solución 64
Datos: n = 1 00; rxx = 0,96
0,5 X 0,961. rxx = = 0,92
1 + (0,5 - 1) 0,96
2_ n = R(1 - r) = 0,81 (1 - 0,96) =
0 17r(1 - R) 0,96(1 - 0,81) '
El = 1 00; EF = nEI = O,17 X 100 = 17
100 - 17 = 83
Habrá que eliminar 83 ítems de los iniciales.
Solución 65
Datos: 2,5} = 42; s; = 80; n = 1O
Sf = ISJ + n(n - 1)rjksjsk8 0 - 42r j ~ j s k =
90= 0,42
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156
Psicometría: problemas resueltos
Solución 66
S -Datos: N = 1.500; Sv = 3; _v = 0,60; X = 15
sx
Sv1. - = 0,60 = rvx --7 rxx = 0,36
sx
Sv 32. sx = -- = -- = 5
0,60 0,60
Se = Sx\1'1-=r: = 5 V 1 - 0,36 = 4
3. NC 99% --7 Zc = 2,58
Utilizando el método de la distribución normal de los errores:
Sz, = V1 - 0,36 = 0,80 (típicas)
fmáx = 0,80 X 2,58 = 2,064
5X = 20 --7 x = 20 - 15 = 5 --7 Z = - = 1
5
Z :::'::: fmáx = 1 :::'::: 2,064
-1 ,064 :S Zv :S 3,064
S24. s e = 4; r22 = 1 - _e_
2 S ~La varianza de los errores no cambia .
16rxx = 1 - - = 0,68
50
0,5 X 0,365 r - = 0,22
' XX- 1 + (0,5 - 1)0,36
G. n = 0,80 (1 - 0,36) =7 110,36 (1 - 0,80) '
EF = 150 X 7,11 = 1.066,66 = 1.067--71.067- 150 = 917
Habría que añadir 917 elementos.
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Solución 67
Datos: Subtest 1: S ~ = 3,04; s; = 2,88
Subtest 2: rp i = 0,70; S ~ = 4
Subtest 3: Los datos aparecen en la tabla.
1. Subtest 1
S ~ = S ~ + s; = 3,04 + 2,88 = 5,92
3,04rxx = -- = 0,51
5,92
Subtest 2
2 X OJOr - = 0,8222
- 1 + OJO
Subtest 3
2P =-=o 40
1
5 '
p,q, = 0,24
11X=-=22
5 '
P2 = 0,80
S 2 =33
- 2 22 = 1 763 5 ' '
2. rr r = 1I SJ - Ir1¡SJ
S}
P3 = 0,60
157
Fiabilidad de las puntuaciones
P4 = 0,40
(1J6 + 5,92 + 4) - (0,67 X 1J6 + 4 X 0,82 + 5,92 X 0,51)= 1 - -------------------------------------------
15,68
= OJ3
S} = 1J6 + 5,92 + 4 + 4 = 15,68
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158
Psicometria: problemas resueltos
Solución 68
Datos: Covarianza = 4; L.S] = 60
S ~ = L.S] + n · (n - 1) cov
S ~ = 60 + (8 X 7) X 4 = 284
O' = ~ ( 1 - __§_Q__) = 0,907 284
Solución 69
S -Datos· N= 400· _v =O 80· X= 20· S = 4
• 1 SX 1 1 1 V
Sv4
2. sx = - = -- = 5rxv 0,80
se = sx ~ = 5 V1 - o,64 = 3
3. NC 95% ~ Zc = 1,96
Utilizando el método de la distribución normal de los errores:
sz, = V1 - o,64 = o,6oEmáx = 0,60 X 1,96 = 1,176 = 1,18
30 - 20Zx = = 2
5
Zx ± Emáx = 2 ± 1,18
Utilizando el modelo de regresión:
Szvx = ~ ~ = 0,60 X 0,80 = 0,48
Emáx = 1,96 X 0,48 = 0,94
Zv' = rvxzx = 0,80 X 2 = 1,60
Z.; ± fmáx = 1 60 ± 0,94
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l,4. Como la varianza de los errores no varía:
R = 1 - S ~XX 2 S ~
9rxx = 1 - 50 = 0,82
0,5 X 0,64S. r 22 = = 0,47
1 + (0,5 - 1)0,64
6. El= 100
0,90(1 - 0,64)n = = 5,060,64(1 - 0,90)
5,06 X 100 = 506
159
Fiabilidad de las puntuaciones
Como el test tenía 100 elementos, habrá que añadirle 406 elementos paralelos.
Solución 70
Datos: Subtest A: Los resultados se recogen en la tabla.
Subtest B: S ~ = 1 44; S ~ = 1,52
Subtest C: rpi = 0,64; S ~ = 5
II ov = 4
1. Subtest A
p, = 1; p 2 = 0,60; p 3 = 0,60; P4 = 0,40
p,q, = O; p 2q2 = 0,24; p 3q3 = 0,24; p4q4 = 0,24; I pp1= O,72
LX = 1 3 LX 2 = 3 9
13XA = -5 - = 2,6
SA =39
- 2 62 = 1 045 ' '
SA = 1,02
fxx =; ( 1 - ~ : ~ ~ ) = ,41
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160
Psicometría : problemas resueltos
Subtest B
S ~ = S ~ + S ~S ~ = 1,52 + 1,44 = 2,96
= ~ = o 51fas 2,96 ,
Subtest C
2 X 0,64r = = 0,78ce 1 + 0,64
2.S ~ =
2.S7 + I cov = (1,04 + 2,96 + 5) + 4 = 13
frr = 12.SJ - r j ~ J
sx
9- (0,41 X 1,04 + 0,51 X 2,96 + 0,78 X 5) __ O761- 13 '
Solución 71
Solución 72
seDatos : -= 0,50
sx
S ~ = 2. S7 + n(n - 1) rjksjsk
S ~ = 40 + 90 X 2 = 220
a= _2_2_ (1 - ~ ) = O919 220 '
-S ~
= 11. fxx = 1 - 0,25 = 0,75S ~
2. rx v = V0,75 = 0,87
3. se = V1=r: = V1 - o,7s = o.s
11
Como no se conoce la desviación típica hay que calcularle en puntuaciones típicas.
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4. NC 95% ---+ Zc= 1,96
Utilizando el error típico de estimación:
161
Fiabilidad de las puntuaciones
Sz.zv = ~ v-r: = 0,5 V0,75 = 0,44
Zv' = rxvZx = 0,87 X 0,75 = 0,65
fm áx = Sz vzxZc = 0,44 X 1,96 = 0,86
Como el valor de Z = 1 se encuentra dentro del intervalo, podemos aceptar quela puntuación típica verdadera de dicho sujeto sea 1.
5. Datos: Sx = 1O
s;,(1 - r, ,) = s;,(1 - r22 )
100(1 - 0,75) = 400(1 - rx)
25 = 400 - 400rxx
375rxx = - - = 0,94
400
Si se disminuye la homogeneidad del grupo a la mitad quiere decir que se aumen
a la variabilidad al doble. Si la variabilidad se mide a través de la desviación típica,
doble desviación típica.
0,90(1 - 0,75) - 36. n = - - - ---
0,75(1 - 0,90)
3 X 30 = 90
Habrá que añadir 60.
Solución 73
Datos: 5 ~ = 12; St = 14; rp; = O, 70
1. Spearman-Brown
2 X 0,70Rxx = = 0,82
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162
Psicometría: problemas resueltos
2. Rulon
5 ~ - i
S ~ = S ~ + 57 - 2rp;SpS;
5 ~ = 12 + 1 4 - 2 X 0,70 X 3,46 X 3,74 = 7,88
s; = S ~ + 57 + 2rp;SpS; = 44,12
r = 1 -7
'88
= 0,82XX 44,12
3. Guttman
rxx=2(1- S ~ + S t ) = 2 ( 1 - 12+
14)=0 ,82
s; 44,12
4. Cronbach
n ( I SJ) 2 ( 5 ~ + St)ex = - - - 1 - - - = - 1 - = O 82
n - 1 s; 1 s; '
Solución 74
SDatos: S = 5· _e = O 1 O
e , S ~ ,
Solución 75
Datos: r jj = O,1O; Rxx = 0,90
552 =--= 50
X O,1o
25rxx = 1 - - = 0,50
50
n = 0,90(1 - 0,10) = 810,10(1 - 0,90)
1 X 81 = 81
11
Puesto que el test tiene que tener 81 elementos, habrá que construir 80 elemen
tos más.
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Solución 76
163
Fiabilidad de las puntuaciones
Datos: N = 800 aspirantes X = 45; Ix2 = 204.800
640 admitidos, representan el 80% de los aspirantes, luego el sujeto de entre losadmitidos que menor nota sacó en el test, ocuparía el percentil 80 en la escala.
P80
~ Z = 0,84
X - 45084=---, sx
52 = i j2 = 204.800 = 256 ~ sx = V256 = 16
x n 800
X = 45 + 0,84 X 16 = 58,44
Solución 77
S -Datos· _v = O 90 · X= 20 · 52 = 81• SX 1 1 1 V
NC 95% ~ Zc = 1,96
se = sx v'1=r: = 10 V1 - o,81 = 4,36
Svx = S e ~ = 4,36 v'Q.81 = 3,92
Emáx = 1,96 X 3,92 = 7,68
V' = rxx>< +X= 0,81 X 9 + 20 = 27,29
IC = 27,29 ::!.:: 7,6819,61 :::; V:::; 34,97
Sí le admitiríamos porque el intervalo en torno al punto crítico (X= 29) incluye la
puntuación 28 que es la que ha obtenido el sujeto.
Solución 78
Datos: N = 85; Iv 2 = 1.360; 5 ~ = 9
52 = 1.360 = 16
V 85
S ~ = 16 + 9 = 25
16rxx = - = 0,64
25
rxv = v0,64 = 0,80
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164
Psicometría: problemas resueltos
Solución 79
Datos: X = 1 00; Sx = 25; X = 125; rxx = 0,64
z = 125 - 100 = 1X 25
zv' = o,8o x 1 = o,8o
El porcentaje de la varianza de las puntuaciones empíricas que se debe a la varian -
za verdadera viene determinado por el coeficiente de fiabilidad multiplicado por 100,
Luegoese
porcentajees el 64%.
Solución 80
seDatos: Se= 3;- = 0,10
52V
Solución 81
352 = --= 30V O, 1o
S = S + S ~ = 30 + 9 = 39
30rxx=-= 0,77
39
Datos: r11 = 0,20; Rxx = 0,90?
n=
0,90(1 - 0,20) = 36
0,20(1 - 0,90)
1 X 36 = 36
Habrá que construir 35 elementos más paralelos al que tenía.
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Solución 82
Datos: X = 15; X = 12; Sx = 5; rxx = 0,90
V'= rxxX +X= 0,9 X 3 + 12 = 14,70
165
Fiabilidad de las puntuaciones
sv.x = s x ~ v f : = 5Y1 - o,9v'0,9 = 1,5o
17 - 14,70Z = = 1 53 ~ P(Z ~ 1 53) = 1 - P(Z ~ 1 ,53) = 1 - 0,9370 = 0,063
1,50 '
Buscando en las tablas de curva normal se obtiene que la probabilidad de que la
verdadera puntuación de dicho sujeto sea igual o mayor que 17, será 0,063 .
Solución 83
En cada test se averigua el coeficiente de fiabilidad que se obtendría si la mues-
tra tuviera la varianza obtenida en el otro test.
Datos: Test H: rhh = 0,95; Sh = 16; Test Y: ryy = 0,70; S ~ = 16
Test Y: 16(1 - 0,70) = 256(1 - ryy)
4,8 = 256 - 256ryy ~ ryy = 0,98
Test H: 256(1 - 0,95) = 16(1 - rhh)
12,8 = 1 6 - 1 6 r h h ~ rhh = 0,20
Debería comprar el test Y, puesto que, en igualdad de condiciones, su coeficien-
te de fiabilidad es mayor.
Solución 84
Datos: TestA: n =50; Sx = 7; X= 12
Test B: n = 80; II ov (jk) = 35; S ~ = 50
(
12 - ~ )1. (AA =
501 -
50= 0,83
49 49
raa = 80 ( 35) = 0,7179 50
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166
Psicometría: problemas resueltos
S}= S ~ + S + 2rA8SAS8 = 49 + 50 + 2 x 0,2 X 7 X 7,01 = 118,63
49 + 50 - (49 X 0,83 + 50 X 0,9) 13,3313 = 1 - - ---=----'----------'--::- = 1 - = O,76
118 63[1 - (__2Q__)2 - ( ~ ) 2 ] 55,76
' 130 130
Solución 85
Se aplica Spearman-Brown:
100 X 0,2rxx = ------- = 0,96
+(100-1)0 ,2
Solución 86
Datos: ver la tabla en el enunciado.
1. Test X: Guttman-Fianagan
2. Test Y
_ ( _ S ~ + S[)rxx - 2 1
S2X
"LXP = 108; "LX,= 102; "LXr = 210
"L Xfi = 1.534; "L X[ = 1.326; I X ~ = 5.606
Xp = 1 0,80; SP = 6,06; S ~ = 36,76
X, = 1 0,20; s, = 5,34; S[ = 28,56
Xr = 21; Sr = 10,94; S ~ = 119,60
rxx = 2 (1 - S ~ +S[) = 2 (1 -36
,76
+28
'56
) = 0,91s; 119,60
1
Hay que calcular la varianza de cada uno de los elementos y la varianza del test
total.
I X,= 31; I ~ = 161; s ~ = 6,49
"LX2 = 38; X ~ = 246; S ~ = 1O,16
"LX3 = 37; I X1 = 207; S ~ = 7,01
"LX4= 39; I ..lq = 229; Si= 7,69
"LX5= 30; I .>q = 166; S% = 7,60
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1
Test Z
2:X6 = 28; IX1 = 146; S ~ = 6,76
2:SJ = 45,71
2:Xr = 213; 2:)0. = 6853
Y= 21 ,30; S ~ = 231,61
a = n (1 - 2:SJ)n- 1 s;
a=- 1 - =O 96( 45,71 )
5 231,61 '
I X = 27; 2: )(2 = 123; S ~ = 5,01
167
Fiabilidad de las puntuaciones
p 1 = 0,60; p 2 = 0,60; p 3 = 0,50; p4 = 0,30; Ps = 0,50; p 6 = 0,20
n ( 2:pq)KR2o = rxx = 1 - --n- 1 S ~
KR 20 = - 1 ---
= 0,88
( 1,35)
45 5,01
n
S}= 2: SJ + 2:2: S¡k = S ~ + s; + S ~ + 2(Sxr + Sxz + Syz)] = 1
2: (X- X)(Y- Y) 1.505
Sxr=N = -
1-0-=150 ,5
2: (X-X) (Z-Z) 210Sxz = ______ = -
1-0- = 20,2
2: (Y - Y)(Z - Z) 258,2Syz = ______ = -
1-0
- = 25,82
S}= 119,6 + 201,21 + 4,44 + 2(150,5 + 20,2 + 25,82) = 778,29
(119,6 t 201,21 t 4,44) - (119,6 X 0,91 t 201,21 X 0,95 t 4,44 X 0,84)rrr = 1 - --------------------- = 0,97
778,29
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168
Psicometría: problemas resueltos 1
Solución 87
Datos: Test A: n = 8; cov jk = 0,32; S = 26
n2
r¡kS¡Sk 64 X O32(AA = _ _:______:e___ = ' = 0 79S 26 '
r = n (1
_ 'Lpq ) = ~ ( _ 0,22 + 0,25 + 0,25 + 0,22 + 0,25) = 0,74
88
n - 1 5 4 2,91
rcc = n (1
_ 'LSJ) _ ~ ( _ 1,67 + 1,81 + 0,56 + 0,92 + 1,89) =0 94
n - 1 5 ~ 4 27,22 '
'LSJ - 'LSJr¡r rr = 1 - --- --
5?
26 + 2,92 + 27,22 - (26 X 0,79 + 2,92 X 0,74 + 27,22 X 0,94)r rr = 1 - --- ---- - --- - ---------- -
= 0,95
Solución 88
Datos: rxx = 0,99
nr11rxx = ------'-'' - - - - - -+ (n - 1)r11
Solución 89
Datos: 5 = 4; Sx = 12
152,2
0,25 X 0,99- - - ---- = 0,961 + (0,25 - 1 )0,99
521 . rxx = _ v ~ 52 = S2 - S2 = 144 - 4 = 140S v x e
140rxx = -- = 0,97
144
2. rvx = Vo:97 = 0,98
3. NC 99% ~ 2,58
Szvzx = ~ Y G x = V 1 - 0,97V0,97 = 0,17
Z11 = rxvZx = 0,98 X 0,2 = O,196 = 0,20
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1!
Emáx = O, 17 X 2,58 = 0,44
-0,244:::; O, 196:::; 0,636
4. (X X = 2 X 0,97 = 0,98
1,97
Solución 90
Solución 91
Datos: n = 30; Xv = 18; Sx = 4
169
Fiabilidad de las puntuaciones
r - _n_(1 - X - - ~ - ) - _3_0 (1 - _1_8_-_332_04-) =O 57
XX n - 1 57 2 9 1 6 '
30 + 90 120n= =- -=4
39 30
nrxxrxx = - - - - - - -" ' - ' - - - - - -
1 + (n - 1)rxx
Solución 92
Datos: rxx = 0,81; S ~ = 25
52
1. _ v = rxx = 0,8152X
4 X 0,57------ = 0,84
+(4-1)0 ,57
52 522. (X X = 1 - _e ----¿ _e = 1 - ( = 1 - o 81 = o 19S ~ S ~ XX ' '
3. rxe = ~ = Y1 - 0,81 = 0,44
4. rvx = Vf:x = VQ,81 = 0,90
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170
Psicometría: problemas resueltos
Solución 93
Datos: rxx = 0,90; S ~ = 16
S2(XX = ~ V ~ S2 = 1 6 X o 9 = 14 4S ~ V ' '
S2 = S2- S2 = 1 6 - 14 4 = 1 6· S = ' !:J6 = 1 2 6x v , , , e V 1,0 ,
Svx = S e ~ = 1,26Vo:9 = 1,20
Solución 94
Datos: rxe = 0,60; Zx = 0,50
NC 90% ~ Zc = 1,645
Szvzx = r x e ~ = ~ ~ = r x e ~0,6 = ~ ~ (XX = 1 - 0,36 = 0,64
Szvzx = 0,6 yf(),64 = 0,48
fmáx = 1,645 X 0,48 = 0,7896 = OJ9
Zv' = rvxzx = 0,8 X 0,5 = OA
-0,39::o;Zv:::; 1,19
Solución 95
Rxx(1 - rxJ 0,80(1 - 0,66)n = = = 2,08
rxx(1 - RxJ 0,66(1 - 0,80)
EF = nEI = 100 X 2,08 = 208
El test deberíatener
208 elementos.
Solución 96
S2Datos: rxx = 0,81; ~ v = 0,81
S2X
S ~ ( 1 - 0,81) = S ~ (1 - (XX) ~ 3(1 - 0,81) = (1 - rxJ
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1
0,81(1 - 0,43)n = = 5,75
0,43(1 - 0,81)
El test debe ser aumentado en 5, 75 veces.
Solución 97
Datos: N = 500; X = 40; S ~ = 25; rxv = 0,80
171
Fiabilidad de las puntuaciones
1. La proporción (o porcentaje) de varianza verdadera que hay en la varianza
empírica de un test viene dado por el coeficiente de fiabilidad .
rxx = 0,80 2 = 0,64 -7 64%
2. se= sxV1=r: = 5Y1 - 0,64 = 3
3. NC 95% -7 Zc = 1 96
Z = 0,5 -7 X = 0,5 X 5 = 2,50
V' = rxx X = 0,64 X 2,5 = 1,60
Svx = SeYr:x = 3 VQ,64 = 2,40
fm áx = 1,96 X 2,40 = 4,70
- 3,1 :S V :S 6,3
2 X 0,644. Rxx = = 0,78
1,64
5 . ..3_ = 1 - r22
S ~ 1 - r,,1 -
r2 2
-7 - = ----=-=-- -7 2r22 = 2- 0,36 = 1,642 1 - 0,64
1,64 ' ~Tn = -- = 0,82; rx V = V 0,82 = 0,912 2 2
Solución 98
Datos: Test A:X=
15;SA
= 5;rAA
= 0,81Test B: X = 1O; 58 = 2; Se = 1
1. rvx = ~ = 0,90
2. 5e= 5 Y 1 - 0,81 =2,18
3. S ~ - S ~ = 25 - 4,75 = 20,25 = S
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172
Psicometria: problemas resueltos
4. 1 = 2Y1 - T88
---7 1 = 4(1 - r88
) ---7 1 = 4- 4r88
4 - 1(BB = = 0,75
4
S. Svx = 1V0,75 = 0,87
6. V ~ = (20 - 15)0,81 + 15 = 19,05
X - 107. O 85 = ---7 X = 11 ,70
' 2
Svx = 0,87
fmáx = 1,96 X 0,87 = 1,71
V ~ = (11,70- 10)0,75 + 10 = 11,28
/C = 11,28 :±: 1,71
9,75 :S v:s 12,99
Solución 99
Datos: n = 20; S ~ = 1 ,44; S ~ = 4; Rxx = 0,90
1. S ~ = S ~ - S ~ = 4 - 1,44 = 2, 56
rxx = =2
'56
= O64S ~ 4 '
S ~ = n S ~
n=R(1 - r)
r(1 - R)
0,90(1 - 0,64)-----'------'-------'---'- = 5' 060,64(1 - 0,90)
S ~ = 25,60 X 2,56 = 65,64
1
Cuando se mejora la fiabilidad de un test aumentando su longitud, la varianza
verdadera del test inicial se multiplica por n2•
2. S ~ = n S ~ = 5,06 X 1,44 = 7,29
se, = v7:i9 = 2,70
Cuando se mejora la fiabilidad de un test aumentando su longitud, la varianza de
los errores es igual a la del test inicial multiplicada por n.
3. EF = 5,06 x 20 = 101 elementos
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Solución 100
Datos: s ~ = 6; sr = 4; s ~ = 16
S2S = 3· ~ V =o 81
2 , S2 ,X
rxx = 2 ( 1 -6
1
4) = 0,75
S ~ , ( 1 - r 11 ) = S ~ , ( 1 - r22 )
16(1 - 0,75) = 9(1 - r22 )
5r22
= ~ = 0,569
0,81 (1 - 0,56)n = = 3,36
0,56(1 - 0,81)
Aumentar su longitud en 3,36 veces.
Solución 1 01
S -Datos· N = 400· ~ • = O 36· X = 20· S = 4
• 1 SX 1 1 1 X
S2
1. rxx = 1 - ~ • = 1 - 0,362 = 1 - O,13 = 0,87S ~
rvx = v7:x = \10,87 = 0,93
2. s. = sx ~ = 4 V1 - o,87 = 1A4
3. NC 99% ~ Zc = 2,58
s. = 1,44
Sv x =Se v7:x = 1,44 X 0,93 = 1,34
fmáx = 2,58 X 1 34 = 3,46
V' = rxx>< + X = 0,87(30 - 20) + 20 = 28,70
V' ::±:: fmáx
173Fiabilidad de las puntuaciones
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174
Psicometria: problemas resueltos
4. S ~ ( 1 - r22 ) = SW - r11)
32(1 - r22 ) = 16(1 - 0,87)
32 - 32r22 = 2,08
32 - 2,08 = o94( 22 = 32 '
0,5 X 0,875. rxx = = 0.77
1 + (0,5 - 1)0,87
6. El= 100
0,90(1 - 0,87)n = =
1,330,87(1 - 0,90)
EF = 1 33 X 1 00 = 133
Habría que añadirle 33 elementos.
Solución 102
Datos: r1kS¡Sk = 4; 'iSJ = 1O
s; = 'iSJ + n(n - 1 r¡kS¡Sk = 1 O + 1 O X 9 X 4 = 370
11
La varianza de una variable compuesta es igual a la suma de las varianzas más la
de todas las covarianzas, o bien a la suma de todas las varianzas más n(n - 1) cova
rianza media.
Solución 103
Datos: N = 400; ' ie2
= 196; e = O; S ~ = 200% S ~196
1. S2 = -- = o49e 400 '
S ~ = 0,98
s; = S ~ + S ~ = 0,98 + 0,49 = 1,47
rxx =0
'98
= 0,67
1,47rxv = VQ.67 = 0,82
2. Se = VQ.49 = O,70
3. S ~ = 0,98
4. rxe = ~ = Y1 - 0,67 = 0,57
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15. NC 95% ~ Zc = 1 96
SeSz =-=O 58
e Sx '
Sz.zx = SzeVf:x = 0,58 X 0,82 = 0,84
fmáx = ± 1 96 X 0.48 = 0,94
z . . ~ = fvxZx = 0,82 X 0,50 = 0.41
IC = 0.41 ± 0,94
-0,53 S Zv S 1,35
6. S ~ (1 - r 11 ) = S ~ (1 - r22 )
52 = 0,61
1 47(1 - 0,67) = 0,37(1 - r 22 )
0,37- OA9(2 2 = = -0,32
0,37
175
Fiabilidad de las puntuaciones
Nunca se podría aplicar ese test a una muestra cuya desviación típica fuera la
mitad de aquella en que el coeficiente fue 0,67, ya que en esa muestra la fiabilidaddel test sería nula.
7. El = 100
0.40(1 - 0,67)n = = 0,33
0,67(1 - OA)
EF = 0,33 X 100 = 33
Habría que conservar 33 elementos.
Solución 104
X y1.------
s ~ = 1o s; = 34
St = 11
Como las dos formas son paralelas: SJ = S ~ y el coeficiente de fiabilidad también
es el mismo en las dos formas:
2. Z =X+ Y
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176
Psicometría: problemas resueltos
s; = 34 + 34 + 2 X 0,76 X 34 = 119,68
rzz=
2(1 -
68
)=
0,86119,68
2 X 0,76rzz = ---- = 0,86
1 + 0,76
Solución 1OSDatos: N= 500; X= 40; Sk = 25; rvx = 0,80
sz1. _v = rxx = r;v = 0,64
szX
2. S ~ = s; - S ~ = s;(1 - rxJ = 25(1 - 0,64) = 9
se= 3
3. NC 95% ---7 Zc = 1,96
X
Z = - ---7 X = Z ~ = 0 5 X 5 = 2 50X SX X 1 1
V' = rxxX = 0,64 X 2,5 = 1,60
se= 3
Sv x = S e ~ = 3 X 0,80 = 2,40
fmáx = 2,40 X 1,96 = 4,70
v' :::'::: Emáx
IC = 1,60 :::'::: 4,70
-3,1 :'S V :'S 6,3
2X
0,644. rxx = = 0,781 + 0,64
sz5. rxx = 1 -_ e
s;
S2 9r = 1 -_e = 1 - -=O 82
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Solución 106
Datos: red = 0,50; TD: rdd = 0,80; S ~ = 2
TC: ree = 0,90; S ~ = 3
177
Fiabilidad de las puntuaciones
S ~ = S ~ + S ~ + 2red5e5d = 2 + 3 + 2 X 0,50 X \Í2 X \Í3 = 7,45
ISJ - ISJrH 2 + 3 - (2 x 0,80 + 3 x 0,90)rr r = 1 - = 1 - = 0,91
S ~ 7,45
Solución 107
Datos:
A: B: C: D: E:ree = 0,98 rdd = 0,80 5} = 144
rp1 = 0,85
X total = 100
Sx total = 15
52_e =o 05 se= 3S ~ ,
S = 2e, s ~ ( e = 8
Antes de calcular el coeficiente de fiabilidad de la batería completa es necesario
calcular los coeficientes de cada uno de los tests así como sus varianzas y, a conti
nuación, aplicar la siguiente fórmula:
Test A
2 X 0,85(A A = - - - - = 0,92
1,85
ISJ - ISJrHrrr = 1 - ----"---
5 ~
s ~ A 1o(AA = - - ~ 52 = -- = 17,39S ~ A 0,92
Test B
5= o05S ~ '
= 2 5 ~ , ~ s ~ = o,5o
52 = 0,50 = 1oV 0,05
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178
Psicometría: problemas resueltos
S = S + S = 1 O + 0,50 = 10,50
St8 1 Of88
= - = - -- = 0 95S 1 0,50 '
Test C
rcc = 0,98 S ~ = 9
Test D52
r00
= 0,80 = 1 - _ e --7
St
4
5
2
= --=
20O 0,20
52 52- O 80 = O 20 =_ =::} 52 = __ _
' ' 52 o o20O '
En el test B cuando se duplica su longitud se duplica la varianza de los errores.
Sin embargo la varianza de los errores no cambia con la variabilidad de la mues
tra, por eso en el test D la varianza de los errores es 4.
Test E5} = S = 144
s ~ ( E + e ' ) = 8
S = 4
2
4(EE = 1 - -- = 0 97
144 '
Batería
(1 7,39 t 10,50 t 9 t 20 t 144)- (17,39 X 0,92 t 10,50 X 0,95 t 9X0,98 20 X 0,8 t 144 X 0,97)rrr = 1 - = O 96
225 '
NC 95% --7 Zc = 1,96
Svx = Sx Vf:x = 15 V 1 - 0,96 VQ.% = 2,94
fm áx = 2,94 X 1,96 = 5,76
V' = rxx(X - X) + X = 0,96(130 - 1 00) + 100 = 128,80
IC = 128 ± 5,76
123,04 V ~ 134,56
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Solución 108
Datos: Si = 20; cov (A8) = 16; A = 12; X = A + 8
Cov (A8) = rAsSASs
SA = 58
rAB= COV (A8) = ~ = 0 80
SASB 20 .
2 X 0,80rxx = = 0,89
1,80
NC 95% ~ Zc = 1,96
179
Fiabilidad de las puntuaciones
s: = S ~ + S ~ + 2 cov (A8) = 20 + 20 + 2 X 16 = 72
Sv x = Sx V1=f: v'f:x = 8,49 Y1 - 0,89 V0,89 = 2,63
fm áx = 2,63 X 1,96 = 5,15
X = A + 8 = 24
V' = rxx(X - X) + X = 0,89(20 - 24) + 24 = 20.44
/C = 20.44 :::'::: 5,15
15,29 :::; V ::s 25,59
Solución 109
5 ~ ,Datos: n = 1 O·-= O 81· 352=5
2
. 5t . . 2 1
5 ~ ,r,, = - = 0,815t
SW - r,,) = SW - r22)
S2 - _R2 - 3
1-r 1-r1
22' 1 - o 81 =
22 o43r, , = 3 ~ , 3 ~ r22 = ,
Como no puede aplicarse un test cuya fiabilidad sea menor de 0,81, vamos a ver
cuántos elementos hemos de añadir (paralelos a los que ya tenía) para conseguir que
el coeficiente de fiabilidad sea 0,81.
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180
Psicometría: problemas resueltos
0,81 (1 - 0,43)n = 5,75
0,43(1 - 0,81)
EF = 5,75 X 10 = 58
Como ya tenía 1O, habremos de añadirle 48 elementos .
Solución 11 O
Datos: N = 101 mujeres; -?5_m = 40; Sm = 15
N = 197 varones; Xv = 36; Sv = 14
S2
F = ~ = 1 1 5St '
Fc(100, 196)0,95 = 1,22
No hay diferencias significativas entre las varianzas, por tanto aplicamos el esque-
ma de comprobación de la significación de diferencias entre las dos medias, desco-
nocidas las varianzas de la población pero supuestamente iguales.
Ho: f.Lv = f.Lm
H1: f.Lv -=1= f.Lm
x,- X2T = ------------
n 15? + n 5 ~n 1 + n2 - 2
4 0 - 36
(1 1 )-+ -
n, n2
----------------- = 2,27
101X225+197X196 ( 1 1)
101 + 197 - 2 101 + 197
Como T > te rechazamos la hipótesis nula a nivel de confianza del 95% .
Para saber a qué nivel de confianza podemos afirmar que ambas medidas son dis-
tintas, acudimos a la tabla de t y vemos que aproximadamente al nivel de confianza
del 98%.
Solución 111
Datos: Nv = 145; Xv = 18; Sv = 4; rxv = 0,80
Nm = 122; Xm = 20; Sm = 5
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181
Fiabilidad de las puntuaciones
1. Dado que el error típico no cambia, depende del test, será el mismo en los
varones que en las mujeres.
sev = Sxv \11=--r:;:; = 4 Y1 - 0,64 = 2,40
2,40 = 5 \11=--r:;:; -Hxx = 0,77
2. 53= rxxs; = 0,64 X 16 = 10,24
3. NC 95% ~ Zc = 1,96
fmáx = 2,40 X 1,96 = 4,70- -
V' = rxx(X - X)+ X = 0,77(28 - 20) + 20 = 26,16
21 ,46 ::; V ::; 30,86
Solución 112
Punto corte = 30
Test ATest B
Maestría No-Maestría Total (N¡)
Maestría 6 1 7
No-maestría 3 5 8
Total (N¡) 9 6 15 = N
6 5P =-+- = 073e 15 15 '
7 9 8 6Pa = 15 X 15 + 15 X 15 = 0,49
k= Pe - Pa
1 - Pa
0,73 - 0,49 0,24----- = -- = 0,471 - 0,49 0,51
Solución 113
SujetosÍtems
1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 o 1 1 o 1 1 1
3 o o o o o 1 1 o
4 o 1 o 1 1 o o o
5 1 1 1 o 1 o o 1
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182
Psicometría: problemas resueltos 18+6+2+3+5X= = 4,80
5
32 + 62 + 22 + 32 + 5252 = - (4,80)2 = 4,56
X 5
8 ( 4,8 - (4:)2 )
KR 21 = 1 - = 0,668 - 1 4,56
Z =(C - 0,5 -X ) = (6 - 0,5 - 4,8)
___:_____ __:.___ _____:___:_ = o'3 3X SX 2,14
Zx = 0,33 ---7 Pz = 0,629
A partir de las tablas de Gupta obtenemos la probabilidad (P22
) de que dos varia
bles distribuidas normalmente con una correlación KR 21 = 0,66 sean menores que
z = 0,33.
Pzz = 0,497
pe = 1 + 2(Pzz - Pz) = 1 + 2(0,497 - 0,63) = 1 + 2( - 0, 133) = O, 73, luego pode
mos concluir que el test presenta una fiabilidad media alta.
Solución 114
X fx Px Px 1 - 2(Px- fx{1 - 2(Px- P ~ ) ) fxPx
28 2 0,811 0,3062 0,5751 1,15 0,61
26 2 0,764 0,1861 0,6971 1,39 0,37
22 3 0,671 0,0571 0,8924 2,68 0,17
19 5 0,601 0,0198 0,9612 4,81 0,10
16 4 0,531 0,0058 0,9885 3,95 0,02
14 4 0,484 0,0023 0,9955 3,98 0,01
11 3 0,414 0,0005 0,9991 3,00 0,01
10 2 0,391 0,0002 0,9995 2,00 0,0005
8 2 0,344 0,0001 0,9999 2,00 0,0001
6 1 0,297 0,0000 1,0000 1,00 0,0000
5 1 0,274 0,0000 1,0000 1,00 0,0000
3 1 0,227 0,0000 1,0000 1,00 0,0000
30 27,96 1,29
Pe= I f.{1 - 2(Px- P/)) = 27,96 = O
93~ 30 '
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1183
Fiabilidad de las puntuaciones
Pa = 1 _ 2 I ~ P x _ I ~ P r J = 1 _ 2 [ 1 ~ ~ 9 _ [ 1 ~ ~ 9 r J = 0,92
K = Pe - Pa = 0,93 - 0,92 = 0,01 = O13
1 - Pa 1 - 0,92 0,08 '
Puesto que el valor de kappa es muy bajo, cabría esperar una fiabilidad baja.
Solución 115
X fx
22 4
20 4
18 2
16 3
14 4
10 5
8 3
Datos: ex = 0,80; X = 15,64; Si = 23,91
1(2_ = a S ~ + (X - C)2
XV S + (X - C)2
0,80 X 23,91 + (15,64 - 15)2
23,91 + (15 ,64 - 15)2
19,13 + 0,41--- - -= 0,8024,32
Solución 116
Aplicando la función de distribución binomial:
Prob (x 2: 8lp = 0,70, n = 12) = en (0,70)X 0,30)n-x
Prob (x = 8) = C8
2) (0,70)8 (0,30)4 = 495 x 0,057 x 0,008 = 0,226
Prob (x = 9) = c2) (0, 70)9 (0,30)3 = 220 X 0,040 X 0,027 = 0,237
Prob (x = 1O) = ~ ) (0,70)10 (0,30)2 = 66 X 0,028 X 0,09 = O,166
Prob (x = 11) = ~ ) (0,70) 11 (0,30) 1 = 12 x 0,019 x 0,30 = 0,068
Prob (x = 12) = ~ ) (0,70) 12 (0,30)0 = 1 X 0,013 X 1 = 0,013
0,712
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184
Psicometria : problemas resueltos
La probabilidad de acertar 8 o más ítems de 12 y ser clasificado dentro del grupo
de maestría es igual a 0,71 .
Solución 117Punto corte = 12
Test BTest A
Maestría No-Maestría Total
Maestría 6 o 6
No-maestría 1 3 4
Total7 3 10
Se calculan las frecuencias de coincidencias esperadas por azar:
7 X 6--=420
1o '
Fa = 4,2 + 1,2 = 5,40
3 X 4-- = 1201o '
A continuación, calculamos las frecuencias observadas de clasificaciones coinci
dentes:
Fe= 6 + 3 = 9
Por lo tanto:
9 - 5,40 = 3,60 = o78
1 0 - 5,40 4,60 '
Este resultado nos indica una consistencia de clasificaciones alta.
JFa J 5,40 = {5;iO = 0,34
S.= N(N - Fa) = 10(10-5,40) './46
NC 95% --7 Zc = 1,96
K± Zc · s.
0,78 ± 1,96 X 0,34
O, 11 ::::; K ::::; 1 40
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ll 185
Fiabilidad de las puntuaciones
Dado que el valor K = 0,78 no se encuentra dentro de los límites del intervalo,
podemos establecer que el acuerdo entre las clasificaciones es estadísticamente sig
nificativo.
Solución 118
X fx Px px 1 - 2(Px- fx(1 - 2(Px - P;)} fxPx
15 4 0,946 0,9760 0,9532 3,8127 3,9041
14 3 0,893 0,8697 0,7734 2,3201 2,6091
13 7 0,839 0,6987 0,5789 4,0525 4,8906
12 8 0,786 0,5093 0,5002 4,0014 4,0742
10 8 0,679 0,2064 0,6724 5,3788 1,6515
9 4 0,626 0,1149 0,7966 3,1864 0,4596
7 3 0,519 0,0264 0,9486 2,8457 0,0793
5 2 0,413 0,0037 0,9926 1,9852 0,0074
2 1 0,253 0,0000 0,9999 0,9999 0,0000
40 28,5827 17,6758
I fx(1 - 2(Px- P/)) 28,5827Pe = _ __::_:____ '----"._ ____::__:_:___ = = O 7145
fx 40 '
P a = _ i ~ P x - l i ~ P x T ] = _ l 1 7 , : ~ 5 8 - l 1 7 , : ~ 5 8 T ] =K= Pe-Pa = 0,7145- 0,51 = 0,2075 =O
421 - Pa 1 - 0,51 0,493 '
El valor del coeficiente kappa indica una fiabilidad media baja.
Solución 119
e =O, 1 y 0,05
Pe(1 - Pe)n=- '---- '- -------- '- --- '- - --
0,75(1 - 0,75) O,1875= 18,7519o,1 =
O,P 0,01
0,75(1 - 0,75) O,1875= 75o.os =
0,05 2 0,0025
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186
Psicometría: problemas resueltos ilSolución 120
El punto de corte será igual a la media de las puntuaciones totales otorgadas por
los cuatro jueces:
2,56 + 2,03 + 2,33 + 2,36 = 2,32
4
La puntuación de corte se establecería aproximadamente en 2.
Solución 121
XC= p(M) = 1 0(0,70) + 5(0,65) + 10(0,40) + 20(0,65) + 10(0,55) + 4(0,20) +
+ 15(0,55) + 8(0,45) + 4(0,20) + 1 0(0,30) + 3(0,25) + 1 (0,20) = 50,15
La puntuación de corte establecida por el juez está en 50 ítems.
Solución 122
1. Los puntos de corte se calculan sumando las probabilidades, asignadas por
cada uno de los jueces, de que cada uno de los ítems sea superado por los sujetos.
Sumando dichas probabilidades tenemos:
Punto de corte: 3,1 O (Juez 1) 2,20 (Juez 2) 3 (Juez 3)
2. El punto de corte del test es igual al promedio de los puntos de corte asigna-
dos por cada uno de los jueces.
PC = 3,1 O + 2,20 + 3 = 8,30 =2 76
test
3 3'
3. El primer juez, es el que considera el test más fácil ya que es el que define un
punto de corte más alto (3, 1O) . El segundo juez, es el que considera el test más dif í-
cil ya que es el que define un punto de corte más bajo (2,20) .
Solución 123
1. En primer lugar, debemos calcular la puntuación esperada por un sujeto en
cada uno de los ítems del test. La puntuación esperada para un sujeto en un ítem
viene dada como resultado de dividir la unidad por el número de alternativas del ítem
que el sujeto no haya rechazado.
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187
Fiabilidad de las puntuaciones
A continuación sumamos las puntuaciones esperadas y su valor nos da el valor
esperado en el test para cada juez. Estos datos son los que se recogen en la siguien
te tabla:
Ítems Juez 1 Juez 2 Juez 3 Juez 4
1 bcd bcd ce be
2 ede bd bde ab
3 ab bde ab bde
4 abd abe ede acd
Ítems Juez 1 Juez 2 Juez 3 Juez 4
1 1/2 1/2 1/3 1/3
2 1/2 1/3 1/2 1/3
3 1/3 1/2 1/3 1/2
4 1/2 1/2 1/2 1/2
¿; 1,83 1,83 1,66 1,66
2. El punto de corte del test es igual al promedio de los valores esperados para
cada juez.
PC = 1,83 + 1,83 + 1,66 + 1,66 = 6,98 =1.7
454 4
N -APCcorregido = A - --
n- 1
4- 1,7451 ,745- __ ...:....___
5 - 11 ,745- 0,563 = 1,182