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Tema 2: Modelos de concentración de contaminantes atmosféricos
2.1 Introducción a los modelos de concentración y tipos principales
2.2 Estabilidad y turbulencia atmosférica: fundamentos
2.3 Modelos de celda fija estacionaria y no estacionaria
2.4 Modelos de dispersión: modelo gaussiano para contaminantes que no reaccionan
2.5 Modelos sofisticados
2.5.1 Refinamientos del modelo gaussiano
2.5.2 Incorporación de cinética de reacción
2.5.3. Modelos de celda múltiple
2
2.1 Introducción a los modelos de concentración y tipos principales
� Son protocolos matemáticos que proporcionan estimacionesde concentración de contaminante en función de una serie de parámetros meteorológicos, químicos, topográficos y de cantidad y velocidad de emisión.
PARÁMETROS DE ENTRADA:
• Cantidad de contaminante emitida por unidad de tiempo. Posición y altura de emisión.
• Velocidad y dirección de los vientos dominantes. Estabilidad atmosférica. Altura de mezclado.
• Comportamiento químico del contaminante: posibles reacciones, vida media.
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Tipos principales
MODELOS DE CELDA FIJA
(vertidos homogéneos)
MODELOS GAUSSIANOS DE
DISPERSIÓN
(vertidos puntuales)
xy
z
MODELOS COMBINADOS
(celda múltiple, etc..)
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Velocidad de acumulación
Velocidad de entrada
Velocidad de Salida
Velocidad de creación
Velocidad de destrucción= - + -
Fundamento básico
Todos los modelos de concentración están basados en balances de materia en el interior de un determinado volumen de aire:
Variación (derivada) de concentración de contaminante con respecto al tiempo
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Gradientes de temperatura
1. El aire caliente es menos denso y tiende a ascender.
2. Un ascenso de aire caliente produce una expansión del gas, porque la presión disminuye con la altura.
d P = ρ g d z
3. La expansión del gas se hace a costa de su energía interna: el aire se enfría:
“entalpía” perdida: d H = n Cp dT
2.1 Estabilidad y turbulencia atmosférica: fundamentos
Esquema simple:
Calor específico molar a presión constante
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n Cp dT = V dP (proceso adiabático)
Gradiente adiabático del aire: λ = d T / d z = g M / Cp
Gradiente adiabático:
ascenso de una masa de aire seco en ausencia de transferencias de calor
con el aire circundante. • Es un proceso isoentrópico (no hay transferencia de calor, ds = 0)
Termodinámica: dH = n CpdT = TdS + Vdp
Ejercicio. Estimar el gradiente adiabático de aire seco. Datos: M (Masa molecular promedio del aire) = 29 g/mol,
Cp (calor específico a presión constante del aire) = 7/2 R
2
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Estabilidad atmosférica
� La existencia o no de corrientes verticales (atmósfera estable o inestable) se deduce de la comparación entre el gradiente adiabático
(variación de temperatura de una masa ascendente de aire) y el gradiente real de temperatura (aire circundante)
adiabáticoreal
T
z
T
z
ATMÓSFERA ESTABLE ATMÓSFERA INESTABLE
El aire ascendente está a menostemperatura que el circundante:
vuelve a bajar
El aire ascendente está a mástemperatura que el circundante:
sigue subiendo8
Inversiones térmicas
Representan la situación de máxima estabilidad, en la que el gradiente real de temperaturas es positivo (la temperatura aumenta con la altura)
T
z
adiabáticoreal
• Inversión de subsidencia: zona de altas presiones
• Inversión por irradiación: durante la noche el aire cercano al suelo es más frío.
• Inversión marina: cuando llega a la costa aire frío en contacto con el agua
• Inversión topográfica: el aire frío “rellena” los valles
TIPOS:
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Inversiones térmicas y altura de mezclado
� La existencia de una zona de inversión equivale a la existencia de una “barrera” que impide la dispersión de los contaminantes por encima de una determinada altura. Dicha barrera determina la “altura de mezclado” (H)
T
z
Aire caliente
Aire frío
Hcontaminante
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Clases de atmósfera según su estabilidad
T
z
Inversión
Gradiente en altitud de temperaturas:
A
B
C
D
E
F Isoterma
inestable
estable
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Tabla 2.1: Clases de atmósfera según su estabilidad (Turner)
díaRadiación solar
Fuerte moderada débilViento de superficie
( a 10 m) / m s-1 nubes ≥ 4/8 nubes < 3/8
Noche, o nublado
0-2
2-3
3-5
5-6
≥6
A
A-B
B
C
C
A-B
B
B-C
C-D
D
B
C
C
D
D
-
E
D
D
D
-
F
E
D
D
Clases de atmósfera según su estabilidad (II)
� La clase de atmósfera viene determinada por la cantidad de insolación (por la noche es cuando más tendencia existe a que aparezcan inversiones). Así mismo un fuerte viento produce estabilidad vertical
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viento: u
Ciudad
H
x
y
W
L
z
Q
c
Concentración de fondo, b
2.3 Modelos de celda fija estacionaria y no estacionaria
� Se utilizan para obtener estimaciones de concentración de contaminante para emisiones difusas, diseminadas a lo largo de una determinada superficie, como es el caso de una ciudad
Concentración en el interior de la ciudad
(concentraciones dadas habitualmente en unidades de
masa/volumen)
3
13
Hipótesis esenciales del modelo de celda fija (1):
1- La ciudad es un rectángulo con dimensiones W y L, con uno de sus lados paralelo a la dirección del viento. Normalmente L se refiere a las dimensiones de la ciudad en la dirección del viento
2- La turbulencia atmosférica produce el mezclado completo y total de los contaminantes hasta la altura de mezclado H y no hay mezclado por encima de esa altura. El resultado es que se puede asumir que existe una concentración homogénea c, que es igual en todo el volumen de aire sobre la ciudad.
Ciudad
H
x
y
W
L
z
Q
c
viento: u
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Hipótesis esenciales del modelo de celda fija (2):
3- El viento sopla en la dirección x con velocidad u. Esta velocidad es constante e independiente del tiempo, lugar o elevación por encima del suelo.
4- La concentración de contaminantes que entra en la ciudad (x=0) es constante e igual a b, la llamada concentración de fondo
5- El índice de emisiones por unidad de área es q ( por ejemplo, en g s-1 ·m-2) con lo que la emisión total es Q=q A, siendo A=WL el área de la ciudad. El índice de emisiones es constante y no varía con el viento.
6.- Ningún contaminante entra o sale por los lados perpendiculares a la dirección del viento.
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Q = q W L
masa por unidad de tiempo (g s-1)
Cantidad que entra = cantidad que sale
Ciudad
H
x
y
W
L
z
Q
cCelda fija estacionaria
En el estado estacionario (la concentración no varía con el tiempo):
Velocidad de acumulación
Velocidad de entrada
Velocidad de Salida
Velocidad de creación
Velocidad de destrucción= - + -
0 0 0
Índice de emisiones:
masa por unidad de tiempo y unidad de superficie (g s-1 m-2)
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u b W H + q W L – u c W H = 0
c = b + q L / u H
entra sale
Celda fija estacionaria (2)
El balance de materia se reduce a:
Importante: la concentración es tanto más alta cuanto más larga sea la ciudad en la dirección del viento, y además, ésta es independiente de la anchura.
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Promedio sobre diversas condiciones meteorológicas
c = Σ ci × fiConc. promedio
i
Suma para todas las condiciones meteorológicas
Frecuencia en la que se produce cada
condición meteorológica
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Uso del modelo de celda para calcular reducción de emisiones
q1 c1 ¿q2? c2
q2 = (c2-b) u H / Lq1 = (c1-b) u H / L
q2 = q1 (c2-b)/(c1-b)
Problema práctico: Si para unas condiciones dadas un determinado nivel de emisión conduce a una concentración fija de equilibrio, ¿cuál ha de ser el nivel
de emisión para conseguir una concentración dada?
4
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Modelo de celda no estacionaria
Ciudad
H
x
y
W
L
z
Q
c
u b W H + q W L - c u W H = W H L dc/dt
Cantidad que entra - cantidad que sale = cantidad que se acumula por unidad de tiempo
En el estado no estacionario la concentración puede variar con el tiempo:
entra sale se acumula
viento: uConcentración de
fondo, b
20
Modelo de celda no estacionaria (2)
L/u dc/dt = b + q L / (H u) - c
L/u dc/dt = ce - c
Solución: ( ce- c(t) ) / ( ce - b) = e-u/L t
(Ecuación diferencial de 1er orden)
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2.4 Modelos de dispersión: Modelo gaussianopara contaminantes que no reaccionan
� Son los que se utilizan para estimar la concentración de contaminante producida por una fuente puntual, por ejemplo, la chimenea de una fábrica, o el escape de un depósito
Objetivo: ¿cuál es la concentración a cierta distancia de la fuente?
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Formación de “penachos”
La combinación de la “fuerza” de emisión, la velocidad del viento y la turbulencia atmosférica da lugar a la formación de una estructura característica, que se denomina “penacho” (“plume” en inglés)
Momento inicial
+
flotación
Dirección del viento
23
Penachos según estabilidad atmosférica
Atmósfera neutra
Atmósfera inestable
(la turbulencia vertical deforma el flujo de humo)
Atmósfera estable
(el flujo de humo no se dispersa)24
Penachos según estabilidad atmosférica (2)
Capa superior estable, capa inferior neutra
Capa superior neutra, capa inferior estable
5
25
Instantáneo (unos segundos) Promedio (1/2 - 1 h)
Sea en un caso u en otro, el modelo gaussiano corresponde a un promedio
sobre cierto intervalo de tiempo:
Además, estos son útiles para distancias de hasta 20 Km. No sirven para problemas como la lluvia ácida, que implican cientos de Km.
26
x
dirección del viento
h
∆h
H
aire contaminado
y
z
¿ Cuál es la concentración en un un punto (x,y,z)?
Nomenclatura del modelo gaussiano:
Objetivo del modelo:
27
Fundamento del modelo gaussiano:
El modelo considera que el transporte del contaminante se produce por dos causas en principio independientes:
� Por el viento
� Por la turbulencia atmosférica
SIN VIENTO SIN TURBULENCIA
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x
C
∆x∆y
∆z
Para separar adecuadamente la influencia de ambos factores (viento y turbulencia), consideraremos una caja de volumen ∆x ∆y ∆z que se muevecon el viento:
Deducción del modelo gaussiano:
Velocidad de acumulación
Flujos de entrada
Flujos de salidaΣ Σ=
Balance de materia en la caja:
Variación de masa de contaminante por unidad de tiempo (gr s-1)
viento: u
(de esta forma todos los flujos de entrada y salida en la caja serán debidos únicamente a la turbulencia)
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K : constante de dispersión turbulentaCte de proporcionalidad
Nota: La ley de Fick fue propuesta originalmente para “difusión molecular”. En la atmósfera la dispersión de los contaminantes se produce por turbulencia, en lugar de por difusión, pero es una buena aproximación suponer que la forma matemática que regula este proceso es la misma.
x
cKFlujo
∂
∂−=
El flujo viene dado por la Ley de Fick, o primera ley de la difusión:
“El flujo de materia a través de una pared (cantidad de masa por unidad de superficie y unidad de tiempo) es proporcional al gradiente de concentración, cambiado de signo, a través de la pared”
Efecto de la turbulencia: teoría de la difusión
masaÁrea × tiempo
=
30
1D Difusión en una dimensión:
x
cKFlujo
∂
∂−=
( )
−
=K
x
te
Kt
Mc
2
4
1
2/12/12 π
Masa depositada (t = 0)
( ) ( )[ ]2
2
x
cK
x
flujoflujo
t
c xxx
∂
∂=
∆
−=
∂
∂ ∆+
Balance de materia:
6
31
M =
32
Normalmente, el modelo de dispersión se expresa en términos de un coeficiente de dispersión en lugar de en la constante de dispersión turbulenta:
( )
2
2
2
2/12
σ
σπ
x
eM
c−
=
¿Por qué se llama modelo gaussiano?
( ) 2/12Kt=σ
x
c
X = 0
σ
(concentración en masa/longitud)
33
El coeficiente de dispersión se mide en metros y mide cuánto
se ha dispersado la masa inicial a cada
tiempo t
X/metros
34
1D 2D
3D
35
∆x∆y
∆z
∆x ∆y
∆z
∆x ∆y
∆z
∆x ∆y
∆z
Balance de materia aplicado en las tres direcciones del espacio:
Generalización del modelo gaussiano a tres dimensiones
Análogamente se obtiene
( )
−
−
−
=2
2
2
2
2
2
222
2/32
zyx
zyx
zyx
eeeM
cσσσ
σσσπ
(concentración en masa/volumen)
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Aplicaciones del modelo gaussiano al problema de la dispersión de contaminantes en aire
� En tres dimensiones: vertidos puntuales e instantáneos
P. Ej. : escapes, emisiones discontinuas, etc...
� En dos dimensiones: vertidos puntuales y continuados en el tiempo
P. Ej. : chimeneas en industrias, escapes continuados, etc...
� En una dimensión: vertidos puntuales y continuados en el tiempo con mezclado total en una dirección
P. Ej. : chimeneas en industrias con baja altura de mezclado
7
37
x
C
Vertido puntual instantáneo en 3D
H
x0
El centro del vertido se mueve enla dirección x con la velocidad
del viento u
Se aplica al problema en el que una determinada masa de contaminante M es vertida súbitamente a tiempo t = 0
( )
−
−
−−
=2
2
2
2
2
20
222
)(
2/32
zyx
zyxx
zyx
eeeM
cσσσ
σσσπ
x0 = ut
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Ejemplo: desastre de Bhopal
Vertido: 45 toneladas de Isocianato de metilo en un segundo a una altura
de 50 metros
3 de Diciembre de 1984
¿Concentración de isocianato?
Condiciones
• viento del noroeste de fuerza 1 m/s
• noche: Kx=Ky=0.45 m2s-1, Kz=0.20 m2s-1
( )( )2/12Kt=σ
39
-0.000001
0
0.000001
0.000002
0.000003
0.000004
0.000005
0.000006
0.000007
0.000008
0.000009
-100 200 500 800 1100 1400 1700 2000
Ejemplo: desastre de Bhopal (2)
Concentración de isocianato en la estación (a 1 kilómetro en la dirección noroeste-sureste) en función del tiempo:
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Vertido continuado en el tiempo: modelo en 2D
Se aplica al problema en el que una cierta cantidad de contaminante es vertida de manera constante a lo largo del eje en el que sopla el viento
Dispersión en altura (eje z)
Dispersión en la dirección perpendicular al viento (eje y)
H
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M = Q/u
Vertido continuado en el tiempo: modelo en 2D (II)
¿Cuánta masa se deposita en eje x por unidad de longitud?
(depende la velocidad del viento)
Q: índice de emisión (masa/tiempo)
u : velocidad del viento (longitud/tiempo)
¿Dónde se deposita la masa?
Se deposita a una altura H (altura efectiva de emisión)
Reemplazo z por z – H en el modelo gaussiano
42
Modelo gaussiano para penacho
2 DIMENSIONES: Dispersión horizontal (eje y) y vertical (eje z)
( )
−
−
=2
2
2
2
22
2zy
zy
zy
eeM
cσσ
σσπ
M = Q / u (masa depositada por unidad de longitud)
( )2
2
2
2
22
2zy
Hzy
zy
eeu
Qc
σσ
σσπ
−−−
=
z � z - H
8
43
Los coeficientes de dispersión dependen de la distancia a la fuente x y de las condiciones atmosféricas (K/u)
Coeficientes de dispersión para el modelo gaussiano en 2D
( ) ( ) ( ) 2/12/12/12/12/22 xuKuxKtK yyyy ===σ
� Necesitamos un coeficiente de dispersión en el eje y y en el eje z
( ) ( ) ( ) 2/12/12/12/12/22 xuKuxKtK zzzz ===σ
44
45
¡ Gráficaaproximada !
Consultar manuales
3
10
100
1000
10000
X / Km
σy / m
A B CD
EF
1 100.1 100
Determinación de los coeficientes de dispersión en función de la distancia a la fuente (dirección y):
Condicionesatmosféricas
46
¡ Gráficaaproximada !
Consultar manuales
1
10
100
1000
5000
X / Km
σz / m
A B
C
D
E
F
1 100.1 100
Determinación de los coeficientes de dispersión en función de la distancia a la fuente (dirección z):
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Fórmulas para los coeficientes de dispersión para suelos urbanos
Estabilidad σy σz
A-B 0.32 x ( 1 + 0.0004 x)-1/2 0.24 x ( 1 + 0.0001 x)-1/2
C 0.22 x ( 1 + 0.0004 x)-1/2 0.20 x
D 0.16 x ( 1 + 0.0004 x)-1/2 0.14 x ( 1 + 0.0003 x)-1/2
E-F 0.11 x ( 1 + 0.0004 x)-1/2 0.08 x ( 1 + 0.0015 x)-1/2
Determinación de los coeficientes de dispersión en función de la distancia a la fuente
Generalmente: σy (urbano) > σy (rural)
σz (urbano) > σz (rural) 48
Modificaciones del modelo gausiano
x
Z
( )2z
2
2y
2
2
Hz
2
y
zy
eeu2
Qc
σ
−−
σ−
σσπ=
Contaminante absorbido por el suelo
Contaminante reflejado por el suelo
x
Z
C1
C2
( ) ( )
+
σσπ= σ
+−
σ
−−
σ−
2z
2
2z
2
2y
2
2
Hz
2
Hz
2
y
zy
eeeu2
Qc
Ej: SO2, NOx
Ej: CO, COVs
9
49
Casos particulares del modelo gaussiano en 2D:
2z
2
2y
2
2
H
2
y
zy
eeu
Qc
σ−
σ−
σσπ=
2z
2
2
H
zy
e1
Q
uc σ−
σσπ=
Contaminación a ras del suelo (z = 0):
A ras de suelo y en el eje del viento (z = 0, y = 0):
Este caso interesa por ser donde se encuentra la
población
Este caso interesa por ser donde se acumula la mayor contaminación
50
(Escala logarítmica)
10-8
10-7
10-5
10-3
c u /Q
m-2
1 100.1 100
10-6
10-4
H=300
H=100
H=50
H=20
X / Km
Modelo gaussiano en 2D a ras de suelo y en el eje del viento (z = 0, y = 0):
51
x
Z
L
y
Efecto de la altura de mezclado
Altura L a partir de la cual no se produce más dispersión: mezclado total en la dirección z:
A partir de cierta distancia x, el contaminante ya no se puede dispersar más en z (mezclado total en z), y la concentración es constante a lo largo del eje z
El contaminante sólo se dispersa en la dirección y
52
( )
−
=2
2
2
2/12
y
y
y
eM
cσ
σπ
Donde M = Q /(u L)(La masa depositada M estádistribuida uniformemente
entre z=0 y z=L)
( )
−
=2
2
2
2/12
y
y
y
eLu
Qc
σ
σπ
y
c
y = 0
yσ
Sólo se considera la dispersión en la
dirección y
(Modelo gaussiano en 1D)
53
Lcontaminante
Efecto de la altura de mezclado (2)
La existencia de una altura de mezcla a media altura provoca la acumulación del contaminante y un incremento de la concentración con respecto a la dispersión en dos dimensiones.
Altura de mezclado
Ver siguiente diapositiva
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10-8
10-7
10-5
10-3
X / Km
c u /Q
m-2
1 100.1 100
10-6
10-4
(Escala logarítmica)
H=300H=100
H=50
H=20
L=100
L=300
L=1000L=2000
Altura de mezclado
Líneas obtenidas para y=0
Concentración conforme al modelo en una dimensión
10
55
Resumen modelos gaussianos
1 DIMENSIÓN: Dispersión horizontal (eje y) únicamente
( )
−
=2
2
2
2/12
y
y
y
eM
cσ
σπ
( )
−
=2
2
2
2/12
y
y
y
eLu
Qc
σ
σπ
M = Q / u L(masa depositada por unidad de superficie)
( c siempre ha de salir en unidades de masa / volumen )
56
Resumen modelos gaussianos
2 DIMENSIONES: Dispersión horizontal (eje y) y vertical (eje z)
( )
−
−
=2
2
2
2
22
2zy
zy
zy
eeM
cσσ
σσπ
M = Q / u (masa depositada por unidad de longitud)
( )2
2
2
2
22
2zy
Hzy
zy
eeu
Qc
σσ
σσπ
−−−
=
z � z - H
( c siempre ha de salir en unidades de masa / volumen )
57
Resumen modelos gaussianos
3 DIMENSIÓNES Dispersión en las 3 direcciones del espacio
masa depositada en un instante dado
( )
−
−
−
=2
2
2
2
2
2
222
2/32
zyx
zyx
zyx
eeeM
cσσσ
σσσπ
σ = (2 K x / u)1/2
Coeficientes de dispersión que dependen de la distancia a la fuente y la velocidad del viento
( c siempre ha de salir en unidades de masa / volumen )
58
Ascenso de la columna de humo (ascenso vertical)
h
∆h
El humo asciende debido a:
• momento inicial (velocidad)
• diferencia de temperatura (aire caliente es menos denso)
Fórmula de Holland:
∆h = Vs D / u { 1.5 + 2.68 × 10-3 P D (Ts-Ta)/Ts } (en metros)
Vs = velocidad de salida del gas en m/s
D = diámetro de la chimenea en m
u = velocidad del viento en m/s
P = presión en milibares
Ts = temperatura de la chimenea en K
Ta = temperatura atmosférica en K
59
⇒ Uso del modelo gausiano para efectos a largo plazo
( ) ( )∑ ∑ ∑ ×=viento
aatmosféricdestabilida fuentes
ii z,y,xcFrecuenciaz,y,xc
Cuando se necesita una estimación a largo plazo, se realiza un promedio sobre todas las condiciones atmosféricas, fuentes y direcciones del viento:
2.5 Modelos sofisticados2.5.1 Refinamientos del modelo gaussiano
60
⇒ Efecto de los edificios en una columna de humo
� Cuando la fuente se encuentra sobre un edificio, ésta debe tener una altura suficiente con respecto al tejado del edificio para evitar la dispersión del humo hacia el suelo.
El criterio recomendado indica que, como mínimo, la altura de la chimenea ha de ser al menos una vez y media la del edificio
11
61
2.5.2 Incorporación de cinética de reacción en el modelo gaussiano
En muchas ocasiones el contaminante emitido no es estable en aire y sufre una reacción química que lo hace transformarse en otra sustancia.
1. Se calcula la concentración con el modelo gaussiano en una posición dada.
2. Se establece cuánto tiempo tardará la molécula en llegar hasta dicha posición desde la fuente (velocidad del viento)
3. Se multiplica la concentración por un factor de desintegración que tiene en cuenta cómo decae la cantidad de contaminante con el tiempo
PROCEDIMIENTO
62
Cinética de primer order:dC / dt = -k C → C/C0 = e-kt
Tiempo de vida media: t1/2 = ln 2 / k = 0.693 / k
Factor de destrucción/desintegración (f):
C = Cgaus * f
f = exp(-0.693 t / t1/2) = exp(-0.693 x / u t1/2)
63
2.5.3 Modelos de celda múltiple
x
y
z � Son los que se utilizan en la práctica para estimar concentraciones de contaminante en regiones definidas (ciudades, por ejemplo)
� Dividen el volumen total de aire en pequeñas celdas en las que se almacena, de manera numérica, las concentraciones de varios contaminantes
� El modelo tiene en cuenta las reacciones químicas sufridas por los contaminantes (vidas medias, constantes de velocidad) así como los flujos de materia que pasan de una celda a sus vecinas
64
Concentraciones iniciales (t=0)
3- Cálculo de la dispersión
4- Cinética química
Condiciones atmosféricas, (vientos, humedad)
5- Nuevas concentraciones
t = t +
∆t
Protocolo de cálculo
Insolación (intensidad de luz, nubes)
Emisiones
(modelos gaussianos)
(constantes de velocidad)
65
Concen
tración de
NO, N
O2y O
3/ pp
m
0
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0
10
20
30
40
50
Concen
tración de
CO / ppm
Hora del día
24 03 06 09 12 15 18 21 24
NO
CO
NO2 O3
NO + HC + O2 + h ν → NO2 + O3
HC + SOx + NOx → PM
66
Obtención de modelos de dispersión
http://www.epa.gov/ttn/scram
Agencia de protección del medio ambiente (EPA)