1

1

Tema 2: Modelos de concentración de contaminantes atmosféricos

2.1 Introducción a los modelos de concentración y tipos principales

2.2 Estabilidad y turbulencia atmosférica: fundamentos

2.3 Modelos de celda fija estacionaria y no estacionaria

2.4 Modelos de dispersión: modelo gaussiano para contaminantes que no reaccionan

2.5 Modelos sofisticados

2.5.1 Refinamientos del modelo gaussiano

2.5.2 Incorporación de cinética de reacción

2.5.3. Modelos de celda múltiple

2

2.1 Introducción a los modelos de concentración y tipos principales

� Son protocolos matemáticos que proporcionan estimacionesde concentración de contaminante en función de una serie de parámetros meteorológicos, químicos, topográficos y de cantidad y velocidad de emisión.

PARÁMETROS DE ENTRADA:

• Cantidad de contaminante emitida por unidad de tiempo. Posición y altura de emisión.

• Velocidad y dirección de los vientos dominantes. Estabilidad atmosférica. Altura de mezclado.

• Comportamiento químico del contaminante: posibles reacciones, vida media.

3

Tipos principales

MODELOS DE CELDA FIJA

(vertidos homogéneos)

MODELOS GAUSSIANOS DE

DISPERSIÓN

(vertidos puntuales)

xy

z

MODELOS COMBINADOS

(celda múltiple, etc..)

4

Velocidad de acumulación

Velocidad de entrada

Velocidad de Salida

Velocidad de creación

Velocidad de destrucción= - + -

Fundamento básico

Todos los modelos de concentración están basados en balances de materia en el interior de un determinado volumen de aire:

Variación (derivada) de concentración de contaminante con respecto al tiempo

5

Gradientes de temperatura

1. El aire caliente es menos denso y tiende a ascender.

2. Un ascenso de aire caliente produce una expansión del gas, porque la presión disminuye con la altura.

d P = ρ g d z

3. La expansión del gas se hace a costa de su energía interna: el aire se enfría:

“entalpía” perdida: d H = n Cp dT

2.1 Estabilidad y turbulencia atmosférica: fundamentos

Esquema simple:

Calor específico molar a presión constante

6

n Cp dT = V dP (proceso adiabático)

Gradiente adiabático del aire: λ = d T / d z = g M / Cp

Gradiente adiabático:

ascenso de una masa de aire seco en ausencia de transferencias de calor

con el aire circundante. • Es un proceso isoentrópico (no hay transferencia de calor, ds = 0)

Termodinámica: dH = n CpdT = TdS + Vdp

Ejercicio. Estimar el gradiente adiabático de aire seco. Datos: M (Masa molecular promedio del aire) = 29 g/mol,

Cp (calor específico a presión constante del aire) = 7/2 R

2

7

Estabilidad atmosférica

� La existencia o no de corrientes verticales (atmósfera estable o inestable) se deduce de la comparación entre el gradiente adiabático

(variación de temperatura de una masa ascendente de aire) y el gradiente real de temperatura (aire circundante)

adiabáticoreal

T

z

T

z

ATMÓSFERA ESTABLE ATMÓSFERA INESTABLE

El aire ascendente está a menostemperatura que el circundante:

vuelve a bajar

El aire ascendente está a mástemperatura que el circundante:

sigue subiendo8

Inversiones térmicas

Representan la situación de máxima estabilidad, en la que el gradiente real de temperaturas es positivo (la temperatura aumenta con la altura)

T

z

adiabáticoreal

• Inversión de subsidencia: zona de altas presiones

• Inversión por irradiación: durante la noche el aire cercano al suelo es más frío.

• Inversión marina: cuando llega a la costa aire frío en contacto con el agua

• Inversión topográfica: el aire frío “rellena” los valles

TIPOS:

9

Inversiones térmicas y altura de mezclado

� La existencia de una zona de inversión equivale a la existencia de una “barrera” que impide la dispersión de los contaminantes por encima de una determinada altura. Dicha barrera determina la “altura de mezclado” (H)

T

z

Aire caliente

Aire frío

Hcontaminante

10

Clases de atmósfera según su estabilidad

T

z

Inversión

Gradiente en altitud de temperaturas:

A

B

C

D

E

F Isoterma

inestable

estable

11

Tabla 2.1: Clases de atmósfera según su estabilidad (Turner)

díaRadiación solar

Fuerte moderada débilViento de superficie

( a 10 m) / m s-1 nubes ≥ 4/8 nubes < 3/8

Noche, o nublado

0-2

2-3

3-5

5-6

≥6

A

A-B

B

C

C

A-B

B

B-C

C-D

D

B

C

C

D

D

-

E

D

D

D

-

F

E

D

D

Clases de atmósfera según su estabilidad (II)

� La clase de atmósfera viene determinada por la cantidad de insolación (por la noche es cuando más tendencia existe a que aparezcan inversiones). Así mismo un fuerte viento produce estabilidad vertical

12

viento: u

Ciudad

H

x

y

W

L

z

Q

c

Concentración de fondo, b

2.3 Modelos de celda fija estacionaria y no estacionaria

� Se utilizan para obtener estimaciones de concentración de contaminante para emisiones difusas, diseminadas a lo largo de una determinada superficie, como es el caso de una ciudad

Concentración en el interior de la ciudad

(concentraciones dadas habitualmente en unidades de

masa/volumen)

3

13

Hipótesis esenciales del modelo de celda fija (1):

1- La ciudad es un rectángulo con dimensiones W y L, con uno de sus lados paralelo a la dirección del viento. Normalmente L se refiere a las dimensiones de la ciudad en la dirección del viento

2- La turbulencia atmosférica produce el mezclado completo y total de los contaminantes hasta la altura de mezclado H y no hay mezclado por encima de esa altura. El resultado es que se puede asumir que existe una concentración homogénea c, que es igual en todo el volumen de aire sobre la ciudad.

Ciudad

H

x

y

W

L

z

Q

c

viento: u

14

Hipótesis esenciales del modelo de celda fija (2):

3- El viento sopla en la dirección x con velocidad u. Esta velocidad es constante e independiente del tiempo, lugar o elevación por encima del suelo.

4- La concentración de contaminantes que entra en la ciudad (x=0) es constante e igual a b, la llamada concentración de fondo

5- El índice de emisiones por unidad de área es q ( por ejemplo, en g s-1 ·m-2) con lo que la emisión total es Q=q A, siendo A=WL el área de la ciudad. El índice de emisiones es constante y no varía con el viento.

6.- Ningún contaminante entra o sale por los lados perpendiculares a la dirección del viento.

15

Q = q W L

masa por unidad de tiempo (g s-1)

Cantidad que entra = cantidad que sale

Ciudad

H

x

y

W

L

z

Q

cCelda fija estacionaria

En el estado estacionario (la concentración no varía con el tiempo):

Velocidad de acumulación

Velocidad de entrada

Velocidad de Salida

Velocidad de creación

Velocidad de destrucción= - + -

0 0 0

Índice de emisiones:

masa por unidad de tiempo y unidad de superficie (g s-1 m-2)

16

u b W H + q W L – u c W H = 0

c = b + q L / u H

entra sale

Celda fija estacionaria (2)

El balance de materia se reduce a:

Importante: la concentración es tanto más alta cuanto más larga sea la ciudad en la dirección del viento, y además, ésta es independiente de la anchura.

17

Promedio sobre diversas condiciones meteorológicas

c = Σ ci × fiConc. promedio

i

Suma para todas las condiciones meteorológicas

Frecuencia en la que se produce cada

condición meteorológica

18

Uso del modelo de celda para calcular reducción de emisiones

q1 c1 ¿q2? c2

q2 = (c2-b) u H / Lq1 = (c1-b) u H / L

q2 = q1 (c2-b)/(c1-b)

Problema práctico: Si para unas condiciones dadas un determinado nivel de emisión conduce a una concentración fija de equilibrio, ¿cuál ha de ser el nivel

de emisión para conseguir una concentración dada?

4

19

Modelo de celda no estacionaria

Ciudad

H

x

y

W

L

z

Q

c

u b W H + q W L - c u W H = W H L dc/dt

Cantidad que entra - cantidad que sale = cantidad que se acumula por unidad de tiempo

En el estado no estacionario la concentración puede variar con el tiempo:

entra sale se acumula

viento: uConcentración de

fondo, b

20

Modelo de celda no estacionaria (2)

L/u dc/dt = b + q L / (H u) - c

L/u dc/dt = ce - c

Solución: ( ce- c(t) ) / ( ce - b) = e-u/L t

(Ecuación diferencial de 1er orden)

21

2.4 Modelos de dispersión: Modelo gaussianopara contaminantes que no reaccionan

� Son los que se utilizan para estimar la concentración de contaminante producida por una fuente puntual, por ejemplo, la chimenea de una fábrica, o el escape de un depósito

Objetivo: ¿cuál es la concentración a cierta distancia de la fuente?

22

Formación de “penachos”

La combinación de la “fuerza” de emisión, la velocidad del viento y la turbulencia atmosférica da lugar a la formación de una estructura característica, que se denomina “penacho” (“plume” en inglés)

Momento inicial

+

flotación

Dirección del viento

23

Penachos según estabilidad atmosférica

Atmósfera neutra

Atmósfera inestable

(la turbulencia vertical deforma el flujo de humo)

Atmósfera estable

(el flujo de humo no se dispersa)24

Penachos según estabilidad atmosférica (2)

Capa superior estable, capa inferior neutra

Capa superior neutra, capa inferior estable

5

25

Instantáneo (unos segundos) Promedio (1/2 - 1 h)

Sea en un caso u en otro, el modelo gaussiano corresponde a un promedio

sobre cierto intervalo de tiempo:

Además, estos son útiles para distancias de hasta 20 Km. No sirven para problemas como la lluvia ácida, que implican cientos de Km.

26

x

dirección del viento

h

∆h

H

aire contaminado

y

z

¿ Cuál es la concentración en un un punto (x,y,z)?

Nomenclatura del modelo gaussiano:

Objetivo del modelo:

27

Fundamento del modelo gaussiano:

El modelo considera que el transporte del contaminante se produce por dos causas en principio independientes:

� Por el viento

� Por la turbulencia atmosférica

SIN VIENTO SIN TURBULENCIA

28

x

C

∆x∆y

∆z

Para separar adecuadamente la influencia de ambos factores (viento y turbulencia), consideraremos una caja de volumen ∆x ∆y ∆z que se muevecon el viento:

Deducción del modelo gaussiano:

Velocidad de acumulación

Flujos de entrada

Flujos de salidaΣ Σ=

Balance de materia en la caja:

Variación de masa de contaminante por unidad de tiempo (gr s-1)

viento: u

(de esta forma todos los flujos de entrada y salida en la caja serán debidos únicamente a la turbulencia)

29

K : constante de dispersión turbulentaCte de proporcionalidad

Nota: La ley de Fick fue propuesta originalmente para “difusión molecular”. En la atmósfera la dispersión de los contaminantes se produce por turbulencia, en lugar de por difusión, pero es una buena aproximación suponer que la forma matemática que regula este proceso es la misma.

x

cKFlujo

∂

∂−=

El flujo viene dado por la Ley de Fick, o primera ley de la difusión:

“El flujo de materia a través de una pared (cantidad de masa por unidad de superficie y unidad de tiempo) es proporcional al gradiente de concentración, cambiado de signo, a través de la pared”

Efecto de la turbulencia: teoría de la difusión

masaÁrea × tiempo

=

30

1D Difusión en una dimensión:

x

cKFlujo

∂

∂−=

( )

−

=K

x

te

Kt

Mc

2

4

1

2/12/12 π

Masa depositada (t = 0)

( ) ( )[ ]2

2

x

cK

x

flujoflujo

t

c xxx

∂

∂=

∆

−=

∂

∂ ∆+

Balance de materia:

6

31

M =

32

Normalmente, el modelo de dispersión se expresa en términos de un coeficiente de dispersión en lugar de en la constante de dispersión turbulenta:

( )

2

2

2

2/12

σ

σπ

x

eM

c−

=

¿Por qué se llama modelo gaussiano?

( ) 2/12Kt=σ

x

c

X = 0

σ

(concentración en masa/longitud)

33

El coeficiente de dispersión se mide en metros y mide cuánto

se ha dispersado la masa inicial a cada

tiempo t

X/metros

34

1D 2D

3D

35

∆x∆y

∆z

∆x ∆y

∆z

∆x ∆y

∆z

∆x ∆y

∆z

Balance de materia aplicado en las tres direcciones del espacio:

Generalización del modelo gaussiano a tres dimensiones

Análogamente se obtiene

( )

−

−

−

=2

2

2

2

2

2

222

2/32

zyx

zyx

zyx

eeeM

cσσσ

σσσπ

(concentración en masa/volumen)

36

Aplicaciones del modelo gaussiano al problema de la dispersión de contaminantes en aire

� En tres dimensiones: vertidos puntuales e instantáneos

P. Ej. : escapes, emisiones discontinuas, etc...

� En dos dimensiones: vertidos puntuales y continuados en el tiempo

P. Ej. : chimeneas en industrias, escapes continuados, etc...

� En una dimensión: vertidos puntuales y continuados en el tiempo con mezclado total en una dirección

P. Ej. : chimeneas en industrias con baja altura de mezclado

7

37

x

C

Vertido puntual instantáneo en 3D

H

x0

El centro del vertido se mueve enla dirección x con la velocidad

del viento u

Se aplica al problema en el que una determinada masa de contaminante M es vertida súbitamente a tiempo t = 0

( )

−

−

−−

=2

2

2

2

2

20

222

)(

2/32

zyx

zyxx

zyx

eeeM

cσσσ

σσσπ

x0 = ut

38

Ejemplo: desastre de Bhopal

Vertido: 45 toneladas de Isocianato de metilo en un segundo a una altura

de 50 metros

3 de Diciembre de 1984

¿Concentración de isocianato?

Condiciones

• viento del noroeste de fuerza 1 m/s

• noche: Kx=Ky=0.45 m2s-1, Kz=0.20 m2s-1

( )( )2/12Kt=σ

39

-0.000001

0

0.000001

0.000002

0.000003

0.000004

0.000005

0.000006

0.000007

0.000008

0.000009

-100 200 500 800 1100 1400 1700 2000

Ejemplo: desastre de Bhopal (2)

Concentración de isocianato en la estación (a 1 kilómetro en la dirección noroeste-sureste) en función del tiempo:

40

Vertido continuado en el tiempo: modelo en 2D

Se aplica al problema en el que una cierta cantidad de contaminante es vertida de manera constante a lo largo del eje en el que sopla el viento

Dispersión en altura (eje z)

Dispersión en la dirección perpendicular al viento (eje y)

H

41

M = Q/u

Vertido continuado en el tiempo: modelo en 2D (II)

¿Cuánta masa se deposita en eje x por unidad de longitud?

(depende la velocidad del viento)

Q: índice de emisión (masa/tiempo)

u : velocidad del viento (longitud/tiempo)

¿Dónde se deposita la masa?

Se deposita a una altura H (altura efectiva de emisión)

Reemplazo z por z – H en el modelo gaussiano

42

Modelo gaussiano para penacho

2 DIMENSIONES: Dispersión horizontal (eje y) y vertical (eje z)

( )

−

−

=2

2

2

2

22

2zy

zy

zy

eeM

cσσ

σσπ

M = Q / u (masa depositada por unidad de longitud)

( )2

2

2

2

22

2zy

Hzy

zy

eeu

Qc

σσ

σσπ

−−−

=

z � z - H

8

43

Los coeficientes de dispersión dependen de la distancia a la fuente x y de las condiciones atmosféricas (K/u)

Coeficientes de dispersión para el modelo gaussiano en 2D

( ) ( ) ( ) 2/12/12/12/12/22 xuKuxKtK yyyy ===σ

� Necesitamos un coeficiente de dispersión en el eje y y en el eje z

( ) ( ) ( ) 2/12/12/12/12/22 xuKuxKtK zzzz ===σ

44

45

¡ Gráficaaproximada !

Consultar manuales

3

10

100

1000

10000

X / Km

σy / m

A B CD

EF

1 100.1 100

Determinación de los coeficientes de dispersión en función de la distancia a la fuente (dirección y):

Condicionesatmosféricas

46

¡ Gráficaaproximada !

Consultar manuales

1

10

100

1000

5000

X / Km

σz / m

A B

C

D

E

F

1 100.1 100

Determinación de los coeficientes de dispersión en función de la distancia a la fuente (dirección z):

47

Fórmulas para los coeficientes de dispersión para suelos urbanos

Estabilidad σy σz

A-B 0.32 x ( 1 + 0.0004 x)-1/2 0.24 x ( 1 + 0.0001 x)-1/2

C 0.22 x ( 1 + 0.0004 x)-1/2 0.20 x

D 0.16 x ( 1 + 0.0004 x)-1/2 0.14 x ( 1 + 0.0003 x)-1/2

E-F 0.11 x ( 1 + 0.0004 x)-1/2 0.08 x ( 1 + 0.0015 x)-1/2

Determinación de los coeficientes de dispersión en función de la distancia a la fuente

Generalmente: σy (urbano) > σy (rural)

σz (urbano) > σz (rural) 48

Modificaciones del modelo gausiano

x

Z

( )2z

2

2y

2

2

Hz

2

y

zy

eeu2

Qc

σ

−−

σ−

σσπ=

Contaminante absorbido por el suelo

Contaminante reflejado por el suelo

x

Z

C1

C2

( ) ( )

+

σσπ= σ

+−

σ

−−

σ−

2z

2

2z

2

2y

2

2

Hz

2

Hz

2

y

zy

eeeu2

Qc

Ej: SO2, NOx

Ej: CO, COVs

9

49

Casos particulares del modelo gaussiano en 2D:

2z

2

2y

2

2

H

2

y

zy

eeu

Qc

σ−

σ−

σσπ=

2z

2

2

H

zy

e1

Q

uc σ−

σσπ=

Contaminación a ras del suelo (z = 0):

A ras de suelo y en el eje del viento (z = 0, y = 0):

Este caso interesa por ser donde se encuentra la

población

Este caso interesa por ser donde se acumula la mayor contaminación

50

(Escala logarítmica)

10-8

10-7

10-5

10-3

c u /Q

m-2

1 100.1 100

10-6

10-4

H=300

H=100

H=50

H=20

X / Km

Modelo gaussiano en 2D a ras de suelo y en el eje del viento (z = 0, y = 0):

51

x

Z

L

y

Efecto de la altura de mezclado

Altura L a partir de la cual no se produce más dispersión: mezclado total en la dirección z:

A partir de cierta distancia x, el contaminante ya no se puede dispersar más en z (mezclado total en z), y la concentración es constante a lo largo del eje z

El contaminante sólo se dispersa en la dirección y

52

( )

−

=2

2

2

2/12

y

y

y

eM

cσ

σπ

Donde M = Q /(u L)(La masa depositada M estádistribuida uniformemente

entre z=0 y z=L)

( )

−

=2

2

2

2/12

y

y

y

eLu

Qc

σ

σπ

y

c

y = 0

yσ

Sólo se considera la dispersión en la

dirección y

(Modelo gaussiano en 1D)

53

Lcontaminante

Efecto de la altura de mezclado (2)

La existencia de una altura de mezcla a media altura provoca la acumulación del contaminante y un incremento de la concentración con respecto a la dispersión en dos dimensiones.

Altura de mezclado

Ver siguiente diapositiva

54

10-8

10-7

10-5

10-3

X / Km

c u /Q

m-2

1 100.1 100

10-6

10-4

(Escala logarítmica)

H=300H=100

H=50

H=20

L=100

L=300

L=1000L=2000

Altura de mezclado

Líneas obtenidas para y=0

Concentración conforme al modelo en una dimensión

10

55

Resumen modelos gaussianos

1 DIMENSIÓN: Dispersión horizontal (eje y) únicamente

( )

−

=2

2

2

2/12

y

y

y

eM

cσ

σπ

( )

−

=2

2

2

2/12

y

y

y

eLu

Qc

σ

σπ

M = Q / u L(masa depositada por unidad de superficie)

( c siempre ha de salir en unidades de masa / volumen )

56

Resumen modelos gaussianos

2 DIMENSIONES: Dispersión horizontal (eje y) y vertical (eje z)

( )

−

−

=2

2

2

2

22

2zy

zy

zy

eeM

cσσ

σσπ

M = Q / u (masa depositada por unidad de longitud)

( )2

2

2

2

22

2zy

Hzy

zy

eeu

Qc

σσ

σσπ

−−−

=

z � z - H

( c siempre ha de salir en unidades de masa / volumen )

57

Resumen modelos gaussianos

3 DIMENSIÓNES Dispersión en las 3 direcciones del espacio

masa depositada en un instante dado

( )

−

−

−

=2

2

2

2

2

2

222

2/32

zyx

zyx

zyx

eeeM

cσσσ

σσσπ

σ = (2 K x / u)1/2

Coeficientes de dispersión que dependen de la distancia a la fuente y la velocidad del viento

( c siempre ha de salir en unidades de masa / volumen )

58

Ascenso de la columna de humo (ascenso vertical)

h

∆h

El humo asciende debido a:

• momento inicial (velocidad)

• diferencia de temperatura (aire caliente es menos denso)

Fórmula de Holland:

∆h = Vs D / u { 1.5 + 2.68 × 10-3 P D (Ts-Ta)/Ts } (en metros)

Vs = velocidad de salida del gas en m/s

D = diámetro de la chimenea en m

u = velocidad del viento en m/s

P = presión en milibares

Ts = temperatura de la chimenea en K

Ta = temperatura atmosférica en K

59

⇒ Uso del modelo gausiano para efectos a largo plazo

( ) ( )∑ ∑ ∑ ×=viento

aatmosféricdestabilida fuentes

ii z,y,xcFrecuenciaz,y,xc

Cuando se necesita una estimación a largo plazo, se realiza un promedio sobre todas las condiciones atmosféricas, fuentes y direcciones del viento:

2.5 Modelos sofisticados2.5.1 Refinamientos del modelo gaussiano

60

⇒ Efecto de los edificios en una columna de humo

� Cuando la fuente se encuentra sobre un edificio, ésta debe tener una altura suficiente con respecto al tejado del edificio para evitar la dispersión del humo hacia el suelo.

El criterio recomendado indica que, como mínimo, la altura de la chimenea ha de ser al menos una vez y media la del edificio

11

61

2.5.2 Incorporación de cinética de reacción en el modelo gaussiano

En muchas ocasiones el contaminante emitido no es estable en aire y sufre una reacción química que lo hace transformarse en otra sustancia.

1. Se calcula la concentración con el modelo gaussiano en una posición dada.

2. Se establece cuánto tiempo tardará la molécula en llegar hasta dicha posición desde la fuente (velocidad del viento)

3. Se multiplica la concentración por un factor de desintegración que tiene en cuenta cómo decae la cantidad de contaminante con el tiempo

PROCEDIMIENTO

62

Cinética de primer order:dC / dt = -k C → C/C0 = e-kt

Tiempo de vida media: t1/2 = ln 2 / k = 0.693 / k

Factor de destrucción/desintegración (f):

C = Cgaus * f

f = exp(-0.693 t / t1/2) = exp(-0.693 x / u t1/2)

63

2.5.3 Modelos de celda múltiple

x

y

z � Son los que se utilizan en la práctica para estimar concentraciones de contaminante en regiones definidas (ciudades, por ejemplo)

� Dividen el volumen total de aire en pequeñas celdas en las que se almacena, de manera numérica, las concentraciones de varios contaminantes

� El modelo tiene en cuenta las reacciones químicas sufridas por los contaminantes (vidas medias, constantes de velocidad) así como los flujos de materia que pasan de una celda a sus vecinas

64

Concentraciones iniciales (t=0)

3- Cálculo de la dispersión

4- Cinética química

Condiciones atmosféricas, (vientos, humedad)

5- Nuevas concentraciones

t = t +

∆t

Protocolo de cálculo

Insolación (intensidad de luz, nubes)

Emisiones

(modelos gaussianos)

(constantes de velocidad)

65

Concen

tración de

NO, N

O2y O

3/ pp

m

0

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0

10

20

30

40

50

Concen

tración de

CO / ppm

Hora del día

24 03 06 09 12 15 18 21 24

NO

CO

NO2 O3

NO + HC + O2 + h ν → NO2 + O3

HC + SOx + NOx → PM

66

Obtención de modelos de dispersión

http://www.epa.gov/ttn/scram

Agencia de protección del medio ambiente (EPA)