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Elagualabasedenuestraexistencia:Geometría
ESPADNivelI
ÁmbitoCientíficoTecnológicoContenidos
Elagualabasedenuestraexistencia:Geometría
Enlastelevisionessehablaavecesdeinundaciones,delacantidaddeaguaquecaepormetrocuadrado.Sienalgúnmomentohascompradoaguaembotellada,seguramentehaselegidountipodeenvaseuotroenfuncióndesucapacidad(volumenquealberga)odesuforma.Sipiensasenestosdoshechos,lageometríaestáligadaanuestrarelaciónconelagua.
ImagendejarmolukenPixabay.LicenciaCC
1.Figurasplanas
Sipiensasenelcuerpohumanopartimosdeestructurassencillas,paraformarestructurasmáscomplejas.Algoparecidopasaconlageometría.
ImagendeskeezeenPixabay.LicenciaCC
Digamosque la "célula"de lageometríaeselpunto,yapartirdeellapodemosconstruirestructurasmáscomplejas, comosegmentos, líneaspoligonales,ypolígonos.
1.1.Polígonos
PolígonosAlunirdospuntosutilizandounaregla,obtenemosunsegmento.Alirencadenandosegmentosvamosobteniendounalíneapoligonal.Silalíneapoligonallacerramosuniendoelúltimopuntoconelprimero,hemosencerradounaregióndelplano,llamadapolígono.EnlasiguienteescenadeGeogebrapuedespracticarconestaidea:
Escenadeuser10235enGeogebra.org.LicenciaCC
Lasuperficiecontenidaporunalíneapoligonalcerradasellamapolígono.
Enlasiguientepresentación,descubriráscuálessonloselementosdeunpolígonoyenfuncióndeelloslostiposdepolígonosquetenemos:
Diapositiva1 Presentaciones
Observalasiguientefigura:
Actividad
PreguntadeSelecciónMúltiple
Solución
1.Incorrecto2.Correcto3.Correcto4.Incorrecto
Deentrelassiguientesopcionesseñalalascorrectas:
Polígonocóncavo
Cuadrilátero.
Paralelogramo
Rectángulo
Repasalapresentaciónanterioryobservaloselementosdelpolígonoyreflexionasobrecuálesdeellossonexclusivosdelospolígonosregulares.
El centro solo lo encontramos en polígonos regulares, y los otros elementos relacionados con él (radio y apotema)también.
CírculoycircunferenciaExisten figuras planas que no están de limitadas por una línea poligonal, pero sí por una línea curva. Como es el caso del círculo, que estádelimitadoporunalíneacurvacerradallamadacircunferencia,yquecumpleunacondiciónmuyespecial.Sitomamosunpuntodelplano,O,yunnúmeropositivor,ybuscamostodoslospuntosdelplanoqueestánadistanciardelpuntoO,obtendrásunacurvaplanaycerradallamadacircunferencia.
Elcírculoeslapartedelplanolimitadaporlacircunferencia.
Enlacircunferenciasepuedendistinguirlossiguienteselementos:
Centro:eselpuntosituadoensuinteriorqueseencuentraalamismadistanciadecualquierpuntodelacircunferencia.Radio:eselsegmentoqueunecualquierpuntodelacircunferenciaconelcentro.Cuerda:eselsegmentoqueunedospuntoscualesquieradelacircunferencia.Diámetro:eslacuerdaquepasaporelcentrodelacircunferencia.Arco:eslaporcióndecircunferenciacomprendidaentredosdesuspuntos.Semicircunferencia:eselarcoqueabarcalamitaddelacircunferencia.
Reflexión
Actividad
Imagendeelaboraciónpropia
Enunacircunferenciacuyoradiomide5cm,¿cuálesladistanciaentrecualquieradesuspuntosyelcentro?¿ysudiámetro?
Elradiodelacircunferenciaprecisamentesedefinecomoladistanciaexistenteentrecualquieradesuspuntosyelcentro.Luegoes5cm.Eldiámetroeseldobledelradio,luegoes10cm
MandalasypolígonosestrelladosUnpolígonoregularestrelladoseconstruyeuniendolosvérticesnoconsecutivos,deunpolígonoregularconvexo,deformacontinua.Formapartedenuestroartedesdehacemilesdeaños,ysonespecialmentefrecuentesenelarteislámico.UnaaplicacióndeestetipodeformaspoligonalessonLOSMANDALAS.
Casopráctico
Objetivos
1.2.Perímetroyárea
¿Quéeselperímetrodeunafiguraplana?La palabra perímetro, al igual que otras palabras relacionadas con las matemáticas se utilizan en un lenguaje cotidiano. Observa, la siguientenoticia:
Capturadepantalladelelpais.com
Yahemosvistoqueunpolígonoestáencerradoporunalíneapoligonalcerrada.Lomismoocurríaconelcírculoylacircunferencia.Simedimosestalíneapoligonal,ylalongituddelacircunferenciaestamoscalculandoelperímetrodelafiguraplana.
ImagendeintographicsenPixabay.LicenciaCC
Elperímetrodeunafiguraplana,enelcasodelospolígonoseslasumadelaslongitudesdesuslados.Elperímetrodeuncírculoseríalalongituddelacircunferencia(L),quesecalculaconlafórmula:L=2∏r,dondereselradio.
Sitomamosunacuerdade0,5metrosyqueremoshacerconellauncírculoderadio5cmyunpentágonoregulardelado3cm,¿tendremossuficiente?
Vamosacalcularporunladolalongituddelacircunferencia(L):L=2·∏·5=10·∏=31,4cmAhoracalculemoselperímetrodelpentágonoregular.Paracalcularelperímetro (P), tenemosquesumar la longituddetodossuslados:P=5·3=15cm.Alsumarambascantidades,obtenemos46,4cmqueesmenorque0,5m(50cm).
¿Quéeseláreadeunafiguraplana?Elperímetrodeunafiguraencierraunaporcióndelplano,cuyasuperficiepodemoscalcular.
Eláreadeunafiguracorrespondealamedidadelasuperficiequedichafiguraocupa.
Actividad
Casopráctico
Actividad
Parasabereláreadeunafiguraplana,recurrimosadistintosmétodossegúneltipodefiguraconlaquenosencontremos.CálculoporfórmulasPorejemplo,paralostriángulos,trapecios,paralelogramosypolígonosregularestenemosfórmulasquenosayudanacalculareláreadelafigura,conociendosuselementoscaracterísticos.Enlasiguienteimagenpuedesverlasprincipales:
ImagendeRodrigoenGeogebra.org.LicenciaCC
CálculodeáreaspordescomposiciónCuandonosencontramosconunpolígonoirregular,paracalcularelárearecurrimosaladescomposiciónenfigurasmássimplesyconocidas.Miraelsiguienteejemplo:
EscenadeJosepMariaNavarroCanutProyectoDescartes.LicenciaCC
PreguntaVerdadero-Falso
Verdadero Falso
VerdaderoElperímetrodelhexágonoregularsería6·2=12
Suáreaes
Verdadero Falso
Falso
Eláreadelrectánguloesbaseporaltura.Luegositiene5mdebasey2,3dealturaeláreatendríaqueser5·2,3=11,5m2
Verdadero Falso
VerdaderoLafigurapuededescomponerseendosrectángulosyuntriángulo:
Eláreadelrectánguloamarilloseria8cm2,ladelrectángulonaranja4cm2yladeltriángulo2cm2.Entrelastreshacenuntotalde14cm2.
Indicasilassiguientesafirmacionessonverdaderasofalsas:
Eláreadeunhexágonoregularde2dmdelado1,73dmdeapotemayes10,38dm2.
Eláreadeunrectángulode5mdebasey2,3mdealturaes9,12cm2
Eláreadelasiguientefiguraes14cm2,suponiendoquelacuadrículatiene1cmdelado
TriangulaciónCualquierpolígonopuedesdescomponerseentriángulos,seacualseasuformayportanto,independientementedeltipodepolígono.
Conocimientoprevio
ImagendeMagistermathematicae
enWikimediaCommons.LicenciaCC
ImagendeEricDétrez
enWikimediaCommons.LicenciaCC
Paraellosolotenemosqueunirvérticesnoconsecutivos.Unpolígonoden-vértices,sepuededescomponerenntriángulos,yhaydistintasmanerasdehacerlo.
2.Cuerposgeométricos
Nosotrospercibimoselmundoen tresdimensiones,aunqueenocasionesnonos interesehacer referenciaaunadeellas.Porejemplo,cuandohablamosdeunterrenodelcampodefútbol,encondicionesnormalesnonosinteresalacantidaddetierraquehayparaquecrezcaelcésped,solonosinteresalasuperficieolasdimensionesquetiene.Perositomamosunacajadezapatosyqueremosqueenellaquepaunabotadelnúmero41,sínosinteresasaberlastresdimensionesquetienelacaja(ancho,altoylargo).
Imagenderebel1965enPixabay.LicenciaCC
2.1.Poliedrosycuerposredondos
CuerposgeométricosLosobservamosdiariamenteenlosedificios,cajas,balonesdefutbol...hastaenunadelamásgrandesconstruccionescreadasporelserhumano:laspirámidesdeGizah(Egipto)
ImagendePexelsenPixabay.LicenciaCC
Sedenominancuerposgeométricososólidosaaquelloscuerposqueocupanunvolumenenelespaciodesarrollándoseporlotantoenlastresdimensionesdealto,anchoylargo;yestáncompuestosporfigurasgeométricas
Enlasiguientepresentaciónpuedesverlosdistintoscuerposgeométricosysusprincipalescaracterísticas:
Diapositiva1 Presentaciones
Utilizalasiguienteactividadpararepasaralgunosdelosconceptosvistosenlapresentación.
Unpoliedroesun queestálimitadoporcuatroomás .Acadaunode ellos se les conoce como . A los lados de estas caras se les conoce como
.Los sonlospuntoscomúnesdelasaristas.
Un es un cuerpo geométrico obtenido a partir de una figura plana que gira alrededor de un.Haytrescuerposderevoluciónqueaparecenconfrecuencia:el ,
elconoyla .
Comprobar
Completaelsiguientetexto:
Actividad
Actividaddesplegable
Lossiguientesobjetossondeusocotidiano.Indicaquétiposdecuerposgeométricosson,yaquésubtipospertenecen:
Imagen1 Imagen2
ImagendeMeditationsenPixabay.LicenciaCC ImagendePexelsenPixabay.LicenciaCC
Enlaimagen1aparecencuerposderevolución.Soncilindros.Enla imagen2apareceunacaja,queesunpoliedro,unprismaycomotodossusladossonparalelosdosados,esunortoedro.
Lospoliedrostienenunapropiedadmuycaracterísticaquerelacionaelnúmerodecarasconeldevérticesyeldearistas,seconoceconelnombredeTeoremaoFórmuladeEuler
ElteoremaEulernosindicalarelaciónexistenteentreelnúmerodecaras,aristasyvérticesdeunpoliedroconvexo:C+V-A=2
dondeCeselnúmerodecaras,VelnúmerodevérticesyAelnúmerodearistas.
EnlasiguienteescenapuedespracticarconelTeoremadeEuleryconalgunosconceptosdelospistosenlapresentación.
2.TiposdepoliedrosRelacióndeEuler
000
EscenadeJoséR.GaloSánchezalojadaenProyectoDescartes.LicenciaCC
Reflexión
Actividad
DesarrolloplanodeuncuerpogeométricoEldesarrollodeunpoliedroeslafiguraplanaqueseobtienealextenderlosobreunplano.Enlasiguienteimagenestáenlazadounpdfenelquepuedesverlosdesarrollosplanosdedistintospoliedros.Estosdesarrollosincluyenunaspestañasporsiteanimasaimprimirlosymontarlos.Telorecomendamosporqueesunejerciciomuyvisualyentretenido,ytenerlospoliedrosenlamanotepuedeayudaraentendersuspropiedades:
Paramontarlosolotienesquehacerdoblecesenlasaristasyenlaspestañas,yunirlos.
DadosderolUn juegode rolesun juegoenelque, talcomo indicasunombre,unoomás jugadoresdesempeñanundeterminadorol,papelopersonalidad.Enestosjuegosseusandadosconformasdepoliedros(lamayoríaregulares)queleaportanaljuegolapartedeazar.Sesuelenusardadosconestasformasyaqueporsuformaseofreceequidadenlastiradas.
ImagendeDiacriticaenWikimediaCommons.LicenciaCC
Conocimientoprevio
2.2.Áreasyvolúmenesdecuerposgeométricos
ÁreayvolumendeuncuerpogeométricoCuandocogemosunalatadetomate,podemoshablardecontinenteydecontenido.Porcontinente,entendemosalobjetoyporcontenidoaloquecontienedichoobjeto.De igual forma podemos hablar del área de un cuerpo geométrico, que sería la cantidad de metal que necesitamos para hacer la lata y delvolumen,queseríalacantidaddetomatequealbergalalata.
ImagendemarkusspiskeenPixabay.LicenciaCC
¿Cómosecalculaeláreadeuncuerpogeométrico?Secalculaapartirdeldesarrolloplano.Tomemosporejemploeldesarrolloplanodeuncilindro:
Sinosfijamosestácompuestoporelárealateralydosveceseláreadelabase.
Llamamosárealateralalasumadelasáreasdetodaslascaraslateralesdeuncuerpogeométrico.Llamamosáreatotalalasumadeláreadelasbasesydelárealateraldeuncuerpogeométrico.Loexpresamosasí:
ATOTAL=AB+AL
Sugerencia
Opcióncorrecta
Solución
1.Incorrecto(Retroalimentación)
Fijándoteeneldesarrollodelcilindro,¿cuálcreesqueseríaeláreadelcilindro?
Fíjatequetendríamoslabasesuperiorylabaseinferior
Noeseláreatotal,soloellateral
Actividad
PreguntadeElecciónMúltiple
2.Opcióncorrecta(Retroalimentación)3.Incorrecto(Retroalimentación)
¿Cómosecalculaelvolumendeuncuerpogeométrico?Encuerposgeométricoscomoelprismayelcilindro,calculamoseláreadelabaseymultiplicamosporlaalturadelafigura.Paralaesfera,elconoylaspirámideslasfórmulassonmáscomplejas.
Enlasiguientetablaserecogenlasprincipalesfórmulasparaelcálculodelasáreasylosvolúmenesdealgunoscuerposgeométricos:
Cuerposgeométricos Áreatotal Volumen
CUBO(aristaa)
PRISMARECTO(alturah) PBeselperímetrodelabase
PIRÁMIDERECTA(alturah,apotemalaterala)
CILINDRO(radioryalturah)
CONO(radior,generatrizgyalturah)
ESFERA(radior)
Sequiereconstruirundepósitoparaaguadelluviaenformacilíndrica,de12mdealturayderadiodelabase37m.Calculalasuperficiedeldepósito(notendríacubierta)yelvolumendeaguamáximoquepuedaalbergar.
Eláreatotal,seríalasumadelárealateralydeunadelasbasesdelcilindro,yaquenoestátapado:
AT=2∏·37·12+∏·372=7090,57m2
Paracalcularelvolumen,multiplicamoseláreadelabaseporlaaltura:
V=∏·372·12=51610m3
Unapiscinaconformadeortoedrotiene8mdelargoy4mdeancho.Sisabemosquecomomáximopuedecontener51,2m3deagua.Averigualaprofundidaddelapiscina.
Unortoedroesunprismarecto.Paracalcularsuvolumenmultiplicaríamoseláreadelabaseporlaaltura.Eláreadelabaseseríaelanchoporellargo.Luegosillamoshalaprofundidadyaplicamoslafórmuladelvolumentendríamos:51,2=8·4·h->51,2=32hEstamosanteunaecuacióndeprimergrado.Despejandolahobtendríamos:h=51,2/32=1,6mdeprofundidad
Casopráctico
Casopráctico
3.Resumen
PolígonosUnpolígonoeslasuperfícieinteriordeunalíneapoligonalcerrada.Puedenser:cóncavosoconvexosyregulares(todossusladosiguales)oirregulares(algúnladodesigual).Tambiénpodemosclasificarlosenfuncióndesunúmerodelados:triángulos,cuadriláteros,pentágonos...Lostriángulospuedenclasificarseen:acutángulos,rectángulosyobtusángulos,segúnsusángulosyen:equiláteros,isóscelesyescalenos, segúnsus lados . Los cuadriláterospuedenser:paralelogramos, trapeciosy trapezoides, según tengan ladosparalelosono.Losparalelogramossedividenen:cuadrados,rectángulos,rombosyromboides.CircunferenciaycírculoUnacircunferenciaesunalíneacurvacerradacuyospuntosestántodosalamismadistanciadeunpuntofijollamadocentro.Eslafiguraplanacomprendidaenelinteriordeunacircunferencia.
CálculodeperímetrosyáreasEn el siguiente vídeo se repasan las fórmulas del cálculo de áreas de las principales figuras planas. Además, vienedemostradasvisualmenteloquepuedeayudaramemorizarlasycomprenderlas:
VídeodeMarcosAlejandroErosaalojadoenYoutube
Poliedro.Áreayvolumendeunpoliedro.Eslaregióndelespaciolimitadaporpolígonos.Enelsiguientevídeorepasanlostiposdepoliedros,suselementosyelcálculodesuáreayysuvolumen:
Actividad
Actividad
Actividad
VídeodeMatiasVidoretalojadoenYoutube
CuerposredondosUncuerpode revoluciónesaquelqueseoriginaalgiraruna figuraplanaalrededordeuneje.Lascarasdeuncuerpoderevoluciónsoncurvas.Enel siguientevídeopuedes repasar losconceptos relacionadoscon loscuerposde revoluciónquehemosestudiado:cilindro,conoyesfera.
VídeodeunprofesoralojadoenYoutube
Actividad
4.Paraaprenderhazlotú
Cálculodeáreasdepolígonosregulares
ParapracticarÁreasdepolígonos
eligeopción
EscenadeJosepMariaNavarroCanutalojadaenProyectoDescartes.LicenciaCC
Cálculodeáreasdetriángulosycuadriláteros
Casopráctico
Casopráctico
ParapracticarÁreasdetriángulosycuadriláteros
eligeopción
EscenadeJosepMariaNavarroCanutalojadaenProyectoDescartes.LicenciaCC
UnpoliedroquecumpleelTeoremadeEuler,¿podríatenerelmismonúmerodecarasydearistas?
Noesposible,puessegúnlafórmuladeEulersitieneelmismonúmerodecarasquedearistas,losvérticestendríanqueser2,ynoexisteunpoliedrocondosvértices.
Sevaarestaurarel lateralylapartesuperiordeunatorreconformadeprismaoctogonalde12mdealta.Labaseesunoctógonoregularde3mdeladoy3,62metrosdeapotema.Silaempresaderestauracióncobra226eurosporcadametrocuadrado,¿cuálseráelpreciodelarestauración?
Reflexión
Casopráctico
Casopráctico
SabiendoqueelradiodelaTierraes6370km,calculalasuperficiedenuestroplaneta.
EláreadelaesferaesA=4∏r2,luegocomoconocemoselradiopodemosaveriguarsusuperficie.
A=4·∏·6370=509904363,8km2
¿Quévolumendeaguapuedealbergarunacuarioconformadeprismarectocuadrangular(ortoedro),sitienededimensiones120x60x50?
Sielespecialistanosindicaquecomomáximodeberíamosintroducirunpezporcada4500cm3(4,5litros),¿cuántospecescomomáximoentraránennuestroacuario?
ElVolumendelapeceraesde360000cm3,comounpeznecesitaunos4500cm3,comomuchopodremosintroducir80pecesennuestroacuario.
Casopráctico
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