MECANICA CUANTICA-I

TAREA # 6lunes 29/abril/2015

Fecha de entrega: lunes 11 de mayo de 2015.Despues de esta fecha habra un descuento de un punto por cada dıa de atraso.

Semestre 2015-2 Luis F. Urrutia

(I)(I-1)Aplicando directamente los operadores J2 y Jz muestre que al sumar los momentos angulares

L y K donde J = L+K, el ket

|J, M〉 = −

√

k

l + k|l, k; l − 1, k〉+

√

l

l + k|l, k; l, k − 1〉,

tiene J = l + k − 1, M = l + k − 1.

(I-2) Para el caso l = 1, k = 1, obtenga explıcitamente todos los estados de momento angulartotal en terminos de la base producto directo, sin emplear la Tabla de Coeficientes de Clebsh-Gordan.

(II)

(II-1) En la suma de momentos angulares l⊕ k, encuentre la expresion de las matrices D(J)M,M ′ en

terminos de D(l)

ml,m′

l

y D(k)

mk,m′

k

.

(II-2) Para momento angular orbital (l entero) y partiendo del hecho el ket |θ, φ〉, que representala direccion n(θ, φ) en la notacion estandard, puede obtenerse del ket |θ = 0, φ = 0〉 mediante unarotacion, muestre que

D(l)m,0(α = φ, β = θ, γ = 0) =

√

4π

2l + 1Y ∗lm(θ, φ).

(II-3) Use este resultado, mas las propiedades de ortogonalidad de los harmonicos esfericos paraprobar que

∫

dω D(J)M,M ′(α, β, γ) = δJ,0δM,0δM ′,0 dω =

dα

2π

dγ

2π

d(cos β)

2

donde J inicialmente es arbitario (entero o semientero).

(III)(III-1) A partir de la formula general (3.8.33 del Sakurai ) para las matrices de rotacion de Wigner

d(j)m′,m(β) pruebe las siguientes relaciones:

d(j)m′,m(β) = d

(j)m,m′(−β), d

(j)m′,m(−β) = (−1)m

′−m d(j)m′,m(β),

d(j)m′,m(β) = d

(j)−m,−m′(β),

[

D(j)m′,m (α, β, γ)

]∗

= (−1)m′−mD

(j)−m′,−m (α, β, γ).

(III-2) Pruebe la relacion

∫

dω[

D(J)MM ′(R)

]∗ (

D(K)N,N ′(R)

)

= δJ,K′δM,NδM ′,N ′

(

1

2J + 1

)

.

(IV)Un operador tensorial esferico de rango k se definio como on objeto que transforma bajo rotaciones

como

D†(R)T (k)q D(R) =

∑

q′

(

D(k)qq′ (R)

)∗

T(k)q′

(IV-1) A partir de la forma infinitesimal de esta definicion pruebe que las relaciones de con-

mutacion de T(k)q con los generadores de momento angular son

[

Jz,T(k)q

]

= hqT (k)q ,

[

J±,T(k)q

]

= h√

(k ∓ q)(k ± q + 1) T(k)q±1.

(IV-2) Empleando estas relaciones de conmutacion puebe que si X(k1)q1 y X

(k2)q2 son operadores

tensoriales esfericos, entonces

T (k)q ≡

∑

q1,q2

〈k1, k2; q1, q2|k, q〉 X(k1)q1

X(k2)q2

tambien lo es.

(V)Resuelva los problemas # 24 y # 28 del capıtulo 3 del libro Modern Quantum Mechanics, J..J.

Sakurai, 1994.