UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELAFACULTAD DE CIENCIASESCUELA DE COMPUTACIONMATEMATICAS DISCRETAS I (6106)

Prueba por Casos

Si una de las premisas es una disyuncion se puede proceder a demostrar por casos. Conside-rando cada uno de los terminos de la disyuncion se debe llegar a la misma conclusion. Este metodose basa en la Ley de demostracion por casos:

[(p ∨ q)→ r] ≡ (p→ q) ∧ (q → r)

Este metodo tambien es valido si una de las premisas es una disyuncion exclusiva. Esto sefundamenta en la implicacion:

p Y q ⇒ p ∨ q

Ejemplo:

p1 (a ∧ b)→ dp2 d→ (p→ ¬t)p3 q ∨ (p ∧ t)q ∴ (a ∧ b)→ q

Caso 1 Caso 21) (a ∧ b)→ d p1 1) (a ∧ b)→ d p12) d→ (p→ ¬t) p2 2) d→ (p→ ¬t) p23) q Caso 1 en p3 3) (p ∧ t) Caso 2 en p34) q ∨ ¬(a ∧ b) Adicion en (3) 4)¬d ∨ (¬p ∨ ¬t) Equiv. Implic. 2 veces5) ¬(a ∧ b) ∨ q Conmutativa en (4) 5) ¬p ∨ (¬d ∨ ¬t) Asoc/ Conmut en (4)6) (a ∧ b)→ q Equiv. Implic. en (5) 6) p→ (¬d ∨ ¬t) Equiv. Implic. en (5)

7) p ∧ p→ (¬d ∨ ¬t) Simplif. (3)/Conj. (6)8) ¬d ∨ ¬t MPP en (7)9) (¬d ∨ ¬t) ∧ t Simplif. (3)/Conj. (8)10) ¬d Silg. Disy. en (9)11) [(a ∧ b)→ d] ∧ ¬d Conj. (1) y (10)13) ¬(a ∧ b) MTT en (11)14) (a ∧ b)→ q Equi. Implic. en (13)

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Ejercicios:

Demuestre la validez de los siguientes argumentos logicos haciendo uso de la pruebapor casos.

(a) (Ley del Dilema Constructivo)

p1 p→ qp2 r → sp3 p ∨ rq ∴ q ∨ s

(b)p1 p ∧ q → rp2 (p→ r)→ sp3 ¬q ∨ tq ∴ q → s ∧ t

(c)p1 p→ sp2 s→ ¬tp3 q ∧ d→ (¬h→ ¬t)p4 (p ∨ q) ∧ (p ∨ d)p5 tq ∴ h

(d)p1 c Y ap2 c→ lp3 a→ zp4 c→ ¬zp5 a→ ¬lq ∴ l↔ ¬z

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