Tarea 5. 3. Anlisis de valores propios de la matriz.

Fabio Alejandro Gmez Gmez. Problema 3.A.2 Calcular los valores propios y vectores propios a mano y compararlos con Matlab para la

siguiente matriz.

A=[1 0 30 2 13 1 1

]

En Matlab.

Para determinar los valores y vectores propios se utiliza el comando eig, para esto se ingresa

en Matlab el siguiente comando [W,D]=eig(A). Donde D es la matriz diagonal de valores

propios y W es la matriz de vectores propios.

= [3.2880 0 0

0 1.8669 00 0 3.4211

]

= [0.5665 0.4153 0.71180.1531 0.9018 0.40420.8097 0.1200 0.5744

]

Calculo a mano.

Para calcular los valores propios de la matriz A, se determina a partir de la siguiente ecuacin.

() = ( ) = 0

Se resta la matriz A con la matriz diagonal de valores propios, quedando de la siguiente forma.

() = (1 0 3

0 2 13 1 1

)

Al realizar el determinante de ( ) queda la siguiente expresin.

13 + 22

2 + 113 21 = 0

Para determinar los valores de se utiliza el comando roots de Matlab, este arroja las races de

la ecuacin anterior. En el anexo 1 se presenta como se utiliza en comando en Matlab.

As los valores de que hacen cero la ecuacin son:

1 = 3.2880

2 = 3.4211

3 = 1.8669

Luego para determinar los vectores propios se determina a partir de la siguiente ecuacin

( ) = 0

La ecuacin anterior se expresa de la siguiente forma.

(1 )1 + 02 + 33 = 0

01 + 2 2 + 3 = 0

31 + 2 + (1 )3 = 0

La ecuaciones anteriores se despeja 3 para que estn en funcin de 1y 2 , como se

presenta a continuacin.

1 1 + 02 = 33

01 + 0.142 = 3

31 + 2 = 2.863

Para determinar los valores de 1 y 2, Se considera que 3 = 1 y se resuelve de la forma

w=A\B. El algoritmo utilizado para el clculo de estos se presentan en el anexo 2, donde la

matriz A son los trminos de la izquierda y el vector B son los trminos de la derecha de la

ecuaciones anteriores, as La matriz de vectores propios queda de la siguiente forma.

= [0.6996 1.2391 3.46050.1891 0.7037 7.5146

1 1 1]

Para comprobar si el proceso para determinar los valores propios y vectores propios, se realiz

correctamente, se realiza la siguiente igualdad

[] = [][]

Se evala los vectores propios de los valores propios de 3

[3] = [1 0 30 2 13 1 1

] [3.4605

7.51461

] = [6.4605

14.02921.8669

]

[3][3] = 1.8669 [3.4605

7.51461

] = [6.4605

14.02921.8669

]

De lo anterior se puede resaltar que el proceso para determinar los valores propios, los

resultados fueron similares a Matlab; adems, al determinar los vectores propios w, se

comprueba que la igualdad se logr.

Problema 3.B.3

Se ajusta el modelo = 0 + 11 + 22 con los datos de la tabla 3.2, a partir de la

descomposicin de valores singulares (SVD), se determinara la matriz diagonal S de valores

singulares de A (ordenados de mayor a menor) y las matrices U y V, tal que A=U*S*V. En el

anexo 3 se presenta el algoritmo que utiliza el comando svd y la forma para determinar los

valores de 0, 1, 2 resolviendo el modelo lineal del problema 3.B.3, si los datos se ajustan

bien al modelo.

Se presenta a continuacin la matriz S, arrojada por Matlab.

S =

5.5708 0 0 0 2.4495 0 0 0 0.9832 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Como el rango de la matriz X (rango de X=3) es igual al nmero de valores singulares, la matriz

S obtenida presenta 3 valores singulares, por lo que se concluye que los datos se ajustan bien

al modelo, lo cual se puede determinar los valores 0, 1, 2.

0 = 8.1147

1 = 3.6137

2 = 2.4844

Anexo 1.

Comandos utilizados para el problema 3.A.2

clc

clear all

A=[1 0 3; 0 2 1; 3 1 -1];

[W,D]=eig(A)

%(-x.^3)+(2.*(x.^2))+(11.*x)-21

M=[-1 2 11 -21]

r=roots(M)

Anexo 2

Vectores propios del problema 3.A.2

%Calculo de vectores propios

da=-3.2880; %landa 1

db=3.4211; %landa 2

dc=1.8669; %landa 3

Aa=[1-da 0; 0 2-da;3 1 ];

Ba=[-3;-1;-(-1-da)];

Wa=Aa\Ba

Ab=[1-db 0; 0 2-db;3 1 ];

Bb=[-3;-1;-(-1-db)];

Wb=Ab\Bb

Ac=[1-dc 0; 0 2-dc;3 1 ];

Bc=[-3;-1;-(-1-dc)];

Wc=Ac\Bc

W=[Wa Wb Wc]

Anexo 3

%Problema 3.B.3

%SVD

function iflag=SVD()

clear all

clc

close all

format short

iflag=0

Y = [1.53;1.11;2.83;4.39;4.02;5.92;2.00;3.23];

X = [1 0 1;1 1 0;1 1 1;1 1 2;1 2 1;1 2 2;1 2 0;1 0 2];

rank(X)

[U,S,V] = svd(X)

s=svd(X)

Sinv = zeros(size(S'));

Sinv(1:3,1:3) = inv(S(1:3,1:3));

b=V*Sinv*U*Y

iflag=1

return