Post on 31-Jan-2016
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SUCESIONES INFINITAS
Una sucesión es una lista de números
en un orden dado.
Cada etc., son los términos de la sucesión.
El término se llama n-ésimo término.
Ejemplo 1: 2, 4, 6,…, 2n,…
El entero n se denomina índice de e indica donde aparece en la lista.
La sucesión es una función que envía e y en general el entero positivo
n al n-ésimo término , por lo tanto:
Ejemplo 2, la función asociada a la sucesión 2, 4, 6,…, 2n,… envía y así
sucesivamente.
El comportamiento general de las sucesiones se describe por medio de la fórmula
Igualmente podemos hacer que el dominio sea los enteros mayores un número dado .
Ejemplo 3: la sucesión 12, 14, 16, 18, 20,… se describe por medio de la fórmula o por
medio de la fórmula
Las sucesiones pueden describirse anotando las reglas que especifican sus elementos:
√ ( )
( )
O bien listando sus términos:
* + {√ √ √ √ }
* + {
( )
}
* + {
}
* + * ( ) +
Una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el
conjunto de los enteros positivos.
O también:
* + {√ }
Convergencia de sucesiones.
Teorema 1:
Ejemplo 4: Sea
Determine si * + converge o diverge.
Solución:
( )
d e e
( )
(
)
Entonces por el teorema 1(i)
(
)
Por lo tanto, la sucesión * + converge.
Ejemplo 5: Determine si cada sucesión diverge o converge.
a) * + {
} b)* + *( ) +
𝑛
𝑎𝑛 𝐿
Una sucesión {an} tiene el límite L, o converge a L, lo cual se denota por
Si para todo 𝜀 > existe un número positivo N tal que
𝑎𝑛 𝐿 < 𝜀 siempre que n > N.
Si tal número L no existe, la sucesión no tiene límite o diverge.
𝑖) S 𝑥
𝑓(𝑥) 𝐿 e ces 𝑛
𝑓(𝑛) 𝐿.
𝑖𝑖) S 𝑥
𝑓(𝑥) ∞ ( b e ∞)e ces 𝑛
𝑓(𝑛) ∞ ( b e ∞).
Sea *𝑎𝑛+ una sucesión infinita y sea f(n) = 𝑎𝑛, donde f(x) existe para todo
número real 𝑥 .
Solución (a):
( )
(
) ∞
Entonces,
(
) ∞
Por lo tanto la sucesión diverge.
Solución (b): Si tomamos n = 1, 2, 3,… vemos que los términos de *( ) + oscilan entre 1 y
– 1:
1, – 1, 1, – 1, 1, – 1,…
Por lo tanto,
(( ) ) e s e s ces d e e.
Teorema 2:
Ejemplo 6: Determine si cada sucesión diverge o converge
) {(
)
} ) *( . ) +
Solución (a):
De acuerdo al teorema 2(i),
{(
)
} |
| <
Por lo tanto la sucesión converge.
Solución (b):
*( . ) + ∞ . >
Por lo tanto la sucesión diverge.
𝑖) 𝑛
𝑟𝑛 𝑠𝑖 𝑟 <
𝑖𝑖) 𝑛
𝑟𝑛 ∞ 𝑠𝑖 𝑟 >
Teorema 3: Teorema de intercalación para sucesiones infinitas.
e c e e de s ces {
}
Solución:
, multiplicando la desigualdad por
(
)
e e
de s
Por el teorema de intercalación se deduce:
Teorema 4: Las seis sucesiones siguientes convergen a los límites que se listan:
𝑛
𝑎𝑛 𝐿 𝑛
𝑐𝑛
𝑛
𝑏𝑛 𝐿
Si *𝑎𝑛+ * 𝑏𝑛+ *𝑐𝑛+ son sucesiones infinitas tales que 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑐𝑛
para todo n, y si
Entonces,
) 𝑛
𝑛
𝑛 )
𝑛 √𝑛𝑛
) 𝑛
𝑥1𝑛 (𝑥 > )
) 𝑛
𝑥
𝑛 𝑛
𝑒𝑥 ) 𝑛
𝑥𝑛 ( 𝑥 < ) ) 𝑛
𝑥𝑛
𝑛!
En las fórmulas (3) a la (6), x permanece fija cuando n ∞
EJERCICIOS
En los ejercicios 1 a 20, escriba los primeros cuatro elementos de la sucesión y determine si es
convergente o divergente. Si la sucesión converge, calcule su límite.
) {
} ) {
} ) {
} ) {
} ) {
√ }
) * ( . ) + ) { ( )
} ) {
se
} ) {
} ) {
( )
√ }
) {
} ) {
⁄} ) √
) {(
)
⁄
}
SERIES INFINITAS
DEFINICION:
La sucesión definida como:
.
.
.
∑
.
.
.
es la sucesión de sumas parciales de la serie, donde es la n-ésima suma parcial. Si la sucesión
de sumas parciales converge a un límite L, se dice la serie converge y que su suma es L. es decir:
∑
Si la sucesión de sumas parciales de la serie no converge, decimos que la serie diverge.
𝒂𝟏 𝒂𝟐 𝒂𝟑 𝒂𝒏
Dada una sucesión infinita *𝑎𝑛+ de números, una expresión de la forma:
es una serie infinita. El número 𝒂𝒏 es el n-ésimo término de la serie.