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MODELOS SARIMASeries Estacionales

Alipio Ordoñez M.

Lima - PERUali1fom@Yahoo.com

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INTRODUCCION Los modelos SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s , son usados para el análisis de series de tiempo ESTACIONALES; y estas a su vez pueden ser:

ESTACIONARIAS.-Cuando las componentes son constantes através del tiempo( Modelos estacionales puros-SARMA),

No ESTACIONARIAS.- En el caso de que las componentes(media,tendencia y estación), ó alguno de ellos, cambian através del tiempo.

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Estructura General SARIMA

Los valores de “d”,”D” y “” deben ser identificados en la siguiente estructura general:

Y para ello debe iniciarse el proceso exploratorio del;

Gráfico de la serie y en el

Correlograma respectivo.

tstSDs

d BBZBB )()()()(

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Análisis Exploratorio para una serie Estacional

Gráfico de la Serie

Original, Zt 2Zt. sZt 2sZt

Transformada, Zt. 2Zt

. 2 s

Zt

. Correlograma de la Serie Original,. Zt 2Zt 2sZt

Transformada, Zt. 2Zt

2 s

Zt

NOTA:Dentro de cada clase de modelosLos valores de “d”y “D” se elige cuando la variancia es minima, y el valor de -1, cuando la variancia es estable.

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Transformación de la Serie

TRANSFORMAR LA SERIE.-

Para tratar la no estacionariedad en la variancia. La transformacion de Box-Cox, es la más usada para estabilizar la variancia

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Apropiado para las series de tiempo que exciben una intensa variación en la varianza através del tiempo.La estrategia para su estudio,

sugiere intensamente seguir los siguientes pasos:

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Se utiliza para tratar la existencia de una pendiente en la variación estacional

Se recomienda tomar “D = 0, ó 1” dife-rencias estacionales.

Si el correlograma para los periodos estacionales s,2s,3s,...,Ks exhibe un decaimiento rapido, D=0,

Si el correlograma para los periodos estacionales s,2s,3s,...,Ks no exhibe decaimiento rapido, D=1,

Es poco frecuente tomar D=2.

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DIFERENCIACION ESTACIONAL

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o diferenciación sucesiva,se usa Para tratar la no estacionariedad en media.

Se recomienda tomar “d = 1, o 2” dife-rencias consecutivas.

Si fluctua alrededor 0 , d=0,

Si hay segmentos que difieren en nivel, pero tienen la misma pendiente, d=1,

Si hay segmentos que difieren en nivel y en pendiente, d=2

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DIFERENCIACION REGULAR

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ELECCION DE “p”,y “q”.- Se realiza analizando las fac y facp para rezagos menores a la longitud “S” del periodo estacional.

4ELECCION DE “P”,y “Q”.- Se fijan analizando los fac y facp para rezagos estacionales s,2s,3s,...Ks. Los primeros pocos facp0 determinan el orden SAR( P=?), y los primeros pocos fac 0 determinarán el orden SMA(Q= ?).

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IDENTIFICACION DE LOS ORDENES DEL MODELO

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MODELOS MODELOS ESTACIONALES PUROSESTACIONALES PUROS

tsts BZB )()(

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Modelos Estacionales Estacionarios

Estos modelos tienen como principal característica una variación constante estacional que fluctua alrededor del nivel medio de la serie.

Su Correlograma solo tiene valores 0, en los rezagos estacionales; s 2s,3s,...,ks.

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Modelo Estacional Puro SAR(1)

tTt ZZ 122.01

et es una N(0,0.009)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

95 96 97 98 99 00 01 02 03

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CORRELOGRAMA-SAR(1)CORRELOGRAMA-SAR(1)

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AA

Estructura ESTACIONAL Estructura ESTACIONAL PURA...1PURA...1

tts

tPstPstt

ZB

ZZZ

0

10

)(

...

Proceso Autoregresivo Proceso Autoregresivo EstacionalEstacional

(SAR)(SAR)

Analogamente a los procesos ARMA, pueden tener cualquiera de las siguientes estructuras estacionales:

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BB

Estructura ESTACIONAL PURA...2

tot

QStQSttot

BZ

Z

)(

...

Proceso Medias Moviles Proceso Medias Moviles EstacionalEstacional

(SMA)(SMA)

CC

tsts

QstQsttPstPstt

BZB

ZZZ

)()(

......

0

110

Proceso Mixto SARMA(P,Q)Proceso Mixto SARMA(P,Q)

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MODELOS ESTACIONALES MODELOS ESTACIONALES NO ESTACIONARIOSNO ESTACIONARIOS

Producción Nacional de Producción Nacional de Pepino en el PerúPepino en el Perú

tstsDs BZBB )()()1(

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Modelos Estacionales No Estacionarios

La no estacionariedad puede presentarse en la variancia o en la variación estacional;

Necesitan una diferencia estacional D=1, para ser estacionarios; pues sus fac 0, en los rezagos:s 2s,3s,...,ks;son caracteristicas de un decaimiento lento.

Puede necesitar una transformación -1<1, para estabilizar su variación estacional.

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Producción Nacional de Producción Nacional de Pepino.Pepino. Variación Estacional No Variación Estacional No

Estacionaria..?Estacionaria..?

0

2

4

6

8

10

90 92 94 96 98 00 02

Mile

s d

e T

M

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Correlograma de una ST NO Estacionaria en

Estación La inspección gráfica y numerica del correlograma se realiza teniendo en cuenta solo los periodos multiplos de la estación.

Las ¨FAC ( j ), Decaen lentamente a “0”, Ya que las fac más alla del rezago 24 son 0. Y esto será una señal de que es necesario tomar una diferencia estacional D=1. Si las FACP, Por lo general deben estas deben estar dominadas por un decaimiento infinito a “0”

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Correlograma Producción de Pepino. Perú 1990-2003

Rezagos 36, 48 y 60 son 0

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Serie con 1ra.Dif. Estacional

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03

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Correlograma Serie con D=1

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Estructuras Estacionales No Estacionarias

La estructura de los modelos SARIMA(P,D,Q), son determinados en la inspección gráfica y numerica del correlograma de la serie Difereciada y/o Transformada, que fue necesaria para arribar a una serie estacionaria. AUTOREGRESIVA -SARI(P,D))AUTOREGRESIVA -SARI(P,D)) .- Donde el valor “p” es el

numero de los primeros rezagos diferentes de “0”, en la FACP MEDIAS MOVILES-SIMA(D,Q)MEDIAS MOVILES-SIMA(D,Q).- En Analogia a los procesos AR(.), El valor de “Q” se determina como el numero

de rezagos diferentes de “0”, en las FAC. AUTOREGRESIVA DE MEDIAS AUTOREGRESIVA DE MEDIAS MOVILES- MOVILES- ARIMA(P,D,Q)ARIMA(P,D,Q) , los valores de”P” y “Q” determinan el decaimiento hacia cero.en ambas funciones FAC, y FACP respectivamente

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Estimación del modelo SARI(2,1)

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Diagnóstico del modelo SARI(2,1)

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La ecuación es obtenida desde la salida de estimación como; sZt =0.0931* at,

con at= -0.4242 at-12-0.3092at-24+ et-.

Y la ecuación final para los pronosticos a usarse es;

Zt =0.0537+0.5758Zt-12+0.115Zt-24 +0.3092Zt-36.

Pronóstico del modelo SARI(2,1)

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Pronóstico con SARI(2,1)

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Estimación del modelo sIMA(1,1)

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Correlograma del residual sIMA(1,1)

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Estructura Pronóstico-SIMA(1,1)

Desde el cuadro de estimación la ecuacion para pronosticos a ser usado es;

sZt =0.0955 + 0.607 t-12 + t o equivalentemente;

Zt = 0.0955 + Zt-12+ 0.607 t-12

Asi el pronostico para 2003:06 es;Z03:06= 0.0955+ Z02:06+0.60702:06 =

t-

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Pronósticos con SIMA(1,1)

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Estimación del modelo SARIMA(1,1,1)S

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Correlograma del residual SARIMA(1,1,1)S

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Estructura de Pronosticos del proceso SARIMA(1,1,1)S

La ecuación de pronósticos se formula desde el cuadro de estimación; SZt =0.0713+ at; con at = 0.3143at-12+0.8533 t-12 Desde el cual se obtiene la ecuación de pronóstico;

Zt=0.0489+1.3143Zt-12-0.3143Zt-24+0.8533 t-12

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Pronósticos del SARIMA(1,1,1)S

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MODELOS MODELOS ESTACIONALES NO ESTACIONALES NO ESTACIONARIOS ESTACIONARIOS

MULTIPLICATIVOSMULTIPLICATIVOS

Logaritmo de la Producción Logaritmo de la Producción Nacional de Pepino en el PerúNacional de Pepino en el Perú

tstsDsd BBZBBBB )()()()()1()1(

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Modelos Estacionales Multiplicativos

La no estacionariedad puede presentarse en cualquiera de las componentes de la serie, y su relacion es multiplicativa;

Se necesita una diferencia estacional D=1, cuando los son fac 0, en los rezagos:3s,4s...,ks.

Se necesita una diferencia regular d=1, cuando los son fac 0, en los rezagos:4,5,...s-1.Y esto indica la presencia de una tendencia en la serie.

Si la Variancia es proporcional a la media.(Grafico de dispersión Rango VS Media se alinean a una linea recta con pendiente Positiva) -1<1.

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Grafico de dispersion:Rango vs. Media(Rango=2.98Media; r=0.58)

0

2

4

6

8

10

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

RANGO

MEDIA

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Serie Transformada (log.Pepino)

-3

-2

-1

0

1

2

3

90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02

Log(Pepino)

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Correlograma(Log.Pepino)

Rezagos 36, 48 y 60 son 0

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Correlograma(Log.Pepino, D=1)

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Ajuste del SARIMA(0,0,1)(2,1,0)

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Diagnóstico del SARIMA(0,0,1)(2,1,0)

43

Ajuste del SARIMA(2,0,1)(2,1,0)

44

Diagnostico del SARIMA(2,0,1)(2,1,0)

45

Ajuste del SARIMA(6,0,1)(2,1,0)

46

Diagnostico del SARIMA(6,0,1)(2,1,0)

47

Pronosticos del SARIMA(6,0,1)(2,1,0)

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Selección del mejor modelo

Modelo Dinamico EstaticoSARI(2,1)SIMA(1,1)SARIMA(1,1,1)

1.7010641.6975291.376585

1.7010641.6975221.348614

LOGARITMOSARIMA(6,0,1)(2,1,0)S

2.963586 2.063436