Post on 14-Jan-2016
Matemticas II Junio 2015
PROBLEMA A.2. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) La ecuacin del plano pi que pasa por el punto P (2 , 0, 1) y es perpendicular a la recta
=
=+
0z0y2x
r :
(3 puntos) b) Las coordenadas del punto Q situado en la interseccin de la recta r y del plano pi .
(2 puntos) c) La distancia del punto P a la recta r (3 puntos) y justificar razonadamente que la
distancia del punto P a un punto cualquiera de la recta r es mayor o igual que
.
553
(2 puntos)
Solucin: a) plano pi? / P pi y pi r
Como pi r un vector normal del plano pi es un vector director de la recta r. Obtengamos un vector director de r. Pasemos a paramtricas la ecuacin de la recta r,
( )( )
=
=
=
=
=
=
=+
012v
000P
0zy
2x
0zy2x
0z0y2x
r
r
r
,,
,,
:
Por tanto del plano pi conocemos ( )
( )
012n
102Ppunto
,,
,,
pi
La ecuacin del plano pi ser: 2 x + y + 0 . z + D = 0 2 x + y + D = 0 Determinamos el valor de D con la condicin de que el punto P es del plano, 2 . 2 + 0 + D = 0 4 + D = 0 D = 4
Finalmente, pi : 2 x + y + 4 = 0 o pi : 2 x y 4 = 0
b) Punto Q? / Q = r pi Para obtener el punto Q resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de la recta r y el plano pi,
=++
=
=+
04yx20z
0y2x
este sistema nos da el valor de z ( z = 0 ); obtendremos los valores de x e y
resolviendo el sistema formado por la 1 y 3 ecuaciones.
=+
=+
=++
=+
4yx20y2x
04yx20y2x
despejando x de la 1 ecuacin: x = 2 y
y sustituyendo en la 2: 2 ( 2 y ) + y = 4 4 y + y = 4 5 y = 4 54y =
luego, 58
542x =
=
Finalmente,
054
58Q ,,
c) d ( P, r )? Los clculos realizados en los apartados anteriores, plano pi (que es perpendicular a r por P) y punto Q (corte entre r y pi) son los que corresponden para calcular d ( P , r ) = d ( P, Q ). Por tanto
..)( lu5
5325451
2516
2541
54
5201
540
582) Q (P, d r) (P, d
222
22
==++=+
+
=+
+
==
Tambin podemos calcular la distancia pedida por la frmula correspondiente,
( ) ( )( ) ( ) ( ){ }
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ..,,
,,
),,,,,
,,
,
lu5
5355
535
3
v
vPPrPdLuego
514012v
39441221vPP
221ij2k2012102kji
vPP
aenobtenido012vy102PPr000P
102P
v
vPPrPd
r
rr
222r
222rr
rr
rr
rr
rr
===
=
=+=++=
==++=++=
==
=
=
La justificacin de que la distancia del punto P a un punto cualquiera de la recta r es mayor o igual que ,
553
viene de la definicin de distancia de punto a recta como la menor de las distancias del punto a cualquier otro de la recta.
Otra justificacin. Grficamente la distancia del punto P a la recta r se mide en perpendicular,
La distancia de P a cualquier punto de la recta r (distinto de Q), como se observa en el grfico, sera la hipotenusa del tringulo rectngulo PQR; por tanto d1 (hipotenusa) > d (cateto). Es decir, d ( P, R ) > d ( P, Q ) = d ( P, r ) Luego,
553RPd ),( c.q.c
Una ltima forma de justificacin sera estudiar la monotona de la funcin d ( P, R ) siendo R un punto cualquiera de la recta r.
Segn obtuvimos en el apartado a), de la ecuacin paramtrica de r se deduce que cualquier punto de la recta r ser: ( 2 , , 0 ) y como P ( 2, 0, 1 ),
( ) ( ) ( ) ( ) 222222 585148401022RPd ++=++++=+++=,
Por clculo el radicando es una suma de trminos al cuadrado, luego para cualquier valor de este radicando es positivo. Podemos estudiar la monotona de d ( P, R ) estudiando la monotona del radicando, es decir,
54
1088100108
108y585y 2
=
===+
+=
++=
Como 8 + 10 es, grficamente, una recta de pendiente positiva, a la izquierda de 54
es negativa y a
la derecha positiva. Por tanto para 58
= hay un mnimo relativo, que por lo dicho anteriormente es el absoluto de d ( P , R ).
Para 58
= ,
=
=
=
=
054
58R
0z54y
516
542x
,,
La mnima distancia es:
553
25451
2516
2541
54
5201
540
582 R) (P, d
222
22
==++=+
+
=+
+
= )(
Por tanto, para cualquier punto de la recta r 5
53RPd ),( c.q.c.