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Simulación y Optimización de Procesos Químicos
Titulación: Ingeniería Química. 5º Curso
Transparencias 2.
Octubre de 2009. José A. Caballero
•Problemas en la eliminación de Gauss en sistemas grandes
•Definición de Matriz de Incidencia de un sistema de ecuaciones
•Factorización de Matrices:Método Simultáneo: Criterio de MarkowitzMétodos de Reordenación a priori
Localización de una base de salida admisibleTriangular inferior por bloquesTriangular inferior con bordes: SPK1Fase Numérica: RANKI
Esta obra está bajo una licencia Reconocimiento-No comercial-Sin obras derivadas 3.0 España de Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/es/ o envie una carta a Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California 94105, USA.Citar como: J.A. Caballero Suárez, material docente para la asig natura Simulación y Optimización de procesos Químico s, Octubre 2009. Universidad de Alicante.
José A. CaballeroSimulación y Optimización de Procesos Químicos. Esta obra está bajo una licencia Reconocimiento-No comercial-Sin obras derivadas 3.0 España de Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/es/ o envie una carta a Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California 94105, USA.Citar como: J.A. Caballero Suárez, material docente para la asig natura Simulación y Optimización de procesos Químico s, Octubre 2009. Universidad de Alicante.
7984
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4965213
163221
2621
27243
4933
09253
2871
=++=−+
−=+−++−=−++−=−+
−=−+=+=−+=−+
xxx
xxx
xxxxx
xxxx
xxx
xxx
xx
xxx
xxx
Problemas con la eliminación de Gauss en sistemas g randes
Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
José A. CaballeroSimulación y Optimización de Procesos Químicos. Esta obra está bajo una licencia Reconocimiento-No comercial-Sin obras derivadas 3.0 España de Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/es/ o envie una carta a Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California 94105, USA.Citar como: J.A. Caballero Suárez, material docente para la asig natura Simulación y Optimización de procesos Químico s, Octubre 2009. Universidad de Alicante.
Problemas con la eliminación de Gauss en sistemas g randes
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1 1 · · · · · 1 1 ·
2 · · 1 · 1 · · · 2
3 · · 1 · · · · · ·
4 · · 1 1 · · 2 · ·
5 1 1 · · · 1 · · ·
6 1 2 1 · · 1 · · ·
7 3 1 · · · 1 · · 1
8 · · 2 · 1 · · · 1
9 · · · 1 · · · 1 1
x x x x x x x x x
e
e
e
e
e
e
e
e
e
−−
−−
− −− −
−
José A. CaballeroSimulación y Optimización de Procesos Químicos. Esta obra está bajo una licencia Reconocimiento-No comercial-Sin obras derivadas 3.0 España de Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/es/ o envie una carta a Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California 94105, USA.Citar como: J.A. Caballero Suárez, material docente para la asig natura Simulación y Optimización de procesos Químico s, Octubre 2009. Universidad de Alicante.
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6 · 2 1 · · 1 1 1 ·
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9 · · · 1 · · · 1 1
x x x x x x x x x
e
e
e
e
e
e
e
e
e
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Nuevos elementos distintos de cero en
la matriz
Elemento pivote es cero
Problemas con la eliminación de Gauss en sistemas g randes
José A. CaballeroSimulación y Optimización de Procesos Químicos. Esta obra está bajo una licencia Reconocimiento-No comercial-Sin obras derivadas 3.0 España de Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/es/ o envie una carta a Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California 94105, USA.Citar como: J.A. Caballero Suárez, material docente para la asig natura Simulación y Optimización de procesos Químico s, Octubre 2009. Universidad de Alicante.
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4 · · 1 1 · · 2 · ·
5 · 1 · · · 1 1 1 ·
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7 · 1 · · · 1 3 3 1
8 · · 2 · 1 · · · 1
9 · · · 1 · · · 1 1
x x x x x x x x x
e
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e
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e
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Tras pivoteo parcial
Problemas con la eliminación de Gauss en sistemas g randes
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6 · 2 1 · · 1 1 1 ·
3 · · 1 · · · · · 3
4 · · 1 1 · · 2 · ·
5 · · 0.5 · · 0.5 1.5 1.5 ·
2 · · 1 · 1 · · · 2
7 · · 0.5 · 1 0.5 2.5 2.5 1
8 · · 2 · 1 · · · 1
9 · · · 1 · · · 1 1
x x x x x x x x x
e
e
e
e
e
e
e
e
e
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Nuevos elementos distintos de cero creados al hacer la eliminación e Gauss …
Problemas con la eliminación de Gauss en sistemas g randes
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Problemas con la eliminación de Gauss en sistemas g randes
Y sin embargo …
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8 1 1 2 · · · · · ·
2 2 1 1 · · · · · ·
3 3 · 1 · · · · · ·
7 1 1 · 1 1 3 · · ·
6 · · 1 1 2 1 · · ·
5 · · · 1 1 1 · · ·
9 1 · · · · · 1 1 ·
4 · · 1 · · · · 1 2
1 · · · · · 1 1 · 1
x x x x x x x x x
e
e
e
e
e
e
e
e
e
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Factorización de matrices
Método Simultáneo: Criterio de Markowitz.
3 1 0 0 0
0 0 1 2 1
4 0 0 0 2
0 2 0 0 0
0 0 5 1 3
A
=
( )2 2 2 2 3c =
Nº de elementos diferentes de cero en cada
columna
2
3
2
1
3
f
=
Nº de elementos diferentes de
cero en cada fila
1 1
2 2 4
( 1)( 1) 1 2
0
2 2 4
f c
− − − − − − − = − − − − − − − − −
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Factorización de matrices
Método Simultáneo: Criterio de Markowitz.
Permutación: Cambio fila 4 por la 1 y columna 2 por la 1.
3 1 0 0 0
0 0 1 2 1
4 0 0 0 2
0 2 0 0 0
0 0 5 1 3
A
=
2 0 0 0 0
0 0 1 2 1
0 4 0 0 2
1 3 0 0 0
0 0 5 1 3
A
=
2 0 0 0 0
0 0 1 2 1
0 4 0 0 2
0 3 0 0 0
0 0 5 1 3
A
=
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2 0 0 0 0
0 0 1 2 1
0 4 0 0 2
0 3 0 0 0
0 0 5 1 3
A
=
Factorización de matrices
Método Simultáneo: Criterio de Markowitz.
3
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1
3
( )2 2 2 3
2 2 4
1 2( 1)( 1)
0
2 2 4
f c
− − − − − = − − − −
2 0 0 0 0
0 3 0 0 0
0 4 0 0 2
0 0 1 2 1
0 0 5 1 3
A
=
2 0 0 0 0
0 3 0 0 0
0 0 0 0 2
0 0 1 2 1
0 0 5 1 3
A
=
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2 0 0 0 0
0 3 0 0 0
0 0 0 0 2
0 0 1 2 1
0 0 5 1 3
A
=
Factorización de matrices
Método Simultáneo: Criterio de Markowitz.
1
3
3
( )2 2 3
2 0 0 0 0
0 3 0 0 0
0 0 2 0 0
0 0 1 2 1
0 0 3 1 5
A
=
2 0 0 0 0
0 3 0 0 0
0 0 2 0 0
0 0 0 2 1
0 0 0 1 5
A
=
Etc…
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Matriz e Incidencia de un sistema de ecuaciones
( )2
1 2 1 3
1 3
2 1
1 2
log 1
3 4
x x x x
x x
x x
+ − − =
− =
− + =1 2 3
1 1 1 1
2 1 · 1
3 1 1 ·
x x x
ec
ec
ec
Aparece un 1 en la posición (i, j) si en la ecuación (i) aparece la variable (j)
Ecuaciones
Variables
La estructura de la matriz de incidenciadel sistema de ecuaciones es la mismaque la de la matriz Jacobiana de dichosistema de ecuaciones
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Matriz e Incidencia de un sistema de ecuaciones
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x x x x x x x x x
e
e
e
e
e
e
e
e
e
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4965213
163221
2621
27243
4933
09253
2871
=++=−+
−=+−++−=−++−=−+
−=−+=+=−+=−+
xxx
xxx
xxxxx
xxxx
xxx
xxx
xx
xxx
xxx
En los sistemas dispersos de ecuaciones (sistemas grandes) la
mayor parte de la matriz de incidencia está formada por
ceros
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Factorización de matrices
Métodos de reordenación a priori. Algunas reordenaciones útiles
(a) banda (b) Banda y borde simple (c) Triangular en bloques
(d) Bloque diagonal con borde simple
(e) Bloque diagonal con doble borde
(f) Triangular con bordes
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Factorización de matrices
Localización de una base de salida: Algoritmo de Steward
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f
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f
f
f
f
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f
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Factorización de matrices
Localización de una base de salida: Algoritmo de Steward
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x x x x x x x x x x
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Factorización de matrices
Nota: búsqueda en profundidad Algoritmo de Steward
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f
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Factorización de matrices
Localización de una base de salida: Algoritmo de Steward
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3 3
4 4
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f x
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f x
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f x
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f
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f
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f
f
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Factorización de matrices
Localización de una base de salida: Algoritmo de Steward
Permutación de filas
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Factorización de matrices
Transformación a triangular inferior por bloques
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f
f
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f7 f8x1
x2
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Factorización de matrices
Transformación a triangular inferior por bloques
2
6
7 48
3 10
1
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José A. CaballeroSimulación y Optimización de Procesos Químicos. Esta obra está bajo una licencia Reconocimiento-No comercial-Sin obras derivadas 3.0 España de Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/es/ o envie una carta a Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California 94105, USA.Citar como: J.A. Caballero Suárez, material docente para la asig natura Simulación y Optimización de procesos Químico s, Octubre 2009. Universidad de Alicante.
7 2 3 4 8 5 6 1 9 10
7
2
3
4
8
5
6
1
9
10
1 · · · 1 · · · · ·
1 1 · · · · 1 1 · ·
· · 1 · · 1 · · 1 ·
· · · 1 · 1 · 1 1 1
· · 1 1 1 · · 1 · ·
· · 1 · · 1 · · 1 ·
1 1 1 · · · 1 1 · ·
· · · · · · · 1 · 1
· · 1 · · 1 · · 1 ·
· · 1 · · · · · 1 1
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Factorización de matrices
Transformación a triangular inferior por bloques: TARJAN
José A. CaballeroSimulación y Optimización de Procesos Químicos. Esta obra está bajo una licencia Reconocimiento-No comercial-Sin obras derivadas 3.0 España de Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/es/ o envie una carta a Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California 94105, USA.Citar como: J.A. Caballero Suárez, material docente para la asig natura Simulación y Optimización de procesos Químico s, Octubre 2009. Universidad de Alicante.
62 6 6
2 2 22 2
10
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4 4 4 4 4
93,5 9 9 9
53 53 53 5 5
3 3 3 3 33 3
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
Factorización de matrices
Transformación a triangular inferior por bloques: TARJAN
José A. CaballeroSimulación y Optimización de Procesos Químicos. Esta obra está bajo una licencia Reconocimiento-No comercial-Sin obras derivadas 3.0 España de Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/es/ o envie una carta a Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California 94105, USA.Citar como: J.A. Caballero Suárez, material docente para la asig natura Simulación y Optimización de procesos Químico s, Octubre 2009. Universidad de Alicante.
Factorización de matrices
Transformación a triangular inferior por bloquesCondensación de ciclos y triangularización
11·1···
·111·1·
··1···1
··11···
1·1111·
·····1·
·····11
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10854
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f
f
f
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C
C
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xxxx
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x
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x
xx 2 2 7( , )C x x
7 1( )f x
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( )10 10f x
( )1 3 6 9, ,C x x x
( )2 6,f f
( )3 5 9, ,f f f
José A. CaballeroSimulación y Optimización de Procesos Químicos. Esta obra está bajo una licencia Reconocimiento-No comercial-Sin obras derivadas 3.0 España de Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/es/ o envie una carta a Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California 94105, USA.Citar como: J.A. Caballero Suárez, material docente para la asig natura Simulación y Optimización de procesos Químico s, Octubre 2009. Universidad de Alicante.
Factorización de matrices
Transformación a triangular inferior por bloques
1111·1····
111··1····
1111··1·1·
···111····
····111·11
·····11···
······11··
·······111
········11
········11
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3
10
1
4
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7
6
2
96310845172
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José A. CaballeroSimulación y Optimización de Procesos Químicos. Esta obra está bajo una licencia Reconocimiento-No comercial-Sin obras derivadas 3.0 España de Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/es/ o envie una carta a Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California 94105, USA.Citar como: J.A. Caballero Suárez, material docente para la asig natura Simulación y Optimización de procesos Químico s, Octubre 2009. Universidad de Alicante.
Factorización de matrices
Transformación triangular con bordes: SPK1
1 2 3 4 5 6
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2
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1 · 1 · 1 ·
1 1 · · · ·
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x x x x x x
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f
f
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3
2(5)
2(5)
3
2(5)
2(5)
2 3A f5 se le asigna x4 x5 pasa a formar parte de la pila
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Factorización de matrices
Transformación triangular con bordes: SPK1
1···
1·1·
·11·
··11
·1·1
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1
6321
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Filas f5Columnas x4Pila
f6x6
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Factorización de matrices
Transformación triangular con bordes: SPK1
·1·1··
111···
··11··
···111
1···1·
1····1
2
1
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513264
f
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f
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xxxxxx
Filas f5Columnas x4
f6x6
f4x2
f3x3
f1x1
f2x5
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Factorización de matrices
Transformación triangular con bordes: SPK1 (ejemplo II)
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
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6
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· · · 1 1 · 1 ·
· 1 · 1 · 1 · 1
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1 · · · · · · ·
1 1 · 1 · 1 · ·
1 · · 1 1 · 1 1
· · · · 1 1 1 1
x x x x x x x x
f
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Paso 1. Triangularización hacia adelante
f5x1
Lista
José A. CaballeroSimulación y Optimización de Procesos Químicos. Esta obra está bajo una licencia Reconocimiento-No comercial-Sin obras derivadas 3.0 España de Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/es/ o envie una carta a Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California 94105, USA.Citar como: J.A. Caballero Suárez, material docente para la asig natura Simulación y Optimización de procesos Químico s, Octubre 2009. Universidad de Alicante.
Factorización de matrices
Transformación triangular con bordes: SPK1 (ejemplo II)
Paso 1. Triangularización hacia atrás
2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
6
7
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· · 1 1 · 1 ·
1 · 1 · 1 · 1
· 1 · 1 1 · ·
· · 1 1 · · 1
1 · 1 · 1 · ·
· · 1 1 · 1 1
· · · 1 1 1 1
x x x x x x x
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f5 … f3x1 … x3
Lista
José A. CaballeroSimulación y Optimización de Procesos Químicos. Esta obra está bajo una licencia Reconocimiento-No comercial-Sin obras derivadas 3.0 España de Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/es/ o envie una carta a Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California 94105, USA.Citar como: J.A. Caballero Suárez, material docente para la asig natura Simulación y Optimización de procesos Químico s, Octubre 2009. Universidad de Alicante.
Factorización de matrices
Transformación triangular con bordes: SPK1 (ejemplo II)
2 4 5 6 7 8
1
2
4
6
7
8
· 1 1 · 1 ·
1 1 · 1 · 1
· 1 1 · · 1
1 1 · 1 · ·
· 1 1 · 1 1
· · 1 1 1 1
x x x x x x
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f
f
f
f
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3(12)
4
3(13)
3(10)
4
45 4 4
f5 , f4 … f3x1 , x8 … x3
Lista
Pila: x4 , x5
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Factorización de matrices
Transformación triangular con bordes: SPK1 (ejemplo II)
2 6 7
1
2
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1 1
1 1
1
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x x x
f
f
f
f
f
f5 , f4 , f7 … f3x1 , x8 , x7 … x3
Lista
Pila: x4 , x5
f5 , f4 … f3x1 , x8 … x3
Lista
Pila: x4 , x5
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f5 , f4 , f7 … f3x1 , x8 , x7 … x3
Lista
Pila: x4
Factorización de matrices
Transformación triangular con bordes: SPK1 (ejemplo II)
2 6
1
2
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x x
f
f
f
f
x5
, f1
José A. CaballeroSimulación y Optimización de Procesos Químicos. Esta obra está bajo una licencia Reconocimiento-No comercial-Sin obras derivadas 3.0 España de Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/es/ o envie una carta a Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California 94105, USA.Citar como: J.A. Caballero Suárez, material docente para la asig natura Simulación y Optimización de procesos Químico s, Octubre 2009. Universidad de Alicante.
Factorización de matrices
Transformación triangular con bordes: SPK1 (ejemplo II)
f5 , f4 , f7, f1 … f3x1 , x8 , x7, x5 … x3
Lista2 6
2
6
8
1 1
1 1
1
x x
f
f
f
f8x6
2
2
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1
1
x
f
f
f2x2
f6
Pila: x4
José A. CaballeroSimulación y Optimización de Procesos Químicos. Esta obra está bajo una licencia Reconocimiento-No comercial-Sin obras derivadas 3.0 España de Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/es/ o envie una carta a Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California 94105, USA.Citar como: J.A. Caballero Suárez, material docente para la asig natura Simulación y Optimización de procesos Químico s, Octubre 2009. Universidad de Alicante.
Factorización de matrices
Transformación triangular con bordes: SPK1 (ejemplo II)
Filas: f5, f4, f7, f1, f8, f2, f6, f3Columnas: x1, x8, x7, x5, x6, x2, x3, x4
1 8 7 5 6 2 4 3
5
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7
8
2
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3
1 · · · · · · ·
1 1 · 1 · · 1 ·
1 1 1 1 · · 1 ·
1 · · 1 1 · · 1 ·
· 1 1 1 1 · · ·
· 1 · · 1 1 1 ·
1 · · · 1 1 1 ·
· · · 1 1 1 · 1
x x x x x x x x
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Matriz BordeadaImplícita.
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1 8 7 6 2 3 4 5
5
4
7
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3
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1
1 · · · · · · ·
1 1 · · · · 1 1
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· 1 1 1 · · · 1
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· · · 1 1 1 · 1
1 · · 1 1 · 1 ·
· · 1 · · · 1 1
x x x x x x x x
f
f
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f
Factorización de matrices
Transformación triangular con bordes: SPK1 (ejemplo II)
José A. CaballeroSimulación y Optimización de Procesos Químicos. Esta obra está bajo una licencia Reconocimiento-No comercial-Sin obras derivadas 3.0 España de Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/es/ o envie una carta a Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California 94105, USA.Citar como: J.A. Caballero Suárez, material docente para la asig natura Simulación y Optimización de procesos Químico s, Octubre 2009. Universidad de Alicante.
Fase Numérica
RANKI
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x x x x x x x x x x b
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Fase Numérica
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x x x x
x x x x
x x x
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x x x x x
x x x x x x
k =1 ik = 3 ik,top= 1k= 2 ik = 7 ik,top = 6k= 3 ik = 9 ik,top = 4
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Fase Numérica
RANKI
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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3 · · · · · · · ·
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x x
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Pivote
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Fase Numérica
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x x
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T x
x x x
x x x x
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Pivote
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Fase Numérica
RANKI
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5
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7
8
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· · 2 1 · · · · 1 · 4
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· · · · 3 7 2 · · · 14
· 1 2 · 3 · 4 5 · · 6
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f
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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2 · · · · · · ·
3 0 0 · · · · · · ·
4 · · · · · · ·
5 · · · · · ·
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x x x x x x
Fase Numérica
RANKI
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Fase Numérica
RANKI
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
4
5
6
7
8
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1 · 2 · · · · · · · 3
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· · 2 1 · · · · 1 · 4
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· 1 2 · 3 · 4 5 · · 6
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· 1 · 2
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Elección de variables de diseño: Sistemas no cuadrados
f1(x1, x2, x3) = 0,f2(x1, x5, x10) = 0f3(x1, x2, x4, x7, x10) = 0f4(x4, x6, x9) = 0f5(x1, x5) = 0f6(x2, x3, x4, x5, x7, x8) = 0f7(x3, x4, x9, x10) = 0f8(x1, x10) = 0
1········1
11····11··
··11·1111·
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·1··1·1···
1··1··1·11
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xxxxxxxxxx
8 ecuaciones, 10 variables: Aparecen 2 grados de libertad.
Se debe fijar el valor de 2 variables
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Elección de variables de diseño: Sistemas no cuadrados
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Se añaden tantasecuaciones ficticias(filas de unos) comogrados de libertadtenga el sistema
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Elección de variables de diseño: Sistemas no cuadrados
Paso I: Localización de una base de salida admisible
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Elección de variables de diseño: Sistemas no cuadrados
Paso II: Transformación a triangular inferior por bloques
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Elección de variables de diseño: Sistemas no cuadrados
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Seleccionar dos de entre las tres variables marcadas.