Post on 23-Jan-2016
Sesión 20 martes 14 de Octubre:
Fundamentos de la Neurobiología I. Dr. Osvaldo Alvarez. Elementos básicos de electricidad aplicados a membranas biológicas. Potencial de membrana y su dependencia de las especies de iones. Ecuación de Nernst –Plank. La ecuación Goldman-Hodgkin-Katz para el potencial de reposoPotencial de acción; curso temporal y su descripción macroscópica (experimentos de Hodgkin y Huxley de 1952).
http://einstein.ciencias.uchile.cl
Curso Troncal 2008.
Conducción de la electricidad en soluciones de electrolitos
vt
Pregunta.¿Cuantas moléculas atraviesan la ventana durante un tiempo t?
A
La ventana tiene un área A m2.Las moléculas viajan a una velocidad de v ms-1
Hay n moléculas por m3.
vt
Pregunta.¿Cuantas moléculas atraviesan la ventana durante un tiempo t?
A
vt
Pregunta.¿Cuantas moléculas atraviesan la ventana durante un tiempo t?
A
Las moléculas contenidas en volumen Avt
Respuesta. Las contenidas en el volumen Av t , que son nAvt.
n = moléculas por unidad de volumen (m-3)
A = Área de la ventana ( m2 )
v = velocidad de las partículas ( m s-1 )
t = intervalo de tiempo ( s )
Número de moléculas que atraviesan la ventana en un tiempo t es nAvt.
Número de moles que atraviesan la ventana en un tiempo t es nAvt/N = cAvt (mol). N = número de Avogadro, ( mol-1 ) c es la concentración en moles m-3
Flujo = J = Número de moles que pasan la ventana por unidad de área y por unidad de tiempo = cv (mol m-2 s-1).
Movimiento en un medio viscoso
Velocidad = movilidad · fuerza
movilidad = velocidad por unidad de fuerza
fuerzamovilidadcJ
¿Cuál es la fuerza que impulsa la electrodifusión?
N/mol N/mol
m/s fuerzamovilidadu
Energía interna
E = q - w = energía que entra al sistema en forma de calor menos la que sale del sistema en forma de trabajo. ( joule)
Entalpía
H = E + PV = E + producto presión volumen
EntropíaS = qrev / T Cambio de Entropía = calor absorbido en un proceso reversible / temperatura. Sus unidades son joule/ kelvin
Energía LibreG = H - TS Definición de Energía libre.
Energía libre en sistemas abiertos.
jj
nPTjnPnT
dnnG
dTTG
dPPG
dG
j,,,,
j = potencial químico el componente j. Cambio de la Energía libre del sistema que se produce al agregar 1 mol de componente j, manteniendo constantes T, P y la cantidad de todos los otros componentes. ( joule / mol ).
i
iidnSdTVdPdG
Potencial químico standard del compuesto j, oj es el
cambio de Energía libre asociado con agregar 1 mol del compuesto j, estando en su estado de referencia. Es decir a una concentración = 1.
¿Cuál es el cambio de Energía libre asociado con agregar dnj moles estando a una concentración cualquiera?
jjdndG
?¿Qué relación hay entre el potencial químico y la concentración?
Examinemos la termodiámica de la un cambio de concentración.
Inicialm1 cajas disponibles
Finalm2 cajas disponibles
W kS lnEcuación de Boltzmann para la entropía.
k es la constante de Boltzmann y W la probabilidad estadística del sistema. W es el número de maneras distintas que se puede arreglar internamente el sistema.
¿Qué hace que las moléculas se difundan ocupando todo el volumen?
El estado final tiene más entropía que el inicial.
Cálculo de la entropía.
Inicialm1 cajas disponibles
Finalm2 cajas disponibles
Estado inicial: vamos a poner N moléculas en m1 cajas W
¿De cuántas maneras puedo poner la primera molécula? m1
¿De cuántas maneras puedo poner la segunda molécula? m1
¿De cuántas maneras puedo poner las dos primeras moléculas? m12
¿De cuántas maneras puedo poner N moléculas para el estado inicial? m1N
¿De cuántas maneras puedo poner N moléculas para el estado final? m2N
NNinicialfinal mkmkSSS 12 lnln
Las cajas son todas del mismo volumen. Se podría poner las N moléculas en una sola caja.
Cálculo de la entropía.
Inicialm1 cajas disponibles
Finalm2 cajas disponibles
NNinicialfinal mkmkSSS 12 lnln
1
2lnmm
kNS 1-1- KJmol lni
f
V
VRS
Para 1 mol de soluto
R = kN = 8.3143 joulemol-1K-1
1-1- KJmol lni
f
V
VRS
El número de moles de soluto no cambia cuando se el soluto se difunde desde una condición inicial ci Vi hasta una final cf Vf.
ffii VcVcn
i
f
f
i
V
V
c
c
1-1- KJmol lni
f
c
cRS
-1Jmol ln fcRTG
El cambio de entropía asociado al cambio de concentración es:
El cambio de energía libre asociado al cambio de concentración es (*):
Y si cf = 1 entonces:
1-Jmol lni
f
c
cRTSTG
(*) G = H - TS. Suponemos soluciones ideales: H = 0 para la difusión.
Potencial químico standard del compuesto j, oj es el
cambio de energía libre asociado con agregar 1 mol del compuesto j, estando en su estado de referencia. Es decir a una concentración = 1.
¿Cuál es el cambio de energía libre asociado con agregar dnj moles estando a una concentración cualquiera?
concentración = cjconcentración = cj
concentración = 1concentración = 1
dnj
dnj
jcnRTG ln jcRTdnnG ln
jj dnG 0
jj dnG
jjjjj dncRTdndnG ln0
jjj cRT ln0
Si el componente j es un ion, es decir lleva una carga eléctrica zeo, tenemos que considerar el trabajo eléctrico de traer el ion hasta la solución
Se define como potencial eléctrico en un punto del espacio, , como el “Trabajo de traer una carga eléctrica unitaria desde el infinito hasta el punto”. Se mide en volt ( joule/coulomb ).
El trabajo para dn moles de iones de valencia z es zFdn, donde F es el número de Faraday (96500 coulomb/mol).
FzcRT jjjj ln0
jjjjjjj dnFzdncRTdndnG ln0
Flujo = concentración movilidad fuerza
fuerzaucJ
¿Cuál es la fuerza que impulsa la electrodifusión?
N/molm/s
movilidadu
N/mol
zyxfuerza
Es menos el gradiente de potencial químico.
N/mol fuerza
Volvemos al movimiento de las moléculas en un medio viscoso.
Electrodifusión en una sola dimensión:
fuerzaucJ
dxd
fuerza
dxd
ucJ
Ecuación de Nernst-Planck
zFcRTdxd
ucJ ln
FzcRT jjjj ln0
Membrana selectiva, deja entrar K+ pero no Cl-.
JCl = 0 ( Condición impuesta en el planteamiento)
JK = ? implica transporte de carga eléctrica. movimiento de carga eléctrica. ¿Qué pasa con el potencial eléctrico?
KCl
c’
KCl
c’’
JK
JCl
Las dos soluciones separadas por la membrana constituyen un condensador eléctrico.
JK
Al transportar carga se genera una diferencia de potencial eléctrico. La relación entre carga q y potencial es la capacidad eléctrica C del condensador, que se mide en Farad (coulomb/volt). Cq
- +
La capacidad eléctrica de las membranas biológicas es 1 F/cm2KCl
c’
KCl
c’’
A medida que pasa el tiempo la concentración c’ disminuye y la concentración c’’ aumenta; el potencial ’ disminuye y el potencial ’’ aumenta.
JK
Cq /- +
c’ ’
c’’ ’’
Esto continúa hasta que las concentraciones y potenciales no cambien más. Se llega a un estado de equilibrio en que JK = 0.
RT/F = 25 mV a 20oC
Ec. de Nernst
zFcRTdxd
ucJ K ln0
zFdcRTd ln
'
´´
'ln
´´lnln
dzFcdRT
c
c
'''''ln'ln zFccRT
'''
ln'''cc
zFRT
'''
log58'''cc
Este paréntesis se hace 0. zFcRTd ln0
- +c’ ’
c’’ ’’
Ec. de Nernst'''
ln'''cc
zFRT
¿Cómo se mide este potencial?¿Cómo se conectan las soluciones a los cables de los instrumentos eléctrónicos?
http://en.wikipedia.org/wiki/Silver_Chloride_ElectrodeUsando electrodos, por ejemplo el electrodo de plata/plata clorurada.
Alambre de Ag cloruradoAlambre de Ag clorurado
Electrodo
Tubo de ensayo con KCl 1MAg
Ag Ag+ + e-
Ag+ + Cl- AgCl
Si llega un electrón por el alambre de plata, se combina con un Ag+ y se libera un ion Cl- del AgCl.
Si se va un electrón por el alambre de plata, se libera un Ag+ que se combina con un ion Cl- para formar AgCl.
http://en.wikipedia.org/wiki/Silver_Chloride_Electrode
Potenciales de unión líquida.
KCl’’KCl’
Zona de mezcla
JK
JCl
JK = JCl no hay transporte de carga eléctrica. Esta es la condición que implica una diferencia de potencial que no cambia en el tiempo.
dxFcRTd
ucJ KKKK
)ln(
dxFcRTd
ucJ ClClClCl
)ln(
ccc KCl
)ln()ln( FcRTduFcRTdu ClK
En un punto en la zona de mezcla:
FduucRTduu ClKKCl )(ln)(
'''
ln'''cc
FRT
uu
uu
ClK
KClJuntura
Integrando entre los bordes de la zona de mezcla
(Electroneutralidad)
H+ 349.8Li+ 38.6Na+ 50.1K+ 73.5Rb+ 77.8Cs+ 77.2
F- 55.4Cl- 76.4Br- 78.1I- 76.8
Conductividad específica molar a
dilución infinita
El potencial de unión líquida que se
desarrolla entre dos soluciones de KCl es despreciable porque
las movilidades de K+ y Cl- son muy parecidas
Robinson y Stokes. Electrolyte solutions. Butterwoths. London 2ª edicion 1959.
Construcción de un electrodo
Alambre de Ag clorurado
Tubo de ensayo con KCl 1M
Puente de agar-KCl 1M
Electrodo
http://en.wikipedia.org/wiki/Silver_Chloride_Electrode
Ecuación de Henderson del potencial de juntura para mezclas más complejas.
Henderson.xls
En http://einstein.ciencias.uchile.cl
http://www.moleculardevices.com/pdfs/pCLAMP_AppNote_LJP_Corrections.pdf
- +c’ ’
c’’ ’’
¿Cómo se mide este potencial sin tomar corriente?
http://en.wikipedia.org/wiki/Operational_amplifierhttp://en.wikipedia.org/wiki/Operational_amplifier_applications
Se construye un vólmetro que no tome corriente usando amplificadores operacionales.
V
Ec. de Nernst.Deducida para corriente = 0
'''
ln'''cc
zFRT
R1
R221
1
RRV
i
V1
V2
2
2
RV
i 21
212 RR
RVV
V1 R1
0i
Ai 410
Ai 4105.0 21
2
VV
12 RR
Midiendo voltaje sin tomar corriente
Midiendo voltaje tomando corriente
http://en.wikipedia.org/wiki/Field-effect_transistorhttp://en.wikipedia.org/wiki/Operational_amplifierhttp://en.wikipedia.org/wiki/Operational_amplifier_applications
V1 R1
AVVV ININOUT
AVVV OUTINOUT
AVAV INOUT 1
INOUT VV Si A >> 1
ININ VV Si A >> 1
Amplificador operacional con realimentación negativa
Integración de la ecuación de Nernst-Plank
zFcRTdxd
cuJ ln
zFcRTdxd
cuJ ln
zUcdxd
cDJ ln
RTzF
cdxd
cuRTJ ln
Coeficiente de Difusión, D. Ecuación de Einstein:
uRTD Unidades del Coeficiente de Difusión:
mol
J
N/molm/s
RTus
m
2
D
Potencial reducido, adimensional
J/molJ/coulomb lcoulomb/mo
RTF
U
dxdU
zceedxdc
DJe zUzUzU
dxdU
zdxdc
ccDJ
1
Integración por partes
dxdU
zcdxdc
DJ
? )( zUcedxd
dxdu
vdxdv
uuvdxd Recordar esto
Multiplico ambos lados por ezU
Aplicar a:
zUcdxd
cDJ ln
dxdU
zceedxdc
cedxd zUzUzU )(
dxdU
zceedxdc
DJe zUzUzU
dxdU
czeedxdC
cedxd zUzUzU )(
dxdu
vdxdv
uuvdxd Recordar esto
??
dxdU
zceedxdc
DJe zUzUzU
)( zUzU cedxd
DJe
dxdU
zceedxdc
cedxd zUzUzU )(
dxdU
czeedxdc
cedxd zUzUzU )(
dxdu
vdxdv
uuvdxd Recordar esto
)( zUzU ceDddxJe Para integrar el lado izquierdo necesitamos conocer U en función de x.
Suposición de Goldman: el campo eléctrico es constante en el interior de la membrana ( dU/dx = constante).
minex UUU
dxdU
intracelular membrana extracelular
x
U intracelular
U extracelular
0
0
+
-
U
En esta ecuación es el espesor de la membrana.
Vamos a integrar la ecuación de Nernst-Planck entre los bordes de la membrana.
Condiciones de borde:
Borde Intracelular x = 0, c(0) = c’int, U(0) = Um
Borde Extracelular x = , c() = c’ext, U() = 0.
J
)( zUzU cedxd
DJe
dUU
dxU
dx
dU
m
m
y
)( zUzU ceDddxJe
)( zUzU
m
eDddUeU
J
x
x
zUx
x
zU
m
cedDdUeU
J00
)(
00
zUzU
m
DceezU
J
En estado estacionario, el flujo, J, es igual en todos los puntos de la membrana.La ecuación de Nernst-Planck en punto x en el interior de la membrana.
Separo las variables .
Uso la suposición de campo constante .
Integro desde x = 0 hasta x = .
zUinext
zU
m
eccDezU
J m ''11
1
´´
mzUext
zUinm
e
ceczDUJ
00
zUzU
m
DceezU
J
Estamos integrando la ecuación de Nernst-Planck entre los bordes de la membrana.
Condiciones de borde:
Borde Intracelular x = 0, c(0) = c’int, U(0) = Um
Borde Extracelular x = , c() = c’ext, U() = 0.
Las concentraciones en los bordes interno y externo de la membrana, c’int y c’ext, se relacionan con las concentraciones en las soluciones internas y
externas, c y cext mediante el coeficiente de partición .
extextin CcCc ´ int
Definición de la permeabilidad de la membrana, P.1-ms
D
P
1
´´
mzUext
zUinm
e
ceczDUJ
1
mzU
extzU
inm
e
ceczUDJ
1
m
m
zUext
zUinm
e
ceczPUJ
Esta es la ecuación de flujo de Goldman - Hodgkin - Katz
¿Cuánto es el flujo para Um 0?
Usar ex -1 x para x 0
1
m
m
zUext
zUinm
e
ceczPUJ
1lim 0 zUU e
Uzze zUU
11lim 0
exin ccPJ
Otra manera de verlo:
1
m
m
zUext
zUinm
e
ceczPUJ
exin ccPJ
m
extinm
zUcczPU
J
Na+
K+
Cl-
Na+
K+
Cl-
JNa
JK
JCl
Potencial eléctrico de una membrana permeable a Na, K y Cl, que separa soluciones que contienen estos tres iones.
Condición de potencial eléctrico constante es corriente cero INa + IK + Icl = 0.
KKK FJzI
NaNaNa FJzI
ClClCl FJzI
0 ClKNaClKNa J J JFIII
Condición de corriente cero es JNa + JK - Jcl = 0.
2m smol
mol
coulomb zFJI 2m
amper
1),(),( mm UexK
UinKKmK ececPUJ
1),(),( mm UexNa
UinNaNamNa ececPUJ
1),(),( mm UexCl
UinClClmCl ececPUJ
mm UUexClinClClmCl eeccPUJ 1),(),(
1),(),( mm UinCl
UexClClmCl ececPUJ
Multiplica el flujo de Cl- por eUm / eUm
Multiplica el flujo de Cl- por -1/-1 para dejar todas las expresiones con denominador común
),(),(/1 exKU
inKKmU
K cecPUeJ mm
),(),(/1 exNaU
inNaNamU
Na cecPUeJ mm
),(),(/1 inClU
exClClmU
Cl cecPUeJ mm
JNa + JK - JCl = 0
),(),(/1 exKU
inKKmU
K cecPUeJ mm
),(),(/1 exNaU
inNaNamU
Na cecPUeJ mm
),(),(/1 inClU
exClClmU
Cl cecPUeJ mm
),(),(),(),(),(),(0 inClU
exClClexNaU
inNaNaexKU
inKK cecPcecPcecP mmm
),(),(),(),(),(),( inClClexNaNaexKKexClClinNaNainKKU cPcPcPcPcPcPe m
),(),(),(
),(),(),(
exClClinNaNainKK
inClClexNaNaexKKU
cPcPcP
cPcPcPe m
),(),(),(
),(),(),(lnexClClinNaNainKK
inClClexNaNaexKKm cPcPcP
cPcPcPU
),(),(),(
),(),(),(lnexClClinNaNainKK
inClClexNaNaexKKm cPcPcP
cPcPcP
FRT
La ecuación Goldman-Hodgkin-Katz para el potencial de reposo
La suma tiene que ser cero
La densidad de corriente llevada por un ion.
1)()( mm zUex
zUinm ececPzUJ
1)()(2 mm zU
exzU
inm ececPFUzI
11)()(
2 mNernstm zUUUzexm eePcFUzI
-2Am zFJI
)(
)(
ex
inzU
c
ce Nernst
La densidad de corriente llevada por un ion.
23 mamper
mmol
sm
molcoulomb
11)(
)()(
2
mm zUzU
ex
inexm ee
c
cPcFUzI
11)()(
2 mNernstm zUUUzexm eePcFUzI
Vm, mV
IK
INa
Las curvas I/V para K y Na según GHK y las concentraciones intra y extracelulares en el axón de jibia
Caso límite de la ecuación GHK: cin cex, UNernst = 0
Nernstm UUFPczI 2
NernstmGI
2-22
Sm iaConductanc RT
PcFzG
La ecuación GHK se reduce a la ley de Ohm. Para cin cex
11)()(
2 mNernstm zUUUzexm eePcFUzI
NernstmUUz UUz -e Nernstm 1 m
zU zU -e m 1y
RT
U mex UFPczI 2
mex
RT
PcFzI )(
22
Admitiendo estas aproximaciones:
mGI
Na+ 50 mMK+ 440 mMCl- ?
in -60 mV
Na+ 440 mMK+ 10 mMCl- 450 mM
ex 0 mV
Iones en una célula de jibia.
Si la membrana es permeable al ion cloruro y no hay una bomba de cloruro, esperamos que el cloruro esté en equilibrio. La concentración la podemos calcular usando la ecuación de Nernst. Cl = m
'''
ln'''cc
zFRT
ex
inm c
c
FRT
ln
ex
in
c
clog5860
exin cc 092.0
mM 41inc
El experimento confirma que la concentración intracelular de cloruro es efectivamente 41 mM.
Na+ 50 mMK+ 440 mMCl- 41 mM
in -60 mV
Na+ 440 mMK+ 10 mMCl- 450 mM
ex 0 mV
Iones en una célula de jibia.
ex
inm c
c
FRT
ln
ex
in
c
clog5860
exin cc 092.0
mM 41inc
Na+ 50 mMK+ 440 mMCl- 41 mMA- 449 mM
A- =Aniones orgánicos no difusibles.
Tema de seminario de próximo martes. Armstrong, C. 2003. The Na/K pump, Cl ion, and osmotic stabilization of cells. PNAS 100:6257-6262
Na+ 50 mMK+ 440 mMCl- 41 mM
in -60 mV
Na+ 440 mMK+ 10 mMCl- 450 mM
ex 0 mV
Iones en una célula de jibia.
ex
inNa Na
NaF
RTln
mV 55Na ex
inK K
KF
RTln
mV 95K NersntmGI
0dt
dCGGGI m
ClmClKmKNamNam
En el potencial de reposo
0 KmKNamNa GG
En el potencial de reposo
0 KmKNamNa GG
0 KmNa
KNam G
G
Km
Nam
Na
K
GG
3.335
11595605560
Na
K
GG
Medición del potencial de reposo
1
23 0
)( mO A)( OmO A
AAO 1 A=105
mO
0ex
m
Esto se cumple para todos los circuitos con realimentación negativa
Inyectando corriente
1
23 m
Im
Mostrar MapShow
0ex
m
Im
Electrodo de tierra es muy grande. La densidad de corriente (A/cm2) en la superficie del electrodo es pequeña porque el área es grande. La reacción redox del electrodo se puede suponer muy cerca del equilibrio
Midiendo la corriente
1
23 m
Im
Mostrar MapShow
Mostrar MapShow
0ex
m
Im
fmRI
fREl amplificador mantiene el electrodo de tierra activamente a potencial cero. La intensidad de la corriente se puede calcular del potencial eléctrico medido a la salida del amplificador.
Im = 0 t < 0.01 msIm = -50 Acm-2 0.1 < t < 0.25 ms
Im = 0 t > 0.25 ms
m Im
dt
dCGGGI m
ClmClKmKNamNam
Im = 0 t < 0.01 msIm = -99 Acm-2 0.1 < t < 0.25 ms
Im = 0 t > 0.25 ms
m Im
dt
dCGGGI m
ClmClKmKNamNam
Im = 0 t < 0.01 msIm = 10 Acm-2 0.1 < t < 0.25 ms
Im = 0 t > 0.25 ms
m Im
dt
dCGGGI m
ClmClKmKNamNam
Im = 0 t < 0.01 msIm = 20 Acm-2 0.1 < t < 0.25 ms
Im = 0 t > 0.25 ms
m Im
dt
dCGGGI m
ClmClKmKNamNam
Im = 0 t < 0.01 msIm = 35 Acm-2 0.1 < t < 0.25 ms
Im = 0 t > 0.25 ms
m Im
dt
dCGGGI m
ClmClKmKNamNam
Im = 0 t < 0.01 msIm = 36 Acm-2 0.1 < t < 0.25 ms
Im = 0 t > 0.25 ms
m Im
dt
dCGGGI m
ClmClKmKNamNam
The Nerve ImpulseDr. Francisco Bezanilla. http://nerve.bsd.uchicago.edu/TheNerveImpulse05.pdf
Imponiendo un voltaje
m
dt
dCGGGI m
ClmClKmKNamNam
m
mI
mI
Voltage clamp
m
dt
dCGGGI m
ClmClKmKNamNam
m
mI
mI
fmRI
fR
m
Imponiendo un voltaje y midiendo la corriente con un solo amplificador.
m
m + ImR1
dt
dCGGGI m
ClmClKmKNamNam
Mostrar VClampShow
1
23
R1
m
m
Este electrodo tiene m sólo para corrientes muy pequeñas
mI
mI
V1
1
23
R1
m
m + ImR1
dt
dCGGGI m
ClmClKmKNamNam
Imponiendo un voltaje y midiendo la corriente con un solo amplificador y un solo electrodo. Patch clamp.
mI
mI
m
Este electrodo tiene m sólo para corrientes muy pequeñas
mI
dt
dCGGGI m
ClmClKmKNamNam
dt
dCGGGI m
ClmClKmKNamNam
dt
dCGGGI m
ClmClKmKNamNam
dt
dCGGGI m
ClmClKmKNamNam
dt
dCGGGI m
ClmClKmKNamNam
The Nerve ImpulseDr. Francisco Bezanilla. http://nerve.bsd.uchicago.edu/med98a.htm
The Nerve ImpulseDr. Francisco Bezanilla. http://nerve.bsd.uchicago.edu/TheNerveImpulse05.pdf