Sesión 20 martes 14 de Octubre: Fundamentos de la Neurobiología I. Dr. Osvaldo Alvarez. Elementos...

Sesión 20 martes 14 de Octubre:

Fundamentos de la Neurobiología I. Dr. Osvaldo Alvarez. Elementos básicos de electricidad aplicados a membranas biológicas. Potencial de membrana y su dependencia de las especies de iones. Ecuación de Nernst –Plank. La ecuación Goldman-Hodgkin-Katz para el potencial de reposoPotencial de acción; curso temporal y su descripción macroscópica (experimentos de Hodgkin y Huxley de 1952).

http://einstein.ciencias.uchile.cl

Curso Troncal 2008.

Conducción de la electricidad en soluciones de electrolitos

vt

Pregunta.¿Cuantas moléculas atraviesan la ventana durante un tiempo t?

A

La ventana tiene un área A m2.Las moléculas viajan a una velocidad de v ms-1

Hay n moléculas por m3.

vt


A

vt


A

Las moléculas contenidas en volumen Avt

Respuesta. Las contenidas en el volumen Av t , que son nAvt.

n = moléculas por unidad de volumen (m-3)

A = Área de la ventana ( m2 )

v = velocidad de las partículas ( m s-1 )

t = intervalo de tiempo ( s )

Número de moléculas que atraviesan la ventana en un tiempo t es nAvt.

Número de moles que atraviesan la ventana en un tiempo t es nAvt/N = cAvt (mol). N = número de Avogadro, ( mol-1 ) c es la concentración en moles m-3

Flujo = J = Número de moles que pasan la ventana por unidad de área y por unidad de tiempo = cv (mol m-2 s-1).

Movimiento en un medio viscoso

Velocidad = movilidad · fuerza

movilidad = velocidad por unidad de fuerza

fuerzamovilidadcJ

¿Cuál es la fuerza que impulsa la electrodifusión?

N/mol N/mol

m/s fuerzamovilidadu

Energía interna

E = q - w = energía que entra al sistema en forma de calor menos la que sale del sistema en forma de trabajo. ( joule)

Entalpía

H = E + PV = E + producto presión volumen

EntropíaS = qrev / T Cambio de Entropía = calor absorbido en un proceso reversible / temperatura. Sus unidades son joule/ kelvin

Energía LibreG = H - TS Definición de Energía libre.

Energía libre en sistemas abiertos.

jj

nPTjnPnT

dnnG

dTTG

dPPG

dG

j,,,,

j = potencial químico el componente j. Cambio de la Energía libre del sistema que se produce al agregar 1 mol de componente j, manteniendo constantes T, P y la cantidad de todos los otros componentes. ( joule / mol ).

i

iidnSdTVdPdG

Potencial químico standard del compuesto j, oj es el

cambio de Energía libre asociado con agregar 1 mol del compuesto j, estando en su estado de referencia. Es decir a una concentración = 1.

¿Cuál es el cambio de Energía libre asociado con agregar dnj moles estando a una concentración cualquiera?

jjdndG

?¿Qué relación hay entre el potencial químico y la concentración?

Examinemos la termodiámica de la un cambio de concentración.

Inicialm1 cajas disponibles

Finalm2 cajas disponibles

W kS lnEcuación de Boltzmann para la entropía.

k es la constante de Boltzmann y W la probabilidad estadística del sistema. W es el número de maneras distintas que se puede arreglar internamente el sistema.

¿Qué hace que las moléculas se difundan ocupando todo el volumen?

El estado final tiene más entropía que el inicial.

Cálculo de la entropía.



Estado inicial: vamos a poner N moléculas en m1 cajas W

¿De cuántas maneras puedo poner la primera molécula? m1

¿De cuántas maneras puedo poner la segunda molécula? m1

¿De cuántas maneras puedo poner las dos primeras moléculas? m12

¿De cuántas maneras puedo poner N moléculas para el estado inicial? m1N

¿De cuántas maneras puedo poner N moléculas para el estado final? m2N

NNinicialfinal mkmkSSS 12 lnln

Las cajas son todas del mismo volumen. Se podría poner las N moléculas en una sola caja.

Cálculo de la entropía.



NNinicialfinal mkmkSSS 12 lnln

1

2lnmm

kNS 1-1- KJmol lni

f

V

VRS

Para 1 mol de soluto

R = kN = 8.3143 joulemol-1K-1

1-1- KJmol lni

f

V

VRS

El número de moles de soluto no cambia cuando se el soluto se difunde desde una condición inicial ci Vi hasta una final cf Vf.

ffii VcVcn

i

f

f

i

V

V

c

c

1-1- KJmol lni

f

c

cRS

-1Jmol ln fcRTG

El cambio de entropía asociado al cambio de concentración es:

El cambio de energía libre asociado al cambio de concentración es (*):

Y si cf = 1 entonces:

1-Jmol lni

f

c

cRTSTG

(*) G = H - TS. Suponemos soluciones ideales: H = 0 para la difusión.

Potencial químico standard del compuesto j, oj es el

cambio de energía libre asociado con agregar 1 mol del compuesto j, estando en su estado de referencia. Es decir a una concentración = 1.

¿Cuál es el cambio de energía libre asociado con agregar dnj moles estando a una concentración cualquiera?

concentración = cjconcentración = cj

concentración = 1concentración = 1

dnj

dnj

jcnRTG ln jcRTdnnG ln

jj dnG 0

jj dnG

jjjjj dncRTdndnG ln0

jjj cRT ln0

Si el componente j es un ion, es decir lleva una carga eléctrica zeo, tenemos que considerar el trabajo eléctrico de traer el ion hasta la solución

Se define como potencial eléctrico en un punto del espacio, , como el “Trabajo de traer una carga eléctrica unitaria desde el infinito hasta el punto”. Se mide en volt ( joule/coulomb ).

El trabajo para dn moles de iones de valencia z es zFdn, donde F es el número de Faraday (96500 coulomb/mol).

FzcRT jjjj ln0

jjjjjjj dnFzdncRTdndnG ln0

Flujo = concentración movilidad fuerza

fuerzaucJ

¿Cuál es la fuerza que impulsa la electrodifusión?

N/molm/s

movilidadu

N/mol

zyxfuerza

Es menos el gradiente de potencial químico.

N/mol fuerza

Volvemos al movimiento de las moléculas en un medio viscoso.

Electrodifusión en una sola dimensión:

fuerzaucJ

dxd

fuerza

dxd

ucJ

Ecuación de Nernst-Planck

zFcRTdxd

ucJ ln

FzcRT jjjj ln0

Membrana selectiva, deja entrar K+ pero no Cl-.

JCl = 0 ( Condición impuesta en el planteamiento)

JK = ? implica transporte de carga eléctrica. movimiento de carga eléctrica. ¿Qué pasa con el potencial eléctrico?

KCl

c’

KCl

c’’

JK

JCl

Las dos soluciones separadas por la membrana constituyen un condensador eléctrico.

JK

Al transportar carga se genera una diferencia de potencial eléctrico. La relación entre carga q y potencial es la capacidad eléctrica C del condensador, que se mide en Farad (coulomb/volt). Cq

- +

La capacidad eléctrica de las membranas biológicas es 1 F/cm2KCl

c’

KCl

c’’

A medida que pasa el tiempo la concentración c’ disminuye y la concentración c’’ aumenta; el potencial ’ disminuye y el potencial ’’ aumenta.

JK

Cq /- +

c’ ’

c’’ ’’

Esto continúa hasta que las concentraciones y potenciales no cambien más. Se llega a un estado de equilibrio en que JK = 0.

RT/F = 25 mV a 20oC

Ec. de Nernst

zFcRTdxd

ucJ K ln0

zFdcRTd ln

'

´´

'ln

´´lnln

dzFcdRT

c

c

'''''ln'ln zFccRT

'''

ln'''cc

zFRT

'''

log58'''cc

Este paréntesis se hace 0. zFcRTd ln0

- +c’ ’

c’’ ’’

Ec. de Nernst'''

ln'''cc

zFRT

¿Cómo se mide este potencial?¿Cómo se conectan las soluciones a los cables de los instrumentos eléctrónicos?

http://en.wikipedia.org/wiki/Silver_Chloride_ElectrodeUsando electrodos, por ejemplo el electrodo de plata/plata clorurada.

Alambre de Ag cloruradoAlambre de Ag clorurado

Electrodo

Tubo de ensayo con KCl 1MAg

Ag Ag+ + e-

Ag+ + Cl- AgCl

Si llega un electrón por el alambre de plata, se combina con un Ag+ y se libera un ion Cl- del AgCl.

Si se va un electrón por el alambre de plata, se libera un Ag+ que se combina con un ion Cl- para formar AgCl.

http://en.wikipedia.org/wiki/Silver_Chloride_Electrode

Potenciales de unión líquida.

KCl’’KCl’

Zona de mezcla

JK

JCl

JK = JCl no hay transporte de carga eléctrica. Esta es la condición que implica una diferencia de potencial que no cambia en el tiempo.

dxFcRTd

ucJ KKKK

)ln(

dxFcRTd

ucJ ClClClCl

)ln(

ccc KCl

)ln()ln( FcRTduFcRTdu ClK

En un punto en la zona de mezcla:

FduucRTduu ClKKCl )(ln)(

'''

ln'''cc

FRT

uu

uu

ClK

KClJuntura

Integrando entre los bordes de la zona de mezcla

(Electroneutralidad)

H+ 349.8Li+ 38.6Na+ 50.1K+ 73.5Rb+ 77.8Cs+ 77.2

F- 55.4Cl- 76.4Br- 78.1I- 76.8

Conductividad específica molar a

dilución infinita

El potencial de unión líquida que se

desarrolla entre dos soluciones de KCl es despreciable porque

las movilidades de K+ y Cl- son muy parecidas

Robinson y Stokes. Electrolyte solutions. Butterwoths. London 2ª edicion 1959.

Construcción de un electrodo

Alambre de Ag clorurado

Tubo de ensayo con KCl 1M

Puente de agar-KCl 1M

Electrodo

http://en.wikipedia.org/wiki/Silver_Chloride_Electrode

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4b/Ag-AgCl_Reference_Electrode.jpg

Ecuación de Henderson del potencial de juntura para mezclas más complejas.

Henderson.xls

En http://einstein.ciencias.uchile.cl

http://www.moleculardevices.com/pdfs/pCLAMP_AppNote_LJP_Corrections.pdf

- +c’ ’

c’’ ’’

¿Cómo se mide este potencial sin tomar corriente?

http://en.wikipedia.org/wiki/Operational_amplifierhttp://en.wikipedia.org/wiki/Operational_amplifier_applications

Se construye un vólmetro que no tome corriente usando amplificadores operacionales.

V

Ec. de Nernst.Deducida para corriente = 0

'''

ln'''cc

zFRT

R1

R221

1

RRV

i

V1

V2

2

2

RV

i 21

212 RR

RVV

V1 R1

0i

Ai 410

Ai 4105.0 21

2

VV

12 RR

Midiendo voltaje sin tomar corriente

Midiendo voltaje tomando corriente

http://en.wikipedia.org/wiki/Field-effect_transistorhttp://en.wikipedia.org/wiki/Operational_amplifierhttp://en.wikipedia.org/wiki/Operational_amplifier_applications

V1 R1

AVVV ININOUT

AVVV OUTINOUT

AVAV INOUT 1

INOUT VV Si A >> 1

ININ VV Si A >> 1

Amplificador operacional con realimentación negativa

Integración de la ecuación de Nernst-Plank

zFcRTdxd

cuJ ln

zFcRTdxd

cuJ ln

zUcdxd

cDJ ln

RTzF

cdxd

cuRTJ ln

Coeficiente de Difusión, D. Ecuación de Einstein:

uRTD Unidades del Coeficiente de Difusión:

mol

J

N/molm/s

RTus

m

2

D

Potencial reducido, adimensional

J/molJ/coulomb lcoulomb/mo

RTF

U

dxdU

zceedxdc

DJe zUzUzU

dxdU

zdxdc

ccDJ

1

Integración por partes

dxdU

zcdxdc

DJ

? )( zUcedxd

dxdu

vdxdv

uuvdxd Recordar esto

Multiplico ambos lados por ezU

Aplicar a:

zUcdxd

cDJ ln

dxdU

zceedxdc

cedxd zUzUzU )(

dxdU

zceedxdc

DJe zUzUzU

dxdU

czeedxdC

cedxd zUzUzU )(

dxdu

vdxdv


??

dxdU

zceedxdc

DJe zUzUzU

)( zUzU cedxd

DJe

dxdU

zceedxdc

cedxd zUzUzU )(

dxdU

czeedxdc

cedxd zUzUzU )(

dxdu

vdxdv


)( zUzU ceDddxJe Para integrar el lado izquierdo necesitamos conocer U en función de x.

Suposición de Goldman: el campo eléctrico es constante en el interior de la membrana ( dU/dx = constante).

minex UUU

dxdU

intracelular membrana extracelular

x

U intracelular

U extracelular

0

0

+

-

U

En esta ecuación es el espesor de la membrana.

Vamos a integrar la ecuación de Nernst-Planck entre los bordes de la membrana.

Condiciones de borde:

Borde Intracelular x = 0, c(0) = c’int, U(0) = Um

Borde Extracelular x = , c() = c’ext, U() = 0.

J

)( zUzU cedxd

DJe

dUU

dxU

dx

dU

m

m

y

)( zUzU ceDddxJe

)( zUzU

m

eDddUeU

J

x

x

zUx

x

zU

m

cedDdUeU

J00

)(

00

zUzU

m

DceezU

J

En estado estacionario, el flujo, J, es igual en todos los puntos de la membrana.La ecuación de Nernst-Planck en punto x en el interior de la membrana.

Separo las variables .

Uso la suposición de campo constante .

Integro desde x = 0 hasta x = .

zUinext

zU

m

eccDezU

J m ''11

1

´´

mzUext

zUinm

e

ceczDUJ

00

zUzU

m

DceezU

J

Estamos integrando la ecuación de Nernst-Planck entre los bordes de la membrana.

Condiciones de borde:

Borde Intracelular x = 0, c(0) = c’int, U(0) = Um

Borde Extracelular x = , c() = c’ext, U() = 0.

Las concentraciones en los bordes interno y externo de la membrana, c’int y c’ext, se relacionan con las concentraciones en las soluciones internas y

externas, c y cext mediante el coeficiente de partición .

extextin CcCc ´ int

Definición de la permeabilidad de la membrana, P.1-ms

D

P

1

´´

mzUext

zUinm

e

ceczDUJ

1

mzU

extzU

inm

e

ceczUDJ

1

m

m

zUext

zUinm

e

ceczPUJ

Esta es la ecuación de flujo de Goldman - Hodgkin - Katz

¿Cuánto es el flujo para Um 0?

Usar ex -1 x para x 0

1

m

m

zUext

zUinm

e

ceczPUJ

1lim 0 zUU e

Uzze zUU

11lim 0

exin ccPJ

Otra manera de verlo:

1

m

m

zUext

zUinm

e

ceczPUJ

exin ccPJ

m

extinm

zUcczPU

J

Na+

K+

Cl-

Na+

K+

Cl-

JNa

JK

JCl

Potencial eléctrico de una membrana permeable a Na, K y Cl, que separa soluciones que contienen estos tres iones.

Condición de potencial eléctrico constante es corriente cero INa + IK + Icl = 0.

KKK FJzI

NaNaNa FJzI

ClClCl FJzI

0 ClKNaClKNa J J JFIII

Condición de corriente cero es JNa + JK - Jcl = 0.

2m smol

mol

coulomb zFJI 2m

amper

1),(),( mm UexK

UinKKmK ececPUJ

1),(),( mm UexNa

UinNaNamNa ececPUJ

1),(),( mm UexCl

UinClClmCl ececPUJ

mm UUexClinClClmCl eeccPUJ 1),(),(

1),(),( mm UinCl

UexClClmCl ececPUJ

Multiplica el flujo de Cl- por eUm / eUm

Multiplica el flujo de Cl- por -1/-1 para dejar todas las expresiones con denominador común

),(),(/1 exKU

inKKmU

K cecPUeJ mm

),(),(/1 exNaU

inNaNamU

Na cecPUeJ mm

),(),(/1 inClU

exClClmU

Cl cecPUeJ mm

JNa + JK - JCl = 0

),(),(/1 exKU

inKKmU

K cecPUeJ mm

),(),(/1 exNaU

inNaNamU

Na cecPUeJ mm

),(),(/1 inClU

exClClmU

Cl cecPUeJ mm

),(),(),(),(),(),(0 inClU

exClClexNaU

inNaNaexKU

inKK cecPcecPcecP mmm

),(),(),(),(),(),( inClClexNaNaexKKexClClinNaNainKKU cPcPcPcPcPcPe m

),(),(),(

),(),(),(

exClClinNaNainKK

inClClexNaNaexKKU

cPcPcP

cPcPcPe m

),(),(),(

),(),(),(lnexClClinNaNainKK

inClClexNaNaexKKm cPcPcP

cPcPcPU

),(),(),(

),(),(),(lnexClClinNaNainKK

inClClexNaNaexKKm cPcPcP

cPcPcP

FRT

La ecuación Goldman-Hodgkin-Katz para el potencial de reposo

La suma tiene que ser cero

La densidad de corriente llevada por un ion.

1)()( mm zUex

zUinm ececPzUJ

1)()(2 mm zU

exzU

inm ececPFUzI

11)()(

2 mNernstm zUUUzexm eePcFUzI

-2Am zFJI

)(

)(

ex

inzU

c

ce Nernst

La densidad de corriente llevada por un ion.

23 mamper

mmol

sm

molcoulomb

11)(

)()(

2

mm zUzU

ex

inexm ee

c

cPcFUzI

11)()(


Vm, mV

IK

INa

Las curvas I/V para K y Na según GHK y las concentraciones intra y extracelulares en el axón de jibia

Caso límite de la ecuación GHK: cin cex, UNernst = 0

Nernstm UUFPczI 2

NernstmGI

2-22

Sm iaConductanc RT

PcFzG

La ecuación GHK se reduce a la ley de Ohm. Para cin cex

11)()(


NernstmUUz UUz -e Nernstm 1 m

zU zU -e m 1y

RT

U mex UFPczI 2

mex

RT

PcFzI )(

22

Admitiendo estas aproximaciones:

mGI

Na+ 50 mMK+ 440 mMCl- ?

in -60 mV

Na+ 440 mMK+ 10 mMCl- 450 mM

ex 0 mV

Iones en una célula de jibia.

Si la membrana es permeable al ion cloruro y no hay una bomba de cloruro, esperamos que el cloruro esté en equilibrio. La concentración la podemos calcular usando la ecuación de Nernst. Cl = m

'''

ln'''cc

zFRT

ex

inm c

c

FRT

ln

ex

in

c

clog5860

exin cc 092.0

mM 41inc

El experimento confirma que la concentración intracelular de cloruro es efectivamente 41 mM.

Na+ 50 mMK+ 440 mMCl- 41 mM

in -60 mV

Na+ 440 mMK+ 10 mMCl- 450 mM

ex 0 mV


ex

inm c

c

FRT

ln

ex

in

c

clog5860

exin cc 092.0

mM 41inc

Na+ 50 mMK+ 440 mMCl- 41 mMA- 449 mM

A- =Aniones orgánicos no difusibles.

Tema de seminario de próximo martes. Armstrong, C. 2003. The Na/K pump, Cl ion, and osmotic stabilization of cells. PNAS 100:6257-6262

Na+ 50 mMK+ 440 mMCl- 41 mM

in -60 mV

Na+ 440 mMK+ 10 mMCl- 450 mM

ex 0 mV


ex

inNa Na

NaF

RTln

mV 55Na ex

inK K

KF

RTln

mV 95K NersntmGI

0dt

dCGGGI m

ClmClKmKNamNam

En el potencial de reposo

0 KmKNamNa GG

En el potencial de reposo

0 KmKNamNa GG

0 KmNa

KNam G

G

Km

Nam

Na

K

GG

3.335

11595605560

Na

K

GG

Medición del potencial de reposo

1

23 0

)( mO A)( OmO A

AAO 1 A=105

mO

0ex

m

Esto se cumple para todos los circuitos con realimentación negativa

Inyectando corriente

1

23 m

Im

Mostrar MapShow

0ex

m

Im

Electrodo de tierra es muy grande. La densidad de corriente (A/cm2) en la superficie del electrodo es pequeña porque el área es grande. La reacción redox del electrodo se puede suponer muy cerca del equilibrio

Midiendo la corriente

1

23 m

Im

Mostrar MapShow

Mostrar MapShow

0ex

m

Im

fmRI

fREl amplificador mantiene el electrodo de tierra activamente a potencial cero. La intensidad de la corriente se puede calcular del potencial eléctrico medido a la salida del amplificador.

Im = 0 t < 0.01 msIm = -50 Acm-2 0.1 < t < 0.25 ms

Im = 0 t > 0.25 ms

m Im

dt

dCGGGI m

ClmClKmKNamNam

Im = 0 t < 0.01 msIm = -99 Acm-2 0.1 < t < 0.25 ms

Im = 0 t > 0.25 ms

m Im

dt

dCGGGI m

ClmClKmKNamNam

Im = 0 t < 0.01 msIm = 10 Acm-2 0.1 < t < 0.25 ms

Im = 0 t > 0.25 ms

m Im

dt

dCGGGI m

ClmClKmKNamNam

Im = 0 t < 0.01 msIm = 20 Acm-2 0.1 < t < 0.25 ms

Im = 0 t > 0.25 ms

m Im

dt

dCGGGI m

ClmClKmKNamNam

Im = 0 t < 0.01 msIm = 35 Acm-2 0.1 < t < 0.25 ms

Im = 0 t > 0.25 ms

m Im

dt

dCGGGI m

ClmClKmKNamNam

Im = 0 t < 0.01 msIm = 36 Acm-2 0.1 < t < 0.25 ms

Im = 0 t > 0.25 ms

m Im

dt

dCGGGI m

ClmClKmKNamNam

The Nerve ImpulseDr. Francisco Bezanilla. http://nerve.bsd.uchicago.edu/TheNerveImpulse05.pdf

Imponiendo un voltaje

m

dt

dCGGGI m

ClmClKmKNamNam

m

mI

mI

Voltage clamp

m

dt

dCGGGI m

ClmClKmKNamNam

m

mI

mI

fmRI

fR

m

Imponiendo un voltaje y midiendo la corriente con un solo amplificador.

m

m + ImR1

dt

dCGGGI m

ClmClKmKNamNam

Mostrar VClampShow

1

23

R1

m

m

Este electrodo tiene m sólo para corrientes muy pequeñas

mI

mI

V1

1

23

R1

m

m + ImR1

dt

dCGGGI m

ClmClKmKNamNam

Imponiendo un voltaje y midiendo la corriente con un solo amplificador y un solo electrodo. Patch clamp.

mI

mI

m

Este electrodo tiene m sólo para corrientes muy pequeñas

mI

dt

dCGGGI m

ClmClKmKNamNam

dt

dCGGGI m

ClmClKmKNamNam

The Nerve ImpulseDr. Francisco Bezanilla. http://nerve.bsd.uchicago.edu/med98a.htm

The Nerve ImpulseDr. Francisco Bezanilla. http://nerve.bsd.uchicago.edu/TheNerveImpulse05.pdf

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