Post on 08-May-2021
UNIVERSIDAD DE SEVILLA
Series de funciones e integral
de Lebesgue
Luis Bernal Gonzalez
Departamento de Analisis Matematico
Sevilla, 2018. Disponible en: http://personal.us.es/lbernal/
Indice general
Prologo 5
1. Series de numeros reales e integral de Riemann 9
1.1. Series numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. Series de terminos positivos y series alternadas . . . . . . . . . 12
1.4. Otros criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5. Concepto y propiedades de la integral de Riemann . . . . . . . 15
1.6. Condiciones de integrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7. Integracion y antiderivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.8. Cambio de variables e integracion por partes . . . . . . . . . . 19
1.9. La integral de Riemann–Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2. Integrales impropias 25
2.1. Integrales impropias de primera especie . . . . . . . . . . . . . 25
2.2. Integrales impropias de segunda especie . . . . . . . . . . . . . 27
2.3. Integrales mixtas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4. Criterios de convergencia. Convergencia absoluta . . . . . . . . 30
2.5. Criterios de convergencia para funciones positivas . . . . . . . 32
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
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2 Luis Bernal Gonzalez
3. Sucesiones de funciones 37
3.1. Convergencia puntual y convergencia uniforme . . . . . . . . . 37
3.2. Convergencia uniforme: preservacion de la acotacion, la conti-
nuidad y la derivabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3. Convergencia uniforme e integracion . . . . . . . . . . . . . . 44
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4. Series de funciones 49
4.1. Definiciones: sumas puntual y uniforme . . . . . . . . . . . . . 49
4.2. Relacion con la continuidad, derivacion e integracion . . . . . 50
4.3. Criterios de convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . 51
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5. Series de potencias 57
5.1. Radio e intervalo de convergencia de una serie de potencias . . 57
5.2. Continuidad, derivabilidad e integrabilidad de series de potencias 61
5.3. Funciones analıticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6. Medida de Lebesgue 71
6.1. El problema de la medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.2. Espacios medibles, espacios de medida y medida exterior . . . 72
6.3. Construccion de la medida de Lebesgue en R . . . . . . . . . . 76
6.4. Conjuntos medibles Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.5. El conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7. Integral de Lebesgue 91
7.1. Funciones simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.2. Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.3. Integral de Lebesgue de funciones no negativas . . . . . . . . . 99
INDICE GENERAL 3
7.4. Propiedades de la integral de funciones no negativas . . . . . . 101
7.5. Conjuntos de medida nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.6. Integral de Lebesgue de funciones medibles . . . . . . . . . . . 104
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
8. Teoremas de convergencia 113
8.1. Teoremas de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.2. Relacion entre las integrales de Riemann y de Lebesgue . . . . 118
8.3. El espacio L1(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.4. Subespacios densos de L1(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9. Integrales parametricas 129
9.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9.2. Continuidad de integrales parametricas . . . . . . . . . . . . . 130
9.3. Derivabilidad de integrales parametricas . . . . . . . . . . . . 131
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
10. Series de Fourier 135
10.1. Serie de Fourier y coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . . . 135
10.2. Desigualdades e igualdades con coeficientes de Fourier . . . . . 138
10.3. Convergencia puntual de la serie de Fourier . . . . . . . . . . . 140
10.4. Convergencia uniforme de la serie de Fourier . . . . . . . . . . 144
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Bibliografıa 151
Lista de sımbolos y abreviaturas 153
Indice alfabetico 155
Prologo
Estas notas han sido concebidas para servir de base al estudiante que
pretenda introducirse en los rudimentos de la teorıa de sucesiones y series de
funciones y en la teorıa de integracion de Lebesgue. Ambas teorıas proporcio-
nan instrumentos de amplio uso en analisis matematico, en sus dos vertientes
teorica y aplicada.
El texto esta dirigido, inicialmente, a los alumnos de la asignatura homoni-
ma Series de funciones e integral de Lebesgue, que actualmente se imparte
como asignatura obligatoria en el segundo curso del Grado en Matematicas
de la Universidad de Sevilla. No obstante, confıo en que su utilidad vaya mas
alla y pueda ser usado como consulta tambien fuera del ambito especıfico
de la asignatura citada. Espero, asimismo, que estas notas sean tambien de
provecho para el profesor que imparta los contenidos de las mismas.
Como prerrequisito para una lectura provechosa de esta obra, se presu-
pone al lector una fuerte familiaridad con nociones y resultados basicos del
calculo infinitesimal. Me refiero en especial a conocimientos sobre sucesiones
y series de numeros reales, convergencia, funciones reales de variable real,
topologıa de la recta real, continuidad, derivabilidad e integral en el sentido
de Riemann. Aunque no es indispensable, serıa asimismo bienvenida cierta
base de topologıa general, algebra lineal y geometrıa analıtica. No obstante,
y con objeto de hacer estas notas lo mas autocontenidas posible, se han in-
5
6 Luis Bernal Gonzalez
corporado, como recordatorio para el lector, algunos conceptos y resultados
adicionales.
El texto se ha dividido en diez capıtulos o temas. En el Capıtulo 1 se
recapitulan, sin demostracion, los conceptos y resultados basicos sobre series
numericas e integral de Riemann, conocidos por el estudiante de un curso
elemental de calculo. Seran muy utiles para impartir la teorıa y resolver pro-
blemas correspondientes a los temas posteriores. Aprovecho para decir que,
en los restantes capıtulos, a veces se enunciaran sin demostracion resulta-
dos adicionales que son interesantes para una ulterior profundizacion en la
materia de que trata el texto.
Como extension del concepto de integral de Riemann, se estudia la nocion
de integral impropia, en la que ya ni el intervalo de definicion de la funcion
ni la funcion misma a integrar tienen por que ser acotados. Presentamos este
tipo de integral en el Capıtulo 2.
Una sucesion real no es mas que una aplicacion del conjunto de los nume-
ros naturales en la recta real. Pero a veces surgen sucesiones que dependen
de una variable, que determina la posibilidad de un lımite que a su vez es
una funcion. Estas son las sucesiones de funciones, que se estudiaran en el
Capıtulo 3. Cuando se consideran las sumas parciales de estas sucesiones,
obtenemos series de funciones, consideradas en el Capıtulo 4. En ambos ca-
sos se estableceran condiciones para la propagacion de las propiedades de los
terminos a la funcion lımite o suma.
En el Capıtulo 5 se desarrolla el que quiza sea el ejemplo mas importante
de serie funcional, a saber, las series de potencias, las cuales dan lugar al
concepto de funcion analıtica. Las propiedades operacionales de este tipo
de series, la estructura del conjunto de puntos de convergencia y diversos
criterios de analiticidad se estudiaran en este capıtulo.
PROLOGO 7
La medida de Lebesgue sobre la recta real, como extension natural del
concepto de longitud de un intervalo, se presenta en el Capıtulo 6. Con ella
se prepara la base para establecer el concepto de integral de Lebesgue, que
se estudiara en el Capıtulo 7. La integral de Lebesgue generaliza de manera
eficaz la nocion de integral de Riemann, evitando muchas de las carencias de
esta.
El Capıtulo 8 da a luz resultados de intercambio de las operaciones de
integracion Lebesgue y de lımite/sumacion, por lo que es ampliamente util y
conecta las dos partes del tıtulo de esta obra. Como aplicacion, en el Capıtulo
9 se investiga la propagacion, a una funcion definida por una integral depen-
diente de un parametro, de las propiedades de la funcion que actua como
integrando.
Finalmente, el estudio de algunos problemas fısicos, asociados a la reso-
lucion de ciertas ecuaciones diferenciales, dio lugar a las series de Fourier,
importante clase de series funcionales cuyos rudimentos se exponen en el
Capıtulo 10.
La obra contiene ejemplos que ilustran los conceptos y resultados que van
surgiendo. Ademas, al final de cada capıtulo se propone una variada lista de
ejercicios, en los que la teorıa dada o bien se aplica o bien se completa. En
algunos de ellos se adjuntan indicaciones o sugerencias utiles. Recomendamos
al estudiante que intente la resolucion de dichos ejercicios, pues ello constituye
un buen indicador del grado de asimilacion de la materia. Al final del texto se
ofrece una bibliografıa para que el lector interesado efectue consultas y amplıe
conocimientos. Para una mayor comodidad de lectura, incluyo una lista de
abreviaturas y sımbolos. El ındice alfabetico esta organizado de modo que se
indica la pagina o paginas donde aparece por primera vez la definicion de un
concepto o la formulacion de un resultado.
8 Luis Bernal Gonzalez
Para concluir, es de justicia expresar mi agradecimiento a los profesores
Ma Angeles Japon Pineda y Rafael Villa Caro por proporcionarme material
abundante y valioso, fruto de su experiencia docente. He utilizado frecuente-
mente, con provecho, dicho material en la elaboracion de esta obra.
El autor
Capıtulo 1
Series de numeros reales e
integral de Riemann
Efectuamos en este capıtulo una recapitulacion de algunos conceptos y
teoremas que el lector probablemente conoce de un curso elemental de calculo
infinitesimal. En concreto, se refieren a las series de numeros reales y a la
integral en el sentido de Riemann. Por tanto, no se daran las demostraciones.
Nuestro objetivo es que los resultados que se recopilan se puedan usar con
comodidad en el resto de esta obra, tanto en la parte teorica como en la
practica.
1.1. Series numericas
Como es usual, denotaremos por N el conjunto {1, 2, . . . } de los enteros
positivos o numeros naturales, y por R el cuerpo de los numeros reales.
Consideremos una sucesion de numeros reales, es decir, una aplicacion ϕ :
n ∈ N 7→ an ∈ R, representada como es habitual por a1, a2, ..., {an}∞n=1 o
bien simplemente {an} o (an). Se llama serie asociada o generada por {an}a la sucesion {Sn} de sumas parciales de aquella, es decir, Sn =
∑nk=1 ak =
9
10 Luis Bernal Gonzalez
a1 + · · · + an para todo n ∈ N. Se representa por∑∞
n=1 an, o simplemente∑an, y a veces tambien por a1 + a2 + · · · + an + · · · . Por definicion, el
caracter de una serie es el mismo que el de la sucesion de sumas parciales
que la genera.
Definicion 1.1.1. Se dice que la serie∑∞
n=1 an es convergente cuando {Sn}converge, esto es, cuando existe un numero S ∈ R, necesariamente unico,
tal que Sn →n→∞
S. Este hecho se representa por∑∞
n=1 an = S, y se dice en
tal caso que S es la suma de la serie. En el caso de que la serie∑∞
n=1 an
no converja, se suele distinguir entre serie divergente y serie oscilante segun
que, respectivamente, Sn →∞ o {Sn} no tienda a ningun numero real ni a
infinito.
La ası llamada serie geometrica 1 + a + a2 + · · · proporciona el ejemplo
mas sencillo. Teniendo en cuenta que las sumas parciales valen Sn = 1 +
a + · · · + an−1 = 1−an1−a = 1
1−a −an
1−a si a 6= 1 y Sn = n si a = 1, resulta
que dicha serie es convergente (con suma 11−a) si a ∈ (−1, 1), divergente si
a ∈ (−∞,−1) ∪ [1,+∞), y oscilante si a = −1.
Es evidente que el hecho de anadir o suprimir un numero finito de terminos
de una serie no altera el caracter de la misma. Otra propiedad elemental es la
asociatividad, que afirma que si una serie∑∞
n=1 an es convergente o divergente
y consideramos la serie reagrupada∑∞
n=1 bn, donde b1 = a1 + · · · + an1 ,
b2 = an1+1 + · · ·+an2 , ... con n1 < n2 < · · · , entonces∑∞
n=1 bn tiene el mismo
caracter y la misma suma que la serie original∑∞
n=1 an. Pero la propiedad
disociativa no es valida en general. Por ejemplo, la serie 0 + 0 + 0 + · · · es
trivialmente convergente, y cada termino puede escribirse como 0 = 1 − 1.
Tras esta disociacion, resulta la nueva serie 1 − 1 + 1 − 1 + · · · , la cual no
converge.
Finalmente, tenemos la siguiente propiedad distributiva o de linealidad
para series convergentes.
SERIES DE NUMEROS REALES E INTEGRAL DE RIEMANN 11
Teorema 1.1.2. Si∑an = S y
∑bn = S ′ entonces, para cada par α, β ∈
R, la serie∑αan + βbn converge y
∑αan + βbn = αS + βS ′.
Anotamos que a veces la sucesion {an} que genera la serie∑an no em-
pieza su numeracion con el subındice 1, sino con otro subındice N ∈ N0 :=
N ∪ {0}. En tal caso la serie se expresa como∑∞
n=N an y su suma, caso de
ser convergente, es por definicion el lımn→∞(aN + aN+1 + · · ·+ an).
1.2. Criterios de convergencia
Vamos a recordar condiciones, necesarias y/o suficientes, de convergen-
cia de series numericas. Comencemos con la condicion necesaria mas popular.
Teorema 1.2.1. Si la serie∑an converge, entonces lımn→∞ an = 0.
Por ejemplo, las series∑
(−1)n√n y
∑log n no convergen. Sin embargo,
la condicion dada en el teorema anterior no es suficiente para la convergencia.
Por ejemplo, la serie armonica∑
1/n cumple que 1/n→ 0, pero no es con-
vergente. A continuacion, establecemos el criterio de Cauchy de convergencia
de series numericas.
Teorema 1.2.2. La serie de numeros reales∑an es convergente si y solo
si para cada ε > 0 existe n0 = n0(ε) ∈ N tal que∣∣∑m
k=n+1 ak∣∣ < ε para
todos los m,n ∈ N con m > n ≥ n0.
Por definicion, una serie de terminos positivos (STP) es una serie∑cn
tal que cn ≥ 0 para todo n ∈ N. De manera natural, una serie numerica∑an
lleva asociada una STP, a saber,∑|an|. Se dice que la serie
∑an es abso-
lutamente convergente cuando∑|an| es convergente. Tenemos la siguiente
condicion suficiente.
Teorema 1.2.3. Toda serie absolutamente convergente es convergente. Ademas,
si∑an = S y
∑|an| = S∗ entonces |S| ≤ S∗.
12 Luis Bernal Gonzalez
Por ejemplo, la serie∑
(−1)n3+n2+n/2n converge; en efecto, la serie∑
|(−1)n3+n2+n/2n| =
∑(1/2)n
es convergente, ya que |1/2| < 1. Por tanto, si disponemos de criterios de con-
vergencia de STPs, obtendremos instrumentos para estudiar la convergencia
ordinaria de series. Recordaremos algunos de esos criterios en la seccion si-
guiente.
1.3. Series de terminos positivos y series al-
ternadas
Trataremos aquı sobre estos dos tipos especiales de series. Se conoce la
siguiente facil caracterizacion de la convergencia de las STPs en funcion de
las sumas parciales.
Teorema 1.3.1. Una STP es convergente si y solo si su sucesion de sumas
parciales esta acotada. En consecuencia, toda STP es convergente o diver-
gente, es decir, no puede ser oscilante.
Recordemos que una permutacion de N no es mas que una biyeccion
ϕ : N → N. Si∑an es una serie y ϕ es una permutacion de N, a la nueva
serie∑aϕ(n) se la llama serie reordenada respecto de la anterior.
Teorema 1.3.2. Las STPs poseen la propiedad conmutativa, es decir, series
reordenadas tienen el mismo caracter, y la misma suma en el caso en que
sean convergentes.
En general, una serie numerica∑an se dice que es incondicionalmente
convergente cuando toda reordenacion suya converge, y a la misma suma.
Una serie∑an se dice que es condicionalmente convergente cuando con-
verge pero alguna reordenacion suya no converge o converge a otra suma.
SERIES DE NUMEROS REALES E INTEGRAL DE RIEMANN 13
Como generalizacion del teorema anterior, se tiene el teorema de Riemann–
Dirichlet, que afirma que una serie∑an es incondicionalmente convergente
si y solo si es absolutamente convergente.
El siguiente resultado proporciona criterios de convergencia de STPs.
Teorema 1.3.3. Sean∑an y
∑bn dos STPs. Se verifica:
(a) [Criterio de comparacion] Si existe n0 ∈ N tal que an ≤ bn para todo
n ≥ n0 y∑bn es convergente, entonces
∑an es convergente. Si existe
n0 ∈ N tal que an ≥ bn para todo n ≥ n0 y∑bn es divergente, entonces∑
an es divergente.
(b) [Criterio de comparacion por paso al lımite] Si lımn→∞
anbn
= L ∈ [0,+∞)
(∈ (0,+∞], resp.) y∑bn es convergente (divergente, resp.), entonces∑
an es convergente (divergente, resp.).
(c) [Criterio de la raız o de Cauchy] Si existe lımn→∞ a1/nn =: L ∈ [0,+∞]
y L < 1 (y L > 1, resp.), entonces la serie∑an es convergente (diver-
gente, resp.).
(d) [Criterio del cociente o de D’Alembert] Si existe lımn→∞
an+1
an=: L ∈
[0,+∞] y L < 1 (y L > 1, resp.), la serie∑an es convergente (di-
vergente, resp.).
(e) [Criterio de Raabe–Duhamel] Si existe lımn→∞
n( anan+1
−1)
=: L ∈ [0,+∞]
y L < 1 (y L > 1, resp.), entonces la serie∑an es divergente (con-
vergente, resp.).
(f) [Criterio de condensacion de Cauchy] Supongamos que {an} es decre-
ciente. Entonces∑an es convergente si y solo si
∑2n ·a2n es conver-
gente.
14 Luis Bernal Gonzalez
(g) La serie armonica generalizada∑
1na
(a ∈ R) es convergente si y solo
si a > 1.
Se llama serie alternada a una serie cuyos terminos tienen signo alterno, es
decir, una serie de la forma∑
(−1)ncn o bien∑
(−1)n+1cn con cn ≥ 0 para
todo n. El teorema siguiente, conocido como Criterio de Leibniz, proporciona
una condicion suficiente de convergencia de series alternadas.
Teorema 1.3.4. Consideremos una serie alternada como la anterior. Si la
sucesion {cn} es decreciente y cn → 0, entonces la serie alternada es conver-
gente. Ademas, en tal caso, el error cometido en la aproximacion no excede
el valor absoluto del primer termino despreciado; es decir, si Sn es la suma
parcial n-esima de la serie alternada y S es la suma, entonces |Sn−S| ≤ cn+1.
Por ejemplo, la ası llamada serie anarmonica 1 − 12
+ 13− 1
4+ · · · es
convergente. Este ejemplo tambien muestra que el recıproco del Teorema
1.2.3 es falso.
1.4. Otros criterios de convergencia
A veces tenemos una serie que no es absolutamente convergente pero
tampoco alternada, con lo cual no podemos usar los criterios de convergencia
anteriores. En el siguiente teorema se dan dos condiciones suficientes, que se
basan en una descomposicion factorial adecuada del termino general.
Teorema 1.4.1. Sean∑an y
∑bn dos series de numeros reales y deno-
temos An =∑n
k=1 ak. Se verifica:
(a) [Criterio de Dirichlet] Si la sucesion {An} es acotada y la sucesion {bn}es decreciente y con lımite 0, entonces
∑anbn es convergente.
(b) [Criterio de Abel] Si∑an converge y la sucesion {bn} es monotona
convergente, entonces∑anbn es convergente.
SERIES DE NUMEROS REALES E INTEGRAL DE RIEMANN 15
1.5. Concepto y propiedades de la integral de
Riemann
El concepto de integral es la abstraccion y formalizacion de la idea de
area. Aquı recordaremos la integral de Riemann, mientras que en el Capıtulo
7 introduciremos la integral, mas general, de Lebesgue.
Consideremos un intervalo cerrado y acotado [a, b] ⊂ R. Se llama particion
de [a, b] a cualquier conjunto finito de puntos de [a, b], uno de los cuales es a y
otro es b. Luego cada particion P de [a, b] consta de puntos xi (i = 0, 1, ..., n)
con a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b. Sea f una funcion acotada. Se define la
suma superior de Riemann de f respecto de la particion P como el numero
U(f, P ) =∑n
i=1Mi(xi − xi−1), donde Mi := sup{f(t) : xi−1 ≤ t ≤ xi}.Analogamente, la suma inferior de Riemann de f respecto de la particion
P se define como el numero L(f, P ) =∑n
i=1mi(xi − xi−1), donde mi :=
ınf{f(t) : xi−1 ≤ t ≤ xi}. Se tiene que L(f, P ) ≤ U(f, P ∗) para cualesquiera
particiones P, P ∗ de [a, b].
Definicion 1.5.1. Sea f : [a, b] → R acotada. A los numeros reales∫ baf :=
sup{L(f, P ) : P particion de [a, b]} y∫ baf := ınf{U(f, P ) : P particion de
[a, b]} se les llama, respectivamente, integral inferior de Darboux e integral
superior de Darboux de f en [a, b].
Se verifica que (b − a) · ınf{f(t) : a ≤ t ≤ b} ≤∫ baf ≤
∫ baf ≤ (b − a) ·
sup{f(t) : a ≤ t ≤ b}.
Definicion 1.5.2. Sea f : [a, b] → R acotada. Se dice que f es integrable
Riemann en [a, b] cuando∫ baf =
∫ baf , en cuyo caso se denota este valor
comun por∫ baf o
∫ baf(x) dx, el cual se denominara la integral de Riemann
de f en [a, b]. El conjunto de las funciones integrables Riemann en [a, b]
sera denotado por R[a, b].
16 Luis Bernal Gonzalez
Como ejemplo trivial, toda funcion constante f(x) ≡ c en [a, b] esta en
R[a, b], y ademas∫ baf = c(b−a). En el siguiente teorema resumimos algunas
propiedades de la integral de Riemann.
Teorema 1.5.3. (a) [Linealidad respecto al integrando] R[a, b] es un es-
pacio vectorial sobre R. De hecho, si f, g ∈ R[a, b] y α, β ∈ R, entonces
αf + βg ∈ R [a, b] y∫ ba(αf + βg) = α
∫ baf + β
∫ bag.
(b) [Linealidad respecto al intervalo] Si a < c < b y f ∈ R[a, c] ∩ R[c, b]
entonces f ∈ R[a, b] y∫ baf =
∫ caf +
∫ bcf .
(c) [Monotonıa] Si f ∈ R[a, b] y f ≥ 0 en [a, b] entonces∫ baf ≥ 0. Si
f, g ∈ R[a, b] y f ≥ g en [a, b] entonces∫ baf ≥
∫ bag.
1.6. Condiciones de integrabilidad
Establecemos aquı dos condiciones de integrabilidad en el sentido de
Riemann, una necesaria y suficiente, y otra suficiente.
Teorema 1.6.1. [Condicion de Riemann] Sea f : [a, b] → R acotada. Se
tiene que f ∈ R[a, b] si y solo si, para cada ε > 0, existe una particion P de
[a, b] tal que U(f, P )− L(f, P ) < ε.
Como consecuencia, si una funcion es integrable Riemann en un intervalo,
lo es en cualquier subintervalo de este.
Teorema 1.6.2. Toda funcion continua en [a, b] es integrable Riemann en
dicho intervalo.
En sımbolos, el teorema nos dice que C([a, b]) ⊂ R[a, b]. La anterior no es
una condicion necesaria; por ejemplo, la funcion f : [0, 1]→ R definida como
1 en x = 0 y 0 en (0, 1] es integrable Riemann, con∫ 1
0f = 0. Veremos en el
SERIES DE NUMEROS REALES E INTEGRAL DE RIEMANN 17
Capıtulo 8 que una funcion acotada en [a, b] es integrable Riemann si y solo
si “no tiene demasiadas discontinuidades”, en un sentido que se especificara.
Teorema 1.6.3. Si f : [a, b] → R es acotada, y es continua salvo en un
conjunto finito de puntos de [a, b], entonces f ∈ R[a, b]. Por otra parte, si
f, g : [a, b]→ R son funciones tales que f ∈ R[a, b] y existe un conjunto finito
F ⊂ [a, b] tal que g(x) = f(x) para todo x ∈ [a, b] \ F , entonces g ∈ R[a, b] y∫ bag =
∫ baf .
Recordemos que, si f ∈ R[a, b], el valor medio integral de f sobre [a, b]
se define como el numero µ = 1b−a
∫ baf(x) dx. Si f ≥ 0 en [a, b], µ representa
la altura de un rectangulo de base el segmento [a, b] y area∫ baf . Entonces
m ≤ µ ≤ M , donde m y M son respectivamente el ınfimo y el supremo de
f en [a, b]. El Teorema del valor medio integral asegura que si f ∈ C([a, b])entonces existe algun punto x0 ∈ [a, b] tal que f(x0) = µ.
Ya sabemos que cualquier combinacion lineal finita de funciones integra-
bles Riemann es tambien integrable Riemann. El siguiente resultado completa
esta afirmacion y nos viene a decir que la integral de Riemann es respetuo-
sa con las operaciones elementales. Puede probarse usando la condicion de
Riemann. Recordemos que f+ y f− denotan respectivamente la parte positi-
va y la parte negativa de una funcion f , es decir, f+(x) := max{f(x), 0} y
f−(x) := max{−f(x), 0} = −mın{f(x), 0}. Luego f+ y f− son no negativas
y se tiene f = f+ − f− y |f | = f+ + f−.
Teorema 1.6.4. Supongamos que f, g ∈ R[a, b]. Entonces las funciones f+,
f−, |f |, f 2 y f · g estan tambien en R[a, b].
1.7. Integracion y antiderivacion
Vamos a recordar la relacion que hay entre estas dos operaciones. Re-
sulta que, en un sentido que se especificara mas adelante, ambas coinciden
18 Luis Bernal Gonzalez
esencialmente.
Supongamos que I ⊂ R es un intervalo y f : I → R es una funcion. Se
dice que la funcion F : I → R es una primitiva de f cuando F ′(x) = f(x)
para todo x ∈ I. Si el extremo izquierdo a (resp., el extremo derecho b)
de I esta en I, entendemos que F ′(a) = F ′+(a) (resp., F ′(b) = F ′−(b)). Es
facil ver que dos primitivas de una misma funcion en un mismo intervalo se
diferencian en una constante.
Definicion 1.7.1. Sea f ∈ R[a, b]. A la funcion F : x ∈ [a, b] 7→∫ xaf(t) dt
se le llama integral indefinida de f en [a, b].
Podemos decir que la operacion de integracion “mejora” las propiedades
de la funcion.
Teorema 1.7.2. Si f ∈ R[a, b] entonces su funcion integral indefinida es
continua en [a, b].
Los dos resultados que agrupamos en el siguiente teorema son basicos
y expresan la fuerte relacion existente entre integrar y la operacion inversa
de derivar. Si k ∈ N, denotaremos por Ck([a, b]) el espacio de las funciones
[a, b]→ R diferenciables con continuidad hasta orden k inclusive.
Teorema 1.7.3. (a) [Primer teorema fundamental del Calculo]
Sea f ∈ R[a, b] y F su funcion integral indefinida. Si f es continua en
el punto x0 ∈ [a, b] entonces F es derivable en x0 y F ′(x0) = f(x0). En
particular, si f ∈ C([a, b]) entonces F ∈ C1([a, b]).
(b) [Segundo teorema fundamental del Calculo o Regla de Barrow]
Sea f ∈ R[a, b]. Si g : [a, b] → R es una funcion continua que es una
primitiva de f en (a, b) entonces∫ baf = g(b)− g(a).
SERIES DE NUMEROS REALES E INTEGRAL DE RIEMANN 19
1.8. Cambio de variables e integracion por
partes
Continuamos con este par de resultados, que son importantes desde los
puntos de vista teorico y practico. Si c > d se entendera que∫ dcf = −
∫ cdf ,
siempre que el segundo miembro tenga sentido.
Teorema 1.8.1. [Formula del cambio de variables] Si g ∈ C1([a, b]) y f es
continua en g([a, b]), entonces∫ g(b)g(a)
f =∫ ba(f ◦ g) · g′.
Teorema 1.8.2. [Formula de integracion por partes] Sean f, g : [a, b] → R
derivables con f ′, g′ ∈ R [a, b]. Entonces∫ bafg′ = f(b)g(b)−f(a)g(a)−
∫ baf ′g.
1.9. La integral de Riemann–Stieltjes
Para terminar, vamos a generalizar la integral de Riemann. El concepto
que se va a definir es muy util en muchas ramas de la Matematica, tanto pura
como aplicada. Hasta ahora tenıamos una funcion integrando f : [a, b] → R
que se integraba respecto de la funcion identidad i(x) = x. Pero podemos
considerar una funcion integradora g : [a, b] → R distinta de la identidad,
siempre que verifiquen algunas condiciones. El contexto adecuado lo propor-
cionan las funciones que se definen a continuacion.
Definicion 1.9.1. Una funcion g : [a, b] → R es de variacion acotada
cuando existe M ∈ (0,+∞) tal que, para toda particion {t0 = a < t1 <
· · · < tn = b} de [a, b], se tiene quen∑k=1
|g(tk)− g(tk−1)| ≤M .
Por BV [a, b] se denotara el conjunto de las funciones [a, b]→ R de varia-
cion acotada. Enumeramos sin demostracion sus propiedades basicas.
Proposicion 1.9.2. Se verifican las siguientes propiedades:
20 Luis Bernal Gonzalez
(a) El conjunto BV [a, b] es un espacio vectorial.
(b) Si g : [a, b] → R esta en BV [a, b], existen funciones g1, g2 : [a, b] → R
crecientes tales que g = g1 − g2. En particular, BV [a, b] es la variedad
lineal generada por las funciones monotonas en [a, b].
(c) Se cumplen las siguientes relaciones de inclusion y de no-inclusion:
C([a, b]) 6⊂ BV [a, b], C([a, b]) 6⊃ BV [a, b] y C1([a, b]) ⊂ BV [a, b].
(d) Si g ∈ BV [a, b], entonces g es continua salvo en un conjunto numera-
ble de puntos, en los que tiene discontinuidades de salto.
Definicion 1.9.3. Consideremos dos funciones f, g : [a, b] → R. Diremos
que f es Riemann-Stieltjes integrable respecto de g en [a, b] cuando existe
un numero A ∈ R con la siguiente propiedad: para cada ε > 0 existe una
particion P0 = P0(ε) de [a, b] tal que, para toda particion P = {a = t0 <
t1 < · · · < tN = b} de [a, b] con P ⊃ P0 y todo sistema de puntos ξk ∈
[tk−1, tk] (k = 1, . . . , N), se tiene
∣∣∣∣∣A−N∑k=1
f(ξk)(g(tk)− g(tk−1))
∣∣∣∣∣ < ε. En tal
caso, diremos que A es la integral de Riemann-Stieltjes de f respecto de g, y
escribiremos∫ baf dg = A.
Es facil probar que el numero A, si existe, es unico. El conjunto de las fun-
ciones que son Riemann-Stieltjes integrables respecto de g en [a, b] sera de-
notado por RSg[a, b].
Teorema 1.9.4. Se verifican las siguientes propiedades:
(a) Si g(x) = x, entonces f ∈ RSg[a, b] si y solo si f ∈ R[a, b]. En tal
caso,
∫ b
a
f dg =
∫ b
a
f(x) dx.
(b) RSg[a, b] es un espacio vectorial. Especıficamente, si f, h ∈ RSg[a, b]y α, β ∈ R, entonces αf + βh ∈ RSg[a, b] y∫ b
a
(αf + βh) dg = α
∫ b
a
f dg + β
∫ b
a
h dg.
SERIES DE NUMEROS REALES E INTEGRAL DE RIEMANN 21
(c) Si f ∈ RSg[a, b] ∩RSh[a, b] y α, β ∈ R, entonces f ∈ RSαg+βh[a, b] y∫ b
a
f d(αg + βh) = α
∫ b
a
f dg + β
∫ b
a
f dh.
(d) Si c ∈ (a, b) y f ∈ RSg[a, b], entonces f ∈ RSg[a, c] ∩RSg[c, b] y∫ b
a
f dg =
∫ c
a
f dg +
∫ b
c
f dg.
(e) Si f ∈ C([a, b]) y g ∈ BV [a, b], entonces f ∈ RSg[a, b].
(f) Si f ∈ BV [a, b] y g ∈ C([a, b]), entonces f ∈ RSg[a, b].
(g) Se da la formula de integracion por partes. En concreto, si f ∈ RSg[a, b],
entonces g ∈ RSf [a, b] y
∫ b
a
g df = f(b)g(b)− f(a)g(a)−∫ b
a
f dg.
(h) Si f ∈ C([a, b]) y g ∈ C1([a, b]), entonces f ∈ RSg[a, b] y∫ baf dg =∫ b
af(x)g′(x) dx.
(i) Sea f ∈ C([a, b]). Supongamos que g : [a, b] → R es una funcion
escalonada, es decir, existe un conjunto finito F = {x1, . . . , xN} ⊂ [a, b]
tal que g es constante sobre cada intervalo abierto J ⊂ [a, b] \ F .
Entonces f ∈ RSg[a, b] y∫ baf dg =
∑Nj=1 f(xj) · Saltog(xj), donde
Saltog(α) := g(α+)− g(α−) si α ∈ (a, b), Saltog(a) := g(a+)− g(a) y
Saltog(b) := g(b)− g(b−).
Ejercicios
1.- Demostrar que la sucesion {an} converge si y solo si la serie∑
(an+1 − an)
converge. Probar que, en tal caso, si L es el lımite de {an} y S es la suma
de la serie anterior, entonces S = L− a1.
2.- Demostrar el criterio de Pringsheim: Sea∑an una STP. Si existe a > 1 tal
que lımn→∞ na · an = L ∈ [0,+∞), entonces
∑an es convergente. Si existe
22 Luis Bernal Gonzalez
a ≤ 1 tal que lımn→∞ na · an = L ∈ (0,+∞], entonces
∑an es divergente.
Indicacion: usar el Teorema 1.3.3.
Como aplicacion, decidir el caracter de la serie∞∑n=1
1
n1n
+π2 · (e1/n − 1)1/2
.
3.- Demostrar el criterio logarıtmico: Sea∑an una STP. Si existe el lımite
lımn→∞
ln (1/an)
lnn=: α y α > 1 (y α < 1, resp.), la serie
∑an es convergente
(divergente, resp.). Indicacion: usar el Teorema 1.3.3.
Como aplicacion, decidir el caracter de la serie∞∑n=2
1
(lnn)lnn.
4.- Decidir si son convergentes o no cada una de las siguientes series:
(a)∑∞
n=1sen (nθ)n2 , donde θ ∈ R es fijo.
(b) 1− 13 + 1
5 −17 + · · · .
(c) 1− 12 + 2
3 −13 + 2
4 −14 + 2
5 −15 + · · · .
(d)∑∞
n=1(−1)n lognn .
(e)∑∞
n=21
3√n2−1.
(f)∑∞
n=11
3√n2+1.
(g)∑∞
n=1n2
n! .
(h)∑∞
n=1lognn .
(i)∑∞
n=21
logn .
(j)∑∞
n=21
(logn)3.
(k)∑∞
n=21
(logn)n .
(l)∑∞
n=2(−1)n 1(logn)n .
(m)∑∞
n=1n2
n3+1.
(n)∑∞
n=1 sen (1/n).
(o)∑∞
n=1(1− cos (1/n)).
(p)∑∞
n=21
n logn (q)∑∞
n=21
n(logn)2(r)∑∞
n=21
n2 logn.
(s)∑∞
n=1n!nn (t)
∑∞n=1
2nn!nn (u)
∑∞n=1
3nn!nn .
SERIES DE NUMEROS REALES E INTEGRAL DE RIEMANN 23
5.- (a) Probar que si∑a2n y
∑b2n convergen, entonces
∑anbn converge.
(b) Probar que si∑a2n converge, entonces
∑an/n converge.
6.- Supongase que {an} es una sucesion decreciente con an ≥ 0 para todo n ∈ N.
Demostrar que si∑an converge, entonces lımn→∞ n · an = 0.
Indicacion: utilizar el criterio de Cauchy.
7.- Dar un ejemplo de una sucesion {an} tal que an → 0, la sucesion de sus
sumas parciales sea acotada y la serie∑an no converja.
8.- Sean f, g : [a, b] → R continuas con f ≥ g en [a, b]. Probar que∫ ba f =
∫ ba g
si y solo si f = g en [a, b].
9.- Demostrar que toda funcion monotona en un intervalo cerrado y acotado es
integrable Riemann en dicho intervalo.
10.- (a) Si f ∈ C([a, b]), demostrar que∫ ba f = lım
n→∞
b− an
n∑k=1
f(a+
k(b− a)
n
).
(b) Calcular el lımn→∞
cos(π/n) + cos(2π/n) + · · ·+ cos(nπ/n)
n.
11.- Probar, usando la definicion de integral de Riemann, que∫ 1
0 x dx = 1/2.
12.- Consideremos la funcion f : [0, 1]→ R dada por
f(x) =
1 si x ∈ Q ∩ [0, 1]
0 si x ∈ [0, 1] \Q ,
donde por Q se ha denotado el conjunto de los numeros racionales. Demos-
trar que f no es integrable Riemann en [0, 1].
13.- Sea f : [a, b]→ R continua y no negativa. Probar que
lımn→∞
(∫ b
af(x)n dx
)1/n
= sup{f(x) : a ≤ x ≤ b}.
14.- (a) Demostrar que si f es integrable Riemann en [a, b] entonces |f | tambien
lo es y∣∣ ∫ ba f∣∣ ≤ ∫ ba |f |.
24 Luis Bernal Gonzalez
(b) Dar un ejemplo de una funcion f que no sea integrable Riemann en
[0, 1] y tal que |f | sı lo sea.
15.- Supongase que f ∈ C([a, b]) y que g ∈ R[a, b] con g(x) ≥ 0 para todo
x ∈ [a, b]. Demostrar que existe ξ ∈ [a, b] tal que∫ b
af(x)g(x) dx = f(ξ)
∫ b
ag(x) dx.
Este resultado se conoce como Teorema generalizado del valor medio integral.
Mostrar con un ejemplo que la hipotesis de g(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] es
esencial.
16.- Sea f ∈ R [a, b]. Probar que, dado ε > 0, existe una funcion g ∈ C([a, b]) tal
que g ≤ f en [a, b] y∫ ba f −
∫ ba g < ε.
17.- Consideremos la funcion f : [0, 2]→ R dada por
f(x) =
1/[1/x] si 0 < x ≤ 1
0 si x = 0 o x > 1 ,
donde por [t] se ha denotado la parte entera del numero real t. ¿Es f
integrable Riemann en [0, 2]? En caso afirmativo, calculese∫ 2
0 f(x) dx.
18.- Determinar el area comprendida entre las graficas de las funciones f(x) =
senx y g(x) = cosx en el intervalo [0, 2π].
19.- Supongamos que f ∈ C[a, b] y que∫ ba f(x)g(x) dx = 0 para toda funcion
g ∈ C[a, b] que verifica g(a) = 0 = g(b). Demostrar que f ≡ 0 en [a, b].
20.- Dar un ejemplo de una funcion f : [0, 1] → R de variacion acotada que no
sea continua. Demostrar que la funcion g : [0, 1] → R dada por g(0) = 0,
g(x) = x sen (1/x) si x 6= 0, es continua pero no es de variacion acotada.
Demostrar que toda funcion continua h : [a, b]→ R, derivable en (a, b) y con
derivada acotada, es de variacion acotada en [a, b].
21.- Calcular la integral de Riemann–Stieltjes∫ 1
0 x dg(x) en los casos:
(a) g(x) = e−x, (b) g(x) = [3x], (c) g(x) = x[3x].
Capıtulo 2
Integrales impropias
En el capıtulo anterior se ha recordado el concepto de integral de Rie-
mann, definido para una funcion acotada en un intervalo cerrado y acotado
[a, b]. En el presente capıtulo se va a generalizar dicho concepto para funcio-
nes que, o bien no estan acotadas, o bien estan definidas en un intervalo no
acotado. Ello conduce a las nociones de integral impropia de primera especie
(si el intervalo es no acotado), de integral impropia de segunda especie (si la
funcion es no acotada en un intervalo acotado) y de integrales mixtas (si la
funcion es no acotada cerca de un punto finito y esta definida en un intervalo
no acotado). En todos los casos se procede del mismo modo: se integra en un
subintervalo acotado en el que la funcion este acotada y luego se halla el lımi-
te de dicha integral cuando el subintervalo tiende al intervalo de integracion
dado.
2.1. Integrales impropias de primera especie
En ciertos aspectos, las integrales impropias son analogas a las series.
En estas se consideraba la suma parcial de orden n y se hacıa tender n→∞.
En las integrales impropias se hace tender uno de los lımites de integracion
25
26 Luis Bernal Gonzalez
hacia +∞ o −∞. Recordemos que R[a, b] denota el conjunto de las funcio-
nes integrables Riemann en [a, b].
Definicion 2.1.1. Sea f : [a,+∞)→ R tal que f ∈ R[a, b] para todo b > a.
Consideremos la funcion I : b ∈ (a,+∞) 7→ I(b) =∫ baf(x) dx ∈ R, que se
llama integral impropia de primera especie de f en [a,+∞), y se representa
por∫ +∞a
f ,∫∞af ,∫ +∞a
f(x) dx o∫∞af(x) dx. Se dice que la integral
∫∞af es
convergente cuando existe el lımite I0 = lımb→+∞ I(b) y es finito. En tal caso
tambien se dira que f es integrable Riemann impropiamente en [a,+∞). Al
numero I0 se le llama valor de la integral impropia de f en [a,+∞), y este
hecho se escribira como∫∞af = I0, es decir,∫ ∞
a
f(x) dx = lımb→+∞
∫ b
a
f(x) dx.
En cualquier otro caso, diremos que la integral impropia∫∞af es divergente.
Notas 2.1.2. 1. Un hecho importante para la practica es que si f tiene una
primitiva F en [a,+∞) entonces, gracias a la regla de Barrow,∫ ∞a
f(x) dx = lımb→+∞
(F (b)− F (a)) = [ lımb→+∞
F (b)]− F (a).
2. Si f : (−∞, b] → R es una funcion tal que f ∈ R[a, b] para todo a < b,
se define analogamente∫ b−∞ f(x) dx = lıma→−∞
∫ baf(x) dx, siempre que el
lımite exista.
Ejemplos 2.1.3. 1. Sea a > 0 fijo y α ∈ R. Si usamos la regla de Barrow,
es facil ver que la integral∫∞a
1/xα dx diverge si α ≤ 1 y converge si α > 1,
en cuyo caso∫∞a
1/xα dx = a1−α
α−1.
2. La integral impropia∫∞
0sen (2πx) dx diverge, pues∫ ∞
0
sen (2πx) dx = lımb→+∞
∫ b
0
sen (2πx) dx = lımb→+∞
1
2π[1− cos(2πb)],
y este lımite no existe.
INTEGRALES IMPROPIAS 27
En el caso de funciones definidas en todo R el concepto de integral im-
propia se define como sigue.
Definicion 2.1.4. Sea f : R → R tal que f ∈ R[a, b] para todo intervalo
cerrado [a, b] ⊂ R. Decimos que la integral impropia∫ +∞−∞ f(x) dx converge
si existe un a ∈ R tal que∫ a−∞ f(x) dx e
∫ +∞a
f(x) dx convergen. En este
caso, el valor de la integral impropia viene dado por∫ +∞
−∞f(x) dx =
∫ a
−∞f(x) dx+
∫ +∞
a
f(x) dx.
En otro caso se dice que la integral impropia diverge.
Por ejemplo, la integral∫ +∞−∞
11+x2
dx converge y su valor I viene dado
por I =∫ 0
−∞1
1+x2dx+
∫ +∞0
11+x2
dx = lıma→−∞[arctan 0− arctan a]
+ lımb→+∞[arctan b− arctan 0] = π/2 + π/2 = π.
Notas 2.1.5. 1. Es facil ver a partir de la definicion que cualquier valor de
a es valido si hay convergencia y que en tal caso el valor de la integral no
depende de a.
2. Se llama valor principal de Cauchy de la integral∫ +∞−∞ f al lımite
lımT→+∞∫ T−T f . Se suele denotar por V PC
∫ +∞−∞ f . Es evidente que si
∫ +∞−∞ f
converge, su valor es V PC∫ +∞−∞ f . Pero puede que exista y sea finito el valor
principal sin que la integral impropia converja. Por ejemplo, V PC∫ +∞−∞ x dx =
0 pero la integral∫ +∞−∞ x dx diverge.
2.2. Integrales impropias de segunda especie
En este tipo de integrales el intervalo de definicion es acotado. Damos el
concepto cuando f esta definida en un intervalo del tipo [a, b). Analogamente
se procederıa si f estuviese definida en un intervalo del tipo (a, b].
28 Luis Bernal Gonzalez
Definicion 2.2.1. Sea f : [a, b)→ R tal que f ∈ R[a, c] para todo c ∈ (a, b).
Consideremos la funcion I : c ∈ (a, b) 7→ I(c) =∫ caf(x) dx, que se llama
integral impropia de segunda especie de f en [a, b), y se representa por∫ b−af ,∫ b−
af(x) dx, o simplemente
∫ baf(x) dx o
∫ baf . Se dice que la integral impropia∫ b
af es convergente cuando existe el lımite I0 = lımc→b− I(c) y es finito. En
tal caso tambien se dira que f es integrable Riemann impropiamente en [a, b).
Al numero I0 se le llama valor de la integral impropia de f en [a, b), y este
hecho se escribira como∫ baf = I0, es decir,∫ b
a
f(x) dx = lımc→b−
∫ c
a
f(x) dx.
En cualquier otro caso, diremos que la integral impropia∫ baf es divergente.
Notemos que en la definicion anterior no se exige que f este acotada. De
hecho, es facil ver usando una particion de [a, b] en dos intervalos adecuados,
que siempre que f este acotada en [a, b], entonces f ∈ R[a, b] si y solo si su
integral impropia de Riemann en [a, b) converge, y en este caso el valor de la
integral de Riemann coincide con el de la integral impropia.
Ejemplo 2.2.2. Sea α ∈ R. Usando la regla de Barrow se obtiene que la
integral impropia∫ 1
01xαdx converge si y solo si α < 1, en cuyo caso la integral
vale 11−α . De igual forma, las integrales
∫ ba
1(x−a)α
dx e∫ ba
1(b−x)α
dx convergen
si y solo si α < 1.
Como en el caso de las integrales del tipo∫∞−∞ f , que podrıamos llamar
bilateras de primera especie, se puede definir de manera obvia el concepto de
convergencia de una integral bilatera de segunda especie∫ b−a+f (o simplemente∫ b
af) donde f es una funcion definida en (a, b).
INTEGRALES IMPROPIAS 29
2.3. Integrales mixtas
El concepto de integral impropia mixta surge cuando la funcion esta de-
finida en un intervalo no acotado y no esta acotada cerca del extremo finito del
intervalo, es decir, cuando se combinan una impropiedad de primera especie
y una de segunda especie.
Definicion 2.3.1. Sea f : (a,+∞)→ R con f ∈ R[b, c] para todo intervalo
cerrado [b, c] ⊂ (a,+∞). Se dice que la integral∫ +∞a
f(x) dx, denominada
integral mixta, es convergente si existe b > a tal que las dos integrales impro-
pias∫ baf(x) dx y
∫ +∞b
f(x) dx convergen, en cuyo caso el valor de la integral
mixta se define por∫ +∞
a
f(x) dx =
∫ b
a
f(x) dx+
∫ +∞
b
f(x) dx.
En cualquier otro caso, diremos que la integral∫ +∞a
f(x) dx diverge.
Es facil ver que la eleccion de b en la definicion anterior es irrelevante
para la convergencia de la integral. Se puede dar un concepto mas general de
convergencia de la integral impropia de una funcion definida en un intervalo
real, que abarca todos los casos dados hasta ahora.
Definicion 2.3.2. Sean I ⊂ R un intervalo y f : I → R una funcion tal
que existe un conjunto finito F = {x1 < x2 < · · · < xN} ⊂ I de modo que
f ∈ R[a, b] para cada intervalo cerrado [a, b] ⊂ I \ F . Se dice que la integral
impropia de Riemann∫If(x) dx converge cuando cada integral impropia de
Riemann (de primera especie, de segunda especie, o mixta)∫Ijf(x) dx (j =
1, 2, ..., p) converge, donde I1, ..., Ip es la coleccion finita de intervalos dos a
dos disjuntos cuya union es I \ F . En tal caso, el valor de la integral de f
en I se define por∫If(x) dx =
∑pj=1
∫Ijf(x) dx. En cualquier otro caso, se
dira que∫If(x) dx diverge.
30 Luis Bernal Gonzalez
Se deja al lector interesado verificar que la definicion anterior es inde-
pendiente del conjunto finito F , con tal que f ∈ R[a, b] para cada intervalo
cerrado [a, b] ⊂ I \ F .
2.4. Criterios de convergencia. Convergencia
absoluta
Para estudiar la convergencia, solo consideraremos integrales impro-
pias de primera especie. Para integrales de segunda especie, los criterios son
analogos. Vamos a establecer una condicion necesaria y suficiente, debida
a Cauchy, y otra suficiente, basada en el concepto de convergencia absolu-
ta. Como antes, es tambien facil definir este concepto para otros tipos de
integrales impropias.
Notemos que el siguiente resultado guarda cierta similitud con el criterio
de Cauchy de convergencia de series (Teorema 1.2.2).
Teorema 2.4.1. [Condicion de Cauchy] Supongamos que la funcion f :
[a,+∞)→ R es tal que f ∈ R[a, b] para todo b > a. Son equivalentes:
(a) La integral∫ +∞a
f(x) dx converge.
(b) Para cada ε > 0 existe C = Cε > a tal que∣∣ ∫ c
bf(x) dx
∣∣ < ε para
todo c > b > C.
Demostracion. Para cada b > a denotemos I(b) =∫ baf . Supongamos que (a)
es cierto. Entonces existe I0 = lımb→+∞ I(b) ∈ R. Fijado ε > 0, existe C > a
tal que |I(b) − I0| < ε/2 para todo b > C. Fijemos b y c con c > b > C.
Entonces |I(b) − I0| < ε/2 y |I(c) − I0| < ε/2. Gracias a la desigualdad
triangular,∣∣ ∫ c
bf(x) dx
∣∣ = |I(c) − I(b)| ≤ |I(c) − I0| + |I(b) − I0| < ε. Esto
prueba (b).
INTEGRALES IMPROPIAS 31
En cuanto al recıproco, partimos ahora de que la condicion (b) se sa-
tisface. Por el Teorema fundamental del lımite, basta demostrar que existe
L ∈ R tal que lımn→∞ I(bn) = L para toda sucesion {bn} ⊂ [a,+∞) con
bn → +∞. Fijemos una tal sucesion {bn} y un ε > 0, y fijemos asimismo
el numero C = Cε > a dado por (b). Existe n0 ∈ N tal que bn > C para
todo n ≥ n0. Se deduce que |I(bm)− I(bn)| =∣∣ ∫ bm
bnf(x) dx
∣∣ < ε siempre que
m,n ≥ n0. En otras palabras, la sucesion {I(bn)} es de Cauchy, luego existe
L ∈ R tal que lımn→∞ I(bn) = L. Solo queda probar que el lımite L es el
mismo para todas las sucesiones {bn} como la anterior. Esto es facil, pues si
existiesen dos sucesiones {bn} y {b∗n} en [a,+∞) con bn, b∗n → +∞ de modo
que I(bn) → L e I(b∗n) → L∗, debe ser L∗ = L, ya que la sucesion conjunta
I(b1), I(b∗1), I(b2), I(b∗2), I(b3), I(b∗3), . . . debe converger tambien. �
Definicion 2.4.2. Supongamos que la funcion f : [a,+∞) → R es tal que
f ∈ R[a, b] para todo b > a. Se dice que la integral impropia∫ +∞a
f(x) dx es
absolutamente convergente cuando∫ +∞a|f(x)| dx converge.
De la desigualdad∣∣ ∫ c
bf∣∣ ≤ ∫ c
b|f | y del Teorema 2.4.1 se deduce lo si-
guiente.
Teorema 2.4.3. Toda integral impropia absolutamente convergente es con-
vergente.
A la vista del teorema anterior, es conveniente disponer de resultados que
garanticen la convergencia de integrales impropias de funciones no negativas.
De ello nos ocuparemos en la siguiente seccion.
Por completitud, definimos la siguiente nocion. Decimos que la integral
impropia∫ +∞a
f(x) dx es condicionalmente convergente cuando∫ +∞a
f(x) dx
converge pero∫ +∞a|f(x)| dx diverge. Un ejemplo se da en los Ejercicios 2(c)
y 3.
32 Luis Bernal Gonzalez
2.5. Criterios de convergencia para funciones
positivas
Como se anuncio en la seccion precedente, vamos a establecer varios
resultados que proporcionan condiciones suficientes de convergencia de inte-
grales impropias de funciones no negativas. Igual que antes, lo haremos solo
para el caso de integrales de primera especie, siendo inmediata su extension a
integrales de segunda especie. Los criterios dados evocan los correspondientes
de convergencia de series.
En los dos primeros teoremas y en el corolario, se supone que f, g :
[a,+∞)→ R son funciones tales que f, g ∈ R[a, b] para todo b > a.
Teorema 2.5.1. [Criterio de comparacion] Supongamos que existe x0 ≥ a
tal que 0 ≤ f(x) ≤ g(x) para todo x ≥ x0. Se verifica:
(a) Si∫∞ag converge entonces
∫∞af converge.
(b) Si∫∞af diverge entonces
∫∞ag diverge.
Demostracion. Puesto que (b) es el contrarrecıproco de (a), basta probar
(a). Para ello, a su vez, es suficiente ver que∫∞x0f converge (pues
∫∞af
convergerıa en tal caso con valor∫∞x0f +
∫ x0af). Por ultimo, la convergencia
de∫∞x0f se deduce de la hipotesis y de la condicion de Cauchy (Teorema
2.4.1), pues∫ cbf ≤
∫ cbg siempre que c > b ≥ x0. �
Corolario 2.5.2. [Criterio mayorante] Supongamos que existe x0 ≥ a tal
que |f(x)| ≤ g(x) para todo x ≥ x0. Si∫∞ag es convergente entonces
∫∞af
es convergente.
Demostracion. Aplicar el teorema anterior y el Teorema 2.4.3. �
Teorema 2.5.3. [Criterio de comparacion por paso al lımite]
Supongamos que f(x) ≥ 0 y g(x) > 0 para todo x ≥ a.
INTEGRALES IMPROPIAS 33
(a) Si existe lımx→+∞f(x)g(x)
= λ ∈ (0,+∞), entonces las integrales∫∞af e∫∞
ag son simultaneamente convergentes o divergentes.
(b) Si existe lımx→+∞f(x)g(x)
= 0 y la integral∫∞ag es convergente, entonces∫∞
af es convergente.
(c) Si existe lımx→+∞f(x)g(x)
= +∞ y la integral∫∞ag es divergente, enton-
ces∫∞af es divergente.
Demostracion. La pruebas de (b) y (c) siguen las mismas ideas que las de
(a), ası que solo demostraremos (a). A su vez, para obtener (a) es suficien-
te obtener la convergencia de∫∞af a partir de la de
∫∞ag [ya que existe
lımx→+∞g(x)f(x)
= 1λ∈ (0,+∞)]. Por hipotesis, debe existir x0 > a con la
propiedad de que f(x)/g(x) ≤ 1 + λ para todo x ≥ x0. Por tanto f(x) ≤(1 + λ)g(x) para todo x ≥ x0. Ahora bien, es obvio que
∫∞a
(1 + λ)g(x) dx
converge. Basta aplicar ahora el Teorema 2.5.1. �
Aprovechando el concepto de integral impropia, concluimos este capıtulo
con el siguiente criterio integral de MacLaurin de convergencia de series
numericas.
Teorema 2.5.4. Sea f : [1,+∞)→ [0,+∞) una funcion decreciente tal que
f(n) = an para todo n ∈ N. Entonces la serie∑an converge si y solo si la
integral impropia∫∞
1f(x) dx converge.
Demostracion. Notemos que f , al ser monotona, es automaticamente inte-
grable Riemann en cada [1, b] con b > 1. Ademas, de la hipotesis se des-
prende que an ≥ 0 para todo n, luego tenemos una serie de terminos posi-
tivos. Por tanto∑an es convergente si y solo si la sucesion de sumas par-
ciales {Sn := a1 + · · · + an}n≥1 esta acotada superiormente. Denominemos
I(b) =∫ b
1f si b ≥ 1. Como f ≥ 0 en [1,+∞), la funcion I(b) es crecien-
te. Se deduce que∫∞
1f converge si y solo si la funcion I(b) esta acotada
superiormente.
34 Luis Bernal Gonzalez
Supongamos en primer lugar que la serie converge. Entonces existe M ∈(0,+∞) tal que Sn ≤ M para todo n ∈ N. Fijemos un b ≥ 1 y llamemos
n = [b], la parte entera de b. Usando que f es decreciente, deducimos que
I(b) =∫ 2
1f +
∫ 3
2f + · · ·+
∫ nn−1
f +∫ bnf ≤ f(1) · 1 + f(2) · 1 + · · ·+ f(n− 1) ·
1 + f(n) · (b− n) ≤ a1 + · · ·+ an = Sn ≤M . Ya que M no depende de b, la
funcion I(b) esta acotada superiormente, luego∫∞
1f converge.
Recıprocamente, supongamos que∫∞
1f converge. Entonces existe M ∈
(0,+∞) tal que I(b) ≤ M para todo b ≥ 1. Si n ∈ N resulta, utilizando
de nuevo que f es decreciente, que Sn = f(1) + f(2) + · · · + f(n) ≤ f(1) +∫ 2
1f + · · · +
∫ nn−1
f = f(1) +∫ n
1f = f(1) + I(n) ≤ M∗, donde la cota
M∗ := f(1) + M es independiente de n. Esto muestra la acotacion de (Sn),
y por tanto la convergencia de∑an. �
Ejercicios
1.- Estudiar la convergencia de las siguientes integrales impropias y calcularlas
cuando converjan:
(a)∫ +∞
0 e−x dx
(b)∫ +∞
0 xne−x dx (n ∈ N)
(c)∫ 1
0 log x dx
(d)∫ 2
0 log |x− 1| dx
(e)∫ +∞
1log xx dx
(f)∫ +∞−∞ e−|x| dx
(g)∫ 1
0x
1−x2 dx
(h)∫ +∞
0x
(1+x2)2dx
(i)∫ 1
0x
(1−x2)1/2dx.
2.- Estudiar si convergen o no las siguientes integrales impropias:
INTEGRALES IMPROPIAS 35
(a)∫ +∞
0sen2xx2
dx
(b)∫ +∞
0 e−xsen(1/x) dx
(c)∫ +∞
0senxxα dx (α > 0) [Indicacion: usar integracion por partes]
(d)∫ +∞
1 sen2(1/x) dx
(e)∫ +∞
0 e−x2−x−2
dx
(f)∫∞
0e−x√xdx
(g)∫ +∞
0
(5e−x
x + x+ 2)e−3x−e−x/2 dx
(h)∫ +∞
0sen2xx dx
(i)∫ +∞
0 xα| log x|β dx (α, β ∈ R).
3.- Probar la convergencia condicional de la integral del apartado (c) del ejercicio
anterior si 0 < α ≤ 1. Indicacion: fijar N ∈ N con N ≥ 2 y considerar el
conjunto {x ∈ [1, N ] : |senx| ≥ 1/2}.
4.- Sea α > 1. Demostrar que el area S(α) de la superficie de revolucion generada
por la curva y = x−α al girar alrededor de la semirrecta [1,+∞) es finita.
5.- Supongamos que f : [0, 1]→ R es continua, que f(0) = 0 y que f es derivable
en el origen. Probar que la integral
∫ 1
0f(x)x−3/2 dx es convergente.
6.- Sea f : [0,+∞) → R continua, no negativa y tal que la integral∫ +∞
0 f es
convergente.
(a) Probar que si existe lımx→∞ f(x), entonces lımx→∞ f(x) = 0.
(b) ¿Se cumple necesariamente que lımx→∞ f(x) = 0? ¿Puede ser f no
acotada?
7.- ¿Puede una funcion integrable Riemann impropiamente en [0,+∞) cumplir
|f(x)| ≥ 1 para todo x ≥ 0? ¿Puede cumplir lo anterior si f es, ademas,
continua?
36 Luis Bernal Gonzalez
8.- Demostrar que, para cada α > 0, la integral Γ(α) :=∫ +∞
0 xα−1e−x dx
converge. Por tanto define una funcion Γ : (0,+∞) → R, denominada fun-
cion gamma de Euler–Gauss. Probar que Γ(1) = 1, que posee la ası deno-
minada “propiedad reproductiva” Γ(α + 1) = αΓ(α) (∀α > 0), y que Γ es
la generalizacion del factorial, en el sentido de que Γ(n+ 1) = n! para todo
n ∈ N0.
9.- Si p, q > 0, pruebese que la integral impropia∫ 1
0 tp−1(1− t)q−1 dt converge.
A la funcion
β : (p, q) ∈ (0,+∞)× (0,+∞) 7→∫ 1
0tp−1(1− t)q−1 dt ∈ R
se la llama funcion beta. Es posible demostrar la siguiente igualdad, valida
para todos los p, q > 0:
β(p, q) =Γ(p)Γ(q)
Γ(p+ q).
En particular, β(p, q) = β(q, p).
10.- (a) Considerando la serie∑∞
n=1(e/n)n, demostrar que la integral impropia∫∞0 ey/yy dy converge.
(b) Aplicando el criterio integral (Teorema 2.5.4) junto con un cambio de
variable adecuado y la parte (a), demostrar que la serie
∞∑n=2
1
(log n)logn
converge.
(c) Aplicando el criterio integral, probar que la serie
∞∑n=2
1
(log n)log(logn)
diverge. Indicacion: Utilizar el mismo cambio de variable que en la
parte (b), y demostrar directamente que la integral resultante diverge.
11.- Estudiar la convergencia, segun los valores de p ∈ R, de las integrales im-
propias
∫ ∞0
(arctanx)p
x(1 + x)2dx e
∫ ∞0
(arctanx)p log x
exx(1 + x2)dx.
12.- Se pueden definir, de modo analogo a las integrales impropias de Riemann,
integrales impropias de Riemann–Stieltjes. Si f, g : [a,+∞) → R, dar una
definicion adecuada de∫ +∞a f dg y calcular
∫ +∞0 e−x d[x].
Capıtulo 3
Sucesiones de funciones
En muchas ocasiones, las funciones que se manejan en problemas de la
vida real se construyen utilizando funciones elementales: polinomios, funcio-
nes exponenciales, funciones trigonometricas, inversas de todas ellas y combi-
naciones algebraicas y composicionales de las mismas. Para ellas, se estudian
las propiedades mas basicas, como son la continuidad y derivabilidad, ası co-
mo las tecnicas de derivacion e integracion, entre otras. Sin embargo, otros
problemas teoricos o practicos requieren definir las funciones como lımite de
otras. Esto hace necesario el estudio de como traspasar dichas propiedades a
traves del lımite. En este capıtulo, nos ocupamos de estudiar que propiedades
hereda la funcion lımite, y como ha de definirse este para que el comporta-
miento sea el mejor posible.
3.1. Convergencia puntual y convergencia uni-
forme
En primer lugar, vamos a fijar que entenderemos por una sucesion de
funciones.
37
38 Luis Bernal Gonzalez
Definicion 3.1.1. Sea A ⊂ R y F(A) := {funciones Af−→R}. Una sucesion
de funciones en A es una aplicacion ϕ : N → F(A). Si ϕ(n) = fn, deno-
taremos la sucesion de funciones por {fn}∞1 , {fn}n≥1, {fn} o simplemente
(fn).
Presentamos un primer concepto de lımite que no es mas que el de una
convergencia punto a punto.
Definicion 3.1.2. Sea (fn) una sucesion de funciones en A ⊂ R. Considere-
mos el conjunto B := {x ∈ A : ∃ lımn→∞ fn(x) ∈ R}. La funcion f : B → R
definida por f(x) = lımn→∞ fn(x) se denomina funcion lımite puntual de la
sucesion (fn) y se dice que (fn) converge puntualmente a f en B.
Tambien se dice que (fn) converge simplemente a f en B o que f es el
lımite simple de (fn) en B. Al conjunto B se le suele denominar campo de
convergencia o dominio de convergencia de la sucesion (fn).
Por ejemplo, la sucesion de funciones fn(x) :=x
1 + nx(n ≥ 1) definidas
sobre [0, 1] converge puntualmente a la funcion f ≡ 0 en [0, 1]. Y la sucesion
de funciones gn(x) := xn (n ≥ 1) tiene por lımite puntual en [0, 1] a la funcion
g(x) =
0 si x ∈ [0, 1)
1 si x = 1.
Notemos que en el segundo ejemplo cada funcion gn es continua pero
la funcion lımite puntual g no lo es. Por tanto, para que la funcion lımite
herede las buenas propiedades de las funciones de la sucesion, se necesita
definir una convergencia mas exigente, a saber, la convergencia uniforme,
que presentamos a continuacion.
Definicion 3.1.3. Sea (fn) una sucesion de funciones en A ⊂ R. Sean B ⊂ A
y f : B → R. Se dice que (fn) converge uniformemente, o tiende uniforme-
mente, a f en B, o que f es el lımite uniforme de (fn) en B cuando
∀ε > 0 ∃k = k(ε) ∈ N tal que |fn(x)− f(x)| < ε ∀n ≥ k y ∀x ∈ B.
SUCESIONES DE FUNCIONES 39
Observemos que el k de la definicion anterior depende de ε, pero no de
x. La interpretacion geometrica es la siguiente: la graficas en B de todas las
funciones fn se situan, a partir de la k-esima, en una banda de anchura 2ε
centrada en la grafica de f .
Es evidente que si (fn) converge a f uniformemente en un conjunto enton-
ces f es el lımite puntual de (fn) en dicho conjunto. Mostraremos mas abajo,
con un ejemplo, que la implicacion recıproca no es cierta. Por supuesto, la
funcion lımite puntual (y por tanto la funcion lımite uniforme) es unica, si
existe.
Notemos tambien el hecho –que, por cierto, ofrece un criterio muy practico
para descubrir convergencia uniforme– de que fn → f uniformemente en A
si y solo si Mn → 0, donde Mn := supx∈A |fn(x)− f(x)|.
Ejemplos 3.1.4. 1. La sucesion funcional fn(x) :=x
1 + nx(n ≥ 1; x ∈ [0, 1])
vista anteriormente converge uniformemente a la funcion 0 en [0, 1]. En efecto,
| x1+nx−0| = x
1+nx≤ 1
npara todo n y todo x ≥ 0. Fijado ε > 0, de ser 1/n→ 0
se deduce la existencia de k ∈ N tal que 1/n < ε para todo n ≥ k, luego
| x1+nx
− 0| < ε para todo x ∈ [0, 1] y para los mismos valores de n.
2. Sin embargo, la sucesion gn(x) := xn (n ≥ 1; x ∈ [0, 1]) no converge
uniformemente en [0, 1]. En efecto, si convergiera, lo harıa a su funcion lımite
puntual g vista anteriormente. Pero es claro que Mn := supx∈[0,1] |gn(x) −g(x)| ≥ supx∈[0,1) x
n = 1 para todo n ∈ N, luego Mn 6→ 0.
En el siguiente teorema, conocido como condicion de Cauchy, se da una
condicion equivalente a la convergencia uniforme de sucesiones funcionales.
Esta propiedad, que no tiene demasiada aplicacion practica, es muy util des-
de el punto de vista teorico, pues ayuda a descubrir convergencia uniforme
sin necesidad de conocer el posible lımite, ya que este no aparece en su for-
mulacion.
40 Luis Bernal Gonzalez
Teorema 3.1.5. Sea (fn) una sucesion de funciones en A ⊂ R. Son equiva-
lentes:
(a) (fn) tiende uniformemente a alguna funcion definida en A.
(b) ∀ε > 0 ∃k = k(ε) ∈ N tal que |fm(x)−fn(x)| < ε ∀m,n ≥ k y ∀x ∈ A.
Demostracion. Supongamos que fn → f uniformemente en A y que ε > 0.
Entonces existe k ∈ N tal que |fn(x) − f(x)| < ε/2 para todo n ≥ k y todo
x ∈ A. Si ahora m,n ≥ k y x ∈ A, de la desigualdad triangular se infiere que
|fm(x) − fn(x)| ≤ |fm(x) − f(x)| + |fn(x) − f(x)| < ε. Esto prueba que (a)
implica (b).
Para la implicacion recıproca, supongase que (b) es cierto. Si fijamos
x ∈ A, de la condicion de Cauchy para sucesiones numericas obtenemos que
existe un numero real αx tal que lımn→∞ fn(x) = αx. Definamos la funcion
f : A → R como f(x) = αx. Resta probar que fn → f uniformemente en
A. Para ello, fijemos ε > 0. Por hipotesis, podemos encontrar un k ∈ N tal
que |fn(x)− fm(x)| < ε/2 para todos los n,m ≥ k y todo x ∈ A. Si fijamos
n ≥ k y hacemos m→∞, resulta |fn(x)− f(x)| ≤ ε/2 < ε para todo x ∈ A,
y esto es (a), como querıamos. �
3.2. Convergencia uniforme: preservacion de
la acotacion, la continuidad y la deriva-
bilidad
El concepto de lımite uniforme persigue poder traspasar propiedades
de regularidad de las funciones que integran la sucesion a la funcion lımite.
En primer lugar, veremos que se preserva la propiedad de acotacion. Despues
veremos que lo mismo ocurre con la continuidad. Para la derivabilidad, se
debera exigir algo mas.
SUCESIONES DE FUNCIONES 41
Sea A ⊂ R. Recordemos que una funcion f : A → R se dice que es
acotada (en A) cuando el conjunto imagen f(A) esta acotado, es decir, existe
una constante M ∈ (0,+∞) tal que |f(x)| ≤ M para todo x ∈ A. Una
sucesion de funciones fn : A→ R (n = 1, 2, . . . ) se dice que es uniformemente
acotada en A cuando existe una constante M ∈ (0,+∞) tal que |fn(x)| ≤M
para todo x ∈ A y todo n ∈ N. Notemos que, en este caso, la misma cota “M”
vale para todas las fn. Por tanto, si una sucesion (fn) esta uniformemente
acotada en A, entonces cada fn esta acotada en A, pero el recıproco no
es cierto: considerese, por ejemplo, la sucesion fn : [0, 1] → R dada por
fn(x) = nx (n = 1, 2, . . . ).
Teorema 3.2.1. [Preservacion de la acotacion por convergencia uniforme]
Una sucesion uniformemente convergente de funciones acotadas en A ⊂ R,
es uniformemente acotada en A. En tal caso, la funcion lımite es asimismo
acotada en A.
Demostracion. Supongamos que fn → f uniformemente en A y que, para
cada n ∈ N, existe una constante αn ∈ (0,+∞) tal que |fn(x)| ≤ αn para
todo x ∈ A. Dado ε = 1, existe segun el Teorema 3.1.5 un k ∈ N tal que
|fn(x)− fk(x)| < 1 para todo n ≥ k y todo x ∈ A, luego, por la desigualdad
triangular, |fn(x)| < 1 + |fk(x)| ≤ 1 + αk para los mismos valores de n y
x. En consecuencia, |fn(x)| ≤ M para todo x ∈ A y todo n ∈ N, donde
M := max{α1, . . . , αk−1, 1 + αk}. Ası que (fn) es uniformemente acotada.
Finalmente, como f es el lımite uniforme de (fn), dado ε = 1, existe m ∈ N
tal que |fm(x)− f(x)| < 1 para todo x ∈ A. De la desigualdad triangular se
deduce que |f(x)| < 1 + |fm(x)| ≤ 1 + αm para todo x ∈ A. Por tanto f es
acotada en A. �
Por ejemplo, sea A = (0, 1), f(x) ≡ 1/x y fn(x) =
1x
si 1n≤ x < 1
0 si 0 < x < 1n.
Entonces fn → f puntualmente en A y cada fn esta acotada, pero f no lo
42 Luis Bernal Gonzalez
esta. Por tanto fn 6→ f uniformemente en A.
Teorema 3.2.2. [Convergencia uniforme y continuidad]
Supongamos que fn → f uniformemente en A ⊂ R, y que x0 ∈ A. Si cada
funcion fn es continua en x0, entonces f es continua en x0. En particular,
si cada fn es continua en A, entonces f es continua en A.
Demostracion. Fijemos ε > 0. Por hipotesis, existe k ∈ N tal que |fk(x) −f(x)| < ε/3 para todo x ∈ A. En particular, |fk(x0)−f(x0)| < ε/3. Ya que fk
es continua en x0, podemos encontrar un δ > 0 de modo que |fk(x)−fk(x0)| <ε/3 siempre que x ∈ A∩(x0−δ, x0 +δ). Usando estos hechos y la desigualdad
triangular |f(x)−f(x0)| ≤ |fk(x)−f(x)|+ |fk(x)−fk(x0)|+ |fk(x0)−f(x0)|,obtenemos que si x ∈ A ∩ (x0 − δ, x0 + δ) entonces |f(x)− f(x0)| < ε. Esto
muestra la continuidad de f en x0. �
Por ejemplo, ya sabemos que la sucesion fn(x) = xn tiende puntualmente
en [0, 1] a la funcion que vale 0 en [0, 1) y 1 en el punto 1. Ya que esta funcion
no es continua en [0, 1] pero cada fn sı lo es, se deduce que la convergencia
no es uniforme.
Para la propiedad de derivacion, es necesario reforzar las hipotesis. Sera ne-
cesario exigir que la sucesion de derivadas sea uniformemente convergente.
Esto, junto con la convergencia de la sucesion en un solo punto, implica la
convergencia uniforme de la sucesion. Esto es, la hipotesis de convergencia
para las derivadas implica la de la propia sucesion. Las derivadas en los ex-
tremos a y b se entiende que son las laterales f ′+(a) y f ′−(b).
Teorema 3.2.3. [Convergencia uniforme y derivabilidad]
Sea fn : [a, b]→ R (n ≥ 1) una sucesion de funciones derivables tales que:
(a) (f ′n) converge uniformemente en [a, b] a cierta funcion g y
(b) existe x0 ∈ [a, b] de modo que la sucesion numerica (fn(x0)) converge.
SUCESIONES DE FUNCIONES 43
Entonces existe una funcion f : [a, b]→ R tal que fn → f uniformemente en
[a, b], f es derivable en [a, b] y f ′(x) = g(x) para todo x ∈ [a, b].
Demostracion. Supongamos que c ∈ [a, b] y definamos una nueva sucesion
(gn) como sigue:
gn(x) =
fn(x)−fn(c)
x−c si x 6= c
f ′n(c) si x = c.
La sucesion ası formada depende del punto c. Ya que gn(c) = f ′n(c), la suce-
sion (gn(c)) es convergente. Vamos a demostrar que, de hecho, (gn) converge
uniformemente en [a, b]. Si m,n ∈ N y x 6= c, tenemos
gm(x)− gn(x) =h(x)− h(c)
x− c,
donde h(x) := fm(x) − fn(x). Aplicando a h el teorema del valor medio,
obtenemos
gm(x)− gn(x) = f ′m(x1)− f ′n(x1), [1]
donde x1 esta comprendido entre x y c. Por hipotesis, (f ′n) converge uniforme-
mente. Gracias a [1] y a la condicion de Cauchy (Teorema 3.1.5), obtenemos
que (gn) converge uniformemente en [a, b].
Probemos que (fn) converge uniformemente en [a, b]. Formemos la su-
cesion particular (gm) que resulta haciendo c = x0. Por definicion de gn,
tenemos
fm(x)− fn(x) = fm(x0)− fn(x0) + (x− x0)(gm(x)− gn(x))
para todo x ∈ [a, b]. Esta igualdad, con el auxilio de la condicion de Cauchy,
establece la convergencia uniforme de (fn) en [a, b] a cierta funcion f .
Para demostrar el resto, volvamos a la sucesion (gn) definida al principio
para un punto arbitrario c ∈ [a, b]. Sea G(x) := lımn→∞ gn(x). Como f ′n
existe, tenemos que lımx→c gn(x) = gn(c) para cada n. En otras palabras,
44 Luis Bernal Gonzalez
cada gn es continua en c. Ya que gn → G uniformemente en [a, b], la funcion
G es tambien continua en c. Esto significa que
∃ lımx→c
G(x) = G(c). [2]
Pero para x 6= c tenemos
G(x) = lımn→∞
gn(x) = lımn→∞
fn(x)− fn(c)
x− c=f(x)− f(c)
x− c.
Luego [2] establece que la derivada f ′(c) existe y coincide con G(c). Ahora
bien, G(c) = lımn→∞ gn(c) = lımn→∞ f′n(c) = g(c) y, por tanto, f ′(c) = g(c).
Puesto que c es arbitrario, el teorema queda demostrado. �
Ejemplo 3.2.4. La sucesion funcional fn : [−1, 1] → R (n ≥ 1) dada por
fn(x) = 0 si x ≤ 0 y fn(x) = x1+ 1n si x > 0 esta formada por funciones deri-
vables y converge uniformemente en [−1, 1] a la funcion f dada por f(x) = 0
si x ≤ 0 y f(x) = x si x > 0, pero la funcion f no es derivable en el 0. Los
detalles se dejan como ejercicio.
3.3. Convergencia uniforme e integracion
La integrabilidad se propaga a traves del lımite uniforme, como muestra
el siguiente resultado.
Teorema 3.3.1. Si fn → f uniformemente en [a, b] y cada fn ∈ R[a, b],
entonces f ∈ R[a, b] y
lımn→∞
∫ b
a
fn(x) dx =
∫ b
a
f(x) dx.
Demostracion. Llamemos gn := f − fn para cada n ∈ N. Entonces gn → 0
uniformemente en [a, b]. Dado ε > 0, existe m ∈ N tal que
|gn(x)| < ε
4(b− a)para todo x ∈ [a, b] y todo n ≥ m. [3]
SUCESIONES DE FUNCIONES 45
Ademas, por la convergencia uniforme y por estar cada fn acotada en [a, b],
f tambien esta acotada en [a, b] (Teorema 3.2.1). Como fm es integrable-
Riemann, por el Teorema 1.6.1 podemos encontrar una particion P de [a, b]
tal que U(fm, P ) − L(fm, P ) < ε/2. Por otra parte, es facil ver a partir de
las definiciones y de [3] que U(gm, P ) < ε/4 y L(gm, P ) > −ε/4. Asimismo,
se tienen las desigualdades elementales U(F +G,P ) ≤ U(F, P ) +U(G,P ) y
L(F +G,P ) ≥ L(F, P ) + L(G,P ). Ya que f = fm + gm, se deduce que
U(f, P )−L(f, P ) ≤ U(fm, P )−L(fm, P )+U(gm, P )−L(gm, P ) <ε
2+ε
4+ε
4= ε.
De acuerdo con el Teorema 1.6.1, f ∈ R[a, b].
En cuanto al lımite del enunciado, observemos que gracias a [3] y a la
conocida desigualdad∣∣ ∫ b
aF∣∣ ≤ ∫ b
a|F |, se obtiene
∣∣∣∣∫ b
a
fn −∫ b
a
f
∣∣∣∣ ≤ ∫ b
a
|gn| ≤ε
4(b− a)· (b− a) < ε
para todo n ≥ m. Esto prueba la igualdad deseada. �
Ejemplos 3.3.2. 1. En el Teorema 3.3.1, la convergencia uniforme es sufi-
ciente, pero no es necesaria. Para ilustrarlo, consideremos la sucesion fn(x) =
nx(1−x)n (n ∈ N, x ∈ [0, 1]). Entonces (fn) converge puntualmente en [0, 1] a
la funcion f ≡ 0, pero no uniformemente. No obstante, se verifica la igualdad
del teorema anterior. La comprobacion se deja como ejercicio.
2. Demos un ejemplo para el que no es cierto el enunciado del teorema ante-
rior cuando las integrales de Riemann se sustituyen por integrales impropias.
Sea gn(x) = nn2+x2
(n ∈ N, x ∈ [0,+∞)). Se tiene que gn → 0 uniformemen-
te en [0,+∞). Pero lımn→∞∫∞
0gn(x) dx = lımn→∞ lımT→+∞[arctan(T/n)−
arctan 0] = lımn→∞ π/2 = π/2 6= 0 =∫∞
00 dx.
46 Luis Bernal Gonzalez
Ejercicios
1.- Estudiar la convergencia puntual y uniforme de las siguientes sucesiones de
funciones:
(a) fn(x) =x
nx+ 1en [0, 1].
(b) fn(x) = n√x en [0, 1].
(c) fn(x) = (1− x)n en [0, 1].
(d) fn(x) = ınf{n, 1/x} en (0,+∞).
(e) fn(x) =1 + x log x
nx+ xen (0,+∞).
(f) fn(x) =1− xn
1 + xnen (0,+∞).
(g) fn(x) = max{x− n, 0} en R.
(h) fn(x) =log(x+ n)
nexen [0,+∞).
2.- Comprobar que la sucesion (fn) converge en todo R pero que lımn→∞ f′n(x) 6=
(lımn→∞ fn(x))′ en los siguientes casos:
(a) fn(x) =1√n
sen (nx).
(b) fn(x) =x
1 + nx2.
3.- Comprobar, con las sucesiones de funciones siguientes, que el hecho de que
(fn) converja uniformente a f en [a, b] no es condicion necesaria para que
lımn→∞∫ ba fn =
∫ ba f :
(a) fn(x) =1
1 + n2x2en [0, 1] (b) fn(x) =
1 + nx2
1 + nxen [0, 1].
4.- Consideremos la sucesion de funciones fn : R→ R dada por fn(x) = x2n
1+x2n.
(a) Estudiar su convergencia puntual.
(b) Dados a y b con 0 < b < 1 < a, estudiar su convergencia uniforme
en cada uno de los subconjuntos [1,+∞), (1,+∞), [a,+∞), [−b, b],
[a,+∞) ∪ [−b, b].
SUCESIONES DE FUNCIONES 47
5.- Probar que toda funcion continua en [0, 1] es lımite uniforme de una sucesion
de poligonales (funciones continuas lineales a trozos). ¿Ocurre lo mismo con
la funcion f(x) = 1/x en (0, 1)?
6.- Demostrar el teorema de convergencia uniforme de Dini: Sean A ⊂ R un
subconjunto compacto y fn : A → R (n ∈ N) una sucesion de funcio-
nes continuas convergente puntualmente en A a cierta funcion continua f .
Si fn(x) ≤ fn+1(x) para todo x ∈ A y todo n ∈ N, entonces fn −→ f
uniformemente en A.
7.- Supongamos que fn → f uniformemente en un conjunto A ⊂ R, y que g :
R→ R es una funcion uniformemente continua. Pruebese que g ◦ fn → g ◦ f
uniformemente en A.
8.- Dar una demostracion mas simple del Teorema de convergencia uniforme y
derivacion reforzando la hipotesis de derivabilidad de cada fn a la hipotesis
de ser fn ∈ C1([a, b]) para todo n. Indicacion: definir f : [a, b] → R como
f(x) = α+∫ xx0g(t) dt, donde α = lımn→∞ fn(x0).
9.- Probar el siguiente resultado sobre algebra de sucesiones de funciones uni-
formemente convergentes: Sean (fn) y (gn) dos sucesiones de funciones de-
finidas en un mismo subconjunto A ⊂ R, tales que fn → f y gn → g
uniformemente en A. Se verifica:
(a) La sucesion (fn + gn) tiende a f + g uniformemente en A.
(b) Si cada funcion fn y cada funcion gn es acotada en A entonces la
sucesion producto (fn · gn) tiende a f · g uniformemente en A.
(c) Supongamos que cada funcion fn es acotada, que gn(x) 6= 0 para todo
n ∈ N y todo x ∈ A, y que existe α ∈ (0,+∞) tal que |g(x)| ≥
α para todo x ∈ A. Entonces la sucesion cociente (fn/gn) tiende
uniformemente a f/g en A.
Verificar con el ejemplo A = (0, 1), fn(x) := 1/n, gn(x) := 1/x (n ∈ N, x ∈
48 Luis Bernal Gonzalez
(0, 1)) que alguna hipotesis adicional es necesaria para garantizar la conver-
gencia uniforme del producto de sucesiones a partir de la de las sucesiones
originales.
Indicacion: Para (b), usar el Teorema 3.2.1. Para (c), expresar fngn = fn · 1gn
y aplicar adecuadamente (b).
9.- Completar los detalles de los Ejemplos 3.2.4 y 3.3.2.
Capıtulo 4
Series de funciones
En el presente capıtulo estudiaremos las series de funciones. El concepto
de serie de funciones se basa en la sucesion de sumas parciales asociada a una
sucesion de funciones dadas. En la primera seccion definiremos los conceptos
de convergencia puntual y uniforme de una serie de funciones. A continua-
cion, y basandonos en los resultados del capıtulo anterior, analizaremos la
continuidad, derivabilidad e integrabilidad de la funcion lımite. Finalizaremos
el capıtulo con el criterio de Weierstrass, que resultara un instrumento de gran
aplicacion practica a la hora de poder asegurar que una serie de funciones
converge uniformemente.
4.1. Definiciones: sumas puntual y uniforme
Reunimos en la siguiente definicion los conceptos de serie de funciones,
convergencia puntual y convergencia uniforme.
Definicion 4.1.1. Sea (fn) una sucesion de funciones definidas en un con-
junto A ⊂ R.
(a) Llamaremos serie de funciones de termino general fn a la sucesion de
49
50 Luis Bernal Gonzalez
funciones formada por las sumas parciales sn(x) := f1(x) + · · ·+ fn(x).
Se denota por∑∞
n=1 fn,∑
n fn o∑fn.
(b) Se dice que la serie∑fn converge puntualmente o converge simple-
mente a una funcion f : A→ R cuando la sucesion de sumas parciales
asociada (sn) converge a f puntualmente en A. En tal caso, diremos
que f es la suma puntual de∑fn y se denotara
∑fn = f .
(c) Se dice que la serie∑fn converge uniformemente a una funcion f :
A→ R cuando la sucesion de sumas parciales asociada (sn) converge a
f uniformemente en A. En tal caso, diremos que f es la suma uniforme
de∑fn y se denotara
∑fn = f uniformemente en A.
Es obvio que la convergencia uniforme de una serie funcional a una funcion
implica su convergencia puntual a la misma funcion. El recıproco es falso en
general.
Ejemplo 4.1.2. Consideremos la serie funcional∑
n fn en A = R, donde
fn(x) = nx2
n3+x2. Para todo x ∈ R tenemos |fn(x)| ≤ x2/n2. De la convergencia
de∑
1/n2, del criterio de comparacion y del criterio de convergencia absoluta
(ver Capıtulo 1) resulta que∑
n fn converge puntualmente en R. Sin embargo,
no converge uniformemente en R (ver seccion 4.3).
4.2. Relacion con la continuidad, derivacion
e integracion
La demostracion de los siguientes resultados se basa en los teoremas
analogos probados en el tema anterior, sustituyendo la sucesion de funciones
por la sucesion de sumas parciales asociada a la serie de funciones. Por tal
motivo, las pruebas seran omitidas.
SERIES DE FUNCIONES 51
Teorema 4.2.1. [Convergencia uniforme de series y continuidad]
Supongamos que∑
n fn = f uniformemente en A ⊂ R, y que x0 ∈ A. Si cada
funcion fn es continua en x0, entonces f es continua en x0. En particular,
si cada fn es continua en A, entonces f es continua en A.
Teorema 4.2.2. [Convergencia uniforme de series e integracion]
Si∑
n fn = f uniformemente en un intervalo [a, b] ⊂ R y cada fn ∈ R[a, b],
entonces f ∈ R[a, b] y ∑n
∫ b
a
fn(x) dx =
∫ b
a
f(x) dx.
Teorema 4.2.3. [Convergencia uniforme de series y derivacion]
Sea fn : [a, b]→ R (n ≥ 1) una sucesion de funciones derivables tales que:
(a)∑
n f′n converge uniformemente en [a, b] a cierta funcion g y
(b) existe x0 ∈ [a, b] de modo que la serie numerica∑
n fn(x0) converge.
Entonces existe una funcion f : [a, b]→ R tal que∑
n fn = f uniformemente
en [a, b], f es derivable en [a, b] y f ′(x) = g(x) para todo x ∈ [a, b].
Los teoremas anteriores expresan que, bajo las hipotesis adecuadas, se
puede intercambiar la operacion de suma infinita con la de, respectivamente,
tomar lımite cuando x→ x0, integrar en [a, b] y tomar derivadas.
4.3. Criterios de convergencia uniforme
En esta seccion estudiaremos condiciones necesarias y suficientes que
nos permitan asegurar la convergencia uniforme de una serie de funciones sin
tener conocimiento del valor de la funcion lımite.
Teorema 4.3.1. [Condicion de Cauchy de convergencia uniforme de series
de funciones] Sea (fn) una sucesion de funciones en A ⊂ R. Son equivalentes:
52 Luis Bernal Gonzalez
(a)∑
n fn tiende uniformemente en A a alguna funcion definida en A.
(b) Para cada ε > 0 existe k = k(ε) ∈ N tal que∣∣∑m
j=n+1 fj(x)∣∣ < ε
para todos los m,n ∈ N con m > n ≥ k y todo x ∈ A.
Demostracion. Simplemente aplicar la condicion de Cauchy de convergencia
uniforme de sucesiones funcionales (Teorema 3.1.5) a la sucesion de sumas
parciales de (fn). �
Una sencilla, pero util, condicion necesaria de convergencia uniforme de
series resulta como consecuencia del resultado anterior, sin mas que hacer
m = n+ 1 en la propiedad (b). La exponemos a continuacion.
Corolario 4.3.2. Si∑fn converge uniformemente en A ⊂ R entonces
fn → 0 uniformemente en A.
Como ilustracion, la serie del Ejemplo 4.1.2 no converge uniformemente
en R, ya que supx∈R |fn(x) − 0| ≥ |fn(n)| = n3
n3+n2 −→n→∞
1 6= 0, luego fn 6→ 0
uniformemente en R.
La condicion de Cauchy es la clave para la demostracion del siguiente
resultado, con el que cerramos el tema, conocido como criterio mayorante de
Weierstrass para la convergencia uniforme, o criterio M de Weierstrass, que
tiene gran aplicacion practica.
Teorema 4.3.3. Sea∑
n fn una serie de funciones definida en un conjunto
A ⊂ R. Supongamos que existe una sucesion (an) ⊂ (0,+∞) tal que la serie
numerica∑
n an es convergente y |fn(x)| ≤ an para todo n ∈ N y todo
x ∈ A. Entonces∑
n fn converge uniformemente en A.
Demostracion. Fijemos ε > 0. Por la condicion de Cauchy de convergencia de
series numericas, podemos encontrar k ∈ N tal que∑m
j=n+1 aj < ε para todos
los m,n ∈ N con m > n ≥ k. Por la desigualdad triangular y la hipotesis
SERIES DE FUNCIONES 53
de mayoracion, tenemos que∣∣∑m
j=n+1 fj(x)∣∣ ≤∑m
j=n+1 aj < ε. Basta aplicar
ahora el Teorema 4.3.1. �
Ejemplo 4.3.4. Hemos visto que la serie de funciones∑∞
n=1nx2
n3+x2, si bien
converge puntualmente en R, no lo hace uniformemente. Sin embargo, es
uniformemente convergente en cada intervalo [0, a] con a > 0. En efecto, si
llamamos fn(x) al termino general de nuestra serie y an := a2/n2, resulta que
|fn(x)| ≤ an para todo n ∈ N y todo x ∈ [0, a]. Ya que∑
1/n2 converge,
podemos aplicar el criterio M de Weierstrass.
Ejercicios
1.- Estudiar la convergencia puntual y uniforme de las siguientes series de fun-
ciones∑fn:
(a) fn(x) =1 · 3 · · · (2n− 3)
2nn!(1− x)n en [0, 1] y [−1, 1].
(b) fn(x) =1
(1 + x)nen [a,+∞), donde a > 0.
(c) fn(x) =nx2
n3 + x3en [0, a], donde a > 0.
(d) fn(x) = 3n2xn
2en R, en (−1/3, 1/3) y en [0, 1/4].
2.- Sea la sucesion (fn) definida en [0, π] como fn(x) =senx
(1 + senx)n.
(a) Estudiar la convergencia puntual de la serie∑∞
n=0 fn(x) y sumarla
cuando sea convergente.
(b) Probar que si 0 < a < π/2 la convergencia es uniforme en [a, π − a].
(c) ¿Es uniforme la convergencia en [0, π]? ¿Y en (0, π/2)?
3.- Sea A ⊂ R, y supongamos que (fn) es una sucesion de funciones tal que
fn → 0 uniformemente en A. Supongamos que fn(x) ≥ fn+1(x) para todo
x ∈ A y todo n ∈ N. Estudiar si la serie∑∞
n=1(−1)n+1fn(x) converge
uniformemente en A.
54 Luis Bernal Gonzalez
4.- Justifıquese que la serie de funciones∞∑n=1
x2
(1 + x2)nconverge puntualmente
en todo R, que converge uniformemente en cada intervalo [a,+∞) (a > 0)
y que, en cada intervalo [0, a] (a > 0), no hay convergencia uniforme.
5.- Consideremos la sucesion de funciones (fn) definidas en [0, π] como fn(x) =
senx (cosx)n para cada n ∈ N0.
(a) Demostrar que fn → 0 uniformemente en [0, π].
(b) Comprobar que la serie∑∞
n=0 fn(x) es puntualmente convergente y
calcular su suma.
(c) Estudiar la convergencia uniforme de la serie en [a, π/2], donde 0 ≤
a < π/2, y en [π/2, π].
6.- Sea la sucesion de funciones fn(x) = (1− x2)x3n.
(a) Probar que fn → 0 uniformemente en [−1, 1].
(b) Estudiar la convergencia puntual de la serie∑∞
n=1 fn(x) en R. Calcular
su suma en el caso de convergencia.
(c) Estudiar la convergencia uniforme en [0, a], [0, 1] y [−1, 0], siendo 0 <
a < 1.
7.- Sea fn(x) =e−nx
n2 + 1. Demostrar:
(a)∑∞
n=1 fn(x) converge si y solo si x ∈ [0,+∞).
(b) Si se define f(x) :=∑∞
n=1 fn(x), demostrar que f es continua en
[0,+∞).
(c) f es derivable en (0,+∞).
(d) f no es derivable en 0.
8.- Estudiar la convergencia de las siguientes series y sumarlas donde converjan:
(a)
∞∑n=1
xn
n.
SERIES DE FUNCIONES 55
(b)∞∑n=2
(cosx)2n
2n− 2.
(c)∞∑n=2
(x− 1)nx
n2 − n.
Indicacion: utilizar adecuadamente el teorema de derivacion y convergencia
uniforme.
9.- Consideremos la sucesion de funciones fn(x) =ex − 1
enx(n ≥ 0).
(a) Probar que∑∞
n=0 fn converge puntualmente en [0, 1]. ¿Es uniforme la
convergencia?
(b) Calcular, si convergen, la suma de las series∑∞
n=0
∫ 11/2 fn y
∑∞n=0
∫ 10 fn.
10.- (a) Se llama serie de Dirichlet a una serie de funciones de la forma∑∞
n=1annx ,
donde {an}∞1 ⊂ R \ {0}. Recordar que αβ := eβ logα. Demostrar que,
si existe L := lımn→∞log |an|logn ∈ R, entonces la serie de Dirichlet define
una funcion continua en el intervalo (1 + L,+∞).
(b) Probar que la serie funcional∑∞
n=11nx define una funcion continua
ζ(x) en (1,+∞), la cual se denomina funcion zeta de Riemann. De-
mostrar que, para cada x > 1, se tiene que
1
ζ(x)= lım
n→∞
n∏k=1
(1− p−xk ),
donde (pn) es la sucesion creciente de los numeros naturales primos, es
decir, p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, p4 = 7, p5 = 11, . . . .
11.- Demostrar el siguiente resultado. Consideremos la serie funcional∑fngn,
donde fn, gn : A ⊂ R→ R. Sea (Fn) la sucesion de sumas parciales de (fn).
Se tiene:
(a) Criterio de Dirichlet de convergencia uniforme de series: Si (Fn) esta uni-
formemente acotada en A, gn+1(x) ≤ gn(x) para cada x ∈ A y cada
n ∈ N, y gn → 0 uniformemente en A, entonces∑fngn converge
uniformemente en A.
56 Luis Bernal Gonzalez
(b) Criterio de Abel de convergencia uniforme de series: Si∑fn converge
uniformemente en A hacia una funcion acotada, las gn son uniforme-
mente convergentes en A a una funcion acotada y, o bien gn(x) ≤
gn+1(x) (x ∈ A, n ∈ N) o bien gn(x) ≥ gn+1(x) (x ∈ A, n ∈ N),
entonces∑fngn converge uniformemente en A.
Indicacion: Usar la siguiente formula de sumacion de Abel, la cual se de-
muestra por induccion. Sean a1, . . . , an, b1, . . . , bn+1 ∈ R y denotemos An =∑nk=1 ak. Entonces
n∑k=1
akbk = Anbn+1 −n∑k=1
Ak(bk+1 − bk).
Capıtulo 5
Series de potencias
En este capıtulo estudiaremos las series de potencias, que son un caso
particular muy importante de series de funciones. Comenzaremos compro-
bando que la convergencia puntual y la convergencia uniforme de una serie
de potencias dependen exclusivamente del radio de convergencia, el cual se
obtiene a traves del calculo de un cierto lımite. En la segunda seccion estudia-
remos la continuidad, integrabilidad y derivabilidad de la funcion lımite de
una serie de potencias definida en el intervalo de convergencia. Analizaremos
el comportamiento en la frontera del intervalo de convergencia mediante el
criterio de Abel y finalizaremos el tema definiendo las funciones analıticas.
Veremos condiciones suficientes que garanticen que una funcion infinitamen-
te derivable es analıtica y obtendremos la expresion en serie de potencias de
diversas funciones conocidas.
5.1. Radio e intervalo de convergencia de una
serie de potencias
Las series de potencias constituyen el ejemplo mas sencillo y quiza mas
57
58 Luis Bernal Gonzalez
importante dentro de las series funcionales. Tras la definicion, vamos a ver
que su dominio de convergencia es un intervalo de la recta real. Este intervalo
se puede determinar a partir de los coeficientes de la serie.
Definicion 5.1.1. Una serie de potencias (SP) es una serie de funciones del
tipo∑∞
n=0 an(x−a)n = a0 +a1(x−a)+a2(x−a)2 + · · · , donde an ∈ R para
todo n = 0, 1, 2, . . . . El punto a se dice que es el centro de la SP, mientras
que los numeros an se conocen como los coeficientes de la serie.
Por tanto, el termino n-esimo de una serie de potencias es un monomio
de grado n o es nulo. Las siguientes series de funciones son ejemplos de series
de potencias:∞∑n=0
xn
n!,∞∑n=1
(−1)nxn
n,∞∑n=1
1
n2(x− 1)n.
Teorema 5.1.2. [Formula de Cauchy–Hadamard] Sea∑∞
n=0 an(x−a)n una
serie de potencias centrada en a, y sea λ = lım supn→∞n√|an|. Denotemos
R := 1/λ, si se entiende esta expresion en la recta real extendida, de modo
que R = 0 si λ = +∞ y R = +∞ si λ = 0. Se verifica:
(a) Si 0 < R < +∞, la SP es absolutamente convergente en cada punto
del intervalo abierto (a − R, a + R), y no converge en ningun punto x
con |x−a| > R. Ademas, la serie converge uniformemente en cualquier
subconjunto compacto de (a−R, a+R).
(b) Si R = +∞, la SP es absolutamente convergente en cada punto de R,
y converge uniformemente en cualquier subconjunto compacto de R.
(c) Si R = 0 la SP solo converge en el punto a.
Se llama intervalo de convergencia de la SP al conjunto (a− R, a + R),
a R o a {a}, segun que, respectivamente, se de el caso (a), (b) o (c). El
numero R ∈ [0,+∞] definido en el teorema anterior se denomina radio de
convergencia de la SP. Es evidente que, si I es el intervalo de convergencia
de una SP y D es su dominio de convergencia, entonces I ⊂ D ⊂ I.
SERIES DE POTENCIAS 59
Demostracion del Teorema 5.1.2. Probaremos solo (a) [los apartados (b)
y (c) son mas faciles y se demuestran de modo analogo]. Sea pues 0 <
R < +∞ y fijemos un punto x ∈ (a − R, a + R). Entonces |x − a| < R
y lım supn→∞n√|an| = 1
R< 1
|x−a| . Elijamos cualquier α con 1R< α <
1|x−a| . Por definicion de lımite superior, podemos encontrar n0 ∈ N tal que
n√|an| ≤ α para todo n ≥ n0. Luego, para los mismos valores de n, se tie-
ne |an(x − a)n| ≤ (α|x − a|)n. Ya que α|x − a| < 1, la serie geometrica∑n(α|x − a|)n es convergente. Por el criterio de comparacion (ver Capıtulo
1), la serie∑
n |an(x − a)n| es tambien convergente, como se requerıa. Sea
ahora x tal que |x − a| > R. Por definicion de lımite superior, existe una
sucesion {n1 < n2 < · · · < nk < · · · } ⊂ N de modo que 1|x−a| < |ank |
1/nk ,
para todo k. Por tanto
|ank(x− a)nk | > 1 para todo k ∈ N.
Se deduce que la sucesion {an(x − a)n} tiene una sucesion parcial que no
tiende a 0, luego ella misma no tiende a 0. Por la condicion necesaria de
convergencia de series,∑∞
n=0 an(x− a)n no converge.
Por ultimo, fijemos un compacto K ⊂ (a − R, a + R). Entonces K es
acotado y cerrado, luego su ınfimo y su supremo estan en K, ası que estan
en (a − R, a + R). En consecuencia, existe un intervalo cerrado J con K ⊂J ⊂ (a − R, a + R). Es claro que podemos suponer que J = [a − r, a + r]
para algun r ∈ (0, R). Por lo ya demostrado, la SP converge absolutamente
en el punto a + r, es decir, la serie∑∞
n=0 |an|rn es convergente. Esta es una
serie numerica de terminos positivos que cumple |an(x − a)n| ≤ |an|rn para
todo x ∈ J y todo n ∈ N. Por el criterio M de Weierstrass (Teorema 4.3.3),
nuestra SP es uniformemente convergente en J , y por tanto en K. 2
El resultado anterior no afirma nada sobre el comportamiento de la se-
rie en los extremos del intervalo de convergencia. Por ejemplo, las series de
60 Luis Bernal Gonzalez
potencias∞∑n=1
xn
n2,
∞∑n=1
(−1)nxn
n,
∞∑n=0
xn
tienen radio de convergencia R = 1 y las tres presentan comportamientos
distintos en los extremos del intervalo de convergencia, es decir, en los puntos
±1.
A continuacion, damos una variante de la formula de Hadamard que es
util en muchos casos.
Proposicion 5.1.3. Sea∑∞
n=0 an(x−a)n una SP. El radio de convergencia
de esta serie viene dado por R = lımn→∞
∣∣ anan+1
∣∣, siempre que exista este lımite.
Demostracion. Como R es el unico numero de [0,+∞] tal que la serie con-
verge siempre que |x− a| < R y no converge siempre que |x− a| > R, basta
probar que, si α := lımn→∞∣∣ anan+1
∣∣, entonces α goza de la misma propiedad.
Pues bien, si x es tal que |x− a| < α, tenemos que lımn→∞|an+1||x−a|n+1
|an||x−a|n < 1.
Por el criterio del cociente (ver Capıtulo 1), la serie∑∞
n=0 an(x− a)n es ab-
solutamente convergente, luego es convergente. Por ultimo, si |x− a| > α, se
tiene que existe n0 ∈ N tal que |x− a| ≥∣∣ anan+1
∣∣ para todo n ≥ n0, de donde
se deduce que la sucesion {|an(x − a)n|}n≥n0 es creciente, luego no tiende a
0. Pero entonces el termino general de nuestra SP tampoco tiende a 0 en el
punto x, ası que, por la condicion necesaria de convergencia (ver Capıtulo
1), la SP no converge en dicho punto x. �
Nota 5.1.4. Se pueden considerar series de potencias en el plano complejo,
es decir, series de funciones de la forma∑∞
n=0 an(z − a)n, donde (an) ⊂ C y
a ∈ C. En este caso la serie converge puntualmente en el disco de convergencia
{z ∈ C : |z − a| < R} [donde la convergencia es incluso absoluta; recordar
que el valor absoluto o modulo de un numero complejo z = x+ iy viene dado
por |z| = (x2 + y2)1/2] y, para cada r ∈ (0, R), converge uniformemente en el
SERIES DE POTENCIAS 61
disco {z ∈ C : |z − a| < r}. Aquı R es el radio de convergencia dado por la
formula de Cauchy–Hadamard. Si |z − a| > R, la SP no converge.
5.2. Continuidad, derivabilidad e integrabili-
dad de series de potencias
Consideremos una serie de potencias∑∞
n=0 an(x − a)n con radio de
convergencia R > 0. Definimos la funcion suma de la SP como
x ∈ I 7→ f(x) =∞∑n=0
an(x− a)n ∈ R.
Se entiende que I = (a − R, a + R) si R < +∞ e I = R si R = +∞. El
siguiente resultado nos dice que esta funcion es continua, derivable y tiene
primitiva en su intervalo de convergencia, y que se puede derivar e integrar
termino a termino dentro de dicho intervalo.
Teorema 5.2.1. Sea f la funcion suma de la SP∑∞
n=0 an(x − a)n en el
intervalo de convergencia I. Se verifica:
(a) La funcion f es continua en I.
(b) El intervalo de convergencia de la SP∑∞
n=0(n+1)an+1(x−a)n coincide
con I, la funcion f es derivable en I y f ′(x) =∑∞
n=0(n+1)an+1(x−a)n
para todo x ∈ I. Es decir, la SP se puede derivar termino a termino.
(c) El intervalo de convergencia de la SP∑∞
n=0ann+1
(x − a)n+1 coincide
con I y la funcion g que define es una primitiva de f en I. En
particular,∫ xaf(t) dt = g(x) para todo x ∈ I, es decir, la SP se puede
integrar termino a termino en I.
Demostracion. Recordemos que el radio de convergencia de la SP original
viene dado por R = 1/ lım supn→∞ |an|1/n. Llamemos R1, R2 a los radios de
62 Luis Bernal Gonzalez
convergencia respectivos de las series que aparacen en (b) y (c), es decir, a
las series formales que resultan de derivar e integrar termino a termino la SP
original. Por la formula de Hadamard,
R1 =1
lım supn→∞[((n+ 1)|an+1|)1
n+1 ]n+1n
y R2 =1
lım supn→∞[(n−1|an−1|)1
n−1 ]n−1n
.
Teniendo en cuenta que las cuatro sucesiones {(n+1)1
n+1}, {n+1n}, {(n−1)
1n−1}
y {n−1n} tienden a 1, resulta que R1 = R = R2 y por tanto los intervalos de
convergencia de las tres series son el mismo, I. De acuerdo con el Teorema
5.1.2, las tres series convergen uniformemente en cada intervalo [a− r, a+ r]
con 0 < r < R. En particular, ya que cada monomio an(x−a)n es una funcion
continua, del Teorema 4.2.1 se deduce la continuidad de f en [a − r, a + r].
Como esto es cierto para todo r ∈ (0, R) y cada punto x ∈ I es interior a
alguno de estos intervalos, concluimos que f es continua en I [recordemos
que la continuidad, al igual que la derivabilidad, es una propiedad local, es
decir, solo depende del comportamiento de la funcion en un entorno del punto
considerado]. Por tanto hemos probado (a).
La primera parte de (b) [y de (c)] ya se ha probado en el parrafo anterior.
Para el resto, consideremos de nuevo las funciones fn(x) := an(x − a)n, que
son derivables. Fijemos un intervalo [a − r, a + r] ⊂ I como antes. Habida
cuenta de la convergencia uniforme de la serie de las derivadas a cierta funcion
g : [a − r, a + r] → R, del Teorema 4.2.3 (donde [a, b] se sustituye por
[a− r, a+ r] y elegimos x0 = a) se infiere que f es derivable en [a− r, a+ r] y
que su derivada coincide con g. De nuevo, esto es cierto para cada r ∈ (0, R),
luego las propiedades demostradas son validas en I y (b) queda probado.
La prueba de (c) se completa de manera analoga, usando el Teorema
4.2.3 en cada [a − r, a + r] pero sustituyendo f por la suma F de la serie∑∞n=0
ann+1
(x − a)n+1 y fn por ann+1
(x − a)n+1. Tambien se puede demostrar
utilizando el Teorema 4.2.2 sobre integracion termino a termino de series de
SERIES DE POTENCIAS 63
funciones. La ultima parte de (c) resulta de la regla de Barrow. �
Si I ⊂ R es un intervalo yN ∈ N, se denota por CN(I) el conjunto de todas
las funciones f : I → R que tienen derivadas continuas en todos los puntos
de I hasta orden N inclusive. A veces tambien se escribe C0(I) := C(I). Por
otra parte, simbolizaremos mediante C∞(I) el conjunto de todas las funciones
f : I → R que tienen derivadas de todos los ordenes en todos los puntos
de I. Es facil ver que todos estos conjuntos son espacios vectoriales, que
C0(I) ⊃ C1(I) ⊃ C2(I) ⊃ · · · ⊃ C∞(I) y que C∞(I) =⋂N∈N CN(I).
Corolario 5.2.2. Si f es la funcion suma de una serie de potencias∑∞n=0 an(x − a)n en su intervalo de convergencia I, se tiene que f ∈ C∞(I)
y que es factible la derivacion termino a termino en I para todos los ordenes
de derivacion. En particular, se tiene que an =f (n)(a)
n!para todo n ∈ N0.
Demostracion. Basta aplicar sucesivamente el teorema anterior. Para cual-
quier k ∈ N se tiene que la serie de potencias que resulta al derivar k veces
cada termino an(x− a)n tiene el mismo radio de convergencia R que la serie
original. Por induccion, obtenemos que f (k) existe y coincide en el intervalo
de convergencia con la suma de la serie de las derivadas k-esimas. Si en
particular hacemos x = a, obtenemos f (k)(a) = k!ak + 0 + 0 + 0 + · · · , de
donde resulta la formula deseada. �
Puesto que la derivada en un punto solo depende del comportamiento de
la funcion en un entorno de dicho punto, se deduce la siguiente consecuencia.
Corolario 5.2.3. [Principio de identidad para series de potencias]
Consideremos dos series de potencias∑∞
n=0 an(x− a)n y∑∞
n=0 bn(x− a)n,
de sumas respectivas f y g. Si f y g coinciden en un entorno de a, entonces
an = bn para todo n ∈ N0, y por tanto las dos series son identicas.
64 Luis Bernal Gonzalez
El comportamiento de una serie de potencias en los extremos del intervalo
de convergencia depende del ejemplo en concreto. El siguiente teorema resulta
muy util cuando la SP converge en un extremo, ya que nos garantiza la
continuidad de la funcion suma de la serie de potencias en dicho extremo. Lo
enunciamos para el extremo derecho a + R, aunque por supuesto se puede
formular un enunciado analogo para el extremo izquierdo a−R.
Teorema 5.2.4. [Teorema de Abel] Sea∑∞
n=0 an(x− a)n una SP de radio
de convergencia R ∈ (0,+∞) y sea f la suma de la SP en su intervalo de
convergencia (a − R, a + R). Supongamos que la SP converge en el punto
b := a + R, es decir, la serie∑∞
n=0 anRn es convergente. Entonces la SP
converge uniformemente en [a, b] y se cumple lımx→b− f(x) =∑∞
n=0 anRn.
Demostracion. La parte final se deduce de aplicar el Teorema 4.2.1 de pre-
servacion de la continuidad de series funcionales a nuestra SP y a la funcion
suma f : [a, b] → R, extendida al punto b como f(b) :=∑∞
n=0 anRn. En
consecuencia, nuestra tarea es demostrar la convergencia uniforme de la SP
en [a, b].
Para ello, consideremos dos numeros m,n ∈ N con m > n y usemos la
formula de sumacion de Abel indicada en el Ejercicio 11 del Capıtulo 4, solo
que los ındices k van desde n hasta m y se sustituye ak por akRk y bk por
(x−aR
)k. Denotando Ak,n := anRn + · · ·+ akR
k para k ≥ n, obtenemos que
m∑k=n
ak(x− a)k =m∑k=n
akRk(x− a
R
)k= Am,n
(x− aR
)m+1
+m∑k=n
Ak,n
[(x− aR
)k − (x− aR
)k+1]
= Am,n(x− a
R
)m+1+(1− x− a
R
)·m∑k=n
Ak,n(x− a
R
)kpara todo x ∈ [a, b]. Fijemos ε > 0. Por el criterio de Cauchy de convergencia
de series (ver Capıtulo 1), existe n0 ∈ N tal que |Ak,n| < ε/2 siempre que
SERIES DE POTENCIAS 65
k ≥ n ≥ n0. Por tanto, si m > n ≥ n0, resulta de la desigualdad triangular y
del hecho |x−aR| ≤ 1 que
∣∣∑mk=n ak(x−a)k
∣∣ < ε2+(1− x−a
R
)· ε
2·∑∞
k=0
(x−aR
)k=
ε2
+ ε2
= ε si x ∈ [a, b). Se ha tenido en cuenta que la serie geometrica∑∞k=0
(x−aR
)kes convergente si x 6= b y que su suma en tal caso es 1
1−x−aR
.
Pero∑m
k=n ak(x − a)k = Am,n si x = b. En resumidas cuentas, dado ε > 0
hemos hallado un n0 ∈ N tal que∣∣∑m
k=n ak(x − a)k∣∣ < ε para todo par
m,n ∈ N con m > n ≥ n0 y para todo x ∈ [a, b]. Basta aplicar ahora la
condicion de Cauchy de convergencia uniforme de series de funciones. �
Ejemplo 5.2.5. Veremos mas adelante [Teorema 5.3.3(d)] que log(1 + x) =∑∞n=1
(−1)n+1
nxn en (−1, 1). Ya que
∑∞n=1
(−1)n+1
nconverge, obtenemos del
teorema anterior que∑∞
n=1(−1)n+1
n= log 2.
5.3. Funciones analıticas
Ya estamos familiarizados con las funciones continuas, derivables, de
clase C1 (derivables con continuidad), de clase CN y de clase C∞. Vamos a
introducir ahora una nueva clase de funciones, mas pequena que las anterio-
res, que surge de manera natural al considerar series de potencias. Son las
ası llamadas “funciones analıticas”. En cierta forma, son la generalizacion de
los polinomios.
Definicion 5.3.1. Supongamos que I ⊂ R es un intervalo abierto, que f :
I → R es una funcion definida en I y que a ∈ I. Se dice que f es analıtica
en a cuando existen un intervalo J ⊂ I centrado en a y una SP centrada en
a tales que f puede expresarse como la suma de dicha serie en J . Y se dice
que f es analıtica en I cuando es analıtica en cada punto de I.
Notemos que tanto el intervalo J como la SP de la definicion anterior
dependen de f y del punto a. Denotaremos por Cω(I) el conjunto de las
66 Luis Bernal Gonzalez
funciones analıticas en I, y por Cω(a) el conjunto de las funciones definidas
en un entorno del punto a que son analıticas en a. Es facil probar que ambos
conjuntos son espacios vectoriales. De la definicion y de la seccion anterior
se deduce que si f es analıtica en a entonces tiene derivadas de todos los
ordenes en dicho punto [y de hecho en todo el intervalo J ]. En particular,
Cω(I) ⊂ C∞(I).
Pero la inclusion contraria es falsa, es decir, una funcion puede tener
derivadas de todos los ordenes en un punto sin ser analıtica en dicho punto.
Por ejemplo, la funcion
ϕ(x) =
e−1/x si x > 0
0 si x ≤ 0
tiene derivada de todos los ordenes en cada punto x ∈ R, siendo ϕ(n)(0) = 0
para cada n ∈ N0. Por tanto no puede cumplirse que ϕ(x) =∑∞
n=0ϕ(n)(0)n!
xn
en un entorno de 0, luego f no es analıtica en el 0. Esto nos lleva a estudiar
condiciones para que una funcion infinitamente derivable sea analıtica.
Supongamos que f tiene derivada de todos los ordenes en un intervalo
I = (a−R, a+R). Formalmente podemos escribir la serie de Taylor asociada
a f en el punto a como∞∑n=0
f (n)(a)
n!(x− a)n. A los numeros f (n)(a)
n!se les
llama coeficientes de Taylor de f de a. Si a = 0, se suele hablar de serie de
MacLaurin y de coeficientes de MacLaurin.
El resultado que se enuncia a continuacion nos dice que si las derivadas
sucesivas de f no son demasiado grandes, entonces f coincide con su serie de
Taylor.
Teorema 5.3.2. [Teorema de Pringsheim] Sea f : I = (a− R, a+ R)→ R
tal que R ∈ (0,+∞), f ∈ C∞(I) y existe A ∈ (0,+∞) tal que
|f (n)(x)| ≤ An!
Rnpara todo n ∈ N y todo x ∈ I.
SERIES DE POTENCIAS 67
Entonces f ∈ Cω(a). De hecho, se tiene
f(x) =∞∑n=0
f (n)(a)
n!(x− a)n para todo x ∈ I.
Demostracion. Por la formula de Lagrange del resto del polinomio de Taylor,
fijados x ∈ I y n ∈ N [sin perdida de generalidad, podemos suponer x > a]
existe c = c(x, n) ∈ I tal que
f(x) = f(a) +f ′(a)
1!(x− a) + · · ·+ f (n)(a)
n!(x− a)n +
f (n+1)(c)
(n+ 1)!(x− a)n+1.
Entonces se cumplira la igualdad del enunciado en x cuando
lımn→∞f (n+1)(c)
(n+1)!(x−a)n+1 = 0. Ahora bien,
∣∣f (n+1)(c)(n+1)!
(x−a)n+1∣∣ ≤ A · (n+1)! ·
(|x−a|/R)n+1
(n+1)!= A·
( |x−a|R
)n+1 −→n→∞
0 pues |x−a|R
< 1. Esto prueba el teorema. �
Finalizamos el tema expresando ciertas funciones conocidas como suma
de una serie de Taylor. Recordemos que, para cada α ∈ R \ {0}, el numero
combinatorio generalizado(αn
)se define como(
α
n
)=α(α− 1)(α− 2) · · · (α− n+ 1)
n!si n ∈ N y
(α
0
)= 1.
Teorema 5.3.3. Se verifican los siguientes desarrollos, validos en los inter-
valos indicados:
(a) ex =∞∑n=0
xn
n!para todo x ∈ R.
(b) cosx =∞∑n=0
(−1)n
(2n)!x2n para todo x ∈ R.
(c) senx =∞∑n=0
(−1)n
(2n+ 1)!x2n+1 para todo x ∈ R.
(d) log(1 + x) =∞∑n=1
(−1)n+1
nxn para todo x ∈ (−1, 1).
(e) [Serie binomica] (1 + x)α =∞∑n=0
(α
n
)xn para todo x ∈ (−1, 1).
68 Luis Bernal Gonzalez
Demostracion. Las series de Taylor en el origen asociadas a cada una de las
5 funciones son faciles de determinar calculando f (n)(x) por induccion sobre
n y particularizando en x = 0. En los casos (a), (b) y (c), fijar R ∈ (0,+∞) y
y aplicar el Teorema 5.3.2 para validar los desarrollos en (−R,R). Como R es
arbitrario, los desarrollos son validos en todo R. Para probar (d), se considera
la serie de potencias 1−x+x2−x3 + · · · , cuyo radio de convergencia es 1, y
cuya suma es f(x) = 11+x
en (−1, 1). Basta aplicar ahora el Teorema 5.2.1(c)
con g(x) =∑∞
n=1(−1)n+1
nxn. La demostracion de (e) puede llevarse a cabo
usando la expresion de Cauchy para el termino complementario de orden n
del resto de Taylor (1 + x)α −∑n
k=0
(αk
)xk. �
Notas 5.3.4. 1. Las funciones seno, coseno y exponencial, consideradas en
el teorema anterior, pueden de hecho ser definidas en R por las igualdades
dadas por sus desarrollos de Taylor. Las tres son ejemplos de funciones ente-
ras. Por definicion, se dice que una funcion f : R→ R es entera cuando tiene
un desarrollo en serie de Taylor valido en todo R: f(x) =∑∞
n=0f (n)(0)n!
xn
para cada x ∈ R. Puede probarse que toda funcion entera es analıtica en
todo R. Pero el recıproco no es cierto: considerese, por ejemplo, la funcion
f(x) = 11+x2
. La explicacion de estos fenomenos excede el alcance de estos
apuntes, pues para ello se ha de acudir al terreno de las funciones definidas
sobre el plano complejo C.
2. Si f es analıtica en un punto a, la unicidad de los coeficientes de Taylor en
dicho punto hace que estos puedan calcularse por el metodo de los coeficientes
indeterminados. Ver, por ejemplo, el Ejercicio 6.
Ejercicios
1.- Determinar el radio de convergencia R de las series de potencias∑∞
n=1 anxn
en los siguientes casos:
SERIES DE POTENCIAS 69
(a) an = log n.
(b) an =(−1)n
n.
(c) an =((−1)n + 3)n
n.
(d) an =n2
2n.
(e) an =n!
nn.
(f) an = n−n.
(g) an = np (p ∈ N).
(h) a2n = 2n, a2n+1 = 0.
(i) a2n = b2n, a2n+1 = a2n+1 con a, b > 0.
Cuando R sea finito, estudiar el comportamiento de la serie en la frontera
del intervalo de convergencia.
2.- Estudiar la convergencia de las siguientes series y sumarlas donde converjan:
(a)
∞∑n=1
xn
n(b)
∞∑n=2
(x− 1)n
n2 − n.
3.- Estudiar la convergencia de las series de potencias∑∞
n=1 anxn y sumarlas
donde converjan, en los casos:
(a) an =(−1)n−1
n(n+ 1).
(b) an = 3n2 − n+ 1.
(c) an =1
3ksi n = 3k − 2, an = 0 en otro caso.
(d) an =n2 + 2n− 3
n!.
(e) ak = 0 si k = 2n, ak =4n
(2n+ 1)!si k = 2n+ 1.
4.- Detallar la demostracion del Teorema 5.3.3.
5.- Obtener el desarrollo en serie de potencias, en torno al 0, de las siguientes
funciones:
70 Luis Bernal Gonzalez
(a) log1 + x
1− x.
(b) arctanx.
(c)1 + x
(1− x)3.
(d) sen2 x.
(e) (1 + ex)2.
(f) log(a+ bx), donde a > 0 y b 6= 0.
6.- Obtener, por el metodo de los coeficientes indeterminados, los primeros
terminos del desarrollo en serie de potencias, en torno al 0, de las funciones:
(a) tanx (b)cosx
1 + senx(c)
cosx
1− 2x.
7.- Sean F,G : R → R dos funciones enteras que verifican F (0) = 1, G(0) = 0,
F ′(x) = G(x) y G′(x) = F (x) para todo x ∈ R.
(a) Probar que F (x)2 −G(x)2 = 1 para todo x ∈ R.
(b) Hallar las series de Taylor, en el origen, de F y G y hallar su radio de
convergencia.
(c) Probar que estas series convergen en todo x ∈ R al valor de la funcion
correspondiente.
(d) Probar que, para todo x ∈ R, se tiene F (x) = ex+e−x
2 =∑∞
n=0x2n
(2n)!
y G(x) = ex−e−x2 =
∑∞n=0
x2n+1
(2n+1)! . A estas funciones se las denomina,
respectivamente, coseno hiperbolico y seno hiperbolico.
8.- (a) Estudiar el dominio de convergencia y la suma de la serie
∞∑n=1
x4n−1
4n− 1.
(b) Desarrollar en serie de potencias, en torno al 0, la funcion
1
4log
1 + x
1− x− 1
2arctanx.
9.- Demostrar que el radio de convergencia R de una SP∑∞
n=0 an(x−a)n viene
dado por R = sup{α ≥ 0 : la sucesion {anαn}n≥1 esta acotada}.
Capıtulo 6
Medida de Lebesgue
En este capıtulo vamos a definir la medida de Lebesgue de los sub-
conjuntos de R, persiguiendo ciertas propiedades naturales que se le deben
exigir a una medida. Veremos que no sera posible medir cualquier conjunto,
de modo que nos veremos obligados a restringir la medida a una clase de
conjuntos. Esta clase, bastante amplia, es la de los conjuntos medibles. De la
definicion, iremos obteniendo las propiedades de la medida de Lebesgue.
6.1. El problema de la medida
A finales del siglo XIX surgio la idea de que la integral de Riemann
resultaba incompleta, en relacion a su comportamiento con los procesos de
lımite. Parecıa necesario reemplazarla por otro tipo de integral, mas versatil
en dichos procesos. Las contribuciones de Jordan, Borel y Young fueron com-
pletadas por Lebesgue, quien a principios de siglo XX dio con la construccion
mas adecuada.
Recordemos (ver Capıtulo 1) que la integral de Riemann de una funcion
f : [a, b] → R se define basicamente por aproximacion de cantidades de la
forma∑n
k=1 f(tk)m(Ik), donde los Ik son intervalos cerrados cuya union es
71
72 Luis Bernal Gonzalez
[a, b] y con interiores disjuntos, y m(Ik) denota la longitud del intervalo Ik.
La teorıa de Lebesgue se basa en la idea de que esos conjuntos Ik puedan
ser elegidos en una clase mas amplia de subconjuntos de R, que llamaremos
conjuntos medibles.
El problema de la medida consiste en asignar a cada conjunto A ⊂ R un
numero m(A) ∈ [0,+∞], denominado medida de A, de modo que
m([a, b]) = b− a para todo a, b ∈ R con a < b,
m(x+ A) = m(A) para todo A ⊂ R y todo x ∈ R,
m sea numerablemente aditiva, es decir, para cualquier sucesion (An)
de conjuntos disjuntos dos a dos, se tenga
m( ⋃n≥1
An)
=∑n≥1
m(An).
Resulta que no es posible hacer tal asignacion a todos los conjuntos, por lo
que se plantea la necesidad de definir el concepto de conjunto medible.
Ejemplo 6.1.1. Sea m una medida sobre los subconjuntos de R verificando
las tres propiedades anteriores. Existe un conjunto V ⊂ [0, 1] al que no puede
asignarsele ningun valor m(V ). Este conjunto se conoce con el nombre de
conjunto de Vitali y su hallazgo se debe a G. Vitali en 1905, ver Ejercicio 5.
6.2. Espacios medibles, espacios de medida y
medida exterior
Es conveniente situar el problema anterior en un contexto mas general.
Podemos definir de manera mas abstracta una medida y la familia de conjun-
tos a los cuales es aplicable una medida. Partimos de un conjunto X 6= ∅. Por
P(X) denotaremos el conjunto de partes de X. Recordemos que, si A ⊂ X, el
MEDIDA DE LEBESGUE 73
complementario de A se define como Ac = {x ∈ X : x /∈ A}; y si A,B ⊂ X
entonces su diferencia se define por A \B = A ∩Bc.
Definicion 6.2.1. Sea X un conjunto no vacıo y M⊂ P(X). Decimos que
M es una σ-algebra sobre X cuando se verifican las siguientes condiciones:
(a) X ∈M.
(b) Si A ∈M entonces Ac ∈M.
(c) Si {An}n≥1 ⊂M entonces∞⋃n=1
An ∈M.
Se llama espacio medible al par (X,M), y conjunto medible a cada miembro
de M.
De propiedades elementales de algebra de conjuntos (incluyendo las leyes
de De Morgan) se deduce que, si M es una σ-algebra sobre X, entonces
estan en M los siguientes conjuntos: ∅, uniones finitas de miembros de M,
intersecciones finitas o numerables de miembros de M, diferencia de dos
miembros de M. Como ejemplos triviales y extremos, se tiene que {∅, X} y
P(X) son σ-algebras sobre X.
Definicion 6.2.2. Sea (X,M) un espacio medible. Por definicion, una me-
dida positiva, o simplemente una medida, sobre (X,M) es una aplicacion
µ : M → [0,+∞] tal que µ(∅) = 0 y es numerablemente aditiva, es decir,
si {An}n≥1 ⊂ M y los An son dos a dos disjuntos, entonces µ( ∞⋃n=1
An)
=
∞∑n=1
µ(An). La terna (X,M, µ) se denomina espacio de medida.
La denominacion de los siguientes casos especiales es aplicable tanto a µ
como a (X,M, µ):
Si µ(X) < +∞, µ se dice finita. Si µ(X) = 1, µ es una medida de
probabilidad o simplemente probabilidad. Comentamos aquı que, en el
lenguaje propio de la Teorıa de la Probabilidad, los elementos deM se
suelen denominar sucesos, y a (X,M) se le llama espacio de sucesos.
74 Luis Bernal Gonzalez
Si existe {An}∞n=1 ⊂ M tal que µ(An) < +∞ para todo n ∈ N y
X =∞⋃n=1
An, µ se dice σ-finita.
Si [A ∈ M, B ⊂ A y µ(A) = 0] implica que B ∈ M, entonces se dice
que µ es completa.
Si S ∈ M, entonces MS := {A ∈ M : A ⊂ S} es una σ-algebra
sobre S y la restriccion µ|MSes una medida sobre (S,MS). A la terna
(S,MS, µ|MS) se le llama espacio de medida inducido en S.
Ejemplo 6.2.3. SeaX un conjunto y consideremos la aplicacion µ : P(X)→[0,+∞] dada por µ(A) = card(A) si A es finito, y µ(A) = +∞ si A es infi-
nito. Entonces µ es una medida positiva, denominada medida cardinal sobre
X. Es facil ver que µ es finita si y solo si X es finito, y que µ es σ-finita si
y solo si X es numerable.
Nota 6.2.4. Hemos visto que el valor de la medida de un conjunto puede
ser +∞. Esto implica que se han de realizar operaciones algebraicas que
involucran numeros no finitos. Por ello es conveniente considerar la recta real
ampliada, R := R ∪ {+∞,−∞} = [−∞,+∞]. A R se le dota de un orden
estricto [<] que extiende el orden de R, de modo que −∞ < x < +∞ para
todo x ∈ R. Las operaciones de suma y producto se extienden parcialmente:
(+∞) + (+∞) = +∞, (−∞) + (−∞) = −∞, a+ (+∞) = +∞ = (+∞) + a,
a+ (−∞) = −∞ = (−∞) +a [para todo a ∈ R], a · (±∞) = ±∞ = (±∞) ·a(resp.) para todo a > 0, y analogamente con el correspondiente cambio de
signo para los numeros a < 0. Ademas a/ ±∞ = 0 [para todo a ∈ R] y
| ± ∞| = +∞. Pero la operacion +∞ − (+∞) no esta definida. Tambien
es conveniente, por motivos que se veran claros en el Capıtulo 7, detallar la
topologıa que vamos a considerar en R. A saber, una base de entornos de
cada punto a ∈ R es {(a−ε, a+ε) : ε > 0}. Una base de entornos de +∞ es
{(c,+∞] : c ∈ R}, y una base de entornos de −∞ es {[−∞, c) : c ∈ R}. Por
MEDIDA DE LEBESGUE 75
tanto, los abiertos de R son tambien abiertos de R. Esto no es valido para
los cerrados, ya que por ejemplo R es un cerrado en R pero no lo es en R.
Observemos que los abiertos de R son los abiertos de R, los intervalos del tipo
[−∞, c) y (c,+∞], y las uniones posibles de estos tres tipos de conjuntos.
En la siguiente proposicion se reunen algunas propiedades operacionales
basicas de las medidas. Una sucesion de conjuntos (An) se dice que es cre-
ciente [decreciente] cuando An ⊂ An+1 [An ⊃ An+1, resp.] para todo n ∈ N.
Proposicion 6.2.5. Sea (X,M, µ) un espacio de medida. Se verifica:
(a) µ es finitamente aditiva, es decir, si A1, . . . , AN ∈ M son dos a dos
disjuntos, entonces µ( N⋃n=1
An)
=N∑n=1
µ(An).
(b) µ es monotona, es decir, si A,B ∈M y A ⊂ B entonces
µ(A) ≤ µ(B).
(c) Si A,B ∈M con A ⊂ B y µ(A) < +∞ entonces
µ(B \ A) = µ(B)− µ(A).
(d) Si {An}∞n=1 ⊂M, entonces µ( ∞⋃n=1
An)≤∞∑n=1
µ(An).
(e) Si {An}∞n=1 ⊂M es creciente entonces lımn→∞
µ(An) = µ( ∞⋃n=1
An).
(f) Si {An}∞n=1 ⊂M es decreciente y µ(A1) < +∞ entonces
lımn→∞
µ(An) = µ( ∞⋂n=1
An).
Demostracion. Es facil, por lo que solo daremos algunas indicaciones. Para
(a), definir An := ∅ si n > N y aplicar la aditividad numerable de µ. Para
(b) y (c), descomponer B = A ∪ (B \ A) y aplicar (a). En cuanto a (d),
considerar la sucesion (Bn) dada por B1 := A1, B2 := A2 \ A1, . . . , Bn :=
An \ (A1 ∪ · · · ∪ An−1), . . . , formada por conjuntos medibles disjuntos cuya
union es∞⋃n=1
An; aplıquense entonces (b) y la aditividad numerable de µ.
76 Luis Bernal Gonzalez
Para probar (e), definir A0 := ∅ y considerar la misma sucesion disjunta
(Bn) anterior. Como (An) es creciente, se tiene Bn = An \An−1. Resulta que
µ( ∞⋃n=1
An)
= µ( ∞⋃n=1
Bn
)= lım
n→∞
∑nk=1 µ(Bk) = lım
n→∞
∑nk=1[µ(Ak)−µ(Ak−1)] =
lımn→∞
µ(An). Se ha supuesto que cada µ(An) < +∞, pues (e) serıa trivial si
algun µ(An) = +∞. Por ultimo, (f) se deduce aplicando (e) a la sucesion
{A1 \ An}n≥1. �
El ejemplo X = N, M = P(N), µ = medida cardinal sobre N, An =
{n, n + 1, n + 2, . . . } (n = 1, 2, ...) muestra que (f) es falso en general si se
prescinde de la hipotesis µ(A1) < +∞.
A veces es conveniente disponer de una aplicacion con propiedades mas
debiles que una medida, pero definida para cualquier subconjunto del con-
junto soporte X. Damos el correspondiente concepto, que cierra esta seccion.
Definicion 6.2.6. Se llama medida exterior sobre un conjunto X a una
aplicacion µ∗ : P(X) → [0,+∞] nula sobre el conjunto vacıo, monotona y
numerablemente subaditiva, es decir:
(a) µ∗(∅) = 0.
(b) Si A ⊂ B entonces µ∗(A) ≤ µ∗(B).
(c) Si {An}∞n=1 ⊂ P(X) entonces µ∗( ∞⋃n=1
An)≤∞∑n=1
µ∗(An).
6.3. Construccion de la medida de Lebesgue
en R
Vamos pues a definir la medida m en la recta real de modo que permita
medir una clase mas amplia de conjuntos que los intervalos. Vamos a hacerlo
por etapas, empezando precisamente por los intervalos.
Dado un intervalo acotado I = (a, b), I = [a, b], I = (a, b] o I = [a, b),
con a < b, su longitud o amplitud es por definicion long (I) := b − a. Si
MEDIDA DE LEBESGUE 77
I es un intervalo no acotado, definimos long (I) := +∞. Queremos que, si
I es un intervalo, su medida coincida con su longitud. Por otra parte, si
A ⊂ R y A esta contenido en una union numerable de intervalos, digamos
A ⊂∞⋃k=1
Ik, debe ocurrir que la medida de A no sea mayor que la suma
de las longitudes de los intervalos In. De esta forma se define la aplicacion
m∗ : P(R)→ [0,+∞] dada por
m∗(A) = ınf{ ∞∑k=1
long (Ik) : A ⊂∞⋃k=1
Ik, Ik intervalos ⊂ R}.
Teorema 6.3.1. La aplicacion m∗ definida anteriormente verifica las si-
guientes propiedades:
(a) m∗ es una medida exterior.
(b) m∗ es invariante por traslaciones, es decir, m∗(a + A) = m∗(A) para
todo a ∈ R y todo A ⊂ R. Aquı a+ A := {a+ x : x ∈ A}.
(c) m∗ es homotetica, es decir, m∗(λA) = |λ|m∗(A) para todo λ ∈ R y
todo A ⊂ R. Aquı λA := {λx : x ∈ A}.
(d) Si E ⊂ R es numerable, m∗(E) = 0.
(e) Si I es un intervalo, m∗(I) es igual a su longitud.
Demostracion. La monotonıa de m∗ es evidente, porque si una familia de
intervalos cubre un conjunto B, tambien cubre un subconjunto A ⊂ B,
y el ınfimo decrece a medida que el conjunto crece. Si ahora fijamos un
punto x ∈ R y un ε > 0, entonces la familia de intervalos (Ik), donde
Ik := [x − ε2−k−1, x + ε2−k−1], cubre el conjunto {x}. Como la suma de sus
longitudes es ε, se tiene m∗({x}) ≤ ε para todo ε > 0, ası que m∗({x}) = 0.
Por monotonıa m∗(∅) = 0. Sea (An) ⊂ P(R). Si algun m∗(An) = +∞, por
monotonıa se tiene m∗(⋃nAn) = +∞, luego trivialmente se da la subadi-
tividad numerable. Si m∗(An) < +∞ para todo n, fijemos ε > 0. Por la
78 Luis Bernal Gonzalez
propiedad fundamental del ınfimo, para cada n existe una sucesion {In,k}k≥1
de intervalos con∑
k long (In,k) < m∗(An) + ε2n
. Entonces {In,k}n,k≥1 es un
cubrimiento numerable de⋃nAn por intervalos cuya suma de longitudes es
menor o igual que∑
nm∗(An)+ε. Por tanto m∗(
⋃nAn) ≤
∑nm
∗(An)+ε. Ya
que esto es cierto para todo ε > 0, se deduce que m∗(⋃nAn) ≤
∑nm
∗(An),
lo cual es la subaditividad numerable. Ası que m∗ es una medida exterior y
(a) esta probado.
Los apartados (b) y (c) se deducen con facilidad de la definicion de medida
exterior y del hecho de que la invariancia por traslaciones y la propiedad de
homotecia se verifican para todo intervalo. El apartado (d) resulta de la
subaditividad numerable y de que m∗({x}) = 0 para cada x ∈ R, como se
probo en el primer parrafo.
En cuanto a (e), si I es un intervalo, consideramos la familia nume-
rable {I} ∪ {Ik}k≥1, donde (Ik) es la familia de intervalos del principio
del primer parrafo (con x cualquiera). Como la suma de sus longitudes es
long (I) + ε, se tiene que m∗(I) ≤ long (I) + ε para todo ε > 0, ası que
m∗(I) ≤ long (I). Para la desigualdad contraria, sea (Ik) una familia de in-
tervalos que cubren I. Por definicion de medida exterior, basta probar que∑k long (Ik) ≥ long (I). Podemos suponer que Ik ⊂ I sustituyendo Ik por el
intervalo I∩Ik, de modo que I =⋃k Ik. Haciendo J1 := I1, J2 := I2\I1, J3 :=
I3 \ (I1 ∪ I2), . . . , cada Jk es un union finita disjunta⋃nkj=1 Jk,j de intervalos
Jk,j, y long (Ik) ≥∑nk
j=1 long (Jk,j) para cada k. Entonces I =⋃k
⋃nkj=1 Jk,j,
union numerable disjunta de intervalos. En consecuencia,∑
k long (Ik) ≥∑k
∑nkj=1 long (Jk,j) = long (I). �
La aplicacion m∗ definida anteriormente se denomina medida exterior
de Lebesgue. Aunque en un principio parece que m∗ pudiera ser un buen
candidato para representar la medida de los conjuntos de R, recordemos que
el problema de la medida expuesto a principios del tema no tiene solucion
MEDIDA DE LEBESGUE 79
en P(R). Observese que m∗ cumple todas las condiciones de medida salvo
la aditividad numerable [ni siquiera es finitamente aditiva, es decir, no se
cumple que m∗(A ∪ B) = m∗(A) + m∗(B) para todo par A,B ⊂ R con
A∩B = ∅]. El problema no radica en la definicion de m∗, sino en que existen
conjuntos que no se pueden medir.
Restringiendo convenientemente la familia de subconjuntos de R, pode-
mos obtener una medida. Lo vamos a hacer mediante el procedimiento de
Caratheodory, que admite bastante generalidad.
Teorema 6.3.2. [Teorema de Caratheodory] Sea µ∗ una medida exterior
sobre un conjunto X. Consideremos la familia
M = {M ⊂ X : µ∗(A) = µ∗(A ∩M) + µ∗(A ∩M c) ∀A ⊂ X}.
Se verifica:
(a) M es una σ-algebra sobre X.
(b) La aplicacion µ := µ∗|M es una medida sobre M.
(c) La medida µ es completa. Ademas, si µ∗(M) = 0, entonces M ∈M.
La familia M definida anteriormente se denomina la σ-algebra de los
conjuntos medibles-Caratheodory relativos a la medida exterior µ∗.
Demostracion del Teorema 6.3.2. Ya que µ∗(∅) = 0, se tiene que ∅ ∈ M. Ya
que la definicion de M es simetrica para M y M c resulta que M c ∈ M si
M ∈M. En particular, X ∈M.
Sean ahora M,N ∈M, y sea A ⊂ X. Tenemos:
µ∗(A) = µ∗(A ∩M) + µ∗(A ∩M c)
= µ∗(A ∩M ∩N) + µ∗(A ∩M ∩N c) + µ∗(A ∩M c ∩N) + µ∗(A ∩M c ∩N c).
80 Luis Bernal Gonzalez
Como M,N ∈M, resulta que
µ∗(A ∩ (M ∩N)c) = µ∗(A ∩ (M ∩N)c ∩N) + µ∗(A ∩ (M ∩N)c ∩N c)
= µ∗(A ∩M c ∩N) + µ∗(A ∩N c)
= µ∗(A ∩M c ∩N) + µ∗(A ∩M ∩N c) + µ∗(A ∩M c ∩N c),
de donde obtenemos que
µ∗(A) = µ∗(A ∩ (M ∩N)) + µ∗(A ∩ (M ∩N)c),
luego M∩N ∈M. Por tanto, M∪N = (M c∩N c)c ∈M y M \N = M∩N c ∈M. Resulta tambien, por induccion, que M1∪ . . .∪Mp y M1∩ . . .∩Mp estan
en M si M1, . . . ,Mp ∈M.
Asimismo, se prueba facilmente por induccion que
µ∗(A) =
p∑j=1
µ∗(A ∩Mj) + µ∗(A ∩
( p⋃j=1
Mj
)c)[1]
para todo A ⊂ X y todo sistema de elementos M1, . . . ,Mp de M dos a dos
disjuntos.
Sean ahora Mn ∈ M con n ∈ N. Para probar que∞⋃n=1
Mn ∈ M, pode-
mos suponer que los Mn son dos a dos disjuntos (basta sustituir la sucesion
M1,M2,M3, . . . por la sucesion M1,M2 \M1,M3 \ (M1∪M2), . . . , cuya union
es tambien∞⋃n=1
Mn). Por [1], si A ⊂ X, resulta que, para todo n ∈ N,
µ∗(A) =n∑j=1
µ∗(A ∩Mj) + µ∗(A ∩
( n⋃j=1
Mj
)c)
≥n∑j=1
µ∗(A ∩Mj) + µ∗(A ∩
( ∞⋃j=1
Mj
)c),
lo que implica que
µ∗(A) ≥∞∑j=1
µ∗(A ∩Mj) + µ∗(A ∩
( ∞⋃j=1
Mj
)c)
MEDIDA DE LEBESGUE 81
≥ µ∗(A ∩
( ∞⋃j=1
Mj
))+ µ∗
(A ∩
( ∞⋃j=1
Mj
)c) ≥ µ∗(A),
donde hemos usado dos veces la subaditividad. Por tanto,
µ∗(A) = µ∗(A ∩
( ∞⋃j=1
Mj
))+ µ∗
(A ∩
( ∞⋃j=1
Mj
)c)para todo A ⊂ X,
de donde deducimos que∞⋃n=1
Mn ∈ M. Hemos probado que M es una σ-
algebra, lo cual es (a).
Para (b), denotemos µ := µ∗|M. Entonces µ(∅) = µ∗(∅) = 0. En cuanto a
la aditividad numerable de µ, tomemos Mn ∈M (n ∈ N) dos a dos disjuntos.
Haciendo A =∞⋃n=1
Mn en el razonamiento anterior, obtenemos –todas las
desigualdades deben ser igualdades– que
µ( ∞⋃n=1
Mn
)=∞∑n=1
µ(Mn) + µ(∅) =∞∑n=1
µ(Mn).
Probemos (c). Si M ⊂ X y µ∗(M) = 0, entonces M ∈ M. En efecto,
si A ⊂ X, entonces A ∩M ⊂ M , luego µ∗(A ∩M) = 0, ası que µ∗(A) ≤µ∗(A \ M) + 0 por subaditividad, mientras que µ∗(A) ≥ µ∗(A \ M) por
monotonıa. Resta probar que µ es completa, pero esto resulta de la propiedad
que se acaba de demostrar y de la monotonıa de µ∗. 2
Definicion 6.3.3. Un conjunto E ⊂ R se dice medible Lebesgue si es medible-
Caratheodory respecto de la medida exterior de Lebesgue m∗, es decir, si
verifica m∗(A) = m∗(A ∩ E) +m∗(A ∩ Ec) para todo A ⊂ R.
Denotaremos por L la σ-algebra de los subconjuntos medibles Lebesgue
de R. Se denomina medida de Lebesgue a la aplicacion m : L → [0,+∞] dada
por m := m∗|L.
Hemos resuelto pues el problema de la medida en R planteado al prin-
cipio. En efecto, por el teorema de Caratheodory, m es una medida sobre
82 Luis Bernal Gonzalez
L. Ademas, ya que m proviene de m∗, se tiene la propiedad de invarian-
cia por traslaciones y la propiedad de homotecia: m(λ + A) = m(A) y
m(λA) = |λ|m(A) para todo A ∈ L y todo λ ∈ A. Se deja como ejerci-
cio probar que los conjuntos λ + A y λA son medibles Lebesgue siempre
que A lo sea. De paso, obtenemos que m es una medida completa y que cada
conjunto E ⊂ R numerable es medible Lebesgue con m(E) = 0. Tambien,
A ∈ L si m∗(A) = 0.
6.4. Conjuntos medibles Lebesgue
En la seccion anterior hemos resuelto el problema de la medida, al
restringir la familia de conjuntos que se pueden medir. En este punto, serıa
muy interesante probar que existen muchos conjuntos medibles Lebesgue. En
particular, vamos a ver que la mayorıa de los conjuntos usuales son medibles
Lebesgue. Recordemos que un subconjunto de un espacio topologico se dice
que es cerrado cuando su complementario es abierto, que es un Fσ si es
union numerable de cerrados, y que es un Gδ si es interseccion numerable
de abiertos.
Teorema 6.4.1. Todo abierto, todo cerrado, todo subconjunto Fσ, todo sub-
conjunto Gδ, todo intervalo y todo subconjunto compacto de R es medible
Lebesgue. La medida de Lebesgue de un intervalo coincide con su longitud
y la medida de un compacto es finita. Ademas, la medida de Lebesgue es
completa y σ-finita.
Demostracion. Supongamos probado que cada intervalo abierto y acotado
I = (a, b), con −∞ < a < b < +∞, es medible. Como cada abierto de
R es union numerable de intervalos del tipo anterior y L es una σ-algebra,
tendrıamos que todo abierto es medible. Usando de nuevo que L es una σ-
algebra obtenemos que cada conjunto de los dados en el enunciado es medible
MEDIDA DE LEBESGUE 83
(recordar que cada compacto es cerrado). Ya sabemos que la medida exterior
de un intervalo coincide con su longitud. Al ser cada intervalo un conjunto
medible, tambien es igual a su medida. Como cada compacto esta acotado,
esta contenido en un intervalo acotado, y por monotonıa se concluye que su
medida es finita. Ya se vio antes que m es completa. Que m es σ-finita se
deduce de que podemos expresar R como la union numerable R =⋃n[−n, n],
de modo que m([−n, n]) = long ([−n, n]) = 2n < +∞ para cada n.
Nuestra tarea se reduce, por tanto, a demostrar que cada intervalo abierto
y acotado I esta en L. Para ello, fijemos A ⊂ R. Por subaditividad es cierto
que m∗(A) ≤ m∗(A ∩ I) + m∗(A ∩ Ic), y la desigualdad inversa es trivial si
m∗(A) = +∞. Ası pues, suponemos m∗(A) < +∞ y se ha de probar que
m∗(A ∩ I) +m∗(A ∩ Ic) ≤ m∗(A).
Con tal fin, fijemos ε > 0. Por definicion de m∗ existen intervalos In (n =
1, 2, ...), que se pueden suponer abiertos estirandolos levemente, tales que∑n long (In) < m∗(A)+ε y A ⊂
⋃n In. Necesariamente los In son intervalos
abiertos acotados, y podemos suponer que In ∩ I 6= ∅ para todo n, luego
cada uno de estos conjuntos es un intervalo abierto acotado. Cada In se
descompone en la union disjunta de I ∩ In con Ic∩ In, y este ultimo conjunto
es ∅ o se descompone en la union de, a lo mas, dos componentes conexas,
digamos Jn y Kn, que son intervalos acotados [los casos Ic ∩ In = ∅ o de una
sola componente conexa son mas faciles de manejar y no se consideraran;
simplemente hacer 0 el sumando correspondiente a la medida exterior o a la
longitud]. Es evidente que {Jn}n≥1∪{Kn}n≥1 es un cubrimiento por intervalos
de Ic ∩ A. En consecuencia, m∗(A ∩ I) + m∗(A ∩ Ic) ≤∑
n long (In ∩ I) +∑n long (Jn) +
∑n long (Kn) =
∑n long (In) < m∗(A) + ε. Como esto es
cierto para cada ε > 0, obtenemos la desigualdad deseada. �
Ahora podemos establecer el siguiente teorema de estructura de conjuntos
84 Luis Bernal Gonzalez
medibles Lebesgue.
Teorema 6.4.2. Sea A ⊂ R. Son equivalentes:
(a) A ∈ L.
(b) Para cada ε > 0 existe un subconjunto abierto G ⊂ R tal que A ⊂ G
y m∗(G \ A) < ε.
(c) A = H \B, donde H es un Gδ y m∗(B) = 0.
(d) Para cada ε > 0 existe un subconjunto cerrado F ⊂ R tal que F ⊂ A
y m∗(A \ F ) < ε.
(e) A = K ∪ C, donde K es un Fσ y m∗(C) = 0.
Demostracion. (a)⇒ (b): Partimos de que A ∈ L. Supongamos que m(A) <
+∞. Por la definicion de m∗, existe una sucesion de intervalos {In}∞n=1 tal que
A ⊂∞⋃n=1
In y m(A) + ε2>∞∑n=1
long (In). Estirando levemente cada intervalo
In, podemos obtener una sucesion de intervalos abiertos Jn (n ∈ N) tales que
Jn ⊃ In y m∗(Jn) < long (In) + ε2n+1 . Llamemos G :=
∞⋃n=1
Jn. Entonces G es
abierto [luego G ∈ L y G\A ∈ L], A ⊂ G y, como m(A) < +∞, se tiene que
m∗(G \ A) = m(G \ A) = m(G) −m(A) ≤∞∑n=1
m∗(Jn) −∞∑n=1
long (In) + ε2<∑∞
n=1ε
2n+1 + ε2
= ε.
Si fuese m(A) = +∞, existirıa una sucesion {Aj}∞j=1 ⊂ L tal que m(Aj) <
+∞ para todo j y A =∞⋃j=1
Aj. Fijado ε > 0, existe para cada j ∈ N un
abierto Gj tal que Aj ⊂ Gj y m(Gj \ Aj) < ε2j
. Sea ahora, por definicion,
G :=∞⋃j=1
Gj. Entonces G es abierto, A ⊂ G y G \ A ⊂∞⋃j=1
(Gj \ Aj), luego
m∗(G \ A) = m(G \ A) ≤∞∑j=1
m(Gj \ Aj) <∞∑j=1
ε2j
= ε.
(b) ⇒ (c): Para ε = 1j, elegimos un abierto Gj con A ⊂ Gj tal que m∗(Gj \
A) < 1/j. Llamemos H :=∞⋂j=1
Gj. Entonces H es un Gδ, H ⊃ A y m∗(H \
MEDIDA DE LEBESGUE 85
A) ≤ m∗(Gj \A) < 1/j para todo j ∈ N. Por tanto, si llamamos B := H \A,
resulta que m∗(B) = 0 y A = H \B.
(a)⇒ (d): Como R \A ∈ L y ya se tenıa [(a)⇒ (b)], conseguimos que dado
ε > 0 podemos encontrar un abierto G tal que R\A ⊂ G y m(G\(R\A)) < ε.
En consecuencia, si definimos F := R \G, resulta que F es cerrado, F ⊂ A
y m∗(A \ F ) = m(A \ F ) = m(G \ (R \ A)) < ε.
(c)⇒ (a): Tenemos por hipotesis que A = H \B, con H un Gδ [luego H ∈ L]
y m∗(B) = 0 [luego B ∈ L], ası que A ∈ L.
(e) ⇒ (a): Similar a la implicacion anterior.
(d) ⇒ (e): Similar a la implicacion [(b) ⇒ (c)]. �
El resultado anterior nos viene a decir que un subconjunto de R es medible
Lebesgue si esta arbitrariamente proximo, en terminos de medida exterior, a
un abierto o a un cerrado. De hecho, se tiene lo siguiente.
Corolario 6.4.3. La medida de Lebesgue m verifica las siguientes propie-
dades, para todo A ∈ L:
(a) m es exteriormente regular, es decir,
m(A) = ınf{m(G) : G es abierto y G ⊃ A}.
(b) m es interiormente regular, es decir,
m(A) = sup{m(K) : K es compacto y K ⊂ A}.
Demostracion. La propiedad (a) es trivial si m(A) = +∞, y si m(A) < +∞resulta de la igualdad m(G\A) = m(G)−m(A) y de la equivalencia “(a)⇔(b)” del teorema anterior. De manera analoga [usando la equivalencia “(a)
⇔ (d)” del teorema anterior] se obtendrıa que m(A) = sup{m(F ) : F es
cerrado y F ⊂ A}. Ahora bien, cada cerrado F se puede expresar como
union creciente de compactos, F =⋃∞n=1Kn, tomando por ejemplo Kn =
86 Luis Bernal Gonzalez
F ∩ [−n, n]. Utilizar ahora la Proposicion 6.2.5(e). Los detalles se dejan como
ejercicio. �
Notas 6.4.4. 1. Si X es un conjunto no vacıo, es facil probar que la intersec-
cion de una familia de σ-algebras es tambien una σ-algebra. Si A ⊂ P(X), se
llama σ-algebra generada por A a la interseccion de todas las σ-algebras que
contienen a A. Es claro que es la menor σ-algebra que contiene a A. Si ahora
X es un espacio topologico y A es la familia de los abiertos, la σ-algebra
B que genera se conoce como σ-algebra de Borel de X, y sus conjuntos se
denominan borelianos o conjuntos de Borel. En el caso X = R, se tiene que
cada boreliano es medible Lebesgue, pues L es una σ-algebra que contiene a
los abiertos. Puede probarse que la contencion es estricta, es decir, existen
conjuntos medibles Lebesgue que no son borelianos.
2. Hemos construido la familia de conjuntos medibles Lebesgue y la medi-
da de Lebesgue en R. De manera analoga, con algo mas de complicacion de
notacion, se construye la medida de Lebesgue en cualquier espacio RN , par-
tiendo de los productos I = I1× · · ·× IN de intervalos reales y sustituyendo
la longitud por el volumen vol (I) :=∏N
k=1 long (Ik).
6.5. El conjunto de Cantor
Acabamos el capıtulo presentando un conjunto especial. Sabemos que
todo conjunto numerable tiene medida de Lebesgue nula. Vamos a ver que
la numerabilidad no es una condicion necesaria para ello.
Consideremos el intervalo F0 = [0, 1] y eliminemos de el el tercio central
abierto (1/3, 2/3). Resulta el conjunto F1 = [0, 1/3] ∪ [2/3, 1] ⊂ F0. Ahora
eliminamos de este los dos tercios centrales abiertos de los intervalos que lo
componen, resultando ası el conjunto F2 = [0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪[8/9, 1] ⊂ F1. Continuemos inductivamente este proceso. Supongamos cons-
MEDIDA DE LEBESGUE 87
truido el conjunto Fn y consideremos el subconjunto Fn+1 ⊂ Fn obtenido
eliminando de Fn el tercio central abierto de cada uno de los subintervalos
que lo componen. Denotemos C :=⋂∞n=0 Fn. A C se le denomina conjunto
de Cantor.
Teorema 6.5.1. El conjunto de Cantor C definido anteriormente es com-
pacto, tiene medida de Lebesgue nula y es no numerable.
Demostracion. Ya que C es interseccion de conjuntos cerrados, es cerrado.
Como C ⊂ [0, 1], resulta que C es acotado, luego es compacto por el teo-
rema de Heine–Borel. En particular, es medible Lebesgue. Por construccion,
cada Fn es union disjunta de 2n intervalos cerrados de amplitud 1/3n, luego
m(Fn) = (2/3)n. Por monotonıa y por el hecho de que C ⊂ Fn para todo n,
se deduce que 0 ≤ m(C) ≤ (2/3)n para todo n. Haciendo n → ∞, resulta
m(C) = 0. En cuanto a la no-numerabilidad, supongase, por reduccion al
absurdo, que C es numerable. Entonces podemos escribir C = {xn}n≥1. Co-
mo los dos intervalos que componen F1 son disjuntos, al menos uno de ellos,
llamemosle I1, no contiene a x1. Dos de los intervalos que forman F2 estan
contenidos en I1. Al menos uno de esos dos intervalos, al ser disjuntos, no
contiene a x2. Sea I2 ⊂ I1 dicho intervalo. De ese modo se va construyendo
una sucesion de intervalos cerrados acotados encajados, que tienen que tener
interseccion A 6= ∅. Notemos que A ⊂⋂n Fn = C. Elijamos x0 ∈ A, ası que
x0 ∈ C. Pero x0 no es ninguno de los elementos xn [y esto es contradiccion]
ya que, por construccion, xn /∈ In pero x0 ∈ In para todo n. �
Ejercicios
1.- (a) Hallar la medida de Lebesgue del conjunto Q de los numeros racionales.
(b) Hallar la medida de Lebesgue del conjunto de los numeros irracionales
del intervalo [0, 1].
88 Luis Bernal Gonzalez
(c) Hallar la medida de Lebesgue del conjunto de los numeros reales al-
gebraicos, es decir, aquellos numeros reales que son solucion de una
ecuacion polinomica con coeficientes enteros.
2.- Sea (X,M, µ) un espacio de medida y {An}n≥1 una sucesion de conjuntos
medibles de X, es decir, {An}n≥1 ⊂M.
(a) Probar que el conjunto A de los elementos de X que pertenecen a
infinitos conjuntos An es medible.
(b) Probar que el conjunto B de los elementos de X que pertenecen a
todos los An salvo a un numero finito de ellos es medible.
(c) Demostrar que µ(B) ≤ lım infn→∞ µ(An).
(d) Demostrar que si µ(∪An) <∞ entonces µ(A) ≥ lım supn→∞ µ(An).
(e) Demostrar el lema de Borel–Cantelli : si∑µ(An) < ∞ entonces
µ(A) = 0.
3.- Sea A ⊂ R un conjunto medible Lebesgue de medida positiva. Denotemos
por m la medida de Lebesgue sobre R.
(a) Demostrar la continuidad de la funcion f : x ∈ [0,+∞) 7→ m(A ∩
[−x, x]).
(b) Probar que para todo α ∈ (0,m(A)) existe B medible con B ⊂ A tal
que m(B) = α.
4.- Sea f : R→ R una funcion arbitraria. Llamemos A(f) al conjunto de puntos
en que f es continua. Para cada n ∈ N, denotemos por An la union de todos
los intervalos abiertos I de extremos racionales tales que supx,y∈I |f(x) −
f(y)| ≤ 1/n. Demostrar que A(f) =∞⋂n=1
An y concluir que A(f) es un
conjunto de Borel.
5.- Este ejercicio describe la construccion del conjunto de Vitali.
MEDIDA DE LEBESGUE 89
(a) Consideremos la relacion binaria en [0, 1] dada por x ∼ y si y solo si
x− y ∈ Q. Demostrar que es una relacion de equivalencia.
(b) Sea V ⊂ [0, 1] un subconjunto que se forma escogiendo exactamente un
representante en cada una de las clases de equivalencia generadas por la
relacion anterior. Sea {r1, r2, ..., rn, ...} una enumeracion del conjunto
numerable [−1, 1] ∩ Q, de modo que ri 6= rj si i 6= j. Probar que si
i 6= j entonces (ri + V ) ∩ (rj + V ) = ∅.
(c) Se define M =∞⋃n=1
(rn + V ). Demostrar que [0, 1] ⊂M ⊂ [−1, 2].
(d) Concluir, por vulneracion de la aditividad numerable, que V no es
medible Lebesgue.
6.- Sea (X,M, µ) un espacio de medida σ-finito. Demuestrese que, para cada
A ∈M, se tiene µ(A) = sup{µ(B) : B ∈M, B ⊂ A, µ(B) < +∞}.
7.- (a) Dar un ejemplo de un subconjunto no-medible A ⊂ R tal que m∗(A) =
+∞.
(b) Dar un ejemplo de un par de subconjuntos A y B de R que cumplan
simultaneamente las siguientes condiciones: A y B son no-medibles
Lebesgue, A ∪B y A ∩B son medibles Lebesgue, y A ∩B 6= ∅.
8.- Sea f : R → R una funcion lipchiciana, es decir, ∃α ∈ (0,+∞) tal que
|f(x) − f(y)| ≤ α · |x − y| ∀x, y ∈ R. Demostrar que si A ⊂ R tiene me-
dida de Lebesgue nula, entonces f(A) tambien tiene medida de Lebesgue
nula. Indicacion: verificar primero que f es continua, y usar el hecho de que
toda funcion continua transforma intervalos en intervalos; si ahora I es un
intervalo, estimar la longitud de f(I) en funcion de la longitud de I.
9.- Demostrar que, si (X, d) es un espacio metrico y x0 ∈ X es un punto fijo,
la expresion α(A) := sup{d(x, x0) : x ∈ A} (A ⊂ X) define una medida
exterior sobre X.
90 Luis Bernal Gonzalez
10.- Sea (X,M, µ) un espacio de medida finita, con la propiedad de que µ(A) > 0
si A 6= ∅. Demostrar que la expresion d(A,B) = µ((A \ B) ∪ (B \ A))
(A,B ∈M) define una metrica sobre M.
11.- Sea A ⊂ [0, 1] el conjunto de numeros reales x para cuya expresion decimal
x = 0, a1a2a3a4 . . . se verifica que {a2, a4, a6, . . . } ⊂ {1, 2}. Demostrar que
A es medible-Lebesgue y calcular m(A).
Capıtulo 7
Integral de Lebesgue
Una vez definida la medida de Lebesgue en R, el objetivo del capıtulo
sera definir la integral de una funcion de R a R. Lo haremos por etapas, igual
que en el capıtulo anterior, empezando por las funciones simples y extendien-
do la definicion por aproximaciones de estas. Como en la construccion de la
medida vista en el tema anterior, no se podra definir la integral de cualquier
funcion imaginable, sino que sera necesario definir una clase de funciones
a las que se les pueda asignar una integral. Sera la clase de las funciones
medibles. Podemos realizar este proceso de modo mas general, considerando
funciones X → R, donde X es el conjunto soporte de un espacio de medida
(X,M, µ) completo. Recordemos que la medida m de Lebesgue es comple-
ta. En la mayorıa de las aplicaciones practicas, se considerara un conjunto
medible Lebesgue M ⊂ R y el espacio de medida inducido (M,LM , µ|LM ).
7.1. Funciones simples
Dado un conjunto no vacıo X y un subconjunto A ⊂ X, la funcion
caracterıstica de A se define como la funcion χA : X → R que vale 1 en A y
0 en X \ A. Propiedades elementales son: χ∅ ≡ 0, χX ≡ 1, χA · χB = χA∩B,
91
92 Luis Bernal Gonzalez
χX\A = 1− χA, {χA = 1} = A y {χA = 0} = X \ A si A,B ⊂ X.
Hemos usado y usaremos notaciones conjuntistas como {f ≤ α}, {f ≥α}, {f = α}, {f = g}, {α ≤ f ≤ β} y ası sucesivamente, donde f, g :
X → R y α, β ∈ R. Su significado respectivo es {x ∈ X : f(x) ≤ α},{x ∈ X : f(x) ≥ α}, {x ∈ X : f(x) = α}, {x ∈ X : f(x) = g(x)} y
{x ∈ X : α ≤ f(x) ≤ β}.
La idea es definir la integral de la funcion caracterıstica de un conjun-
to medible A como∫XχA dµ = m(A) y extenderla, primero por linealidad
y despues por aproximacion de combinaciones lineales de funciones carac-
terısticas. Esto lleva al concepto de funcion simple.
Definicion 7.1.1. Sea (X,M) un espacio medible y ϕ : X → R. Se dice que
ϕ es una funcion simple si toma un numero finito de valores. Diremos que
ϕ es una funcion simple medible si ademas los toma en conjuntos medibles,
es decir, ϕ es simple medible si ϕ(X) es finito y {ϕ = α} ∈ M para cada
α ∈ ϕ(X).
De la definicion se deduce que ϕ es simple (simple medible, resp.) si y
solo si existen a1, ..., am ∈ R y A1, ..., Am ⊂ X (A1, ..., Am ∈ M, resp.) dos
a dos disjuntos tales que
ϕ =m∑i=1
aiχAi .
Puede suponerse ademas que⋃mi=1Ai = X, ya que puede anadirse un suman-
do mas tomando a0 = 0 y A0 = X \(⋃m
i=1Ai).
Una propiedad elemental es que si A ⊂ X y ϕ es simple, con ϕ =∑mi=1 aiχAi , entonces ϕχA =
∑mi=1 aiχAi∩A. Si A es medible y ϕ es medible,
entonces ϕχA es medible, en cuyo caso ϕχA es simple medible. Tambien es
facil ver que las funciones simples, ası como las simples medibles, constituyen
un espacio vectorial. En efecto, si ϕ =∑m
i=1 aiχAi y ψ =∑n
j=1 bjχBj son
INTEGRAL DE LEBESGUE 93
simples con⋃mi=1Ai = X =
⋃nj=1Bj, y α ∈ R, entonces
αϕ =m∑i=1
αaiχAi y ϕ+ ψ =m∑i=1
n∑j=1
(ai + bj)χAi∩Bj .
7.2. Funciones medibles
Para definir la integral de una funcion f , la idea es aproximarla por
funciones simples medibles del tipo∑m
i=1 aiχ{ai−ε≤f≤ai+ε}. Por tanto, es ne-
cesario que los conjuntos {ai−ε ≤ f ≤ ai+ε} sean medibles. Esto nos lleva al
concepto de funcion medible. Conviene recordar cuales son los subconjuntos
abiertos de R, ver Nota 6.2.4.
Definicion 7.2.1. Sea (X,M) un espacio medible y f : X → R. Decimos
que f es una funcion medible cuando f−1(G) ∈ M para todo subconjunto
abierto G de R. En el caso en que (X,M) = (M,LM), donde M ∈ L,
diremos que f es una funcion medible Lebesgue.
Comentamos aquı que, en el lenguaje propio de la Teorıa de la Probabi-
lidad, las funciones medibles se suelen llamar tambien variables aleatorias.
Teorema 7.2.2. [Teorema de caracterizacion de funciones medibles]
Sea (X,M) un espacio medible y f : X → R. Las siguientes propiedades
son equivalentes:
(a) La funcion f es medible.
(b) Para todo a ∈ R, {f < a} ∈ M.
(c) Para todo a ∈ R, {f ≤ a} ∈ M.
(d) Para todo a ∈ R, {f > a} ∈ M.
(e) Para todo a ∈ R, {f ≥ a} ∈ M.
Demostracion. Como M es una σ-algebra, un subconjunto A de X esta en
M si y solo si lo esta Ac. Se deduce que (b) y (e) son equivalentes y que (c)
94 Luis Bernal Gonzalez
y (d) son equivalentes. Fijemos a ∈ R. Si elegimos una sucesion (an) ⊂ R
estrictamente decreciente con an → a, se tiene que {f ≤ a} =⋂n{f < an}.
Si (b) es cierto, de ser M una σ-algebra se deduce que {f ≤ a} ∈ M,
ası que (b) implica (c). Que (d) implica (e) es analogo: basta elegir cualquier
sucesion (bn) ⊂ R estrictamente creciente con bn → a y tener en cuenta que
{f ≥ a} =⋂n{f > bn}. Por tanto las 4 propiedades (b)–(e) son equivalentes.
Supongamos ahora que (a) se cumple. Entonces cada conjunto G = [−∞, a)
es abierto en R, luego {f < a} = f−1(G) ∈ M. Ası que (a) implica (b).
Finalmente, teniendo en cuenta la estructura de los abiertos de R junto con
el hecho de que cada abierto G de R es union numerable de intervalos abiertos
(an, bn), de ser M una σ-algebra se deduce que (b) conjuntamente con (d)
implica (a) [notar que (b) y (d) pueden usarse conjuntamente, ya que son
equivalentes; se deduce en particular que f−1((an, bn)) = {f > an} ∩ {f <
bn} ∈ M]. Se ha usado tambien que la operacion de tomar preimagenes
respeta las operaciones de union e interseccion de conjuntos. �
Demos algunos ejemplos. La funcion caracterıstica χA es medible si y solo
si A ∈M. Si ϕ es simple, es facil ver que es medible en el sentido de la defini-
cion anterior si y solo si lo es en el sentido de la Definicion 7.1.1. Si A1, ..., Am
son medibles y a1, ..., am ∈ R entonces la funcion simple∑m
i=1 aiχAi es medi-
ble. Toda funcion continua f : R→ R es medible Lebesgue. De la proposicion
anterior tambien se deduce que si f : X → R es medible y a ∈ R entonces
el conjunto {f = a} es medible. En el siguiente teorema agrupamos ejem-
plos mas generales, que incluyen propiedades operacionales de las funciones
medibles.
Teorema 7.2.3. Supongamos que (X,M) es un espacio medible.
(a) Si f, g : X → R son medibles y α ∈ R, entonces las funciones αf ,
f · g, f + g y f/g son medibles. Para el cociente se supone que f y g
no son simultaneamente nulas en ningun punto.
INTEGRAL DE LEBESGUE 95
(b) Si f : X → R es medible y g : R→ R es continua, entonces g ◦ f es
medible.
(c) Si f, g, fn : X → R (n ≥ 1) son medibles, entonces las funciones
max{f, g}, mın{f, g}, f+, f−, |f |, supn fn, ınfn fn, lım supn fn y
lım infn fn son medibles.
(d) Si f : X → R es medible, A ∈ M y sobre A se considera el espacio
medible inducido (A,MA), la restriccion f |A : A→ R es medible.
(e) Si fn : X → R (n ≥ 1) son medibles, el conjunto L := {x ∈ X :
∃ lımn fn(x) ∈ R} es medible. Ademas, si sobre L se considera el espa-
cio medible inducido, la funcion f : L→ R dada por f(x) = lımn fn(x)
es medible.
Demostracion. (a) Partimos de que f y g son medibles. Sea α ∈ R. Que αf
es medible se prueba facilmente usando el Teorema 7.2.2 y distinguiendo los
casos α = 0, α > 0, α < 0. Fijado α ∈ R, se tiene que α + f es medible si lo
es f . En efecto, usando de nuevo el Teorema 7.2.2 y fijando a ∈ R, resulta
que {α + f < a} = {f < a − α} ∈ M, y se obtiene lo deseado. Por otra
parte, se tiene que −g = (−1)g es medible y, por lo anterior, α− g tambien
es medible. Si ahora fijamos a ∈ R, obtenemos que {f + g < a} = {f <
a− g} =⋃∞n=1({f < qn} ∩ {qn < a− g}), donde (qn) es una enumeracion de
los elementos de Q [se ha usado que Q es denso en R]. La ultima union es
medible porque M es una σ-algebra, de donde f + g es medible. Probemos
ahora que f 2 es medible. Si a ≤ 0 entonces {f 2 < a} = ∅ ∈ M. Si a > 0,
resulta que {f 2 < a} = {f < a1/2} ∩ {f > −a1/2} ∈ M. Ası que f 2 es
medible. Observemos ahora que f · g = (1/2)((f + g)2 − f 2 − g2). Uniendo
los resultados anteriores, f · g es medible. En cuanto al cociente, si a ≥ 0,
tenemos que {1/f > a} = {f > 0} ∩ {f < 1/a} ∈ M, mientras que si a < 0
96 Luis Bernal Gonzalez
resulta que {1/f > a} = {f > 0} ∪ {f < 1/a} ∈ M. Por el Teorema 7.2.2,
1/f es medible. Luego f/g = (1/g) · f es medible.
(b) Sea G un abierto de R. Como g es continua, g−1(G) es abierto en R y,
ya que f es medible, f−1(g−1(G)) ∈ M. Pero f−1(g−1(G)) = (g ◦ f)−1(G).
Ası que g ◦ f es medible.
(c) Llamemos F := supn fn y G := ınfn fn. Si a ∈ R, tenemos que {F ≤a} =
⋂n{fn ≤ a} ∈ M porque cada fn es medible y M es una σ-algebra.
Ası que F es medible. De la igualdad {G ≥ a} =⋂n{fn ≥ a} se deduce
analogamente que G es medible. Haciendo f1 = f , f2 = g, f3 = f , f4 = g, . . .
resulta como caso particular que max{f, g} y mın{f, g} son medibles. Ya
que −f es medible y se tiene |f | = max{f,−f}, f+ = max{f, 0} y f− =
max{−f, 0}, inferimos la medibilidad de estas tres funciones. Recordando
que lım supn fn = ınfn supk≥n fk y lım infn fn = supn ınfk≥n fn, concluimos
que lım supn fn y lım infn fn son asimismo medibles.
(d) Si G es un abierto de R entonces (f |A)−1(G) = A ∩ f−1(G), que es un
conjunto medible porque A y f−1(G) lo son.
(e) Bajo las hipotesis del enunciado, si llamamos ϕ = lım supn fn y ψ =
lım infn fn, se tiene que L = [ϕ−1(R) ∩ ψ−1(R) ∩ {ϕ − ψ = 0}] ∪ [{ϕ =
+∞}∩{ψ = +∞}]∪ [{ϕ = −∞}∩{ψ = −∞}]. Este es un conjunto medible
porque ϕ y ψ son medibles y M es una σ-algebra. Por ultimo, f = ϕ|L. Se
deduce de (d) que f es medible. �
El ultimo resultado de esta seccion muestra que las funciones medibles
son aquellas que pueden ser aproximadas por funciones simples medibles.
Teorema 7.2.4. [Teorema de aproximacion por funciones simples]
(a) Sea (X,M) un espacio medible y f : X → [0,+∞] medible. Entonces
existe una sucesion (ϕn) de funciones simples medibles tales que 0 ≤
INTEGRAL DE LEBESGUE 97
ϕn(x) ≤ ϕn+1(x) ≤ f(x) para todo x ∈ X y todo n ∈ N, de modo que
lımn→∞
ϕn(x) = f(x) para todo x ∈ X.
(b) Sea (X,M) un espacio medible y f : X → R medible. Entonces existe
una sucesion (ϕn) de funciones simples medibles tales que |ϕn(x)| ≤|f(x)| para todo x ∈ X y todo n ∈ N, de modo que lım
n→∞ϕn(x) = f(x)
para todo x ∈ X. Si f es acotada, la convergencia puede conseguirse
uniforme.
Demostracion. Supuesto probado (a), la parte (b) es inmediata. En efecto:
f = f+ − f− con f+, f− : X → [0,+∞] medibles. Entonces existen ϕn, ψn
(n ∈ N) simples y medibles de X en [0,+∞] tales que ϕn(x) ↑ f+(x) y
ψn(x) ↑ f−(x) para todo x ∈ X. Luego {ϕn − ψn}∞n=1 es una sucesion de
funciones simples y medibles tales que ϕn(x)− ψn(x)→ f(x) (n→∞) para
todo x ∈ X. La desigualdad |ϕn(x)| ≤ |f(x)| y la parte de la convergencia
uniforme se deduce de la prueba de (a), donde se vera esta propiedad de
convergencia uniforme en el caso de f ≥ 0 con f acotada. Basta observar que
si f : X → R es acotada, entonces f = f+ − f− con f+ y f− acotadas.
Probemos (a). Sea f ≥ 0 y medible. Entonces los conjuntos En,i :=
f−1([ i−12n, i
2n)) (1 ≤ i ≤ n2n, n ∈ N) y Fn := f−1([n,+∞]) (n ∈ N) son
medibles, al serlo f . Se deduce que, para cada n ∈ N, la funcion
ϕn :=n2n∑i=1
i− 1
2nχEn,i + nχFn
es no negativa, simple y medible.
Fijemos ahora n ∈ N, y x ∈ X. Tenemos:
Si f(x) ≥ n, entonces ϕn(x) = n ≤ f(x).
Si f(x) < n, entonces existe i ∈ {1, 2, . . . , n2n} tal que i−12n≤ f(x) < i
2n,
luego ϕn(x) = i−12n≤ f(x).
98 Luis Bernal Gonzalez
En ambos casos obtenemos que ϕn(x) ≤ f(x). Probemos ahora que
{ϕn(x)}n≥1 es creciente para cada x ∈ X.
Si f(x) ≥ n+ 1 entonces ϕn(x) = n ≤ n+ 1 = ϕn+1(x).
Si n ≤ f(x) < n + 1 entonces ϕn(x) = n y ϕn+1(x) = i−12n+1 , donde
i ∈ {1, . . . , (n + 1)2n+1} es tal que i−12n+1 ≤ f(x) < i
2n+1 . Por tanto
n < i2n+1 , luego n2n+1 < i. Se deduce que n2n+1 ≤ i − 1, ası que
ϕn(x) = n ≤ i−12n+1 = ϕn+1(x).
Si f(x) < n, se tiene que f(x) < n + 1, luego existe i ∈ {1, . . . , n2n}y existe j ∈ {1, . . . , (n + 1)2n+1} tales que i−1
2n≤ f(x) < i
2ny j−1
2n+1 ≤f(x) < j
2n+1 , de donde resulta ϕn(x) = i−12n
y ϕn+1(x) = j−12n+1 . Pero de las
desigualdades anteriores obtenemos que i−12n
< j2n+1 , luego 2(i− 1) < j,
ası que 2(i− 1) ≤ j − 1, y por tanto ϕn(x) = i−12n≤ j−1
2n+1 = ϕn+1(x).
En todos los casos obtenemos que ϕn(x) ≤ ϕn+1(x).
Por ultimo, probemos que lımn→∞
ϕn(x) = f(x) para todo x ∈ X.
Si f(x) = +∞, entonces ϕn(x) = n para todo n ∈ N, de donde
lımn→∞
ϕn(x) = f(x).
Si f(x) < +∞, existe n0 ∈ N tal que f(x) < n0, luego, para todo n ≥n0, se tiene que ϕn(x) = in−1
2n≤ f(x) < in
2ncon in ∈ {1, . . . , n2n}. Esto
implica que |ϕn(x)− f(x)| = f(x)−ϕn(x) < 12n→ 0. En consecuencia,
ϕn(x)→ f(x) (n→∞).
Notemos finalmente que, si f es acotada, el n0 obtenido anteriormente no
depende de x, con lo que tendrıamos que, para todo n ≥ n0, supx∈X|ϕn(x) −
f(x)| ≤ 12n→ 0, de donde obtenemos la convergencia uniforme. �
INTEGRAL DE LEBESGUE 99
7.3. Integral de Lebesgue de funciones no ne-
gativas
Nuestro objetivo es definir la integral de Lebesgue de una funcion me-
dible. De aquı en adelante, e incluyendo el Capıtulo 8, vamos a considerar
un espacio de medida completo (X,M, µ).
Comenzaremos por las funciones medibles y no negativas, y dentro de
estas por las funciones simples. Si A es un conjunto medible, es natural
definir∫AχA dµ = µ(A). Extendemos la definicion por linealidad.
Definicion 7.3.1. Dada una funcion simple medible no negativa ϕ : X →[0,+∞), de modo que ϕ =
∑mi=1 aiχAi , con ai ∈ [0,+∞) y Ai conjuntos
medibles dos a dos disjuntos, se define la integral de Lebesgue de ϕ sobre
X respecto de µ como ∫X
ϕdµ =m∑i=1
aiµ(Ai).
Notese que la integral de ϕ es un numero de [0,+∞]. Si para algun i es
ai > 0 y µ(Ai) = +∞, entonces∫Xϕdµ = +∞. Se toma la convencion de
que 0 · (+∞) = 0, de modo que si para algun i es ai = 0 y µ(Ai) = +∞,
se entiende que el sumando correspondiente es ai · µ(Ai) = 0.
La definicion dada no depende de la representacion usada de ϕ como com-
binacion lineal de funciones caracterısticas de conjuntos dos a dos disjuntos,
ver Ejercicio 14. Definimos ahora la integral sobre un conjunto medible.
Definicion 7.3.2. Si ϕ es una funcion simple medible no negativa como en
la definicion anterior y A ∈ M, se define la integral de Lebesgue de ϕ sobre
A como ∫A
ϕdµ =
∫X
ϕ · χA dµ =m∑i=1
aiµ(Ai ∩ A).
100 Luis Bernal Gonzalez
Reunimos algunas propiedades en la siguiente proposicion. Su prueba es
sencilla a partir de la definicion, por lo que se deja como ejercicio. Baste decir
que para demostrar la segunda parte de (a) puede usarse la representacion
de ϕ+ ψ dada al final de la seccion 7.1.
Proposicion 7.3.3. Sean α ≥ 0 y ϕ, ψ funciones simples medibles no ne-
gativas. Se tiene:
(a)∫X
(αϕ) dµ = α∫Xϕdµ y
∫X
(ϕ+ ψ) dµ =∫Xϕdµ+
∫Xψ dµ.
(b) Si ϕ ≤ ψ entonces∫Xϕdµ ≤
∫Xψ dµ.
(c) Si A ∈M con µ(A) = 0 entonces∫Aϕdµ = 0.
(d) La aplicacion νϕ : E ∈M 7→∫Eϕdµ ∈ [0,+∞] es una medida positiva,
es decir,∫⋃
n Enϕdµ =
∑n
∫Enϕdµ para toda sucesion (En) de
conjuntos medibles y disjuntos dos a dos.
Inspirados en el teorema de aproximacion de funciones medibles, parece
natural dar la siguiente definicion para funciones no negativas.
Definicion 7.3.4. Supongamos que (X,M, µ) es un espacio de medida y
que f : X → [0,+∞] es una funcion medible. Se define la integral de f sobre
X respecto de µ como∫X
f dµ = sup
{∫X
ϕdµ : ϕ simple y medible con 0 ≤ ϕ ≤ f
}.
Si A ∈M, la integral de f sobre A se define como∫Af dµ =
∫Xf · χA dµ.
El supremo de la definicion anterior se entiende perteneciente a [0,+∞],
de modo que siempre existe: es un numero real ≥ 0 si el conjunto esta acotado
superiormente, y +∞ si no lo esta. Observemos tambien que la definicion de
integral es consistente con la dada en el caso en que f sea simple y medible.
INTEGRAL DE LEBESGUE 101
7.4. Propiedades de la integral de funciones
no negativas
Reunimos las principales propiedades en la siguiente proposicion.
Proposicion 7.4.1. Sean f, g : X → [0,+∞] medibles, A,B ∈M y α ≥ 0.
Se verifican las siguientes propiedades:
(a) Si f ≤ g en X, entonces∫Xf dµ ≤
∫Xg dµ.
(b) Si A ⊂ B entonces∫Af dµ ≤
∫Bf dµ.
(c)∫Xαf dµ = α
∫Xf dµ.
(d)∫X
(f + g) dµ =∫Xf dµ+
∫Xg dµ.
(e) Si o bien f ≡ 0 en A o bien µ(A) = 0, entonces∫Af dµ = 0.
(f) Si µ(A) = 0 entonces∫Xf dµ =
∫X\A f dµ.
Demostracion. El apartado (a) es evidente a partir de la definicion, porque
si ϕ es simple y medible y 0 ≤ ϕ ≤ f entonces 0 ≤ ϕ ≤ g.
El apartado (b) resulta de (a) y del hecho de que fχA ≤ fχB si A ⊂ B.
Si α = 0, la propiedad dada en (c) se cumple trivialmente. Si α > 0, el
resultado sale de la definicion de integral, de que∫Xαϕdµ = α
∫Xϕdµ si
ϕ es simple, medible y ≥ 0, y del hecho de que, si C ⊂ [0,+∞], entonces
sup (αC) = α supC.
Probemos (d). Existen dos sucesiones crecientes (fn) y (gn) de funciones
simples, medibles y no negativas tales que fn → f y gn → g puntualmente.
Ası que fn + gn → f + g puntualmente. Por el teorema de la convergencia
monotona para funciones medibles no negativas [Teorema 8.1.1(a), que se
demostrara independientemente] y por la aditividad de la integral de este
tipo de funciones, resulta que∫X
(f + g) dµ = lımn→∞∫X
(fn + gn) dµ =
lımn→∞∫Xfn dµ+ lımn→∞
∫Xgn dµ =
∫Xf dµ+
∫Xg dµ, como se requerıa.
En cuanto a (e), si f = 0 en A entonces∫Af dµ =
∫XfχA dµ =
∫X
0 dµ =
0, mientras que la segunda parte de (e) se deduce de la definicion de integral
102 Luis Bernal Gonzalez
y de la Proposicion 7.3.3 (c). Finalmente, para probar (f), descomponer f =
fχA + fχX\A y usar (d). �
7.5. Conjuntos de medida nula
Las propiedades (e) y (f) de la proposicion anterior nos vienen a decir
que los conjuntos de medida nula son “despreciables” para la integracion.
Observando esta propiedad, tenemos que si Z ∈ M, con µ(Z) = 0, y f :
X \ Z → [0,+∞] es medible (considerando en X \ Z el espacio de medida
inducido), podrıamos definir∫Xf dµ :=
∫XF dµ, donde F : X → [0,+∞]
es la funcion dada por F (x) := f(x) si x ∈ X \ Z y F (x) := 0 si x ∈ Z.
Esto sugiere que es importante estudiar mas detenidamente los conjuntos de
medida nula en relacion con la integracion.
Definicion 7.5.1. Sea (X,M, µ) un espacio de medida completo y P (·) una
propiedad definida sobre los elementos de X. Si A ∈ M, se dice que P se
verifica en casi todo A (e.c.t. A, o bien e.c.t. x ∈ A) cuando el conjunto
N := {x ∈ A : P (x) no se verifica} ∈ M y µ(N) = 0.
Por ejemplo, la expresion f = g en casi todo X significa que el conjunto
{x ∈ X : f(x) 6= g(x)} es medible y que su medida es nula. En tal caso
tambien se dice que f y g son µ-equivalentes. El siguiente resultado mues-
tra que la medibilidad de una funcion se mantiene por equivalencia y por
convergencia puntual e.c.t. Ademas la integral no varıa por µ-equivalencias.
Proposicion 7.5.2. (a) Si f, g : X → R son tales que f es medible y
f = g e.c.t., entonces g es tambien medible.
(b) Si fn, f : X → R (n = 1, 2, ...) son tales que cada fn es medible y
lımn→∞
fn(x) = f(x) e.c.t. X, entonces f es medible.
INTEGRAL DE LEBESGUE 103
(c) Si f, g : X → [0,+∞] son medibles e iguales e.c.t. X, entonces∫Xf dµ =∫
Xg dµ.
(d) Si f : R → R es una funcion continua salvo en los puntos de un
conjunto de medida de Lebesgue nula, entonces f es medible Lebesgue.
Demostracion. (a) Llamemos N := {x ∈ X : f(x) 6= g(x)}. Hemos de
probar que, dado a ∈ R, el conjunto A := {x ∈ X : g(x) < a} ∈ M.
Tenemos A = (A ∩ N) ∪ (A ∩ N c) ∈ M, ya que A ∩ N ∈ M porque µ es
completa, y como N c ∈ M y A ∩N c = {x ∈ X : f(x) < a} ∩N c, se tiene
tambien que A ∩N c es medible.
(b) Llamemos N = {x ∈ X : fn(x) 9 f(x)}. Entonces N ∈ M y µ(N) = 0.
Denotemos g(x) := lım supn→∞ fn(x). Sabemos que g es medible. Por otra
parte, el conjunto {x ∈ X : g(x) 6= f(x)} esta contenido en N y µ(N) = 0.
Como µ es completa, el conjunto {g 6= f} es medible de medida nula, y por
tanto g = f e.c.t. De (a) se deduce que f es medible.
(c) Descomponer f = fχN + fχNc , donde N = {x ∈ X : f(x) 6= g(x)}.
(d) Existe N ∈ L con m(N) = 0 tal que f es continua en cada punto de
N c = R \ N . Entonces g := f |Nc : N c → R es continua. Llamemos h :=
f |N : N → R. Fijemos a ∈ R. Como (a,+∞) es un abierto de R, el conjunto
g−1((a,+∞)) es un abierto en la topologıa usual de R restringida a N c. Por
tanto, existe U abierto de R [luego U ∈ L] tal que g−1((a,+∞)) = U ∩ N c.
Entonces f−1((a,+∞)) = (U ∩ N c) ∪ h−1((a,+∞)). Ya que la medida de
Lebesgue es completa y h−1((a,+∞)) ⊂ N , se tiene que h−1((a,+∞)) ∈ L.
Puesto que L es una σ-algebra, f−1((a,+∞)) ∈ L, y esto prueba que f es
medible. �
Cuando se defina la integral para toda funcion medible, se vera que el
apartado (c) es tambien valido. El siguiente resultado auxiliar es interesante
por sı mismo y tendra importantes consecuencias.
104 Luis Bernal Gonzalez
Lema 7.5.3. [Desigualdad de Chebyshev] Si a ∈ (0,+∞) y f : X →[0,+∞] es medible, entonces µ({f ≥ a}) ≤ 1
a
∫X
f dµ.
Demostracion. Pruebese que a · χ{f≥a} ≤ f e integrese. �
Corolario 7.5.4. Sean f : X → [0,+∞] una funcion medible y A ∈M.
(a) Si∫Af dµ = 0, entonces f(x) = 0 e.c.t. x ∈ A.
(b) Si∫Af dµ < +∞ entonces f(x) < +∞ e.c.t. x ∈ A.
Demostracion. (a) El conjunto N := {x ∈ A : f(x) 6= 0} es medible. Hemos
de probar que µ(N) = 0. Notemos que N = {x ∈ A : f(x) > 0} =∞⋃n=1
{x ∈
A : f(x) ≥ 1n}. Por reduccion al absurdo, si fuese µ(N) > 0, existira algun
m ∈ N tal que µ({x ∈ A : f(x) ≥ 1m}) > 0. Por la desigualdad de Chebyshev,
se tiene 0 < m ·∫Af dµ. Por tanto
∫Af dµ > 0, lo cual es una contradiccion.
(b) Hemos de probar esta vez que el conjunto medible N := {x ∈ A :
f(x) = +∞} cumple µ(N) = 0. Ahora bien, N =∞⋂n=1
{x ∈ A : f(x) ≥ n}.
Por la desigualdad de Chebyshev, µ({x ∈ A : f(x) ≥ n}) ≤ 1n
∫Af dµ → 0
(n→∞). Entonces, ya que cada conjunto {x ∈ A : f(x) ≥ n} tiene medida
finita y la interseccion anterior es decreciente, se obtiene de la Proposicion
6.2.5 (f) que µ(N) = lımn→∞
µ({x ∈ A : f(x) ≥ n}) = 0. �
7.6. Integral de Lebesgue de funciones medi-
bles
Consideramos ahora el caso de una funcion medible general. Para ello,
consideraremos sus partes positiva y negativa. Recordemos que estamos su-
poniendo que las funciones estan definidas en un espacio de medida completo
(X,M, µ).
INTEGRAL DE LEBESGUE 105
Definicion 7.6.1. Sea f : X → R medible. Se dice que f es integrable
Lebesgue sobre X cuando ambas integrales∫Xf+ dµ e
∫Xf− dµ son finitas.
En tal caso, se define la integral de f en X como el numero real∫X
f dµ :=
∫X
f+ dµ−∫X
f− dµ.
Si A ∈ M, se dice que f es integrable Lebesgue sobre A cuando f · χAes integrable sobre X, en cuyo caso la integral de f en A es por definicion∫Af dµ :=
∫Xf · χA dµ.
Notese que, ya que f+ = f y f− = 0 si f ≥ 0, la definicion de inte-
gral es consistente con la dada para funciones no negativas. Se denotara por
L1(µ,X), o bien por L1(X) si no hay confusion en la medida, el conjunto de
las funciones integrables sobre X respecto de µ. Si A ∈ M, por L1(A) o
L1(µ,A) denotaremos el conjunto de las funciones integrables sobre A. En el
caso de una de las dos integrales∫Xf+ dµ o
∫Xf− dµ sea finita y la otra no,
se puede definir la integral como −∞ o +∞; en ese caso, f no es integrable,
aunque existe la integral.
Reunimos en la proposicion que viene a continuacion las propiedades ope-
racionales basicas de la integral de Lebesgue.
Proposicion 7.6.2. (a) Si f integrable en X y A ∈ M entonces f es
integrable en A.
(b) Si f ∈ L1(X), entonces f es finita e.c.t. X.
(c) Si f es medible con f = 0 e.c.t. A o si µ(A) = 0, entonces f es inte-
grable en A y∫Af dµ = 0. En consecuencia, si f y g son funciones
medibles µ-equivalentes, entonces si una de ellas es integrable en X, la
otra lo es y∫Xf dµ =
∫Xg dµ.
106 Luis Bernal Gonzalez
(d) L1(X) es un espacio vectorial. Especıficamente, si f, g ∈ L1(X) y
α, β ∈ R, entonces αf + βg ∈ L1(X) y ademas∫X
(αf + βg) dµ = α∫Xf dµ+ β
∫Xg dµ.
(e) Si A y B son medibles y disjuntos y f : X → R es integrable en A y
en B, entonces f ∈ L1(A ∪B) y∫A∪B f dµ =
∫Af dµ+
∫Bdµ.
(f) Si f y g son integrables en X y f ≤ g e.c.t. X, entonces∫Xf dµ ≤
∫Xg dµ.
(g) Si f, g ∈ L1(X) entonces max{f, g}, mın{f, g} ∈ L1(X).
(h) Si f ∈ L1(X) y∫Af dµ = 0 para todo A ∈ M, entonces f = 0
e.c.t. X.
Demostracion. Las propiedades (a), (b) y (c) son ciertas para funciones medi-
bles no negativas. Considerando que f = f+−f−, (a), (b) y (c) se demuestran
sin dificultad para cualquier funcion medible f .
En (d), observar que αf + βg esta definida e.c.t. X, y por (c) se puede
definir como 0 –por ejemplo– en el conjunto de medida nula donde no esta de-
finida. Que f + g y αf son integrables si f y g lo son y α ≥ 0, ası como las
correspondientes igualdades integrales, son validas para f+ y f−. Si α <
0, es inmediato ver que αϕ es integrable para toda ϕ ≥ 0 integrable, y
que∫Xαϕdµ = α
∫Xϕdµ. Aplicandolo a ϕ = f+, f− y combinando estos
resultados, se obtiene (d).
El apartado (e) resulta de aplicar (d) a la descomposicion f · χA∪B =
f · χA + f · χB.
En cuanto a (f), se tiene por (a) que g − f es real y ≥ 0 e.c.t. X, y de
nuevo por (c) podemos suponer que g − f ≥ 0 en todo X. Ası que g − f
es una funcion integrable [por (d)] y no negativa, luego∫X
(g − f) dµ ≥ 0.
Aplicando (d) [con α = −1 y β = 1], se deduce la desigualdad deseada.
INTEGRAL DE LEBESGUE 107
Para (g), partimos de que f, g ∈ L1(X). Entonces F := max{f, g} y
G := mın{f, g} son medibles y sus partes positivas y negativas cumplen
F+, F−, G+, G− ≤ f+ + f− + g+ + g−. Pero la integral de cada una de las
funciones f+, f−, g+, g− es finita, luego la integral de su suma tambien lo es.
Por tanto, la integral de cada una de las funciones F+, F−, G+, G− es finita.
Esto prueba la integrabilidad de F y G.
Finalmente, (h) se deduce del Corolario 7.5.4(a) aplicado a los pares
(f+, A = {f(x) ≥ 0}), (f−, A = {f(x) ≤ 0}). �
El siguiente resultado es muy util en la teorıa y en la practica, ya que
reduce la integrabilidad de una funcion medible al hallazgo de una mayoran-
te positiva integrable. La afirmacion es falsa para integrales impropias. Por
ejemplo, la funcion senxx
es integrable Riemann impropiamente en (0,+∞),
pero∣∣ senx
x
∣∣ no lo es.
Teorema 7.6.3. (1) [Teorema de caracterizacion de funciones integrables]
Sea f : X → [−∞,+∞]. Son equivalentes:
(a) f ∈ L1(X).
(b) f es medible y |f | ∈ L1(X).
(c) f es medible y existe g ∈ L1(X) con g(x) ≥ 0 y |f(x)| ≤ g(x)
e.c.t. x ∈ X.
Si se da cualquiera de las propiedades anteriores, se verifica∣∣ ∫X
f dµ∣∣ ≤ ∫
X
|f | dµ =
∫X
f+ dµ+
∫X
f− dµ.
(2) En particular, cada funcion medible y acotada f : X → R es integrable
en cada conjunto medible A de medida finita, de modo que∣∣ ∫A
f dµ∣∣ ≤ µ(A) · sup
A|f |,
y las funciones continuas R → R son integrables respecto de la medida de
Lebesgue m en cada subconjunto compacto de R.
108 Luis Bernal Gonzalez
Demostracion. La igualdad y las desigualdades finales resultan de las defini-
ciones, de la proposicion anterior, de que |f |χA ≤ supA |f |χA y de los hechos
de que toda funcion continua R → R es medible Lebesgue, es acotada en
cada compacto, y cada compacto de R tiene medida m finita.
Probemos ahora que (a), (b) y (c) son equivalentes. Si partimos de (a),
tenemos que f es medible y f+ y f− son integrables. Como |f | = f+ +f−, de
la proposicion anterior se deduce que |f | es integrable, y esto nos da (b). Que
(b) implica (c) es trivial sin mas que tomar g = |f |. Por ultimo, si partimos
de (c), tenemos por hipotesis que f es medible. Ası que f+ y f− son medibles
y positivas. Ademas f+, f− ≤ g en X, donde g es la funcion definida como
g = g en X \Z y g = |f | en Z, siendo Z el conjunto –de medida nula– donde
g(x) < |f(x)|. Entonces g es medible, no negativa, y∫Xg dµ =
∫Xg dµ [pues
g = g e.c.t.]. Se deduce que∫Xf+ dµ y
∫Xf− dµ son tambien finitas, y ya
tenemos (a). �
Por razones que apareceran claras en el proximo capıtulo, se conservara la
notacion∫Af(x) dx para la integral de Lebesgue de una funcion medible f
en un conjunto medible A, y∫ baf(x) dx para la integral de Lebesgue de f
en un intervalo de extremos a y b.
Ejercicios
1.- Probar con detalle la Proposicion 7.3.3.
2.- Demostrar que si f : R→ R es continua y transforma conjuntos de medida
nula en conjuntos de medida nula, entonces f transforma conjuntos medibles
en conjuntos medibles. Indicacion: usar el Teorema 6.4.2 [(a) ⇔ (e)].
3.- Sea f : R → R definida por f(x) = 0 si x ∈ Qc y f(x) = 1/q si x = p/q,
donde q > 0 y la fraccion p/q es irreducible. Probar que f es medible y hallar
una sucesion de funciones simples que tienda puntualmente a f .
INTEGRAL DE LEBESGUE 109
4.- Pruebese que cada funcion f : R→ R monotona es medible.
5.- Sea (X,M) un espacio medible. Pruebese que una funcion f : X → R
es medible si y solo si se verifica cualquiera de las propiedades (b)–(e) del
Teorema 7.2.2 en las que se sustituye “para todo a ∈ R” por “para todo
a ∈ Q”. Indicacion: para cada a ∈ R existen sucesiones (bn) y (cn) de
numeros racionales con bn < a < cn para todo n y bn → a← cn.
6.- Decidir razonadamente si las funciones siguientes son integrables-Lebesgue
o no, en los conjuntos que se indican:
(a) 1−cosxx(1+x2)
en (0,+∞).
(b) x·arctanx1+x2
en [1,+∞).
(c) log(1+x2)
x√
1−x2 en (0, 1).
(d) e−x2
log x en (0,+∞).
(e) senxx en (0,+∞).
7.- Sea (An) una sucesion de subconjuntos de R. Definimos f :=
∞∑n=1
χAn10n
. Pro-
bar que f es medible si y solo si los conjuntos An son medibles.
8.- Sea f : R → R una funcion medible. El soporte de f se define como {x ∈
R : f(x) 6= 0}.
(a) Probar que f es integrable-Lebesgue si y solo si∞∑
n=−∞2n ·m({x ∈ R : 2n < |f(x)| ≤ 2n+1}) <∞.
(b) Probar que si el soporte de f tiene medida finita, entonces f es inte-
grable Lebesgue si y solo si
∞∑n=1
2n ·m({x ∈ R : |f(x)| > 2n}) <∞.
Indicacion: Usar el Corolario 8.1.2(a) del Capıtulo 8. Para (a), considerar
las funciones∑
n∈Z 2n · χAn y∑
n∈Z 2n+1 · χAn , donde An = {2n < |f | ≤
2n+1}. Para (b), utilizar la funcion 2 · χ{0<|f |≤2} +∑∞
n=1 2n+1 · χAn y la
descomposicion {|f | > 2n} =⋃∞k=nAk.
110 Luis Bernal Gonzalez
9.- Sea f una funcion integrable-Lebesgue en R y no negativa. Si A ⊂ R es un
conjunto medible-Lebesgue, definimos µf (A) :=∫A f(x) dx.
(a) Demostrar que µf es una medida sobre los conjuntos medibles-Lebesgue
de R.
(b) Si f(x) =1
1 + x2y A = {x ∈ R : x3 + 3x ≥ 3x2 + 1}, calcular µf (A).
Indicacion: Para el apartado (b), usese el hecho de que si una funcion ≥ 0 es
integrable Riemann impropiamente en un intervalo I entonces es integrable
Lebesgue respecto de m y ambas integrales coinciden (ver Capıtulo 8).
10.- Sean (X,M) un espacio medible y fn : X → R (n ≥ 1) una sucesion de
funciones medibles tales que la serie∑∞
n=1 fn converge puntualmente en X.
Probar que la funcion S : X → R dada por S(x) :=∑∞
n=1 fn(x) es medible.
11.- Dar un ejemplo de una familia {fα}α∈J de funciones medibles-Lebesgue
R → R tales que la funcion f(x) := sup{fα(x) : α ∈ J} este bien definida
pero no sea medible.
12.- Sean (X,M, µ) un espacio de medida completo y f, g : X → (0,+∞)
dos funciones medibles. Demuestrese que∫X f/g dµ
µ({f≥g}) ≥ 1. Como aplicacion,
pruebese que
∫R
4x2
x4 + 3dx ≥ 2(
√3− 1).
13.- Supongamos que f : [a, b] → R es una funcion acotada. Para cada δ > 0,
se consideran las funciones f∗, f∗ : [a, b] → R, llamadas funcion superior y
funcion inferior de f , dadas respectivamente por
f∗(x) := lımδ→0+
sup{f(y) : y ∈ [a, b] ∩ [x− δ, x+ δ]} y
f∗(x) := lımδ→0+
ınf{f(y) : y ∈ [a, b] ∩ [x− δ, x+ δ]}.
(a) Probar que f∗ y f∗ estan bien definidas y que, de hecho, se puede
sustituir “lımδ→0+” en su definicion por “ınfδ>0” y “supδ>0”, respec-
tivamente.
INTEGRAL DE LEBESGUE 111
(b) Demostrar que f∗(x) ≤ f(x) ≤ f∗(x) para todo x ∈ [a, b].
(c) Fijados α ∈ R y x0 ∈ {f∗ < α}, demostrar que existe β > 0 tal que
[a, b] ∩ (x0 − β, x0 + β) ⊂ {f∗ < α}.
(d) Deducir de (c) que f∗ es medible Lebesgue.
(e) De manera analoga, considerando conjuntos de la forma {f∗ > α},
demostrar que f∗ es medible.
(f) Fijado x0 ∈ [a, b], probar que f es continua en x0 si y solo si f∗(x0) =
f∗(x0), en cuyo caso f∗(x0) = f(x0) = f∗(x0).
(g) El conjunto C(f) de puntos de [a, b] donde f es continua, ası como el
conjunto D(f) de [a, b] donde f es discontinua, son medibles Lebesgue.
(h) Si {Ik,n : k = 1, ..., n} es una particion de [a, b] en n intervalos cerrados
de longitud b−an y denotamos ϕn(x) :=
∑nk=1 sup{f(y) : y ∈ Ik,n} ·
χIk,n(x) y ψn(x) :=∑n
k=1 ınf{f(y) : y ∈ Ik,n} · χIk,n(x), demostrar
que ϕn(x) → f∗(x) y ψn(x) → f∗(x) e.c.t. x ∈ [a, b]. Indicacion: la
union en n ∈ N de los conjuntos de puntos extremos de los intervalos
Ik,n (k = 1, ..., n) es numerable, y por tanto su medida de Lebesgue es
nula.
14.- Sea (X,M, µ) un espacio de medida. Demostrar que la definicion de integral
de una funcion simple medible no negativa no depende de su representacion
como combinacion lineal de funciones caracterısticas de conjuntos medibles
dos a dos disjuntos, es decir, si ϕ =∑m
i=1 aiχAi y tambien ϕ =∑n
j=1 bjχBj ,
donde a1, ..., am, b1, ..., bn ∈ R, A1, ..., Am, B1, ..., Bn ∈ M, de modo que
los Ai son dos a dos disjuntos y los Bj son dos a dos disjuntos, entonces∑mi=1 aiµ(Ai) =
∑nj=1 bjµ(Bj).
Indicacion: Adjuntar un termino nulo a cada una de las expresiones de ϕ
haciendo a0 := 0, b0 := 0, A0 := X\(A1∪· · ·∪Am), B0 := X\(B1∪· · ·∪Bn).
Entonces, para cada i, Ai =⋃mj=0(Ai ∩ Bj), donde la union es disjunta, y
se tiene una expresion analoga para cada Bj . Tener en cuenta ahora que
ai = bj si Ai ∩Bj 6= ∅.
112 Luis Bernal Gonzalez
15.- (a) Supongamos que (X,M, µ) es un espacio de medida completo, y que
f, g : X → R son dos funciones medibles, de modo que f2 y g2 son
integrables. Probar que f · g es integrable.
Indicacion: (a− b)2 ≥ 0 para todo a, b ∈ R.
(b) Como aplicacion, demostrar que la funcion h(x) = (x − x2)−1/4 es
integrable Lebesgue en (0, 1).
16.- Dar un ejemplo de una funcion no-medible f : R → R tal que |f | sea
medible.
17.- Sean (X,M, µ) un espacio de medida completo, f : X → [0,+∞) una
funcion medible, y p, q, r numeros reales positivos con p < r < q. Demostrar
que, si fp y f q son integrables, entonces f r es tambien integrable.
Indicacion: descomponer X en A := {f ≤ 1} y Ac, y demostrar que f r es
integrable sobre cada uno de estos subconjuntos.
18.- (a) Sean f : R → R una funcion medible Lebesgue y a ∈ R. Demostrar
que la funcion g(x) := f(x+ a) es medible Lebesgue.
(b) Si f : R→ R es una funcion derivable, demostrar que la funcion f ′ es
medible Lebesgue.
Capıtulo 8
Teoremas de convergencia
En este tema veremos los resultados clasicos sobre convergencia de la
integral de Lebesgue. En ellos se muestra como puede deducirse la integra-
bilidad de una funcion lımite, y como puede calcularse su integral intercam-
biandola con el lımite. Estos resultados serviran para comparar la integral
de Lebesgue con la de Riemann, y para ver algunas propiedades del espacio
de funciones integrables, entre ellas, la densidad de ciertos subconjuntos de
funciones.
8.1. Teoremas de convergencia
Recordemos que en todo el capıtulo las funciones estan definidas sobre
un espacio de medida completo (X,M, µ), salvo que especıficamente se diga
lo contrario. Comencemos con el teorema de la convergencia monotona de
Beppo Levi. Lo dividiremos en dos apartados, el primero de los cuales fue ya
usado en el tema anterior para probar la aditividad de integrales de funciones
medibles no negativas.
Teorema 8.1.1. [Teorema de la convergencia monotona]
Sea fn : X → R (n ∈ N) una sucesion de funciones medibles tales que
113
114 Luis Bernal Gonzalez
fn(x) ≤ fn+1(x) e.c.t. x ∈ X para cada n ∈ N. Llamemos f := lımn→∞
fn =
supn∈N
fn, definida e.c.t. X. Se tiene:
(a) Si fn ≥ 0 para todo n ∈ N, entonces lımn→∞
∫Xfn dµ =
∫Xf dµ.
(b) Supongamos que fn ∈ L1(X) para todo n ∈ N. Entonces f ∈ L1(X)
si y solo si supn≥1
∫Xfn dµ < +∞, y en ese caso se tiene
lımn→∞
∫X
fn dµ =
∫X
f dµ.
Demostracion. Para cada n ∈ N, llamemos Ln := {x ∈ X : fn(x) >
fn+1(x)}. Entonces Ln ∈ M y µ(Ln) = 0. Por tanto L :=⋃∞n=1 Ln ∈ M y
µ(L) = 0. Ahora bien, si x ∈ X \ L, la sucesion (fn(x)) es creciente, luego
existe su lımite f(x) = supn fn(x) ∈ [−∞,+∞]. Puesto que la medibilidad,
la integrabilidad y, en su caso, el valor de la integral, no quedan afectados si
se cambia el valor de una funcion en un conjunto de medida nula, podemos
suponer que fn ≤ fn+1 en todo X para cada n, y por tanto f esta definida
en todo X. Notemos que f es medible.
Si (a) se supone demostrado, aplicandolo a fn − f1 y cambiando f por
f−f1 obtendrıamos la parte “si” de (b) y la validez del intercambio del lımite
con la integral. Si fuese f ∈ L1(X) se tendrıa∫Xf dµ < +∞. Como fn ≤ f
para todo n, se deduce que supn∫Xfn dµ ≤
∫Xf dµ < +∞, lo cual completa
la prueba de (b).
Probemos (a). Como fn ≤ f y fn ≤ fn+1 para todo n, se tiene que∫Xfn dµ ≤
∫Xf y la sucesion {
∫Xfn dµ}n≥1 es creciente, y por tanto exis-
te su lımite (en R) y coincide con su supremo. Por tanto lımn
∫Xfn dµ ≤∫
Xf dµ.
Queda probar la desigualdad “≥”. Fijado n ∈ N, existe una sucesion
{ϕn,m}∞m=1 de funciones simples y medibles tales que 0 ≤ ϕn,m ↑ fn(x) para
todo x ∈ X y todo n ∈ N. Entonces es facil ver que ψn := max{ϕ1,n, . . . , ϕn,n}
TEOREMAS DE CONVERGENCIA 115
es una sucesion de funciones simples medibles no negativas tales que ψn(x) ↑f(x) y ψn(x) ≤ fn(x) para todo x ∈ X y todo n ∈ N.
Por tanto,∫Xψn(x) dµ ≤
∫Xfn dµ para todo n ∈ N, luego es suficiente
demostrar que∫Xf dµ ≤ lım
n→∞
∫Xψn dµ, para lo cual, a su vez, basta fijar una
funcion simple medible ϕ con 0 ≤ ϕ ≤ f y probar que∫X
ϕdµ ≤ lımn→∞
∫X
ψn dµ. [1]
Probemos primero la desigualdad [1] en el caso en que ϕ ≡ c = constante
∈ [0,+∞). Si c = 0, es trivial. Si c > 0, fijemos a ∈ (0, c). Ya que ϕ ≤ f =
supn∈N
ψn, resulta que para cada x ∈ X, existe n0 ∈ N tal que ψn(x) > a para
todo n ≥ n0. Sea An := {ψn > a}. Entonces la sucesion {An}∞n=1 es creciente
y X =∞⋃n=1
An. Por tanto µ(An) ↑ µ(X). Por otra parte, a · χAn ≤ ψn,
luego a ·µ(An) ≤∫Xψn dµ, de donde deducimos que aµ(X) ≤ lım
n→∞
∫Xψn dµ,
ası que∫Xϕdµ = cµ(X) ≤ lım
n→∞
∫Xψn dµ, que es la desigualdad [1] en este
caso.
En el caso general, se tiene que ϕ =p∑i=1
ci ·χEi con ci ∈ [0,+∞) y Ei ∈M
dos a dos disjuntos con X =p⋃i=1
Ei. Aplicamos entonces el resultado a cada
funcion ci · χEi y obtenemos:∫X
ϕdµ =
p∑i=1
∫X
ci · χEi dµ =
p∑i=1
∫Ei
ϕdµ
≤p∑i=1
lımn→∞
∫Ei
ψn dµ = lımn→∞
p∑i=1
∫Ei
ψn dµ = lımn→∞
∫X
ψn dµ,
como querıamos demostrar. �
Corolario 8.1.2. Sean f, fn : X → [0,+∞] (n ∈ N) funciones medibles
definidas en un espacio de medida completo (X,M, µ). Se verifica:
(a)∫X
∞∑n=1
fn dµ =∞∑n=1
∫Xfn dµ.
116 Luis Bernal Gonzalez
(b) Si∞∑n=1
∫Xfn dµ < +∞, la funcion
∞∑n=1
fn es integrable y, en particular,
la serie∞∑n=1
fn(x) converge e.c.t. x ∈ X.
(c) La aplicacion ν : E ∈ M 7→ ν(E) =∫Ef dµ ∈ [0,+∞] es una medida
positiva.
Demostracion. El apartado (a) se deduce de aplicar el teorema de la con-
vergencia monotona a la sucesion {gn}∞n=1 dada por gn :=n∑i=1
fi (n ∈ N). El
apartado (b) es consecuencia directa de (a) y de la Proposicion 7.6.2(b). Para
probar (c), aplıquese (a) a las funciones fn := f · χAn (n ∈ N), donde los An
son conjuntos medibles disjuntos. �
La parte (c) del corolario anterior nos da una manera de generar medidas
a partir de una funcion medible y de otra medida. Ademas, ν(E) = 0 si
µ(E) = 0.
El siguiente resultado ni siquiera exige convergencia, y nos da una condi-
cion sobre la integrabilidad de los lımites de oscilacion.
Teorema 8.1.3. [Lema de Fatou] Sea fn : X → [0,+∞] (n ∈ N) una
sucesion de funciones medibles. Entonces∫X
lım infn→∞
fn dµ ≤ lım infn→∞
∫X
fn dµ.
Demostracion. Definimos gk := ınf{fk, fk+1, . . .} para cada k ∈ N. Entonces
cada gk es medible y no negativa, la sucesion {gk}k≥1 es creciente, lımk→∞
gk =
lım infn→∞
fn y gk ≤ fk para todo k ∈ N. Del teorema de la convergencia
monotona se deduce que lımk→∞
∫Xgk dµ =
∫X
lımk→∞
gk dµ =∫X
lım infn→∞
fn dµ. Por
otra parte, lımn→∞
∫Xgn dµ = lım inf
n→∞
∫Xgn dµ ≤ lım inf
n→∞
∫Xfn dµ, pues gn ≤ fn.
De aquı deducimos el resultado. �
A continuacion, establecemos el que quizas sea el resultado mas impor-
tante de intercambio de las operaciones de lımite e integracion. Se deduce
TEOREMAS DE CONVERGENCIA 117
del Lema de Fatou, en el que la hipotesis de monotonıa se sustituye por la
de acotacion.
Teorema 8.1.4. [Teorema de Lebesgue de la convergencia dominada]
Supongamos que f, fn : X → R (n = 1, 2, ...) y g : X → [0,+∞] son
funciones tales que cada fn es medible, |fn| ≤ g e.c.t. X para cada n ∈ N, g
es integrable y f(x) = lımn→∞
fn(x) e.c.t. x ∈ X. Entonces f es integrable y∫X
f dµ = lımn→∞
∫X
fn dµ.
Demostracion. Ya que el conjunto Z := {x ∈ X : fn(x) 9 f(x)}∪∞⋃n=1
{|fn| >
g} es medible y µ(Z) = 0, podemos suponer una vez mas que todos los lımites
y desigualdades de las hipotesis son “en todo x ∈ X”.
Tenemos pues que f es medible y |f | ≤ g ∈ L1(X), ası que∫X|f | dµ ≤∫
Xg dµ < +∞, de donde inferimos que f ∈ L1(X). Probemos ahora que
lımn→∞
∫X
|fn − f | dµ = 0. [2]
De aquı se deduce que∫Xf dµ = lım
n→∞
∫Xfn dµ pues
∣∣ ∫Xfndµ −
∫Xf dµ| =
|∫X
(fn − f) dµ∣∣ ≤ ∫
X|fn − f | dµ. Esto concluirıa la demostracion.
Luego basta probar [2]. Para ello, notemos en primer lugar que |fn−f | ≤|fn|+ |f | ≤ 2g, luego 2g − |fn − f | ≥ 0. Por el Lema de Fatou,∫
X
lımn→∞
(2g − |fn − f |) dµ ≤ lım infn→∞
∫X
(2g − |fn − f |) dµ.
Si usamos ahora la linealidad de la integral y el hecho de que lım infn→∞
(−αn) =
− lım supn→∞
(αn) (valido para cualquier sucesion {αn}n≥1 de numeros reales),
resulta que lım supn→∞
∫X|fn− f | dµ ≤ 0. Pero lım inf
n→∞
∫X|fn− f | dµ ≥ 0, porque
|fn − f | ≥ 0 para todo n ∈ N, luego∫X|fn − f | dµ ≥ 0 para todo n ∈ N. De
las dos ultimas desigualdades sobre lım supn→∞
, lım infn→∞
se deduce [2]. �
118 Luis Bernal Gonzalez
Como consecuencia, obtenemos el siguiente resultado de intercambio de
series con integrales, ası como la aditividad respecto al dominio de integracion
en su version mas general.
Teorema 8.1.5. (a) Sea fn : X → R (n ∈ N) una sucesion de funciones
medibles tales que∞∑n=1
∫X
|fn| dµ < +∞.
Entonces∞∑n=1
fn(x) converge absolutamente en casi todo x ∈ X, la
funcion suma es integrable y∫X
∞∑n=1
fn dµ =∞∑n=1
∫X
fn dµ.
(b) Sean f ∈ L1(X) y (An) una sucesion de conjuntos medibles dos a dos
disjuntos tales que X =⋃∞n=1An. Entonces∫
X
f dµ =∞∑n=1
∫An
f dµ.
Demostracion. (a) Notese que de la hipotesis se deduce que cada funcion |fn|es integrable, luego cada fn tambien lo es. Aplicar el Corolario 8.1.2(b) a las
funciones |fn|. Se deduce que g :=∑
n |fn| es integrable, luego tambien lo es∑n fn, ya que es medible y esta mayorada por la anterior. Por ultimo, aplicar
el teorema de la convergencia dominada a la sucesion de sumas parciales de
la sucesion {fn}n≥1.
(b) Usar el apartado (a) con fn := f · χAn (n = 1, 2, ...). �
8.2. Relacion entre las integrales de Riemann
y de Lebesgue
Trataremos en esta seccion de la importante conexion entre estos dos
tipos de integrales, plasmada en el siguiente criterio de Lebesgue de integrabi-
TEOREMAS DE CONVERGENCIA 119
lidad Riemann. La prueba se basa en el teorema de la convergencia dominada
de Lebesgue. Por supuesto, estamos aquı en el caso de la medida de Lebesgue
m sobre R. El criterio justifica que la notacion∫ baf(x) dx tambien se utilice
para integrales de Lebesgue respecto de la medida m.
Teorema 8.2.1. Sea f : [a, b]→ R, y denotemos D(f) := {x ∈ [a, b] : f es
discontinua en x}. Entonces f ∈ R[a, b] ⇐⇒ f es acotada y m(D(f)) = 0.
En tal caso, f ∈ L1(m, [a, b]) y∫ b
a
f(x) dx =
∫[a,b]
f dm.
Demostracion. Recordemos que f es acotada en ambas hipotesis de la doble
implicacion. Consideremos las funciones superior e inferior f ∗, f∗ : [a, b]→ R
y las funciones simples medibles ϕn, ψn (n ≥ 1) descritas en el Ejercicio 13
del Capıtulo 7. Ası que f ∗ y f∗ son medibles, f∗ ≤ f ≤ f ∗, y f es continua
en un punto x0 si y solo si f ∗(x0) = f∗(x0). Para las notaciones L(f, P ),
U(f, P ),∫ baf y
∫ baf que vienen a continuacion, remitimos al Capıtulo 1.
Sea P = {a = t0 < t1 < · · · < tn = b} una particion de [a, b]. Denotemos
Ik := [tk−1, tk], Jk := I0k = (tk−1, tk) y Mk := sup{f(y) : y ∈ Ik} (k =
1, ..., n). Recordemos que U(f, P ) =∑n
k=1 Mk(tk − tk−1). Fijado k, es claro
que f ∗(x) ≤ Mk para todo x ∈ Jk. Como el conjunto {t0, t1, ..., tn} tiene
medida de Lebesgue nula, se tiene∫
[a,b]f ∗ dm =
∑nk=1
∫Jkf ∗ dm ≤
∑nk=1 Mk ·
m(Jk) =∑n
k=1Mk(tk − tk−1) = U(f, P ). Tomando ınfimos en P , resulta que∫[a,b]
f ∗ dm ≤∫ baf . Analogamente,
∫[a,b]
f∗ ≥∫ baf .
Recordemos que ϕn → f ∗ y ψn → f∗ en casi todo [a, b]. En el apartado
(h) del Ejercicio 13 del Capıtulo 7, estas funciones se generaban a partir de f
y de ciertos intervalos Jk,n. Como |ϕn|, |ψn| ≤ M := sup[a,b] |f |, del teorema
de la convergencia dominada se deduce que∫[a,b]
f ∗ dm = lımn→∞
∫[a,b]
ϕn dm = lımn→∞
n∑k=1
supJk,n
f · long (Jk,n).
120 Luis Bernal Gonzalez
Fijado ε > 0, existe n ∈ N tal que∣∣ ∫
[a,b]f ∗ dm−
∑nk=1 supJk,n f ·long (Jk,n)
∣∣ <ε. Si tomamos como P la particion correspondiente a {J1,n, ..., Jn,n}, se tiene
que U(f, P ) =∑n
k=1 supJk,n f · long (Jk,n), luego∫
[a,b]f ∗ dm + ε > U(f, P ).
De la propiedad fundamental del ınfimo y de la definicion de integral supe-
rior de Darboux, se deduce que∫
[a,b]f ∗ dm =
∫ baf . Analogamente, usando las
ψn junto con la propiedad fundamental del supremo y la definicion de inte-
gral inferior de Darboux, se infiere que∫
[a,b]f∗ dm =
∫ baf . En consecuencia,
tenemos ∫[a,b]
(f ∗ − f∗) dm =
∫ b
a
f −∫ b
a
f.
Supongamos que f ∈ R[a, b]. Recordemos que x ∈ D(f) si y solo si
f ∗(x) − f∗(x) > 0. Si fuese m(D(f)) > 0, se tendrıa que 0 <∫D(f)
(f ∗ −
f∗) dm ≤∫
[a,b](f ∗ − f∗) dm =
∫ baf −
∫ baf = 0, lo que es absurdo, ası que
m(D(f)) = 0.
Recıprocamente, supongamos que m(D(f)) = 0. Como en los puntos de
continuidad se tiene que f ∗(x)−f∗(x) = 0, resulta que∫
[a,b](f ∗−f∗) dm = 0.
Entonces∫ baf −
∫ baf = 0, ası que
∫ baf =
∫ baf , es decir, f es integrable
Riemann.
Finalmente, probemos que las integrales de Lebesgue y de Riemann coin-
ciden. En las condiciones anteriores, f es medible [por ser continua e.c.t.] y
es acotada en un intervalo compacto, luego es integrable Lebesgue. Como
f ∗ = f e.c.t., resulta que∫[a,b]
f dm =
∫[a,b]
f ∗ dm =
∫ b
a
f(x) dx =
∫ b
a
f(x) dx. �
Notas 8.2.2. 1. El recıproco de la segunda parte del teorema anterior es
falso. Sirva como ejemplo la funcion f := χQ, que esta en L1(m, [0, 1]) pero
no en R[0, 1].
2. Por otra parte, si f es integrable Lebesgue en R, entonces∫R f dm =
lımn→∞
∫[−n,n]
f dm. En efecto, basta aplicar a {fn := fχ[−n,n]}∞n=1 el teorema
TEOREMAS DE CONVERGENCIA 121
de la convergencia dominada. Si ademas f ∈ R[a, b] para cada intervalo
[a, b] ⊂ R, se tendra que∫R f dm = lım
n→∞
∫ n−n f(x) dx. Por tanto, en muchos
casos, las integrales de Lebesgue se pueden calcular usando primitivas.
3. Supongamos que I ⊂ R es un intervalo y que f : I → R es una funcion
tal que f ∈ R[a, b] en cada intervalo compacto [a, b] ⊂ I. Se tiene que:
[*] La integral impropia de Riemann de f es absolutamente convergente si y
solo si f es integrable Lebesgue en I, en cuyo caso las integrales de Lebesgue
e impropia de Riemann coinciden.
Ya sabemos que esto es falso si la integral impropia de Riemann en I es
condicionalmente convergente: considerar I = (0,+∞), f(x) = senxx
.
Probemos la afirmacion [*]: Si la integral impropia de |f | converge, aplicar a
gn := |f | · χJn (n = 1, 2, ...) el teorema de la convergencia monotona, donde
(Jn) es una sucesion creciente de intervalos compactos tales que⋃∞
1 Jn = I.
Se deduce que |f | ∈ L1(m, I). Como f es medible, tenemos f ∈ L1(m, I).
Si se supone ahora que f ∈ L1(m, I) y queremos probar la convergencia
de la integral impropia de |f | en I, por el Teorema Fundamental de Lımite
basta verificar que, para cada sucesion de intervalos {Jn = [an, bn]}n≥1 como
la anterior, la sucesion {∫ bnan|f(x)| dx}n≥1 converge; para ello, aplıquese el
teorema de la convergencia dominada a la sucesion (gn) anterior. La igualdad
de las integrales impropia y de Lebesgue se deduce aplicando el teorema de
la convergencia dominada a fn := f ·χJn , n = 1, 2, ..., y usando el criterio de
Lebesgue (Teorema 8.2.1) en cada [an, bn].
8.3. El espacio L1(X)
En esta seccion vamos a indagar un poco en las estructuras lineal y
topologica del conjunto L1(X) de las funciones integrables. Sabemos que es
un espacio vectorial sobre R. Demos antes la siguiente definicion general.
122 Luis Bernal Gonzalez
Definicion 8.3.1. Supongamos que E es un espacio vectorial sobre R.
Una aplicacion ‖ · ‖ : x ∈ E 7→ ‖x‖ ∈ [0,+∞) se dice que es una seminorma
sobre E cuando es homogenea y subaditiva, es decir, ‖λx‖ = |λ|‖x‖ y
‖x + y‖ ≤ ‖x| + ‖y‖ para todo λ ∈ R y todo par x, y ∈ E. Si ademas se
cumple que ‖x‖ = 0 implica x = 0, entonces se dice que ‖ · ‖ es una norma
sobre E. En tal caso, se llama espacio normado al par (E, ‖ · ‖).
Es facil ver que todo espacio normado (E, ‖ · ‖) es tambien un espacio
metrico, sin mas que considerar la aplicacion d : (x, y) ∈ X×X 7→ d(x, y) =
‖x−y‖ ∈ [0,+∞). En efecto, tal d es una distancia sobre E, pues cumple la
propiedad de simetrıa, la propiedad triangular y ademas d(x, y) = 0 solo en
el caso en que x = y. Como ejemplo trivial, el espacio E = R es un espacio
normado, donde la norma es el valor absoluto, ‖x‖ = |x|. Esta genera la
distancia euclıdea d(x, y) = |x− y| sobre la recta real.
Si ahora consideramos el espacio E = L1(X), se tiene que∫Xλf dµ =
λ∫Xf dµ e
∫X
(f + g) dµ =∫Xf dµ +
∫Xg dµ para todo λ ∈ R y todo
par f, g ∈ L1(X). De la desigualdad triangular |f + g| ≤ |f | + |g| y de la
monotonıa de la integral se deduce que la aplicacion
‖f‖1 :=
∫X
|f | dµ
es una seminorma sobre L1(X). Pero no es una norma, porque si∫X|f | dµ =
0 entonces f(x) = 0 e.c.t. x ∈ X, pero no necesariamente f ≡ 0. La solucion
a este inconveniente es la siguiente. Se denotara por L1(X) la familia de las
funciones f : X → R integrables en X, donde se identifican dos funciones f, g
cuando son µ-equivalentes; ası que, estrictamente hablando, L1(X) consta
de clases de equivalencia [es facil probar que la relacion “f = g e.c.t. X”
es de equivalencia en L1(X)]. Por otra parte, λf , f + g tienen sentido para
f, g ∈ L1(X) y λ ∈ R, pues f y g son finitas e.c.t. X. Como dos funciones
iguales e.c.t. tienen la misma integral, podemos elegir cualquier elemento de
TEOREMAS DE CONVERGENCIA 123
cada clase de equivalencia para definir sin ambiguedad la integral de una
clase. Por tanto la aplicacion f ∈ L1(X) 7→ ‖f‖1 =∫Xf dµ ∈ [0,+∞)
esta bien definida y es una norma sobre L1(X) [notese que ahora ‖f‖1 = 0
implica que f es equivalente a la funcion 0, luego f = 0 como clase de
equivalencia]. Esta norma se denomina norma-1.
La norma-1 genera en L1(X) la distancia d(f, g) :=∫X|f−g| dµ, convir-
tiendo ası L1(X) en un espacio metrico. Puede probarse que dicho espacio
metrico es completo, es decir, toda sucesion de Cauchy para la distancia d
es convergente. Se dice en tal caso que el espacio normado que genera esa
distancia es un espacio de Banach.
8.4. Subespacios densos de L1(R)
A veces conviene disponer, en un espacio de funciones, de subconjuntos
densos, es decir, de subconjuntos de funciones con propiedades mas ricas que
aproximen bien cualquier funcion del espacio original. La nocion abstracta
de subconjunto denso en un espacio metrico es la siguiente.
Definicion 8.4.1. Sea (X, d) un espacio metrico, y A ⊂ X un subconjunto.
Se dice que A es denso en X si, dados x ∈ X y ε > 0, existe a ∈ A tal que
d(x, a) < ε.
Una funcion escalonada es una funcion simple ϕ : R → R de la forma
ϕ =∑m
k=1 akχIk , donde los Ik son intervalos acotados. El conjunto S de las
funciones escalonadas es un espacio vectorial con S(R) ⊂ L1(R). Tambien
es un subespacio vectorial de L1(R) el conjunto de las funciones continuas
f : R→ R de soporte compacto, es decir, que se anulan fuera de un compacto
K = Kf . Su conjunto se denota por Cc(R). Aquı estamos considerando la
medida m de Lebesgue en R.
Teorema 8.4.2. S(R) y Cc(R) son densos en L1(R).
124 Luis Bernal Gonzalez
Demostracion. Fijemos una funcion f ∈ L1(R) y un ε > 0. Aplicando el
teorema de la convergencia dominada a la sucesion (|f | · χ[−n,n]), podemos
encontrar un m ∈ N tal que∫R\[−m,m]
|f | dm < ε/3. Por el teorema de
aproximacion por funciones simples, existe una sucesion (ϕk) de funciones
simples medibles tales que ϕk(x)→ g(x) para todo x ∈ R y |ϕk(x)| ≤ |g(x)|para todo x ∈ R y todo k ∈ N, donde g := f · χ[−m,m]. Notemos que
tambien ϕk · χ[−m,m] → g(x) para todo x ∈ R cuando k → ∞, ası que
podemos suponer que cada ϕk tiene la forma∑p
i=1 aiχAi , donde Ai ∈ L y
Ai ⊂ [−m,m] (i = 1, ..., p). Ademas, |g − ϕk| ≤ 2|g| para todo k. Como
|g − ϕk| → 0 puntualmente en todo R, del teorema de la convergencia
dominada se deduce que∫R |g − ϕk| dm → 0 (k → ∞), luego existe J ∈ N
tal que∫R |g − ϕJ | dm < ε/3. Por la desigualdad triangular,∫
R|f − ϕJ | dm ≤
∫R|f − g| dm+
∫R|g − ϕJ | dm < 2ε/3,
ya que el primer sumando de la suma anterior es∫R\[−m,m]
|f | dm. Ahora hay
que aproximar ϕJ en norma-1 por una funcion de S(R), lo cual se hace
usando el teorema de estructura de los medibles Lebesgue [notar que, fijados
α > 0 y Ai ∈ L, existe un abierto G ⊂ R tal que m(G \Ai) < α]. Podemos
obtener ϕ ∈ S(R) con ‖ϕ − ϕJ‖1 < ε/3, y por la desigualdad triangular
obtendrıamos ‖f − ϕ‖1 < ε, lo que darıa la densidad de S(R).
Habida cuenta de lo anterior, para probar la densidad de Cc(R) es su-
ficiente fijar un ε > 0 y una funcion ϕ =∑m
k=1 akχIk ∈ S(R), donde los
Ik son intervalos acotados, y encontrar una funcion ψ ∈ Cc(R) tal que∫R |ϕ − ψ| dµ < ε. Para ello, se aproxima cada χIk en norma-1 por una
funcion continua adecuada de soporte compacto, y como ψ se elige la com-
binacion lineal correspondiente. �
De forma analoga, se tiene que C([a, b]) es denso en L1([a, b]).
TEOREMAS DE CONVERGENCIA 125
Ejercicios
1.- Calcular, razonadamente, los siguientes lımites de integrales, entendidas es-
tas como respecto de la medida de Lebesgue en los intervalos indicados:
(a) lımn→∞
∫ +∞0
dx1+x+xn .
(b) lımn→∞
∫ +∞0
( log(1+x)x
)ndx.
(c) lımn→∞
∫ +∞0 e−x
2+nx dx.
(d) lımn→∞
∫ +∞−∞ e−nx
2+x dx.
(e) lımn→∞
∫ +∞0
x(1+x3n)1/n
dx.
(f) lımn→∞
∫ +∞0
log(x+n)n e−x cosx dx.
(g) lımn→∞
∫ 10 arctan(nx log x) dx.
(h) lımn→∞
∫ +∞0
arctan(x/n)x√x
dx.
(i) lımn→∞
∫∞1
n1+nx2
e−x2
n dx.
(j) lımn→∞
∫ 10
n log(1+√xn
)
x dx.
(k) lımn→∞
∫ e1
[1−(log x)n]x√x2−1
dx.
(l) lımn→∞
∫ +∞0
(senx)n+1
x(x+1) dx.
(m) lımn→∞
∫ +∞0
11+x2
log(x2+2nx2+n
)dx.
(n) lımn→∞
∫ +∞0
nxn+x2
e−nx dx.
2.- Probar las siguientes igualdades:
(a)∫ 1
0 xα · log2 x dx =
2
(α+ 1)3si α > −1.
(b)∫ 1
0log2 x1+x2
dx =
∞∑n=0
2(−1)n
(2n+ 1)3.
3.- Sea f(x) =e−1/x2
x2y definamos fn(x) = f(xn) si n ∈ N.
(a) Probar que la serie∑fn(x) es convergente para x > 1.
126 Luis Bernal Gonzalez
(b) Probar que S :=∑fn es integrable en [a,+∞) para todo a > 1.
(c) Demostrar que∫∞
1 fn(x) dx =∫∞
1f(x)x1/n
nx dx.
(d) Deducir que lımn→∞ n∫∞
1 fn(x) dx = e−12e .
(e) ¿Es convergente la serie∑∫∞
1 fn? ¿Es integrable la funcion S en
(1,+∞)?
4.- Para cada n ∈ N, sea fn(x) =( −1
1 + x2
)n.
(a) Dado α ≥ 0, probar que∞∑n=1
∫ ∞α|fn(x)| dx < +∞ si y solo si α > 0.
(b) Probar que para todo α > 0 se tiene que∞∑n=1
∫ ∞α
fn(x) dx = −∫ ∞α
dx
2 + x2.
(c) ¿Que ocurre en el caso α = 0?
5.- (a) Sea [a, b] un intervalo cerrado y acotado de R y A ⊂ [a, b]. Sea x0 ∈
[a, b]. Demostrar que χA es continua en x0 si y solo si x0 /∈ ∂A.
(b) Si C es el conjunto de Cantor, demostrar que χC ∈ R[0, 1].
6.- (a) Sea m la medida de Lebesgue sobre X = [0,+∞) y sea, para cada
n ∈ N,
fn(x) :=
2x/n2 si x ≤ n
0 si x > n.
¿Es lımn→∞
∫X fn dm =
∫X lımn→∞
fn dm?
(b) Idem con X = [0, 1] y
fn(x) :=
2n si x ≤ 2−n
0 si x > 2−n.
7.- Consideremos las tres sucesiones de funciones definidas para x ∈ (0,+∞) y
n ∈ N como: fn(x) =(n+xn+2x
)n, gn(x) = fn(x)e−x/2 y hn(x) = fn(x)ex/2.
(a) Calcular las funciones lımite puntual de las sucesiones (gn) y (hn).
TEOREMAS DE CONVERGENCIA 127
(b) Calcular el lımn→∞
∫ +∞
0gn(x) dx.
(c) Justificar si es cierta la igualdad
lımn→∞
∫ +∞
0hn(x) dx =
∫ +∞
0lımn→∞
hn(x) dx.
8.- Se considera el conjunto N de los numeros naturales y la medida cardinal
µ(A) = card (A), A ⊂ N. Se pide:
(a) Determinar que funciones f : N→ R son integrables.
(b) Probar que la sucesion fk(x) :=
1k si 1 ≤ x ≤ k
0 si x > kconverge unifor-
memente, pero no converge en L1(µ,N).
(c) Probar que la sucesion fk(x) :=
1x si 1 ≤ x ≤ k
0 si x > kconverge unifor-
memente a una funcion no integrable.
9.- Sea (X,M, µ) un espacio de medida completo y (ϕn) ⊂ L1(X). Sea ϕ ∈
L1(X) tal que ϕn(x) → ϕ(x) e.c.t. x ∈ X y ‖ϕn‖1 → ‖ϕ‖1 (n → ∞).
Demostrar que ‖ϕn − ϕ‖1 → 0. Indicacion: aplicar el Lema de Fatou a la
sucesion {|ϕn|+ |ϕ| − |ϕn − ϕ|}n≥1.
10.- Sea f la funcion definida como f(x) = 1/√x si x ∈ (0, 1) y f(x) = 0 en el
resto de los puntos de R. Sea (qn) una enumeracion de los numeros racio-
nales. Definimos g(x) :=
∞∑n=1
1
2nf(x− qn). Demostrar que g es integrable-
Lebesgue en R y, por tanto, g(x) es finito para casi todo x ∈ R.
11.- Se define fn(x) =( −x2
1 + x2
)n.
(a) Probar que la serie∑∞
n=1 fn(x) es convergente para todo x ∈ R.
(b) Si a ∈ (0,+∞), probar que∑∞
n=1
∫ a0 |fn(x)| dx < +∞.
(c) Si llamamos S(x) a la funcion suma de la serie de (a), deducir que S
es integrable en [0, a] y demostrar que∞∑n=1
∫ a
0fn(x) dx =
−a2
+1
2√
2arctan(
√2 a).
128 Luis Bernal Gonzalez
(d) Estudiar la existencia de cada una de las siguientes expresiones y, en
su caso, su posible igualdad:∫ +∞
0
∞∑n=1
fn(x) dx y
∞∑n=1
∫ +∞
0fn(x) dx.
12.- Sean (X,M, µ) un espacio de medida completo y f ∈ L1(X). Demostrar:
(a) Para cada α > 0, el conjunto {|f | > α} tiene medida finita.
Indicacion: utilizar la desigualdad de Chebyshev.
(b) El conjunto {f 6= 0} es σ-finito.
(c) Para cada ε > 0 existe A ∈M tal que µ(A) < +∞ y∣∣∣∣∫Xf dµ−
∫Af dµ
∣∣∣∣ < ε.
Indicacion: usar el Teorema 8.1.5(b).
13.- Completar los detalles de la prueba del Teorema 8.4.2.
14.- Este ejercicio pretende generalizar, para el caso de la integral de Lebesgue,
algunos resultados bien conocidos en el caso de la integral de Riemann. Los
resultados seran usados de forma mas o menos explıcita en el Capıtulo 10.
Se supone que a y T son numeros reales positivos.
(a) Sea f : [−a, a] → R una funcion integrable Lebesgue en [−a, a]. Pro-
bar que, si f es par [es decir, f(x) = f(−x) para todo x] entonces∫ a0 f dm =
∫ 0−a f dm, y por tanto
∫ a−a f dm = 2
∫ a0 f dm. Analogamen-
te, probar que, si f es impar [es decir, f(−x) = −f(x) para todo x]
entonces∫ a
0 f dm = −∫ 0−a f dm, y por tanto
∫ a−a f dm = 0.
(b) Si f : R → R es periodica de perıodo T [es decir, f(x + T ) = f(x)
para todo x ∈ R] y es integrable en [0, T ], entonces∫I f dm =
∫ T0 f dm
para cualquier intervalo I de amplitud T .
Capıtulo 9
Integrales parametricas
En este tema vamos a definir funciones a traves de integrales que depen-
den de un parametro. La integral de Lebesgue y los teoremas de convergencia
expuestos en los temas anteriores nos permitiran estudiar la continuidad y
derivabilidad de estas funciones, ası como calcular la expresion de su deriva-
da. En la practica –consultar la seccion de Ejercicios – veremos como aplicar
estos resultados para calcular, a traves de sus derivadas, funciones definidas
por integrales.
9.1. Introduccion
Sean A ⊂ R un subconjunto medible Lebesgue y B ⊂ R un intervalo.
Supongamos que tenemos una funcion de dos variables
f : (x, t) ∈ A×B 7→ f(x, t) ∈ R.
Siempre que tenga sentido, podemos definir la siguiente funcion, que es una
integral parametrica o integral que depende de un parametro:
F : t ∈ B 7→∫A
f(x, t) dx ∈ R.
129
130 Luis Bernal Gonzalez
El objetivo fundamental de este tema sera estudiar condiciones sobre
la funcion f(x, t) que determinen si la funcion F (t) esta bien definida, es
continua y, en este caso, estudiar su derivabilidad.
El tema esta dividido en dos secciones, donde estudiaremos respectiva-
mente condiciones suficientes para la continuidad y derivabilidad de F . De
hecho, obtendremos criterios para poder intercambiar las operaciones de lımi-
te e integracion, y las de derivacion e integracion. Enunciaremos los resultados
suponiendo que las hipotesis se cumplen en todo punto del dominio. Sin em-
bargo, teniendo en cuenta que las integrales de dos funciones que coinciden
en casi todo son iguales, los resultados son tambien validos si las hipotesis
referentes al espacio de medida A se cumplen en casi todo.
9.2. Continuidad de integrales parametricas
En esta seccion estudiaremos la continuidad de la funcion F , definida
anteriormente a traves de una integral parametrica.
Teorema 9.2.1. [Teorema de continuidad de integrales parametricas]
Supongamos que se cumple lo siguiente:
(a) Para cada x ∈ A, la funcion t ∈ B 7→ f(x, t) ∈ R es continua.
(b) Para cada t ∈ B, la funcion x ∈ A 7→ f(x, t) ∈ R es medible Lebesgue.
(c) Existe una funcion g : A→ [0,+∞) integrable Lebesgue tal que
|f(x, t)| ≤ g(x) para todo x ∈ A y todo t ∈ B.
Entonces la funcion F : t ∈ B 7→∫Af(x, t) dx ∈ R esta bien definida y es
continua en B.
INTEGRALES PARAMETRICAS 131
Demostracion. Fijemos t0 ∈ B. Segun (b) y (c), la funcion x ∈ A 7→f(x, t0) ∈ R es medible y esta mayorada por una funcion integrable, luego
la primera funcion es tambien integrable. Esto prueba que F esta bien defi-
nida. En cuanto a la continuidad, se ha de probar que lımt→t0 F (t) = F (t0).
Por el teorema fundamental del lımite, basta fijar una sucesion (tn) ⊂ B
con tn → t0 y probar que F (tn) → F (t0). Sea pues (tn) una tal sucesion, y
denotemos fn(x) := f(x, tn) y ϕ(x) := f(x, t0). Entonces (fn) es una suce-
sion de funciones integrables Lebesgue en A tales que |fn(x)| ≤ g(x) para
todo (x, n) ∈ A × N [por (c)] y fn(x) −→n→∞
ϕ(x) para todo x ∈ A [por (a)].
Por el teorema de la convergencia dominada, existe lımn→∞∫Afn(x) dx =∫
Aϕ(x) dx. Pero esto es lo mismo que F (tn)→ F (t0), como se requerıa. �
9.3. Derivabilidad de integrales parametricas
En esta seccion estudiaremos cuando la funcion F es derivable y calcu-
laremos el valor de su derivada.
Teorema 9.3.1. [Teorema de derivabilidad de integrales parametricas]
Supongamos que se cumple lo siguiente:
(a) Para cada x ∈ A, la funcion t ∈ B 7→ f(x, t) ∈ R es derivable, es
decir, existe ∂f∂t
(x, t) ∈ R para todo (x, t) ∈ A×B.
(b) Para cada t ∈ B, la funcion x ∈ A 7→ f(x, t) ∈ R es medible Lebesgue.
(c) Para algun t0 ∈ B, la funcion x ∈ A 7→ f(x, t0) es integrable Lebesgue.
(d) Existe una funcion g : A→ [0,+∞) integrable Lebesgue tal que
∣∣∂f∂t
(x, t)∣∣ ≤ g(x) para todo x ∈ A y todo t ∈ B.
132 Luis Bernal Gonzalez
Entonces la funcion F : t ∈ B 7→∫Af(x, t) dx ∈ R esta definida y es
derivable en B. Ademas
F ′(t) =
∫A
∂f
∂t(x, t) dx para todo t ∈ B.
Demostracion. Veamos primero que F esta bien definida. Fijemos t1 ∈ B.
Por (b), la funcion x ∈ A 7→ f(x, t1) ∈ R es medible. Por (a) y el teorema
del valor medio, para cada x ∈ A existe un punto t2 = t2(x) en el intervalo
que une t0 con t1 tal que f(x, t1)− f(x, t0) = ∂f∂t
(x, t2)(t1− t0). Gracias a (d)
y a la desigualdad triangular, obtenemos
|f(x, t1)| ≤ |t1 − t0|g(x) + |f(x, t0)| para todo x ∈ A.
Por (c) y ya que g es integrable, resulta que x 7→ f(x, t1) es integrable
Lebesgue en A, luego F esta bien definida.
Por otra parte, si elegimos cualquier sucesion (un) ⊂ B\{t1} con un → t1,
se tiene que ∂f∂t
(x, t1) = lımn→∞f(x,un)−f(x,t1)
un−t1 , que es el lımite puntual de una
sucesion de funciones medibles, luego la funcion x 7→ ∂f∂t
(x, t) es medible para
cada t ∈ B. Al estar mayorada por una funcion integrable [por (d)] resulta
que cada integral∫A∂f∂t
(x, t) dx existe y es finita.
Queda probar que F ′(t1) existe y que su valor coincide con la integral
anterior en t = t1. Usamos de nuevo el teorema fundamental del lımite y
fijamos una sucesion (un) como la del parrafo anterior. Basta demostrar que
Jn := F (un)−F (t1)un−t1 −
∫A∂f∂t
(x, t1) dx −→n→∞
0. Para cada n ∈ N, se tiene que
Jn =∫Aϕn(x) dx, donde ϕn(x) := f(x,un)−f(x,t1)
un−t1 − ∂f∂t
(x, t1). Observemos que,
por definicion de derivada, ϕn(x) → 0 cuando n → ∞ para cada x ∈ A.
Ademas, usando como antes el teorema del valor medio junto con la hipotesis
(d), resulta que |ϕn(x)| ≤ 2g(x) para todo n ∈ N y todo x ∈ A. Una vez mas,
del teorema de la convergencia dominada se infiere que Jn →∫A
0 dx = 0,
como se deseaba. �
INTEGRALES PARAMETRICAS 133
Nota 9.3.2. En orden practico, lo mas difıcil en la aplicacion de los teoremas
de este capıtulo suele ser hallar la funcion integrable g que mayora a una
familia de funciones parametrizada en t. A veces no se puede encontrar una
g valida simultaneamente para todos los t. Pero, habida cuenta de que la
continuidad y la derivabilidad son propiedades locales, es suficiente fijar un
t0 y encontrar un entorno U ⊂ B de t0 tal que alguna funcion g valga para
todos los puntos de U .
Concluimos el capıtulo comentando que los dos teoremas anteriores se
extienden sin apenas dificultad cuando A se sustituye por un espacio de
medida que no es necesariamente la de Lebesgue. Asimismo, en el teorema
de continuidad, el intervalo parametrico B se puede sustituir por un espacio
metrico mas general; y en el teorema de derivabilidad, B puede reemplazarse
por un abierto de RN y la derivada por alguna derivada parcial.
Ejercicios
1.- Hallar el lımt→0+
∫ ∞0
log(e+ tx)
1 + (1 + t)(x2 + tx5)dx.
2.- Probar que la funcion F (x) =
∫ ∞0
sen (x+ y2)
(x+ y2)(1 +√x+ y)
dy esta bien defi-
nida y es continua en [0,+∞).
3.- (a) Estudiar para que valores de t ∈ R esta bien definida, es continua y es
derivable la funcion F (t) =
∫ ∞0
xt log x
x2 − 1dx.
(b) Lo mismo para la funcion G(t) =
∫ ∞0
dx
(1 + x+ x2)t.
¿Es G acotada en su dominio de definicion?
4.- Definamos f(x) =( ∫ x
0 e−t2 dt
)2y g(x) =
∫ 10e−x
2(t2+1)
t2+1dt.
(a) Verificar que f y g estan bien definidas y son derivables en R.
(b) Demostrar que g′(x) + f ′(x) = 0 para todo x ∈ R.
134 Luis Bernal Gonzalez
(c) Deducir que g(x) + f(x) = π/4 para todo x ∈ R.
(d) Utilizar (c) para probar que∫∞
0 e−t2dt =
√π/2.
5.- (a) Demostrar que, para cada t ∈ R, la funcion x 7→ e−x2
cos(2xt) es
integrable-Lebesgue en R.
(b) Definimos F (t) =∫∞
0 e−x2
cos(2xt) dx para todo t ∈ R. Demostrar
que F satisface la ecuacion diferencial F ′(t) + 2tF (t) = 0 en R.
(c) Deducir que F (t) = (1/2)√πe−t
2. Indicacion: usar el apartado (d) del
ejercicio anterior.
6.- Sea la funcion F : (0,+∞)→ R definida por
F (t) =
∫ +∞
0
arctan(tx)− arctanx
xdx
(a) Probar que F esta bien definida.
(b) Probar que F cumple las hipotesis del Teorema de derivacion pa-
rametrica en (t0,+∞) para todo t0 > 0.
(c) Deducir que F es derivable en (0,+∞) y calcular su derivada.
(d) Deducir que F (t) =π
2log t para todo t ∈ (0,+∞).
7.- Supongamos que ϕ : [0, 1]→ R es una funcion derivable tal que ϕ′ ∈ R[0, 1].
Demostrar que la funcion F : t ∈ [0, 1] 7→∫ 1
0 ϕ(tx) dx ∈ R esta bien definida,
es derivable en [0, 1] y satisface tF ′(t) + F (t) = ϕ(t) para todo t ∈ [0, 1].
8.- Demostrar que la funcion gamma de Euler–Gauss, definida como Γ(t) :=∫ +∞0 xt−1e−x dx (t ∈ (0,+∞)) [ver Ejercicio 8 del Capıtulo 2] es derivable
en (0,+∞).
Capıtulo 10
Series de Fourier
En este capıtulo veremos otro caso particular de series funcionales, a
saber, las series de Fourier, cuyos terminos son funciones trigonometricas.
El estudio de diversos problemas fısicos –como por ejemplo la descripcion
del movimiento de una cuerda fijada por sus extremos o la transmision del
calor– llevo a importantes matematicos (entre los que se encontraban Daniel
Bernoulli y Joseph Fourier) a plantearse la posibilidad de representar “toda
funcion periodica” f(x) como una serie de senos y cosenos de la forma
f(x) =a0
2+∞∑n=1
[an cos(nx) + bn sen(nx)]. [1]
El esfuerzo para establecer la extension y el sentido preciso de la igualdad
anterior ocupo gran parte de las matematicas del siglo XIX, continuando en
el siglo XX y todavıa en la actualidad.
10.1. Serie de Fourier y coeficientes de Fou-
rier
Comenzamos el tema motivando la definicion de los coeficientes de
Fourier. Sea f : R→ R una funcion real. Se dice que f es periodica de perıodo
135
136 Luis Bernal Gonzalez
T > 0, o que es T -periodica, cuando f(x + T ) = f(x) para todo x ∈ R.
Estas funciones quedan perfectamente definidas en cualquier intervalo [a, b] de
amplitud b−a = T . Es claro que coinciden los valores extremos: f(a) = f(b).
De este modo, tambien podemos partir de cualquier funcion f : [a, b] → R
con f(a) = f(b) y extenderla de modo periodico a todo R. Si consideramos el
cambio afın de variable x ∈ [−π, π] 7→ b−a2π
(x+ π) + a ∈ [a, b] y componemos
f con esta aplicacion, obtenemos la funcion g(x) = f(b−a2π
(x + π) + a), que
es periodica de perıodo 2π. Ası que podemos suponer que todas las funciones
consideradas tienen perıodo 2π. Despues, la funcion original se recupera con
el cambio inverso, es decir, f(x) = g(
2πb−a(x− a) + π
).
Ası pues, partimos de una funcion f : [−π, π]→ R con f(−π) = f(π). Si
queremos que exista un desarrollo como el de [1], hallemos formalmente cuales
deben ser los coeficientes an y bn. Suponiendo que f es integrable Lebesgue,
se tiene que∫ π−π f(x) dx = a0π +
∫ π−π
[∑∞n=1(an cos(nx) + bnsen (nx))
]dx. Si
se dieran las condiciones para intercambiar las operaciones de suma e inte-
gracion, tendrıamos que la integral de la suma serıa igual a∑∞n=1[an
∫ π−π cos(nx) dx + bn
∫ π−π sen (nx) dx] =
∑∞n=1 0 = 0, luego a0 =
1π
∫ π−π f(x) dx. Para el calculo de los restantes coeficientes, vamos a emplear
las conocidas formulas
senα cos β = (1/2)[sen(α + β) + sen(α− β)],
cosα cos β = (1/2)[cos(α + β) + cos(α− β)],
senα sen β = (1/2)[cos(α− β)− cos(α + β)].
Fijados m,n ∈ N, se deduce que∫ π
−πcos(mx) cos(nx) dx =
∫ π
−πsen(mx) sen(nx) dx =
0 si m 6= n
π si m = n
e∫ π−π sen(mx) cos(nx) dx = 0 para todo par m,n ∈ N. Ahora multiplicamos
[1] sucesivamente por cos(mx), sin(mx) e integramos en cada caso, supo-
SERIES DE FOURIER 137
niendo asimismo la validez del intercambio∑
n
∫ π−π =
∫ π−π∑
n. Obtenemos
am = 1π
∫ π−π f(x) cos(mx) dx y bm = 1
π
∫ π−π f(x) sen(mx) dx. Estos calculos
conducen a la siguiente definicion. Notese que para darla no es necesario en
principio que f(π) = f(−π), ya que en los calculos han intervenido integrales
y la integral de una funcion en un intervalo no varıa si se modifica su valor
en los extremos.
Definicion 10.1.1. Sea f : [−π, π]→ R integrable. Se define la serie trigo-
nometrica de Fourier asociada a f como la serie de funciones
a0
2+∞∑n=1
[an cos(nx) + bn sen (nx)],
donde
a0 =1
π
∫ π
−πf(x) dx, an =
1
π
∫ π
−πf(x) cos(nx) dx
y bn =1
π
∫ π
−πf(x) sen(nx) dx (n ∈ N).
A los coeficientes an (n = 0, 1, ...) y bn (n = 1, 2, ...) se les llama los coefi-
cientes de Fourier de la funcion f .
Notas 10.1.2. (a) Observese que los coeficientes a0, an y bn (n ≥ 1) estan
bien definidos ya que las funciones que intervienen son integrables en [−π, π].
Por otra parte, en caso de que la funcion f sea par (es decir, f(x) = f(−x)
para todo x ∈ [−π, π]), es facil comprobar que bn = 0 para todo n, mientras
que si f es impar (es decir, f(x) = −f(−x)) para todo x ∈ [−π, π]) entonces
a0 = 0 = an para todo n ∈ N. Obtenemos pues una serie de cosenos
a02
+∑∞
n=1 an cos(nx) en el caso de una funcion par, y una serie de senos∑∞n=1 bn sen(nx) en el caso de una funcion impar.
(b) Volviendo al caso general de una funcion integrable f : [a, b]→ R, con el
cambio de variable mencionado al principio resultarıa que la serie de Fourier
138 Luis Bernal Gonzalez
asociada a f es
a0
2+∞∑n=1
[an cos
( 2πn
b− a(x− a)
)+ bn sen
( 2πn
b− a(x− a)
)],
donde a0 =2
b− a
∫ b
a
f(x) dx, an =2
b− a
∫ b
a
f(x) cos[ 2πn
b− a(x− a)
]dx y
bn =2
b− a
∫ b
a
f(x) sen[ 2πn
b− a(x− a)
]dx.
(c) Notemos que si [a, b] = [0, 2π] entonces la serie de Fourier es la misma
que la que se obtendrıa si la funcion estuviese definida en [−π, π], excepto
que las integrales que aparecen serıan∫ 2π
0. De todas formas, si la funcion en
[0, 2π] se prolongase a R de manera periodica, los valores∫ 2π
0coincidirıan
con los correspondientes valores∫ π−π.
10.2. Desigualdades e igualdades con coefi-
cientes de Fourier
Comenzaremos con un sencillo resultado que afirma que los coeficien-
tes de Fourier de una funcion integrable Lebesgue estan controlados por su
norma-1. En efecto, si f : [−π, π] → R es integrable Lebesgue, del hecho
de que cos(nx) y sen(nx) estan acotadas por 1 en valor absoluto y de que
|∫ϕ| ≤
∫|ϕ|, se deduce que |a0|, |an|, |bn| ≤ 1
π
∫ π−π |f(x)| dx para todo n ∈ N.
De hecho, se tiene no solo que (an) y (bn) estan acotadas, sino que tienden
a cero. Para verlo, incluimos un resultado tecnico que tambien usaremos en
la seccion siguiente.
Teorema 10.2.1. (a) [Lema de Riemann–Lebesgue] Sea I ⊂ R un inter-
valo y supongamos que ϕ ∈ L1(I). Entonces, para todo β ∈ R,
lımα→+∞
∫I
ϕ(t) sen(αt+ β) dt = 0.
SERIES DE FOURIER 139
(b) Los coeficientes de Fourier an y bn de una funcion f : [−π, π] → R
integrable Lebesgue cumplen an → 0 y bn → 0.
Demostracion. El apartado (b) se deduce de (a) haciendo I = [−π, π], ϕ =
f, α = n y tomando sucesivamente β = 0, β = π/2.
Para probar (a), fijemos ε > 0. Por el Teorema 8.4.2 existe una funcion
escalonada ψ =∑p
j=1 ajχIj con∫R |F (t)− ψ(t)| dt < ε/2, donde los aj ∈ R,
los Ij son intervalos acotados y F es la funcion R→ R definida como ϕ en I y
0 fuera de I. Notese que F es integrable en R. Ahora bien, F (t) sen(αt+β) =
(F (t) − ψ(t)) sen(αt + β) + ψ(t) sen(αt + β). Integrando en I y teniendo en
cuenta que | senu| ≤ 1 y la desigualdad |∫h| ≤
∫|h|, resulta que
∣∣ ∫I
ϕ(t) sen(αt+ β) dt∣∣ ≤ ∫
R|F (t)− ψ(t)| dt+
p∑j=1
|aj|∣∣ ∫
Ij∩Isen(αt+ β) dt
∣∣.Si J es un intervalo acotado de extremos c y d, se tiene que
∫J
sen(αt+β) dt =
1α
[cos(αc+ β)− cos(αd+ β)] −→α→+∞
0. Luego∑p
j=1 → 0 cuando α→ +∞ y,
en consecuencia, podemos encontrar un α0 tal que∑p
j=1 < ε/2 para todo
α > α0. Por tanto |∫Iϕ(t) sen(αt+β) dt| < ε para los mismos valores de α,
y la demostracion ha terminado. �
Denotaremos por (Snf) la sucesion de sumas parciales de la serie de Fou-
rier de f , es decir, Snf(x) = a02
+∑n
k=1[ak cos(kx) + bk sen(kx)] para cada
n ∈ N. Vamos a ver que, si suponemos algo mas sobre la funcion f , sus
coeficientes de Fourier van a tender rapidamente a 0.
Teorema 10.2.2. Sea f : [−π, π]→ R integrable Lebesgue. Se verifica:
(a) [Desigualdad de Bessel]a2
0
2+∞∑n=1
(a2n + b2
n) ≤ 1
π
∫ π
−πf(x)2 dx.
(b) Si f 2 es integrable, las series∑∞
n=1 a2n y
∑∞n=1 b
2n son convergentes.
Demostracion. El apartado (b) es consecuencia trivial de (a). En cuanto a
este, recordemos que el sistema trigonometrico {1, sen(nx), cos(nx) : n ≥ 1}
140 Luis Bernal Gonzalez
es ortogonal, es decir, la integral en [−π, π] del producto de cada par de
funciones distintas en el es 0. Ahora calculamos (f(x)− Snf(x))2 = f(x)2−2f(x)Snf(x) + (Snf(x))2, sustituimos Snf(x) por la expresion que la define,
e integramos teniendo en cuenta la definicion de los coeficientes de Fourier.
Se obtiene [los detalles se dejan como ejercicio] que∫ π
−π(f(x)− Snf(x))2 dx =
∫ π
−πf(x)2 dx−
[a20
2+
n∑k=1
(a2k + b2
k)]. [2]
Como el primer miembro es ≥ 0, se deduce quea202
+∑n
k=1(a2k + b2
k) ≤1π
∫ π−π f(x)2 dx. Basta hacer ahora n→∞. �
Teorema 10.2.3. Sea f : [−π, π] → R integrable Lebesgue. Entonces tiene
lugar la “identidad de Parseval”a2
0
2+∞∑n=1
(a2n + b2
n) =1
π
∫ π
−πf(x)2 dx
si y solo si (Snf) tiende cuadraticamente a f , es decir, si y solo si
lımn→∞∫ π−π(f(x) − Snf(x))2 dx = 0. En particular, se da la identidad de
Parseval si (Snf) converge uniformemente a f en [−π, π].
Demostracion. El resultado se deduce de [2]. Para el caso particular, aplicar,
por ejemplo, el teorema de la convergencia dominada. �
10.3. Convergencia puntual de la serie de Fou-
rier
En esta seccion nos planteamos que relacion tiene la serie de Fourier ob-
tenida con la funcion f de partida. Asimismo, vamos a estudiar las siguientes
cuestiones:
1. La serie de Fourier asociada a una funcion f , ¿converge puntualmente
para algun valor de x en el dominio de la funcion?
2. Si la serie de Fourier converge para algun valor de x, ¿lo hace a f(x)?
SERIES DE FOURIER 141
3. ¿Hay convergencia uniforme?
Notese que la serie trigonometrica de Fourier de una funcion f en [−π, π] es
una funcion periodica de periodo 2π. De esta forma, vamos a suponer que
f : [−π, π] → R es una funcion integrable y extendemos f a todo R de
forma 2π-periodica con periodo 2π.
Nuestro objetivo en esta seccion es hallar respuestas a las dos primeras
cuestiones, es decir, estudiar si existe lımn→∞ Snf(x) y hallar su valor. Ne-
cesitamos la siguiente funcion auxiliar. Si n ∈ N, se llama nucleo de Dirichlet
de orden n a la funcion Dn(t) :=sen(
2n+12t)
2 sen t2
. Es evidente que cada Dn es
par y 2π-periodica.
El teorema de representacion integral de las sumas parciales de una serie
de Fourier que se presenta a continuacion sera de suma importancia para
encontrar condiciones de regularidad en la funcion f que garanticen la con-
vergencia puntual de la serie de Fourier.
Teorema 10.3.1. Para las sumas parciales Snf de la serie de Fourier de
una funcion f : [−π, π]→ R integrable Lebesgue, se verifica
Snf(x) =1
π
∫ π
−πf(x+ t)Dn(t) dt =
1
π
∫ π
0
(f(x+ t) + f(x− t))Dn(t) dt.
Demostracion. Si tenemos en cuenta las formulas para productos de senos
y cosenos de la primera seccion, resulta que para cualquier u ∈ R se tiene
senu = 12·2 sen u
2, sen 3u
2−sen u
2= cosu·2 sen u
2,..., sen(2n+1
2u)−sen(2n−1
2u) =
cos(nu) · 2 sen u2. Sumando miembro a miembro estas igualdades obtenemos
1
2+ cosu+ · · ·+ cos(nu) =
sen(
2n+12u)
2 sen u2
= Dn(u).
142 Luis Bernal Gonzalez
Sea x ∈ [−π, π]. Entonces
Snf(x) =a0
2+
n∑k=1
[ak cos(kx) + bk sen(kx)]
=1
π
∫ π
−πf(u)
[12
+n∑k=1
(cos(kx) cos(ku) + sen(kx) sen(ku))]du
=1
π
∫ π
−πf(u)
[12
+n∑k=1
cos(k(u− x))]du
=1
π
∫ π
−πf(u)Dn(u− x) du =
1
π
∫ π
−πf(x+ t)Dn(t) dt.
En el ultimo paso se ha efectuado el cambio de variable t = u − x y se
ha tenido en cuenta que la integral de una funcion T -periodica es la misma
en intervalos que tengan longitud T . Esto prueba la primera igualdad del
enunciado. La segunda resulta de descomponer la ultima integral en suma
de dos integrales, una en [0, π] y otra en [−π, 0]. En la integral sobre este
intervalo, practicar el cambio de variable t 7→ −t y tener en cuenta que Dn
es una funcion par. �
Notemos que, como consecuencia, obtenemos que 1π
∫ π−πDn(t) dt = 1 para
todo n ∈ N. Tambien se obtiene el siguiente corolario, conocido como teorema
de localizacion de Riemann.
Corolario 10.3.2. Sea f : [−π, π]→ R integrable Lebesgue y x0 ∈ [−π, π].
Si f es nula en un entorno de x0 entonces lımn→∞ Snf(x0) = 0.
Demostracion. Por hipotesis, existe δ ∈ (0, π) tal que f(x0 +t) = 0 para todo
t ∈ (−δ, δ). Entonces |2 sen(t/2)| ≥ γ := 2 sen(δ/2) > 0 para todo t ∈ A :=
[−π,−δ] ∪ [δ, π]. De la primera igualdad del Teorema 10.3.1 deducimos que
Snf(x0) =1
π
∫ π
−πf(x0 + t)Dn(t) dt =
1
π
∫A
ϕ(t) sen(2n+ 1
2t)dt,
donde ϕ(t) := f(x0+t)2 sen(t/2)
, la cual es integrable en A por ser medible y estar
mayorada en A por la funcion (1/γ)f(x0 + t). Por el Lema de Riemann–
SERIES DE FOURIER 143
Lebesgue,∫Aϕ(t) sen((2n+1)t/2) dt→ 0 cuando n→∞. De aquı deducimos
lo que queremos. �
Por tanto, si dos funciones f y g coinciden en un entorno de x0 y la serie
de Fourier de una de ellas converge en x0, entonces la serie de Fourier de la
otra converge a la misma suma: aplicar a f − g el corolario anterior. Este
comportamiento contrasta con el de las series de Taylor, donde el comporta-
miento de una serie en un entorno de un punto determina su valor en todo
su intervalo de convergencia.
A continuacion, enunciamos por fin un criterio suficiente de convergencia
de la serie de Fourier, es decir, de existencia y finitud del lımite lımn→∞ Snf(x).
Recordemos que f(x+0 ) y f(x−0 ) denotan, respectivamente, el lımite lateral
a la derecha de f en x0, lımx→x+0f(x), y el lımite lateral a la izquierda de f
en x0, lımx→x−0f(x), si existen. Asimismo, f ′+(x0) y f ′−(x0) denotan, respec-
tivamente, la derivada lateral a la derecha de f en x0, lımx→x+0f(x)−f(x+0 )
x−x0 , y
la derivada lateral a la izquierda de f en x0, lımx→x−0f(x)−f(x−0 )
x−x0 , si existen.
Teorema 10.3.3. [Condicion de Jordan–Dini] Sea f : [−π, π]→ R integrable
Lebesgue con f(π) = f(−π), y supongamos que f esta extendida periodica-
mente a todo R con perıodo 2π. Sea x0 ∈ R. Se verifica:
(a) Si los lımites y derivadas laterales f(x+0 ), f(x−0 ), f ′+(x0), f ′−(x0) existen
y son finitos, entonces
lımn→∞
Snf(x0) =f(x+
0 ) + f(x−0 )
2.
Si ademas f es continua en x0, se tiene lımn→∞ Snf(x0) = f(x0).
(b) Si f es derivable en x0 entonces lımn→∞ Snf(x0) = f(x0).
Demostracion. Es evidente que (b) es un caso particular de (a). Ya en las
hipotesis de (a), si f es continua en x0 entonces f(x+0 ) = f(x0) = f(x−0 ), luego
144 Luis Bernal Gonzalez
basta probar el primer lımite del enunciado. Para ello, usamos la segunda
igualdad integral del Teorema 10.3.1 y el hecho de que 1π
∫ π0Dn(t) dt = 1/2
[porque 1π
∫ π−πDn(t) dt = 1 y Dn es par]. Tenemos ası que
Snf(x0)− f(x+0 ) + f(x−0 )
2=
1
π
∫ π
0
(f(x0 + t)− f(x+0 ))Dn(t) dt
+1
π
∫ π
0
(f(x0 − t)− f(x−0 ))Dn(t) dt.
Como las derivadas laterales de f existen y son finitas y lımt→02 sen(t/2)
t=
1, resulta que la funciones ϕ1(t) :=f(x0+t)−f(x+0 )
2 sen(t/2)y ϕ2(t) :=
f(x0−t)−f(x−0 )
2 sen(t/2),
que son medibles, estan mayoradas por alguna funcion positiva integrable en
[−π, π] (para comprobarlo, dividir el intervalo anterior en (−δ, δ) y [−π, π]\(−δ, δ), con un δ > 0 adecuado que viene de que el lımite proporcionado por
las derivadas laterales existe y es finito: se dejan los detalles como ejercicio).
La primera integral en la expresion anterior es∫ π
0
(f(x0 + t)− f(x+0 ))Dn(t) dt =
∫ π
0
ϕ1(t) sen
(2n+ 1
2t
)dt,
la cual → 0 cuando n→∞ gracias al Lema de Riemann–Lebesgue. Analo-
gamente, utilizando ϕ2, la segunda integral que interviene en la expresion de
Snf(x0)− f(x+0 )+f(x−0 )
2tambien tiende a 0, ası que Snf(x0)→ f(x+0 )+f(x−0 )
2. �
En realidad, son conocidas una condicion debida a Jordan y otra a Dini,
cada una de las cuales implica el teorema anterior. No obstante, dicho teorema
es suficiente para nuestros objetivos.
10.4. Convergencia uniforme de la serie de
Fourier
Existen varios resultados que aseguran la convergencia uniforme de la
serie de Fourier. Presentamos ahora uno que puede aplicarse en muchos casos.
SERIES DE FOURIER 145
Notese que la convergencia uniforme obliga a que la funcion f sea continua,
ya que cada suma parcial de Fourier SNf es una funcion continua.
Teorema 10.4.1. Sea f : [−π, π]→ R una funcion continua con f(−π) =
f(π), extendida a R periodicamente con periodo 2π. Supongamos que existe
un conjunto finito F ⊂ [−π, π] tal que f es derivable, y con derivada continua
y acotada, en [−π, π] \F . Entonces lımN→∞ SNf = f uniformemente en R.
Demostracion. Por el Teorema 10.3.3, lımn→∞ Snf(x) = f(x) para todo x ∈[−π, π]\F . Si lograsemos probar la convergencia uniforme de (Snf) a alguna
funcion g, esta debe ser continua, pues cada termino de (Snf) es continuo. Ya
que convergencia uniforme implica convergencia puntual, y el lımite puntual
es unico si existe, tendrıamos que g(x) = f(x) para todo x ∈ [−π, π]\F . Este
es un subconjunto denso de [−π, π], luego f = g en [−π, π] por continuidad.
Ası que lımN→∞ SNf = f uniformemente en [−π, π], y por tanto en R
debido a la periodicidad. En consecuencia, resta ver la convergencia uniforme
de la serie de Fourier en [−π, π], sin necesidad de comprobar cual es la funcion
suma.
Para demostrar esto, observese en primer lugar que tanto f como f ′
son integrables Riemann, si extendemos arbitrariamente f ′ al conjunto fi-
nito F . Llamemos An (n ≥ 0) y Bn (n ≥ 1) a los coeficientes de Fou-
rier de f ′, que estan definidos por ser f ′ integrable Lebesgue. Ası que
An = 1π
∫ π−π f
′(x) cos(nx) dx y Bn = 1π
∫ π−π f
′(x) sen(nx) dx. Usando la formu-
la de integracion por partes [en rigor, si F ∩ (−π, π) = {a1 < a2 < · · · < aN},la formula se aplicarıa a cada subintervalo [ai, ai+1] (i = 0, ..., N), donde
a0 = −π y aN+1 = π, y despues se sumarıan las igualdades desde i = 0
hasta i = N ; a su vez, para obtener la formula en cada [ai, ai+1], se aplicarıa
primero la misma en cada intervalo [ai + (1/n), ai+1− (1/n)], con n suficien-
temente grande, y despues se harıa tender n → ∞ usando el teorema de la
146 Luis Bernal Gonzalez
convergencia dominada de Lebesgue] es facil ver que
an = −Bn/n y bn = An/n.
Utilizando que 0 ≤ (|t| − |u|)2 = t2 + u2 − 2|t||u| para todo par t, u ∈ R,
resulta que, para todo x ∈ [−π, π],
|an cos(nx) + bn sen(nx)| ≤ |an|+ |bn| =|An|n
+|Bn|n
≤ 1
2
(A2n +
1
n2
)+
1
2
(B2n +
1
n2
)=
1
n2+
1
2(A2
n +B2n).
El ultimo miembro es el termino general de una serie numerica convergente
de terminos positivos, ya que∑
n 1/n2 converge [pues el exponente 2 es > 1]
y tambien lo hace∑
n(A2n + B2
n) [por la desigualdad de Bessel aplicada a
f ′: notese que (f ′)2 ∈ L1([−π, π])]. Finalmente, el criterio M de Weierstrass
(Teorema 4.3.3) garantiza la convergencia uniforme de la serie de Fourier. �
En terminos de los coeficientes de Fourier, puede asegurarse la convergen-
cia uniforme cuando sea aplicable el criterio M de Weierstrass, como se ha
hecho en la parte final de la prueba del teorema anterior.
Teorema 10.4.2. Sea f : [−π, π]→ R una funcion continua con f(−π) =
f(π), extendida a R periodicamente con periodo 2π. Si su serie de Fourier
converge puntualmente a f en R y las series de los coeficientes de Fourier∞∑n=1
an y∞∑n=1
bn son absolutamente convergentes, entonces lımN→∞ SNf = f
uniformemente en R.
Demostracion. La hipotesis de convergencia puntual implica, de manera pa-
recida al principio de la prueba del teorema anterior, que si la serie de Fourier
converge uniformemente a alguna funcion, esta debe ser f . En consecuencia,
basta mostrar la convergencia uniforme. Pero esto se desprende del criterio
M de Weierstrass, ya que |an cos(nx) + bn sen(nx)| ≤ |an| + |bn| para todo
x ∈ R y todo n ∈ N. �
SERIES DE FOURIER 147
Por tanto, aplicando el Teorema 10.2.3, se tiene que bajo cualquiera de
las hipotesis de los Teoremas 10.4.1 o 10.4.2, se verifica la igualdad de Parse-
val:a2
0
2+∞∑n=1
(a2n + b2
n) =1
π
∫ π
−πf(x)2 dx. Puede probarse que esta igualdad
es valida con la sola condicion de que f sea continua y periodica, e incluso
es suficiente que f sea medible con f 2 integrable en [−π, π].
Dos fuertes resultados, cuya prueba no incluimos aquı pero que tienen
importantes consecuencias, son los siguientes.
El teorema de Fejer asegura que si f : R → R es continua y 2π-
periodica, entonces la sucesion de medias aritmeticas (σnf) de sus sumas
parciales de Fourier convergen uniformemente a f en R. Aquı σnf :=
1n+1
(S0f + S1f + · · · + Snf) [con S0f := a0/2]. La demostracion se basa
en expresar σnf como una integral de nucleo adecuado. De este teorema
se deduce que, si una funcion f : R → R continua y 2π-periodica tiene
una serie de Fourier convergente uniformemente en R, entonces la suma de
la serie es precisamente f . Por tanto, en el Teorema 10.4.2 la hipotesis de
convergencia puntual a f es superflua. Tambien se puede deducir el teorema
de aproximacion de Weierstrass: para cada funcion continua f : [a, b] → R
existe una sucesion polinomios (Pn) tal que Pn → f uniformemente en [a, b].
El teorema de Carleson nos dice que, para cualquier funcion medible f
con f 2 ∈ L1([−π, π]), la sucesion de sumas parciales (Snf(x)) converge a
f(x) e.c.t. x ∈ [−π, π]. Esto se aplica, en particular, a cualquier funcion
continua en [−π, π].
Ejercicios
1.- (a) Probar que las series de Fourier de las funciones siguientes definidas en
[0, 2π) son las que se indican:
148 Luis Bernal Gonzalez
f1(t) = t; S(f1) =1
2+∞∑n=1
1
πnsen t
f2(t) = t2 − 2πt; S(f2) =−π2
6+∞∑n=1
cos (nt)
n2
f3(t) = χ[π,2π) − χ[0,π]; S(f3) =−4
π
∞∑n=1
sen(2n− 1)t
2n− 1.
(b) Estudiar la coincidencia entre las funciones y sus series de Fourier.
(c) Deducir la suma de las siguientes series numericas:∞∑n=1
1
n2y∞∑n=1
(−1)n
n2.
2.- Determinar la serie de Fourier de la funcion t ∈ [0, 2π] 7→ t sen t ∈ R y
estudiar su coincidencia con la funcion.
3.- (a) Hallar la serie trigonometrica de Fourier de cada una de las funciones
f(x) = x y g(x) = |x| en el intervalo [−π, π].
(b) Deducir que para todo x ∈ (0, π) se da la igualdad
π
2−∞∑n=1
2
πn2(1− (−1)n) cos(nx) = 2
∞∑n=1
(−1)n+1
nsen (nx).
4.- Sea f(x) = max{senx, 0}. Obtener la serie de Fourier asociada a f , estudiar
su convergencia y calcular∞∑n=1
(−1)n
4n2 − 1.
5.- Dada una funcion f ∈ L1([0, π]), se llama serie de senos [serie de cosenos,
resp.] de f a la serie de Fourier de la extension impar [de la extension par,
resp.] de f a [−π, π]. Desarrolla en serie de senos y de cosenos las siguientes
funciones definidas en el intervalo [0, π]:
(a) f(x) = ex.
(b) f(x) = x2 + x.
6.- Consideremos la funcion f(x) = x− [x]− 1/2.
(a) Pruebese que esta funcion admite un desarrollo de Fourier en todo R.
(b) Obtener su desarrollo de Fourier y estudiar su convergencia.
SERIES DE FOURIER 149
(c) Deducir la suma de la serie∞∑n=1
(−1)n
2n+ 1.
7.- Justifica que, para todo x ∈ [−π, π], se verifica
x cosx = −1
2senx+ 2
∞∑n=2
(−1)nn sen (nx)
n2 − 1.
8.- Para cada una de las siguientes funciones definidas en [−π, π], determina si
la serie de Fourier converge puntualmente y cual es su lımite puntual si es
que este existe:
(a) f(x) = xn, donde n ∈ N.
(b) f(x) = 0 si x < 0, f(x) = kx si x ≥ 0.
(c) f(x) = tanx.
(f) f(x) = e−x2.
9.- Consideremos el sistema trigonometrico {sen(nt), cos(mt) : n,m ≥ 1} y
el sistema exponencial {eint : n ∈ Z}. Un sistema A de funciones defi-
nidas sobre un mismo intervalo I ⊂ R se dice que es ortogonal cuando∫I f(x)g(x) dx = 0 para todo par f, g ∈ A con f 6= g. Recordemos que z
denota el conjugado x − iy del numero complejo z = x + iy, de modo que
z = z si y solo si z ∈ R. Denotemos por a0, an, bn (n ≥ 1) los coeficientes de
Fourier de f respecto del sistema trigonometrico.
(a) Probar que cada uno de los sistemas trigonometrico y exponencial es
ortogonal en [0, 2π].
(b) Sea f : [0, 2π] → C una funcion integrable Lebesgue, lo cual significa
que Re f e Im f son integrables Lebesgue. Consideremos los coeficientes
de Fourier de f respecto del sistema exponencial, es decir, el sistema
de numeros complejos f(n) (n ∈ Z) definidos como
f(n) =1
2π
∫ 2π
0f(t)e−int dt.
150 Luis Bernal Gonzalez
Demostrar las relaciones:
a0 = 2f(0), an = f(n) + f(−n), bn = i(f(n) + f(−n)),
f(n) =an − ibn
2, f(−n) =
an + ibn2
para todo n ≥ 1.
10.- Hallar la funcion continua en [0, 2π] de la que proviene la serie de Fourier∞∑n=1
sen (nt)
n3. Aplicar el resultado a calcular
∞∑n=1
1
n4.
11.- (a) Probar que∑∞
n=0 aneint =
1− a cos t+ ia sen t
1− 2a cos t+ a2∀a ∈ (−1, 1).
(b) Hallar la serie de Fourier en [−π, π] de f(t) =a sen t
1− 2a cos t+ a2.
(c) Probar que el desarrollo de Fourier del apartado anterior converge uni-
formemente en R.
(d) Hallar la serie de Fourier en [−π, π] de h(t) = log(1− 2a cos t+ a2).
(e) Calcular∫ π−π log(1− 2a cos t+ a2) dt.
Bibliografıa
Existe una abundante bibliografıa sobre series e integracion. Los libros que a
continuacion se enumeran constituyen solo una pequena parte. Cada uno de ellos
ha podido ser usado en la elaboracion de alguna o algunas secciones de estas notas,
pero hay que tener en cuenta que el enfoque de los temas a tratar puede variar
de libro a libro. Por supuesto, todos contienen mucho mas material adicional, que
puede ayudar al lector interesado tanto a profundizar en la teorıa dada aquı como a
introducirse en temas nuevos. Ademas, la mayorıa de los textos sugeridos contienen
listados de ejercicios y problemas sobre las materias tratadas, y en algunos casos
se dan sugerencias para resolverlos. Debe observarse que algunos de los libros que
se citan abajo estan completamente dedicados a resolver o proponer ejercicios.
• T.M. Apostol, Analisis Matematico, 2a ed., Reverte, Barcelona, 1991.
• T.M. Apostol, Calculus, 2a ed., Reverte, Barcelona, 1998.
• S.K. Berberian, Introduccion al espacio de Hilbert, Teide, Barcelona, 1977.
• H.S. Bear, A Primer of Lebesgue Integration, 2nd ed., Academic Press, New
York, 2002.
• J. Casasayas y M.C. Cascante, Problemas de analisis matematico de una
variable real, Edunsa, Barcelona, 1990.
• G. Chilov, Analyse Mathematique, Mir, Moscou, 1975.
• D.L. Cohn, Measure Theory, Birkauser, Boston, 1997.
151
152 Luis Bernal Gonzalez
• B.P. Demidovich, 5000 problemas de analisis matematico, 3a ed., Paraninfo,
Madrid, 1985.
• M. Guzman y B. Rubio, Problemas, conceptos y metodos del analisis mate-
matico, Piramide, Madrid, 1993.
• M. Guzman y B. Rubio, Integracion: Teorıa y Tecnicas, Alhambra, Madrid,
1979.
• T. Hawkins, Lebesgue theory of integration: its origins and development,
Chelsea, USA, 1975.
• F. Jones, Lebesgue Integration on Euclidean Space, Jones and Bartlett, Sud-
bury MA, 2001.
• A.N.K. Kolmogorov y S.V. Fomin, Elementos de la teorıa de funciones y del
analisis funcional, Mir, Moscu, 1975.
• H.L. Royden, Real analysis, 3a ed., MacMillan, New York, 1988.
• B. Rubio, Funciones de variable real, B. Rubio, Madrid, 2006.
• W. Rudin, Analisis real y complejo, Alhambra, Madrid, 1987.
• W. Rudin, Principios de analisis matematico, 3a ed., MacGraw-Hill, Madrid,
1980.
• M. Spivak, Calculus, 2a ed., Reverte, Barcelona, 1996.
• A.J. White, Introduccion al analisis real, Promocion cultural, Barcelona,
1973.
• H.J. Wilcox and D.L. Myers, An Introduction to Lebesgue Integration and
Fourier Series, Dover Publication Inc., New York, 1994.
Lista de sımbolos y
abreviaturas
STP = serie de terminos positivos
SP = serie de potencias
VPC = valor principal de Cauchy
A := B ≡ el objeto A se define como el objeto ya conocido B∑∞n=1 an ≡ serie numerica de termino general an∑∞n=1 fn(x) ≡ serie de funciones de termino general fn
U(f, P ) = suma superior de Riemann de f respecto de la particion P
L(f, P ) = suma inferior de Riemann de f respecto de la particion P
[x] = parte entera del numero real x.
d(x, y) = distancia entre x e y en un espacio metrico
‖ · ‖ = norma en un espacio vectorial
‖ · ‖1 = norma en el espacio L1(X)
N = conjunto de los numeros naturales
N0 = N ∪ {0}
Z = conjunto de los numeros enteros
Q = conjunto de los numeros racionales
R = conjunto de los numeros reales
C = conjunto de los numeros complejos
Re z = parte real del numero complejo z
153
154 Luis Bernal Gonzalez
Im z = parte imaginaria del numero complejo z
A0 = interior del conjunto A
A = clausura, cierre o adherencia del conjunto A
∂A = frontera del conjunto A
m = medida de Lebesgue
L = σ-algebra de los subconjuntos medibles Lebesgue de R
P (X) = conjunto de los subconjuntos del conjunto X
x+ A = {x+ u : u ∈ A}λA = {λx : x ∈ A}C(S) = espacio de las funciones continuas S → R
CN(I) = espacio de las funciones diferenciables con continuidad
hasta orden N en el intervalo I
C∞(I) = espacio de las funciones infinitamente diferenciables en
el intervalo I
Cω(x0) = espacio de las funciones analıticas en el punto x0
Cω(I) = espacio de las funciones analıticas en el intervalo I
Cc(R) = espacio de las funciones continuas en R de soporte compacto
L1(X) o L1(µ,X) = espacio de las funciones integrables en X
respecto de la medida µ
L1(X) = espacio de las clases de equivalencia de funciones
integrables en X
R[a, b] = espacio de las funciones integrables Riemann en [a, b]
RSg[a, b] = espacio de las funciones Riemann–Stieltjes en [a, b]
respecto de g
S(R) = espacio de las funciones escalonadas
Indice alfabetico
Fσ-conjunto, 82
Gδ-conjunto, 82
σ-algebra, 73
de Borel, 86
generada por una familia de subconjuntos, 86
Antiderivacion, 17
Asociatividad de una serie, 10
campo o dominio de convergencia de una sucesion
funcional, 38
Coeficientes
de Fourier, 137
de MacLaurin, 66
de Taylor, 66
Coeficientes de la SP, 58
Complementario de un conjunto, 73
Condicion
de Cauchy de convergencia de integrales im-
propias, 30
de Cauchy de convergencia uniforme de series
de funciones, 51
de Cauchy de convergencia uniforme de suce-
siones de funciones, 39
de Jordan–Dini, 143
necesaria de convergencia de series, 11
necesaria de convergencia uniforme de series,
52
Conjunto
boreliano o de Borel, 86
de Cantor, 87
de Vitali, 72, 88
medible, 72, 73
medible Caratheodory, 79
medible Lebesgue, 81
Convergencia
puntual o simple, 38
uniforme, 38
Coseno hiperbolico, 70
Criterio
de convergencia de Dirichlet, 14
de Abel de convergencia uniforme de series, 56
de Cauchy de convergencia de series, 11
de comparacion, 13
de comparacion para integrales impropias, 32
de comparacion por paso al lımite, 13
de comparacion por paso al lımite para inte-
grales impropias, 32
de condensacion de Cauchy, 13
de convergencia de Abel, 14
de convergencia de la raız o de Cauchy, 13
de convergencia de Leibniz, 14
de convergencia de Pringsheim, 21
de convergencia de Raabe–Duhamel, 13
de Dirichlet de convergencia uniforme de se-
ries, 55
de Lebesgue de integrabilidad Riemann, 119
del cociente o de D’Alembert, 13
integral de MacLaurin de convergencia de se-
ries numericas, 33
logarıtmico, 22
M de Weierstrass, 52
mayorante de Weierstrass para la convergencia
uniforme, 52
mayorante para integrales impropias, 32
Criterios de convergencia de STPs, 13
Desigualdad de Chebyshev, 104
Diferencia entre dos conjuntos, 73
Distancia, 122
155
156 Luis Bernal Gonzalez
Espacio
de Banach, 123
de medida, 73
inducido, 74
de sucesos, 73
metrico, 122
medible, 73
normado, 121
Formula
de Cauchy–Hadamard, 58
de integracion por partes, 19
de Lagrange del resto, 67
de sumacion de Abel, 56, 64
del cambio de variables, 19
Funcion
analıtica, 65
beta, 36
caracterıstica de un subconjunto, 91
continua de soporte compacto, 123
de variacion acotada, 19
entera, 68
escalonada, 123
gamma de Euler–Gauss, 36
impar, 128, 137
integrable Lebesgue, 105
integrable Riemann, 15
medible, 93
medible Lebesgue, 93
par, 128, 137
periodica, 128, 135
Riemann-Stieltjes integrable, 20
simple, 92
simple medible, 92
superior de una funcion, 110
zeta de Riemann, 55
Identidad de Parseval, 140
Integral
de Lebesgue de una funcion medible, 105
de Lebesgue de una funcion simple no negati-
va, 99
de Riemann, 15
de Riemann-Stieltjes, 20
impropia absolutamente convergente, 31
impropia de primera especie, 26
impropia de Riemann–Stieltjes, 36
impropia de segunda especie, 28
indefinida, 18
inferior de Darboux, 15
mixta, 29
parametrica, 129
superior de Darboux, 15
Intervalo de convergencia, 58
Lımite
puntual o simple, 38
uniforme, 38
Lema
de Borel–Cantelli, 88
de Fatou, 116
de Riemann–Lebesgue, 138
Linealidad para series, 10
Metodo de los coeficientes indeterminados, 68
Medida, 72, 73
σ-finita, 74
cardinal, 74
completa, 74
de Lebesgue, 81
de probabilidad, 73
exterior, 76
exterior de Lebesgue, 78
exteriormente regular, 85
finita, 73
interiormente regular, 85
positiva, 73
Nucleo de Dirichlet, 141
Numero combinatorio generalizado, 67
Norma, 121
Norma-1, 123
Partes positiva y negativa de una funcion, 17
Particion de un intervalo, 15
Perıodo de una funcion, 135
Permutacion de N, 12
Poligonal, 47
Indice alfabetico 157
Primer teorema fundamental del Calculo, 18
Primitiva de un funcion, 18
Problema de la medida, 72
Procedimiento de Caratheodory, 79
Propiedad
conmutativa de las STPs, 12
distributiva para series, 10
reproductiva de la funcion gamma, 36
Radio de convergencia, 58
Recta real ampliada, 74
Regla de Barrow, 18
Segundo teorema fundamental del Calculo, 18
Seminorma, 121
Seno hiperbolico, 70
Serie, 9
absolutamente convergente, 11
alternada, 14
anarmonica, 14
condicionalmente convergente, 12
convergente, 10
de cosenos, 148
de Dirichlet, 55
de funciones, 49
de MacLaurin, 66
de potencias, 58
de senos, 148
de terminos positivos, 11
de Taylor, 66
divergente, 10
incondicionalmente convergente, 12
numerica, 9
oscilante, 10
reordenada, 12
trigonometrica de Fourier, 137
Sistema
exponencial, 149
ortogonal, 140, 149
trigonometrico, 149
Soporte de una funcion, 109
Subconjunto denso en un espacio metrico, 123
Sucesion de funciones, 37
Suceso, 73
Suma
de una serie, 10
inferior de Riemann, 15
superior de Riemann, 15
Teorema
de Abel, 64
de aproximacion de Weierstrass, 147
de aproximacion por funciones simples, 96
de B. Levi de la convergencia monotona, 113
de caracterizacion de funciones integrables, 107
de caracterizacion de funciones medibles, 93
de Caratheodory, 79
de Carleson, 147
de continuidad de integrales parametricas, 130
de convergencia uniforme de Dini, 47
de derivabilidad de integrales parametricas, 131
de estructura de conjuntos medibles Lebesgue,
84
de Fejer, 147
de Lebesgue de la convergencia dominada, 117
de localizacion de Riemann, 142
de Pringsheim, 66
de representacion integral de las sumas parcia-
les de una serie de Fourier, 141
de Riemann–Dirichlet, 13
del valor medio integral, 17
generalizado del valor medio integral, 24
Valor medio integral, 17
Valor principal de Cauchy, 27
Variable aleatoria, 93