1Emilio Picasso

Series Cronológicas

2Emilio Picasso

Introducción

3Emilio Picasso

Series CronológicasDefinición

t: tiempo, espacio, variable que induce un orden.

1 2 (equiespaciada)

Población Proceso estocástico ( )

Muestra , ... Serie cronológica n t

x z t

x x x z

4Emilio Picasso

Series CronológicasMomentos

2 2

0

0

( ) ( )

( ) ( )

( ( ); ( )) autocovarianza de rezago

autocorrelación de rezago

Observación:

z

k

k

k

k k

t z t

t z

z t z t k k

k

E

E

V

5Emilio Picasso

Series CronológicasEstacionariedad

Proceso estacionario (estricto):

» Un proceso estacionario tiene la función de densidad de probabilidad constante, por

lo tanto todos sus momentos son constantes.

Proceso débilmente estacionario:

» El caso más importante es para m=2:

» La estacionariedad estricta es difícil de determinar.

» Si coinciden las definiciones de estacionariedad estricta y débil.

1 2 1 21 2( ) estacionario , , ... : ( , ,..., ) ( , ,..., )m mm t t t t h t h t hz t m t t t f z z z f z z z

Sus momentos hasta el orden son constantes( ) estacionario de orden z t m m

kcte cte

:z N

6Emilio Picasso

Series CronológicasEstacionariedad

Cantidad diaria de autos defectuosos

Rendimiento diario Merval Demanda anual de Tabaco

Estacionaria en y 2 Estacionaria en pero no en 2 No estacionaria

7Emilio Picasso

Series CronológicasEstacionalidad y Ciclo

Demanda trimestral de cerveza Precio mensual del polipropileno

8Emilio Picasso

Series Cronológicas

300

400

500

600

700

800

900

1000

83 88 93 98 3 8

Producción de Leche

9Emilio Picasso

Series CronológicasMomentos Empíricos

Dada la serie (muestra):

Son necesarias muestras grandes porque la autocorrelación puede “retener” al

proceso en una zona durante cierto tiempo.

1

1

2 210 0

1

1

1

0

ˆ

ˆˆ ( )

ˆ ( )( )

ˆˆ

ˆ

T

tTt

T

z tTt

T k

k k t t kTt

k

k k

z z

c z z

c z z z z

r

1 2, ,... Tz z z

10Emilio Picasso

Modelo de Filtro Lineal

11Emilio Picasso

Series CronológicasNotación de Operadores

Definición:

Propiedades:

» Estos operadores son lineales y forman un álgebra conmutativa con las operaciones

suma y composición.

1

1

1

1

Retroceso:

Avance:

Diferencia:

Suma:

t t

t t

t t t

t t

Bz z

Fz z

z z z

Sz z

1

1 2

0

1

(1 ) (1 ...)

m

t t m

t t t t j

j

B z z F B B

Sz B z B B z z

12Emilio Picasso

Series CronológicasModelo de Filtro Lineal

ta tz

FiltroLineal

2: ruido blanco o innovación: VA indep. con: 0t t ta a a E V

( )t tz B a

2

1 2con: ( ) 1 ... función de transferenciaB B B

1 1 2 2 ...t t t tz a a a

13Emilio Picasso

Series CronológicasModelo de Filtro Lineal – Forma Autoregresiva

Asumiendo que la serie está centrada (sin pérdida de generalidad):2

1 2

2

1 2

forma de media móvil

forma autorregresiva

( ) ( ) 1 ...

( ) ( ) 1 ...

t t

t t

z B a B B B

B z a B B B

1( ) ( ) ( ) ( ) 1B B B B

2 3

1 2 3

2 3

1 2 3

2 3 4

1 1 1 1 1 2 1 3

2 2 3 4 5

2 2 2 1 2 2 2 3

3 3 4 5 6

3 3 3 1 3 2 3 3

1

1 1

B B B

B B B

B B B B B

B B B B B

B B B B B

1 1

2 1 1 2

3 2 1 1 2 3

0

0

0

:

1 1

1 1

j j

j j j i i j j i j i

i i

Permiten el cálculo recurrente

14Emilio Picasso

Modelos EstacionariosARMA(p,q)

15Emilio Picasso

Modelos de Media Móvil MA(q)

Definición:

Estacionariedad:

» Como es finito siempre converge. Luego son siempre estacionarios.

Invertibilidad:

» Expresando el modelo en su forma auto-regresiva a veces los

coeficientes j aumentan con el rezago. Esto no tiene sentido práctico, y se dice que

el modelo no es invertible.

2

1 2

( )

( ) 1 . . .

t t

q

q

z B a

B B B B

: centradatz

( ) ( )B B

( ) t tB z a

( ) invertible / ( ) 0 : 1t tz B a B B B

16Emilio Picasso

Modelos de Media Móvil MA(q)Momentos

Varianza:

» Todos los términos cruzados tienen entonces:

Auto-covarianzas:

Estas ecuaciones permiten estimar y , pero esta estimación por momentos

no es buena.

2 2

0 ( ( ) )t tz B a E E

0t sa a E

2 2 2 2

0 1 2(1 ... )q

[ ( ) ( ) ]k k t t k t t kz z B a B a E E

2

1 1 2 2( ... )k k k k q q k

0

k

k

2 j

17Emilio Picasso

Modelos Auto-Regresivos AR(p)

Definición:

Estacionariedad:

Invertibilidad:

» Como es finito siempre converge. Luego son siempre invertibles.

» Si bien los coeficientes pueden crecer con el rezago, esto no continúa

indefinidamente pues para .

2

1 2

( )

( ) 1 . . .

t t

p

p

B z a

B B B B

: centradatz

( ) ( )B B

0 j j p

( ) estacionario / ( ) 0 : 1t tB z a B B B

18Emilio Picasso

Modelos Auto-Regresivos AR(p)Momentos

Varianza:

» Pero

» Porque con son independientes de , entonces:

2

0 1 1 2 2

1 1 2 2

[ ( ... )]

... [ ]

t t t t p t p t

p p t t

z z z z z a

z a

E E

E

2

1 1 2 2[ ] [( ... ) ]t s t t p t p t tz a z z z a a E E

2

0 1 1 2 2 ... p p

1 t j tjz a

2

0

1 1 2 21 ... p p

19Emilio Picasso

Modelos Auto-Regresivos AR(p)Momentos

Auto-covarianzas:

» Pues

Estas ecuaciones permiten estimar y , aunque las estimaciones por máxima

verosimilitud o cuadrados mínimos son mejores.

1 1 2 2 ...k k k p k p

2 j

1 1 2 2

1 1 2 2

[ ( ... )]

...

k t t k t t k t k p t k p t k

k k p k p

z z z z z z a

E E

indep de si 1 t k t ka z

1 1 2 2 ...k k k p k p

Ecuaciones deYule-Walker

20Emilio Picasso

Modelos ARMA(p,q)

Definición:

Estacionariedad:

» Un modelo ARMA es estacionario cuando su parte AR lo es.

Invertibilidad:

» Un modelo ARMA es invertible cuando su parte MA lo es.

2

1 2

2

1 2

( ) ( )

( ) 1 . . ....

( ) 1 . . .

t t

p

p

q

q

B z B a

B B B B

B B B B

: centradatz

( ) ( ) estacionario / ( ) 0 : 1t tB z B a B B B

( ) ( ) invertible / ( ) 0 : 1t tB z B a B B B

21Emilio Picasso

Modelos ARMA(p,q)Inversión

Reemplazando por en vertical:

Entonces:

» Que permite el cálculo recurrente de pues las se anulan para

.

1 1 2 2 1 1 2 2

0

1 1 1 0 1 1 1

2 2 1 1 2 2 0 2

......... .........

- a

- a - a

t t t p t p t t t q t q

t t

t t t

t t t

z z z z a a a a

a a

a a

a

2 2

3 3 1 2 3 2 1 3 3 3

- a - a

:

t

t t t t

a

a a

tz0

j t ja

1

j i j i j

i

j ,j j y i p j q

22Emilio Picasso

Modelos ARMA(p,q)Selección del Modelo

Los procesos MA(q) se detectan por la función de auto-correlación ya que:

Se demuestra que:

» Que permite ensayar y determinar q.

» Hay que considerar la reducción de a por ensayos simultáneos:

: 0kk q

21

1

: : (0; (1 2 ))q

k jTj

k q r

N

0 ) 0kH

1 (1 )ra a

23Emilio Picasso

Modelos ARMA(p,q)Selección del Modelo

Los procesos AR(p) se detectan por la función de auto-correlación parcial.

Las ecuaciones de Yule-Walker permiten estimar los j

El coeficiente p es la correlación entre zt y zt-p después de eliminar el efecto de zt-1

, zt-2 ,… zt-p+1 sobre zt :

Entonces se lo llama auto-correlación parcial de orden p:

Para cada k se puede estimar por Yule-Walker. Si se encuentra un

entonces el proceso es AR(p) con p=k-1.

1 1 2 2 ...k k k p k p

1 1 2 2 ...t t t p t p tz z z z a

pp

kk 0kk

24Emilio Picasso

Modelos ARMA(p,q)Selección del Modelo

Se demuestra que en un AR(p):

» Que permite ensayar y determinar p.

» Hay que considerar la reducción de a por ensayos simultáneos:

Los modelos ARMA(p,q) sólo pueden validarse después de ser estimados.

1ˆ: : (0; )kk Tk p N

0 ) 0kkH

1 (1 )ra a

25Emilio Picasso

Procesos No EstacionariosARIMA(p,d,q)

26Emilio Picasso

Procesos No Estacionarios

Se puede modelar a tendencia en función del tiempo y otras variables

(lineal, exponencial, etc.) y los residuos estacionarios por ARMA. O hacerlo

simultáneamente: ARMAX (no lineales).

Pero a veces el proceso pasa largas temporadas sobre o bajo la media.

Si alguna |B|< 1 el proceso diverge inexorablemente y pierde interés como proceso

estocástico. Ej: crecimiento bacteriano ad-libitum.

Si alguna |B|= 1 el proceso no es estacionario pero no diverge: es homogéneo.

Cuando B es compleja o B = -1 el proceso toma formas regulares artificiales.

Entonces el caso de interés práctico es B = 1.

( ) ( ) estacionario / ( ) 0 : 1t tB z B a B B B

27Emilio Picasso

Procesos No Estacionarios

Si hay d raíces unitarias B = 1:

Que es un modelo ARIMA(p,d,q)

» Donde la serie es estacionaria.

Se llama “integrado” porque

» Donde la serie es estacionaria.

( ) ( )(1 ) ( )d dB B B B

( ) ( )d

t tB z B a

d

tz

d d

t t t tz w z S w

tw

28Emilio Picasso

Procesos No Estacionarios

En la práctica d = 1 o 2, y los modelos más comunes son:

Los procesos integrados pueden ser difíciles de distinguir:

» Si son muy parecidos, aunque sus comportamientos futuros pueden ser bien

diferentes.

1 1

2

1 1 2 2

(1,1) :

(2,2) :

t t t

t t t t

IMA z a a

IMA z a a a

1 1

1 1

(1,1) :

(1,1) :

t t t t

t t t t

ARMA z z a a

IMA z z a a

1

29Emilio Picasso

Procesos No Estacionarios

Un correlograma largo es señal de un proceso no estacionario. Las series

diferenciadas deben mostrar correlogramas cortos.

Ejemplos de procesos no estacionarios:

» Precio de activos financieros.

» Ventas de algunos productos.

30Emilio Picasso

Pronóstico

31Emilio Picasso

Pronóstico

Dada la serie zt (centrada) observada en el instante t:

Expresando la serie según el modelo de filtro lineal:

Se define el pronóstico como:

» Donde Et : esperanza en el instante t .

Ahora:

Entonces:

( ) pronóstico para el instante con datos hasta el instante ( : lead time)

valor futuro de la serie en el instante , aleatorio.

ˆ :

:

t

t l

l t l t l

t l

z

z

1 1 2 2 ... ...t t t t j t jz a a a a

( )ˆt t t llz z E

2

conocido (no observado)

aleatorio

: 0

: 0

j t j j t j

j t j t j

j t a a a a

j t a a a

E V

E V

1 1 2 2 1 1( )ˆ [ ... ...]t t t l t t l t l t l l t l tlz z a a a a a E E

1 1( )ˆ ...t l t l tlz a a

32Emilio Picasso

Pronóstico

El error de pronóstico es:

1 1 2 2 1 1( )

El error mínimo cuadrático concide con la varianza y es mínimo

ˆ ... ...

0

t l t t l t l t l l t

t

lz z a a a a

E

1 1 2 2 1 1[ ... ...]t t l t l t l t l l t l tz a a a a a V V

2 2 2

1 1(1 ... )t t l lz V Que permite hacer el intervalo de pronóstico

33Emilio Picasso

Pronóstico

Naturaleza de los impulsos aleatorios:

» El impulso aleatorio es el error de pronóstico con lead time = 1

1 1 2 2

1 2 1

1 1 1 2 2

1

(1)

(1)

(1)

...

ˆ ...

ˆ ...

ˆ

t t t t

t t t

t t t

t t t

z a a a

z a a

z a a

z z a

34Emilio Picasso

Pronóstico a partir de un Modelo ARIMA

Todo modelo ARIMA(p,d,q) puede expresarse como una modelo ARMA(p+d,q).

Entonces, sin pérdida de generalidad analizaremos un modelo ARMA.

Por ejemplo para el ARMA(3,2):

Ahora:

Entonces:

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2( )ˆ

t t t t t t t

t l t l t l t l t l t l t l

t t t l t t l t t l t t l t t l t t l t t ll

z z z z a a a

z z z z a a a

z z z z z a a a

E E E E E E E

1 (1):

ˆ

t j j

t j j j

z zj t

a z z

E

E( )ˆ

:0

t j t

t j

j tz zj t

a

E

E

1 2 1 3 2 1 2 1

1 2 3 1 2

1 2 3

1 2 3

(1)

(2) (1)

(3) (2) (1)

(4) (3) (2) (1)

ˆ 0

ˆ ˆ 0 0

ˆ ˆ ˆ 0 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 0

:

t t t t t t

t t t t t

t t t t

t t t t

z z z z a a

z z z z a

z z z z

z z z z

35Emilio Picasso

Pronóstico a partir de un Modelo ARIMA

Para un modelo ARI los predictores se calculan recursivamente hacia el futuro.

Cuando el modelo tiene componentes MA , el calculo se inicia ab aeterno. En la

práctica en el pasado remoto: t-h , cuando se puede despreciar at-h , no por pequeño

sino porque casi no influye sobre el presente.

Asumiendo se pueden estimar a partir de estas

h+1 ecuaciones recursivamente empezando de la ultima.

1 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2

2 1 1 1 2 2 3 3 4 1 1 2 2 3

1 1 1 2 1 3 2 1 1 2 1

1

(1)

(1)

(1)

(1)

ˆ

ˆ

:

ˆ

ˆ

t t t t t t t t t t

t t t t t t t t t t

t h t t h t h t h t h t h t h t h t h

t h t

z z z z z z a a a

z z z z z z a a a

z z z z z z a a a

z

E

E

E

E 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2t h t h t h t h t h t h t h t hz z z z z a a a

1: 0t jj h a ...t h ta a

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 , 1...0t h t j t j t j t j t j t ja z z z z a a j h h

36Emilio Picasso

Pronóstico a partir de un Modelo ARIMA

Con las se pueden calcular los pronósticos:

Sólo se usan:

Bandas de pronostico:

...t h ta a ( )ˆt lz

1...t t qa a

1 /2

2 2 2

1 1

( ) ˆˆ:

ˆ ˆˆ ˆ(1 ... )

t l

t l

t l t z

z l

lz z z a