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FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS
COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS CÁLCULO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
Ejercicios del tema 4 La derivada y aplicaciones
Semestre 2016-1
1.- Utilizando la definición de derivada (Método de los cuatro pasos), calcular la derivada de las
siguientes funciones:
a) 2 1f x x en el punto de abscisa 2.
b) sec 2f x x en el punto de abscisa 2
.
2.- Obtener dy
dx para cada inciso:
3 2 2
1 4 4) ( )
3a f x
x x x
2
2 3) ( )
3 3
xb g x
x
3c) ( ) 3 2 3h x x x
d) ln 2y sen x
1) tane y h x
3.- Obtener :dy
dx
2 2) 3
x ya xy
y x
)b sen y x
2 3) 6 tan 7 4c ang xy x y
3 3
) cos2
x yd xy
xy
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4.- Obtener :dy
dx
24
2
2
22
3
3
4
) 4
) ln 5 4
4 4) ln
6 1
4d) log
8 5
xa y
b y x
xc y
x
xy
x
5.- Obtener :dy
dx
23 5) xa y e
34 2
1
4
)
) cot
d) 3 sec
) tan 4
x x
xx
x
b y e e
c y e
y h e
e y h x
6.- Obtener
5
5
d y
dxsi sen h (2 )y x .
7.- Sea la curva que tiene por ecuaciones paramétricas:
4cosC : .
3
x t
y sent
En qué puntos la recta tangente a la curva C es paralela al eje X.
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8.- Sea la curva de ecuación
2 2: 9 36 4 24 36C x x y y
Determinar las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva C y las cuales son paralelas a la
recta de ecuación 0.y
9.- Sea la curva definida paramétricamente por
4sec: .
3tan
xM
y
Determinar la ecuación cartesiana de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la
gráfica de la curva M en el punto (4,0).A
10.- Sea 2
2 0.
0
sen x si xf x
x si x
Determinar si f es derivable en 0.x
11.- Sea la función
2
2
2 1 1
1 1
ax x si xf x
x bx si x
Determinar el valor de a y el valor de b para que la función sea continua y derivable en
1.x
12.- a) Un móvil se desplaza a lo largo de la curva de ecuación
2128 8 ,x t t
donde t está medido en segundos. Calcular la rapidez dx
dt en el instante que 3.t
b) La desintegración radioactiva de cierto material está dada por ( ) kt
oC t c e donde oc es
la cantidad inicial, k es una constante de desintegración. Obtener ( )C t en 0.t
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13.- En un globo esférico se escapa gas a razón de
3
2000 .min
cm Calcular la rapidez con la que
disminuye el área de la superficie cuando el radio es 10 .cm
14.- Un camión va por una carretera hacia el oeste, a 300 metros al norte está un radar. En el
radar se observa que el camión se está alejando a una razón de 80 metros por cada segundo. Cuál es la rapidez con la que se aleja el camión cuando esté se encuentra a 500 km del radar.
15.- Se va a pintar exteriormente un cubo en donde la longitud en uno de sus lados es 2 metros, con una capa de pintura de 0.0002 m de espesor. Empleando diferenciales, calcular un valor aproximado de la cantidad de litros de pintura que será necesario.
E
N
O
S
y
Camión
300
Radar
x