Seminario ESFMIntroducción a los límites inversos

Rocío Leonel

11 de octubre de 2018

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 1 / 20

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 2 / 20

¿Por qué límites inversos y para qué?

Herramienta que nos ayuda a crear espaciostopológicos con determinadas características.

Sirven para modelar ciertos problemas; crecimientode población (bacterias), economía, entre otros.

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 3 / 20

¿Por qué límites inversos y para qué?

Herramienta que nos ayuda a crear espaciostopológicos con determinadas características.Sirven para modelar ciertos problemas; crecimientode población (bacterias), economía, entre otros.

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 3 / 20

Espacios Topológicos

Espacios métricos, compactos, conexos y no vacíos.

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 4 / 20

Espacios Topológicos

Espacios métricos, compactos, conexos y no vacíos.

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 4 / 20

Más ejemplos

Grá�cas

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 5 / 20

Más ejemplos

Grá�cas

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 5 / 20

Cerradura de la grá�ca de la función sen(1/x)

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 6 / 20

Cerradura de la grá�ca de la función sen(1/x)

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 6 / 20

Knaster o herradura de Smale

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 7 / 20

Knaster o herradura de Smale

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 7 / 20

Límites Inversos

Espacios topológicos; Xi espacio topológico paracada i = 1, 2, ...

Funciones de ligadura: fi : Xi+1 ! Xi continua paracada i = 1, 2, ...

El límite inverso de los espacios Xi con las funcionesde ligadura fi se de�ne como:f(x1, x2, ...) 2 Π∞

i=1Xi : fi (xi+1) = xi para cadai 2 Nglim fXi , fig

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 8 / 20

Límites Inversos

Espacios topológicos; Xi espacio topológico paracada i = 1, 2, ...Funciones de ligadura: fi : Xi+1 ! Xi continua paracada i = 1, 2, ...

El límite inverso de los espacios Xi con las funcionesde ligadura fi se de�ne como:f(x1, x2, ...) 2 Π∞

i=1Xi : fi (xi+1) = xi para cadai 2 Nglim fXi , fig

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 8 / 20

Límites Inversos

Espacios topológicos; Xi espacio topológico paracada i = 1, 2, ...Funciones de ligadura: fi : Xi+1 ! Xi continua paracada i = 1, 2, ...

El límite inverso de los espacios Xi con las funcionesde ligadura fi se de�ne como:f(x1, x2, ...) 2 Π∞

i=1Xi : fi (xi+1) = xi para cadai 2 Nglim fXi , fig

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 8 / 20

Límites Inversos

Espacios topológicos; Xi espacio topológico paracada i = 1, 2, ...Funciones de ligadura: fi : Xi+1 ! Xi continua paracada i = 1, 2, ...

El límite inverso de los espacios Xi con las funcionesde ligadura fi se de�ne como:

f(x1, x2, ...) 2 Π∞i=1Xi : fi (xi+1) = xi para cada

i 2 Nglim fXi , fig

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 8 / 20

Límites Inversos

Espacios topológicos; Xi espacio topológico paracada i = 1, 2, ...Funciones de ligadura: fi : Xi+1 ! Xi continua paracada i = 1, 2, ...

El límite inverso de los espacios Xi con las funcionesde ligadura fi se de�ne como:f(x1, x2, ...) 2 Π∞

i=1Xi : fi (xi+1) = xi para cadai 2 Ng

lim fXi , fig

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 8 / 20

Límites Inversos

Espacios topológicos; Xi espacio topológico paracada i = 1, 2, ...Funciones de ligadura: fi : Xi+1 ! Xi continua paracada i = 1, 2, ...

El límite inverso de los espacios Xi con las funcionesde ligadura fi se de�ne como:f(x1, x2, ...) 2 Π∞

i=1Xi : fi (xi+1) = xi para cadai 2 Nglim fXi , fig

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 8 / 20

Observaciones

lim fXi , fig � X1� X2� X3� � � �

Asociar una topologíaBajo ciertas condiciones lim

fXi , fig es conexo,

compacto y no vacío.

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 9 / 20

Observaciones

lim fXi , fig � X1� X2� X3� � � �

Asociar una topología

Bajo ciertas condiciones lim fXi , fig es conexo,

compacto y no vacío.

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 9 / 20

Observaciones

lim fXi , fig � X1� X2� X3� � � �

Asociar una topologíaBajo ciertas condiciones lim

fXi , fig es conexo,

compacto y no vacío.

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 9 / 20

Ejemplos

Límites Inversos en el intervalo [0,1]

Xi = [0, 1] para cada i = 1, 2, ...

f : [0, 1]! [0, 1] continua y f = fi para cadai = 1, 2, ...

lim f[0, 1] , f g = f(x1, x2, ...) 2 Π∞

i=1 [0, 1] : xi =

f (xi+1) para cada i 2 Ng

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 10 / 20

Ejemplos

Límites Inversos en el intervalo [0,1]Xi = [0, 1] para cada i = 1, 2, ...

f : [0, 1]! [0, 1] continua y f = fi para cadai = 1, 2, ...

lim f[0, 1] , f g = f(x1, x2, ...) 2 Π∞

i=1 [0, 1] : xi =

f (xi+1) para cada i 2 Ng

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 10 / 20

Ejemplos

Límites Inversos en el intervalo [0,1]Xi = [0, 1] para cada i = 1, 2, ...

f : [0, 1]! [0, 1] continua y f = fi para cadai = 1, 2, ...

lim f[0, 1] , f g = f(x1, x2, ...) 2 Π∞

i=1 [0, 1] : xi =

f (xi+1) para cada i 2 Ng

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 10 / 20

Ejemplos

Límites Inversos en el intervalo [0,1]Xi = [0, 1] para cada i = 1, 2, ...

f : [0, 1]! [0, 1] continua y f = fi para cadai = 1, 2, ...

lim f[0, 1] , f g = f(x1, x2, ...) 2 Π∞

i=1 [0, 1] : xi =

f (xi+1) para cada i 2 Ng

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 10 / 20

(x1, x2, ...) 2 lim f[0, 1] , f g

xi = f (xi+1) para cada i 2 N

x1 = 0, x2 = 0, xi = 0

(0, 0, 0, .....) 2 lim f[0, 1] , f g

lim f[0, 1] , f g � [0, 1]

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 11 / 20

(x1, x2, ...) 2 lim f[0, 1] , f g

xi = f (xi+1) para cada i 2 N

x1 = 0, x2 = 0, xi = 0

(0, 0, 0, .....) 2 lim f[0, 1] , f g

lim f[0, 1] , f g � [0, 1]

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 11 / 20

(x1, x2, ...) 2 lim f[0, 1] , f g

xi = f (xi+1) para cada i 2 N

x1 = 0, x2 = 0, xi = 0

(0, 0, 0, .....) 2 lim f[0, 1] , f g

lim f[0, 1] , f g � [0, 1]

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 11 / 20

(x1, x2, ...) 2 lim f[0, 1] , f g

xi = f (xi+1) para cada i 2 Nx1 = 0, x2 = 0, xi = 0

(0, 0, 0, .....) 2 lim f[0, 1] , f g

lim f[0, 1] , f g � [0, 1]

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 11 / 20

(x1, x2, ...) 2 lim f[0, 1] , f g

xi = f (xi+1) para cada i 2 Nx1 = 0, x2 = 0, xi = 0

(0, 0, 0, .....) 2 lim f[0, 1] , f g

lim f[0, 1] , f g � [0, 1]

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 11 / 20

(x1, x2, ...) 2 lim f[0, 1] , f g

xi = f (xi+1) para cada i 2 Nx1 = 0, x2 = 0, xi = 0

(0, 0, 0, .....) 2 lim f[0, 1] , f g

lim f[0, 1] , f g � [0, 1]

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 11 / 20

Resultado

TEOREMA:Si Xi = X para cada i 2 N, y fi es unhomeomor�smo para cada i 2 N, entonceslim fXi , fig es homeomorfo a X .

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 12 / 20

ResultadoTEOREMA:

Si Xi = X para cada i 2 N, y fi es unhomeomor�smo para cada i 2 N, entonceslim fXi , fig es homeomorfo a X .

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 12 / 20

ResultadoTEOREMA:Si Xi = X para cada i 2 N, y fi es unhomeomor�smo para cada i 2 N, entonces

lim fXi , fig es homeomorfo a X .

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 12 / 20

ResultadoTEOREMA:Si Xi = X para cada i 2 N, y fi es unhomeomor�smo para cada i 2 N, entonceslim fXi , fig es homeomorfo a X .

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 12 / 20

f (x) = 12x

si x1 = 12�

12 , x2, x3, ...

�/2 lim f[0, 1] , f g

lim f[0, 1] , f g

lim f[0, 1] , f g = f(0, 0, ......)g � f0g

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 13 / 20

f (x) = 12x

si x1 = 12�

12 , x2, x3, ...

�/2 lim f[0, 1] , f g

lim f[0, 1] , f g

lim f[0, 1] , f g = f(0, 0, ......)g � f0g

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 13 / 20

f (x) = 12x

si x1 = 12

�12 , x2, x3, ...

�/2 lim f[0, 1] , f g

lim f[0, 1] , f g

lim f[0, 1] , f g = f(0, 0, ......)g � f0g

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 13 / 20

f (x) = 12x

si x1 = 12�

12 , x2, x3, ...

�/2 lim f[0, 1] , f g

lim f[0, 1] , f g

lim f[0, 1] , f g = f(0, 0, ......)g � f0g

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 13 / 20

f (x) = 12x

si x1 = 12�

12 , x2, x3, ...

�/2 lim f[0, 1] , f g

lim f[0, 1] , f g

lim f[0, 1] , f g = f(0, 0, ......)g � f0g

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 13 / 20

f (x) = 12x

si x1 = 12�

12 , x2, x3, ...

�/2 lim f[0, 1] , f g

lim f[0, 1] , f g

lim f[0, 1] , f g = f(0, 0, ......)g � f0g

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 13 / 20

X1 = (0, 1], X2 = (0, 12 ], X3 = (0,13 ] en general

Xn = (0, 1n ] para cada n 2 N.

De�na fi : Xi+1 ! Xi como fi+1 (x) = x.lim f[0, 1] , f g = ∅.

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 14 / 20

X1 = (0, 1], X2 = (0, 12 ], X3 = (0,13 ] en general

Xn = (0, 1n ] para cada n 2 N.

De�na fi : Xi+1 ! Xi como fi+1 (x) = x.

lim f[0, 1] , f g = ∅.

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 14 / 20

X1 = (0, 1], X2 = (0, 12 ], X3 = (0,13 ] en general

Xn = (0, 1n ] para cada n 2 N.

De�na fi : Xi+1 ! Xi como fi+1 (x) = x.lim f[0, 1] , f g = ∅.

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 14 / 20

Otro resultado

TEOREMASi cada espacio topológico Xi es un continuo y lasfunciones de ligadura, fi , son suprayectivas, entoncesellim fXi , fig es un continuo.

Espacio métrico, compacto, conexo y no vacío.

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 15 / 20

Otro resultadoTEOREMA

Si cada espacio topológico Xi es un continuo y lasfunciones de ligadura, fi , son suprayectivas, entoncesellim fXi , fig es un continuo.

Espacio métrico, compacto, conexo y no vacío.

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 15 / 20

Otro resultadoTEOREMASi cada espacio topológico Xi es un continuo y lasfunciones de ligadura, fi , son suprayectivas, entoncesellim fXi , fig es un continuo.

Espacio métrico, compacto, conexo y no vacío.

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 15 / 20

Otro resultadoTEOREMASi cada espacio topológico Xi es un continuo y lasfunciones de ligadura, fi , son suprayectivas, entoncesellim fXi , fig es un continuo.

Espacio métrico, compacto, conexo y no vacío.

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 15 / 20

f (x) = 2x si x 2�0, 12�y f (x) = 1 si x 2 (12 , 1]

(0, 0, 0, ...)x1 2 [0, 1), x2 = x1

2 , x3 =x22�

x1,x12 ,

x14 ,

x18 , ...

��1, 12 ,

14 , ...

�lim fXi , fig es homeomorfo al intervalo [0, 1]

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 16 / 20

f (x) = 2x si x 2�0, 12�y f (x) = 1 si x 2 (12 , 1]

(0, 0, 0, ...)x1 2 [0, 1), x2 = x1

2 , x3 =x22�

x1,x12 ,

x14 ,

x18 , ...

��1, 12 ,

14 , ...

�lim fXi , fig es homeomorfo al intervalo [0, 1]

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 16 / 20

f (x) = 2x si x 2�0, 12�y f (x) = 1 si x 2 (12 , 1]

(0, 0, 0, ...)

x1 2 [0, 1), x2 = x12 , x3 =

x22�

x1,x12 ,

x14 ,

x18 , ...

��1, 12 ,

14 , ...

�lim fXi , fig es homeomorfo al intervalo [0, 1]

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 16 / 20

f (x) = 2x si x 2�0, 12�y f (x) = 1 si x 2 (12 , 1]

(0, 0, 0, ...)x1 2 [0, 1), x2 = x1

2 , x3 =x22

�x1,

x12 ,

x14 ,

x18 , ...

��1, 12 ,

14 , ...

�lim fXi , fig es homeomorfo al intervalo [0, 1]

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 16 / 20

f (x) = 2x si x 2�0, 12�y f (x) = 1 si x 2 (12 , 1]

(0, 0, 0, ...)x1 2 [0, 1), x2 = x1

2 , x3 =x22�

x1,x12 ,

x14 ,

x18 , ...

�

�1, 12 ,

14 , ...

�lim fXi , fig es homeomorfo al intervalo [0, 1]

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 16 / 20

f (x) = 2x si x 2�0, 12�y f (x) = 1 si x 2 (12 , 1]

(0, 0, 0, ...)x1 2 [0, 1), x2 = x1

2 , x3 =x22�

x1,x12 ,

x14 ,

x18 , ...

��1, 12 ,

14 , ...

�

lim fXi , fig es homeomorfo al intervalo [0, 1]

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 16 / 20

f (x) = 2x si x 2�0, 12�y f (x) = 1 si x 2 (12 , 1]

(0, 0, 0, ...)x1 2 [0, 1), x2 = x1

2 , x3 =x22�

x1,x12 ,

x14 ,

x18 , ...

��1, 12 ,

14 , ...

�lim fXi , fig es homeomorfo al intervalo [0, 1]

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 16 / 20

f (x) = 2x si x 2�0, 12�y f (x) = 3

2 � x six 2 (12 , 1]

lim fXi , fig es homeomorfo a la cerradura de la

grá�ca de la función sen(1/x) .

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 17 / 20

f (x) = 2x si x 2�0, 12�y f (x) = 3

2 � x six 2 (12 , 1]

lim fXi , fig es homeomorfo a la cerradura de la

grá�ca de la función sen(1/x) .

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 17 / 20

f (x) = 2x si x 2�0, 12�y f (x) = 3

2 � x six 2 (12 , 1]

lim fXi , fig es homeomorfo a la cerradura de la

grá�ca de la función sen(1/x) .

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 17 / 20

f (x) = 2x si x 2�0, 12�y f (x) = 2� 2x si

x 2 (12 , 1]

Knaster o herradura de Smale

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 18 / 20

f (x) = 2x si x 2�0, 12�y f (x) = 2� 2x si

x 2 (12 , 1]

Knaster o herradura de Smale

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 18 / 20

f (x) = 2x si x 2�0, 12�y f (x) = 2� 2x si

x 2 (12 , 1]

Knaster o herradura de Smale

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 18 / 20

TEOREMA

Sea f : [0, 1]! [0, 1] continua. Si f tiene un puntode periodo tres, entonces lim

f[0, 1] , f g contiene un

indescomponible.

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 19 / 20

TEOREMASea f : [0, 1]! [0, 1] continua. Si f tiene un puntode periodo tres, entonces lim

f[0, 1] , f g contiene un

indescomponible.

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 19 / 20

TEOREMASea f : [0, 1]! [0, 1] continua. Si f tiene un puntode periodo tres, entonces lim

f[0, 1] , f g contiene un

indescomponible.

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 19 / 20

Gracias

RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 20 / 20