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Revista de la Asociación Española de Ingeniería Mecánica Año 15 / volumen 4 / Diciembre 2004
EDITORES
Dña. Susana Martínez Pellitero D. Joaquín Barreiro García
Organizan:
Universidad de León Escuela Superior de Ingeniería Industrial e Informática
Asociación Española de
Ingeniería Mecánica
Imprime: SERVICIO DE PUBLICACIONES DE LA UNIVERSIDAD DE LEÓN
ISSN: 0212-5072 Depósito Legal: BI-71-97 ISSN (Edición Digital): 1698-5990
COMITÉ ORGANIZADOR Presidente de Honor:
Magfco. Y Excmo, Sr. Rector de la Universidad de León D. Ángel Penas Merino Presidente:
D. Julio Labarga Ordóñez Secretario:
D. Joaquín Barreiro García Vocales:
Dña. Susana Martínez Pellitero Dña. Hilde Pérez García Dña. Ana Isabel Fernández Abia D. Pablo Rodríguez Mateos D. Javier García Puente
COMITÉ CIENTÍFICO D. Mariano Artés Gómez D. Emilio Bautista Paz D. Francisco Javier Belzunce Varela D. Jesús Casanova Kindelan D. Pedro Pablo Company Calleja D. Antonio Crespo Martínez D. Manuel Doblaré Castellano D. Jaime Domínguez Abascal D. Alfonso Fernández Canteli D. Jose Esteban Fernández Rico D. Carlos Ferrer Giménez D. Francisco Javier Fuenmayor Fernández D. Javier García de Jalón D. Javier Gómez-Aleixandre Fernández D. Juan Carlos Hernández D. Pablo Luque Rodríguez
D. Julián Martínez de la Calle D. Francisco Payri González D. Javier Páez Ayuso D. Jesús M. Pérez García D. Jorge Pistono Favero D. Fernando Ramiro Herranz D. Carlos Ranninger Rodríguez D. Manuel Recuero López D. Fernando Romero Subirón D. Jose Carlos Rico Fernández D. Carlos Santolaria Morros D. Miguel Angel Sebastián Pérez D. Fernando Torres Leza D. Carlos Vera Alvarez D. Antonio Vizán Idoipe
ENTIDADES COLABORADORAS
Junta de Castilla y León Diputación de León Ayuntamiento de León
Colegio Superior de Ingenieros Colegio de Ingenieros Técnicos Ministerio de Educación y Ciencia Industriales de Asturias y León Industriales de León
ÍNDICE VOLUMEN 4
MÉTODOS MATEMÁTICOS Y NUMÉRICOS EN INGENIERÍA MECÁNICA
DESARROLLO DE UN SERVICIO GRID PARA EL ANÁLISIS 3D DE ESTRUCTURAS DE EDIFICACIÓN José Miguel Alonso Ábalos, Carlos de Alfonso Laguna, Vicente Hernández García .............................. 2387
COMPUTACIÓN DE ALTAS PRESTACIONES PARA LA RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE HELMHOLTZ: APLICACIÓN AL ESTUDIO DE SILENCIADORES DE ESCAPE José Miguel Alonso Ábalos, Francisco David Denia Guzmán, Francisco Javier Fuenmayor Fernández, Gabriel García García, Vicente Hernández García ................................................................ 2397
MINIMIZANDO LOS TIEMPOS DE ANÁLISIS 3D DE ESTRUCTURAS DE EDIFICACIÓN DE GRAN DIMENSIÓN José Miguel Alonso Ábalos, Gabriel García García, Vicente Hernández García..................................... 2407
BANDA EXTENSOMÉTRICA VIRTUAL: DISEÑO Y APLICACIONES DE UNA NUEVA HERRAMIENTA EN EL CAMPO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Carolina Álvarez Caldas, José Luis San Román García, Alejandro Quesada González, Belén Muñoz Abella................................................................................................................................. 2417
APLICACIÓN DEL MÉTODO LTDRM EN LA MODELIZACIÓN DEL PROCESADO DE MATERIALES CON LÁSER José Manuel Amado, Alberto Ramil, Emilio Saavedra, María José Tobar, Armando Yáñez .................. 2423
UNA TEORÍA GEOMÉTRICA DE DISLOCACIONES EN REDES CRISTALINAS DISCRETAS M.P. Ariza, M. Ortiz................................................................................................................................. 2433
MODELIZACIÓN NUMÉRICA DEL SISTEMA SEMITRANSVERSAL DE VENTILACIÓN EN EL “MEMORIAL TUNNEL”. VALIDACIÓN EXPERIMENTAL Rafael Ballesteros Tajadura, Carlos Santolaria Morros, Marcos Fernández Lamuño.............................. 2441
MODELIZACIÓN NUMÉRICA DEL SISTEMA LONGITUDINAL DE VENTILACIÓN EN EL “MEMORIAL TUNNEL”. VALIDACIÓN EXPERIMENTAL Rafael Ballesteros Tajadura, Carlos Santolaria Morros, Mónica Galdo Vega ......................................... 2451
I
ÍNDICE VOLUMEN 4
DETECCIÓN DE ESPURIOS EN LA ESTIMACIÓN A PARTIR DE DATOS DE PROCESO DE LAS PROPIEDADES MECÁNICAS DE CHAPA GALVANIZADA Manuel Castejón Limas, Ana González Marcos, Fernando Alba Elías, Alpha V. Pernía Espinoza ................................................................................................................................................... 2461
COMPORTAMIENTO DE INTEGRADORES ESTRUCTURALES Y RUNGE-KUTTA IMPLÍCITOS EN LA DINÁMICA EN TIEMPO REAL DE SISTEMAS MULTICUERPO Daniel Dopico Dopico, Javier Cuadrado Aranda ..................................................................................... 2469
DETECCIÓN REMOTA DE DEFECTOS OCULTOS BAJO RECUBRIMIENTOS VISCOELÁSTICOS José Manuel Galán Fernández, Ramón Abascal García, José Angel González Pérez.............................. 2475
COMPARACIÓN DE MÉTODOS NUMÉRICOS PARA LA SIMULACIÓN DE INTERCAMBIADORES DE CALOR ENTERRADOS VERTICALES Jesús García-Fernández, Santiago Hervás-Salado, José Luis Rico-Díaz, Antonio J. Sánchez-Bueno, Carmen María García-López, Francisco R. Villatoro .................................................................. 2481
SIMULACIÓN NUMÉRICA EN PARALELO DE FLUJOS CON CAPA LÍMITE DESPRENDIDA: APLICACIONES EN AERODINÁMICA CIVIL José Ángel González Pérez, Jesús Sánchez Vázquez ............................................................................... 2491
TÉCNICAS MONTE CARLO APLICADAS AL ANÁLISIS TEÓRICO-EXPERIMENTAL DE COMPRESORES DE REFRIGERACIÓN Emilio Navarro, Eric Granryd, Pedro Fernández de Córdoba, Javier Fermín Urchueguia....................... 2501
MODELADO Y SOLUCIÓN NUMÉRICA DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIA EN EL SUBSUELO. APLICACIÓN A INTERCAMBIADORES DE CALOR ENTERRADOS Luis Patiño, Ismael Orquin, Javier Fermín Urchueguia, Pedro Fernández de Córdoba, Franciasco R. Villatoro............................................................................................................................. 2509
ESTUDIO DE LA PROPAGACIÓN DÚCTIL EN UNIONES SOLDADAS MEDIANTE LA PROGRAMACIÓN DE UN MODELO DE DAÑO Y SU INCORPORACIÓN AL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Inés Peñuelas, Covadonga Betegón.......................................................................................................... 2519
SOLUCIONES ANALÍTICAS A LA ECUACIÓN DE CONDUCCIÓN DEL CALOR SOBRE GEOMETRÍAS SIMPLES CON LÍMITES FÍSICOS: MÉTODO DE LAS IMÁGENES A. Ramil, E. Saavedra, A.J. López, M.P. Mateo, G. Nicolás, V. Piñón ................................................... 2527
ANÁLISIS DE LAS FUENTES DE ERROR EN MODELOS DE SIMULACIÓN APLICADAS A LA DETERMINACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE ASOCIADA A MODELOS DE BOGIES DE FERROCARRIL MEDIANTE M.E.F. Santiago Rodríguez Fernández, José Luis San Román García, Alejandro Quesada González................. 2537
MODELO PARA LA SIMULACIÓN DEL COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE ROTORES FLEXIBLES CON APOYOS NO LINEALES SITUADOS SOBRE UNA ESTRUCTURA NO RÍGIDA Heller Guillermo Sánchez Acevedo, Jesús María Pintor Borobia ............................................................ 2547
II
2509
Modelado y Solución Numérica de la Conducción de Calor Transitoria en el Subsuelo. Aplicación a Intercambiadores de
Calor Enterrados
L. Patiño(1), I. Orquín(1), J. Urchueguía(1), P. Fernández de Córdoba(1), F.R. Villatoro(2)
(1) Investigación y Modelado de Sistemas Térmicos / Instituto de Ingeniería
Energética. Universidad Politécnica de Valencia, Camino de Vera, 14, 46022, Valencia – España. Telf(+34) 963879895 e-mail:jfurchueguia@fis.upv.es
(2)Departamento de Lenguajes y Ciencias de la Computación
Universidad de Málaga, Campus de Teatinos, 29071 Málaga. - España
Resumen Se realiza un análisis numérico de diferentes modelos de trasferencia de calor en el subsuelo aplicado al caso de intercambiadores de calor enterrados. Se resuelven numéricamente un modelo matemático unidimensional, y otro bidimensional transitorio constituido por varias fuentes de calor que son tratadas numéricamente mediante términos fuente en la ecuación diferencial. Para el modelo unidimensional se han comparado diferentes métodos numéricos conservativos y no conservativos, que resuelven de múltiples formas la singularidad presente en el origen. Una comparación entre todos los métodos analizados muestra que el más adecuado se basa en el método de volúmenes finitos de segundo orden en espacio y un esquema de tipo Crank-Nicolson de segundo orden en tiempo. Se ha aplicado dicho método al problema bidimensional y se ha simulado un problema con tres fuentes de calor (intercambiadores enterrados), obteniéndose resultados satisfactorios que muestran que la interacción entre los intercambiadores no puede ser modelada utilizando sólo modelos unidimensionales. Palabras Clave: Conducción de calor, intercambiadores enterrados, volúmenes finitos. Abstract The numerical analysis of subsoil heat transfer models for ground heat exchangers is the subject of this paper. One- and two-dimensional mathematical models for unsteady conditions have been solved, introducing several heat sources which have been treated as source terms into the differential equations. The one-dimensional model is solved by using several numerical methodologies, in order to evaluate the one yielding the best solution for the singularity located at the spatial origin of the model. The most efficient method found amongst those analyzed in this paper was the finite volume method of second-order in space with a second-order Crank-Nicolson temporal discretizacion. This method has been applied to a two-dimensional problem with three U-tubes, obtaining satisfactory numerical results, and showing that the interaction among the tubes cannot be neglected for long times, as done by one-dimensional, standard models. Keywords: Heat conduction, ground heat exchangers, finite volume methods.
2510
Métodos Matemáticos y Numéricos en Ingeniería Mecánica
1. Introducción
El almacenamiento subterráneo de energía térmica (UTES – Underground Thermal
Energy Storage) ha tenido un empuje importante en los últimos años, y en la actualidad
se están desarrollando sistemas de acondicionamiento de aire y de calefacción basados
en bombas de calor utilizando intercambiadores de calor enterrados [1]. El fluido que se
transporta por estos intercambiadores intercambia energía térmica con el subsuelo,
generándose un gradiente transitorio de temperaturas en la tierra. Cuando estos sistemas
trabajan en modo frío la corriente de agua que se transporta a través del intercambiador
de calor es caliente, y en este caso el calor que posee el agua es transferido al subsuelo,
lo cual trae como consecuencia que la tierra aumente su temperatura. Por el contrario, si
el sistema bomba de calor trabaja en modo calor, el agua que se transporta a través del
intercambiador enterrado está a baja temperatura y adsorbe energía térmica de la
formación, lo cual implica una disminución de la temperatura del subsuelo. En
cualquiera de los dos casos se evidencia un fenómeno de transferencia de energía
térmica, con característica transitoria.
Para el diseño de estos sistemas es de fundamental importancia utilizar procedimientos
de cálculo de la transferencia de calor en el subsuelo. Investigadores han desarrollado
metodologías analíticas y numéricas para evaluar la transferencia de calor en el
subsuelo. Entre las metodologías analíticas desarrolladas se encuentra la teoría de la
fuente lineal desarrollada por Kelvin [2], la cual consiste en suponer que el calor
transportado de la tubería al subsuelo representa una fuente lineal de generación de
calor de sección infinitesimal. Otra de las metodologías analíticas utilizadas es la
aproximación de Kavanaugh, en la que la fuente de calor se modela como un cilindro de
diámetro finito [3,4]
El objetivo fundamental de este trabajo es presentar un estudio que permita determinar
la metodología numérica más eficiente para resolver la ecuación de conducción de calor
en coordenadas radiales con una fuente de calor en el origen (modelo unidimensional de
Kelvin), y luego extender este método numérico a la resolución de un modelo
bidimensional transitorio desarrollado y constituido por varias fuentes de calor, las
cuales son tratadas numéricamente como términos fuente en la ecuación diferencial.
2511
Métodos Matemáticos y Numéricos en Ingeniería Mecánica
2. Formulación analítica del problema
El intercambio de calor entre un tubo enterrado y el subsuelo se puede modelar a través
de la ecuación general de conducción de calor:
( )P vTC k T qt
ρ ∂= ∇ ∇ +
∂
r ro ,
donde T representa la temperatura de la formación (subsuelo), qν es una fuente o
sumidero de calor, t es el tiempo, y ρ, CP y k, representan la densidad, el calor
específico y la conductividad térmica del subsuelo, respectivamente.
Suponiendo que el flujo de calor sólo se lleva a cabo en la dirección radial, puede
expresarse la ecuación (1) como
1 ,PT TC rkt r r r
ρ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
donde r la coordenada en la dirección radial. La ecuación (2) conjuntamente con las
siguientes condiciones de contorno e iniciales
( ) vqtrrTrk ==
∂∂
− ,02π , ( ) 0, TtrT =∞→ , ( ) 00, TtrT == ,
representan el modelo matemático utilizado en el modelo de la línea de Kelvin, cuya
solución analítica puede obtenerse fácilmente como
( ) ( )βπ i
v Ek
qTtrT
4, 0 += ,
donde Ei(β) es la función exponencial integral,
( ) dzz
eEz
i ∫∞ −
=β
β , 2
4 Pr Ckt
β ρ= .
3. Métodos numéricos
3.1. Método en diferencias finitas no conservativo para el caso unidimensional
Se puede resolver la ecuación (2) mediante un θ-método en tiempo y una discretización
de segundo orden centrada en el espacio. El θ-método comprende a los métodos
estándares de Euler explícito, Crank-Nicolson, y Euler implícito para sus valores θ = 0,
θ = 1/2, y θ = 1, respectivamente [6]. En general, el parámetro θ se utiliza sólo en el
(1)
(2)
(4)
(5)
(3)
2512
Métodos Matemáticos y Numéricos en Ingeniería Mecánica
intervalo [0,1]. La ecuación en diferencias finitas resultante, para los nodos interiores al
dominio, es la siguiente
( )
( ) ( )( ) ( )
1 11 1
1 1
1 1 2 12 2
1 1 1 2 1 1 1 ,2 2
n n nj j j
j j
n n nj j j
j j
r rT T Tr r
r rT T Tr r
αθ αθ αθ
α θ α θ α θ
+ +− +
− +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆ ∆− − + + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆ ∆
− − + + − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
donde se ha utilizado el número adimensional de Fourier definido como
2 .P
k tC r
αρ
∆=
∆
La ecuación (2) presenta una singularidad en el origen (r = 0), por lo que dicho punto a
de ser tratado como parte de las condiciones de contorno. Podemos utilizar 3
aproximaciones para las condiciones de contorno, que denominaremos A, B y C. En la
aproximación tipo A, discretizamos la ecuación en el punto ((j+½) ∆r, (n+θ) ∆t)
utilizando una aproximación de segundo orden para la primera derivada espacial. En la
aproximación tipo B, se utiliza una aproximación de primer orden para la primera
derivada espacial en el origen, pero evaluando la coordenada radial en el punto ∆r/4.
Finalmente, en la aproximación tipo C, donde se completa el sistema de ecuaciones
lineales para los nodos interiores mediante la discretización de la propia ecuación
diferencial en el nodo de frontera aplicando un θ-método en tiempo y una aproximación
que también depende del parámetro θ para la derivada espacial.
3.2. Método en diferencias finitas conservativo para el caso unidimensional
Un método en diferencias finitas conservativo, o de volúmenes finitos, se puede obtener
directamente integrando en espacio en un pequeño volumen alrededor de cada nodo
interno del dominio la ecuación diferencial original, siguiendo las líneas del método
desarrollado por Patankar [7]. Para la incorporación de las condiciones de contorno se
utilizaron las aproximaciones tipo A y C, ya descritas en el apartado anterior.
3.3. Método de volúmenes finitos para el caso bidimensional
En el caso bidimensional se puede aplicar directamente el método de volúmenes finitos
de Patankar, pero ahora integrando en una región rectangular alrededor de cada nodo
interno, omitimos los detalles por brevedad, que aparecen en la referencia [7].
(6)
(7)
2513
Métodos Matemáticos y Numéricos en Ingeniería Mecánica
4. Resultados
4.1. Modelos unidimensionales
Las simulaciones realizadas con los modelos unidimensionales se han estructurado en
once casos distintos denominados de 1 a 11. Se han utilizado diferencias finitas para los
casos 1 a 6, y volúmenes finitos para los 7 a 11, en ambos casos de segundo orden en
espacio para los puntos interiores. Los casos 1 a 3, 7 y 8, se basan en un Euler implícito,
de primer orden en tiempo, y los 4 a 6, 9 y 10, en el de Crank-Nicolson, de segundo
orden, y finalmente el caso 11 utiliza un Euler explícito de primer orden en tiempo. Para
la condición de contorno en la singularidad en el origen, se han utilizado las
aproximaciones de tipo A en los casos 1, 4, 7, 9 y 11, de tipo B en 2 y 5, y de tipo C en
los restantes. Para cada uno de estos once casos se han realizado 24 simulaciones para
diferentes valores de la malla espacial (∆r), y paso de tiempo (∆t), dando lugar a un
total de 264 simulaciones diferentes. Todos ellas fueran realizadas con los siguientes
parámetros, ρ = 1850 Kg/m3, k = 1,4 W/mK, CP = 2050 J/KgK, qv = 20 W, que son
representativos del problema de intercambiadores de calor enterrados.
Para evaluar los métodos numéricos en estudio se determinaron los errores relativos se
compararon los resultados en cada caso con la solución analítica conocida utilizando las
normas 1 (Eeu en la tabla 2), e infinito (Einf en dicha tabla), definidas como
( )( )2
11 /1 ∑
=
−=n
iAiAiNi TTT
nE , ( )( )AiAiNi TTTE /max2 −= ,
respectivamente, donde los subíndices N y A indican las soluciones numérica y
analítica, respectivamente, y n es el número total de nodos.
En las figuras 1 y 2 se presentan los errores relativos entre los métodos numéricos y la
solución analítica en normas uno e infinito, respectivamente, para siete de los casos
estudiados, utilizando 1 segundo como paso de tiempo. Dichas figuras muestran que a
medida que el incremento espacial disminuye los errores también lo hacen, verificando
así, la dependencia del resultado del esquema numérico con el incremento espacial
seleccionado. Dichas figuras también muestran que los errores son menores en los casos
8 y 10, que casi coinciden en norma uno (figura 1), pero en norma infinito la se
observan ligeras diferencias entre dichos casos.
(8)
2514
Métodos Matemáticos y Numéricos en Ingeniería Mecánica
Tabla 2. Errores relativos en norma uno (Eeu) e infinito (Einf) para los casos estudiados.
dr (mm) / dt (s) 1 10 30 60 1 10 30 601 1,76E-06 4,05E-05 1,33E-04 2,71E-04 1,76E-06 4,05E-05 1,33E-04 2,71E-042 1,55E-05 2,71E-05 1,19E-04 2,57E-04 1,55E-05 2,71E-05 1,19E-04 2,57E-044 6,11E-05 2,33E-05 2,76E-04 2,13E-04 6,11E-05 2,33E-05 2,76E-04 2,13E-048 2,02E-04 1,62E-04 3,08E-04 3,30E-04 2,02E-04 1,62E-04 3,08E-04 3,30E-04
16 6,08E-04 5,68E-04 4,79E-04 3,49E-04 6,08E-04 5,68E-04 4,79E-04 3,49E-0432 1,70E-03 1,66E-03 1,57E-03 1,43E-03 1,70E-03 1,66E-03 1,57E-03 1,43E-031 1,58E-02 1,58E-02 1,57E-02 1,56E-02 2,37E-02 2,36E-02 2,35E-02 2,34E-022 1,58E-02 1,58E-02 1,57E-02 1,56E-02 2,37E-02 2,36E-02 2,35E-02 2,34E-024 1,59E-02 1,59E-02 1,58E-02 1,56E-02 2,37E-02 2,37E-02 2,36E-02 2,34E-028 1,61E-02 1,61E-02 1,60E-02 1,58E-02 2,39E-02 2,38E-02 2,37E-02 2,36E-02
16 1,67E-02 1,66E-02 1,65E-02 1,64E-02 2,43E-02 2,42E-02 2,41E-02 2,40E-0232 1,83E-02 1,82E-02 1,81E-02 1,80E-02 2,54E-02 2,53E-02 2,52E-02 2,51E-021 9,15E-04 9,47E-04 1,02E-03 1,13E-03 1,36E-03 1,38E-03 1,43E-03 1,51E-032 9,34E-04 9,66E-04 1,04E-03 1,15E-03 1,38E-03 1,40E-03 1,45E-03 1,53E-034 1,00E-03 1,04E-03 1,11E-03 1,23E-03 1,44E-03 1,46E-03 1,51E-03 1,59E-038 1,25E-03 1,28E-03 1,36E-03 1,48E-03 1,65E-03 1,67E-03 1,72E-03 1,80E-03
16 2,07E-03 2,10E-03 2,18E-03 2,30E-03 2,38E-03 2,41E-03 2,46E-03 2,54E-0332 4,30E-03 4,33E-03 4,40E-03 4,51E-03 4,85E-03 4,88E-03 4,95E-03 5,06E-031 2,05E-06 3,29E-05 1,11E-04 2,28E-04 2,91E-06 5,86E-05 1,96E-04 4,02E-042 1,61E-05 1,89E-05 9,67E-05 2,14E-04 2,56E-05 3,60E-05 1,73E-04 3,79E-044 6,18E-05 2,72E-05 5,16E-05 1,69E-04 9,77E-05 3,72E-05 1,01E-04 3,08E-048 2,02E-04 1,68E-04 9,14E-05 3,65E-05 3,16E-04 2,55E-04 1,21E-04 9,19E-05
16 6,09E-04 5,75E-04 4,98E-04 3,84E-04 9,45E-04 8,83E-04 7,46E-04 5,40E-0432 1,70E-03 1,67E-03 1,59E-03 1,48E-03 2,62E-03 2,56E-03 2,42E-03 2,22E-031 1,58E-02 1,58E-02 1,57E-02 1,57E-02 2,37E-02 2,36E-02 2,36E-02 2,35E-022 1,58E-02 1,58E-02 1,58E-02 1,57E-02 2,37E-02 2,37E-02 2,36E-02 2,35E-024 1,59E-02 1,59E-02 1,58E-02 1,57E-02 2,37E-02 2,37E-02 2,36E-02 2,35E-028 1,61E-02 1,61E-02 1,60E-02 1,59E-02 2,39E-02 2,38E-02 2,38E-02 2,37E-02
16 1,67E-02 1,67E-02 1,66E-02 1,65E-02 2,43E-02 2,43E-02 2,42E-02 2,41E-0232 1,83E-02 1,82E-02 1,82E-02 1,81E-02 2,54E-02 2,53E-02 2,53E-02 2,51E-021 9,15E-04 9,51E-04 1,04E-03 1,17E-03 1,36E-03 1,39E-03 1,44E-03 1,52E-032 9,35E-04 9,71E-04 1,06E-03 1,19E-03 1,38E-03 1,40E-03 1,46E-03 1,54E-034 1,00E-03 1,04E-03 1,13E-03 1,27E-03 1,44E-03 1,46E-03 1,52E-03 1,60E-038 1,25E-03 1,29E-03 1,38E-03 1,53E-03 1,65E-03 1,67E-03 1,73E-03 1,81E-03
16 2,07E-03 2,11E-03 2,20E-03 2,35E-03 2,38E-03 2,41E-03 2,47E-03 2,56E-0332 4,30E-03 4,34E-03 4,42E-03 4,55E-03 4,85E-03 4,89E-03 4,97E-03 5,09E-031 1,76E-06 4,05E-05 1,33E-04 2,71E-04 4,79E-06 6,38E-05 2,08E-04 4,21E-042 1,55E-05 2,71E-05 1,19E-04 2,57E-04 2,57E-05 4,26E-05 1,87E-04 4,00E-044 6,11E-05 2,33E-05 7,61E-05 2,13E-04 9,76E-05 5,28E-05 1,20E-04 3,32E-048 2,02E-04 1,62E-04 7,86E-05 8,95E-05 3,16E-04 2,56E-04 1,57E-04 1,39E-04
16 6,08E-04 5,68E-04 4,79E-04 3,49E-04 9,44E-04 8,81E-04 7,45E-04 5,52E-0432 1,70E-03 1,66E-03 1,57E-03 1,43E-03 2,62E-03 2,55E-03 2,40E-03 2,16E-031 6,31E-06 4,79E-05 1,40E-04 2,78E-04 9,36E-06 7,50E-05 2,19E-04 4,32E-042 1,15E-05 5,29E-05 1,45E-04 2,83E-04 1,57E-05 8,10E-05 2,25E-04 4,38E-044 3,24E-05 7,32E-05 1,65E-04 3,03E-04 4,15E-05 1,05E-04 2,49E-04 4,61E-048 1,15E-04 1,55E-04 2,45E-04 3,82E-04 1,44E-04 2,05E-04 3,45E-04 5,52E-04
16 4,36E-04 4,75E-04 5,62E-04 6,94E-04 5,39E-04 5,96E-04 7,24E-04 9,17E-0432 1,59E-03 1,62E-03 1,70E-03 1,83E-03 1,91E-03 1,96E-03 2,06E-03 2,22E-031 2,05E-06 3,29E-05 1,11E-04 2,28E-04 2,91E-06 5,86E-05 1,96E-04 4,02E-042 1,61E-05 1,89E-05 9,67E-05 2,14E-04 2,56E-05 3,60E-05 1,73E-04 3,79E-044 6,18E-05 2,72E-05 5,16E-05 1,69E-04 9,77E-05 3,72E-05 1,01E-04 3,08E-048 2,02E-04 1,68E-04 9,14E-05 3,65E-05 3,16E-04 2,55E-04 1,21E-04 9,19E-05
16 6,09E-04 5,75E-04 4,98E-04 3,84E-04 9,45E-04 8,83E-04 7,46E-04 5,40E-0432 1,70E-03 1,67E-03 1,59E-03 1,48E-03 2,62E-03 2,56E-03 2,42E-03 2,22E-031 5,47E-06 4,04E-05 1,18E-04 2,36E-04 8,51E-06 6,97E-05 2,07E-04 4,13E-042 1,06E-05 4,50E-05 1,23E-04 2,40E-04 1,45E-05 7,45E-05 2,11E-04 4,17E-044 3,14E-05 6,46E-05 1,42E-04 2,58E-04 4,01E-05 9,61E-05 2,30E-04 4,34E-048 1,14E-04 1,46E-04 2,20E-04 3,34E-04 1,43E-04 1,93E-04 3,17E-04 5,12E-04
16 4,35E-04 4,66E-04 5,35E-04 6,43E-04 5,37E-04 5,84E-04 6,91E-04 8,60E-0432 1,59E-03 1,62E-03 1,68E-03 1,78E-03 1,91E-03 1,95E-03 2,04E-03 2,17E-031 1,16E-04 * * * 2,77E-04 * * *2 1,65E-04 * * * 3,01E-04 * * *4 2,35E-04 2,24E-04 inf * 7,95E-04 8,68E-04 * *8 3,65E-04 3,23E-04 2,70E-04 3,52E-04 1,27E-03 8,47E-04 7,02E-04 9,52E-04
16 7,43E-04 7,01E-04 6,11E-04 4,83E-04 1,84E-03 1,69E-03 1,36E-03 9,05E-0432 1,70E-03 1,67E-03 1,61E-03 1,52E-03 2,62E-03 2,57E-03 2,45E-03 2,27E-03
Einf
CASO 1
CASO 2
CASO 3
Eeu
CASO 4
CASO 5
CASO 6
CASO 7
CASO 8
CASO 9
CASO 10
CASO 11
En las figuras 3 y 4 se ha fijado el tamaño de la malla ∆r en 1 mm, y se presentan los
errores en normas uno e infinito, respectivamente, en función del paso de tiempo. Se
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Métodos Matemáticos y Numéricos en Ingeniería Mecánica
observa en dichas figuras que los casos 4 y 10 son los mejores en norma uno (figura 3)
y que sorprendentemente el caso 1 es el mejor en norma infinito (figura 4).
La comparación desarrollada entre todos los casos para los métodos numéricos
unidimensionales muestra que el caso 10 es el que mejor se comporta globalmente, por
lo que dicho método ha sido el seleccionado para la resolución numérica del problema
bidimensional, es decir, un método de volúmenes finitos (o en diferencias finitas
conservativo), basado en un esquema tipo Crank-Nicolson (θ = 1/2), y discretización
basada en un punto ficticio con aplicación de la ecuación diferencial en el contorno para
su eliminación en las ecuaciones algebraicas resultantes.
4.2. Modelo bidimensional
El problema bidimensional simulado consiste en un dominio cuadrado de 1,5 m de lado,
dividido en pequeños volúmenes de lado el paso de la malla espacial, y que posee tres
Figura 1. Eeu vs. ∆r, para ∆t = 1 s Figura 2. Einf vs. ∆r, para ∆t = 1 s
Figura 3. Eeu vs. ∆t, para ∆r = 1 mm Figura 4. Einf vs. ∆t, para ∆r = 1 mm
0,0000
0,0002
0,0004
0,0006
0,0008
0,0010
0,0012
0,0014
0,0016
0,0018
0 5 10 15 20 25 30 35
dr (mm)
Eeu
CASO 1CASO 4CAS0 7CASO 8CASO 9CAS0 10CASO 11
0,0000
0,0005
0,0010
0,0015
0,0020
0,0025
0,0030
0 5 10 15 20 25 30 35dr (mm)
Einf
CASO 1CASO 4CASO 7CASO 8CASO 9CASO 10CASO 11
0,0000
0,0001
0,0001
0,0002
0,0002
0,0003
0,0003
0,0004
0,0004
0,0005
0,0005
0 10 20 30 40 50 60 70dt (s)
Einf
CASO 1CASO 4CASO 7CASO 8CASO 9CASO 10
0,0000
0,0001
0,0001
0,0002
0,0002
0,0003
0,0003
0 10 20 30 40 50 60 70dt (mm)
Eeu
CASO 1CASO 4CASO 7CASO 8CASO 10CASO 9
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Métodos Matemáticos y Numéricos en Ingeniería Mecánica
fuentes de calor espaciadas 0,6 m, modelando tres intercambiadores de calor enterrados.
Los flujos de calor en este modelo son tratados numéricamente como términos fuente en
la ecuación diferencial, teniendo así tres volúmenes elementales en el dominio tratados
como fuentes de calor, y el resto sin fuentes. Los restantes datos de las simulaciones son
los mismos que en el caso unidimensional.
Las figuras 5, 6 y 7 presentan la distribución de temperaturas (ºC) de la tierra para 12,
15 y 20 horas, respectivamente, que muestran cómo inicialmente las fuentes de calor no
interactúan entre ellas, aunque al aumentar el tiempo las líneas de flujo interceptan,
mostrando efectos bidimensionales no presentes en el modelo unidimensional para cada
fuente por separado, transformando el problema unidimensional a uno bidimensional.
Para mostrar mejor las diferencias entre el modelo bidimensional y el unidimensional, la
figura 8 compara ambas soluciones, mostrando que, para tiempos pequeños ambas
soluciones son muy parecidas, pero para tiempos grandes, el modelo de la fuente lineal
difiere de la respuesta bidimensional física.
Figura 5. Temperaturas para t = 12 horas Figura 6. Temperaturas para t = 15 horas
Figura 7. Temperaturas para t = 20 horas Figura 7. Comparación numérica bidimensional y analítica unidimensional
17
19
21
23
25
27
29
31
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4Posición (m)
Tem
pera
tura
(ºC
)
Bidimensional, t = 72000 sBidimensional, t = 36000 sBidimensional, t = 3600 sLinea infinitaLinea InfinitaLínea infinita
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Métodos Matemáticos y Numéricos en Ingeniería Mecánica
4. Conclusiones
Se ha presentado un estudio de diferentes esquemas numéricos para la simulación de
intercambiadores de calor enterrados, tanto utilizando modelos unidimensionales
radiales como completamente bidimensionales. El análisis unidimensional mostró que
el método más adecuado es el de volúmenes finitos de segundo orden en espacio con un
Crank-Nicolson en tiempo. De esta forma, se ha desarrollado una metodología eficiente
para modelar la transferencia de calor en el subsuelo en sistemas geotérmicos con varios
intercambiadores de calor (fuentes de calor) en interacción. Los resultados obtenidos
muestran que el modelo unidimensional, habitualmente utilizado en el diseño de
intercambiadores enterrados, sólo es aplicable cuando los intercambiadores están
suficientemente alejados para que su interacción mutua sea despreciable, y que en todo
caso, tras un tiempo suficientemente grande se observan intercepciones entre las líneas
de flujos de calor que requieren el uso de un modelo bidimensional.
5. Referencias 1. ASHRAE, Operating Experiences with Commercial Vertical Borehole Groundloop
Heat Pump Installation, Vol. 1, N°8, (1998).
2. Ingersoll, L. R., O. J. Zobel, and A. C. Ingersoll. Heat Conduction withEngineering,
Geological, and Other Applications. New York: McGraw-Hill. (1954).
3. S. Kavanaugh, Simulation and experimental verification of vertical groundcoupled
heat pump systems. Ph.D. dissertation. Stillwater, Oklahoma: Oklahoma State
University. (1985).
4. C. Yavusturk, Modeling of Vertical Ground Loop Heat Exchangers for Ground
Source Heat Pump Systems, PhD Thesis Oklahoma State University, (1998).
5. IGSHPA. (Bose, J.E., Editor) Design and Installations Standards.
Stillwater,Oklahoma: International Ground Source Heat Pump Association. (1991).
6. J. Thomas, Numerical partial differential equations: Finite difference methods,
Springer Cop, (1995).
7. S. Patankar, Numerical Heat Transfer and Fluid Flow. Hemisphere, New York,
(1980.)
8. R. Chichota, Environmental Modelling & Software, Vol 19, 2004., 495-506.