Post on 22-Jul-2015
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Área de una
región plana
de coordenas
polares
Y Mucho
mas
AREA DE UNA
REGION EN
EL PLANO DE
COORDENADAS
POLARES
Ejemplos y Soluciones
GRAFICAS EN
COORDENADAS
POLARES
25 ejemplos de graficas
en coordenadas polares
Ahora, bien
cuando se quiere
hallar el área
comprendida
entre
dos gráficas
polares, se
emplea
el procedimiento
conocido de
sustraer un área
de
otra. Aunque en
el
siguiente
ejemplo
los cálculos no
fueron sencillos,
con frecuencia,
determinar los
límites de
integración es la
parte más
desafiante para
hallar el área de
una región polar.
AREA DE UNA REGION EN EL
PLANO DE COORDENADAS
POLARES
Ejemplo 1
Hallar el área de la región A comprendida
dentro del Caracol r=1+2cosø y el exterior
del circulo r=2
SOLUCION:
Si observamos la figura se puede apreciar las
dos ecuaciones donde el área A entre ellos
esta sombreada. Los puntos de intersección
del círculo y el caracol están dados por:
Ejemplo 2
Hallar el área interior del limacon r = 3 + 2cosø y
exterior a la circunferencia r = 2
SOLUCIÓN:
Primero debe resolverse la ecuación igualando ambas
ecuaciones: 3+2cosø=2
Observe que como cosø es periódico, existen muchas
soluciones para esta ecuación. En consecuencia, es
necesario recurrir a la gráfica para determinar en
cuales soluciones esta interesado. En este caso, se
desea hallar las soluciones menores negativas y las más
pequeñas positivas. Observando la figura,
cuidadosamente donde solo se ha representado solo
aquellas porciones de las gráficas correspondientes
a ø entre las primeras dos soluciones positivas.
De manera semejante, el
área encerrada por la
circunferencia en este
intervalo esta dado por:
el área interior de la limacon
y exterior a la circunferencia
está dada por:
El desarrollo de una fórmula para el área de una región polar va
paralelo al de zonas en sistema de coordenadas rectangulares, pero
con sectores de un círculo en lugar de rectángulos como elementos
básicos de dicha área.
En la figura se observa que la superficie de un sector circular de
radio r viene dada por: