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Resumen Calculo III (2015-1)
Juyoung Wang
A) Derivadas parciales
a-0) Algebra lineal:
Sea A una matriz cuadrada de n dimensiones:
- Multiplicacion de las matrices: Sea C = A โ B con las minusculas respectivas son sus
elementos respectivos, se calcula los elementos de la matriz C de la siguiente forma.
๐๐,๐ = โ ๐๐,๐๐๐,๐
๐
๐=1
Tip:
Se multiplica fila de A con la columna de B. Si A es una matriz de ๐ ร ๐ y B de
๐ ร ๐, mediante esta operacion, obtendremos una matriz de de ๐ ร ๐.
Deben coincidir las cantidades de las columnas de la primera matriz con la
cantidades de las filas de la segunda matriz.
Por esta razon, AB โ BA en general y si AB = BA โ (A = I โง B = I) โจ (B = Aโ1)
- Matriz de identidad: Es una matriz cuadrada de n dimensines con sus diagonales 1 y
los restos igual a 0.
- Matriz inversa: Sea A una matriz, llamaremos a una matriz B como la inversa de A si
y solo si AB = I con B โ I y lo denotaremos con Aโ1.
- Determinante: Sea A una matriz cuadrada, definiremos su determinante como:
det(๐ด) = โ(โ1)๐+๐
๐
๐=1
๐๐,๐๐๐,๐ = โ ๐ ๐๐(โด)
โดโ๐๐
โ ๐๐,โด๐
๐
๐=1
= det(๐ด๐)
a-1) Funcion de varias variables:
Funcion de n variables:
Sea A el dominio de la funcion ๐, lo llamaremos como una funcion de n variables, si
(๐ฅ1, ๐ฅ2, โฏ , ๐ฅ๐) โ ๐ โ โ๐ con ๐ > 1. Se denota mediante la siguiente notacion:
๐: ๐ โ โ๐ โถ โ
Grafica de ๐:
Sea ๐: ๐ โ โ๐ โถ โ, definiremos la grafica de ๐ como el subconjunto de โ๐+1 y
se denota como:
๐บ๐๐๐๐๐๐ ๐ = *(๐ฅ1, โฏ , ๐ฅ๐ , ๐(๐ฅ1, โฏ , ๐ฅ๐)) โ โ๐+1 | (๐ฅ1, โฏ , ๐ฅ๐) โ โ๐+
Conjunto de nivel:
Sea ๐: ๐ โ โ๐ โถ โ y sea c โ โ, entonces el conjunto de nivel del valor c se
define como aquellos puntos ๐ฅ โ ๐ para los cuales ๐(๐ฅ) = ๐.
*๐ฅ โ ๐|๐(๐ฅ) = ๐+ โ โ๐
Curvas del nivel: Es un caso particular. Es para ๐: ๐ โ โ๐ โถ โ con ๐ = 2.
๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐ con ๐ = ๐๐ก๐
Superficie de nivel: Es un conjunto de nivel para ๐: ๐ โ โ๐ โถ โ con ๐ = 3.
Tecnica para graficar una funcion de dos variables:
1) Dibujar las curvas de nivel.
2) Dibujar la interseccion entre la ๐ y el plano xy y el otro entre el plano xz.
3) Elevar las curvas dibujadas en el plano xy.
a-2) Limites y continuidad:
Conjunto abierto:
Sea ๐ โ โ๐, decimos que ๐ es un conjunto abierto, cuando:
โ๐ฅ๐ โ ๐, โ๐ > 0 | ๐ท๐(๐ฅ๐) โ ๐
donde: ๐ซ๐(๐๐): Es el Interior de un disco de radio ๐ con su centro en ๐ฅ๐ . Se
define como el conjunto de todos los puntos ๐ฅ tales que
โ๐ฅ โ ๐ฅ๐โ < ๐.
Es decir, un conjunto esta abierto los borde del conjunto U no pertencen a U.
Tip: Por convencion, decimos que un conjunto vacio (โ ) es un conjunto abierto.
Teorema:
Para cada ๐ฅ๐ โ โ๐ y ๐ > 0, ๐ท๐(๐ฅ๐) es un conjunto abierto.
Punto frontera:
Sea A โ โ๐, un punto x โ โ๐ es punto frontera de A, si toda vecindad de ๐ฅ contiene
al menos un punto en A y al menos un punto fuera de A.
Un punto frontera de A es un punto justo en el borde de A por las siguientes
razones:
i) Por la definicion del conjunto abierto, ningun punto del conjunto abierto
A puede ser el punto frontera de A.
ii) Es decir, un punto x puede ser un punto frontera del conjunto A si y solo
si esta fuera del conjunto y que toda vecindad de x tenga interseccion
no vacia con A.
Limite:
Sea ๐: ๐ด โ โ๐ โ โ๐ , donde A es conjunto abierto, sea ๐ฅ๐ un punto en A o en la
frontera de A, y sea ๐ una vecindad de ๐ โ โ๐, decimos que ๐ esta eventualemente
en ๐ conforme ๐ฅ tiende a ๐ฅ๐ , si existe una vecindad ๐ de ๐ฅ๐ tal que ๐ฅ โ ๐ฅ๐ , ๐ฅ โ U
y entonces ๐ฅ โ A implica ๐(๐ฅ) โ V.
En los simbolos, decimos que ๐(๐ฅ) tiende a ๐.
lim๐ฅโ๐ฅ๐
๐(๐ฅ) = ๐ ๐ ๐(๐ฅ) โ ๐, cuando ๐ฅ โ ๐ฅ๐
En una terminologia simple, decimos que ๐(๐ฅ) esta cercca de ๐, si ๐ฅ tiende a ๐ฅ๐ .
Si ๐ฅ โ ๐ฅ๐ no implica ๐(๐ฅ) โ ๐, con ๐ un numero particular, entonces decimos
que el limite no existe.
Teorema: Unicidad de los limites.
Si lim๐ฅโ๐ฅ๐
๐(๐ฅ) = ๐1 y lim๐ฅโ๐ฅ๐
๐(๐ฅ) = ๐2 โ ๐1 = ๐2
Teorema: Sean ๐: ๐ด โ โ๐ โ โ๐ , ๐: ๐ด โ โ๐ โ โ๐, xo un elemento de A o un
punto frontera de A, ๐ โ โ๐ y ๐ โ โ, entonces:
i) Si lim๐ฅโ๐ฅ๐๐(๐ฅ) = ๐ , entonces lim๐ฅโ๐ฅ๐
๐๐(๐ฅ) = ๐๐ , donde ๐๐: ๐ด โ โ๐ esta
defina por ๐ฅ โ ๐(๐(๐ฅ)).
ii) Si lim๐ฅโ๐ฅ๐๐(๐ฅ) = ๐1 y lim๐ฅโ๐ฅ๐
๐(๐ฅ) = ๐2 , entonces lim๐ฅโ๐ฅ๐(๐ + ๐)(๐ฅ) = ๐1 +
๐2 , donde (๐ + ๐): A โ โ๐ esta definida por ๐ฅ โ ๐(๐ฅ) + ๐(๐ฅ).
iii) Si ๐ = 1, lim๐ฅโ๐ฅ๐๐(๐ฅ) = ๐1 y lim๐ฅโ๐ฅ๐
๐(๐ฅ) = ๐2, entonces
lim๐ฅโ๐ฅ๐(๐๐)(๐ฅ) = ๐1๐2, donde (๐๐): ๐ด โ โ esta defina por ๐ฅ โ ๐(๐ฅ)๐(๐ฅ).
iv) Si ๐ = 1, lim๐ฅโ๐ฅ๐๐(๐ฅ) = b โ 0 y ๐(๐ฅ) โ 0 โx โ ๐ด, entonces
lim๐ฅโ๐ฅ๐
1
๐(๐ฅ)=
1
๐, donde
1
๐: ๐ด โ โ esta defina por ๐ฅ โ
1
๐(๐ฅ).
v) Si ๐(๐ฅ) = (๐1(๐ฅ), โฏ , ๐๐(๐ฅ)) donde ๐๐: ๐ด โ โ , ๐ = 1, โฏ , ๐ , son las funciones
componentes de ๐, entonces lim๐ฅโ๐ฅ๐๐(๐ฅ) = ๐, si y solo si lim๐ฅโ๐ฅ๐
๐๐(๐ฅ) = bi
para cada ๐ = 1, โฏ , ๐.
Teorema: Sean ๐: ๐ด โ โ๐ โ โ๐ , ๐: ๐ต โ โ๐ โ โ๐, suponer que ๐(๐ด) โ ๐ต , de
manera que ๐ ๐ ๐ = (๐(๐)) esta definida en A. Si ๐ es continua en ๐ฅ๐ โ ๐ด y ๐
es continua en ๐ฆ๐ = ๐(๐ฅ๐), entonces ๐ ๐ ๐ es continua en ๐ฅ๐ .
Teorema: Sean ๐: ๐ด โ โ๐ โ โ una funcion dada, entonces ๐ es continua en
๐ฅ๐ โ ๐ด si y solo si:
โฮต > 0 โฮด > 0 |( ๐ฅ โ ๐ด โง โ๐ฅ โ ๐ฅ๐โ < ฮด) โน โ๐(๐ฅ) โ ๐(๐ฅ๐)โ < ํ
Tecnicas para verificar la existencia del limite:
Verificar la coincidencia de los limites iterados: Sea ๐: ๐ท โ โ2 โ โ, llamaremos
como limites iterados a:
lim(๐ฅ,๐ฆ)โ(๐ฅ,0)
๐(๐ฅ, ๐ฆ) lim(๐ฅ,๐ฆ)โ(0,๐ฆ)
๐(๐ฅ, ๐ฆ)
i) Si son distintos: No existe limite.
ii) Si son iguales:
a) Verificar utilizando ๐ฆ = ๐๐ฅ e ๐ฆ = ๐ฅ๐ .
b) Utilizar coordenadas polares:
๐ฅ = ๐๐๐๐ (๐) ๐ ๐ฆ = ๐๐ ๐๐(๐)
Si el limite calculado no es dependiente de ๐ , sino de ๐ ,
entonces el limite no existe.
Y si el limite convertido en polares admite un valor definido,
entonces el limite si existe y admite ese valor dado.
c) Verificar por definicion.
Continuidad:
Sea ๐ฅ0 โ ๐ท, sea ๐: ๐ท โ โ๐ โ โ una funcion y ๐ท un conjunto abierto, diremos que ๐
es continua en ๐ฅ0 si:
lim๐ฅโ๐ฅ0
๐(๐ฅ) = ๐(๐ฅ0)
Utilizando esta propiedad, podemos definir:
Sea ๐, ๐ funciones continuas en ๐ฅ0 โ ๐ท con ๐, ๐: ๐ท โ โ๐ โ โ, entonces:
a) ๐ ยฑ ๐ tambien es continua en ๐ฅ0.
b) ๐ โ ๐ tambien es continua en ๐ฅ0.
c) ๐/๐ tambien es continua en ๐ฅ0, si ๐(๐ฅ0) โ 0.
a-3) Diferenciacion:
Derivada parcial:
Sean ๐ โ โ๐ un conjunto abierto y ๐: ๐ โ โ๐ โ โ una funcion con valores reales,
entonces definiremos la derivada parcial de ๐ respecto a ๐ โ ๐๐ ๐๐๐ ๐ฅ como:
๐๐ฅ๐(๐ฅ1, โฏ ๐ฅ๐ , โฏ ๐ฅ๐) =
โ๐
โ๐ฅ๐(๐ฅ1, โฏ ๐ฅ๐ , โฏ ๐ฅ๐) = lim
๐โ0
๐(๐ฅ1, โฏ ๐ฅ๐ + ๐, โฏ ๐ฅ๐) โ ๐(๐ฅ1, โฏ ๐ฅ๐ , โฏ ๐ฅ๐)
๐= lim
๐โ0
๐(๏ฟฝโ๏ฟฝ + ๐ โ ๐๐) โ ๐(๏ฟฝโ๏ฟฝ)
๐
Es lo mismo que derivar una funcion pero tomando las otras variables como
constantes.
Diferenciabilidad:
Sea ๐: โ2 โ โ, decimos que ๐ es diferenciable en (๐ฅ๐ , ๐ฆ๐), si existen ๐ฟ๐(๐ฅ๐,๐ฆ๐)
๐ฟ๐ฅ y
๐ฟ๐(๐ฅ๐,๐ฆ๐)
๐ฟ๐ฆ y satisface la siguiente ecuacion, cuando (๐ฅ, ๐ฆ) โ (๐ฅ๐, ๐ฆ๐):
lim(๐ฅ,๐ฆ)โ(๐ฅ๐,๐ฆ๐)
๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ ๐(๐ฅ๐ , ๐ฆ๐) โ [๐๐๐๐ฅ
(๐ฅ๐, ๐ฆ๐)] (๐ฅ โ ๐ฅ๐) โ [๐๐๐๐ฆ
(๐ฅ๐, ๐ฆ๐)] (๐ฆ โ ๐ฆ๐)
โ(๐ฅ, ๐ฆ) โ (๐ฅ๐ , ๐ฆ๐)โ= 0
Esta propiedad puede ser simplificada de la siguiente manera:
Sea ๐: ๐ท โ โ2 โ โ tal que โf
โx y
โf
โy son continuas en (๐ฅ0, ๐ฆ0) ,
entonces ๐ es diferenciable.
Y si ๐ es diferenciable, entonces ๐ es continua.
En resumen:
Derivadas parciales continuas โ Diferenciable โ Continua
No continua โ No Diferenciable
Plano tangente en 3D:
Sean โ๐
โ๐ฅ๐= ๐๐ฅ๐ continuas โ๐ โ โ , sea ๐ก el vector tangente a la curva C de ๐
parametrizados, definiremos el plano tangente al punto ๐(๐ฅ๐ , ๐ฆ๐, ๐ง๐) como:
๐ง = ๐(๐ฅ๐ , ๐ฆ๐) + [๐๐
๐๐ฅ(๐ฅ๐ , ๐ฆ๐)] (๐ฅ โ ๐ฅ๐) + [
๐๐
๐๐ฆ(๐ฅ๐ , ๐ฆ๐)] (๐ฆ โ ๐ฆ๐) = โ๐(๐ฅ0, ๐ฆ0, ๐ง0) โ (๐ฅ โ ๐ฅ0, ๐ฆ โ ๐ฆ0, ๐ง โ ๐ง0) = 0
Propiedades de la derivada:
Regla de la cadena: Sea ๐: โ2 โ โ con ๐ = ๐(๐ข, ๐ฃ), ๐ข = ๐ข(๐ฅ), ๐ฃ = ๐ฃ(๐ฅ):
๐๐
๐๐ฅ=
๐๐
๐๐ฅ
๐๐ฅ
๐๐ก+
๐๐
๐๐ฃ
๐๐ฃ
๐๐ฅ= ๐ป๐ โ [
๐๐ข
๐๐ฅ,๐ฟ๐ฃ
๐ฟ๐ฅ]
Regla del multiplo constante:
Sea ๐: ๐ โ โ๐ โ โ๐, diferenciable en ๐ฅ๐ , y sea ๐ un numero real, entonces
๐(๐ฅ) = ๐๐(๐ฅ) es diferenciable en ๐ฅ๐ y:
๐ท๐(๐ฅ๐) = ๐๐ท๐(๐ฅ๐) (Igualdad de matrices).
Regla de la suma:
Sean ๐: ๐ โ โ๐ โ โ๐ y ๐: ๐ โ โ๐ โ โ๐ diferenciable en ๐ฅ๐ , entonces
๐(๐ฅ) = ๐(๐ฅ) + ๐(๐ฅ) es diferenciable en ๐ฅ๐ y:
๐ท๐(๐ฅ๐) = ๐ท๐(๐ฅ๐) + ๐ท๐(๐ฅ๐) (Suma de matrices).
Regla del producto:
Sean ๐: ๐ โ โ๐ โ โ y ๐: ๐ โ โ๐ โ โ iferenciable en ๐ฅ๐ , y sea ๐(๐ฅ) =
๐(๐ฅ)๐(๐ฅ), entonces ๐: ๐ โ โ๐ โ โ es diferenciable en ๐ฅ๐ y:
๐ท๐(๐ฅ๐) = ๐ท๐(๐ฅ๐)๐(๐ฅ๐) + ๐(๐ฅ๐)๐ท๐(๐ฅ๐)
Regla del cuociente:
Sean ๐: ๐ โ โ๐ โ โ y ๐: ๐ โ โ๐ โ โ diferenciable en ๐ฅ๐ , y sea ๐(๐ฅ) =
๐(๐ฅ)/ ๐(๐ฅ), entonces ๐: ๐ โ โ๐ โ โ es diferenciable en ๐ฅ๐ y:
๐ท๐(๐ฅ๐) =๐ท๐(๐ฅ๐)๐(๐ฅ๐) โ ๐(๐ฅ๐)๐ท๐(๐ฅ๐)
,๐(๐ฅ๐)-2
Regla de la cadena:
Sean ๐ โ โ๐ y ๐ โ โ๐ abiertos con ๐: ๐ โ โ๐ โ โ๐ y ๐: ๐ โ โ๐ โ โ๐
funciones dadas que ๐ manda a ๐ en ๐ con (๐ ๐ ๐) definida. Si ๐ es
diferenciable en ๐ฅ๐ y ๐ diferenciable en ๐ฆ๐ = ๐(๐ฅ๐) , entonces (๐ ๐ ๐) es
diferenciable en ๐ฅ๐y:
๐ท(๐ ๐ ๐)(๐ฅ๐) = ๐ท .๐(๐(๐ฅ๐))/ = ๐ท๐(๐ฅ๐)๐ท๐(๐ฅ๐)
Gradiente: Se define como un vector compuesto por las derivadas parciales de las
variables de una funcion ๐: โ๐ โ โ.
๐๐๐๐(๐) = โ๐ = [๐๐
๐๐ฅ1
(๐ฅ0), โฏ ,๐๐
๐๐ฅ๐
(๐ฅ0)]
Propiedad: Sea ๐: โ3 โ โ una funcion de clase โ1 y (๐ฅ0, ๐ฆ0 , ๐ง0) un punto de la
superficie de nivel ๐ dado por ๐(๐ฅ0, ๐ฆ0 , ๐ง0) = ๐ con ๐ constante, entonces
โ๐(๐ฅ0, ๐ฆ0, ๐ง0) es normal a la superficie ๐ en el punto (๐ฅ0, ๐ฆ0, ๐ง0).
โ๐ โฅ ๐ถ๐ข๐๐ฃ๐ ๐ ๐๐๐๐๐ ๐ก๐๐๐๐๐๐ก๐ โ โ๐: Vector normal al plano tangente.
Calcular Hiperplano tangente de ๐ en (x1o, ๐ฅ2๐, โฏ , ๐ฅ๐๐), usando de gradiente:
Sea โ๐(x1o, ๐ฅ2๐, โฏ , ๐ฅ๐๐) = (๐1, โฏ , ๐๐), se define el hiperplano tangente de
๐ en (x1o, ๐ฅ2๐ , โฏ , ๐ฅ๐๐), como:
๐: โ๐(x1o, ๐ฅ2๐, โฏ , ๐ฅ๐๐) โ (
๐ฅ1๐ โ ๐1
โฎ๐ฅ๐๐ โ ๐๐
) = 0
Calcular la recta normal a la superficie ๐ en (x0, ๐ฆ0, ๐ง0), usando gradiente:
Sea โ๐(๐ฅ0, ๐ฆ0, ๐ง0) = (๐, ๐, ๐), la recta normal a la superficie es:
๐ฅ โ ๐ฅ0
๐=
๐ฆ โ ๐ฆ0
๐=
๐ง โ ๐ง0
๐
Derivada direccional:
Sea ๐: ๐ท โ โ3 โ โ , se define la derivada de ๐ en la direccion ๏ฟฝฬ๏ฟฝ en el punto ๐ฅ0
como:
d
dx๐(๐ฅ0 + ๐ก๏ฟฝฬ๏ฟฝ)|
๐ก=0= ๐ท๐ฃ๐(๐ฅ0) = โ๐(๐ฅ0) โ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ๐๐ฅ โ ๐ฃ1 + ๐๐ฆ โ ๐ฃ2 + ๐๐ฅ โ ๐ฃ3, si este existe.
Teorema: Si โ๐ โ 0 , esto siempre apunta en la direccion en la cual ๐ crece mas
rapidamente. Y esto hace que la derivada tome su maximo valor cuando โ๐ โฅ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ.
Teorema de Clairaut:
Sea (๐, ๐) un punto contenido en un disco ๐ท, si ๐ es una funcion de clase โ2,
entonces:
๐๐ฅ๐ฆ = ๐๐ฆ๐ฅ
donde:
๐๐ฅ๐ฆ =๐
๐๐ฆ
๐๐
๐๐ฅ=
๐2๐
๐๐ฆ๐๐ฅ ๐๐ฆ๐ฅ =
๐
๐๐ฅ
๐๐
๐๐ฆ=
๐2๐
๐๐ฅ๐๐ฆ
Maximos y minimos:
Maximo: Sea ๐: ๐ท โ โ๐ โ โ una funcion, sea ๐ฅ0 โ ๐ท un punto, diremos que ๐ฅ0
es un maximo de ๐ en ๐ท, si:
๐(๐ฅ0) โฅ ๐(๐ฅ) โ๐ฅ โ ๐ท
Maximo local: Diremos que ๐ฅ0 es una maximo local de ๐ท , si existe
๐ท๐(๐ฅ0) โ D tal que:
๐(๐ฅ0) โฅ ๐(๐ฅ) โ๐ฅ โ ๐ท๐(๐ฅ0) y para algun ๐ โ โ
Minimo: Sea ๐: ๐ท โ โ๐ โ โ una funcion, sea ๐ฅ0 โ ๐ท un punto, diremos que ๐ฅ0
es un maximo de ๐ en ๐ท, si:
๐(๐ฅ0) โค ๐(๐ฅ) โ๐ฅ โ ๐ท
Minimo local: Diremos que ๐ฅ0 es una minimo local de ๐ท , si existe
๐ท๐(๐ฅ0) โ D tal que:
๐(๐ฅ0) โค ๐(๐ฅ) โ๐ฅ โ ๐ท๐(๐ฅ0) y para algun ๐ โ โ
Propiedad: Si ๐ posee un maximo o un minimo en x0, entonces โ๐(๐ฅ0) = 0โโ.
Matriz Hessiana: Sea ๐: ๐ท โ โ๐ โ โ una funcion con derivadas parciales hasta
3er orden, sea hi los errores de la derivada y sea x0 un punto critico, se tiene que:
๐(๐ฅ0 + ๐) โ ๐(๐ฅ0) = ๐๐๐ป(๐(๐ฅ0))๐
donde, para โ2: ๐ = (๐1
๐2) y ๐ป = (
๐๐ฅ๐ฅ ๐๐ฅ๐ฆ
๐๐ฆ๐ฅ ๐๐ฆ๐ฆ)
Forma cuadratica de la matriz Hessiana:
Minimo local Maximo local Punto silla
โ๐(๐0) = 0โโ ๐๐ฅ๐ฅ(๐0) > 0
(๐๐ฅ๐ฅ๐๐ฆ๐ฆ โ (๐๐ฅ๐ฆ)2
)(๐0) > 0
โ๐(๐0) = 0โโ ๐๐ฅ๐ฅ(๐0) < 0
.๐๐ฅ๐ฅ๐๐ฆ๐ฆ โ (๐๐ฅ๐ฆ)2
/ (๐0) > 0
.๐๐ฅ๐ฅ๐๐ฆ๐ฆ โ (๐๐ฅ๐ฆ)2
/ (๐0) < 0
Conjunto acotado: Sea ๐ท โ โ๐, diremos que Sea ๐ท es un conjunto acotado, si
existe un disco o una bola ๐ต๐(๐ฅ0) con ๐ฅ0 โ ๐ท tal que ๐ท โ ๐ต๐(๐ฅ0).
Teorema del maximo: Sea ๐: ๐ท โ โ๐ โ โ una funcion continua con ๐ท un
conjunto cerrado y acotado, esta funcion siempre admite maximo y minimo.
Buscar maximos y minimos:
i) Analizar en el interior de D, los maximos y los mminimos,
buscando puntos criticos (โ๐ = 0) y luego, revisar H.
ii) Buscar en la frontera de D. Para esto, tenemos que parametrizar
la frontera en una variable.
Metodo de Lagrange:
Sea ๐: ๐ท โ โ๐ โ โ una funcion de clase โ2 y S: *๐(๐ฅ) = ๐ una
superficie o curva de nivel, sea ๐ฅ0 โ ๐ท un punto tal que ๐(๐ฅ0) = c, con
โ๐(๐ฅ0) โ 0โโ.
Si ๐|๐ (๐ restringida en ๐) posee un maximo o un minimo local en ๐ฅ0 ,
entonces se tiene que:
โ๐(๐ฅ0) = ๐โ๐(๐ฅ0)
donde: ๐: Multiplicador de Lagrange.
๐ฅ0: Punto critico.
Teorema: Si ๐|๐ posee un maximo o un minimo en ๐ฅ0 , โ๐(๐ฅ0) es
perpendicular al S en ๐ฅ0.
TFIs:
Teorema de la funcion implicita:
Sean:
๐น(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ข, ๐ฃ) = 0 ๐ฆ ๐บ(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ข, ๐ฃ) = 0
Si:
|๐(๐น, ๐บ)
๐(๐ข, ๐ฃ)| = det (
๐น๐ข ๐น๐ฃ
๐บ๐ข ๐บ๐ฃ) โ 0
Se tiene que:
๐ข = ๐ข(๐ฅ, ๐ฆ) ๐ฆ ๐ฃ = ๐ฃ(๐ฅ, ๐ฆ)
Teorema de la funcion inversa:
Sea ๐น: โ๐ โ โn, si det (๐ฝ๐น)(๐0) โ 0, โFโ1 en el punto ๐0 โ โ๐ y para este caso:
๐ฝ๐นโ1(๐0) = (๐ฝ๐น(๐0))โ1
B) Integrales multiples
a-1) Integrales dobles:
Sea ๐ = ,๐, ๐- ร ,๐, ๐- un conjunto en โ2 , para este rectangulo R, consideraremos una
particion::
๐ = ๐ฅ0 < ๐ฅ1 < โฏ < ๐ฅ๐โ1 < ๐ฅ๐ = ๐
๐ = ๐ฆ0 < ๐ฆ1 < โฏ < ๐ฆ๐โ1 < ๐ฆ๐ = ๐
De este modo, generando los sub-rectangulos:
๐ ๐๐ = ,๐ฅ๐ , ๐ฅ๐+1- ร [๐ฆ๐ , ๐ฆ๐+1] = โ๐ฅ๐ ร โ๐ฆj
Sea ๐: โ2 โ โ una funcion continua y sea ๐๐๐ โ ๐ ๐๐ :
lim(๐,๐)โโ
โ โ ๐(๐ฅ๐๐โ , ๐ฆ๐๐
โ )(๐ฅ๐+1 โ ๐ฅ๐)(๐ฆ๐+1 โ ๐ฆ๐)
๐
๐=1
๐
๐=1
= lim(๐,๐)โโ
โ ๐(๐๐๐)โ๐ฅ๐โ๐ฆ๐
๐,๐
๐,๐=1
Y esta suma de Riemann, lo expresaremos de la siguiente manera:
โฌ ๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฆ๐๐ฅ
,๐,๐-ร,๐,๐-
= โฌ ๐๐ด
๐
Propiedad:
i) โฌ ๐๐๐๐ด
๐ = ๐ โฌ ๐๐๐ด
๐
ii) Si ๐ = ๐ 1 โช ๐ 2: โฌ ๐๐๐ด
๐ = โฌ ๐๐๐ด
๐ 1+ โฌ ๐๐๐ด
๐ 2,
iii) โฌ (๐ + ๐)๐๐ด =
๐ โฌ ๐๐๐ด
๐ + โฌ ๐๐๐ด
๐
iv) โฌ (๐ + ๐)๐๐ด =
๐
v) Si ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โค ๐(๐ฅ, ๐ฆ) para (๐ฅ, ๐ฆ) โ R, entonces: โฌ ๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ด โค
๐ โฌ ๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ด
๐
Teorema: Sea ๐ una funcion continua en ๐ = ,๐, ๐- ร ,๐, ๐-, entonces diremos que la
funcion es integrable. Dicho de otra manera:
โ โฌ ๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ด
๐
Teorema de Fubini: Sea ๐ una funcion continua sobre ๐ = ,๐, ๐- ร ,๐, ๐-, entonces:
โซ โซ ๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐
๐
๐
๐
๐๐ฆ๐๐ฅ = โซ โซ ๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐
๐
๐
๐
๐๐ฅ๐๐ฆ = โฌ ๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ด
๐
Integrales dobles sobre regiones generales:
I) Region del tipo I:
Un conjunto ๐ท โ โ2, se dira del tipo I si:
๐ท โ *(๐ฅ, ๐ฆ) โ โ2: ๐ โค ๐ฅ โค ๐ ๐ฆ ๐1(๐ฅ) โค ๐ฆ โค ๐2(๐ฅ)+ con ๐1 y ๐2 continuas,
Sobre este tipo de regiones, denotaremos:
โฌ ๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ด
๐ท
= โซ โซ ๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐2(๐ฅ)
๐1(๐ฅ)
๐
๐
๐๐ฆ๐๐ฅ
II) Region del tipo II:
Un conjunto ๐ท โ โ3, se dira del tipo II si:
๐ท โ *(๐ฅ, ๐ฆ) โ โ2: ๐ โค ๐ฆ โค ๐ ๐ฆ ๐1(๐ฅ) โค ๐ฅ โค ๐2(๐ฅ)+ con ๐1 y ๐2 continuas,
Sobre este tipo de regiones, denotaremos:
โฌ ๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ด
๐ท
= โซ โซ ๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐2(๐ฅ)
๐1(๐ฅ)
๐
๐
๐๐ฅ๐๐ฆ
III) Region del tipo III:
Un conjunto ๐ท โ โ2, se dira del tipo III, si es del tipo I o del tipo II.
Cambio de variables en polares: Sea ๐ una funcion continua en un rectangulo polar R
dado por 0 โค ๐ โค ๐ฅ โค ๐ y ๐ผ โค ๐ โค ๐ฝ, donde 0 โค ๐ โ ๐ผ โค 2๐, tenderemos:
โฌ ๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐
๐ท
= โฌ ๐(๐ cos(๐) , ๐ ๐ ๐๐(๐)) โ ๐ โ ๐๐ ๐๐
๐ท
Aplicacion de las integrales dobles:
a) Masa: Sea ๐ท โ โ2 una region con densidad puntual ๐(๐ฅ, ๐ฆ), la masa de D sera:
๐(๐ท) = โฌ ๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ด
๐ท
b) Momento: Se definen los momentos de D respecto a los ejes x e y como:
๐๐ฅ = โฌ ๐ฆ๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ด
๐ท
๐๐ฆ = โฌ ๐ฅ๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ด
๐ท
c) Centro de masa:
(๏ฟฝฬ ๏ฟฝ, ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ) = (๐๐ฆ
๐,๐๐ฅ
๐) = (
โฌ ๐ฅ๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ด
๐ท
โฌ ๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ด
๐ท
,โฌ ๐ฆ๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ด
๐ท
โฌ ๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ด
๐ท
)
d) Momento de inercia:
๐ผ๐ฅ = โฌ ๐ฆ2๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ด
๐ท
๐ผ๐ฆ = โฌ ๐ฅ2๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ด
๐ท
Momento polar de inercia: Es el momento de inercia calculado respecto al
origen.
๐ผ๐ = ๐ผ๐ฅ + ๐ผ๐ฆ = โฌ(๐ฅ2 + ๐ฆ2)๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ด
๐ท
Teorema de Steiner:
๐ผ๐ธ๐ = ๐ผ๐ถ๐ + ๐๐2
donde: ๐ผ๐ธ๐ : Momento de inercia de un punto con eje paralelo al centroide.
๐ผ๐ถ๐ : Momento de inercia calculado respecto al centro de masa.
๐: Masa del objeto.
๐: Distancia entre los ejes paralelos.
a-2) Integrales triples:
Sea B una caja en 3D que tiene la siguiente forma:
๐ต = *(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง): ๐ โค ๐ฅ โค ๐, ๐ โค ๐ฆ โค ๐, ๐ โค ๐ง โค ๐ +
De esta manera, podemos extraer las sub-cajas de la caja B:
๐ต๐๐๐ = ,๐ฅ๐ , ๐ฅ๐+1- ร [๐ฆ๐ , ๐ฆ๐+1] ร ,๐ง๐ , ๐ง๐+1- = โ๐ฅ๐ ร โ๐ฆj ร โ๐ง๐
Sea ๐: โ โ โ una funcion continua y sea ๐๐๐๐ โ ๐ ๐๐๐ :
lim(๐,๐,๐)โโ
โ โ โ ๐(๐ฅ๐๐๐โ , ๐ฆ๐๐๐
โ , ๐ง๐๐๐โ )(๐ฅ๐+1 โ ๐ฅ๐)(๐ฆ๐+1 โ ๐ฆ๐)
๐
๐=1
(๐ง๐+1 โ ๐ง๐)
๐
๐=1
๐
๐=1
= lim(๐,๐,๐)โโ
โ ๐(๐๐๐๐)โ๐ฅ๐โ๐ฆ๐
๐,๐,๐
๐,๐,๐=1
โ๐ง๐
Y esta suma de Riemann, lo expresaremos de la siguiente manera:
โญ ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง)
,๐,๐-ร,๐,๐-ร,๐,๐ -
๐๐ฅ๐๐ฆ๐๐ง = โญ ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง)
๐ต
๐๐
Teorema de Fubini: Sea ๐ una funcion continua sobre ๐ต = ,๐, ๐- ร ,๐, ๐- ร ,๐, ๐ -, entonces:
โญ ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง)
,๐,๐-ร,๐,๐-ร,๐,๐ -
๐๐ฅ๐๐ฆ๐๐ง = โซ โซ โซ ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง)๐๐ฅ๐๐ฆ๐๐ง๐
๐
๐
๐
๐
๐
= โญ ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง)
๐ต
๐๐
Cambio de variables en cilindricas:
Dado (๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) โ โ3, podemos aplicar el siguiente cambio de variables:
(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) = {๐ฅ = ๐๐๐ (๐)
๐ฆ = ๐ ๐๐(๐)๐ง = ๐ง
๐๐๐๐๐ โ โ+
๐ โ ,0,2๐-๐ง โ โ
โญ ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง)๐๐
๐ต
= โญ ๐(๐ cos(๐) , ๐ ๐ ๐๐(๐) , ๐ง) โ ๐ โ ๐๐ ๐๐ ๐๐ง
๐ต
Cambio de variables en esfericas:
Dado (๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) โ โ3, podemos aplicar el siguiente cambio de variables:
(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) = {
๐ฅ = ๐ ๐ ๐๐(๐) ๐๐๐ (๐)๐ฆ = ๐ ๐ ๐๐(๐) ๐ ๐๐(๐)
๐ง = ๐ ๐๐๐ (๐)๐๐๐๐
๐ โ โ+
๐ โ ,0,2๐-
๐ โ ,0,2๐-
โญ ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง)๐๐
๐ต
= โญ ๐(๐ ๐ ๐๐(๐) ๐๐๐ (๐) , ๐ ๐ ๐๐(๐) ๐ ๐๐(๐) , ๐ ๐๐๐ (๐)) โ ๐2 ๐ ๐๐(๐) โ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐ต
Integrales triples sobre regiones generales:
I) Region del tipo I:
Un conjunto ๐ธ โ โ3, se dira del tipo I si:
๐ธ = *(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) โ โ3: ๐ โค ๐ฅ โค ๐, ๐1(๐ฅ) โค ๐ฆ โค ๐2(๐ฅ), ๐ข1(๐ฅ, ๐ฆ) โค ๐ง โค ๐ข2(๐ฅ, ๐ฆ)+
con ๐1, ๐2, ๐ข1 y ๐ข2 continuas,
Sobre este tipo de regiones, denotaremos:
โญ ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง)๐๐
๐ต
= โซ โซ โซ ๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐ข2(๐ฅ)
๐ข1(๐ฅ)
๐2(๐ฅ)
๐1(๐ฅ)
๐
๐
๐๐ง๐๐ฆ๐๐ฅ
II) Region del tipo II:
Un conjunto ๐ธ โ โ3, se dira del tipo II si:
๐ธ = *(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) โ โ3: ๐ โค ๐ฆ โค ๐, ๐1(๐ฅ) โค ๐ฅ โค ๐2(๐ฅ), ๐ข1(๐ฅ, ๐ฆ) โค ๐ง โค ๐ข2(๐ฅ, ๐ฆ)+
con ๐1, ๐2, ๐ข1 y ๐ข2 continuas,
Sobre este tipo de regiones, denotaremos:
โญ ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง)๐๐
๐ต
= โซ โซ โซ ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง)๐ข2(๐ฅ)
๐ข1(๐ฅ)
๐2(๐ฅ)
๐1(๐ฅ)
๐
๐
๐๐ง๐๐ฆ๐๐ฅ
III) Region del tipo III:
Un conjunto ๐ธ โ โ3, se dira del tipo III, si es del tipo I o del tipo II.