INECUACIONESCICLO 2013-II Mdulo: IUnidad: I Semana: IICALCULO VECTORIALDOCENTE: SALDAA GOLDSCHMIDT MIRKO ALFREDO

INECUACIONES Una inecuacin es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos:

La solucin de una inecuacin es el conjunto de valores de la variable que verifica la inecuacin.

mayor que2x 1 > 7mayor o igual que 2x 1 7

Podemos expresar la solucin de la inecuacin mediante:

1. Una representacin grfica.

2. Un intervalo.

a).- 2x 1 < 7

2x < 8 x < 4

(-, 4) 2x 1 7

b). - 2x 8 x 4 [4, )

c).- 2x 1 > 7

2x > 8 x > 4

(4, ) 2x 1 7

c).- 2x 8 x 4

(-, 4]

Si a los dos miembros de una inecuacin se les suma o se les resta un mismo nmero, la inecuacin resultante es equivalente a la dada.

3x + 4 < 5 3x + 4 4 < 5 4 3x < 1

Si a los dos miembros de una inecuacin se les multiplica o divide por un mismo nmero positivo, la inecuacin resultante es equivalente a la dada.

2x < 6 2x : 2 < 6 : 2 x < 3

Si a los dos miembros de una inecuacin se les multiplica o divide por un mismo nmero negativo, la inecuacin resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.

x < 5 (x) (1) > 5 (1)x > 5

INECUACIONES DE PRIMER GRADOConsideramos la siguiente ecuacin :La resolveremos aplicando los siguientes pasos:

1 Quitar corchetes.2 Quitar parntesis.

3 Quitar denominadores.4 Agrupar los trminos en x a un lado de la desigualdad y los trminos independientes en el otro.5 Efectuar las operaciones6 Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por 1, por lo que cambiar el sentido de la desigualdad.7 Despejamos la incgnita. De forma grfica:

Como un intervalo:

[3, +)

Resolver las inecuaciones de primer grado1.-2.-3.-4.-5.-

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

1.-x2 6x + 8 > 0

La resolveremos aplicando los siguientes pasos:1 Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las races de la ecuacin de segundo grado.

x2 6x + 8 = 0

2 Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:P(0) = 02 6 0 + 8 > 0 P(3) = 32 6 3 + 8 = 17 18 < 0 P(5) = 52 6 5 + 8 = 33 30 > 0

3 La solucin est compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.S = (-, 2) (4, )

2.- x2 + 2x +1 0 Utilizando la formula general :

x2 + 2x +1 = 0Como un nmero elevado al cuadrado es siempre positivo la solucin es (x + 1)2 0

3.- x2 + x +1 > 0

x2 + x +1 = 0 Cuando no tiene races reales, le damos al polinomio cualquier valor si:El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solucin es .

El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solucin.

Solucinx2 + 2x +1 0(x + 1)2 0x2 + 2x +1 > 0(x + 1)2 > 0x2 + 2x +1 0(x + 1)2 0x = 1 x2 + 2x +1 < 0(x + 1)2 < 0

INECUACIONES RACIONALES Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero.

Solucinx2 + x +1 0x2 + x +1 > 0x2 + x +1 0x2 + x +1 < 0

1 Hallamos las races del numerador y del denominador.

x 2 = 0 x = 2 x 4 = 0 x = 4

2 Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las races del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.

3Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo

4 La solucin est compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fraccin polinmica.S = (-, 2] (4, )

Ejercicios 1.-

[2 , 1] (1, 2)

Resolver las inecuaciones de segundo grado1.-2.-3.-4.-5.-x4 +12x3 - 64x2 > 0 7x2 + 21x 28 < 0 x2 + 4x 7 < 0 x2 6x + 8 > 0 4x2 16 0

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