Resolver funciones logaritmicas

y exponenciales usando

propiedadesMATE 3012 - UPRA

Resolver funciones logarítmicas

• El hecho de que las funciones logaritmicas son uno-a-

uno, nos permite resolver dos tipos de ecuaciones

logarítmicas sencillas.

• CASO 1: la igualdad de dos expresiones logarítmicas

con base igual

• Resolver:

Resolver funciones logarítmicas

• CASO 2: una expresión logarítmica igualada a un número se resuelve usando la definición de logaritmopara convertir a una exponencial.

a) log3(x+2) – 2 = 1Primeramente, aislamos la expresión logarítmica.

log3(x+2)= 3

Ahora cambiamos a la forma exponencial,

𝒙 + 𝟐 = 𝟑𝟑

𝒙 + 𝟐 = 𝟐𝟕

𝒙 = 𝟐𝟓

Finalmente, verificamos en la ecuación original:

log3(x+2) – 2 = log3(25+2) – 2 = log3(27) – 2 = 3 – 2 =1

Práctica adicional

• Resolver usando la propiedad uno-a-uno de

funciones logarítmicas :

a) log3(2x2) = log3(5x + 3)

b) log2(x2 – 30) = log2(x)

Práctica

• Resolver usando la definición de logaritmos :

a) log3(x+2) – 2 = 1

b) log2(x2 – 2x) = 3

Leyes de exponentes vs. Leyes de logaritmos

loga(x/y) = logax - logay

loga(xy) = logax + logay

logaxn = nlogax

am an = am+n

am/an = am-n

(am)n = amn

Así el logaritmo de un producto es una suma de logaritmos.

Por lo que el logaritmo de un cociente es una diferencia delogaritmos

El logaritmo de la potencia de un número es el exponente por el logaritmo del número.

1)

2)

3)

EjemplosUse las leyes de logaritmos para escribir las siguientes

expresiones sin logaritmos de potencias.

1 𝑙𝑜𝑔2311

2 𝑙𝑜𝑔3𝑥3

𝑦

= 𝑙𝑜𝑔2 11

13

=13∙ 𝑙𝑜𝑔2 11

= 𝑙𝑜𝑔3(𝑥3) 1 2

𝑦 1 2

= log3𝑥32

𝑦12

= 𝑙𝑜𝑔3𝑥3

𝑦

= log3 𝑥3

2 − log3 𝑦1

2 =3

2log3 𝑥 −

1

2log3 𝑦

loga

𝑥

𝑦= logax - logay

loga(xy) = logax + logay

logaxn = nlogax

Escribir como un solo logaritmo.

loga

𝑥

𝑦= logax - logay

loga(xy) = logax + logay

logaxn = nlogax

Resolver

8loglog3 x

log 𝑥3 = log 8

𝑥3 = 8

𝑥 =38

𝑥 = 2VERIFICACION:

Si x = 2:

3 log 2 = log 8

3 log 2 = log 23

3 log2 = 3log2

Aplicar la propiedad (3):

Cambiar a la forma exponencial.

Resolver

𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 1 + 𝑙𝑜𝑔2 3 = 3

𝑙𝑜𝑔2 3 𝑥 + 1 = 3

𝑙𝑜𝑔2 3𝑥 + 3 = 3

3𝑥 + 3 = 23

3𝑥 + 3 = 8

3𝑥 = 5

𝑥 = 53

Prop. (1):

Cambiar a la forma

exponencial

Resolver

10log)1log(log xx

loga

𝑥

𝑦= logax - logay

loga(xy) = logax + logay

logaxn = nlogax

Bases Especiales• Cuando la base a es…

o 10 , llamamos log10 x el logaritmo común de x ;

• normalmente se escribe log x en vez de log10 x .

o e, llamamos loge x el logaritmo natural de x ;

• normalmente escribimos ln x en vez de loge x .

Ejemplo: Determinar x si:

Fórmula para cambiar de base• Las propiedades de logaritmos se pueden usar para

derivar una fórmula para cambiar de base .

• La fórmula es útil ya que muchas calculadoras sólo

incluyen formas para determinar el logaritmo común

y el logaritmo natural.

• Sea u > 0 y a,b números reales positivos distintos de

1, entonces

𝑙𝑜𝑔𝑏𝑢 =𝑙𝑜𝑔𝑎𝑢

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏

Formula para cambiar de baseDetermine el valor, redondeado a 2 lugares

decimales, de

log5105

Usando la fórmula para cambiar de base

log5105 = 𝒍𝒐𝒈 𝟏𝟎𝟓

𝒍𝒐𝒈 𝟓≈ 𝟐. 𝟖𝟗

Nota que si utilizamos el logaritmo natural

log5105 = 𝒍𝒏 𝟏𝟎5

𝒍𝒏 5≈ 2.89

𝑙𝑜𝑔𝑏𝑢 =𝑙𝑜𝑔𝑎𝑢

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏

Resolver ecuaciones

exponenciales con bases

diferentes usando el método de

tomar logaritmos en ambos

lados de la ecuación

Ejemplo• Resolver : 5x = 105

• Cambiamos a la forma logarítmca

x = log5 105

• log5 105 es la solución exacta.

• Para una aproximación

o función de la calculadora

“Tomar el logaritmo de ambos lados”

• Para resolver una ecuación que envuelve expresiones

exponenciales con bases diferentes y expresiones variables

en la posición del exponente, es usual resolver “tomando el

logaritmo en ambos lados de la ecuación” y aplicando las

leyes de los logaritmos para resolver.

Ejemplo• Resolver: 2x = 3x – 2

log(2x ) = log(3x – 2)

o

ln(2x ) = ln(3x – 2)

x log 2 = (x – 2) log 3

x log 2 = x log 3 – 2 log 3

x log 2 – x log 3= – 2 log 3

x(log 2 – log 3) = –2log 3

x= –2 log 3

(log 2 – log 3)≈ 5.419