Post on 06-Feb-2018
Resolución Numérica de Problemas de Transmisión de Calor. Método de las diferencias finitas.
1. División del espacio considerado en una serie de elementoscuyas propiedades vienen representadas por un punto central (nodo).
2. Aplicación de balances de energía a cada elemento, obteniendo la ecuación característica para cada nodo.
3. Resolución simultánea de todos los balances, para obtener el perfil de temperaturas.
4. Si el caso lo requiere cálculo del flujo de calor con la ley de Fourier y el perfil de temperaturas.
1. División del espacio considerado en una serie de elementoscuyas propiedades vienen representadas por un punto central (nodo).
Tipos de nodos
a) Nodos en elementos centrales
. .
.... . ..
.i, j+1
i, j i+1, ji-1, j
i, j-1Δx
Δy
Δx
Δy
Δx/2
Δy.
.
..i+1, j..
i, j+1
i, j
i, j-1
Tipos de nodos
b) Nodos en elementos laterales
c) Nodos en elementos de esquina
Δx/2
Δy/2
i+1, j
.i, j
i, j-1
2. Aplicación de balances de energía a cada elemento, obteniendo la ecuación característica para cada nodo.
E+G=S+Ac
Entrada-Salida Conducción, convección...
Generación:
Acumulación: Régimen estacionario y Régimen no estacionario
3. Resolución simultánea de todos los balances, para obtener el perfil de temperaturas.
Microsoft Excel Referencia circular
Fórmulas que hacen referencia a sus propias celdas
Cuando una fórmula hace referencia a su propia celda, directa o indirectamente, sedenomina referencia circular. Para calcular esta fórmula, Microsoft Excel deberá calcular cada celda implicada en la referencia circular utilizando los resultados de la iteraciónanterior. Si no se cambia el valor predeterminado de la iteración, Excel detendrá los cálculos tras 100 iteraciones o después de que todos los valores en la referencia circular cambien menos de 0,001 entre iteraciones, independientemente de cuál sea la primera.
4. Si el caso requiere el cálculo del flujo de calor con la ley de Fourier o la ley de Newton del enfriamiento y el perfil de temperaturas.
( )x
TTyWk
xTk
dxdTAkQ jiji
Δ−
Δ−=ΔΔ
−≅−= + ,,1
)( , jiTTAhQ −= ∞
Caso 1: Conducción en estado estacionario.Hállese la distribución de temperatura en los nodos de la placa representada en la figura (5 cm X 10 cm), suponiendo que en las esquinas la temperatura es el valor medio del de las dos caras en las que se encuentran. Determínese también el flujo de calor que atraviesa el plano central vertical si la conductividad de la placa es de 1 W/mºK.
T=100 ºC
T=400 ºC
T=600 ºCT=900 ºC
T=100 ºC
T=400 ºC
T=600 ºCT=900 ºC
Δy= Δx=1 cm
Caso 1: Conducción en estado estacionario
Δx
Δy
( )xWky
TTQ jiji
ΔΔ
−= + ,1,
1
( )xWky
TTQ jiji
ΔΔ
−= − ,1,
4
( )yWkx
TTQ jiji
ΔΔ
−= − ,,1
3
( )yWkx
TTQ jiji
ΔΔ
−= + ,,1
2
Caso 1: Conducción en estado estacionario
E+G=S+Ac
(E-S)+G=Ac
Estado estacionario sin generación G=Ac=0
04321 =+++ QQQQ
( ) ( ) ( ) ( )0,1,,,1,,1,1, =
ΔΔ
−+
ΔΔ
−+
ΔΔ
−+
ΔΔ
− −−++
xWky
TT
yWkx
TT
yWkx
TT
xWky
TT jijijijijijijiji
0,1,,,1,,1,1, =−+−+−+− −−++ jijijijijijijiji TTTTTTTT
04 ,1,,1,11, =−+++ −−++ jijijijiji TTTTT
41,,1,11,
,−−++ +++
= jijijijiji
TTTTT
2. Estructurar la hoja de Cálculo e incluir condiciones de contorno
41,,1,11,
,−−++ +++
= jijijijiji
TTTTT
Caso 2: Conducción en estado estacionario con convección.
En la figura se muestra la sección transversal de una viga de hierro (ρ=7880 kg/m3, cp=1257 J/(kg K) y k=35.1 W/(m K)) de dimensiones 20 x 10 cm (y longitud muy larga) situada en el suelo y cubierta parcialmente de nieve.La nieve hace que la temperatura de las paredes laterales sea de 0ºC (incluir las 4 esquinas)La parte superior de la viga está en contacto con aire a 15ºC. El coeficiente individual de transferencia de energía entre la parte superior de la viga y el aire es de 100 W/(m2K)
La parte inferior de la viga puede considerarse aislada
1) Obtener el perfil de temperaturas del sistema.2) Determinar el flujo de calor por unidad de longitud de viga que pierde o gana la viga a
través de la superficie superior en contacto con el aire.
Resuélvase el problema por métodos numéricos. Tómese un valor de 2 cm para los incrementos de x e y.
La viga está aislada del suelo
VIGA
Aire T=15ºC
NieveT= 0ºC
NieveT= 0ºC
20 cm10 cm
Nodos de temperatura conocida: T=0ºC
Nodos en elementos centrales, con transporte de calor por conducción por sus cuatro caras
Nodos en elementos laterales, con transporte de calor por conducción por tres caras, y transporte de calor por convección por la cuarta
Nodos en elementos laterales, con transporte de calor por conducción por tres caras; una de ellas está aislada térmicamente.
Nodos en elementos centrales, con transporte de calor por conducción por sus cuatro caras
Δx
Δy
( )xWky
TTQ jiji
ΔΔ
−= + ,1,
1
( )xWky
TTQ jiji
ΔΔ
−= − ,1,
4
( )yWkx
TTQ jiji
ΔΔ
−= − ,,1
3
( )yWkx
TTQ jiji
ΔΔ
−= + ,,1
2
Conducción en estado estacionario
E+G=S+Ac
(E-S)+G=Ac
Estado estacionario sin generación G=Ac=0
04321 =+++ QQQQ
( ) ( ) ( ) ( )0,1,,,1,,1,1, =
ΔΔ
−+
ΔΔ
−+
ΔΔ
−+
ΔΔ
− −−++
xWky
TT
yWkx
TT
yWkx
TT
xWky
TT jijijijijijijiji
0,1,,,1,,1,1, =−+−+−+− −−++ jijijijijijijiji TTTTTTTT
04 ,1,,1,11, =−+++ −−++ jijijijiji TTTTT
41,,1,11,
,−−++ +++
= jijijijiji
TTTTT
Nodos en elementos laterales, con transporte de calor por conducción por tres caras; una de ellas está aislada térmicamente.
Δy/2
Δx
( )xWky
TTQ jiji
ΔΔ
−= + ,1,
1
04 =Q
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
Δ−
= −
2
,,13
yWkx
TTQ jiji
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
Δ−
= +
2
,,12
yWkx
TTQ jiji
E+G=S+Ac
(E-S)+G=AcEstado estacionario sin generación G=Ac=0
04321 =+++ QQQQ
( )00
22
,,1,,1,1, =+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
Δ−
+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
Δ−
+
ΔΔ
− −++
yWkx
TT
yWkx
TT
xWky
TT jijijijijiji
022
,,1,,1,1, =
−+
−+− −+
+jijijiji
jijiTTTT
TT
022 ,
,1,11, =−
++ −+
+ jijiji
ji TTT
T
42,1,11,
,jijiji
jiTTT
T −++ ++=
Nodos en elementos laterales, con transporte de calor por conducción por tres caras, y transporte de calor por convección por la cuarta.
Δy/2
Δx
( )xWh
TTQ jiji
Δ
−= +
1,1,
1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
Δ−
= −
2
,,13
yWkx
TTQ jiji
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
Δ−
= +
2
,,12
yWkx
TTQ jiji
( )xWky
TTQ jiji
ΔΔ
−= − ,1,
4
E+G=S+Ac
(E-S)+G=AcEstado estacionario sin generación G=Ac=0
04321 =+++ QQQQ
( ) ( )0
22
1,1,,,1,,1,1, =
ΔΔ
−+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
Δ−
+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
Δ−
+Δ
− −−++
xWky
TT
yWkx
TT
yWkx
TT
xWh
TT jijijijijijijiji
( )01
21
1
2
11,1,,,1,,1,1, =
−+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
Δ
− −−++
k
TT
k
TT
k
TT
xh
TT jijijijijijijiji
( )[ ] [ ] [ ] [ ] 022 ,1,
,,1,,1,1, =−+
−+
−+−Δ −
−++ jiji
jijijijijiji TTk
TTkTTkTTxh
( )
( ) 22
22 1,
,1,11,1,
,1,11,
, +
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
++
=+Δ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
++Δ
=−
−++−
−++
Bi
TTT
TBi
kxh
TTT
kTxhT
jijiji
jijijiji
ji
ji
T=0ºC
41,,1,11,
,−−++ +++
= jijijijiji
TTTTT
22
1,,1,1
1,
, +
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
++
=−
−++
Bi
TTT
TBiT
jijiji
ji
ji
42,1,11,
,jijiji
jiTTT
T −++ ++=
Caso 3: Conducción en estado estacionario con convección en bloques de distintos materiales.
En la figura se muestra una estructura muy profunda (profundidad= W) adosada a un horno cuya pared estáa 500ºC. Consta de :a) una lámina de acero (k= 40 W/mK) de 2 cm de espesor que sirve de soporte a otros dos materialesb) un bloque de material (k = 10 W/mK) de 8 cm de altura y 10 cm de anchura, unido a la superficie del horno
El sistema, excepto por la zona unida a la pared del horno está totalmente rodeado de aire a 20ºC. El aire de alrededor circula rápidamente de modo que el coeficiente de convección entre el aire y los distintos materiales es lo suficientemente alto para considerar que la temperatura superficial de éstos es 20ºC.A través del acero circula una corriente eléctrica que libera una energía de 15 000 W/m3.a) obtener el perfil de temperaturas del sistemab) determinar el flujo de calor por unidad de anchura del sistema que se pierde al aire
Resuélvase el problema por métodos numéricos. Tómese un valor de 1 cm para los incrementos de x e y.
Condición de contorno. T= 500ºC
Condición de contorno. T= 20ºC
Conducción por las 4 caras. Un único material
Conducción por las 4 caras. Un único material
Conducción por las 4 caras. Elemento constituidopor dos materiales
Conducción en estado estacionario
Δx
Δy
( )xWky
TTQ jiji
ΔΔ
−= + ,1,
1
( )xWky
TTQ jiji
ΔΔ
−= − ,1,
4
( )yWkx
TTQ jiji
ΔΔ
−= − ,,1
3
( )yWkx
TTQ jiji
ΔΔ
−= + ,,1
2
Conducción en estado estacionario
E+G=S+Ac
(E-S)+G=Ac
Estado estacionario Ac=0
04321 =++++ GeneracionQQQQ
( ) ( ) ( ) ( )0,1,,,1,,1,1, =ΔΔ+
ΔΔ
−+
ΔΔ
−+
ΔΔ
−+
ΔΔ
− −−++ yWxxWk
yTT
yWkx
TT
yWkx
TT
xWky
TT jijijijijijijiji φ
02,1,,,1,,1,1, =Δ+−+−+−+− −−++ x
kTTTTTTTT jijijijijijijiji
φ
04 ,2
1,,1,11, =−Δ++++ −−++ jijijijiji Txk
TTTT φ
4
1,,1,11,2
,
−−++ +++Δ=
jijijiji
ji
TTTTxkT
φ
Conducción en estado estacionario
Δx
Δy
( )xWky
TTQ jiji
ΔΔ
−= +
1
,1,1
( )xWky
TTQ jiji
ΔΔ
−= −
2
,1,4
( )yWkx
TTQ jiji
ΔΔ
−= − ,,1
3 ( )yWkx
TTQ jiji
ΔΔ
−= + ,,1
2
221 kkk +
=
Conducción en estado estacionario
E+G=S+Ac
(E-S)+G=Ac
Estado estacionario Ac=0
04321 =++++ GeneracionQQQQ
( ) ( ) ( ) ( )0
22
,1,,,1,,1
1
,1, =Δ
Δ+
ΔΔ
−+
ΔΔ
−+
ΔΔ
−+
ΔΔ
− −−++ WyxxWk
yTT
yWkx
TT
yWkx
TT
xWky
TT jijijijijijijiji φ
( ) ( ) ( ) 02,1,2,,1,,1,1,1 =Δ
Δ+−+−+−+− −−++ WyxTTkTTkTTkTTk jijijijijijijiji φ
( )kkk
yxTTkTkTkT
jijijiji
ji 22
21
,1,11,21,1
, ++
ΔΔ++++
=−+−+ φ
Celdas en elementos laterales con convección por una de sus caras
Δx/2
Δy
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
Δ−
= +
Wxk
yTT
Q jiji
2
,1,1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
Δ−
= −
Wxk
yTT
Q jiji
2
,1,4
( )yWh
TTQ jiji
Δ
−= −
1,,1
3
( )yWkx
TTQ jiji
ΔΔ
−= + ,,1
2
E+G=S+Ac
(E-S)+G=AcEstado estacionario Ac=0
04321 =+++ QQQQ
( ) ( )0
2
2
1
2
,1,,,1,,1,1, =ΔΔ
+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
Δ−
+Δ
−+
ΔΔ
−+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
Δ− −−++ yWx
xWk
yTT
yWh
TT
yWkx
TT
xWk
yTT jijijijijijijiji φ
( ) ( )0
2
21
111
1
21
1
2,1,,,1,,1,1, =
Δ+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
Δ
−+
−+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
− −−++ x
k
TT
xh
TT
k
TT
k
TT jijijijijijijiji φ
( )[ ] 02212
2
,,1,1,,,1,1, =
Δ+−Δ+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+
−+
−−
−++ xTTxhTTTTTT
k jijijijijijijiji φ
( )[ ] 02
22
2
,,1,,11,1, =
Δ+−Δ+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+
+−+
−+ xTTxhTTTT
k jijijijijiji φ
( )
( ) BikxTBiT
TT
xhk
xTxhTTT
kT
jijijiji
jijijiji
ji +
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Δ++⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
+
=Δ+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Δ+Δ+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
+
=−+
−+−+
−+
22
2
222
2
,1,11,1,
2
,1,11,1,
,
φφ
Celdas en elementos laterales con convección por dos de sus caras
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
Δ−
= +
Wxk
yTT
Q jiji
2
,1,1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
Δ−
= −
Wxk
yTT
Q jiji
2
,1,4
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
−= −
2
1,,1
3
yWh
TTQ jiji
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
Δ−
= +
2
,,12
yWkx
TTQ jiji
Δx/2
Δy/2
E+G=S+Ac
(E-S)+G=AcEstado estacionario Ac=0
04321 =+++ QQQQ0
22
22
1
22
1,1,,,1,,1,1, =ΔΔ+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
Δ−
+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
−+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
Δ−
+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
− −−++ Wyx
xWk
yTT
yWh
TT
yWkx
TT
xWh
TT jijijijijijijiji φ
04
21
1
2
1
21
1
2
1
2,1,,,1,,1,1, =
Δ+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
−+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
− −−++ x
k
TT
xh
TT
k
TT
xh
TT jijijijijijijiji φ
041111
2,1,,,1,,1,1, =
Δ+
−+
Δ
−+
−+
Δ
− −−++ x
k
TT
xh
TT
k
TT
xh
TT jijijijijijijiji φ
[ ] [ ] 024
2 ,1,,1
2
,,11, =−++Δ+−+Δ −+−+ jijijijijiji TTTkxTTTxh φ
[ ] [ ] [ ] [ ]22
422
4
2
1,,1,11,
2
1,,1,11,
, +
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Δ++++
=+Δ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Δ++++Δ
=−+−+−+−+
BikxTTTTBi
kxh
xTTkTTxhT
jijijijijijijiji
ji
φφ