Resolución Numérica de Problemas de Transmisión de Calor. Método de las diferencias finitas.

1. División del espacio considerado en una serie de elementoscuyas propiedades vienen representadas por un punto central (nodo).

2. Aplicación de balances de energía a cada elemento, obteniendo la ecuación característica para cada nodo.

3. Resolución simultánea de todos los balances, para obtener el perfil de temperaturas.

4. Si el caso lo requiere cálculo del flujo de calor con la ley de Fourier y el perfil de temperaturas.

1. División del espacio considerado en una serie de elementoscuyas propiedades vienen representadas por un punto central (nodo).

Tipos de nodos

a) Nodos en elementos centrales

. .

.... . ..

.i, j+1

i, j i+1, ji-1, j

i, j-1Δx

Δy

Δx

Δy

Δx/2

Δy.

.

..i+1, j..

i, j+1

i, j

i, j-1

Tipos de nodos

b) Nodos en elementos laterales

c) Nodos en elementos de esquina

Δx/2

Δy/2

i+1, j

.i, j

i, j-1

2. Aplicación de balances de energía a cada elemento, obteniendo la ecuación característica para cada nodo.

E+G=S+Ac

Entrada-Salida Conducción, convección...

Generación:

Acumulación: Régimen estacionario y Régimen no estacionario

3. Resolución simultánea de todos los balances, para obtener el perfil de temperaturas.

Microsoft Excel Referencia circular

Fórmulas que hacen referencia a sus propias celdas

Cuando una fórmula hace referencia a su propia celda, directa o indirectamente, sedenomina referencia circular. Para calcular esta fórmula, Microsoft Excel deberá calcular cada celda implicada en la referencia circular utilizando los resultados de la iteraciónanterior. Si no se cambia el valor predeterminado de la iteración, Excel detendrá los cálculos tras 100 iteraciones o después de que todos los valores en la referencia circular cambien menos de 0,001 entre iteraciones, independientemente de cuál sea la primera.

4. Si el caso requiere el cálculo del flujo de calor con la ley de Fourier o la ley de Newton del enfriamiento y el perfil de temperaturas.

( )x

TTyWk

xTk

dxdTAkQ jiji

Δ−

Δ−=ΔΔ

−≅−= + ,,1

)( , jiTTAhQ −= ∞

Caso 1: Conducción en estado estacionario.Hállese la distribución de temperatura en los nodos de la placa representada en la figura (5 cm X 10 cm), suponiendo que en las esquinas la temperatura es el valor medio del de las dos caras en las que se encuentran. Determínese también el flujo de calor que atraviesa el plano central vertical si la conductividad de la placa es de 1 W/mºK.

T=100 ºC

T=400 ºC

T=600 ºCT=900 ºC

T=100 ºC

T=400 ºC

T=600 ºCT=900 ºC

Δy= Δx=1 cm

Caso 1: Conducción en estado estacionario

Δx

Δy

( )xWky

TTQ jiji

ΔΔ

−= + ,1,

1

( )xWky

TTQ jiji

ΔΔ

−= − ,1,

4

( )yWkx

TTQ jiji

ΔΔ

−= − ,,1

3

( )yWkx

TTQ jiji

ΔΔ

−= + ,,1

2

Caso 1: Conducción en estado estacionario

E+G=S+Ac

(E-S)+G=Ac

Estado estacionario sin generación G=Ac=0

04321 =+++ QQQQ

( ) ( ) ( ) ( )0,1,,,1,,1,1, =

ΔΔ

−+

ΔΔ

−+

ΔΔ

−+

ΔΔ

− −−++

xWky

TT

yWkx

TT

yWkx

TT

xWky

TT jijijijijijijiji

0,1,,,1,,1,1, =−+−+−+− −−++ jijijijijijijiji TTTTTTTT

04 ,1,,1,11, =−+++ −−++ jijijijiji TTTTT

41,,1,11,

,−−++ +++

= jijijijiji

TTTTT

2. Estructurar la hoja de Cálculo e incluir condiciones de contorno

41,,1,11,

,−−++ +++

= jijijijiji

TTTTT

Caso 2: Conducción en estado estacionario con convección.

En la figura se muestra la sección transversal de una viga de hierro (ρ=7880 kg/m3, cp=1257 J/(kg K) y k=35.1 W/(m K)) de dimensiones 20 x 10 cm (y longitud muy larga) situada en el suelo y cubierta parcialmente de nieve.La nieve hace que la temperatura de las paredes laterales sea de 0ºC (incluir las 4 esquinas)La parte superior de la viga está en contacto con aire a 15ºC. El coeficiente individual de transferencia de energía entre la parte superior de la viga y el aire es de 100 W/(m2K)

La parte inferior de la viga puede considerarse aislada

1) Obtener el perfil de temperaturas del sistema.2) Determinar el flujo de calor por unidad de longitud de viga que pierde o gana la viga a

través de la superficie superior en contacto con el aire.

Resuélvase el problema por métodos numéricos. Tómese un valor de 2 cm para los incrementos de x e y.

La viga está aislada del suelo

VIGA

Aire T=15ºC

NieveT= 0ºC

NieveT= 0ºC

20 cm10 cm

Nodos de temperatura conocida: T=0ºC

Nodos en elementos centrales, con transporte de calor por conducción por sus cuatro caras

Nodos en elementos laterales, con transporte de calor por conducción por tres caras, y transporte de calor por convección por la cuarta

Nodos en elementos laterales, con transporte de calor por conducción por tres caras; una de ellas está aislada térmicamente.

Nodos en elementos centrales, con transporte de calor por conducción por sus cuatro caras

Δx

Δy

( )xWky

TTQ jiji

ΔΔ

−= + ,1,

1

( )xWky

TTQ jiji

ΔΔ

−= − ,1,

4

( )yWkx

TTQ jiji

ΔΔ

−= − ,,1

3

( )yWkx

TTQ jiji

ΔΔ

−= + ,,1

2

Conducción en estado estacionario

E+G=S+Ac

(E-S)+G=Ac

Estado estacionario sin generación G=Ac=0

04321 =+++ QQQQ

( ) ( ) ( ) ( )0,1,,,1,,1,1, =

ΔΔ

−+

ΔΔ

−+

ΔΔ

−+

ΔΔ

− −−++

xWky

TT

yWkx

TT

yWkx

TT

xWky

TT jijijijijijijiji

0,1,,,1,,1,1, =−+−+−+− −−++ jijijijijijijiji TTTTTTTT

04 ,1,,1,11, =−+++ −−++ jijijijiji TTTTT

41,,1,11,

,−−++ +++

= jijijijiji

TTTTT

Nodos en elementos laterales, con transporte de calor por conducción por tres caras; una de ellas está aislada térmicamente.

Δy/2

Δx

( )xWky

TTQ jiji

ΔΔ

−= + ,1,

1

04 =Q

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

Δ−

= −

2

,,13

yWkx

TTQ jiji

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

Δ−

= +

2

,,12

yWkx

TTQ jiji

E+G=S+Ac

(E-S)+G=AcEstado estacionario sin generación G=Ac=0

04321 =+++ QQQQ

( )00

22

,,1,,1,1, =+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

Δ−

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

Δ−

+

ΔΔ

− −++

yWkx

TT

yWkx

TT

xWky

TT jijijijijiji

022

,,1,,1,1, =

−+

−+− −+

+jijijiji

jijiTTTT

TT

022 ,

,1,11, =−

++ −+

+ jijiji

ji TTT

T

42,1,11,

,jijiji

jiTTT

T −++ ++=

Nodos en elementos laterales, con transporte de calor por conducción por tres caras, y transporte de calor por convección por la cuarta.

Δy/2

Δx

( )xWh

TTQ jiji

Δ

−= +

1,1,

1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

Δ−

= −

2

,,13

yWkx

TTQ jiji

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

Δ−

= +

2

,,12

yWkx

TTQ jiji

( )xWky

TTQ jiji

ΔΔ

−= − ,1,

4

E+G=S+Ac

(E-S)+G=AcEstado estacionario sin generación G=Ac=0

04321 =+++ QQQQ

( ) ( )0

22

1,1,,,1,,1,1, =

ΔΔ

−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

Δ−

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

Δ−

+Δ

− −−++

xWky

TT

yWkx

TT

yWkx

TT

xWh

TT jijijijijijijiji

( )01

21

1

2

11,1,,,1,,1,1, =

−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

Δ

− −−++

k

TT

k

TT

k

TT

xh

TT jijijijijijijiji

( )[ ] [ ] [ ] [ ] 022 ,1,

,,1,,1,1, =−+

−+

−+−Δ −

−++ jiji

jijijijijiji TTk

TTkTTkTTxh

( )

( ) 22

22 1,

,1,11,1,

,1,11,

, +

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++

=+Δ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++Δ

=−

−++−

−++

Bi

TTT

TBi

kxh

TTT

kTxhT

jijiji

jijijiji

ji

ji

T=0ºC

41,,1,11,

,−−++ +++

= jijijijiji

TTTTT

22

1,,1,1

1,

, +

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++

=−

−++

Bi

TTT

TBiT

jijiji

ji

ji

42,1,11,

,jijiji

jiTTT

T −++ ++=

Caso 3: Conducción en estado estacionario con convección en bloques de distintos materiales.

En la figura se muestra una estructura muy profunda (profundidad= W) adosada a un horno cuya pared estáa 500ºC. Consta de :a) una lámina de acero (k= 40 W/mK) de 2 cm de espesor que sirve de soporte a otros dos materialesb) un bloque de material (k = 10 W/mK) de 8 cm de altura y 10 cm de anchura, unido a la superficie del horno

El sistema, excepto por la zona unida a la pared del horno está totalmente rodeado de aire a 20ºC. El aire de alrededor circula rápidamente de modo que el coeficiente de convección entre el aire y los distintos materiales es lo suficientemente alto para considerar que la temperatura superficial de éstos es 20ºC.A través del acero circula una corriente eléctrica que libera una energía de 15 000 W/m3.a) obtener el perfil de temperaturas del sistemab) determinar el flujo de calor por unidad de anchura del sistema que se pierde al aire

Resuélvase el problema por métodos numéricos. Tómese un valor de 1 cm para los incrementos de x e y.

Condición de contorno. T= 500ºC

Condición de contorno. T= 20ºC

Conducción por las 4 caras. Un único material

Conducción por las 4 caras. Un único material

Conducción por las 4 caras. Elemento constituidopor dos materiales

Conducción en estado estacionario

Δx

Δy

( )xWky

TTQ jiji

ΔΔ

−= + ,1,

1

( )xWky

TTQ jiji

ΔΔ

−= − ,1,

4

( )yWkx

TTQ jiji

ΔΔ

−= − ,,1

3

( )yWkx

TTQ jiji

ΔΔ

−= + ,,1

2

Conducción en estado estacionario

E+G=S+Ac

(E-S)+G=Ac

Estado estacionario Ac=0

04321 =++++ GeneracionQQQQ

( ) ( ) ( ) ( )0,1,,,1,,1,1, =ΔΔ+

ΔΔ

−+

ΔΔ

−+

ΔΔ

−+

ΔΔ

− −−++ yWxxWk

yTT

yWkx

TT

yWkx

TT

xWky

TT jijijijijijijiji φ

02,1,,,1,,1,1, =Δ+−+−+−+− −−++ x

kTTTTTTTT jijijijijijijiji

φ

04 ,2

1,,1,11, =−Δ++++ −−++ jijijijiji Txk

TTTT φ

4

1,,1,11,2

,

−−++ +++Δ=

jijijiji

ji

TTTTxkT

φ

Conducción en estado estacionario

Δx

Δy

( )xWky

TTQ jiji

ΔΔ

−= +

1

,1,1

( )xWky

TTQ jiji

ΔΔ

−= −

2

,1,4

( )yWkx

TTQ jiji

ΔΔ

−= − ,,1

3 ( )yWkx

TTQ jiji

ΔΔ

−= + ,,1

2

221 kkk +

=

Conducción en estado estacionario

E+G=S+Ac

(E-S)+G=Ac

Estado estacionario Ac=0

04321 =++++ GeneracionQQQQ

( ) ( ) ( ) ( )0

22

,1,,,1,,1

1

,1, =Δ

Δ+

ΔΔ

−+

ΔΔ

−+

ΔΔ

−+

ΔΔ

− −−++ WyxxWk

yTT

yWkx

TT

yWkx

TT

xWky

TT jijijijijijijiji φ

( ) ( ) ( ) 02,1,2,,1,,1,1,1 =Δ

Δ+−+−+−+− −−++ WyxTTkTTkTTkTTk jijijijijijijiji φ

( )kkk

yxTTkTkTkT

jijijiji

ji 22

21

,1,11,21,1

, ++

ΔΔ++++

=−+−+ φ

Celdas en elementos laterales con convección por una de sus caras

Δx/2

Δy

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

Δ−

= +

Wxk

yTT

Q jiji

2

,1,1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

Δ−

= −

Wxk

yTT

Q jiji

2

,1,4

( )yWh

TTQ jiji

Δ

−= −

1,,1

3

( )yWkx

TTQ jiji

ΔΔ

−= + ,,1

2

E+G=S+Ac

(E-S)+G=AcEstado estacionario Ac=0

04321 =+++ QQQQ

( ) ( )0

2

2

1

2

,1,,,1,,1,1, =ΔΔ

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

Δ−

+Δ

−+

ΔΔ

−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

Δ− −−++ yWx

xWk

yTT

yWh

TT

yWkx

TT

xWk

yTT jijijijijijijiji φ

( ) ( )0

2

21

111

1

21

1

2,1,,,1,,1,1, =

Δ+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

Δ

−+

−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

− −−++ x

k

TT

xh

TT

k

TT

k

TT jijijijijijijiji φ

( )[ ] 02212

2

,,1,1,,,1,1, =

Δ+−Δ+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+

−+

−−

−++ xTTxhTTTTTT

k jijijijijijijiji φ

( )[ ] 02

22

2

,,1,,11,1, =

Δ+−Δ+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

+−+

−+ xTTxhTTTT

k jijijijijiji φ

( )

( ) BikxTBiT

TT

xhk

xTxhTTT

kT

jijijiji

jijijiji

ji +

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+

=Δ+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ+Δ+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+

=−+

−+−+

−+

22

2

222

2

,1,11,1,

2

,1,11,1,

,

φφ

Celdas en elementos laterales con convección por dos de sus caras

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

Δ−

= +

Wxk

yTT

Q jiji

2

,1,1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

Δ−

= −

Wxk

yTT

Q jiji

2

,1,4

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

−= −

2

1,,1

3

yWh

TTQ jiji

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

Δ−

= +

2

,,12

yWkx

TTQ jiji

Δx/2

Δy/2

E+G=S+Ac

(E-S)+G=AcEstado estacionario Ac=0

04321 =+++ QQQQ0

22

22

1

22

1,1,,,1,,1,1, =ΔΔ+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

Δ−

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

Δ−

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

− −−++ Wyx

xWk

yTT

yWh

TT

yWkx

TT

xWh

TT jijijijijijijiji φ

04

21

1

2

1

21

1

2

1

2,1,,,1,,1,1, =

Δ+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

− −−++ x

k

TT

xh

TT

k

TT

xh

TT jijijijijijijiji φ

041111

2,1,,,1,,1,1, =

Δ+

−+

Δ

−+

−+

Δ

− −−++ x

k

TT

xh

TT

k

TT

xh

TT jijijijijijijiji φ

[ ] [ ] 024

2 ,1,,1

2

,,11, =−++Δ+−+Δ −+−+ jijijijijiji TTTkxTTTxh φ

[ ] [ ] [ ] [ ]22

422

4

2

1,,1,11,

2

1,,1,11,

, +

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ++++

=+Δ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ++++Δ

=−+−+−+−+

BikxTTTTBi

kxh

xTTkTTxhT

jijijijijijijiji

ji

φφ