Post on 01-Dec-2020
R E G L A S A D I T I V A S Y M U L T I P L I C A T I V A S D E L A S
P R O B A B I L I D A D E S
P R O F E S O R A M A R Í A I G N A C I A VA L E N Z U E L A
M AT E M Á T I C A
EJERCICIO: SE LANZAN DOS DADOS, Y SE SUMAN LOS PUNTOS.
• SITUACIÓN 1:
Si se definen los siguientes conjuntos:
A = “Los casos en que la suma sea par”
B= “Los caso en que la suma sea mayor a 2 y un
número primo”
Calcular la probabilidad de obtener en la
suma un número par o un número primo
mayor a 2.
𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = ?
• SITUACIÓN 2:
Si se definen los siguientes conjuntos:
A = “Los casos en que la suma sea par”
C= “Los caso en que la suma sea múltiplo de 3”
Calcular la probabilidad de obtener en la
suma un número par o un múltiplo de 3.
𝑷 𝑨 ∪ 𝑪 = ?
ANALICEMOS
• SITUACIÓN 1:
A= {2, 4,4,4,6,6,6,6,6,8,8,8,8,8,10,10,10,12}= 18 casos
B= {3,3,5,5,5,5,7,7,7,7,7,7,11,11} = 14 casos
A U B = {2, 4,4,4,6,6,6,6,6,8,8,8,8,8,10,10,10,12,
3,3,5,5,5,5,7,7,7,7,7,7,11,11} = 32 casos
P(AUB)= 𝟑𝟐
𝟑𝟔=
𝟖
𝟗
P(AUB)= 𝟏𝟖
𝟑𝟔+
𝟏𝟒
𝟑𝟔=
𝟑𝟐
𝟑𝟔=
𝟖
𝟗
𝐏 𝐀𝐔𝐁 = 𝐏 𝐀 + 𝐏(𝐁)
ANALICEMOS
• SITUACIÓN 2:
A= {2, 4,4,4,6,6,6,6,6,8,8,8,8,8,10,10,10,12}= 18 casos
C= {3,3,6,6,6,6,6,9,9,9,9,12} = 12 casos
A ∩ C = {6,6,6,6,6,12} = 6 casos
A U C ={2,3,3,4,4,4,6,6,6,6,6,8,8,8,8,8,9,9,9,9,10,10,10,12}= 24 casos
𝐏 𝐀𝐔𝑪 =𝟐𝟒
𝟑𝟔=𝟔
𝟗=𝟐
𝟑
𝐏 𝐀𝐔𝑪 =𝟏𝟖
𝟑𝟔+𝟏𝟐
𝟑𝟔−
𝟔
𝟑𝟔=𝟐𝟒
𝟑𝟔
𝐏 𝐀𝐔𝑪 = 𝐏 𝐀 + 𝐏 𝐂 − 𝐏(𝐀 ∩ 𝐂)
CONCLUSIÓN: ¿POR QUÉ SE CALCULAN DISTINTOS?
• SITUACIÓN 1:
𝐏 𝐀𝐔𝐁 = 𝐏 𝐀 + 𝐏(𝐁)
• SITUACIÓN 2:
𝐏 𝐀𝐔𝑪 = 𝐏 𝐀 + 𝐏 𝐂 − 𝐏(𝐀 ∩ 𝐂)
NO HAY ELEMENTOS EN
COMÚN
HAY ELEMENTOS EN
COMÚN
CONJUNTOS DISJUNTOS NO CONJUNTOS DISJUNTOS
CONCEPTOS
APLICACIÓN:
1. Se extrae al azar una carta de una baraja inglesa. ¿Cuál
es la probabilidad de que la carta extraída sea un
trébol o una J de corazón?
2. Se extrae al azar una carta de una baraja inglesa. ¿Cuál
es la probabilidad de que sea un trébol o una J?
EJERCICIO: EN UNA URNA HAY 5 BOLITAS 3 NEGRAS Y 2 VERDES.
• Calcular la probabilidad de sacar primero una bolita negra y
después una verde, sin reposición.
SOLUCIÓN:• Definimos los eventos:
N = extraer una bolita negra
V = extraer una bolita verdeBUSCAMOS: 𝐏 𝐍 ∩ 𝑽 =
𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔
𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔
TODOS LOS CASOS
𝟓 ⋅ 𝟒 = 𝟐𝟎 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔
LOS CASOS FAVORABLES
𝟑 ⋅ 𝟐 = 𝟔 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔
SOLUCIÓN:ENTONCES: 𝐏 𝐍 ∩ 𝑽 =
𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔
𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔=
𝟔
𝟐𝟎=
𝟑
𝟏𝟎
OTRA MIRADA:
La probabilidad de extraer primero una bola negra:
𝐏 𝐍 =𝟑
𝟓
La probabilidad de extraer segundo una bola verde:
𝐏 𝑽 =𝟐
𝟒
ENTONCES: 𝐏 𝐍 ∩ 𝑽 =𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔
𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔=
𝟑⋅𝟐
𝟓⋅𝟒= 𝐏 𝐍 ⋅ 𝑷(𝑽)
CONCEPTO: INDEPENDENCIA
• Dos eventos son independientes si la realización de uno no afecta
la probabilidad del otro.
• Hablamos de la independencia de dos sucesos cuando la aparición o no-
aparición de uno de ellos no proporciona información sobre la ocurrencia
de otro.
• Si dos eventos A y B son INDEPENDIENTES, entonces:
𝐏 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝐏 𝑨 ⋅ 𝑷(𝑩)
EVALUEMOS
• “Se extrae una carta al azar de una
baraja: sea A el evento "se extrae un
trébol" y B el evento "se extrae una
reina" ¿Los eventos A y B son
independientes?”
EJEMPLO:
• “Un conejo se encuentra en la entrada
del laberinto, ¿cuál es la probabilidad
de que el conejo pueda salir del
laberinto, si cada camino tiene la
misma probabilidad de ser escogido?”
L a p r o b a b i l i d a dd e “ e s c o g e r e l c a m i n o X ” y “ e s c o g e r e l c a m i n o C ”
¿ S o n e v e n t o si n d e p e n d i e n t e s ?
PROBABILIDAD CONDICIONAL NOTACIÓN
• “La probabilidad de ocurrencia del evento B dado
que ocurrió el evento A”:
𝑃( ൗ𝐵 𝐴)
INTERSECCIÓN DE EVENTOS NO INDEPENDIENTES
• Dados dos eventos A y B.
• La probabilidad de que ocurra B y A , cuando el evento A ya ocurrió será:
𝑃 𝐴⋂𝐵 = 𝑃(𝐴) · 𝑃 ൗ𝐵 𝐴
Si quisiéramos la probabilidad de
escoger el camino X y C.
1) Probabilidad de escoger el camino
X:
𝑷 𝑿 =𝟏
𝟐
2) Dado que se escogió X, la
probabilidad de escoger el camino C es:
𝑷 𝑪/𝑿 =𝟏
𝟐
3) La probabilidad de escoger el camino
X y C:
𝑷 𝑪⋂𝑿 = 𝑷 𝑿 ⋅ 𝑷 𝑪/𝑿 =𝟏
𝟐⋅𝟏
𝟐=𝟏
𝟒
1/2 1/2
1/2 1/2
1/4
1 /2
1/4
1/8
RESPUESTA
• La probabilidad de que el conejo salga será:
1
8+1
4+1
8=1
2= 0.5
EN RESUMEN: Dados los eventos A y B.
REGLA ADITIVA
(UNIÓN)
A Y B SON DISJUNTOS A Y B TIENEN
ELEMENTOS EN
COMÚN
P(AUB) P(A) + P(B) P(A) + P(B) – P(A⋂B)
REGLA
MULTIPLICATIVA
(INTERSECCIÓN)
A Y B EVENTOS
INDEPENDIENTES
A Y B EVENTOS
DEPENDIENTES
(CONDICIONADO)
P(A⋂B) P(A)⋅P(B) P(A) ⋅P(B/A)