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•En la Grecia de Pericles (siglo V a. C.) se vivió una etapa donde la cultura fue muy importante•Los griegos se declararon admiradores de la belleza y por lo tanto de la perfección.• En el campo de la escultura se busca el cuerpo humano perfecto para lo cual se aborda el tema de las proporciones.•Policleto (escultor) dijo: “Para obtener la perfecta proporción de unas partes del cuerpo respecto de otras, la figura deberá medir siete cabezas y media”.•Praxíteles estableció un canon de ocho cabezas.•Leócrates estableció un canon de ocho cabezas y media.

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En el Renacimiento (dos mil años más tarde) nuevamente se discutió sobre la proporción perfecta del cuerpo humano.

Miguel Ángel: Escultor, pintor y arquitecto italiano. Considerado como la gran figura del Renacimiento Italiano coincidió con Policleto.

Leonardo da Vinci: Pintor, escultor, arquitecto, inventor, músico e ingeniero. Considerado como uno de los más grandes pintores de todos los tiempos se inclinó por la proporción de Praxíteles.

Botticelli: Pintor Italiano se inclinó por el canon de nueve cabezas.

Greco: Pintor del final del Renacimiento se inclinó por canon de once cabezas los cual se consideró exagerado.

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Hoy en día se aceptan los tres cánones clásicos:a) Siete cabezas y media (Miguel Ángel).b) Ocho cabezas (Leonardo da Vinci).c) Ocho cabezas y media.

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Recuerdo sobre de Razones y Proporciones

La razón entre dos números a y b es el cuociente

a Se llama antecedente

b se llama consecuente

La razón entre 10 y 2 es 5 ya que

b

a

22

10

Una Proporción es la igualdad de dos razones

Los números a, b, c y d están en proporción, por ejemplo, si la razón entre a y

b es igual a la razón entre c y d.

d

c

b

a Se lee “a es a b como c es a d”

a y d se llaman extremos b y c se llaman medios

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Es cualquier propiedad que se puede expresar numéricamenteEjemplos:•El ancho de una mesa.•La capacidad de una botella.•Los goles marcados en un partido

Razón es el cuociente entre dos números o dos cantidades comparables entre sí.

Antecedente

Consecuente

•En las fracciones los términos pueden ser números naturales ó enteros mientras que en las razones los dos términos pueden ser números decimales, además de naturales y/o enteros.

•Todas las fracciones son razones, pero todas las razones no son fracciones.

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Una proporción es la igualdad de dos razones.

Se lee “a es a b como c es a d”

A los términos de una proporción se les llama:1. a y d se llaman extremos b y c se llaman medios

2. a y c antecedentes b y d consecuentes

3. a se llama primer término b se llama segundo términoc se llama tercer término d se llama cuarto término.

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1. Alternar términos extremos

Si

2. Alternar términos medios

Si

3. Permutando la proporción

Si Si

4. Invirtiendo las razones

5. Componiendo la proporción con respecto al consecuente

6. Componiendo la proporción con respecto al antecedente

Si Si

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7. Descomponiendo la proporción con respecto al consecuente

Si

8. Descomponiendo la proporción con respecto al antecedente

Si

9. Componiendo y descomponiendo a la vez

Si

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Si

Una proporción es discontinua cuando sus términos extremos y términos medios son distintos.

Es cada uno de los términos de la proporción discontinua. Ejemplo:

En 15 es cuarta proporcional entre 12, 4 y 5; análogamente 4 es cuarta proporcional entre 12, 15 y 5; etc.

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Calcular la cuarta proporcional entre 4, 6 y 8.Designamos por x la cuarta proporcional y obtenemos los siguientes resultados:

Cuando no se indica el orden de los términos, el problema queda indeterminado porque se pueden obtener tres resultados diferentes. Es necesario dar la proporción junto con los tres términos para que el problema no quede indeterminado.

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Una proporción es continua cuando tiene iguales sus términos extremos o sus términos medios.

Si ó

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En la proporción continua en la cual se repite el término medio, cada término extremo se llama tercera proporcional.

a se llama Tercera Proporcional Geométrica entre

d se llama Tercera Proporcional Geométrica entre

Ejemplo 1: Los dos primeros términos de una Proporción Continua son 288 y 48. Calcular el cuarto término. Hay dos posibles soluciones:

Solución 1

Solución 2

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Solución 1

Solución 2

Ejemplo 2: Determinar la tercera proporcional geométrica entre 4 y 10.Soluciones: Son dos posibles, se excluyen las proporciones que dan el mismo resultado.

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Es la proporción continua en la cual se repite el término desconocido en los medios

Ejemplo 1: Determinar la media proporcional geométrica entre 16 y 4.

Ejemplo 2: Calcular la Media Proporcional Geométrica de una Proporción Continua, entre 196 y 49.

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