Post on 24-Dec-2015
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
ÁLGEBRA LINEAL BÁSICA (2015555)
Anteriormente llamada: (2001004) Algebra lineal; (2001279) Algebra lineal I
Tipología: Fundamentación (4 créditos) (4 h/sem: Clase + Taller) (Prerrequisito: NINGUNO)
Profesora: Sandra Carolina García Martínez. Edificio: 404. Oficina: 311. Atención: L y Mie: 16-17.
E-mail: sacgarciama@unal.edu.co Blog: cursoscgunal.wordpress.com
Descripción:
El curso básico de álgebra lineal consta de dos partes. En una de ellas se estudian los espacios vectoriales, las transformaciones lineales, el álgebra de las matrices, la teoría de determinantes y la solución de sistemas de ecuaciones lineales. La otra parte del curso tiene que ver con aspectos geométricos elementales del álgebra lineal y se estudian conceptos y técnicas básicas de álgebra vectorial en R2, R3 y Rn. Se destacan la existencia de las bases, el teorema del rango para transformaciones lineales, el teorema de representación de transformaciones lineales por medio de matrices, el algoritmo de Gauss-Jordan para calcular rangos, nulidades, determinantes, inversas de matrices y resolver sistemas de ecuaciones lineales. En la parte geométrica se destacan el producto interno, la noción de distancia, la desigualdad triangular, la desigualdad de Cauchy-Schwartz y método de ortogonalización de Gram-Schmidt.
Objetivos: Que el alumno al finalizar el curso esté en capacidad de reconocer y aplicar los conceptos, resultados y técnicas fundamentales del álgebra lineal básica tales como los espacios vectoriales, las transformaciones lineales, las matrices, los determinantes, el algoritmo de Gauss-Jordan, la solución de sistemas de ecuaciones lineales y los aspectos básicos de la geometría vectorial del plano, del espacio y de Rn. En particular, deberá poder aplicar la estructura euclidiana usual en Rn a diversas situaciones geométricas y físicas, en lo referente a distancias, perpendicularidad, paralelismo, etc.
PARCELACIÓN DEL CONTENIDO
Febrero- 2015
CAPITULO SEMANA TEMAS
SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES
1
Introducción a los sistemas lineales. Sistemas homogéneos. Solución de sistemas. Sistemas equivalentes.
Operaciones elementales entre Filas. Matrices equivalentes. Matriz escalonada.
2
Algoritmos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Eliminación de Gauss. Sustitución hacía atrás.
Análisis del conjunto solución de un sistema.
VECTORES EN Rn
3
Vectores en Rn. Vectores y coordenadas. Vectores libres. Operaciones (suma y producto por escalar) y sus propiedades
Combinación lineal. Espacio generado. Producto Ax. Espacio nulo y espacio columna de una matriz.
4
Independencia lineal. Producto escalar y propiedades. Magnitud. Angulo. Ortogonalidad. Paralelismo. Proyección de un vector.
Rectas, planos e hiperplanos en Rn. Producto cruz en R3.
MATRICES
5
Definición y tipo de matrices. Suma y producto por escalar. Propiedades.
Producto de matrices y propiedades. Matrices invertibles. Transposición. Matriz simétrica, antisimétrica, idempotente, nilpotente, ortogonal.
6
Matrices elementales. Factorización LU.
7 Determinantes. Propiedades. Cálculo de determinantes. Matriz Adjunta
8
Espacios Vectoriales. Definición y propiedades. Subespacios vectoriales.
ESPACIOS VECTORIALES
9
Generalización de los conceptos de combinación lineal, espacio generado e independencia lineal. Base y dimensión. Coordenadas respecto a una base ordenada.
Cambio de base. Rango y nulidad.
10
Producto escalar y base ortonormal. Matriz ortogonal. Proyección ortogonal.
Proceso de Gram-Schmidt. Factorización QR
TRANSFORMACIONES LINEALES
11
Transformaciones lineales. Definición y propiedades básicas. Núcleo e imagen.
Matriz asociada a una transformación lineal.
12
Transformaciones inyectivas, sobreyectivas e Isomorfismos.
Algebra de transformaciones lineales.
VALORES Y VECTORES PROPIOS
13
Valores y vectores propios. Propiedades básicas. Espacio propio.
Valores y vectores propios de matrices especiales. Matrices semejantes. Caracterización de valores y vectores propios
14
Matrices diagonalizables.
Matrices ortogonalmente diagonalizables.
PERIODO DE
EXÁMENES
5 Primer Examen (Sis. Lineales-Vectores Rn)
10 Segundo Examen (Matrices- Esp. vectoriales)
15 Tercer Examen (Transf. lineales-valores propios)
Método de trabajo:
El profesor de la clase magistral presentará los principales conceptos del curso.
Es deber del estudiante, el preparar cada tema previamente a la correspondiente clase, realizar, previamente al taller, al menos los ejercicios indicados como Guías y participar activamente en las discusiones de las clases y talleres.
Evaluación:
3 Parciales (25% cada uno).................75% Quizes y participación .........…............25%
NOTAS: Los quizes se realizarán al final de la clase y se informarán con una semana de anticipación.
Bibliografía:
-George Nakos David Joyner. Algebra Lineal con Aplicaciones, International Thomson Editore. 1999.
-Strang, G. Introduction to Linear Algebra, Wellesley-Cambridge Press, 2009.
-Roman, S. Advanced Linear Algebra, Springer, 1992.
-Kolman, B. Algebra Lineal. McGraw-Hill.
-Fraleigh, B. and Beauregard, R. Linear Algebra Addison-Wesley, 1994
-Hoffman, K. and Kunze, R. Álgebra Lineal Pearson-Prentice Hall. Octava edición, 2001.
-Héctor Jairo Martínez y Ana María Sanabria. Álgebra Lineal, Programa Editorial Universidad del Valle. 2014.