Prof. Isaías Correa M.Prof. Isaías Correa M.

Elementos de Combinatoria Elementos de Combinatoria y Probabilidadesy Probabilidades

Aprendizajes esperados

• Aplicar el concepto de factorial en los ejercicios de combinatoria.

• Aplicar el concepto de probabilidad.

• Resolver problemas que involucren probabilidad clásica.

• Resolver situaciones de Probabilidad de la Unión de Eventos

• Resolver situaciones problemáticas de Probabilidad Total

• Calcular Probabilidades de la Intersección de Eventos

• Calcular Probabilidad Condicionada.

1. Combinatoria

2. Probabilidades

1. Combinatoria

1.1 Principio multiplicativo

Ejemplo: ¿Cuántos números impares de tres cifras se pueden formar usando los números 1, 2, 4, 5, 6, 7 y 9, si estos no pueden repetirse?

Se tienen los elementos que pueden ser elegidos de formas distintas.

Por lo tanto, si se quieren elegir todos los elementos, entonces se pueden escoger de maneras diferentes.

n321 a,...,a,a,an321 k,...,k,k,k

n321 k...kkk

Para que el número sea impar se tienen 4 opciones el {1, 5, 7, 9}

En total hay 7 números. Como ya se ocupó uno en la última cifra solo quedan 6 opciones.

4 6 5

En total hay 7 números. Si ya se ocuparon dos, solo quedan 5 opciones.

Por lo tanto, se pueden formar 5 · 6 · 4 = 120 números.

1. Combinatoria

1.2 Principio aditivo

Ejemplo: Un estudiante para llegar al colegio en la mañana dispone de 3 líneas de colectivos o dos empresas de buses. ¿De cuántas maneras puede elegir este estudiante su viaje para llegar al colegio cada mañana?

Se tienen los elementos que pueden ser elegidos de formas distintas.

Por lo tanto, si se quieren elegir uno de los elementos, entonces se puede escoger de maneras diferentes.

n321 a,...,a,a,an321 k,...,k,k,k

1 2 3 nk +k +k +...+k

Por lo tanto el estudiante dispone de 5 formas para llegar al colegio

Tiene 2 empresas de buses.

5 2 3

Dispone de 3 líneas de colectivos.

Por lo tanto, se puede hacer el viaje de 3 + 2 = 5 formas distintas.

=+

1. Combinatoria

1.2 Permutación Factorial de n = n ! Ejemplo: 6 ! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

Sin repetición Con repetición

Definición

Fórmula ó

Ejemplo

!nPn !...!!

!

rban

P nr

24123444 !P10

312

! 345

3 2

5532

!!!!

,P

Grupos que se forman con n elementos a la vez. Se diferencian en el orden de estos elementos.

Grupos de n elementos que se repiten a, b,…,r veces.

¿De cuántas maneras se pueden ordenar en una fila a 4 personas?

¿De cuántas maneras se pueden ordenar en una línea 5 banderas de las cuales 3 son blancas y 2 son azules?

,n nn nP n

1. Combinatoria

1.3 Variación o Arreglo:

Sin repetición Con repetición

Definición

Fórmula

Ejemplo

!)(!

knn

V nk

knkk nV ,

720! 7

! 78910

310

10103

!)(!

V 21663633 ,V

Grupos con k elementos que se forman con los n elementos que se tienen. Influye el orden de sus componentes.

Misma definición anterior, pero en este caso los elementos se pueden repetir.

¿De cuántas formas se puede elegir un presidente, un secretario y un tesorero dentro de un grupo de 10 personas?

¿Cuántos números de 3 dígitos se pueden formar con los primeros 6 números naturales?

1. Combinatoria

1.4 Combinación

Sin repetición Con repetición

Definición

Fórmula

Ejemplo

!)(!!

knkn

k

nC n

k

!)(!!)(

),( 1

1

1

nkkn

k

knC n

kk

5612 3 ! 5

5678

58 5

885

!

!)(!!

C 201233

3456

143

6433

!

!

! )( !

! ),(C

Grupos con k elementos que se forman con los n elementos que se tienen. No influye el orden de sus componentes.

Misma definición anterior, pero en este caso los elementos se pueden repetir.

¿De cuántas maneras se pueden elegir a 5 personas de entre 8 para integrar una comisión?

Hay 4 tipos diferentes de botellas en una bodega. ¿De cuántas formas se pueden elegir 3 de ellas?

El concepto de probabilidad se encuentra con frecuencia en la comunicación entre las personas. Por ejemplo:

2) Los alumnos del Colegio Antilén tienen un 80% de probabilidades de ingresar a la universidad.

En los ejemplos, se da una medida de la ocurrencia de una situación que es incierta (ganarse un viaje o ingresar a la universidad), y esta se expresa mediante un número.

1) Pilar y Álvaro tienen un 27% de probabilidades de ganarse un viaje al extranjero.

2.1.1 Experimentos Aleatorios

Representan aquellas situaciones en las cuales podemos conocer todas las posibilidades de resultados que ocurrirán, pero no cuál es el resultado exacto que va a ocurrir.

2. Probabilidades

2.1 Definiciones

2.1.3 Experimento Determinístico:

.

Ejemplo 1:Al encender un hervidor , podemos saber lo que ocurrirá en unos 10 minutos más. Ejemplo 2:Al jugar un cartón del loto.

2. Probabilidades

Representan aquellas situaciones en las que podemos predecir su ocurrencia.

2.1.2 Espacio muestral

Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

Ejemplo:

Al lanzar un dado de seis caras, el espacio muestral es : E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Ejemplo:

¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral si se lanza una moneda y un dado de seis caras?

Usamos el principio multiplicativo:Moneda: 2 posibilidadesDado: 6 posibilidades 2 · 6 = 12 elementos

Cuando un experimento tiene a resultados y se repite n veces, el espacio muestral tiene an elementos.

2. Probabilidades

2.1.3 Evento o suceso

Corresponde a un subconjunto del espacio muestral, determinado por una condición establecida.

Al lanzar dos monedas, que salgan solo dos caras; el evento determinado es:

A = Que salgan dos caras.

En el lanzamiento de un dado, ¿cuántos elementos tiene el espacio muestral y cuántos el suceso “que salga un número par”?

Ejemplo:

Ejemplo:

Suceso B = que salga un número par : 3 elementosEspacio muestral : 6 elementos.

Los sucesos se designan con letras mayúsculas.

2. Probabilidades

Está íntimamente ligada al concepto de azar y ayuda a comprender las posibilidades de los resultados de un experimento.

Intuitivamente podemos observar que cuanto más probable es que ocurra el evento, su medida de ocurrencia estará más próximo a “1” o al 100%, y cuando menos probable, más se aproximará a “0”.

0 P(A) 1

Si A representa un evento o suceso, se cumple que:

2.2 Probabilidad clásica

0% P(A) 100%o

2. Probabilidades

Casos posibles Casos favorablesP(A) =

Una probabilidad se calcula utilizando la siguiente fórmula: cardinalidad del evento o suceso.

cardinalidad del espacio muestral.

2. Probabilidades

2.2.1 Regla de Laplace

Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número primo?

El espacio muestral es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, por lo tanto los casos posibles son 6.Sea el evento o suceso A = que salga un número primo, entonces A = {2, 3, 5}, por lo tanto los casos favorables son 3.Luego:

P(A) 3 6

1

2=

Ejemplo:

Solución:

=

Ejemplo:

La probabilidad de obtener un número mayor que 6 al lanzar un dado común es 0 (0 de 6).

P(A) = 0

Casos posibles: 6 (1,2,3,4,5,6) Casos favorables: 0

0 6

P(mayor que 6) = = 0

Si se tiene certeza absoluta de que un evento A NO ocurrirá:

2. Probabilidades

2.2.2 Tipos de sucesos

Suceso imposible

Si se tiene certeza absoluta de que un evento A ocurrirá: P(A) = 1

Ejemplo:

La probabilidad de obtener un número natural al lanzar un dado común es 1 (6 de 6).

6 6

P(natural) = = 1

Casos posibles: 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6) Casos favorables: 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6)

2.2.2 Tipos de sucesos

Suceso seguro

2. Probabilidades

La probabilidad de que un suceso NO ocurra, o probabilidad de un suceso contrario, se obtiene a través de:

P(A) = 1 – P(A)

Ejemplo:

Solución:P(no llueva) = 1 – P(llueva)

P(no llueva) = 1 – 2 5

3 5P(no llueva) =

Si la probabilidad de que llueva es , ¿cuál es la probabilidad de que NO llueva?

2 5

2.2.2 Tipos de sucesos

Suceso contrario

2. Probabilidades

2.3 Ley de los grandes números

Cuando todos los resultados de un experimento son equiprobables (tienen la misma probabilidad de ocurrir), se pueden establecer algunas conclusiones relacionando la probabilidad con la frecuencia absoluta de cada evento.

Por ejemplo, Mariela lanzó un dado 100 veces y registró los resultados en la siguiente tabla:

Nº Cantidad de veces que salió

Frecuencia absoluta

1 15 0,15

2 17 0,17

3 20 0, 20

4 19 0,19

5 13 0,13

6 16 0,16

100

2. Probabilidades

2.3 Ley de los grandes números

Luego, volvió a lanzar pero 1.000 veces el mismo dado y agregó los datos en una nueva tabla:

Nº Cantidad de veces que salió

Frecuencia absoluta

1 158 0,158

2 161 0,161

3 168 0, 168

4 165 0,165

5 176 0,176

6 172 0,172

1.000

¿Es posible establecer alguna relación entre las tablas y la probabilidad de que salga un 2?

2. Probabilidades

2.3 Ley de los grandes números

La probabilidad de que salga un 2 al lanzar un dado es:

En la primera tabla la frecuencia absoluta del número 2, es 0,17

P(2) = 1 6

, que es equivalente a decir P(2) = 0,16666…

En la segunda tabla la frecuencia absoluta del número 2, es 0,161 Nº

Cantidad de veces que salió

Frecuencia absoluta

2 17 0,17

100

Nº

Cantidad de veces que salió

Frecuencia absoluta

2 161 0,161

1.000Si comparamos los resultados obtenidos con la probabilidad que salga el número 2, se puede concluir que a mayor cantidad de repeticiones del experimento, este siempre tenderá a la probabilidad calculada a priori.

2. Probabilidades

TRIÁNGULO DE PASCALTRIÁNGULO DE PASCAL

El triángulo de Pascal en matemática es un conjunto infinito de números enteros ordenados en forma de triángulo que expresancoeficientes binomiales. El interés del Triángulo de Pascal radica en suaplicación en álgebra y permite calcular de forma sencilla números combinatorios lo que sirve para aplicar el binomio de Newton.

Cada número es la suma de los dos números que están sobre él.

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1

Si se lanza una moneda una vez, los casos posibles son:1 cara (c) ó 1 sello (s), que está representado en la primera fila del Triángulo de Pascal: 1 1 El total de casos posibles es 2.

Si se lanza una moneda dos veces, los casos posibles son:CC, CS, SC, SS, lo que implica que se tiene 1 caso en que aparecen dos caras, 2 casos distintos en que se obtiene una cara y un sello, y 1 caso en que se obtienen dos sellos, que está representado en la segunda fila del Triángulo de Pascal: 1 2 1 El total de casos posibles es 4.

Ejemplo:

En probabilidades el Triángulo de Pascal se utiliza como una técnica de conteo en la resolución de problemas de iteración de experimentos sencillos, cuando el objeto considerado tiene dos posibilidades, por ejemplo una moneda, sexo de un hijo por nacer, etc.

3.1 La probabilidad de que ocurra el suceso A ó el suceso B.

PROBABILIDAD DE LA UNION:

Caso 1: Cuando A y B son eventos mutuamente excluyentes

está dada por: P(A B) = P(A) + P(B)

P(<2) ó P(>5) = P(<2) P(>5) U

Ejemplo:

Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número menor que 2 ó mayor que 5?

Solución: P(<2) = 1 6

= P(<2) P(>5) +

1P(>5) =

6y

1 6

= + 1 6

= 2 6

= 1 3

3. PROBABILIDAD DE LA UNION, PROBABILIDAD TOTAL y PROBABILIDAD DE LA INTERSECCION DE EVENTOS

PROBABILIDAD TOTAL

Caso 2: De no ser mutuamente excluyentes:

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

U

Ejemplo:Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número menor que 5 ó un número par?

Solución:

4 6

P (menor que 5) =

Casos posibles 6 {1,2,3,4,5,6}

Casos favorables (menor que 5): 4 {1,2,3,4}

3

6P (número par) =

Casos favorables (número par): 3 {2,4,6}

Como 2 y 4 son menores que 5, y al mismo tiempo son pares, se estarían considerando como casos favorables dos veces.

Por lo tanto:

La probabilidad de que salga un número menor que 5 ó un número par, al lanzar un dado se expresa como:

P (< 5) ó P(par) = P(<5) P(par) – P(<5 par) U

U= P(< 5) + P(par) – P(<5 y par)

= + – 4 6

3 6

2 6

5 6=

U

A B P( ) = P(A) · P(B)

En este caso, ambos sucesos ocurren simultáneamente, A y B.

3.2 La probabilidad de que ocurra el suceso A y el suceso B.

Caso 1: Cuando A y B son eventos independientes, se cumple que:

Ejemplo:¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos veces un dado se obtengan dos números pares?

Solución:

Casos posibles: 6 (1,2,3,4,5,6) Casos favorables: 3 (2,4,6)

Entonces:

P(dos pares) = P(par) y P(par) = P(par) · P(par)

= 3

6·

3

6=

1

4

PROBABILIDAD DE LA INTERSECCION:

Corresponde a la probabilidad de B tomando como espacio muestral a A, es decir, la probabilidad de que ocurra B dado que ha sucedido A.

U

P(A B) P(A)

P (B/A) =

Solución:

B: Sacar 4

A: Número par = { 2,4,6 }

Ejemplo:

Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un 4 sabiendo que ha salido par?

P (B/A) = 1 3

Caso 2: Cuando A y B son eventos dependientes corresponde

a la Probabilidad Condicionada.

Ejemplo:Se tiene una bolsa con 30 pelotitas entre blancas y rojas, de las cuales 12 son blancas, todas de igual peso y tamaño. Si se extraen 2 pelotitas al azar, con reposición, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean blancas?

Solución:

Casos posibles: 30

Casos favorables: 12

Entonces:

P(dos blancas) = P(blanca) y P(blanca)

= P(blanca) · P(blanca)

Casos posibles: 30

Casos favorables: 12

Primera extracción Segunda extracción (Con reposición)

3.3 Probabilidad con reposición.

30 30= 12

·12

900

144=

25

4=

Ejemplo:Se tiene una bolsa con 30 pelotitas entre blancas y rojas, de las cuales 12 son blancas, todas de igual peso y tamaño. Si se extraen 2 pelotitas al azar, sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean blancas?

Solución:

Casos posibles: 30

Casos favorables: 12

Entonces:

P(dos blancas) = P(blanca) y P(blanca)

= P(blanca) · P(blanca)

Casos posibles: 29

Casos favorables: 11

Primera extracción Segunda extracción (Sin reposición)

3.4 Probabilidad sin reposición.

30 29= 12

·11

870

132=

145

22=

4. Distribución de Probabilidad:

Síntesis de la clase

Probabilidad

P = Casos favorablesCasos posibles

Combinatoria Probabilidades

Permutación Variación

Combinación

Regla de Laplace

Probabilidades de Eventos

• Tipos de Sucesos• Ley de los grandes números

Con y sin repetición

Distribución de Probabilidad

Unión de Eventos

Intersección de Eventos

Pregunta oficial PSU

63. En una fila de 7 sillas se sientan cuatro mujeres y tres hombres, ¿de cuántas maneras se pueden sentar ordenadamente, si las mujeres deben estar juntas y los hombres también?

A) 2B) 4 · 3C) 3 ! · 4 ! · 2D) 3 ! · 4 ! E) 4 · 3 · 2

Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2013.