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[CALCULO VECTORIAL] Unidad I
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Vectores
Un vector en el plano es un segmento de recta dirigido. El segmento
de recta dirigido AB tiene un punto inicial A y un punto final B ; su
longitud o magnitud se denota como AB . Dos vectores son iguales si
tienen la misma longitud y dirección.
Definición Expresión cartesiana o en componentes
Si v es un vector bidimensional en el plano igual al vector con un
punto inicial en el origen y punto final 1 2,v v , entonces la expresión de
v en componentes es
1 2,v v v
Si v es un vector tridimensional igual al vector con punto inicial en el
origen y punto final 1 2 3, ,v v v , entonces la expresión de v en
componentes es
1 2 3, ,v v v v
La magnitud o longitud del vector v PQ es el número no negativo
2 2 22 2 2
1 2 3 2 1 2 1 2 1v v v v x x y y z z
El único vector con longitud 0 es el vector cero 0 0,0 ó 0 0,0,0 .
Este vector también es el único vector que no tiene una dirección
específica.
Operaciones Algebraicas con vectores
Dos operaciones fundamentales que pueden realizarse con vectores
son la suma de vectores y la multiplicación por un escalar. Un escalar
es simplemente u numero real, y los llamamos de esta manera cuando
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queremos resaltar su diferencia con los vectores. Los escalares
pueden ser positivos, negativos o cero.
Definiciones Suma de vectores y multiplicación de un vector por un
escalar
Sean 1 2 3, ,u u u u y 1 2 3, ,v v v v vectores y k un escalar.
1 1 2 2 3 3
1 2 3
: , ,
: , ,
Suma u v u v u v u v
Multiplicación escalar ku ku ku ku
Propiedades de las operaciones con vectores
Sean , ,u v w vectores y ,a b escalares
1. u v v u
2. u v w u v w
3. 0u u
4. 0u u
5. 0 0u
6. 1u u
7. a bu ab u
8. a u v au av
9. a b u au bu
Vectores unitarios
Un vector v de longitud 1 se llama vector unitario. Los vectores
unitarios estándar (ó básicos) son
1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1i j k
Cualquier vector 1 2 3, ,v v v v se puede escribir como una combinación
lineal de los vectores unitarios estándar como sigue:
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1 2 3 1 2 3
1 2 3
1 2 3
, , ,0,0 0, ,0 0,0,
1,0,0 0,1,0 0,0,1
v v v v v v v
v v v
v i v j v k
Llamamos al escalar (ó numero) 1v el componente en i del vector v ,
a 2v al componente en j y a
3v al componente en k . La expresión en
componentes del vector de 1 1 2 2, ,P x y z a 2 2 2 2, ,P x y z es:
1 2 2 1 2 1 2 1PP x x i y y j z z k
En resumen podemos expresar cualquier vector no nulo v en
términos del producto de sus dos características fundamentales,
longitud y dirección, escribiendo v
v vv
Si 0v , entonces
1. v
v es un vector unitario en la dirección de v ;
2. La ecuación v
v vv
expresa a v en términos de su longitud y
dirección
Punto medio de un segmento de recta
Con frecuencia, los vectores son útiles en geometría. Por ejemplo, las
coordenadas del punto medio de un segmento de recta se determinan
con un promedio
El punto medio M del segmento de recta que une a los puntos
1 1 1 1, ,P x y z y 2 2 2 2( , , )P x y z es el punto
1 2 1 2 1 2, ,2 2 2
x x y y z z
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Teoría y Aplicaciones
Problemas Propuestos
Medianas de un triangulo. Suponga que ,A B y C son las esquinas
de una delgada placa triangular de densidad constante como muestra
la siguiente figura
a. Determine el vector que va desde C hasta el punto medio M
del lado AB .
El punto medio de AB es M
1 2 1 2 1 2 4 1 2 3 0 0 5 5, , , , , ,0
2 2 2 2 2 2 2 2
x x y y z z
Y el 5 5 3 3
1 1 0 3 32 2 2 2
CM i j k i j k
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b. Determine el vector que va desde C hasta el punto que esta
sobre la mediana CM , a dos tercios de la distancia de C a M .
El vector deseado es 2 2 3 3
3 23 3 2 2
CM i j k i j k
c. Determine las coordenadas del punto donde se cortan las
medianas del triangulo ABC . Este punto es el centro de masa
de la placa.
El vector cuya suma es el vector desde el origen a C y el
resultado de la parte (b) terminara en el centro de masa el
punto terminal de 3 2 2 2i j k i j k i j k es el punto
2,2,1 que es la ubicación del centro de masa.
Problema 2
Suponga que ,A B y C son los vértices de un triangulo y que ,a b y
c son respectivamente los puntos medios de los lados opuestos.
Muestre que 0Aa Bb Cc .
Solución
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Sin perder de generalidad nosotros podemos asignar los vértices del
triangulo de tal manera que (0,0), ( ,0) y ( , )c cA B b C x y a esta
localizada en ,2 2
c cb x y
, b esta en ,2 2
c cx y
y c esta en ,02
b
.
Entonces,
El vector en posición canonica v que representa a Aa es
2 2 2
El vector en posición canonica v que representa a Bb es
2
El vector en posición canonica v qu
c c
c
b x yAa i j
xBb b i
e representa a Cc es
02
c c
bCc x i y j Aa Bb Cc
El producto punto
El producto punto también se conoce como producto interno o escalar
debido a que el producto da como resultado un escalar, no un vector.
Angulo entre dos vectores
El ángulo entre dos vectores no nulos 1 2 3, ,u u u u y 1 2 3, ,v v v v
esta dado por
1 1 1 2 2 3 3cosu v u v u v
u v
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Definición de producto punto
El producto punto u v " punto "u v de los vectores 1 2 3, ,u u u u y
1 2 3, ,v v v v es
1 1 2 2 3 3u v u v u v u v
Vectores perpendiculares (ortogonales)
Dos vectores no nulos u y v son perpendiculares u ortogonales si el
ángulo entre ellos es / 2 . Para tales vectores tenemos que 0u v
pues cos / 2 0 . El reciproco también es cierto. Si u y v son
vectores no nulos con cosu v u v , entonces cos 0 y
1cos 0 / 2 .
Definición de vectores ortogonales
Los vectores u y v son ortogonales ( o perpendiculares) si y solo si
0u v .
Propiedades del producto punto y proyecciones de vectores
El producto punto cumple varias leyes validas para productos
ordinarios de números reales (escalares)
Propiedades del producto punto
Si , y u w w son tres vectores cualesquiera y c es un escalar, entonces
1. u v v u
2. cu v u cv c u v
3. u v w u v u w
4. 2
u u u
5. 0 0u
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El número cosu se conoce como la componente escalar de u en la
dirección de v .
En resumen, el vector proyección de u sobre v :
2v
u vproy u v
v
Componente escalar de u en la dirección de v :
cosu v v
u uv v
Observe que tanto el vector proyección de u sobre v como la
componente escalar de u sobre v dependen solo de la dirección del
vector v y no de su longitud (pues hacemos el producto punto de u
con /v v , que es la dirección de v .
Trabajo realizado por una fuerza constante
El trabajo realizado por una fuerza constante F que actúa a través de
un desplazamiento D PQ es
cosW F D F D ,
Donde es el ángulo entre F y D
Como escribir u como la suma de un vector paralelo a v y otro
ortogonal a v
2 2
Pararlelo a v Ortogonal a v
v vu proy u u proy u
u v u vu v
v v
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Ejercicios
Problema 1
Triangulo. Calcule la medida de los ángulos del triangulo cuyos
vértices son 1,0 , 2,1 y 1, 2A B C
x
y
A
B
C
(x,y) = (-1,0)
(x,y) = (2,1)
(x,y) = (1,-2)
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Solución
Calculamos
1 1
3,1 , 1, 3 y 2, 2
3, 1 , 1,3 y 2,2
10, 10, 2 2
3 2 1 2cos cos c
10 2 2
AB BC AC
BA CB CA
AB BA BC CB AC CA
AB ACA
AB AC
1
1 1 1
1 1 1
1os 63.435º
5
1 3 3 1 3cos cos cos 53.130º
510 10
1 2 3 2 1cos cos cos 63.435º
510 2 2
BC BAB
BC BA
CB CAC
CB CA
Problema 2
Teoría y ejemplos.
Vectores unitarios ortogonales. Si 1u y 2u son vectores unitarios
ortogonales y 1 2v au bu , calcule 1v u .
Solución
Los vectores unitarios ortogonales son los siguientes:
1 2,u i j u i j
Entonces tenemos:
1 1 2 1 1 1 2 1
2 21 2 1 1 0
v u au bu u au u bu u
a u b u u a b a
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Problema 3
Si u es un vector unitario, encuentre u v y u w
Solución
Los vectores , y u v w son vectores unitarios, por lo tanto la figura
anterior es un triangulo equilátero. Hacemos la consideración que
ángulo entre los vectores u y v es de 60º y tenemos lo siguiente:
1 1
cos60º 1 12 2
u v u v
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Si w lo movemos al punto inicial donde se encuentra el vector u ,
nosotros tenemos que el ángulo entre ellos es de 120º y tenemos lo
siguiente:
1 1
cos120º 1 12 2
u v u v
Problema 4
Encuentre el ángulo entre una diagonal de un cubo y una de sus
aristas.
Solución
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Por conveniencia consideramos cada lado del cubo como la unidad de
modo que su esquina posterior izquierda está en el origen, y sus
bordes se encuentran a lo largo de los ejes de coordenadas. La
diagonal del cubo que comienza en el origen con coordenadas 0,0,0
y termina en la esquina superior derecha con coordenadas 1,1,1 el
resultado será el vector 1,1,1 . El ángulo entre este vector y el vector
del borde izquierdo inferior que también comienza en el origen y corre
a lo largo del eje x será 1,0,0 , lo cual implicara lo siguiente:
x
y
z
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11,1,1 1,0,0 1 1cos cos 55º
1,1,1 1,0,0 3 3
Producto Cruz
El producto cruz a b de dos vectores a y b, a diferencia del producto
punto, es un vector. Por esta razón, también recibe el nombre de
producto vectorial. Note que a b esta definido solo cuando a y b son
vectores tridimensionales.
Definición
Si 1 2 3 1 2 3, , y , ,a a a a b b b b , entonces el producto cruz de a y b es
el vector
1 2 3 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
1 2 3
, ,
i j k
a b a a a a b a b a b a b a b a b
b b b
Una de las propiedades más importantes del producto cruz esta dada
por el siguiente teorema.
Teorema 1
El vector a b es ortogonal a y b
Ahora que conocemos la dirección del vector a b , lo que resta para
completar su descripción geométrica es su longitud a b . Esta dada
por el siguiente teorema.
Teorema 2
Si es el ángulo entre a y b (de modo que 0 ), entonces
a b a b sen
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Como un vector esta determinado completamente por su magnitud y
dirección, ahora podemos decir que a b es el vector que es
perpendicular a a y b, cuya orientación esta determinada por la regla
de la mano derecha, y cuya longitud es a b sen . De hecho, es
exactamente la forma en que los físicos definen a b
Teorema 3
Dos vectores no nulos a y b son paralelos si y solo si
0a b
Así tenemos la siguiente forma de interpretar la magnitud de un
producto cruz.
La longitud del producto cruz a b es igual al área del paralelogramo
determinado por a y b.
Sin embargo, algunas de las leyes usuales de algebra se cumplen
para productos cruz. El siguiente teorema resume las propiedades del
producto vectorial.
Teorema 4
Si a, b y c son vectores y c es un escalar, entonces:
1. a b b a
2. ca b c a b a cb
3. a b c a b a c
4. a b c a c b c
5. a b c a b c
6. a b c a c b a b c
Estas propiedades se pueden demostrar si escribimos los vectores en
términos de sus componentes y usamos la definición del producto
cruz.
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El producto a b c que aparece en la propiedad 5 se llama
producto escalar triple de los vectores a, b y c.
En consecuencia tenemos la siguiente formula
El volumen del paralelepípedo determinado por los vectores a, b,c es
la magnitud de su producto escalar triple:
V a b c
Si empleamos la ecuación anterior y descubrimos que el volumen del
paralelepípedo determinado por los vectores , y a b c es 0, entonces
los vectores deben hallarse en el mismo plano, es decir son
coplanares.
Ejercicios
Problema 5
Utilice el producto escalar triple para verificar que los vectores
2 3 , y 7 3 2a i j k b i j c i j k
son coplanares.
Solución
2 3 11 0 1 0 1 1
1 1 0 2 3 13 2 7 2 7 3
7 3 2
4 6 10 0
a b c
Por lo tanto el volumen del paralelepípedo determinado por a, b y c es
0, por lo tanto los vectores se encuentran en el mismo plano, es decir
son coplanares.
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Problema 6
Del siguiente conjunto de puntos
1,0,0 , 0,2,0 , 0,0,3P Q R
(a) Encuentre un vector ortogonal al plano que pasa por los puntos
,P Q y R
(b) (b) encuentre el área del triangulo PQR .
Solución
Inciso a
Debido a que el plano formado por ,P Q y R contiene los vectores PQ
y PR y un vector ortogonal entre estos vectores (por ejemplo, su
producto vectorial) es también ortogonal al plano. Por lo tanto:
2 3 0 0 , 0 1 1 3 , 1 0 2 1 6,3,2PQ PR
Entonces el vector 6,3,2 (o cualquier múltiplo escalar) es ortogonal al
plano formado por ,P Q y R .
Inciso b
El área del triangulo esta determinado por los puntos ,P Q y R que es
igual a la mitad del área del paralelogramo determinado por estos tres
puntos. Del inciso (a) tenemos que el área del paralelogramo es:
26,3,2 36 9 4 7PQ PR u
Por lo tanto el área del triangulo es
21 77
2 2u