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8/16/2019 Problemas Resueltos Caida Libre44
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PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE CAIDA LIBRE
Erving Quintero Gil Ing.Electromecánico
Bucaramanga – Colombia2010
Para cualquier inquietud o consulta escribir a:quintere@hotmail.com quintere@gmail.com
quintere200@!ahoo.com
1
mailto:quintere@hotmail.commailto:quintere@gmail.commailto:quintere2006@yahoo.commailto:quintere2006@yahoo.commailto:quintere2006@yahoo.commailto:quintere2006@yahoo.commailto:quintere@gmail.commailto:quintere@hotmail.com
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1 0 f 12
1 f 12 2 seg t " # seg
2 0 f 22
2 f 22 2 seg
3 0 f 32
3 f 32 2 seg
Problema 2!" E#i$i%n &e'ta #e &er(a)
$na %elota de gol& se suelta desde el re%oso del techo de un edi&icio mu! alto. 'es%reciando la
resistencia del aire( calcule )a* la %osici+n ! )b* la ,elocidad de la %elota des%u-s de 1 seg( 2 seg.
! # seg.
t1 " 1 seg 0 " 0 a " /( mseg2
0
& " 0
a t
& " a t
31
" 4(/ m
t1 " 1 seg
& " /(
mseg2 5
1 seg "
/(
mseg
*+ , -./
m0&eg
32 " 1/( m t2 " 2 seg
Y= 1 (
V+
V)
t
Y =1( V ) t =
1* 9,8
m*1 seg
3# " 44(1 m
#
31 " 4(/ m
t2 " 2 seg 0 " 0 a " /( mseg2
0
& " 0
a t
& " a t
& " /(
mseg2 5
2 seg "1/(
mseg
*+ ,1-.
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a " /( mseg2h " 4 m
h = V0 * t
+
t " 1(6 seg
* g * t
0 " 7
4 = V0 *1,5 - * 9,8 *1,5
01,5 seg
a " /( mseg2*" , 1" m0&eg
t " 1(6 seg
"
f 0
f
34 , !!.1 m
Problema 2!4 &er(a) &e'ta e#i$i%n5 Problema 2!6 E#i$i%n $uarta #e&er(a)
$na estudiante lan8a un lla,ero ,erticalmente hacia arriba a su hermana del club &emenino de
estudiantes( que esta en una ,entana 4 m arriba. 9as lla,es son atra%adas 1.6 seg. des%u-s %or elbra8o etendido de la hermana. )a* Con que ,elocidad inicial &ueron lan8adas las lla,es7
)b* Cual era la ,elocidad de las lla,es ;usto antes que &ueran atra%adas7
Con 7ue velo$i#a# ini$ial +ueron lan8a#a& la& llave&9
1 2
2
1 2
2
4 " 1(6 0 – 11(026
4 11(026 " 1(6 0
16(026 " 1(6 0
V= 15,025 =
10 m
*" , 1" m0&eg
Cual era la velo$i#a# #e la& llave& :u&to ante& 7ue +ueran atra;a#a&9
&"
0< a t
& " 10 – /( 5 1(6
& " 10 – 14(=
*+ , < !.6 m0&eg
Problema 2!= E#i$i%n $uarta #e &er(a)
>e in&orm+ que una mu;er ca!+ 144 %ies desde el %iso 1= de un edi&icio( aterri8ando sobre una
ca;a de ,entilador metálica( la cual sumi+ hasta una %ro&undidad de 1 %ulg. >+lo su&ri+ lesiones
menores. Ignore la resistencia del aire ! calcule a* la ,elocidad de la mu;er eactamente antes de
chocar con el ,entilador( b* su aceleraci+n %romedio mientras está en contacto con la ca;a( ! c* el
tiem%o que tarda en sumir la ca;a.
! " altura del edi&icio " 144 %ies a " #2 %iesseg2
Cuando llega al %iso es la ,elocidad &inal de ese mo,imiento ! es a la ,e8 la ,elocidad inicialcuando entra en contacto con la ca;a.Cuando se cae del edi&icio la ,elocidad inicial es cero
El signo es )* %or que el mo,imiento es acelerado( es decir el cuer%o ,a aumentando la ,elocidad
V 2
=V 2
+2 a y
V 2 = 2 a y
#
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Vf = 2 a y = 2 * 32 *144 pies =
9216
! " altura que se de&orma la ca;a " 1 %ulgadas. a " #2 %iesseg2
12 pulg
"
f 0
0
⎜ 96 pies ⎟2
V0 = ⎝
seg⎠ =
9216 piesa =
0
v0 seg
3072
h = V0 * t + * g *
t2
pies pies2
seg2 seg2
*+ , - ;ie&0&eg es la ,elocidad de llegada
a la ca;a
b* su aceleraci+n %romedio mientrasestá en contacto con la ca;a(
Cuando llega al %iso es la ,elocidad &inal de ese mo,imiento ! es a la ,e8 la ,elocidad inicial
cuando entra en contacto con la ca;a.
y=
18 pulg *1 pie
=1,5 pies
El signo es )
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4,8
a " /( mseg2*" , " m0&eg
t " 2(1 seg
tS!"# = = = 0,0676 segmseg
h = V0 * t +* g * t
2
4(/ t2 t i la ra%ide8 del sonido en el aire es #40 mseg.( cuanto tiem%o( des%u-s de saltar elcla,adista( un es%ectador sobre el %uente escucha el gol%e en el agua7
Es necesario hallar el tiem%o del sonido ! sumarlo con el tiem%o que demora el cla,adista en el
aire.
elocidad del sonido " #40 mseg.
h " >DI'D 5 t>DI'D
h 23 m
VS!"# 340
sonido " 0(0= seg
tDF9 " t t>DI'D
tDF9 " 2(1 seg 0(0=
seg
tTOTAL , 2.22 &eg
Problema 2! E#i$i%n $uarta #e &er(a)5 Problema 2!2 &er(a) &e'ta e#i$i%n
>e lan8a una %elota directamente hacia aba;o( con una ra%ide8 inicial de mseg.( desde una
altura de #0 m. 'es%u-s de que inter,alo de tiem%o llega la %elota aI suelo7
h " #0 m 0 " mseg a " /( mseg2
1 2
2
30=
8 * t+
1
* 9,8 * t2
#0 " t 4(/ t2
Drdenandola ecuacion
a " 4(/b "
c "
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a " /( mseg2
h " 4 m
h = V0 * t
+
t " 1(6 seg
* g * t
0 " 7
4 = V0 *1,5 - * 9,8 *1,5
1,5 seg
a " /( mseg2*" , 1" m0&eg
t " 1(6 seg
0
Vf = V0 - g t
0 " 7
"
f 0
3 " 7 t " # seg
Problema 2!6 E#i$i%n $uarta #e &er(a)5 Problema 2!4 &er(a) &e'ta e#i$i%n
$na estudiante lan8a un lla,ero ,erticalmente hacia arriba a su hermana del club &emenino deestudiantes( que esta en una ,entana 4 m arriba. 9as lla,es son atra%adas 1.6 seg. des%u-s %or el
bra8o etendido de la hermana. )a* Con que ,elocidad inicial &ueron lan8adas las lla,es7)b* Cual era la ,elocidad de las lla,es ;usto antes que &ueran atra%adas7
Con 7ue velo$i#a# ini$ial +ueron lan8a#a& la& llave&9
1 2
2
1 2
2
4 " 1(6 0 – 11(026
4 11(026 " 1(6 0
16(026 " 1(6 0
V0= 15,025 =
10 m
*" , 1" m0&eg
Cual era la velo$i#a# #e la& llave& :u&to ante& 7ue +ueran atra;a#a&9
& " 0 < g t
& " 10 – /( 5 1(6
& " 10 – 14(=
*+ , < !.6 m0&eg
Problema !6 &er(a) &e'ta e#i$i%n5 Problema 2=1 E#i$i%n $uarta #e &er(a)
$na %elota de b-isbol es gol%eada de modo que sube directamente hacia arriba des%u-s de sertocada %or el bat. $n a&icionado obser,a que la %elota tarda # seg. en alcan8ar su máima altura.
Encuentre )a* su ,elocidad inicial ! )b* la altura que aIcan8a.
>a? &u velo$i#a# ini$ial
,0 " 0 mseg g " /( msegG. t " # seg.
H " 0
g 5 t " ,0
,0 " /( 5 #
,0 , 2-.! m0&eg
>b? la altura 7ue aI$an8a
El signo es )
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0
⎜ 29,4m ⎟2
=
⎝
⎠Y = = m = 44,1 m
seg2
h = V0 * t +* g * t
2
4(/ t2 < 6t – 21 " 0
t = =
9,8 9,8 9,8 9,8 seg
h = V0 * t +* g * t
V2
=2 g Y
⎛
⎞2
V0 ⎜
seg⎟
864,36
2 g2 * 9,8
m 19,6
3 , !!.1 m
Problema 2!/ E#i$i%n $uarta #e &er(a)
$n globo aerostatico ,ia;a ,erticalmente hacia arriba a una ,elocidad constante de 6 mseg.
Cuando esta a 21 m sobre el suelo se suelta un %aquete desde el.
a* Cuanto tiem%o %ermanece el %aquete en el aire7b* Cual es su ,elocidad eactamente antes de gol%ear el suelo7c* e%ita a* ! b* en el caso en que el globo desciende a 6 mseg.
Cuanto tiem;o ;ermane$e el ;a7uete en el aire9
0 " < 6 mseg h " 21 m g " /( msegG
1 2
2
21=
- 5 t+ 1
* 9,8 * t 2
21
=- 5 t
+4,9 t 2
Drdenando la ecuaci+n
a " 4(/ b "
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2
4(/ t2 6t – 21 " 0
t = =
9,8 9,8 9,8 9,8 seg
"
f 0
0
⎜100 m ⎟2
=
⎝
⎠Y = = m = 510,2 m
seg2
21=
5 t+
1* 9,8 * t
2
21
=5 t
+4,9 t 2
Drdenando la ecuaci+n
a " 4(/ b " 6 c "
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t =v0 = seg = 1,53
segseg 2
2
2
,0 " 0 mseg g " /( msegG.
t " 0(4= segVf = V0 + g
t
h = V0 * t + * g *
t2
g
0
Vf = V0 - g t
g 5 t " ,0
15m
g 9,8m
t , 1.=4&eg
b* Cual essu altitudmáima7
h=
v0 * t− 1
* g * t 2
h= 15 *1,53 −
1 * 9,8 *
(1,53)2
h " 22(/6 <
4(/ 5 2(#4
h " 22(/6 <11(4=
@ , 11.!6m
'eterminela,elocidad !laaceleraci+n de la%elota en t" 2 seg.>e obser,aque la%elotademora1(6# seg %ara alcan8ar la máima altura( %reguntan la ,elocidad de la %elota a los 2 seg( estoquiere decir que la %elota lle,a 0(4= seg ba;ando. )er gra&ica*.
t " 1(6# seg 0 " 0
0
h
Problema 2!- &er(a) &e'ta e#i$i%n
$n osado ranchero( sentado en la rama de un árbol( desea caer ,erticalmente sobre un caballo
que galo%a aba;o del árbol. 9a ra%ide8 constante del caballo es 10 mseg. ! la distancia de la rama
al ni,el de la silla de montar es # m. )a* Cual debe ser la distancia hori8ontal entre la silla ! la rama
cuando el ranchero hace su mo,imiento7 )b* Cuanto tiem%o estará el en el aire7
Es necesario hallar el tiem%o que demora en caer el ,aquero a la silla del caballo. Este es elmismo tiem%o que demora el caballo en llegar ;ustamente deba;o del ,aquero.
0 " 0 mseg h " # m
1 2
2
h
= 1* g * t
2
2 h
=g * t
2
t 2
= 2
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9,8mg 9,8
0
f 0
0
0Y = = = = 490 met()s
3
t= 2 h = 2 * 3 m = 6 =
0,6122 seg
seg2
t , ".6/2 &eg
Este es el mismo tiem%o que demora el caballo en llegar ;ustamente deba;o del ,aquero ! trae el
caballo una ,elocidad constante de 10 mseg.
>e halla la distancia hori8ontal que a,an8a el caballoJ " distancia hori8ontal que a,an8a el caballoJ " elocidad del caballo 5 tiem%oJ " 10 mseg 5 0(=2 seg , 6./2 m
Signi+i$a 7ue $uan#o el $aballo e&te a 6./2 metro& el ran$@ero o&a#o &e #e:a $aer #el rbol ;ara
llegar e'a$tamente a la &illa #el $aballo
Problema 2=" E#i$i%n $uarta #e &er(a)
$na %elota lan8ada ,erticalmente hacia arriba es ca%turada %or el lan8ador des%u-s de 20 seg.
'etermine a* la ,elocidad inicial de la %elota( ! b* la altura máima que alcan8a.
a? la velo$i#a# ini$ial #e la ;elota
,H " 0 mseg g " /( msegG.
Vf = V0 - g t
g 5 t " ,0 tsubida " 10 seg tba;ada " 10 seg
0 " /( mseg2 5 10 seg
*" , -/ m0&eg 0 " 7
b? la altura m'ima 7ue al$an8a
V2
=V
2- 2 g y
V 2=
2 g y
V2
(98)2 9604
2 g 2 * 9,8 19,6PROBLEMAS ADICIOALES
Problema 1
>e lan8a un cuer%o ,erticalmente hacia aba;o
con una ,elocidad inicial de = mseg. a* KCuál será su ,elocidad luego de haberdescendido # seg7.
b* KLu- distancia habrá descendido en esos #
seg7.c* KCuál será su ,elocidad des%u-s de haber
descendido 14 m7.d* >i el cuer%o se lan8+ desde una altura de 200 m( Ken
cuánto tiem%o alcan8ará el suelo7. e* KCon qu- ,elocidad lo hará7.
,0 " = mseg g " /( msegG. t " # seg.
h " 14 m
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2
seg 2seg 2
⎜ 7 ⎟seg
Vf = V0 + 2 * g * h
=+ 2 * 9,8 2 *14 m
Vf = 49 + 2 74,4 = 323,4
t = =
9,8 9,8
9,8
t1 = 9,8
9,8
9,8 9,8
a? Cul &er &u velo$i#a# luego #e @aber #e&$en#i#o 4 &eg9
,& " ,0 g.t
,& " )= mseg* )/(msegG*.)# seg*
,& " = mseg 2/(4 mseg
v+ , 4.! m0&eg
b? Qu #i&tan$ia @abr #e&$en#i#o en e&o& 4 &eg9
y=
V0 * t+ 1
* g * t2
y=
7 m * 3 seg+ 1
* 9,8 m * &3 seg' 2
! " )21 m* )4(/ msegG*.)/ seg2*
! " 21 m 44(1 m) , =.1 m
$? Cul &er &u velo$i#a# #e&;u& #e @aber #e&$en#i#o 1! m9
,& G < ,0G " 2.g.h
2 ⎛ m ⎞2
m
⎝ ⎠seg
m 2 m 2 m 2
seg 2 seg 2 seg 2
v+ , 16.-/ m0&eg
#? Si el $uer;o &e lan8% #ee una altura #e 2"" m. en $unto tiem;o al$an8ar el &uelo9
! " ,0.t g.tG2200 " =.t /(.tG2
Drdenando la ecuacion0 " /(.tG2 =.t < 200
F%licamos la ecuaci+n cuadrática que dará dos resultados:
4(/ t2 =t
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⎜ 7 ⎟
seg
Vf = V0 + 2 * g * h
=
+ 2 * 9,8 2 * 200 m
Vf = 49 + 3920 =
3969
2
2 ECUACIO 1
6 m 0(2 seg
2
2 ECUACIO 2
2
g t +
10
2
= 1 g (t +
0,2)2
10 " g ) t2 2 5 0(2t 0(22* < g t2
6 m 0(2
t2 " >D9$CID*
e? Con 7u velo$i#a# lo @ar9
! " 200 m ,0 " = mseg g " /( msegG.
,& G < ,0G " 2.g.h
2 ⎛ m ⎞2
m
⎝ ⎠seg
m 2 m 2 m 2
seg 2 seg 2 seg 2
v+ , 4 mProblema 2
Un ob:eto en $aF#a libre re$orre lo& ltimo& = metro& en ".2 &egun#o& Determinar la altura
#ee la 7ue $a)%
>e anali8a el %rimer des%la8amiento( donde:
MeN es la distancia del %rimer mo,imientoH@N es el des%la8amiento total del ob;eto.Ht es el tiem%o del %rimer mo,imiento
e=
V0 t +1
g t 2e t
Pero la o " 0
e
= 1g t 2 h " e 6
>e anali8a el segundodes%la8amiento
h=
e+
5=
V0 (t+
0,2) +
1g(
t+
0,2)
2
Pero la o " 0
e + 5 = 1 g (t +
0,2)2
eem%la8ando el ,alor de He de la ecuacion 1 en la ecuacion 2
1g t
2
+5
=1
g (t + 0,2)2
2
2 2
Cancelando el 2 que di,ide las dose%resiones
g t 2 + 10 = g (t +
0,2)2
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3,92
seg22 2
seg 2⎝ ⎠
g" e halla la distancia del %rimer mo,imiento MeN
e = 1 g t 2 = 1 * 9,8 m * (2,45 seg)2e
= =4,9 m *
⎜⎛6 seg 2
⎟⎞
e " 2/(4 m
la distancia total es la suma de los dos mo,imientos.
h " e 6 " 2/(4 6 " #4(4 mProblema 4
a* KF que ,elocidad debe ser lan8ada una bola ,erticalmente desde el ni,el del %iso %ara ele,arse
a una altura máima de 60m7
b*KCuánto tiem%o estará en el aire7.'atos
V2
=
V
2
- 2
g h
0=
V2
- 2
g h
V2 =
2 g h
V0=
2 * g * h
=2
* 9,8
m *
50m
=
31,3 m
Problema !$na roca es lan8ada desde un risco de 100 m de alto Kcuánto tiem%o tarda en caer a los a*%rimeros 60 m ! b* los segundos 60 m7
'atos
o"0 h " 100 m
1 2
2
1#
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2
t 1 = = = 10,2 =
3,19 seg
m g
seg 2
t total = = = 20,4 =
4,51 seg
m g
seg 2
t " 0(26 seg. g"
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11,56⎜ 3,4
⎝
⎟
⎠
2
h ==
= = 1,17m m mg
seg2 seg
V f = V
2+ 2 g * h0
V f
=2 g * h
V f = 2
g *h
= 2 * 9,81*1,5 = 14,7 = 3,83
seg
a =V 0
= seg =m seg
& " 0(/4 mseg
c* KLu- altura %uede alcan8ar7 & " 0
,& G " ,0 G < 2.g.h
0 " ,0 G < 2.g.h
,0 G " 2.g.h
⎛ m ⎞2 m2
V0 ⎜
seg⎟
seg 2
9,81 9,81
@ , 1.16 mProblema
$na bola de arcilla cae en el %iso de una altura de1.6 m. Esta en contacto con el %iso %or 20 msegantes de llegar al re%oso.
KCuál es la aceleraci+n %romedio de la bola durante el tiem%o que esta en contacto con el %iso
)considere la bola como una %artcula*7
h"1.6 mt"20 mseg "0.2 seg&"0a "7
2
2
m
Esta es la ,elocidad con que la bola choca con el %iso. 9a bola dura en contacto con el %isodurante 0(2 seg hasta que llega al re%oso. Con esta in&ormaci+n se %rocede hallar la aceleraci+n
V f =V 0 −
a * t
& " 0
0 " #(# mseg
0 " a 5 t
3,83m
t 0,2 seg19,15
2
a , 1-.1=
m0&eg2
Problema 6
>e lan8a un cuer%o ,erticalmente hacia arriba con una ,elocidad inicial de 100 mseg( luego de 4
seg de e&ectuado el lan8amiento su ,elocidad es de 0 mseg.
a* KCuál es la altura máima alcan8ada7.b* KEn qu- tiem%o recorre el m+,il esa distancia7.
c* KCuánto tarda en ,ol,er al %unto de %artida desde que se lo lan8o7.
d* KCuánto tarda en alcan8ar alturas de #00 m ! 00 m7.
16
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< 4(/ t2 100t < #00 " 0
t = =
,0 " 100 mseg ,& " 0 mseg t " 4 seg
a? Cul e& la altura m'ima al$an8a#a9
Para la altura máima ,& " 0(
,& G " ,0G < 2.g.h
0 " ,0G < 2.g.h
,0G " 2.g.h
h má "
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9,8 9,8
9,8
t1 = 9,8
9,8
9,8 9,8
se halla el tiem%o de subida que es igual al
edi&icio " 3212,5m
m
seg
ta:a#a , 1.26!2 &eg
eif seg 22 seg 2
tedi& icio
31
t=
- 100±
10000−
5880
=100
±4120
t= 100 ± 64,18
100 + 64,18
t1= 164,18 =
16,75 seg
t 2= 100 64,18
= 35,82 =3,65 seg
t1 , 1.6= &eg
)D E>
>D9$CID*
t2 , 4.= &eg
Problema /
'esde lo alto de un edi&icio( se lan8a ,erticalmente hacia arriba una %elota con una ra%ide8 de
12(6 mseg. 9a %elota llega a tierra 4(26 seg des%u-s.
Qallar la altura del edi&icio7
9a ra%ide8 con que llega la %elota al %iso7
t
s
u
b
i
d
a
t
b
a
;
a
d
a
tiem%o de ba;ada.
0 0 " 12(6 mseg
& " 0 – g 5 tsubida
0 " 12(6 – /(1 5 tsubida
12(6 " /(1 5 tsubida
tsu$ia
=
seg
=1,2742 seg
9,812
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& " 12(6 mseg /(1 mseg2 5 1(=01 seg
0)1* " 0 ) se de;a caer* 0)2* " # mseg ) es lan8ada*
2
>e$ua$i%n 2?2
edi&icio " ## m
>e$ua$i%n 4?2
>e$ua$i%n !?2
>e$ua$i%n 2?2
>e$ua$i%n !?2
31
edi&icio. 0 " 12(6 mseg
& " 0 g 5 tedi&icio
& " 12(6 mseg 1(/2 mseg
*+ , 2-.1- m0&eg >velo$i#a# $on 7ue llega la ;elota al ;i&o?Problema ->e de;a caer un cuer%o desde un edi&icio con una altura de ## metros ! simultáneamente se lan8a
hacia aba;o otro cuer%o con una ra%ide8 inicial de de # mseg. Encontrar el instante en que la
distancia entre ellos es 1 metros7
31 " Es la altura del cuer%o que se de;a caer.
32 " Es la altura del cuer%o que es lan8ado.
3# " Es la distancia de 1 metros que se%aran
a los cuer%os.
32 " 31 3#
32 , 31 K 1/ >e$ua$i%n 1?
El tiem;o e& el mi&mo ;ara ambo& $uer;o&
*">1? , "
*">2? , 4 m0&eg
Y1 = V0&1' * t +1
g * t 2
Y1= 1
g * t 2
32
Y2=
V0&2' * t
+ 1g * t 2 3
#" 1 m
Reem;la8an#o e$ua$i%n 1 en la e$ua$i%n 4
Y1 +
18
=V
0&2'* t
+ 1g * t 2
Por el &i&tema #e re#u$$i%n #e e$ua$ione& &e rela$ionan la&e$ua$ione& 2 ) la !
Y1= 1
g * t 2
Y1
+ 18 = V0&2' * t
+ 1 g * t 2
?ulti%lico la ecuaci+n 2 %or )
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2
2
2 2
t = =
= 6 segm
seg
32 " 3 (# m es el des%la8amiento total del ob;eto.
2
ECUACIO 1 32 " 3 (# m2
Y2 = V0 (t + 1) +1
g (t +
1)2
2
ECUACIO 22
3 t
- Y1 =-
1g * t
2
Y1+
18=
V0&2' * t+ 1
g * t2
se suman las ecuaciones
- Y1+
Y1+
18=
- 1 g * t 2+
V0&2' * t+ 1
g * t 2
>e cancelan los t-rminos seme;antes ! %or ultimo queda:
18=
V0&2' * t
>e halla el
tiem%o.
18 m 18 m
V0&2' 3
t , &eg
Problema 1"
Un $uer;o 7ue $ae. re$orre en el ultimo &egun#o /.4 metro& En$ontrar la altura #ee#on#e $ae9
>e anali8a el %rimer des%la8amiento( donde:
3 es la distancia del %rimer mo,imiento
31 " (# m es la distancia del segundo mo,imiento 0" 0
t es el tiem%o del %rimer mo,imiento
Y
=V0 t
+ 1g t 2
Pero la o " 0
Y
= 1g t 2 " t 1 seg
>e anali8a el des%la8amiento total
31 " (# m t1 " 1 seg
2
Pero: 32 , 3 K /.4
Y + 68,3 = V0 (t +
1) + 1 g (t + 1)2
Pero la o " 0
Y + 68,3 = 1 g (t +
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2 2
2 2
g t 2 + 68,3
=
g t 2 + g t
+
g
68,3 = g t +
g
68,3 =
t = = = = 6,52 seg
seg 22 2
⎜ ⎟seg 2
⎝ ⎠
1g t 2
+68,3
=1
g (t + 1)2
1 g t 2
+68,3
= 1g⎡
t 2
+2t
+1⎤
1 1 1
2 2 2Cancelando terminos seme;antes
1
2
2 g t + g
2
(# 5 2 " 2g t g
1#=( " 2 gt g
1#=( – g " 2 g t
g " /( mseg2
137,6 - g 137,6 - 9,8 127,8
2 g 2 * 9,819,6
>e halla la distancia del%rimer mo,imiento M 3M)ECUACIO 1?
Y = 1 g t 2 = 1 * 9,8 m *
(6,52 seg)2Y
= =
4,9 m *
⎛
42,51 seg 2
⎞
3 , 2"/.4 m
la distancia total es la suma de los dos mo,imientos.
32 " 3 6 " 20(# (#" 1=6(# m
32 , 26. m
Problema 11
'esde lo alto de un acantilado se de;a caer una %iedra( desde la misma altura se
lan8a una %iedra 2 seg mas tarde con una ra%ide8 de #0 mseg. >i ambos gol%ean el %isosimultáneamente. Encuentre la altura del acantilado.
t " es el tiem%o que demora en llegar el cuer%o que caelibremente.
t2 " es el tiem%o que demora en llegar el cuer%o que es lan8ado. Dbser,e que este cuer%o
demora 2 seg menos en el aire que el %rimer cuer%o( %or que es en,iado des%u-s.
20
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2
ECUACIO 12
%ero 0 )2* " #0 mseg2
2
2
ECUACIO 22
2 2
t = = 3,89 seg
2
2
>e anali8a la %rimera %iedra 0)1* " 0 ) se de;a caer* 0)2* " #0 mseg
Y=
V0 t+ 1
g t 2
Pero la o " 0
Y
= 1g t 2 t t
2" t < 2 3
>e anali8a la segunda %iedra
Y=
V0&2' * (t - 2
) + 1g(
t - 2)
2
Y = 30 * (t - 2) + 1 g (t - 2)2Y
=30 t - 60
+ 1g
⎡t 2 - 4t
+4⎤
Y = 30 t - 60 + 1 g t 2 - 2 g t + 2 g
Igualan#o la e$ua$i%n 1 ) 2
1
g t 2
=30 t - 60
+ 1g t 2 - 2 g t
+2 g
Cancelando terminos seme;antes
0=
30 t - 60 - 2 g t+
2 g
eem%la8ando el ,alor de la gra,edad g " /(1 mseg2
0 " #0 t – 0 – 2 5 /(1 t 2 5 /(1
0 " #0 t – 0 – 1/(2 t 1/(20 " 10(# t – 40(#40(# " 10(# t
'es%e;ando el tiem%o
40,38
10,38
>e halla laaltura delacantiladoen laecuaci+n 1
Y=
1g
t2
21
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segundo mo,imiento.
g " /(1 mseg2Pero t " # seg
2 2
2 2
2 2 2
seg2
(V+1
)2 = (Vi1
)2 + 2 * g ⎜
⎟
(V+1 )2 = 2 * g ⎜ ⎟
*J1 , *i2
*J232 t " #
Problema 12
$na roca cae libremente recorriendo la segunda mitad de la distancia de cada en # seg.
Encuentre la altura desde la cual se solt+ ! el tiem%o total de cada
Como dice que la segunda mitad de la tra!ectoria ba;aen # seg( signi&ica que el %roblema se %uede di,idir endos %artes iguales.
3 " altura total
!2 " la mitad de la tra!ectoria
i1 " es la ,elocidad inicial del %rimer mo,imiento.
H1 " es la ,elocidad &inal del %rimer mo,imiento.
i2 " es la ,elocidad inicial del segundo mo,imiento.
H2 " es la ,elocidad &inal del segundo mo,imiento.
OTA En la mitad de la tra!ectoria la ,elocidad &inal
del %rimer mo,imiento es igual a la ,elocidad inicial del *i1 , "
Fnali8amos el segundo mo,imiento.
Y = (Vi2 )
* t+ 1
* g * t 2 32
Y= (
Vi2)
* 3
+ 1* g *
32
Y
= 3 (Vi2 ) + 9 * g = 3 (Vi2 ) + 9 * 9,81
3
Y =3
(Vi2 ) +
44,145
Y= 2 * & 3 (V
i2
) +
44,145'
3 , *i2 K //.2- E$ua$i%n 1
Fnali8amos el %rimer mo,imiento. Pero *i1 , " *J1 , *i2 >*er la gra+i$a?
⎛ Y ⎞
⎝2
⎠
⎛ Y ⎞2
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E$ua$i%n 2Y = =
E$ua$i%n 2Y = =
6 Vi2 + 88,29=
Vi2 = =
2 * a 2 *1
Vi2 = =2 2
Vi2 = 2
Vi2 = 2
2 seg
2
(Vi2 )2 (Vi2 )2
g 9,8
Igualan#o lae$ua$i%n 1 $on la
e$ua$i%n 2
3 , *i2 K //.2-
E$ua$i%n 1
(Vi2 )2
(Vi2 )2
g 9,8
(Vi2 )2
9,8
>e des%e;a la *i2
/( 5 ) i2 (2/*
" )i2*2
6( i2 6(242 "
)i2*2
>e ordena laecuaci+n desegundo grado
0 " )i2*2 < 6( i2 <
6(242
>e a%lica la ecuaci+n de segundo grado %ara la hallar la ,elocidad inicial del segundo
mo,imiento.
0 " )i2*2 < 6( i2 < 6(242
a " 1 b " < 6( c " < 6(242
- $± $ 2 - 4 a % - ( - 58,8) ± ( - 58,8)2 - 4 * (1) * (- 865,242)
58,8
±3457,44
+3460,968 58,8
±6918,408
58,8
±83,17
58,8
+83,17
Vi2= 141,97 =
70,98 m
*i2 , 6".-/ m0&eg
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V+1 seg
9,8
i " /( mseg2 5 1(6 seg
2
2
Para allar el tiem;o. &e ne$e&ita en$ontrar el tiem;o #e la ;rimera tra)e$toria t1
Pero i1 " 0 H1 " *i2 , 6".-/ m0&eg
*J1 , *i1 K g N t1
*J1 , g N t1
70,98m
t1= g =
m =7,24 seg
seg2
iem%o total "
t1 t
iem%o total "=(24 seg #
seg
Tiem;o total, 1".2! &eg
Problema 14
$n estudiante de geologa se encuentra &rente a un corte ,ertical en roca( al cual no le es &ácil
acceder ! desea medir la altura de dicho corte( %ara lo cual %ro,isto de un cronometro lan8a un
&ragmento rocoso en &orma ,ertical hasta el borde del corte( el &ragmento regresa al cabo de #seg. o tener en cuenta la resistencia del aire ! calcularR
F* la ,elocidad inicial de lan8amiento
B* Cual es la altura del corte7
iem%o total de ida ! regreso es " # seg. " tiem%o subida tiem%o ba;adaPor lo anterior el tiem%o de subida es " 1(6 seg
Pero i " 7 H " 0
*J , *i < g N t&ubi#a
0 " i < g 5 tsubida
i " g 5 tsubida
*i , 1!.! m0&eg
Cual e& la altura #el $orte9
Y2 =
1
(V0 + Vf ) t
su$ia
Y= 1 (
14,4+
0)
* 1,5=
7,2 *1,5=
10,8
m
3 , 1" / m