Problemas Resueltos sobre Reglas de cálculo de Límites

Funciones/ Límites de funciones/ Problemas resueltos.

Problemas

11

22

33

44

55

2

2

3 2lim

2x

x xx

3 2

3 2

1lim

3 5 2x

x x xx x x

2 2lim 1 1x

x x

2 2lim 1 1x

x x x x

2 20

2lim

2 1 3 1x

x

x x x x

66

2

2

12

lim1

3

x

x x

x

a = el mayor entero ≤ a.

Funciones/ Límites de funciones/ Problemas resueltos.

Principales Métodos de Cálculo de Límites

Si la función está definida por una expresión algebraica, que toma un valor finito en el límite, entonces este valor finito es el límite.

33

Si la función no puede ser evaluada en el punto (por ejemplo una indeterminación) entonces se busca un modo de reescribir la función para que sí se pueda calcular. Si esto no es posible, usaremos la Regla del Sandwich.

44

En la evaluación de expresiones, usar las reglas22

0, , .

anúmero negativo

número positivo

Las siguientes indeterminaciones causan problemas: 110 00

0 , , , , 0 , .0

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Principales Métodos de Cálculo

Si aparece una raíz cuadrada en la función, multiplicar y dividir por su conjugado:

33

1 2 1 21 2

1 21 2 3

01 2 1 2 x

x x x xx x

x xx x

x x x x

Anular factores comunes en funciones racionales:22 2

1

1 111 2.

1 1 x

x xxx

x x

Regla empleada frecuentemente:11 2 2.a b a b a b

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Límites Reescribiendo

11

2

2

3 2lim

2x

x x

x

SoluciónSolución

2 1 23 2Reescribir 1.

2 2

x xx xx

x x

2

2 2

3 2Por tanto lim lim 1 1.

2x x

x xx

x

Funciones/ Límites de funciones/ Problemas resueltos.

Límites Reescribiendo

223 2

3 2

1lim

3 5 2x

x x x

x x x

SoluciónSolución

3 2 2 3

3 2

2 3

1 1 111

1.3 5 23 5 2 1

x

x x x x x xx x x

x x x

Funciones/ Límites de funciones/ Problemas resueltos.

Límites Reescribiendo

332 2lim 1 1

xx x

SoluciónSolución

2 2 2 2

2 2

2 2

1 1 1 11 1

1 1

x x x xx x

x x

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 2

1 1 1 1 1 1

x x x x

x x x x x x

Reescribir

2 2

2 2

2Por tanto lim 1 1 lim 0.

1 1x xx x

x x

Funciones/ Límites de funciones/ Problemas resueltos.

Límites Reescribiendo

442 2lim 1 1

xx x x x

SoluciónSolución

2 2

2 2 2 2

1 1 2 2

1 1 1 1

x x x x x

x x x x x x x x

2 2

2 22 2

2 2

1 1

1 1 1 1

1 1

x x x x

x x x xx x x x

x x x x

2 2

22

21 1 1 1

1 1x

x

x x x x

Reescribir

Dividiendo por x.

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Límites Reescribiendo55 2 20

2lim

2 1 3 1x

x

x x x x

SoluciónSolución

2 2 2 2

2 2 22 2

2 2 1 3 1 2 2 1 3 1

42 1 3 1

x x x x x x x x x x

x xx x x x

2 2

2 2

2 2 2 2

2

2 1 3 1

2 2 1 3 1

2 1 3 1 2 1 3 1

x

x x x x

x x x x x

x x x x x x x x

2 2

0

2 2 1 3 11

4 x

x x x x

x

Reescribir

Dividiendo por x.

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Regla del Sandwich

66

2

2

12

lim1

3

x

x x

x

a = el mayor entero ≤ a.

SoluciónSolución

2 2 21 1 11

2 2 2x x x x x x

2 2 21 1 11

3 3 3x x x

Aquí emplearemos la regla de Sandwich. Para ello estimemos primero el numerador y el denominador sin modificar la función del enunciado. Obtenemos

Usaremos lo anterior para estimar la función de la cuál queremos calcular el límite.

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Regla de Sandwich66

2

2

12

lim1

3

x

x x

x

Solución (cont.)Solución (cont.)

22 2

2 22

11 11 22 2 .

1 11 13 33

x xx x x x

x xx

2

2 2

2 22

123 1 3 1

.2 1 2 21

3

x x

x x x xx xx

Por las estimaciones en la página anterior, obtenemos:

Esto se simplifica a:

Como la parte de la derecha y la de la izquierda tienen ambas límite 3/2 cuando x ∞ concluimos por la regla de Sandwich, que:

2

2

12 3

lim .21

3

x

x x

x

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Cálculo en una variableAutor: Mika Seppälä

Traducción al español:Félix AlonsoGerardo RodríguezAgustín de la Villa