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Problemas Resueltos sobre Reglas de cálculo de Límites
Funciones/ Límites de funciones/ Problemas resueltos.
Problemas
11
22
33
44
55
2
2
3 2lim
2x
x xx
3 2
3 2
1lim
3 5 2x
x x xx x x
2 2lim 1 1x
x x
2 2lim 1 1x
x x x x
2 20
2lim
2 1 3 1x
x
x x x x
66
2
2
12
lim1
3
x
x x
x
a = el mayor entero ≤ a.
Funciones/ Límites de funciones/ Problemas resueltos.
Principales Métodos de Cálculo de Límites
Si la función está definida por una expresión algebraica, que toma un valor finito en el límite, entonces este valor finito es el límite.
33
Si la función no puede ser evaluada en el punto (por ejemplo una indeterminación) entonces se busca un modo de reescribir la función para que sí se pueda calcular. Si esto no es posible, usaremos la Regla del Sandwich.
44
En la evaluación de expresiones, usar las reglas22
0, , .
anúmero negativo
número positivo
Las siguientes indeterminaciones causan problemas: 110 00
0 , , , , 0 , .0
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Principales Métodos de Cálculo
Si aparece una raíz cuadrada en la función, multiplicar y dividir por su conjugado:
33
1 2 1 21 2
1 21 2 3
01 2 1 2 x
x x x xx x
x xx x
x x x x
Anular factores comunes en funciones racionales:22 2
1
1 111 2.
1 1 x
x xxx
x x
Regla empleada frecuentemente:11 2 2.a b a b a b
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Límites Reescribiendo
11
2
2
3 2lim
2x
x x
x
SoluciónSolución
2 1 23 2Reescribir 1.
2 2
x xx xx
x x
2
2 2
3 2Por tanto lim lim 1 1.
2x x
x xx
x
Funciones/ Límites de funciones/ Problemas resueltos.
Límites Reescribiendo
223 2
3 2
1lim
3 5 2x
x x x
x x x
SoluciónSolución
3 2 2 3
3 2
2 3
1 1 111
1.3 5 23 5 2 1
x
x x x x x xx x x
x x x
Funciones/ Límites de funciones/ Problemas resueltos.
Límites Reescribiendo
332 2lim 1 1
xx x
SoluciónSolución
2 2 2 2
2 2
2 2
1 1 1 11 1
1 1
x x x xx x
x x
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2
1 1 1 1 1 1
x x x x
x x x x x x
Reescribir
2 2
2 2
2Por tanto lim 1 1 lim 0.
1 1x xx x
x x
Funciones/ Límites de funciones/ Problemas resueltos.
Límites Reescribiendo
442 2lim 1 1
xx x x x
SoluciónSolución
2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
1 1 1 1
x x x x x
x x x x x x x x
2 2
2 22 2
2 2
1 1
1 1 1 1
1 1
x x x x
x x x xx x x x
x x x x
2 2
22
21 1 1 1
1 1x
x
x x x x
Reescribir
Dividiendo por x.
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Límites Reescribiendo55 2 20
2lim
2 1 3 1x
x
x x x x
SoluciónSolución
2 2 2 2
2 2 22 2
2 2 1 3 1 2 2 1 3 1
42 1 3 1
x x x x x x x x x x
x xx x x x
2 2
2 2
2 2 2 2
2
2 1 3 1
2 2 1 3 1
2 1 3 1 2 1 3 1
x
x x x x
x x x x x
x x x x x x x x
2 2
0
2 2 1 3 11
4 x
x x x x
x
Reescribir
Dividiendo por x.
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Regla del Sandwich
66
2
2
12
lim1
3
x
x x
x
a = el mayor entero ≤ a.
SoluciónSolución
2 2 21 1 11
2 2 2x x x x x x
2 2 21 1 11
3 3 3x x x
Aquí emplearemos la regla de Sandwich. Para ello estimemos primero el numerador y el denominador sin modificar la función del enunciado. Obtenemos
Usaremos lo anterior para estimar la función de la cuál queremos calcular el límite.
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Regla de Sandwich66
2
2
12
lim1
3
x
x x
x
Solución (cont.)Solución (cont.)
22 2
2 22
11 11 22 2 .
1 11 13 33
x xx x x x
x xx
2
2 2
2 22
123 1 3 1
.2 1 2 21
3
x x
x x x xx xx
Por las estimaciones en la página anterior, obtenemos:
Esto se simplifica a:
Como la parte de la derecha y la de la izquierda tienen ambas límite 3/2 cuando x ∞ concluimos por la regla de Sandwich, que:
2
2
12 3
lim .21
3
x
x x
x
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