PROBABILIDAD:

TEORÍA BÁSICA

+ COMBINATORIA

Joan Calventus S.http://estadis.webnode.cl

• La probabilidad permite cuantificar riesgos y con ello tomar decisiones en circunstancias inciertas.

TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD

• Utilizaremos la probabilidad para inferir (estadística inferencial) parámetros poblacionales a partir de la observación/medición de estadísticos muestrales.

TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD

• La teoría de la probabilidad surgió del interés por los juegos de azar.

• Un suceso es el resultado observado (o que pudiera observarse) al realizar un “experimento aleatorio”.

• La probabilidad de que ocurra un suceso A se calcula dividiendo el número de casos favorables a dicho suceso por el número de casos posibles.

TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD

Experimento: “Lanzar una vez un dado y observar nº puntos”

P(4 puntos) =Casos favorables

Casos posibles=

6

1= 0,17

Calcular la probabilidad de obtener 4 puntos:

TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD

Experimento: “Lanzar una vez un dado y observar nº puntos”

P(nº de puntos par) =Casos favorables

Casos posibles=

6

3= 0,5

¿Qué probabilidad existe de obtener un nº de puntos par?

TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD

0 ≤ P(A) ≤ 1

AXIOMAS:

Experimento: “Lanzar una vez un dado y observar resultado”

P(nº mayor de 7) =Casos favorables

Casos posibles=

6

0= 0

Probabilidad igual a cero significa que el suceso es IMPOSIBLE.

TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD

0 ≤ P(A) ≤ 1

AXIOMAS:

Experimento: “Lanzar una vez un dado y observar resultado”

P(nº menor de 7) =Casos favorables

Casos posibles=

6

6= 1

Probabilidad igual a uno significa que el suceso es SEGURO.

TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD

0 ≤ P(A) ≤ 1

AXIOMAS:

Experimento: “Lanzar una vez un dado y observar resultado”

P(nº menor de 3) =Casos favorables

Casos posibles=

6

2= 0,33

Probabilidad cercana a 1 indica mayor posibilidad que ocurra el evento.

Probabilidad cercana a 0 indica menor posibilidad que ocurra el evento.

TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD

0 ≤ P(A) ≤ 1

AXIOMAS:

P(A) = 1 – P(A)

Experimento: “Lanzar una vez un dado y observar resultado”

P(nº menor de 3) = 1 - P(nº no menor de 3)

= 1 -Casos favorables

Casos posibles

P(nº menor de 3) = 1 -4

= 0,66 = 0,331 -6

Probabilidad (complementaria) de que suceda no A

TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD

0 ≤ P(A) ≤ 1

AXIOMAS:

P(A) = 1 – P(A)

P (A ó B) = P (A U B) = P (A) + P (B)

TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD

AXIOMAS:

P (A ó B) = P (A U B) = P (A) + P (B)

Experimento: “Lanzar una vez un dado y observar resultado”

P(nº menor a 3 ó mayor a 5) = P(nº menor a 3) + P(nº mayor a 5)

P(nº menor a 3 ó mayor a 5) =6

2+

6

1= 3/6 = 0,5

TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD

P (A ó B) = P (A U B) = P (A) + P (B)

OJO:

“ o ” +

En el caso de eventos compatibles:

P (A ó B) = P (A U B) = P (A) + P (B) – P (A∩B)

U = –

TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD

OJO:“ o ” +

En el caso de eventos compatibles:

P (A ó B) = P (A U B) = P (A) + P (B) – P (A∩B)

Experimento: “Lanzar una vez un dado y observar resultado”

P(nº menor a 3 ó nº par) = P(nº menor a 3) + P(nº par) - P(2)

U = –1 2 2 4 6 1 22 4 6

2

P(nº menor a 3 ó nº par) = 2/6 + 3/6 - 1/6 = 4/6 = 0,66

OJO:“ o ” +

En el caso de eventos compatibles:

P (A ó B) = P (A U B) = P (A) + P (B) – P (A∩B)

Experimento: “Seleccionar al azar una persona del siguiente grupo:”

Empleo \ Género Muj. Hom.

Sí 4 2

No 1 3

Calcular la probabilidad de que la persona seleccionada sea una mujer o una persona empleada.

P( mujer ó empleada) = 5/10 =+ 6/10 - 4/10 7/10 = 0,70

TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD

TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD

0 ≤ P(A) ≤ 1

AXIOMAS:

P(A) = 1 – P(A)

P (A ó B) = P (A U B) = P (A) + P (B)

P (A y B) = P (A ∩ B) = P (A) x P (B)

TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD

AXIOMAS:

P (A y B) = P (A ∩ B) = P (A) x P (B)

Experimento: “Lanzar dos veces un dado y observar resultado”

Experimento: “Lanzar dos dados y observar resultado”

… o lo que es lo mismo…

P(obtener 2 números pares) = P(par) y P(par) = P(par) x P(par)

P(obtener 2 números pares) = 3/6 x 3/6 = 9/36 = 0,25

Interpretar y valorar resultado: una de cada cuatro veces que realicemos el experimento, obtendremos los dos números pares. ¿Qué les parece? Utilidad? Sentido?

“ y ” x

TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD

AXIOMAS:

P (A y B) = P (A ∩ B) = P (A) x P (B)

“ y ” x

Experimento: “Lanzar dos dados y observar resultado”

¿Cuál es la probabilidad de que obtengamos un doble 6?

P(obtener doble 6) = P(6) y P(6) = P(6) x P(6)

P(obtener doble 6) = 1/6 x 1/6 = 1/36 = 0,03

TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD

OJO:

En el caso de eventos dependientes:

P(A y B) = P(A ∩ B) = P(A) x P(B/A)

Probabilidad (condicional) de que suceda B luego de haber ocurrido A

“ y ” x

Un evento (B) es dependiente de otro (A), cuando lo que ocurre con éste influye en la ocurrencia de aquel.

Experimentos SIN REPOSICION comportan la aparición de eventos dependientes…

TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD

OJO:“ y ” x

En el caso de eventos dependientes:

P (A y B) = P (A ∩ B) = P (A) x P (B/A)

Experimento: “De una tómbola con 3 bolas rojas y 7 blancas, extraemos al azar dos de las bolas”

Calcular la probabilidad de que ambas sean rojas.

P (ambas bolas sean rojas) = P (1ª bola sea roja) x P (2ª bola sea roja ; habiendo sido roja la 1ª)

P (ambas bolas sean rojas) = 3/10 X 2/9 = 6/90 = 0,07

Interpretar y valorar por qué la probabilidad es tan baja…

TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD Y COMBINATORIA

P (A y noA) = P (A) x P (noA)

COMBINATORIA: (para eventos independientes, ”con reposición”)

P (A y A y noA y noA y noA) = P(A) x P(A) x P(noA) x P(noA) x P(noA)

P (A y A y noA y noA y noA) = P(A)2 x P(noA)3

P(las primeras dos bolas sean Azules y las siguientes tres sean rojas)=

Experimento: “De una tómbola con 2 bolas Azules y 3 rojas, extraemos al azar (con reposición) cinco bolas”

P (A y A y noA y noA y noA) = (2/5)2 x (3/5)3

P (A y A y noA y noA y noA) = 4/25 x 27/125 = 108/3125 = 0,03

Interpretar y valorar el sentido de esta probabilidad tan baja…

NO REQUEREMOS

COMBINATORIA

TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD Y COMBINATORIA

P (A y noA) = P (A) x P (noA)

COMBINATORIA: (para eventos independientes, ”con reposición”)

Experimento: “De una tómbola con 2 bolas Azules y 3 rojas, extraemos al azar (con reposición) cinco bolas”

REQUEREM

OS

COM

BINATO

RIA

P(2 bolas azules y 3 bolas rojas) = P(A) x P(noA) x C5,2

P (2 azules y 3 rojas) = (2/5)2 x (3/5)3 x5!

2! x (5-2)!

P (2 azules y 3 rojas) = 0,03 x5 x 4 x 3!

2 x 3! = 0,03 x

5 x 4

2

P (2 azules y 3 rojas) = 0,03 x 10 = 0,3Interpretar y valorar por qué la probabilidad es mayor que la anterior

TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD Y COMBINATORIA

COMBINATORIA: (para eventos independientes, ”con reposición”)

Experimento: “De una tómbola con 2 bolas Azules y 3 rojas, extraemos al azar (con reposición) cinco bolas”

P(2 bolas azules y 3 bolas rojas) = P(A)2 x P(noA)3 x C5,2

C5,2 debe entenderse, en general, como:

Cn,k combinaciones de n elementos, tomados de k en k

n!

k! x (n-k)!Cn,k =

TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD

“ y ” x Experimento: “De una tómbola con 3 bolas Azules y 5 Rojas, extraemos al azar (con reposición) cuatro bolas”

Calcular la probabilidad de que las dos primeras sean rojas y las otras azules.

P(primeras dos bolas Azules y las otras dos Rojas)=

P(A y A y R y R)= 3/8 x 3/8 x 5/8 x 5/8 = 225/4096 = 0,05

Calcular la probabilidad de que dos sean rojas y dos azules.

P(dos bolas Azules y dos Rojas)=

3/8 x 5/8 x

= 0,33

P(dos Azules) x P(dos Azules) x C4,2

P(dos bolas Azules y dos Rojas)=2 2 4 x 3 x 2!

2! x 2!

P(dos bolas Azules y dos Rojas)= 0,14 x 0,39 x 6

TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD Y COMBINATORIA

COMBINATORIA: (para eventos independientes, ”con reposición”)Cn,k combinaciones de n elementos, tomados de k en k

n!

k! x (n-k)!Cn,k =

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

C1,0

C1,1

C2,0

C2,1

C2,2

C3,0

C3,1

C3,2

C3,3

C4,0

C4,1

C4,2

C4,3

Triá

ngul

o de

Pas

cal

. . .C4,4

. . .

C4,2 =

6

UNA ALTERNATIVA PARA ESTE

CÁLCULO LA TENEMOS EN EL

TRIÁNGULO DE PASCAL

TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD Y COMBINATORIA

COMBINATORIA: (para eventos independientes, ”con reposición”)Experimento: “Seleccionar al azar y con reposición a 5 personas del siguiente grupo:”

Empleo \ Género Muj. Hom.

Sí 4 2

No 1 3

Calcular la probabilidad de que exactamente dos de las cinco personas sean mujeres con empleo.

1º: Calculamos la probabilidad de seleccionar al azar del grupo a una mujer con empleo:

P (mujer con empleo) = 4/10 = 0,40

2º: Calculamos la probabilidad de que dos de las cinco presenten la característica anterior:

P (2 de las 5 sean mujeres con empleo) =

0,4 2 x 0,6 3 x C5,2

= 0,16 x 0,216 x 10 = 0,35

PROBABILIDAD:

TEORÍA BÁSICA

+ COMBINATORIA

Joan Calventus S.http://estadis.webnode.cl