Probabilidad Condicional y Bayes

Ing. Raúl Alvarez Guale, MPC

Población

Sean A y B dos eventos y P(B)Entonces

Donde la se denota como la probabilidad condicional de A, dado B.

Ejemplo 1: Probabilidad Condicional

Si la probabilidad de que un sistema de comunicación tendrá alta fidelidad es 0.81, así como la probabilidad de que tendrá alta fidelidad y alta selectividad es 0.18. ¿cuál es la probabilidad de que un sistema con alta fidelidad también tendrá alta selectividad?

Ejemplo 1: Probabilidad Condicional

SoluciónA=El sistema tiene alta fidelidadB= El sistema tiene alta selectividadP(A)=0.81P(=0.18=?

TEOREMA

Dos eventos son independientes, si y sólo si

Ejemplo: Eventos Independientes

¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras en dos lanzamientos de una moneda equilibrada?

Ejemplo: Eventos Independientes

SoluciónA=cara en el primer lanzamientoB=cara en el segundo lanzamiento

TEOREMA

Si B1, B2,…Bn son eventos mutuamente excluyentes, de los cuales uno debe ocurrir, entonces

TEOREMA DE BAYES

Si B1, B2,…Bn son eventos mutuamente excluyentes, de los cuales uno debe ocurrir, entonces

Ejemplo1 : Probabilidades condicionales

Una empresa produce por medio de sus maquinas A, B, C, en porcentaje de producción correspondiente a 50%, 40% y 10% respectivamente. Los productos en mal estado de las máquinas A, b y C, son 3%, 2% y 1% respectivamente.

Ejemplo1 : Probabilidades condicionales

1) Realice el respectivo diagrama de árbol

A = 0.50

B=0.40

C =0.10

0.97 EN BUEN ESTADO

0.98 EN BUEN ESTADO

0.99 EN BUEN ESTADO

0. 03 EN MAL ESTADO

0.02 EN MAL ESTADO

0.01 EN MAL ESTADO

PRODUCCIÓN

Empresa

PRODUCTOS

Ejemplo1 : Probabilidades condicionales

2)¿Cuál es la probabilidad de que al escoger un producto al azar, este se encuentre en mal estado?Solución1 :Se separan los eventos condicionales de las hojas y se multiplican por sus ramificaciones considerando los espacios muestrales

Ejemplo1 : Probabilidades condicionales

P(M)=(0.50)(0.03)+ (0.40)(0.02)+ (0.10)(0.01)P(M)=0.024

A = 0.50

B=0.40

C =0.10

0.97 EN BUEN ESTADO

0.98 EN BUEN ESTADO

0.99 EN BUEN ESTADO

0. 03 EN MAL ESTADO

0.02 EN MAL ESTADO

0.01 EN MAL ESTADO

PRODUCCIÓN

Emp

PRODUCTOS

Ejemplo1 : Probabilidades condicionales

Solución 2:Utilizando el teorema

Donde M= Producto en mal estado

Ejemplo1 : Probabilidades condicionales

=(0.50)(0.03)+ (0.40)(0.02)+ (0.10)(0.01)=0.024

Ejemplo1 : Probabilidades condicionales

2)¿Cuál es la probabilidad de que al escoger un producto al azar, este se encuentre en buen estado?Solución1 :Se separan los eventos condicionales de las hojas y se multiplican por sus ramificaciones considerando los espacios muestrales

Ejemplo1 : Probabilidades condicionales

P(B)=(0.50)(0.97)+(0.40)(0.98)+ (0.10)(0.99)P(B)=0.976

A = 0.50

B=0.40

C =0.10

0.97 EN BUEN ESTADO

0.98 EN BUEN ESTADO

0.99 EN BUEN ESTADO

0. 03 EN MAL ESTADO

0.02 EN MAL ESTADO

0.01 EN MAL ESTADO

PRODUCCIÓN

Emp

PRODUCTOS

Ejemplo1 : Probabilidades condicionales

Solución 2:Utilizando el teorema

Donde B= Producto en buen estado

Ejemplo1 : Probabilidades condicionales

=(0.50)(0.97)+(0.40)(0.98)+(0.10)(0.99)=0.976

Ejemplo1 : Probabilidades condicionales

3) Se escoge un producto al azar, y se nota que se encuentra en buen estado. ¿Cuál es la probabilidad de que es producto haya sido producido por la máquina A?

Ejemplo1 : Probabilidades condicionales

3) Se escoge un producto al azar, y se nota que se encuentra en buen estado. ¿Cuál es la probabilidad de que es producto haya sido producido por la máquina A?Solución 1: Se separan los eventos condicionales de las hojas y se multiplican por sus ramificaciones considerando los espacios muestrales

Ejemplo1 : Probabilidades condicionales

P(A/B)=(0.50)(0.97)/P(B)P(A/B)=0.485

A = 0.50

B=0.40

C =0.10

0.97 EN BUEN ESTADO

0.98 EN BUEN ESTADO

0.99 EN BUEN ESTADO

0. 03 EN MAL ESTADO

0.02 EN MAL ESTADO

0.01 EN MAL ESTADO

PRODUCCIÓN

Emp

PRODUCTO

Ejemplo1 : Probabilidades condicionales

Solución 2:Utilizando el teorema De BAYES

Ejemplo1 : Probabilidades condicionales

)=(0.50)(0.97)/P(B))=0.485

Ejemplo1 : Probabilidades condicionales

4) Se escoge un producto al azar, y se nota que se encuentra en mal estado. ¿Cuál es la probabilidad de que es producto haya sido producido por la máquina B?Solución 1: Se separan los eventos condicionales de las hojas y se multiplican por sus ramificaciones considerando los espacios muestrales

Ejemplo1 : Probabilidades condicionales

P(B/M)= (0.40)(0.02)/P(M)P(B/M)= 0.33A = 0.50

B=0.40

C =0.10

0.97 EN BUEN ESTADO

0.98 EN BUEN ESTADO

0.99 EN BUEN ESTADO

0. 03 EN MAL ESTADO

0.02 EN MAL ESTADO

0.01 EN MAL ESTADO

PRODUCCIÓN

Emp

PRODUCTO

Ejemplo1 : Probabilidades condicionales

Solución 2:Utilizando el teorema De BAYES

Ejemplo1 : Probabilidades condicionales

)=(0.40)(0.02)/P(B))=0.33

Ejemplo1 : Probabilidades condicionales

5) Se escoge un producto al azar, y se nota que se encuentra en buen estado. ¿Cuál es la probabilidad de que es producto haya sido producido por la máquina A?Solución 1: Se separan los eventos condicionales de las hojas y se multiplican por sus ramificaciones considerando los espacios muestrales

Ejemplo1 : Probabilidades condicionales

P(A/B)=(0.50)(0.97)/P(B)P(A/B)=0.485

A = 0.50

B=0.40

C =0.10

0.97 EN BUEN ESTADO

0.98 EN BUEN ESTADO

0.99 EN BUEN ESTADO

0. 03 EN MAL ESTADO

0.02 EN MAL ESTADO

0.01 EN MAL ESTADO

PRODUCCIÓN

Emp

PRODUCTOS

Ejemplo1 : Probabilidades condicionales

6) ¿Qué máquina produce con mayor eficiencia?

A = 0.50

B=0.40

C =0.10

0.97 EN BUEN ESTADO

0.98 EN BUEN ESTADO

0.99 EN BUEN ESTADO

0. 03 EN MAL ESTADO

0.02 EN MAL ESTADO

0.01 EN MAL ESTADO

PRODUCCIÓN

Emp

PRODUCTOS P(A/B)=(0.50)(0.97)/P(B)P(A/B)=0.485P(B/B)=(0.40)(0.98)/P(B)P(B/B)=0.392P(C/B)=(0.10)(0.99)/P(B)P(C/B)=0.099

Ejemplo1 : Probabilidades condicionales

Una firma de consultoría renta automóviles de tres agencias, 20% de la agencia D, 20% de la agencia E y 60% de agencia F. Si 105 de los autos de D, 12% de los autos de E y 4% de los autos de F tienen neumáticos en mal estado, 1) ¿cuál es la probabilidad de que la firma tendrá un vehículo con neumáticos en mal estado?

Ejemplo1 : Probabilidades condicionales

P(D)=(0.20)(0.10)+(0.20)(0.12)+(0.60)(0.04)

P(D)=0.068

D = 0.20

E=0.20

F =0.60

0.90 EN BUEN ESTADO

0.88 EN BUEN ESTADO

0.96 EN BUEN ESTADO

0. 10 EN MAL ESTADO

0.12 EN MAL ESTADO

0.04 EN MAL ESTADO

Renta Autos

Emp

Llantas

Ejemplo2 : Probabilidades condicionales

Método 2Br = Las agencias

A= llantas en mal estado

Ejemplo2 : Probabilidades condicionales

Ejemplo2 : Probabilidades condicionales

Si se alquila un vehículo con neumáticos en mal estado, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido alquilado de E?

Ejemplo1 : Probabilidades condicionales

P(E/D)=(0.20)(0.12)/0.068

P(E/D)=( 0.35

B1= D = 0.20

B2= E=0.20

B3= F =0.60

0.90 EN BUEN ESTADO

0.88 EN BUEN ESTADO

0.96 EN BUEN ESTADO

0. 10 EN MAL ESTADO

0.12 EN MAL ESTADO

0.04 EN MAL ESTADO

Renta Autos

Emp

Llantas

Ejemplo1 : Probabilidades condicionales

Método 2