Probabilidad Condicional

Teorema de Bayes para probabilidades condicionales:

Variables aleatoriasDefinición:

Sea S el espacio muestral de un experimento. Una función real definida sobre el espacio S es una variable aleatoria.

Las variables aleatorias puede ser:

- Discretas (número de valores finito o infinito contable)

- Continuas (valores en la recta real)

Variables aleatorias

Ejemplo:

Se lanza una moneda 10 veces y sea X (variable aleatoria) el número de caras que se obtiene.

En este experimento X es 0,1,2,...,10

Variables aleatorias

Ejemplo:Una moneda se lanza 5 veces. El tamaño del espacio muestral es entonces 25. Sea X la función real que cuenta el número de caras de un posible resultado. Por ejemplo, para la serie s=cara, cara, cruz, cara, cruz,

X(s)=3

Variables aleatorias

Cuando se específica una medida de probabilidad sobre el espacio muestral se pueden determinar las probabilidades asociadas con los valores posibles que toma la variable aleatoria X.

La colección de todas las probabilidades de X es la distribución de X.

Variables aleatorias

Ejemplo:

Se lanza una moneda 10 veces y sea X la variable aleatoria que corresponde al número de caras que se obtienen.

Variables aleatorias

Función de probabilidad y soporte: Si una variable aleatoria X tiene una distribución discreta, la función de probabilidad de X se define como la función f tal que para cada número real x,

f(x)=Pr(X=x)La cerradura del conjunto {x:f(x) > 0} se le llama soporte de la distribución.

Variables aleatoriasFunción de probabilidad:

Si X es una variable aleatoria discreta que toma los valores x

1,x

2,... con probabilidades

p1,p

2,..., respectivamente, la función de

probabilidad (pf) asigna probabilidades a todos los posibles valores de X tal que

f(x)=Pr(X=x)=pi

si x=xi

f(x)=0

de otra forma

Además

Variables aleatoriasFunción de probabilidad cumulativa:

Se define la función de probabilidad cumulativa (cpf) de X, F(x), cuyo valor da la probabilidad que :

Además con la función de probabilidad cumulativa podemos calcular la probabilidad de que X se encuentre entre los valores

Variables aleatorias

3 ejemplos de distribuciones discretas:

- Distribución de Bernoulli

- Distribución uniforme

- Distribución binomial

Variables aleatoriasDistribución de Bernoulli:

Una variable aleatoria X que toma únicamente 2 valores, digamos 0 y 1, con

Pr(X=1)=p, se dice que sigue una distribución de Bernoulli con parámetro p:

Pr(X=1)=p y Pr(X=0)=1-pFunción de probabilidad:

Variables aleatoriasDistribución uniforme:

Sea a y b números enteros ( ). Suponga que la variable aleatoria es igualmente probable para cada uno de los enteros a,...,b. Se dice entonces que la variable aleatoria X tiene una distribución uniforme sobre los enteros a,...,b.

Variables aleatorias

Distribución Uniforme:

Teorema. Si X tiene una distribución uniforme sobre los enteros a,...,b,la función de probabilidad de X está dada por

Variables aleatoriasDistribución binomial:

Esta distribución describe procesos que consisten de un número de intentos independientes con dos posibles resultados.

Es usual llamar a los posibles resultados: “éxitos” y “fracasos”

Variables aleatoriasDistribución binomial:

Digamos que tenemos los eventos A y B, con

Si la probabilidad de que ocurra un éxito es

Pr(A)=p, entonces la probabilidad de un fracaso es Pr(B)=q=1-p

Si se realizan n intentos, entonces la variable aleatoria X está dada por:

X=número de veces que A ocurre (éxitos). Por lo que X puede tomar los valores 0,1,..., n

Variables aleatorias

Si se realizan n intentos y x son éxitos una posible secuencia es:

Variables aleatoriasDistribución binomial:

La función de probabilidad de que en n intentos x sean éxitos está dada por:

Comment: para n=1, tenemos la fp de Bernoulli

Movimiento Browniano (enfoque de Einstein-Smoluchowski)

Brown Einstein

(~1820) (1905)

Movimiento Browniano (enfoque de Einstein-Smoluchowski)

- Brownian motion (movie)

- Caminante aleatorio 1D (movie)

Movimiento Browniano (enfoque de Einstein-Smoluchowski)

Caminante aleatorio en 1D:

Una partícula salta una distancia l en un tiempo (promedio)

Al tiempo t la partícula ha dado

saltos

Movimiento Browniano (enfoque de Einstein-Smoluchowski)

Supongamos que R saltos han sido hacia la derecha y L saltos hacia la izquierda.

De este modo n= R + L

Ahora supongamos que la partícula dió m saltos más hacia la derecha, es decir,

m = R - L

Movimiento Browniano (enfoque de Einstein-Smoluchowski)

Usando la distribución binomial encontramos que la función de probabilidad de encontrar a la partícula en m, después de n saltos, es:

de donde:

Movimiento Browniano (enfoque de Einstein-Smoluchowski)

Suponiendo que con y utilizando la aproximación:

se encuentra que

o bien

Con coeficiente de difusión D: