Post on 22-Jul-2015
EJEMPLO DE SUMA DE MATRICES
−6 924 0
+ −4 20 5
= −10 1124 5
Como podemos observar sumamos la primer columna
de la primera matriz con la primer columna de la
segunda matriz y de la misma forma la segunda columna
de la primera matriz con la segunda columna de la
segunda matriz.
EJEMPLO DE MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
A= 1 2 34 0 1
2x3 3x2 B= −1 20 10 3
Procedemos a resolver:
1(-1) =-1 1(2)= 2 4(-1)= -4 4(2)= 8
2(0)= 0 2(1)= 2 0(0)= 0 0(1)= 0
3(0)= 0 3(3)= 9 1(0)= 0 1(3)= 3
Luego sumamos los resultados de cada columna:
-1+o+o= -1
2+2+9= 13
-4+0+0= -4
8+0+3= 11
Los centros son iguales
−1 13−4 11
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
1. Método de Gauss Jordan: reducción de filas y
columnas, sustitución hacía atrás.
Fila intercambiada una con otra sin cambiar el valor
de las variables.
Fila multiplicada por cualquier numero diferente a
cero.
Sumar filas entre si o restar.
Si se reduce a cero elementos de la columna uno,
la fila pivote será la fila uno y si es la dos la fila
pivote será la dos y así sucesivamente.
EJEMPLO
2x+y+z=0
- x -y+z=1
X-2y+3z=5
x= -1 este es el resultado que se le asigna a cada
y= -2 incógnita de la ecuación que nos dieron.
z= 0
2 1 1 0−1 −1 1 11 −2 3 5
F2= f2+f1 1 0 2 1−1 −1 1 11 −2 3 5
F2= f2+f3
1 0 2 10 −3 4 61 −2 3 5
F2= f2/-3 1 0 2 1
0 1 −4
3− 2
0 −2 1 4
F2= f2/1 1 0 2 10 1 −1.33 − 20 −2 1 4
F3= f2*-2
1 0 2 10 1 −1.33 − 20 0 1 0
F2= f2*3/-1.33 1 0 0 10 1 0 − 20 0 1 0
METODO DE KRAMMER
Se utilizan solo variables.
Primero se saca la determinante de la matriz sin tomar en cuenta
la matriz ampliada ósea los números que están después del signo
igual esos no se tomas para sacar la determinante original.
Segundo la primer columna se cambia por la columna ampliada y
se procede a sacar la determinante.
Tercero se cambia la segunda columna por la columna ampliada y
se saca la determinante.
Cuarto se cambia la tercera columna por la columna ampliada y se
saca la determinante.
Quinto cada resultado de las determinantes se divide dentro del
resultado de la determinante original.
Y de esta manera obtenemos nuestros resultados.
EJEMPLO:
A= 3x+5y-2z=8 3 5 -2 3 5
5x-8y- z= 11 5 -8 -1 5 -8
9x+11y+7z=15 9 11 7 9 11
|A|=-168-45-110-144+33-174= -609
A= 8 5 -2 8 5
11 -8 -1 11 -8 |A|= -448-75-242-240+88-385= -1302
1 15 11 7 15 11
A= 3 8 -2 3 8
5 11 -1 11 -8 |A|= 231-72-150+198+45-280= -28
9 14 7 9 15
A= 3 5 8 3 5
5 -8 11 5 -8 |A|= -360+495+440+576-363-375= 413
9 11 15 9 11
-1302= 62 -28= 4 413= -59
-609 29 -609 87 -609 87
EJEMPLO
2 −1 75 3 98 4 2
AT
2 5 8−1 3 47 9 2
Las filas pasan a ser columnas.
Es una matriz anti simétrica.
3 4 24 6 52 5 8
AT
3 4 24 6 52 5 8
INVERSA DE UNA MATRIZ
Encontrar una matriz que al multiplicarse con la
matriz original tiene que dar por resultado la
matriz identidad.
A la matriz original se le coloca paralelamente (a
la par) su matriz identidad
Ejemplo:
INVERSA DE COFACTORES
Para encontrar el cofactor eliminamos filas y columnas de la siguiente manera:
A=−1 −2 11 1 32 0 0
PASO 1:
Encontrar la determinante de la matriz original
−1 −2 11 1 32 0 0
−1 −21 12 0
|A|=-14
PASO 2:
Sacar la determinante de cada cofactor, un cofactor por cada
elemento de la matriz (“tomando en cuenta que si la posición del
numero del cual sacamos el cofactor, si la suma de su posición
en fila y su posición de columna es un numero par el resultado de
la determinante no cambiara, pero si es un numero impar a la
determinante cambiara de signo”).
+A=1 30 0
-A1 32 0
+A1 12 0
-A−1 −22 0
A−2 11 3
|A|= 0 |A|=6 |A|=-2 |A|=-4 |A|=-7
-A= −1 11 3
A=−1 −21 1
|A|= 4 |A|=
A=0 6 −20 −2 4
−7 4 1
esta matriz sale de unir la determinante de cada cofactor
0 0 −76 −2 4
−2 4 1es la transpuesta de la matriz del las determinantes de cada cofactor
A=0 6 −20 −2 4
−7 4 1*
1
−14es el inverso de la determinante de la matriz orginal
Se multiplica la transpuesta por el inverso de la determinante de la matriz original
0 0 1/2−3/7 1/7 −2/71/7 2/7 −1/14
Determinante de una matriz de 2*2
B= −1 34 −4
Matriz original
|B|= (-1)(-4)-(3)(4) *Multiplicamos de forma
diagonal
|B|= 4-12 *Efectuamos una diferencia
dentro de los productos
encontrados
|B|= -8 *El resultado será la determinante
de nuestra matriz original
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE 3*3
|A|= 0+48+3+0+8-8 Sumamos algebraicamente los productos
|A|=51 El resultado de la determinante es 51
DETERMNANTE DE MATRICES POR
EL METODO DE LEPLACE
Desarrollaremos El METODO DE LAPLACE Para
Matrices De Cualquier Dimensión, de la siguiente
manera:
1. Identificamos la fila o columna con mas ceros
(Podemos realizar el método de reducción de
filas)
𝐴 =−2 4 31 0 43 1 2
Fila con mas ceros
2. Tomamos en cuenta los números de la fila con mas 0, y
realizamos la formula siguiente:
1x .X
. 𝑎 𝑏
𝑐 𝑑 + 1x . Y .
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑 + 1x . Z .
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
Este uno Elevamos el uno Es el numero que
Es constante a la potencia que resulte tomamos de nuestra
de la suma de la posición del matriz original.
numero que tomamos
La matriz resultante después
de haber eliminado la fila y
columnas del numero que
tomamos de la matriz
La desarrollamos de la siguiente manera:
12+1 .1
. 4 3
1 2 + 12+2 . 0
. _2 3
3 2 + 12+3 . 4 .
_2 4
3 1
-1 . 1 . 5 + 1 . 0 . -13 . + (-1) . 4 . -14
-5 + 0 + 56
|A|= 51
Los números -1, 1 y -1 resultan de elevar nuestra constante a la potencia que indique lasuma de su posición (fila + columna)
Los números 1, 0 y 4 los obtenemos de nuestra matriz original después de haberidentificado la fila o columna con mas ceros
Los números 5, -13 y -14 son la determinante de las matrices que nos quedan después deeliminar la fila y columna correspondiente
Cuando tenemos estos números: el resultado de la potenciación de nuestra constante, elnumero base de nuestra matriz original y la determinante correspondiente multiplicamosestos resultados entre si
Finalmente sumamos los resultados y obtenemos la determinante de la matriz original.
APLICACIONES DE
ECUACIONES A PROBLEMAS
PROBLEMA:
Se tiene un presupuesto de Q63.00 para elaborar un pastel. La mezcla de todos
los ingredientes deben sumar 14 libras. El precio de los ingredientes por libra es
el siguiente: azúcar Q10.00, harina Q3.00 y royal Q3.00; el costo total del azúcar
debe ser igual al de la harina. ¿Cuántas libras de cada ingrediente se deben
usar?
Las ecuaciones las podemos resolver de dos formas:
X= Azúcar
Y= Harina
Z= Royal
METODO DE KRAMMER:
10x + 3y + 3z = 63 Se tiene un presupuesto de Q63.00 para elaborar un pastel
10x=3y el costo total del azúcar debe ser igual al de la harina
X + y + z = 14 La mezcla de todos los ingredientes deben sumar 14 libras
10x + 3y + 3z = 63
10x – 3y + 0 = 0
x + y + z = 14
A= 10 3 310 −3 01 1 1
63014
A= |A|= -21
Esta matriz nos servirá de base después
Formamos las ecuaciones
Ordenamos incógnitas y escalares
Formamos la matriz
Encontrar la determinante de la matriz original
10 3 310 −3 01 1 1
|𝐴1 | = −63
|𝐴2 | = −210
|𝐴3 | = −21
Sacar determinantes de las matrices con filas sustituidas
A= 10 3 310 −3 01 1 1
63014
Matriz original
Matrices con filas sustituidas y sus determinantes
𝐴1 =63 3 30 −3 014 1 1
𝐴2 =10 63 310 0 01 14 1
𝐴3 =10 3 6310 −3 01 1 14
Determinantes
X= -63 = 3
-21
Y= -210= 10
-21
Z= -201= 1
-21
Respuesta: Se deben utilizar 3 libras de azúcar, 10 de
harina y 1 de royal.
Encontramos los valores de las incógnitas
Valor de las incógnitas
METODO DE REDUCCION DE FILAS:
A= 10 3 310 −3 01 1 1
63014
F2=F2-F1 A= 10 3 30 −6 −31 1 1
63−6314
F1=F1-
F3(3)
F2=F2/-3
A= 7 0 00 2 11 1 1
212114
F1=F1/7
F2=F2-F3 A= 1 0 0
−1 1 01 1 1
3714
F2=F2+F1
F3=F3-F1
A= 1 0 00 1 00 1 1
31011 F3=F3-F2
A= 1 0 00 1 00 0 1
31010
Respuesta: Se deben utilizar 3 libras de azúcar, 10 de
harina y 1 de royal.