7.- Use el teorema de Green, para calcular el área de la región acotada por la curva

ζ :( xa )2

+( yb )2

=1.

Solución:

x=au , y=bv⇒ ∂(x , y)∂(u , v)

=ab

um+vn=1

u=(cos (t ))2 ∕ m v=(sen (t))2/n

Por el teorema de green sabemos:

∫ p xⅆ +Q yⅆ =∬(∂Q∂ x − ∂P∂ y ) Aⅆ

∂Q∂x

−∂ P∂ y

=1

⇒Q=au2y P=−bv

2

d x=ad u ,d y=bd v

Q= x2y P=− y

2

En el problema:

∫ ∫ Aⅆ =ab2 ∫−v uⅆ +u vⅆ ………(I )

u=(cos (t ))2 ∕ m v=(sen (t))2/n

du=−2m

(cos (t ) )2m−1sen (t )dt d v= 2

n(sen (t ) )

2n−1 cos ( t)dt

Reemplazando en (I):

A=12∫ v uⅆ −μ vⅆ

A=ab [∫ 1m

(cos ( t ) )2m−1

( sen ( t ) )2n+1dt+∫ 1n (sen (t ) )

2n−1(cos (t))

2m+1dt ]

A=ab [∫ 1m

(cos ( t ) )2m−1

( sen ( t ) )2n+1dt+∫ 1n (sen (t ) )

2n−1(cos (t))

2m+1dt ]

A=ab2

¿

Por función beta :

A=ab2

¿

A=ab2

[ 1m

Γ ( 1m )Γ ( 1n+1)Γ ( 1m+ 1

n+1)

+ 1n

Γ ( 1m+1)Γ ( 1n )Γ ( 1m+ 1

n+1)

]

A= ab2Γ ( 1m +1

n+1)[

n Γ ( 1m )Γ ( 1n +1)+mΓ ( 1m+1)Γ ( 1n )m+n

]