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Laboratorio de Física II
Practica: DETERMINACIONDEL MODULO ELÁSTICO DE UN ALAMBRE
I. OBJETIVOS:
o Observar la deformación de dos alambres de diferentes materiales, sometidos a diferentes
esfuerzos y de igual forma aplicada a una liga.
o Determinar la zona elástica y plástica de los materiales.
o Calcular el módulo de Young
II. FUNDAMENTO TEÓRICO:
Cualquier objeto cambia su forma bajo la acción de una fuerza aplicada sobre el. Si las fuerzas son
lo suficientemente grandes, el objeto se romperá o se fracturara.
Si se ejerce una fuerza sobre un objeto, como una barra metálica suspendida en forma vertical,
cambia la longitud del objeto. Si el incremento en la longitud, ∆ L, es pequeño en comparación
con la longitud del objeto, donde se observa que ∆ L es proporcional al peso o fuerza ejercida
sobre el objeto; el primero en observarlo fue Robert Hooke. Esta proporcionalidad puede
escribirse como una ecuación y se llama ley de Hooke:
F=k ∙∆ L - - - (1)
Donde F representa la fuerza (o el peso) de atracción sobre el objeto, ∆ L es el incremento en
longitud y k una constante de proporcionalidad. La ecuación (1) se cumple para casi cualquier
material cualquier material solido desde el acero hasta los huesos, pero solo hasta cierto punto.
Esto se debe a que si la fuerza es demasiado grande, el objeto se estira en forma excesiva y por
último se rompe. Hasta un punto llamado limite elástico , el objeto regresara a su longitud
original cuando cesa de aplicársele la fuerza. Esta se llama regionelastica. Si el objeto se estira
más allá del límite elástico, se deformara permanentemente (observe la figura 2). Para la mayor
parte de los materiales comunes la ecuación (1) es una buena aproximación casi siempre por
encima del límite elástico y la gráfica es una línea recta.
Más allá de este punto, la gráfica se desvía de una línea recta y no existe ninguna relación sencilla
entre F y ∆ L. Si el objeto se estira mucho más allá del límite elástico, se romperá. La fuerza
máxima que puede aplicársele sin romperse se llama la resistencia ultimadelmaterial .
La cantidad de alargamiento de un objeto, como la barra mostrada en la figura 1, depende no solo
de la fuerza aplicada, sino también del material del que está hecha y de sus dimensiones.
ESFUERZO
La razón del valor de una fuerza F entre una área A se denomina ESFUERZO, esto es fuerza por
unidad de área: σ= FA
DEFORMACION
Se define como la razón del aumento de longitud a la longitud inicial: ε=∆ ll0
MODULO DE ELASTICIDAD
Se define como la razón de un esfuerzo a la correspondiente de una deformación, y siempre que
no se sobrepase el límite de elasticidad, se encuentra experimentalmente que esta razón es
constante y característica del material dado. En otras palabras, la deformación es directamente
proporcional a la deformación unitaria es decir, es una función lineal de ella (dentro del límite de
elasticidad). Esta razón se denomina modulode Young del material, y se designa por:
Figura 2.-Tension vs. Deformación para un sólido ordinario
Figura 1.-Ley de Hooke: ∆ L∝F
Y=σϵ=
F l0A ∆l
Como la deformación es un cantidad a dimensional, las unidades empleadas para expresar el
módulo de Young son las mismas que del esfuerzo N
m2 ó Pa.
Una vez ordenados los datos de las dos variables, sean estas x: deformación unitaria e y: esfuerzo que son los valores de los datos obtenidos teniendo así un conjunto de datos
{x i , y i } con i=1,2,…,n
1.-Con los datos ordenados en una tabla lo primero que se debe hacer es graficar los puntos experimentales.
2.-Luego de graficar los puntos se deben considerar una curva adecuada que más se acople a la dispersión de los puntos.
3.-Se propone un polinomio que pueda resolver la curva seleccionada.
4.-Se toma el modelo y=ax+b
5.-El problema ahora será evaluar a a y b, las cuales serán la mejor opción para resolver mi polinomio.
En primera instancia se toma en cuenta la desviación estándar
σ={1n Σi=1n e i
2}12 = {1n Σi=1
n (axi+b+ y i )2}12
Ahora para encontrar el valor de a y b de deriva parcialmente la desviación estándar con respecto a las dos variables por separado
∂σ (a ,b)∂a
=0 . . .(2)
∂σ (a ,b)∂b
=0 . . .(3)
Derivando con respecto a a se tiene
∂σ (a ,b)∂a
=¿ ∂∂a
{1n Σi=1n (axi+b+ y i )
2}12 =
1
2n12
{Σi=1n (ax i+b+ yi )
2}−12
∂∂a
{Σi=1n (ax i+b+ yi )
2}
∂σ (a ,b)∂a
=¿ 1
2n12
( 1
{Σi=1n (ax i+b+ y i )
2}12 ) ∑ ∂
∂a (ax i+b− y i )
2
∂σ (a ,b)∂a
=¿ 1
2n12
( 1
{Σi=1n (ax i+b+ y i )
2}12 ) ∑ 2 (axi+b− y i )
∂∂a
(ax i+b− y i )
∂σ (a ,b)∂a
=¿ 1
n12
( 1
{Σi=1n (ax i+b+ y i )
2}12 ) ∑ ax i
2+b x i−x i y i
Obteniendo como resultado
a (Σ¿¿ i=1n x i2)¿ + b (Σ¿¿ i=1n x i)¿ =¿¿ x i y i ¿ . . . (4)
Derivando con respecto a b se tiene
∂σ (a ,b)∂b
=¿ ∂∂b
{1n Σi=1n (axi+b+ y i )
2}12 =
1
2n12
{Σi=1n (ax i+b+ yi )
2}−12
∂∂b
{Σi=1n (ax i+b+ yi )
2}
∂σ (a ,b)∂b
=¿ 1
2n12
( 1
{Σi=1n (ax i+b+ y i )
2}12 ) ∑ ∂
∂b (ax i+b− y i )
2
∂σ (a ,b)∂b
=¿ 1
2n12
( 1
{Σi=1n (ax i+b+ y i )
2}12 ) ∑ 2 (axi+b− y i )
∂∂b
(ax i+b− y i )
∂σ (a ,b)∂a
=¿ 1
n12
( 1
{Σi=1n (ax i+b+ y i )
2}12 ) ∑ (ax i+b− y i)
Obteniendo como resultado
a (Σ¿¿ i=1n x i)¿ + (Σ¿¿ i=1nb)¿= ¿¿ y i ¿
a (Σ¿¿ i=1n x i)¿ + bn= ¿¿ y i ¿ . . . (5)
Ahora para resolver el sistema de ecuaciones como tengo dos incógnitas y también se tiene dos ecuaciones se puede resolver mediante matrices.
a (Σ¿¿ i=1n x i2)¿ + b (Σ¿¿ i=1n x i)¿ =¿¿ x i y i ¿
a (Σ¿¿ i=1n x i)¿ + bn= ¿¿ y i ¿
∆ = |Σ x i2 Σ x i
Σ x i n | = n (Σ x i2)−(Σ x i ) (Σ x i )
a = 1∆
|Σ x i y i Σ x i
Σ yi n | = n (Σ x i y i )−(Σ xi ) (Σ y i )n (Σ x i
2 )−(Σ xi ) (Σ x i ) . . . (6)
b = 1∆
|Σ x i2 xi y i
Σ x i Σ y i| =
(Σ x i2 ) (Σ y i )−(Σ x i ) (x i y i )
n( Σ x i2 )−(Σ x i ) (Σ x i )
. . . (7)
i. MATERIAL Y EQUIPO:
Dos alambres de distinto material y una liga
Tripie
Tornillo micrométrico
Pesas
ii. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL:
Se coloca el alambre en el tripie a una cierta altura y se tensa con una pesa, se toma la distancia
del tripie hacia la pared en donde está reflejado el haz de luz, medimos el diámetro del alambre,
también anotamos la distancia del espejo al alambre, luego de esto tomamos una línea como
origen sobre la luz proyectada en la pared y procedemos a agregar masas a la pesa que está unida
al alambre y a tomar nota de los desplazamientos de la marca de luz provocados por agregar más
masas.
De la recopilación de datos obtenemos:
x: distancia del alambre al espejo
X : distancia del alambre a la pared
d : diámetro del alambre
l0: longitud del alambre
g: gravedad
Datos constantes:
x=0.075m
X=234m
d=3.0E-4m
l=1.14m
g=9.8m
s2
A=7.07E-4m2
1.-Con ayuda de los datos anteriores podemos obtener la siguiente tabla:
n M (Kg) F=mg (N) H (m) β=tan-1(H/X)α= β
2 Δl=xtan αε= Δl
lσ= F
A1 0.10 0.98 0.010 0.2443 0.1222 1.60E-04 1.40E-04 1.39E+072 0.20 1.96 0.016 0.3909 0.1955 2.56E-04 2.25E-04 2.77E+073 0.30 2.94 0.021 0.5131 0.2565 3.36E-04 2.95E-04 4.16E+074 0.40 3.92 0.027 0.6597 0.3298 4.32E-04 3.79E-04 5.54E+075 0.60 5.88 0.039 0.9528 0.4764 6.24E-04 5.47E-04 8.32E+076 0.80 7.84 0.051 1.2459 0.6229 8.15E-04 7.15E-04 1.11E+087 1.00 9.80 0.062 1.5145 0.7573 9.91E-04 8.69E-04 1.39E+088 1.20 11.76 0.073 1.7830 0.8915 1.17E-03 1.03E-03 1.66E+089 1.40 13.72 0.084 2.0515 1.0258 1.34E-03 1.18E-03 1.94E+08
10 1.60 15.68 0.095 2.3199 1.1599 1.52E-03 1.33E-03 2.22E+0811 1.80 17.64 0.107 2.6125 1.3063 1.71E-03 1.50E-03 2.50E+0812 2.00 19.60 0.115 2.8076 1.4038 1.84E-03 1.61E-03 2.77E+08
Tomando los valores de γ y σ realizamos la graficación de los puntos experimentales
luego de ver el comportamiento de los puntos proponemos una ecuación para poder
realizar un ajuste por mínimos cuadrados.
0.00E+00 2.00E-04 4.00E-04 6.00E-04 8.00E-04 1.00E-03 1.20E-03 1.40E-03 1.60E-03 1.80E-030.00E+00
5.00E+07
1.00E+08
1.50E+08
2.00E+08
2.50E+08
3.00E+08
f(x) = 175843492478.313 x − 12205139.7827467
MODULO DE YOUNG
DEFORMACIÓN UNITARIA
ESFU
ERZO
(Pa)
Usando la deformación unitaria y el esfuerzo generado en el alambre obtenemos la
siguiente tabla para poder realizar nuestro ajuste.
n x i(¿du) y i (¿ ε ) N x i2 x i y i(N )
1 1.40E-04 1.39E+07 1.96E-08 1.95E+032 2.25E-04 2.77E+07 5.06E-08 6.23E+033 2.95E-04 4.16E+07 8.70E-08 1.23E+044 3.79E-04 5.54E+07 1.44E-07 2.10E+045 5.47E-04 8.32E+07 2.99E-07 4.55E+046 7.15E-04 1.11E+08 5.11E-07 7.94E+047 8.69E-04 1.39E+08 7.55E-07 1.21E+058 1.03E-03 1.66E+08 1.06E-06 1.71E+059 1.18E-03 1.94E+08 1.39E-06 2.29E+05
10 1.33E-03 2.22E+08 1.77E-06 2.95E+0511 1.50E-03 2.50E+08 2.25E-06 3.75E+0512 1.61E-03 2.77E+08 2.59E-06 4.46E+05
∑x i=9.82E-03 ∑y i=1.58E+09 ∑x i2=1.09E-05 ∑x i y i=1.80E+06
Luego sustituyendo los valores de la tabla obtenida en las ecuaciones (6) y (7)
obtenemos los valores de:
a = n (Σx i y i )−(Σ xi ) (Σ y i )n (Σ x i
2 )−(Σ xi ) (Σ x i ) =12 (1.8E6 )− (9.8E-3 ) (1.58E 9 )12 (1.09E-5 )−(9.82E-3 ) (9.82E-3 )
= 2E11
b = (Σ x i
2 ) (Σ y i )−(Σ x i ) (x i y i )n ( Σ x i
2 )−(Σ x i ) (Σ x i ) =
(1.09E-5 ) (1.58E9 )−(9.82E-3 ) (1.80E6 )12 (1.09E-5 )−(9.82E-3 ) (9.82E-3 )
= -1E7
Luego tenemos que la ecuación y=ax+b con los datos obtenidos toma la forma:
y= (2E11) x−1E7, de donde vemos que a es la pendiente de la recta y coincide con el
módulo de Young del alambre utilizado.
Por lo tanto Y=20 x1010 Pa que coincide con el valor de la tabla 1.1 correspondiente al
acero.
CONCLUSION:
Gracias a la experimentación que realizamos se pudo observar como una alambre de
acero al soportar una masa determinada, sufre una deformación, aunque sea mínima,
pero existe y no podemos decir que el alambre sigue igual, ya que como las masas
actúan sobre el alambre ejerciendo una tensión en el, este sufre una pequeña elongación
en su longitud, En nuestros calculo, en teoría el Modulo de Young tendría que ser el
mismo, mas sin embargo debemos de tomar en cuenta que las mediciones directas no
son exactas ya que hay incertidumbre en cada medición que se tomo.
BIBLIOGRAFIA
FUNDAMENTOS DE FISICA I: MECANICA, CALOR Y SONIDO, Francis Weston Sears,
editorial Aguilar S.A. de ediciones, Séptima edición, págs. 250-265
FISICA GENERAL I, Douglas C. Giancoli, Editorial Prentice Hall, segunda edicion, págs.
240-25