Laboratorio de Física II

Practica: DETERMINACIONDEL MODULO ELÁSTICO DE UN ALAMBRE

I. OBJETIVOS:

o Observar la deformación de dos alambres de diferentes materiales, sometidos a diferentes

esfuerzos y de igual forma aplicada a una liga.

o Determinar la zona elástica y plástica de los materiales.

o Calcular el módulo de Young

II. FUNDAMENTO TEÓRICO:

Cualquier objeto cambia su forma bajo la acción de una fuerza aplicada sobre el. Si las fuerzas son

lo suficientemente grandes, el objeto se romperá o se fracturara.

Si se ejerce una fuerza sobre un objeto, como una barra metálica suspendida en forma vertical,

cambia la longitud del objeto. Si el incremento en la longitud, ∆ L, es pequeño en comparación

con la longitud del objeto, donde se observa que ∆ L es proporcional al peso o fuerza ejercida

sobre el objeto; el primero en observarlo fue Robert Hooke. Esta proporcionalidad puede

escribirse como una ecuación y se llama ley de Hooke:

F=k ∙∆ L - - - (1)

Donde F representa la fuerza (o el peso) de atracción sobre el objeto, ∆ L es el incremento en

longitud y k una constante de proporcionalidad. La ecuación (1) se cumple para casi cualquier

material cualquier material solido desde el acero hasta los huesos, pero solo hasta cierto punto.

Esto se debe a que si la fuerza es demasiado grande, el objeto se estira en forma excesiva y por

último se rompe. Hasta un punto llamado limite elástico , el objeto regresara a su longitud

original cuando cesa de aplicársele la fuerza. Esta se llama regionelastica. Si el objeto se estira

más allá del límite elástico, se deformara permanentemente (observe la figura 2). Para la mayor

parte de los materiales comunes la ecuación (1) es una buena aproximación casi siempre por

encima del límite elástico y la gráfica es una línea recta.

Más allá de este punto, la gráfica se desvía de una línea recta y no existe ninguna relación sencilla

entre F y ∆ L. Si el objeto se estira mucho más allá del límite elástico, se romperá. La fuerza

máxima que puede aplicársele sin romperse se llama la resistencia ultimadelmaterial .

La cantidad de alargamiento de un objeto, como la barra mostrada en la figura 1, depende no solo

de la fuerza aplicada, sino también del material del que está hecha y de sus dimensiones.

ESFUERZO

La razón del valor de una fuerza F entre una área A se denomina ESFUERZO, esto es fuerza por

unidad de área: σ= FA

DEFORMACION

Se define como la razón del aumento de longitud a la longitud inicial: ε=∆ ll0

MODULO DE ELASTICIDAD

Se define como la razón de un esfuerzo a la correspondiente de una deformación, y siempre que

no se sobrepase el límite de elasticidad, se encuentra experimentalmente que esta razón es

constante y característica del material dado. En otras palabras, la deformación es directamente

proporcional a la deformación unitaria es decir, es una función lineal de ella (dentro del límite de

elasticidad). Esta razón se denomina modulode Young del material, y se designa por:

Figura 2.-Tension vs. Deformación para un sólido ordinario

Figura 1.-Ley de Hooke: ∆ L∝F

Y=σϵ=

F l0A ∆l

Como la deformación es un cantidad a dimensional, las unidades empleadas para expresar el

módulo de Young son las mismas que del esfuerzo N

m2 ó Pa.

Una vez ordenados los datos de las dos variables, sean estas x: deformación unitaria e y: esfuerzo que son los valores de los datos obtenidos teniendo así un conjunto de datos

{x i , y i } con i=1,2,…,n

1.-Con los datos ordenados en una tabla lo primero que se debe hacer es graficar los puntos experimentales.

2.-Luego de graficar los puntos se deben considerar una curva adecuada que más se acople a la dispersión de los puntos.

3.-Se propone un polinomio que pueda resolver la curva seleccionada.

4.-Se toma el modelo y=ax+b

5.-El problema ahora será evaluar a a y b, las cuales serán la mejor opción para resolver mi polinomio.

En primera instancia se toma en cuenta la desviación estándar

σ={1n Σi=1n e i

2}12 = {1n Σi=1

n (axi+b+ y i )2}12

Ahora para encontrar el valor de a y b de deriva parcialmente la desviación estándar con respecto a las dos variables por separado

∂σ (a ,b)∂a

=0 . . .(2)

∂σ (a ,b)∂b

=0 . . .(3)

Derivando con respecto a a se tiene

∂σ (a ,b)∂a

=¿ ∂∂a

{1n Σi=1n (axi+b+ y i )

2}12 =

1

2n12

{Σi=1n (ax i+b+ yi )

2}−12

∂∂a

{Σi=1n (ax i+b+ yi )

2}

∂σ (a ,b)∂a

=¿ 1

2n12

( 1

{Σi=1n (ax i+b+ y i )

2}12 ) ∑ ∂

∂a (ax i+b− y i )

2

∂σ (a ,b)∂a

=¿ 1

2n12

( 1

{Σi=1n (ax i+b+ y i )

2}12 ) ∑ 2 (axi+b− y i )

∂∂a

(ax i+b− y i )

∂σ (a ,b)∂a

=¿ 1

n12

( 1

{Σi=1n (ax i+b+ y i )

2}12 ) ∑ ax i

2+b x i−x i y i

Obteniendo como resultado

a (Σ¿¿ i=1n x i2)¿ + b (Σ¿¿ i=1n x i)¿ =¿¿ x i y i ¿ . . . (4)

Derivando con respecto a b se tiene

∂σ (a ,b)∂b

=¿ ∂∂b

{1n Σi=1n (axi+b+ y i )

2}12 =

1

2n12

{Σi=1n (ax i+b+ yi )

2}−12

∂∂b

{Σi=1n (ax i+b+ yi )

2}

∂σ (a ,b)∂b

=¿ 1

2n12

( 1

{Σi=1n (ax i+b+ y i )

2}12 ) ∑ ∂

∂b (ax i+b− y i )

2

∂σ (a ,b)∂b

=¿ 1

2n12

( 1

{Σi=1n (ax i+b+ y i )

2}12 ) ∑ 2 (axi+b− y i )

∂∂b

(ax i+b− y i )

∂σ (a ,b)∂a

=¿ 1

n12

( 1

{Σi=1n (ax i+b+ y i )

2}12 ) ∑ (ax i+b− y i)

Obteniendo como resultado

a (Σ¿¿ i=1n x i)¿ + (Σ¿¿ i=1nb)¿= ¿¿ y i ¿

a (Σ¿¿ i=1n x i)¿ + bn= ¿¿ y i ¿ . . . (5)

Ahora para resolver el sistema de ecuaciones como tengo dos incógnitas y también se tiene dos ecuaciones se puede resolver mediante matrices.

a (Σ¿¿ i=1n x i2)¿ + b (Σ¿¿ i=1n x i)¿ =¿¿ x i y i ¿

a (Σ¿¿ i=1n x i)¿ + bn= ¿¿ y i ¿

∆ = |Σ x i2 Σ x i

Σ x i n | = n (Σ x i2)−(Σ x i ) (Σ x i )

a = 1∆

|Σ x i y i Σ x i

Σ yi n | = n (Σ x i y i )−(Σ xi ) (Σ y i )n (Σ x i

2 )−(Σ xi ) (Σ x i ) . . . (6)

b = 1∆

|Σ x i2 xi y i

Σ x i Σ y i| =

(Σ x i2 ) (Σ y i )−(Σ x i ) (x i y i )

n( Σ x i2 )−(Σ x i ) (Σ x i )

. . . (7)

i. MATERIAL Y EQUIPO:

Dos alambres de distinto material y una liga

Tripie

Tornillo micrométrico

Pesas

ii. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL:

Se coloca el alambre en el tripie a una cierta altura y se tensa con una pesa, se toma la distancia

del tripie hacia la pared en donde está reflejado el haz de luz, medimos el diámetro del alambre,

también anotamos la distancia del espejo al alambre, luego de esto tomamos una línea como

origen sobre la luz proyectada en la pared y procedemos a agregar masas a la pesa que está unida

al alambre y a tomar nota de los desplazamientos de la marca de luz provocados por agregar más

masas.

De la recopilación de datos obtenemos:

x: distancia del alambre al espejo

X : distancia del alambre a la pared

d : diámetro del alambre

l0: longitud del alambre

g: gravedad

Datos constantes:

x=0.075m

X=234m

d=3.0E-4m

l=1.14m

g=9.8m

s2

A=7.07E-4m2

1.-Con ayuda de los datos anteriores podemos obtener la siguiente tabla:

n M (Kg) F=mg (N) H (m) β=tan-1(H/X)α= β

2 Δl=xtan αε= Δl

lσ= F

A1 0.10 0.98 0.010 0.2443 0.1222 1.60E-04 1.40E-04 1.39E+072 0.20 1.96 0.016 0.3909 0.1955 2.56E-04 2.25E-04 2.77E+073 0.30 2.94 0.021 0.5131 0.2565 3.36E-04 2.95E-04 4.16E+074 0.40 3.92 0.027 0.6597 0.3298 4.32E-04 3.79E-04 5.54E+075 0.60 5.88 0.039 0.9528 0.4764 6.24E-04 5.47E-04 8.32E+076 0.80 7.84 0.051 1.2459 0.6229 8.15E-04 7.15E-04 1.11E+087 1.00 9.80 0.062 1.5145 0.7573 9.91E-04 8.69E-04 1.39E+088 1.20 11.76 0.073 1.7830 0.8915 1.17E-03 1.03E-03 1.66E+089 1.40 13.72 0.084 2.0515 1.0258 1.34E-03 1.18E-03 1.94E+08

10 1.60 15.68 0.095 2.3199 1.1599 1.52E-03 1.33E-03 2.22E+0811 1.80 17.64 0.107 2.6125 1.3063 1.71E-03 1.50E-03 2.50E+0812 2.00 19.60 0.115 2.8076 1.4038 1.84E-03 1.61E-03 2.77E+08

Tomando los valores de γ y σ realizamos la graficación de los puntos experimentales

luego de ver el comportamiento de los puntos proponemos una ecuación para poder

realizar un ajuste por mínimos cuadrados.

0.00E+00 2.00E-04 4.00E-04 6.00E-04 8.00E-04 1.00E-03 1.20E-03 1.40E-03 1.60E-03 1.80E-030.00E+00

5.00E+07

1.00E+08

1.50E+08

2.00E+08

2.50E+08

3.00E+08

f(x) = 175843492478.313 x − 12205139.7827467

MODULO DE YOUNG

DEFORMACIÓN UNITARIA

ESFU

ERZO

(Pa)

Usando la deformación unitaria y el esfuerzo generado en el alambre obtenemos la

siguiente tabla para poder realizar nuestro ajuste.

n x i(¿du) y i (¿ ε ) N x i2 x i y i(N )

1 1.40E-04 1.39E+07 1.96E-08 1.95E+032 2.25E-04 2.77E+07 5.06E-08 6.23E+033 2.95E-04 4.16E+07 8.70E-08 1.23E+044 3.79E-04 5.54E+07 1.44E-07 2.10E+045 5.47E-04 8.32E+07 2.99E-07 4.55E+046 7.15E-04 1.11E+08 5.11E-07 7.94E+047 8.69E-04 1.39E+08 7.55E-07 1.21E+058 1.03E-03 1.66E+08 1.06E-06 1.71E+059 1.18E-03 1.94E+08 1.39E-06 2.29E+05

10 1.33E-03 2.22E+08 1.77E-06 2.95E+0511 1.50E-03 2.50E+08 2.25E-06 3.75E+0512 1.61E-03 2.77E+08 2.59E-06 4.46E+05

∑x i=9.82E-03 ∑y i=1.58E+09 ∑x i2=1.09E-05 ∑x i y i=1.80E+06

Luego sustituyendo los valores de la tabla obtenida en las ecuaciones (6) y (7)

obtenemos los valores de:

a = n (Σx i y i )−(Σ xi ) (Σ y i )n (Σ x i

2 )−(Σ xi ) (Σ x i ) =12 (1.8E6 )− (9.8E-3 ) (1.58E 9 )12 (1.09E-5 )−(9.82E-3 ) (9.82E-3 )

= 2E11

b = (Σ x i

2 ) (Σ y i )−(Σ x i ) (x i y i )n ( Σ x i

2 )−(Σ x i ) (Σ x i ) =

(1.09E-5 ) (1.58E9 )−(9.82E-3 ) (1.80E6 )12 (1.09E-5 )−(9.82E-3 ) (9.82E-3 )

= -1E7

Luego tenemos que la ecuación y=ax+b con los datos obtenidos toma la forma:

y= (2E11) x−1E7, de donde vemos que a es la pendiente de la recta y coincide con el

módulo de Young del alambre utilizado.

Por lo tanto Y=20 x1010 Pa que coincide con el valor de la tabla 1.1 correspondiente al

acero.

CONCLUSION:

Gracias a la experimentación que realizamos se pudo observar como una alambre de

acero al soportar una masa determinada, sufre una deformación, aunque sea mínima,

pero existe y no podemos decir que el alambre sigue igual, ya que como las masas

actúan sobre el alambre ejerciendo una tensión en el, este sufre una pequeña elongación

en su longitud, En nuestros calculo, en teoría el Modulo de Young tendría que ser el

mismo, mas sin embargo debemos de tomar en cuenta que las mediciones directas no

son exactas ya que hay incertidumbre en cada medición que se tomo.

BIBLIOGRAFIA

FUNDAMENTOS DE FISICA I: MECANICA, CALOR Y SONIDO, Francis Weston Sears,

editorial Aguilar S.A. de ediciones, Séptima edición, págs. 250-265

FISICA GENERAL I, Douglas C. Giancoli, Editorial Prentice Hall, segunda edicion, págs.

240-25