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Programa de certificación de Black Belts
VI. Seis Sigma - MediciónP. Reyes / Abril 2009
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Fase de medición Propósitos:
Determinar req. de información para el proyecto
Definir las Métricas de los indicadores del Proceso
Identificar los tipos, fuentes y causas de la variación en el proceso
Desarrollar un Plan de Recolección de Datos Realizar un Análisis del Sistema de Medición
(MSA) Llevar a cabo la recolección de datos
Salidas Diagnóstico de la situación actual del problema
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VI. Seis Sigma - MediciónA. Características del procesoB. Colección de datos
C. Sistemas de mediciónD. Estadística básica
E. ProbabilidadF. Capacidad de procesos
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VI.A Características del proceso
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VI.A Características del proceso1. Variables de entrada y de salida
2. Métricas de flujo de proceso
3. Herramientas de análisis de proceso
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VI.A.1 Variables de entrada y salida
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Mapa de procesos SIPOC
Provee-dores
Clientes
Banco de información
EntradasProcesos y sistemas Salidas
Mapa de proceso SIPOC (Proveedores, Entradas, Salidas, Clientes)
Retroalimentación Retroalimentación
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Elementos de procesos - SIPOC
Un cambio en la Salida debe estar relacionado con algún cambio en los pasos anteriores SIPs. Esto forma un ciclo cerrado entre SIPs y Os.
Proveedoresde recursos
Entradas,insumos
Procesos,actividades
que agreganvalor
Salidas,producto o
servicio
Clientes,reciben elproducto
Modelo SIPOC
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Matriz de causa efectoRelación entre entradas y salidas de procesos La matriz lista variables clave de salida del
proceso en forma horizontal y las de entrada en forma vertical
Para cada variable de salida se le asigna una prioridad
Dentro de la matriz se asignan números que indican el efecto que tiene cada variable de entrada en las variables de salida
Se obtiene la suma producto de estos números internos por la prioridad de salida como resultados y se saca el porcentaje relativo
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Matriz de causa efectoEntradas y salidas del proceso – Matriz de causa
efecto Antes de mejorar un proceso, primero debe medirse,
identificando sus variables de entrada y de salida, y documentando su relación en diagramas de causa efecto, matrices de relación, diagramas de flujo, etc.
184232Ent 5100236Totales
92246Ent 4112515Ent 327633247Ent 23584632Ent 1
%Res410613Impor-tancia
EDCBASalidas
184232Ent 5100236Totales
92246Ent 4112515Ent 327633247Ent 23584632Ent 1
%Res410613Impor-tancia
EDCBASalidas
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VI.A.2 Métricas de flujo de proceso
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Métricas de flujo Términos Lean
Panel Andon – dispositivo de control visual en un área productiva
Flujo de manufactura continua (CFM) – proceso donde hay un flujo de una pieza, sin WIP de acuerdo a la demanda del cliente
Tiempo de ciclo – tiempo para completar un ciclo de una operación
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Métricas de flujo Términos Lean
Vueltas de inventario – número de veces que se consume el inventario en un periodo de tiempo
JIT – sistema para producir los artículos correctos en el momento y en la cantidad requerida
Nivelación de carga – balanceo de las cargas de trabajo en todos los pasos del proceso
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Métricas de flujo Términos Lean
Muda – cualquier actividad que consuma recursos pero no cree valor al cliente
Sin valor agregado – cualquier actividad que no agregue valor al producto o al servicio
Perfección – eliminación completa de muda
Punto de uso del inventario – inventario surtido directamente donde será consumido
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Métricas de flujo Términos Lean
Poka Yoke – dispositivo o procedimiento a prueba de error para prevenir o detectar un error
Diagrama de flujo del proceso – Diagrama del flujo o la secuencia de eventos en un proceso
Jalar (Pull) – sistema en que el proveedor anterior no produce nada hasta que el siguiente cliente indica la necesidad
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Métricas de flujo Términos Lean
Tiempo en cola – el tiempo de espera de un producto antes de su siguiente proceso
SMED (Single Minute Exchange of Die) – técnicas para cambios rápidos en las máquinas de producción. SU objetivo es cero tiempo de ajuste y preparación
Flujo de una sola pieza – una situación donde un producto pasa por las diferentes operaciones sin interrupciones o desperdicios
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Métricas de flujo Términos Lean
Matriz de habilidades – control visual de celda de trabajo describiendo todas las actividades, para visualizar el estatus del entrenamiento de miembros del equipo
Principio de lotes pequeños – reducción efectiva de tamaño de lote hasta que se llega al flujo de una sola pieza
Trabajo estandarizado – descripción de cada actividad de trabajo, indicando tiempo de ciclo, takt time, secuencia de trabajos, e inventario mínimo
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Métricas de flujo Términos Lean
Takt Time – tiempo disponible de producción dividido por la tasa de demanda del cliente
Cadena de valor – actividades específicas requeridas para proporcionar un producto desde su pedido hasta su entrega
Control visual – colocación a la vista de todas las herramientas, partes, actividades de producción, e indicadores del desempeño del sistema de producción
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Métricas de flujo Términos Lean
Muda – toda la sobreproducción, esperas, transportes innecesarios, inventarios excesivos, movimientos innecesarios, y partes defectivas de producción
Celda de trabajo o manufactura – acomodo de diferentes máquinas o procesos de negocio, realizadno diferentes operaciones en una secuencia estricta, con forma típica en U o L
Centro de trabajo – estación de trabajo en una celda de manufactura
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Pensamiento Lean Womack sugiere convertir la planta de producción
masiva a una organziación esbelta, con los siguientes principios guía: Especificar valor por producto
Identificar la cadena de valor para cada producto
Hacer el flujo de valor
Permitir que el cliente jale valor del proveedor
Perseguir la perfección
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Valor El valor es definido por el cliente
En EUA los gerentes no tienen contacto con clientes
En Alemania se hace énfasis en el producto y proceso
En Japón se enfocan a crear valor desde la manufactura
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Valor El valor es definido por el cliente
El cliente quiere productos específicos, con capacidades específicas a precios específicos, su definicón es el primer paso para el pensamiento Lean
El costo objetivo es una mezcla de de los precios de venta de la competencia y de la eliminación de muda por métodos Lean
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Cadena de Valor Se pueden maximizar los beneficios de reducir
Muda al concentrarse en las actividades que ligan los procesos, deben considerarse:
La solución de problemas (nuevos productos) La gestión de información (pedidos a entregas) La transformación física (materias primas a
productos)
En Lean se analiza un solo producto, para reducción de Muda, tiempo de ciclo y mejora de calidad
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Cadena de Valor El mapa de cadena de valor se crea para
identificar las actividades involucradas en el producto. Incluye proveedores, actividades preoductivas y clientes. Se consideran los criterios siguientes:
Agrega valor de acuerdo a la percepción del cliente
No agrega valor, pero es encesaria por el proceso
No agrega valor y puede eliminarse
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Cadena de Valor Lean sugiere cambiar de proceso en lotes a
flujo continuo, algunos obstáculos son: Siempre se ha trabajado en lotes La planta tiene una multitud de funciones La planta no puede soportar cambios de
herramental rápidos La planta tiene maquinaria con gran inercia e
inflexible Mover la maquinaria tiene un alto costo
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Cadena de Valor Para un flujo continuo o flujo de una pieza se
requiere lo siguiente: Usar celdas de manufactura en U, el operador
debe ser confiable en su operación
Con el TPM se esperan cero fallas en máquinas
El nivel de calidad es muy alto con Poka Yokes
La programación de la producción es suave, de flujo continuo, sin movimientos innecesarios ni WIP
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Valor de jalar El producto se fabrica solo cuando el cliente lo
demanda, resultando en: Tiempo de ciclo reducido Inventario terminado reducido WIP reducido Cliente con pedidos estables El precio se estabiliza
En una planta de producción masiva, cada operación trata de tener la máxima eficiencia creando inventarios
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Perfección Se logra con:
Equipos que trabajan con el cliente para especificar valor, mejorar el flujo y lograr Jalar
Colaboración entre socios de la cadena de valor para descubrir un mayor valor
Usar tecnología para eliminar Muda
Desarrollar nuevos productos
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Takt time Es el tiempo neto disponible de producción
dividido entre la tasa de demanda del cliente en un cierto periodo
Se sugiere revisar la distribución de la celda para: Mejorar los tiempos de ciclo Reducir los defectos Reducir los tiempos de cambio Atender problemas de confiabilidad de los
equipos
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Métricas de Lean Las métricas de TPM incluyen:
Disponibilidad, tasa de velocidad de operación (OSR), tasa neta de operación (NOR), eficiencia de desempeño (PE), y efectividad total del equipo (OEE)
Tasa de thoughput = 1 / Tiempo de ciclo
La ley de Little estable que:
Inventario WIP = Throughput * Tiempo de flujo Tiempo de flujo = WIP * Tiempo de ciclo
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Métricas de LeanTiempo total de espera (Lead) = No. Artículos en
proceso /Tasa promedio de
terminación
Eficiencia del ciclo de proceso = Tiempo de valor agregado /
Tiempo total de espera
Si hay 30,000 unidades planeadas, y se pueden producir 3,000 por día, ¿Cuál es el tiempo de espera total?
TLT = 30,000 / 3,000 = 10 días
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Métricas de LeanSe tienen 21 cotizaciones pendientes, ofrecen tres
días de tiempo de respuesta a sus clientes. ¿Cuál es la tasa de terminación para cumplir con la meta?
Tasa de terminación = WIP / TLT = 21 / 3 = 7 cotiz./día
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VI.A.3 Herramientas de análisis de procesos
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Análisis y documentación del proceso
Un proceso es un conjunto de recursos y actividades que transforman entradas en salidas agregando valor. Las actividades deben ser documentadas y controladas.
Se analizan los tópicos siguientes:
1. Herramientas2. Entradas y salidas del proceso
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Análisis y documentación del proceso - Herramientas
Diagramas de flujo Mapas de proceso
Procedimientos escritos Instrucciones de trabajo
Análisis de proceso Documentación del proceso
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Diagrama de flujo Un diagrama de flujo o mapa de proceso es
útil para comprender el proceso. Puede describir la secuencia del producto, contenedores, papeleo, acciones del operador o procedimientos administrativos.
Es el paso inicial para la mejora de procesos, ya que facilita la generación de ideas.
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Diagrama de flujo Organizar un equipo para examinar el proceso
Construir un mapa de proceso para representar los pasos del proceso
Discutir y analizar cada paso en detalle
Preguntarse ¿Por qué lo hacemos de esta manera?
Comparar el proceso actual a un proceso imaginario “perfecto”
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Diagrama de flujo ¿Hay complejidad innecesaria? ¿Existe duplicación o redundancia? ¿Hay puntos de control para evitar errores y
rechazos? ¿Se realiza el proceso de acuerdo a como está
planeado? ¿Puede realizarse el proceso de manera
diferente? ¿las ideas de mejora pueden venir de procesos
muy diferentes?
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Diagrama de flujoSímbolos de Diagramas de flujo
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Diagrama de flujoDiagramas de flujo - Ejemplo
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Diagrama de flujoBeneficios Permiten visualizar el proceso que se está
describiendo Describen el proceso con símbolos, flechas y
palabras sin necesidad de oraciones La mayoría usa simbología estandarizada
(ANSI Y15.3) Si se usa software el número de símbolos
puede llegar a 500
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Diagrama de flujo Diagramas de flujo o mapas de proceso
Permiten comprender la operación del proceso Normalmente representan el punto de inicio para la
mejora
Pasos para elaborarlo (Símbolos ANSI Y15.3) Organizar un equipo para examinarlo Construir un diagrama de flujo representando cada
paso Discutir y analizar detalladamente cada paso Preguntarse ¿Porqué lo hacemos de esta forma? Comparar esta forma con la del proceso “perfecto” Existe demasiada complejidad, duplicidad o
redundancia ¿Se opera el proceso como está planeado y puede
mejorarse?
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Proceso Desición Documento Datos
Proceso Preparación Operación EntradaPredefinido Manuales
Conector Con. página Display Almacen Terminador
Símbolos de diagrama de flujo
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Símbolos para Diagramas de Flujo
Iniciar/Detener Transmisión
Operaciones(Valor agregado)
Decisión
Inspección /Medición
Transportación
Almacenar
Entrada/Salida
Líneas de Flujo
Retraso
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Diagrama de flujo del Proceso:
Inicio
Fin
Paso 2A Paso 2B Paso 2C
Paso 1
Paso 3
¿Bueno?Retrabajo SíNo
Es el diagrama de flujo de un proceso
que muestra cómo se realiza un trabajo.
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Diagrama de flujo / Análisis del valor
Actividades sin valor agregado
Actividades con valor agregado
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¿Cómo Ayuda un Mapa de Proceso?
Una vez que podemos ver las cosas -podemos hablar de ellas.
Los pasos que no agregan valor se hacen más evidentes.
El retrabajo y las reparaciones son obvias.
Se puede llegar a acuerdos.
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Diagramas de Flujo Existentes
Creados para un propósito diferente.
Con frecuencia no reflejan los puntos de inicio y Fin adecuados.
No son “cómo es”. “Quieren ser” No señalan el
desperdicio.
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Aprovecha al Equipo
Haz recorridos, entrevistas y revisiones de los diagramas de flujo y los estándares existentes.
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¡Haz el Mapa del Proceso lo más Pronto Posible!
señala con claridad la región en la que el equipo se debe enfocar.
evita que el equipo salga de los límites del proyecto.
El mapa de un proceso...
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El Inicio y el Fin Se Deben Poder Medir
Selecciona los puntos de Inicio y Fin donde se llevan a cabo acciones que se pueden medir.
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Ejercicio Rápido - Inicio y FinProceso Inicio Fin
Ensamble de Asiento
Dibujos de Ingeniería
Manufactura en Riel de Asientos
Cuentas por Pagar
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Ejemplos - Inicio y FinProceso Inicio Fin
Ensamble deAsiento
Marco de metalpuesto en línea
Inspección Final
Dibujos deIngeniería
Requerimientosdel Cliente
Cliente Recibeel Archivo CAD
Manufactura enRiel de Asiento
Operación dePérfiles
Estampados
Inspección Final
Cuentas porPagar
Recepción de laFactura delProveedor
DepósitoElectrónico
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Permite que la Gente vea el Mapa del Proceso
De ser posible, la gente que trabaja en el proceso debe poder ver una copia grande a escala del mapa del proceso.
¡Las revisiones, sugerencias y correcciones son bienvenidas!
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Herramientas de un Mapa de Proceso
Rotafolios y Marcadores.
Hojas para Rotafolio y Notas Autoadheribles.
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Pasos para Elaborar un Mapa de Proceso
1. Establezcan los puntos de Inicio y Fin del proceso.
2. Hagan una lista de los pasos del proceso mediante una tormenta de ideas.
3. Realicen el primer recorrido y entrevistas.
4. Elaboren una lista de los proceso clave en las notas autoadheribles.
5. Discutan, revisen y modifiquen.
6. Hagan un segundo recorrido y entrevistas.
7. Añadan pasos de inspección, retrabajo, reparación y desperdicio en las notas autoadheribles.
8. Elaboren un mapa de proceso “cómo es”.
Como equipo...
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¡Hazlo fácil!
En este momento, el mapa de proceso “cómo es” debe ser de “alto nivel”, pero debe incluir todos los pasos primarios necesarios para obtener la mejora deseada (es decir, los pasos con valor agregado relativos a los CTQ, CTC, CTD).
Idealmente, muestra de cinco a diez pasos.
Agrega más detalles posteriormente.
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Paso 1: Puntos de Inicio y Fin
Revisen la declaración del problema.
Describan los procesos que causan el problema.
Comenten los puntos de Inicio y Fin que se pueden medir.
Pónganse de acuerdo y regístrenlos.
Declaración del Problema: El cliente espera los dibujos modificados demasiado tiempo.
Proceso: Proceso de revisión de dibujos.
Pregunta:¿Cuál podría ser el punto de Inicio?
Pregunta: ¿Cuál podría ser punto de Fin?
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Puntos de Inicio y Fin Declaración del Problema:
“El Cliente espera demasiado tiempo los dibujos modificados.”
Proceso:Proceso de revisión de dibujos.
Inicio:El Cliente solicita un formato de cambio de dibujos.
Fin:Se entrega el archivo de dibujos (CAD) al Cliente.
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Paso 2: Tormenta de Ideas sobre los Pasos del Proceso
Escriban Inicio y Fin donde todos lo puedan ver.
El equipo aporta ideas sobre los pasos del proceso que existen entre el inicio y el fin.
Inicio:El Cliente solicita un formato de cambio de dibujos.
Pregunta:¿Cuáles son algunos de los probables pasos del proceso entre los puntos de inicio y fin?
Fin:El archivo CAD se entrega al Cliente.
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Pasos del Proceso Inicio:
El Cliente solicita un formato de cambio de dibujos.
Pasos a seguir: Bosquejar el cambio requerido. Calcular el impacto del cambio. Determinar cuáles dibujos necesitan
cambiarse. Cambiar los dibujos apropiados.
Fin:El archivo CAD se entrega al Cliente.
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Paso 3: Primer Recorrido y Entrevistas
El equipo recorre el proceso existente.
Observen cómo se hace el trabajo.
Platiquen con la gente (entrevisten).
Tomen notas. Enfóquense en los pasos
del proceso.
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Paso 4: Notas Autoadheribles Escriban los pasos
del proceso en notas autoadheribles.
Coloquen las notas sobre la pared.
Por ahora sólo dejen las notas.
Reunión con el grupo
Encontrar Especif.
Crear Boceto
Localizar Archivos
CAD Cambiar Dibujos
Calcular Impacto
Hacer Café
CrearPaquete
de Archivos
Enviar al Cliente
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Paso 5:Comentar, Revisar, Modificar Comenten, repasen y
modifiquen el mapa del proceso en las notas autoadheribles.
Pónganse de acuerdo en los pasos que se deben conservar.
Pónganse de acuerdo en los pasos que se deben eliminar.
Retengan solo los pasos importantes del proceso.
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Pasos “Importantes” del Proceso Información
suficiente para facilitar la mejora.
Resultados que se puedan medir.
Podrían producirse defectos (CTQ, CTC, CTD).
Un inicio y un fin definidos.
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Pasos Importantes
¿Qué pasos podrían ser importantes en el mapa del proceso que aparece a la derecha?
Reunión con el grupo
Encontrar Especif.
Crear Bósquejo
Localizar Archivos
CAD Cambiar Dibujos
Calcular Impacto
Hacer Café
CrearPaquete
de Archivos
Enviar al Cliente
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Paso 6: Segundo Recorrido y Entrevistas
Vuelvan a recorrer el proceso.
Busquen pasos que hayan pasado por alto.
Revisen pasos de inspección, retrabajo, reparación y desperdicio.
Tomen notas.
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Paso 7: Añadir Cambios Agreguen notas
autoadheribles. Añadan
inspecciones. Añadan retrabajo y
reparaciones. Añadan desperdicio. Por ahora dejen
todas las notas.
Crear Bósquejo
Cambiar Dibujo
Calcular Impacto
Crear paquete de
archivos
Enviar a Cliente
Solicitud de Cambio del
Cliente
Cliente recibe archivos CAD
Impacto ¿OK?
Dibujo ¿OK?
Reunión con Ventas
Sí
No
No
Sí
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Paso 8: Mapa del Proceso “Cómo Es”
El equipo establece un mapa del proceso “tal cual”.
Tiene el detalle suficiente para incluir los pasos importantes.
Sin demasiado detalle para que se entienda rápidamente.
Crear Bósquejo
Cambiar Dibujo
Calcular Impacto
Crear paquete de
archivos
Enviar a Cliente
Solicitud de cambio del
Cliente
Cliente recibe archivos CAD
Impacto ¿OK?
Dibujo ¿OK?
Reunión con Ventas
Sí
No
No
Sí
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Cuándo Recolectar DatosDurante la elaboración del mapa de proceso….
Identifica los puntos para la recolección de datos, pero
¡no recopiles los datos!
Después de haber creado el Mapa “Cómo Es” …planea la recolección de datos sobre los pocas
salidas vitales.• Generalmente, cuando se recolectan datos durante la
elaboración del mapa, se toman datos sobre puntos equivocados.
• ¡La recolección de datos se debe planear y enfocar sobre los factores de alta prioridad que son críticos para el cliente!
Precaución
(consulta el módulo “Planeación de la Recolección de Datos”)
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Mapa del Proceso “Cómo Es”
Crear Bósquejo
Cambiar Dibujo
Calcular Impacto
Crear paquete de
archivos
Enviar al Cliente
Solicitud de cambio del Cliente
Cliente recibe archivos CAD
Impacto ¿OK?
Dibujo ¿OK?
Reunión con Ventas
Sí
No
No
Si
• Es la condición base del proceso.
• Es el inicio de tu viaje hacia la mejora.
• Es la oportunidad para la estrategia de impacto de Six Sigma.
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El Mapa de Proceso “Cómo Debe Ser”
Una vez que se identifiquen las soluciones durante la fase de MEJORA…
Crea el nuevo mapa de proceso.
El nuevo mapa muestra el flujo de trabajo mejorado que ahora tiene- menos pasos- menos actividades sin valor agregado
Este nuevo mapa muestra el proceso “cómo debe ser” que “será” una vez que se implementen todas las soluciones.
NOTA
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La cadena de valor Son todas las actividades que la empresa debe
realizar para diseñar, ordenar, producir, y entregar los productos o servicios a los clientes.
La cadena de valor tiene tres partes principales: El flujo de materiales, desde la recepción de
proveedores hasta la entrega a los clientes.
La transformación de materia prima a producto terminado.
El flujo de información que soporta y dirige tanto al flujo de materiales como a la transformación de la materia prima en producto terminado.
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La cadena de valorBeneficios del Mapeo de la cadena de valor Ayuda a visualizar el flujo de producción; las
fuentes del desperdicio o Muda Suministra un lenguaje común sobre los
procesos de manufactura y Vincula los conceptos ytécnicas Lean
Forma la base del plan de ejecución, permitiendo optimizar el diseño del flujo de puerta a puerta
Muestra el enlace entre el flujo de información y el flujo de material
Permite enfocarse en el flujo con una visión de un estado ideal o al menos mejorado
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Flujo de informaciónAdemás del flujo de materiales en el proceso de
producción, se tiene otro flujo que es el de información que indica a cada proceso lo que debe producir o hacer en el paso siguiente. Son dos caras de la misma moneda y se deben trazar ambos.
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Simbología utilizada
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Simbología utilizada
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Simbología utilizada
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Simbología utilizada
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Identificando mapa actual
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Tips para la cadena de valor Recolecte siempre información del estado
actual mientras se realizan las operaciones normales tanto en flujos de información como de materiales.
Inicie con una caminata rápida a través de la cadena de valor completa puerta a puerta, para obtener un sentido del flujo y secuencia de procesos. Después regrese y colecte información en cada proceso.
Inicie desde el final de embarque y de ahí para atrás. Así se iniciará el mapeo con los procesos que están más ligados directamente al cliente, el cual debe establecer los pasos para otros procesos.
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Tips para la cadena de valor Utilice el cronómetro y no dependa de tiempos
estándar o información que no obtenga personalmente.
Trazar uno mismo la cadena de valor completa. Entendiendo que el flujo completo lo encierra el mapeo de la cadena de valor.
Siempre trace a mano y a lápiz. Ir al piso de producción al realizar el análisis de estado actual, y afinarlo más tarde. Se debe resistir la tentación de usar la computadora.
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Tips para la cadena de valor
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Información para la cadena de valor
Tiempo del ciclo (C/T – tiempo que transcurre entre la salida de dos partes consecutivas)
Tiempo de cambio o de preparación (C/O – para cambiar de un producto a otro)
Tiempo disponible de máquina (De acuerdo a la demanda)
Tamaño de lote de producción (EPE – every part every…..)
Número de operadores
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Información para la cadena de valor
Número de productos diferentes Contenido de la unidad de empaque o
contenedor
Tiempo de trabajo (sin los descansos obligatorios)
Tasa de desperdicio
Capacidad del proceso (tiempo disponible/ tiempo de ciclo * porcentaje de disponibilidad del equipo), sin tiempos de cambio de tipo.
Takt time (tiempo disponible para cubrir la demanda de productos).
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Ejemplo de aplicación: Empresa Guden
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Mapa del estado actualProceso de manufactura
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Mapa incluyendo información
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Mapa incluyendo tiempos de ciclo y tiempo de entrega
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Mapa futuro reduciendo tiempos de entrega
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Mapa futuro reduciendo tiempos de entrega
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Beneficios
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Beneficios
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Mapa de proceso de laEmpresa ABC - final
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Documentación
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Procedimientos escritos Los procedimientos deben ser desarrollados
por los que tienen la responsabilidad del proceso de interés
La documentación del proceso en un procedimiento facilita la consistencia en el proceso.
Los procedimientos críticos deben tener su diagrama de flujo correspondiente
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Instrucciones de trabajo Las instrucciones de trabajo proporcionan los
pasos detallados de la secuencia de actividades
Los diagramas de flujo pueden usarse con las instrucciones de trabajo para mostrar las relaciones de los pasos del proceso.
Las copias controladas de estas instrucciones se guardan en el área de trabajo
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Diagrama de espaguetti Se pueden usar para describir el flujo de
personas, información, o material en casi cualquier tipo de proceso. La mayoría de las acpliaciones considera flujos de personas, información y materiales.
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Diagramas de Venn Se pueden utilizar para analizar las cargas de trabajo,
por ejemplo:
El tiempo de ocupación es 0.30+0.20+0.25+0.10-0.06-0.04 = 0.75, es decir de cada turno de 8 horas tiene 2 horas disp.
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V.C Capacidad de los sistemas de medición
103
ContenidoV.C.1 Métodos de medición
V.C.2 Análisis de sistemas de medición
V.C.3 Sistemas de medición en la empresa
V.C.4 Metrología
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V.C.1 Métodos de medición
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Métodos de medición Cuidado de instrumentos de medición
Los instrumentos de medición son costosos y deben tratarse con cuidado, deben calibrarse en base a un programa así como después de sospecha de daño
Superficies de Medición / Referencia Es la superficie de referencia para realizar las
mediciones.
Herramientas de transferencia No tienen escala de lectura, por ejemplo, los
calibradores de resorte. La medición es transferida a otra escala de medición para lectura directa.
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Métodos de medición Gages o escantillones por atributos
Son gages fijos para inspección pasa no – pasa. Por ejemplo gages maestros, plug gages, gages de contorno, thread gages, gages de límite de longitud, gages de ensamble. Sólo indican si el producto es bueno o malo.
Gages o escantillones por variables Proporcionan una dimensión física. Por ejemplo
reglas lineales, calibradores verniers, micrómetros, indicadores de profundidad, indicadores de excentricidad, etc. Indican si el producto es bueno o malo respecto a las especificaciones para capacidad.
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Métodos de medición Selección por atributos
Son pruebas de selección realizadas en una muestra con dos resultados posibles, aceptable o no aceptable.
Como se realiza a toda la población o a una proporción grande de la misma, debe ser de naturaleza no destructiva.
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Métodos de medición Selección por atributos, características
principales: Un propósito claramente definido Alta sensibilidad al atributo evaluado. Equivale a
una tasa baja de negativos falsos.
Alta especificidad al atributo que está siendo medido. Esto equivale a una baja tasa de positivos falsos.
Los beneficios del programa sobrepasan los costos
Los atributos medidas identifican problemas importantes (series y comunes)
Los resultados guían a acciones útiles
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Métodos de medición Gages (gauges) bloques patrón:
Carl Johansson desarrolló bloques de acero como estándares de medición con exactitud de unas pocas millonésimas de pulgada
Los bloques patrón o “Jo” se hacen de acero con aleación al alto carbón y cromo, carburo de tungsteno, carburo de cromo o cuarzo fundido
Se usan para establecer una dimensión de longitud de referencia para una medición de transferencia, y para calibración de varios instrumentos de medición
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Métodos de medición Gages (gauges) bloques patrón:
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Métodos de medición Gages (gauges) bloques patrón:
Se pueden apilar con la ayuda de una capa delgada de aceite que expulsa el aire. Usar poca presión en el proceso
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Métodos de medición Juegos de Gages (gauges) de bloques patrón:
El contenido de un juego de 81 piezas son:
Bloques de diezmilésimas (9): 0.1001, 1002,..,0.1009
Bloques de una milésima (49): 0.101, 0.102…0.149
Bloques de 50 milésimas (19): 0.050, 0.100…0.950
Bloques de una pulgada (4): 1.000, 2.000,…, 4.000
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Métodos de medición Calibradores:
Los calibradores se utilizan para medir dimensiones de longitud, internas, externas, de altura, o profundidad.
Son de los siguientes tipos: Calibradores de resorte, calibradores de reloj, verniers y calibradores, calibradores digitales
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Métodos de medición Calibradores de resorte:
Los calibradores proporcionan una exactitud de aproximadamente 1/16” al transferir a una regla de acero
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Métodos de medición Calibradores verniers:
Usan una escala para indicar la medición de longitud. Ahora se han reemplazados con reloj o indicador digital.
Para el caso de una longitud de 1.069” se leería como sigue:
116
Métodos de medición Calibradores de reloj:
La lectura se hace en la escala con resolución cercana a 0.1” y un reloj con resolución de 0.001”.
Calibradores digitales Usan un display digital con lectura en pulgadas
o en milímetros y un cero que puede ser puesto en cualquier punto del viaje. La resolución es del orden de 0.0005
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Métodos de medición Comparadores ópticos
Usan un haz de luz dirigido hacia la parte a ser inspeccionada, y la sombra resultante es amplificada y proyectada en una pantalla.
La imagen puede medirse al comparar con una plantilla maestra o medir la silueta en la pantalla o tomando las lecturas. Para pasar la inspección, la silueta de la sombra debe encontrarse entre los límites de tolerancia predeterminados.
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Métodos de medición Micrómetros
Los “mics” se pueden adquirir con tamaños de cuerpo para 0.5” a 48”. La mayoría tiene una exactitud de 0.001” y con un vernier o indicador puede llegar a 0.0001”. En cuartos con temperatura y humedad controlada se pueden hacer medidas lineales de hasta millonésimas de pulgada
Pueden hacer mediciones de interiores, exteriores, porfundidad, cuerdas, etc. Las dos escalas utilizadas son la del cuerpo y la del tambor, a continuación se muestra un ejemplo:
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Métodos de medición Micrómetros
120
Métodos de medición Mediciones de resistencia a la tensión
La resistencia a la tensión es la habilidad de un metal a resistir su rotura. Se aplica una carga a una barra de prueba y se incrementa gradualmente hasta que la barra se rompa. Se pueden analizar los datos de tensión usando curvas de esfuerzo – deformación, que muestra la carga vs la elongación.
Prueba de corte Es la habilidad para resistir un esfuerzo de
“cuchilla cortante” cuando se aplican fuerzas paralelas ligeramente fuera de eje.
121
Métodos de medición Prueba de compresión
La comprensión es el resultado de fuerzas actuando unas contra otras. Se aplica una carga y se registra la deformación. Se puede obtener una curva de esfuerzo – deformación con los datos
Prueba de fatiga La fatiga es la habilidad del material a resistir
cargas repetitivas. En varios niveles de esfuerzo, se cuenta el número de ciclos hasta que ocurre la falla
122
Métodos de medición Titulación
Es un método de análisis que permite la determinación de cantidades precisas de reactivos en el matraz. La solución a ser analizada se prepara en el matraz Erlenmeyer. Un indicador como el azul de metileno es adicionado a la solución. Se usa una bureta para liberar el segundo reactivo al matraz y un indicador o medidor de pH se utiliza para determinar el punto final de la reacción. El indicador cambia de color cuando se llega al punto final.
123
Métodos de medición Medición de dureza
La medición de dureza se realiza al crear una marca en la superficie del material con un balín duro o una pirámide de diamante y después se mide la profundidad de penetración
124
Métodos de medición Medición de dureza
125
Métodos de medición Medición de torque
Esta medición se requiere cuando el producto se sujeta con tornillos y tuercas. El torque es una fuerza que produce rotación alrededor de un eje
(Torque = fuerza x Distancia)
Prueba de impacto La resistencia al impacto es la habilidad del
material para resistir el impacto. Las pruebas de Charpy e Izod usan muestras que son golpeadas por un péndulo calibrado
126
Métodos de medición La regla de acero
La regla de acero se utiliza para lecturas directas. Sus divisiones están en fracciones de pulgada milímetros
Placas de medición (mármol) Son planos de referencia para mediciones
dimensionales. Usualmente son utilizados con accesorios planos, angulares, paralelos, bloques en V y bloques cilíndricos apilados
127
Métodos de medición Indicadores de reloj
Son instrumentos mecánicos para medir variaciones de distancia. Muchos indicadores de reloj amplifican la lectura de un punto de contacto por medio de un mecanismo interno de engranes. Tienen resoluciones de 0.00002” a 0.001” con un rango amplio de mediciones.
128
Métodos de medición Ring gages o gages de cuerdas
Se usan para inspeccionar dimensiones cilíndricas externas y frecuentemente se denominan “gages go no go”. Un ring gage de cuerdas se usa para checar cuerdas macho
129
Métodos de medición Plug gages o gages de diámetros
Se usan para inspeccionar dimensiones cilíndricas internas y frecuentemente se denominan “gages go no go” o “gages pasa no pasa”. Un plug gage de cuerdas se usa para checar cuerdas hembra. En lado se indica en verde la sección de Pasa y en el otro lado se indica en roja la No Pasa.
Go No go
130
Métodos de medición Gages neumáticos
Los tipos de gages de amplificación neumática incluyen unos accionados variando la presión de aire y otros al variar la velocidad del aire con presión constante. Las mediciones pueden ser leídas en millonésimas de pulgada.
Interferometría Se forma interferencia cuando dos o más haces
de luz monocromática de la misma longitud de onda se defasan 180º viajando en diferentes distancias. Las irregularidades se evidencian alternando las bandas obscura y de luz
131
Métodos de medición Gages diseñados con Laser
El haz de luz Laser se transmite a un receptor del lado puesto del gage. Las mediciones se realizan cuando el haz es obstaculizado por un objeto y el receptor registra esta dimensión.
Máquina de Medición por Coordenadas (CMM) Las partes a medir se colocan en la placa de
mármol y un sensor se manipula para tener varios puntos de contacto usando el sistema de mediciones controlado por computadora tomados en tres ejes perpendiculares entre sí.
132
Métodos de medición Pruebas no destructivas (NDT) y evaluaciones no
destructivas (NDE) Son técnicas para evaluar las propiedades de los
materiales sin afectar la utilidad futura de los artículos probados. Incluyen el uso de automatización, prueba al 100% del producto y la garantía de adecuación interna. Algunos resultados requieren considerable habilidad para su interpretación.
Inspección visual La inspección visual de color, textura y apariencia
proporciona información valiosa. EL ojo humano es apoyado por lentes de aumento u otros instrumentos. Esta inspección también se denomina inspección de exploración (scanning)
133
Métodos de medición Pruebas ultrasónicas
Las ondas ultrasónicas se generan en un transductor y se transmiten a través de un material que puede tener defectos. Parte de las ondas chocan en el defecto y se reflejan como ecos a la unidad receptora, que las convierte en picos en la pantalla. Para pruebas no destructivas se utiliza un rango de frecuencias de 200 a 250,000 Khz.
134
Métodos de medición Pruebas con partículas magnéticas
La inspección con partículas magnéticas es un método no destructivo de detectar la presencia de defectos o poros ya sean superficiales o internos en metales o aleaciones ferromagnéticos.
Se magnetiza la parte y después se aplican partículas de acero en la superficie de la parte bajo prueba. Las partículas se alinean con el campo magnético y se concentran en lugares donde las líneas entran o salen de la parte.
135
Métodos de medición Pruebas con partículas magnéticas
La parte bajo prueba se examina en las áreas de concentración de partículas magnéticas que indicarían presencia de discontinuidades
Se usa corriente alterna para descubrir la presencia de defectos superficiales, mientras que con corriente directa proporciona mayor sensibilidad para la localización de defectos internos. Se cuenta con métodos secos y húmedos
136
Métodos de medición Pruebas con líquidos penetrantes
La inspección con líquidos penetrantes es un método rápido para detectar defectos en la superficie en todo tipo de materiales. El líquido aplicado contiene una tinta que penetra en el defecto por capilaridad contrastado por una limpieza. Requiere observación cuidadosa.
Pruebas con corrientes parásitas de Eddy Las corrientes parásitas son inducidas en un
objeto bajo prueba al pasar una corriente alterna en una bobina colocada cerca de la superficie del objeto bajo prueba.
137
Métodos de medición Pruebas con corrientes parásitas de Eddy
Un campo electromagnético es producido en el objeto bajo prueba que puede ser comparado con un estándar.
Defecto
138
Métodos de medición Pruebas con Radiografía
Se pueden dirigir Rayos X o Rayos Gama a través de un objeto bajo prueba sobre una placa fotográfica y las características internas de la parte pueden ser reproducidas y analizadas.
Para un análisis adecuado, se deben establecer estándares de referencia para evaluar los resultados. Una radiografía puede mostrar poros, inclusiones, y fracturas si se encuentran en el plano adecuado y son suficientemente grandes.
139
Métodos de medición Pruebas con Radiografía de neutrones
Los neutrones son partículas atómicas sin carga que se mueven por los materiales sin afectar su densidad. Son dispersados o absorbidos por partículas en el nucle atómico en vez de los electrones. El objeto se coloca en un haz de neutrones en frente de un detector de imagen.
Otras técnicas relacionadas Aplicaciones recientes incluyen fluoroscopia,
radiografía gama, rayos X televisados, pruebas con microondas e inspección holográfica
140
V.C.2 Análisis de Sistemas de Medición
141
Contenido1. Errores en la medición2. Carta de tendencias de gage – Minitab3. Estudios de R&R – metodo corto del rango4. Estudios de R&R – método largo (cruzado)5. Estudios de R&R – método largo (anidado)6. Estudios de linealidad y sesgo7. Estudios de R&R por atributos – método
analítico8. Estudios de R&R por atributos – acuerdo entre
evaluadores
142
Análisis de Sistemas de Medición
1. Errores en la medición
143
Metrología Metrología es la ciencia de las mediciones
Apoya a la organización en la evaluación cuantitativa de las variables del proceso (longitudes, dimensiones, pesos, presiones, etc.)
Factores considerados para determinar el periodo de calibración de los equipos de medición Intensidad de uso del equipo Posibles desgastes por el uso o degradación Errores identificados durante las calibraciones
periódicas
144
Correlación de mediciones
Es la comparación o correlación de las mediciones de un sistema de medición con los valores reportados por uno o más sistemas de medición diferentes
Un sistema o dispositivo de medición puede usarse para comparar valores contra un estándar conocido, a su vez puede compararse a la media y desviación estándar de otros dispositivos similares
Todas las mediciones reportadas de artefactos iguales o similares, son referidos como prueba de proficiencia o prueba de Round Robin.
145
Correlación de mediciones
También se pueden comparar valores obtenidos de diferentes métodos de medición usados para medir diferentes propiedades. Por ejemplo la medición de dureza y resistencia de un metal, temperatura y expansión lineal de un artículo al ser calentado, y peso y número de pequeñas partes
El manual MSE de la AIAG clasifica los errores del sistema de medición en cinco categorías: Sesgo o exactitud Repetibilidad Reproducibilidad Estabilidad Linealidad
146
Porcentaje de acuerdo El porcentaje de acuerdo ya sea entre el sistema
de medición y los valores de referencia o el valor verdadero de la variable medida
Puede estimarse con el coeficiente de correlación, r, con valores r=1 100% de acuerdo y r= 0 sin acuerdo.
147
Precisión a Tolerancia P/T Es la razón (P/T) entre el error estimado de la
medición (precisión) y la tolerancia de la característica medida.
Donde 6 sigma es la variabilidad de las mediciones. Los supuestos son: Las mediciones son independientes Los errores de medición se distribuyen
normalmente Los errores de medición son independientes de
la magnitud de las mediciones
Tolerancia
TPl e6/Re
148
Precisión a Variación Total P/TV
Es la razón (P/TV) entre el error estimado de la medición (precisión) y la variación total de la característica medida.
Se debe minimizar P/TV para reducir el efecto de la variación de las mediciones en la evaluación de la variación del proceso
Conforme P/T y P/TV se incrementan, la habilidad de discriminar un cambio en el proceso disminuye, en todo caso utilizar un sistema de medición con variación más pequeña
MedicionVariacionoductoVariacion
MedicionVariacionTotalVariacion
TVPl e
Pr6
/Re
149
DefinicionesExactitud
Desviación respecto del valor verdadero del promedio de las mediciones
Valor verdadero:Valor correcto teórico / estándares NIST
SesgoDistancia entre el valor promedio de todas las
mediciones y el valor verdadero.Error sistemático o desviación
150
Definiciones
EstabilidadLa variación total en las mediciones obtenidas
durante un período de tiempo prolongadoLinealidad
Diferencia en los valores de la escala, a través del rango de operación esperado del instrumento de medición.
PrecisiónMedición de la variación natural en mediciones
repetidas
151
Definiciones
Proceso deTransformación
Proceso deMedición
Datos, información, observaciones
22 2Sistema de mediciónproducto total
Variabilidad del producto
+ =Variabilidad del Sist. De Medición
Variabilidad total
(Observada)
Sistema de mediciónproducto total em m
152
Errores en la medición• Todo proceso tiene variabilidad y los procesos
de medición no son la excepción;
• Los valores observados son el resultado del comportamiento verdadero más el “ruido” de la medición, por lo que es necesario evaluar el sistema de medición de la variable de respuesta para determinar si este es aceptable para la necesidad.
153
Errores en la medición
PromediosmObservada = mproceso + mmedición
Variabilidad
Observada = proceso + medición2 2 2
Determinada por un estudio de calibración
Determinada por un estudio
R&R
154
Posibles Fuentes de la Variación del Proceso
La “Repetibilidad” y “reproducibilidad” (R&R), son los errores más relevantes en la medición.
Variación del proceso, real Variación de la medición
Variación del proceso, observado (Zlp/Zlt y/ó DPMO)
Reproducibilidad
Repetibilidad
Variación dentro de la muestra
Estabilidad Linealidad Sesgo
Variación originada
por el calibrador
Calibración
155
Análisis de Sistemas de Medición Sensibilidad
El gage debe ser suficientemente sensible para detectar diferencias en las mediciones en al menos un décimo de la tolerancia especificada o de la dispersión del proceso
156
Sesgo es la diferencia entre el promedio observado de las mediciones y el valor verdadero (patrón).
si Exactitud > 10% : Ajustar el equipo de
medición Utilizar factores de
corrección
Definición del Sesgo o exactitud
Valor Verdadero
Sesgo
% Exactitud = | Exactitud |*Tolerancia 100
157
Definición de la Repetibilidad o precisión
REPETIBILIDAD
Repetibilidad: Es la variación de las mediciones obtenidas con un instrumento de medición, cuando es utilizado varias veces por un operador, al mismo tiempo que mide las mismas características en una misma parte
158
Definición de la Reproducibilidad
Reproducibilidad: Es la variación, entre promedios de las mediciones hechas por diferentes operadores que utilizan un mismo instrumento de medición cuando miden las mismas características en una misma parte en diferentes tiempos
Reproducibilidad
Operador-A
Operador-C
Operador-B
159
Errores en la medición
Preciso pero Exacto pero Exacto yNo exacto no preciso preciso
160
Estabilidad (o desviación) es la variación total de las mediciones obtenidas con un sistema de medición, hechas sobre el mismo patrón o sobre las mismas partes, cuando se mide una sola de sus características, durante un período de tiempo prolongado.
Estabilidad= x1-x2=Exactitud1 - Exactitud2
Definición de la Estabilidad
Tiempo 1
Tiempo 2
% Estabilidad =| Estabilidad |*Tolerancia
100
5% > Recomendación si Estabilidad > 10% • Modificar frecuencias de calibración
(Programa)• < 5% espaciar periodos de uso entre
calibración• >10% acortar periodos entre calibraciones
Patrón
161
Linealidad es la diferencia en los valores real y observado, mayor menos menor a través del rango de operación esperado del equipo.
Definición de la Linealidad
Rango de Operación del equipo
Valor verdadero
Valor verdadero
(rango inferior) (rango superior)
Sesgo Menor
Sesgo mayor
Graficar el sesgo versus los valores de exactitud de la parteen todo el rango de operación del instrumento. El porcentaje deLinealidad es igual a la pendiente, b, de la línea de regresión Multiplicada por la variación del proceso. L = b VpEl sesgo en cualquier punto se puede estimar de la pendiente yLa intersección con eleje Y (Yo) de la mejor línea de ajuste B = Yo + b X
% Linealidad = | Linealidad | *Tolerancia 100 Recomendación si Linealidad > 10% :
• Restringir su uso• Aplicar factores de corrección
162
Estabilidad del CalibradorCómo Calcularla…
• Para calibradores que normalmente se utilizan sin ajuste, durante periodos de tiempo relativamente largos.
» Realizar un segundo estudio R&R del Calibrador justo antes de que venza el tiempo de re calibración.
» La estabilidad del calibrador es la diferencia entre los promedios sobresalientes de las mediciones resultantes de los dos estudios.
Causas posibles de poca estabilidad…
• El calibrador no se ajusta tan frecuentemente como se requiere
• Si es un calibrador de aire, puede necesitar un filtro o un regulador
• Si es un calibrador electrónico, puede necesitar calentamiento previo.
163
Estudios de incertidumbre Para evaluar la desviación estándar poblacional del
sistema de medición de los pocos vitales, haremos un ajuste a la desviación estándar muestral con la t-student, por lo que se requiere :
No out-liers : De tener presentes, proceder a investigarlos y eliminarlos o sustituirlos.
Normalidad de los datos : de no haber normalidad se puede aplicar el teorema de límite central utilizando da desviación estándar de las medias grupos de tamaño m
164
Estudios de incertidumbreIncertidumbre = Desv.Std.Sist.medic.Incertidumbre
5.15 med
99.02%
Incertidumbre
Incertidumbre estandar :u = sistema de medicion = s*(t0.005,n-1) Öm /(2.575)
Incertidumbre expandida : U = 5.15*u= k*s*(t0.005,n-1)Öm
Donde : k= factor de cobertura (Generalmente k=2)
%U = U*100/Tolerancia
165
Estudios de R&RLos métodos para estudios de Repetibilidad y
Reproducibilidad pueden clasificarse por la naturaleza de las mediciones en :
Métodos para mediciones de datos continuos Para pruebas no destructivas
Método Corto ó Rangos (Mediciones cruzadas) Método Largo ó Medias y Rangos (Cálculos manuales) Método ANOVA (Exacto, pero recomendable software)
Para pruebas destructivas ANOVA modificado (Diseños anidados)
Métodos para mediciones de atributos o datos discretos. Indice Kappa (Pruebas binarias) Índice Kendall (Multiples caracteristicas)
166
Estudios de R&R Todos ellos generalmente consideran un nivel
de confianza del 99.02%, esto es :
GR&R = 5.15 sigma de la medición
167
Estudios R&R – Datos continuosEstudios de GR&Rdatos continuosEstudios sobre la varianza
Ho:El sistema de medición es aceptable para
la necesidad.GR&R Método
de Rangos (Corto)
%GR&Raceptable
Se cuenta con software
estadístico
Método Mediasy Rangos (Largo)
Método Análisis deVarianzas (ANOVA)
% GR&Raceptable
Reproducibilidadaceptable
Repetibilidadaceptable
Estudios de Incertidumbrey/o caracterización.
Estandarizar métodos,operaciones, equipos y/oprocedimientos utilizados.
Documentar estudioy definir siguiente
fecha de evaluación.
NO
SI
NO SI
NO
SI
NO
SI
NO
SINO
168
Precisión en relación a la variación total
Identificar qué porcentaje de la variación total debe absorberse como error de medición.
<10% Aceptable10-30%. Puede ser aceptable, dependiendo qué tan crítico es el grado de la medición.>30%. ¡Inaceptable!
%R&RVar Total
= R&R *100
Error R&R = RPT2 + REPR2
Para la fase de control del proyecto, sólo substituya la Tolerancia por Variación Total. TV= R&R + PVPV= variación de parte = Rp x K3
169
EL VALOR DEL R&R ES UN PORCENTAJE DE LA VARIACION TOTAL DEL PROCESO:
Mientras más mayor sea el % del R&R, mayor será el área de incertidumbre para conocer la dimensión verdadera de las partes.ERROR TIPO 1: Pueden estarse aceptando partes que están fuera de especificacionesERROR TIPO 2: Pueden estarse rechazando partes que están dentro de especificaciones
Lo que fue
medido
VARIACIÓN DE PARTE A PARTE
LSL USLOBJETIVO
La dimensión verdadera de las partes se encuentra en algún lugar de la la región sombreada…
170
Estudios de Repetibilidad y Reproducibilidad Carta de Tendencias
Método del Rango (corto)
Método de Medias Rangos
Método de ANOVA
171
Método de Medias RangosI. Método de Medias - Rango
Permite separar en el sistema de medición lo referente a la reproducibilidad y a la Repetibilidad.
Los cálculos son más fáciles de realizar.
172
Método de Medias RangosI. Método de Medias - Rango
Un modelo matemático de este método con r réplicas, con K evaluadores en n partes, el rango medio encontrado es:
n
i
k
j
ij
nkR
R1
1
173
Método de ANOVAII. Método ANOVA Permite separar en el sistema de medición lo
referente a la reproducibilidad y a la Repetibilidad.
También proporciona información acerca de las interacciones de un operador y otro en cuanto a la parte.
Calcula las varianzas en forma más precisa. Los cálculos numéricos requieren de una
computadora.El Método ANOVA es Más Preciso
174
Método de ANOVAII. Método ANOVA
El valor observado usando el método ANOVA es:
Valor observado = Promedio + sesgo + Efecto de la parte + Efecto del evaluador + Error de réplica o
Valor observado = Valor de referencia + Desviación ijmiijm xY e
175
Método de ANOVAII. Método ANOVA
Con Yijm como la m-ésima medición tomada por el evaluador J en la parte j-ésima. Si las Xi son independientes y normalmente distribuidas con media m y varianza 2, la varianza total está dada por:
Donde son las varianzas debidas al efecto de la parte, el efecto del evaluador, y el error de réplica
2222)( ijmYVAR
222 ,,
176
Método de ANOVAEjemplo de Corrida: 5 partes, 3 técnicos y 2
réplicas
La repetibilidad es la varianza del error contribuye con 50.85% del total de variación de los datos.
177
Método de ANOVAEjemplo de Corrida: La reproducibilidad es la variación entre
técnicos que contribuye con el 2.34% de la variación
La variación del proceso contribuye con un 46.81% de la variación total de los datos
Se usa la prueba F para determinar las diferencias significativas
178
Análisis de Sistemas de Medición
2. Carta de tendencia de gages
179
Carta de tendencias de gages
Una carta de tendencias es una gráfica de todas las observaciones por operador y partes. La línea horizontal de referencia es la media, calculada de los datos o proporcionada en base al historial.
Esta carta muestra las diferencias entre los diferentes operadores y las partes.
Un proceso estable mostrará una dispersión aleatoria horizontal; el efecto de un operador o parte mostrará un patrón definido no aleatorio.
180
Carta de tendencias de gages
Operator
Resp
onse
Mean
1.0
0.8
0.6
0.4
1.0
0.8
0.6
0.4
Mean
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
Operator
3
12
Gage name:Date of study:
Reported by:Tolerance:Misc:
Panel variable: Part
Gage Run Chart of Response by Part, Operator1 File > Open worksheet > GAGEAIAG.MTW.2 Stat > Quality Tools > Gage Study > Gage Run Chart.3 En Part numbers, seleccionar Part.4 En Operators, seleccionar Operator.5 En Measurement data, seleccionar Response. Click OK.
181
Carta de tendencias de gages
Interpretando los resultados Para cada parte, se puede comparar la variación entre
mediciones hechas los operadores y sus diferencias Se puede comparar la media de referencia con las
mediciones específicas.
La mayor parte de la variación se debe a diferencias entre las partes, algunos patrones menores aparecen también.
Por ejemplo el operador 2 en su segunda medición es consistentemente (7/10) más pequeña que la primera, y sus mediciones son consistentemente (8/10) más pequeñas que las del operador 1.
182
Análisis de Sistemas de Medición
3. Estudios R&R Método del rango
183
Método del rangoRequiere pocas muestras pero no proporciona
información detallada de las fuentes de variación, se usa cuando:
Diagnostico para identificar los sistemas de medición con mayor variabilidad.
Monitoreo/control periódico de sistemas de medición aceptables para asegurar que se mantiene su confiabilidad
Cuando solo participa una persona (Operador, auditor, inspector, analista) en el sistema de medición, entonces se busca otra fuente de información o auditoria a la medición para realizar una medición cruzada.
184
Método del rango Es un método que proporciona un valor
aproximado del error R&R sin que muestre las diferencias entre errores por el equipo y por los operadores.
Se usan dos evaluadores y cinco partes. Cada evaluador mide cada parte una sola vez.
Se calcula el rango de la medición de cada parte y al final el rango promedio.
La desviación estándar de R&R se aproxima con la formula de rango medio entre d2*
El % de R&R se calcula comparando la desv. Estándar de R&R con la del proceso
185
Método del rango
Partes Evaluador A Evaluador B Rango A,B1 0.85 0.80 0.052 0.75 0.70 0.053 1.00 0.95 0.054 0.45 0.55 0.105 0.50 0.60 0.10
Rango medio = 0.35/5 = 0.07
GRR = Rmedio / d2* = 0.07 / 1.19 = 0.0588Desv. Estándar del proceso = 0.0722%GRR = 100 (GRR / Desv. Est. Proceso ) = 81.4%
Por tanto el sistema de medición requiere mejora
Error máximo 10%
186
Método del rangoContra tolerancia: Determine la Tolerancia total de variación permitida
para la variable :
Para Especificaciones bi-laterales : Tolerancia = LSE - LIE
Para Especificaciones uni-laterales : Tolerancia = 2* |y – LIE| ó Tolerancia = 2* |LSE – y|Donde : LSE = Límite Superior de Especificación
LIE = Límite Inferior de Especificación y = Media histórica de la variable bajo estudio ó valor promedio objetivo
187
Método del rango Calcular los rangos de cada par de lecturas por
parte/muestra. Calcular el rango promedio de dichos rangos. Calcular el GR&R mediante: GR&R = (5.15) x (rango
promedio) Cálculo del %GR&R: %GR&R = GR&R*100/Tolerancia
Determinar si el sistema de medición es confiable para la necesidad:
%R&R <10% es aceptable
%R&R >30% es inaceptable
10%<%R&R<30% dependiendo la variación de proceso
188
Método del rangoPieza Inspector 1 Inspector 2 Rango
1
2
3
4
5
Rango promedio ( R ) =
GR&R = 5.15*R/d2* = 5.15 * ( )/( ) =
GR&R*100 ( )*100Tolerancia ( )
%GR&R = = =
Form
ato
5.1
189
Análisis de Sistemas de Medición
4. Estudios R&R (cruzado)Método de Medias Rangos
– Método largo
190
Determinación sólo de la repetibilidad
Se tienen veinte unidades de producto, el operador que toma las mediciones para el diagrama de control usa un instrumento para medir cada unidad dos veces. Los datos son mostrados en la tabla siguiente
191
Determinación sólo de la repetibilidad
Parte Medición 1 Medición 2 Media Rango1 21 20 20,5 12 24 23 23,5 13 20 21 20,5 14 27 27 27,0 05 19 18 18,5 16 23 21 22,0 27 22 21 21,5 18 19 17 18,0 29 24 23 23,5 110 25 23 24,0 211 21 20 20,5 112 18 19 18,5 113 23 25 24,0 214 24 24 24,0 015 29 30 29,5 116 26 26 26,0 017 20 20 20,0 018 19 21 20,0 219 25 26 25,5 120 19 19 19,0 0
Promedio 22,3 1
192
Determinación sólo de la repetibilidad
La desviación estándar del error de medición,, es calculada mediante la siguiente fórmula:
Para obtener una buena estimación de la capacidad del error de medición utilizamos: y vs Tolerancia
887.0128.11
2
dR
=
R= Rango promediod2 = Valor de tablas.
LSLUSLTP mediciòn
632.5)887.0(66 mediciòn
193
Determinación sólo de la repetibilidad
En este ejemplo USL = 60, LSL = 5
Los valores P/T de 0.1 o menores generalmente implican una capacidad de error de medición adecuada.
La varianza total observada es: Y la sigma del proceso es:
Por lo tanto la desviación estándar del proceso = 2.93
=
097.05532.5
TP
4249.9)07.3( 222 STotal
proceso2 medicióntotal 22 = =9.4249 - .79 = 8.63
194
Determinación sólo de la repetibilidad
El error de medición es expresado como un porcentaje de la variabilidad del proceso:
Al ser el error de medición mayor al 10%, concluimos que no tenemos un sistema de medición confiable, por lo cual tenemos que realizar las acciones correctivas correspondientes.
=
%73.2510007.3
79.
total
medicion
195
R&R - Método de medias rangos
Los estudios de repetibilidad y reproducibilidad determinan cuanto de la variación observada como variación de proceso es debida a variación del sistema de medición.
Se proporcionan dos métodos para evaluar la repetibilidad y la reproducibilidad: Método de cartas X-R y Método de ANOVA.
El Método X-R divide la variación total dentro de tres categorías: parte a parte, repetibilidad y reproducibilidad. El método ANOVA presenta un componente adicional, la interacción operador – parte.
196
Método de medias rangos
197
Generalmente intervienen de dos a tres operadores
Generalmente se toman 10 unidades Cada unidad es medida por cada operador, 2 ó 3
veces.
Estudio de R&R – Medias Rangos
198
Estudio R&R – Medias rangos La resolución del equipo de medición debe ser
de al menos el 10% del rango de tolerancia o del rango de variación del proceso.
Las partes deben seleccionarse al azar, cubriendo el RANGO TOTAL DEL PROCESO . Es importante que dichas partes sean representativas del proceso total (80% DE LA VARIACION)
10 partes NO son un tamaño de muestra significativo para una opinión sólida sobre el EQUIPO DE MEDICIÓN a menos que
199
Procedimiento para realizar un estudio de R&R
1. Ajuste el calibrador, o asegúrese de que éste haya sido calibrado.
2. Marque cada pieza con un número de identificación que no pueda ver la persona que realiza la medición.
3. Haga que el primer operador mida todas las muestras una sola vez, siguiendo un orden al azar.
200
Procedimiento para realizar un estudio de R&R
4. Haga que el segundo operador mida todas las muestras una sola vez, siguiendo un orden al azar.
5. Continúe hasta que todos los operadores hayan medido las muestras una sola vez (Este es el ensayo 1).
6. Repita los pasos 3-4 hasta completar el número requerido de ensayos
201
Procedimiento para realizar un estudio de R&R
7. Utilice el formato proporcionado para determinar las estadísticas del estudio R&R Repetibilidad Reproducibilidad %R&R Desviaciones estándar de cada uno de los
conceptos mencionados Análisis del % de tolerancia
8. Analice los resultados y determine los pasos a seguir, si los hay.
202
Planteamiento del problema: Las partes producidas en el área de producción, fallaron por errores dimensionales 3% del tiempo.
Ejemplo:
CTQ: Mantener una tolerancia ± 0.125 pulgadas
Sistema de Medición: Se miden las partes con calibradores de 2”.
Estudio R&R del La dimensión A es medida por dos Calibrador: operadores, dos veces en 10 piezas.
203
Repetibilidad y Reproducibilidad de calibrador
Método X-media y Rango:
Operador A Operador BSerie # 1er. Ensayo 2o. Ensayo Rango 1er. Ensayo 2o. Ensayo Rango Porción Xbar
1 9.376 9.358 9.354 9.3612 9.372 9.320 9.372 9.3723 9.378 9.375 9.278 9.2774 9.405 9.388 9.362 9.3705 9.345 9.342 9.338 9.3396 9.390 9.360 9.386 9.3707 9.350 9.340 9.349 9.3498 9.405 9.380 9.394 9.3819 9.371 9.375 9.384 9.38510 9.380 9.368 9.371 9.376
TotalesX-barA X-barB
R-barA R-barB
Porción R
204
Cálculo de las X-mediasOperador A Operador B
Serie # 1er. Ensayo 2o. Ensayo Rango 1er. Ensayo 2o. Ensayo Rango Porción Xbar1 9.376 9.358 9.354 9.361 9.3622 9.372 9.320 9.372 9.372 9.3593 9.378 9.375 9.278 9.277 9.3274 9.405 9.388 9.362 9.370 9.3815 9.345 9.342 9.338 9.339 9.3416 9.390 9.360 9.386 9.370 9.3777 9.350 9.340 9.349 9.349 9.3478 9.405 9.380 9.394 9.381 9.3909 9.371 9.375 9.384 9.385 9.37910 9.380 9.368 9.371 9.376 9.374
Totales 93.772 93.606 93.588 93.580X-barA 9.3689 X-barB 9.3584
R-barA R-barB
Porción R
Repetibilidad y Reproducibilidad de calibrador
205
Cálculo de los RangosOperador A Operador B
Serie # 1er. Ensayo 2o. Ensayo Rango 1er. Ensayo 2o. Ensayo Rango Porción Xbar1 9.376 9.358 0.018 9.354 9.361 0.007 9.3622 9.372 9.320 0.052 9.372 9.372 0.000 9.3593 9.378 9.375 0.003 9.278 9.277 0.001 9.3274 9.405 9.388 0.017 9.362 9.370 0.008 9.3815 9.345 9.342 0.003 9.338 9.339 0.001 9.3416 9.390 9.360 0.030 9.386 9.370 0.016 9.3777 9.350 9.340 0.010 9.349 9.349 0.000 9.3478 9.405 9.380 0.025 9.394 9.381 0.013 9.3909 9.371 9.375 0.004 9.384 9.385 0.001 9.37910 9.380 9.368 0.012 9.371 9.376 0.005 9.374
Totales 93.772 93.606 0.174 93.588 93.580 0.052X-barA 9.3689 X-barB 9.3584
R-barA 0.0174 R-barB 0.0052Porción R 0.0630
Repetibilidad y Reproducibilidad de calibrador
206
Ancho de tolerancia====>Número de intentos (m)=>Número de partes (n)==>Número de operadores
K1 ========> 4.56(=4.56 para 2 ensayos, 3.05 para 3 ensayos)
K2 =========> 3.65
X-media máx.=>X-media mín. =>Diferencia X-dif
R-media doble
K3 ======> 1.62
Identificación de Parámetros del Estudio y Cálculos
Totales 93.772 93.606 0.174 93.588 93.580 0.052X-barA 9.3689 X-barB 9.3584
R-barA 0.0174 R-barB 0.0052Porción R 0.0630
(=3.65 para 2 operadores; 2.7 para 3 operadores)
0.25
2
102
9.3689
9.35840.0105
0.0113
207
0.0515DV = R x K1 =
Repetibilidad: La variación del dispositivo de medición (VD) se calcula sobre cada grupo de mediciones tomadas por un operador, en una sola parte.
0.03655
Reproducibilidad: La variación en el promedio de las mediciones (AV) se calcula sobre el rango de los promedios de todas las mediciones, para cada operador, menos el error del calibrador (vale si la raíz es negativa)
AV = (Xdif * K2)2 - (DV2/(r*n)) =
Cálculo de R&R
208
R&R = DV2 + AV2 =
El componente de varianza para repetibilidad y reproducibilidad (R&R) se calcula combinando la varianza de cada componente.
PV = Rpart x K3 = 0.1021
El componente de varianza para las partes (PV), se calcula sobre el rango de los promedios de todas las mediciones, para cada parte.
TV = R&R2 + PV2 = 0.1142
La variación total (TV) se calcula combinando la varianza de repetibilidad y reproducibilidad y la variación de la parte.
0.05277
Cálculo de R&R
209
Basado en la tolerancia:
%DV = 100*DV/Ancho de tolerancia=
%AV = 100*AV/Ancho de tolerancia=
%R&R = 100*R&R/Ancho de tolerancia =
Basado en la variación Total de las Partes:
%DV = 100*DV/Variación total=
%AV = 100*AV/ Variación total =
%R&R = 100*R&R/ Variación total =
%PV = 100*PV /Variación total =
20.61
45.09
14.62
21.108
32.00
46.20
89.40
Cálculo de R&R
210
Ejercicios
Para un estudio de R&R 2 operadores midieron con el mismo equipo de medición 10 partes en 3 intentos cada uno,obteniendo:
Mediciones Mediciones Número de operador A de operador Bde parte 1 2 3 1 2 3 1 50 49 50 50 48 51 2 52 52 51 51 51 51 3 53 50 50 54 52 51 4 49 51 50 48 50 51 5 48 49 48 48 49 48 6 52 50 50 52 50 50 7 51 51 51 51 50 50 8 52 50 49 53 48 50 9 50 51 50 51 48 49 10 47 46 49 46 47 48
211
R&R por Medias Rangos
Calculo con Excel
(usar la hoja de trabajo R&R.xls)
212
Datos del operador 1
No. de Parte y
Nombre: 4600066 PARTE A
Tolerancia
Especificada: 0.0060
No. y Nombre de
GAGE: 8881-H Calibrador Digital
RECOLECCIÓN DE DATOS
OPERADOR A.-
columna 1 columna 2 columna 3 columna 4 Promedio
Muestra 1er Intento 2do Intento 3er Intento Rango X
1 0.0045 0.0045 0.0045 - 0.0045
2 0.0045 0.0055 0.0045 0.0010 0.0048
3 0.0045 0.0045 0.0045 - 0.0045
4 0.0050 0.0050 0.0045 0.0005 0.0048
5 0.0045 0.0045 0.0045 - 0.0045
6 0.0050 0.0055 0.0045 0.0010 0.0050
7 0.0050 0.0045 0.0045 0.0005 0.0047
8 0.0050 0.0050 0.0050 - 0.0050
9 0.0050 0.0045 0.0050 0.0005 0.0048
10 0.0040 0.0040 0.0040 - 0.0040
Totales 0.0470 0.0475 0.0455 0.0035 0.0467
Suma 0.1400 RA : 0.00035
XA : 0.004666667
RA : 0.00035 # Intentos D4
RB : 0.0004 3 2.58
RC : 0.0005
SUM: 0.00125 LSCR = R x D4
R: 0.000416667 LSCR = 0.001075
213
Datos del operador 2C.-
columna 9 columna 10 columna 11 columna 12 Promedio Prom. Parte
1er Intento 2do Intento 3er Intento Rango X Xp=
0.0050 0.0045 0.0045 0.0005 0.0047 0.004556
0.0055 0.0045 0.0045 0.0010 0.0048 0.004889
0.0045 0.0045 0.0040 0.0005 0.0043 0.004444
0.0050 0.0050 0.0050 - 0.0050 0.004944
0.0045 0.0045 0.0040 0.0005 0.0043 0.004333
0.0050 0.0050 0.0050 - 0.0050 0.005111
0.0045 0.0050 0.0050 0.0005 0.0048 0.004833
0.0060 0.0050 0.0050 0.0010 0.0053 0.005111
0.0055 0.0045 0.0045 0.0010 0.0048 0.004778
0.0045 0.0045 0.0045 - 0.0045 0.004167
0.0500 0.0470 0.0460 0.0050 0.0477 Xp= 0.004717
Suma 0.1430 RC : 0.0005 Rp= 0.000944
XC : 0.004766667
X Máx: 0.004766667 LSCX = X + A2 R A2 = 1.023
X min: 0.004666667 LSCX = 0.005142917
X Diff: 0.0001000000 LICX = X - A2 R
LICX = 0.0043
214
Carta de Rangos en control RANGOS LSCR = 0.001075 R = 0.00042 LICR = 0
LSCR
LICR
R
Los rangos deben estar en control indicando que Las mediciones se hicieron adecuadamente, de otra Forma se debe repetir la medición en la parte
215
Carta de Medias fuera de control
LSCX = 0.005143 X = 0.004717 LICX = 0.004290417
LICX
LSCX
X
Al menos el 50% de los puntos debe salir De control para validar la discriminación deLas partes
216
Resultados (AIAG)MÉTODO LARGO
Aseguramiento de Calidad
No. de Parte y
Nombre:
4600066 PARTE A Fecha:
01/07/2003
Tolerancia
Especificada: 0.0060 Elaborado por: 0
No. y Nombre de
GAGE: 8881-H Calibrador Digital Característica: Diametro
RESULTADOS DE LA HOJA DE DATOS AC-008
R= 0.00041667 X Diff = 0.0001000000 Rp = 0.000944444 Análisis Unitario de Medición % Total de Variación ( TV )
Repetibilidad - Variación del Equipo (EV) % EV = 100 [ EV/TV ]
EV= R x K1 = INTENTOS K1 % EV = 63.74%
EV= 0.00127083 2 4.56 3 3.05 % EV vs Tol. = 21.18%
Reproducibilidad - Variación del Operador (AV) % AV = 100 [AV/TV]
AV = [(XDiff x K2)2 - (EV2/nr)]1/2 % AV = 6.93%
AV = 0.00027 % AV vs Tol = 2.30%
AV = 7.29E-08 n=partes = 10
AV = 5.3834E-08 r = intentos = 3
AV = 1.9066E-08 OPERADOR 2 3
AV = 0.00013808 K2 3.65 2.7
Repetibilidad y Reproducibilidad ( R & R ) PARTES K3 % de R & R = 100 [ R & R /TV ] R & R
= [EV2 + AV2]1/2 5 2.08 % de R & R = 64.1164% R & R2
= 1.6341E-06 6 1.93 % de R & R vs Tol
= 21.31% R & R
= 0.00127831 7 1.82
Variación de la Parte ( PV ) 8 1.74 % PV = 100 [ PV/TV ]
PV = RP x K3 9 1.67 % PV = 76.7403%
PV = 0.00153 10 1.62
VARIACIÓN TOTAL ( TV ) TV = 3.97E-06 PV / R&R x d2= d2 = 1.693
TV = ( R & R2 + PV2 )1/2 TV = 0.001994 2.0 Categoria de Datos
217
Resultados AIAG Para los cálculos e utilizan 5.15 sigmas para
un 99% de nivel de confianza
El porcentaje de error R&R no debe exceder del 10%, si el equipo se usa para liberar producto terminado la referencia es la tolerancia del cliente;
Si el equipo se usa para control del proceso, la referencia es la variación total del proceso.
El número de categorías debe ser de al menos 4 indicando que el equipo distingue las partes que son diferentes.
218
R&R por Medias Rangos
Calculo con Minitab
(se puede usar la hoja de trabajo Gageaiag.mtw)
219
R&R – Medias Rangos Minitab :Datos originales
OPERADOR A.- B.- C.-
columna 1 columna 2 columna 3 columna 5 columna 6 columna 7 columna 9 columna
10 columna
11
Muestra 1er Intento 2do Intento 3er Intento 1er Intento
2do Intento 3er Intento 1er Intento
2do Intento 3er Intento
1 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0050 0.0045 0.0045
2 0.0045 0.0055 0.0045 0.0055 0.0050 0.0045 0.0055 0.0045 0.0045
3 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0040
4 0.0050 0.0050 0.0045 0.0050 0.0050 0.0050 0.0050 0.0050 0.0050
5 0.0045 0.0045 0.0045 0.0040 0.0045 0.0040 0.0045 0.0045 0.0040
6 0.0050 0.0055 0.0045 0.0060 0.0050 0.0050 0.0050 0.0050 0.0050
7 0.0050 0.0045 0.0045 0.0055 0.0045 0.0050 0.0045 0.0050 0.0050
8 0.0050 0.0050 0.0050 0.0050 0.0050 0.0050 0.0060 0.0050 0.0050
9 0.0050 0.0045 0.0050 0.0045 0.0045 0.0050 0.0055 0.0045 0.0045
10 0.0040 0.0040 0.0040 0.0040 0.0040 0.0040 0.0045 0.0045 0.0045
Totales 0.0470 0.0475 0.0455 0.0485 0.0465 0.0465 0.0500 0.0470 0.0460
220
R&R – Medias Rangos Minitab :Datos cargados (3 cols.)
Partes Operadores Medición Partes Operadores Medición Partes Operadores Medición 1 1 0.0045 1 2 0.0045 1 3 0.005 2 1 0.0045 2 2 0.0055 2 3 0.0055 3 1 0.0045 3 2 0.0045 3 3 0.0045 4 1 0.005 4 2 0.005 4 3 0.005 5 1 0.0045 5 2 0.004 5 3 0.0045 6 1 0.005 6 2 0.006 6 3 0.005 7 1 0.005 7 2 0.0055 7 3 0.0045 8 1 0.005 8 2 0.005 8 3 0.006 9 1 0.005 9 2 0.0045 9 3 0.0055 10 1 0.004 10 2 0.004 10 3 0.0045 1 1 0.0045 1 2 0.0045 1 3 0.0045 2 1 0.0055 2 2 0.005 2 3 0.0045 3 1 0.0045 3 2 0.0045 3 3 0.0045 4 1 0.005 4 2 0.005 4 3 0.005 5 1 0.0045 5 2 0.0045 5 3 0.0045 6 1 0.0055 6 2 0.005 6 3 0.005 7 1 0.0045 7 2 0.0045 7 3 0.005 8 1 0.005 8 2 0.005 8 3 0.005 9 1 0.0045 9 2 0.0045 9 3 0.0045 10 1 0.004 10 2 0.004 10 3 0.0045 1 1 0.0045 1 2 0.0045 1 3 0.0045 2 1 0.0045 2 2 0.0045 2 3 0.0045 3 1 0.0045 3 2 0.0045 3 3 0.004 4 1 0.0045 4 2 0.005 4 3 0.005 5 1 0.0045 5 2 0.004 5 3 0.004 6 1 0.0045 6 2 0.005 6 3 0.005 7 1 0.0045 7 2 0.005 7 3 0.005 8 1 0.005 8 2 0.005 8 3 0.005 9 1 0.005 9 2 0.005 9 3 0.0045 10 1 0.004 10 2 0.004 10 3 0.0045
221
R&R – Medias Rangos Minitab : Instrucciones
Seleccione en el menú de la barra de herramientas STAT>QUALITY TOOLS>GAGE STUDY > Gage R&R (Crossed)
Seleccione C1 (parte), C2 (operador), C3 (Medición)
Método de Análisis X Bar and R
En Options Seleccionar: Staudy variation 5.15 Process tolerante 0.006
222
R&R – Medias Rangos Minitab : Resultados
Gage R&R Study - XBar/R Method %Contribution Source VarComp (of VarComp) Total Gage R&R 0.0000001 41.00 Repeatability 0.0000001 40.52 Reproducibility 0.0000000 0.48 Part-To-Part 0.0000001 59.00 Total Variation 0.0000001 100.00 Study Var %Study Var %Tolerance Source StdDev (SD) (5.15 * SD) (%SV) (SV/Toler) Total Gage R&R 0.0002476 0.0012750 64.03 21.25 Repeatability 0.0002461 0.0012675 63.65 21.12 Reproducibility 0.0000269 0.0001384 6.95 2.31 Part-To-Part 0.0002970 0.0015295 76.81 25.49 Total Variation 0.0003867 0.0019913 100.00 33.19 Number of Distinct Categories = 1
% Error R&R debe ser menor Al 10% ya sea para control delProceso o para producto final.Repetibilidad – InstrumentoReproducibilidad - Operador
Número mínimo 4
223
R&R – Medias Rangos Minitab : Interpretación de
Resultados
Interpretación de los resultados:
El error de R&R vs tolerancia es 64.03% y vs variación total del proceso es 21.25% lo que hace que el equipo de medición no sea adecuado para la medición.
Por otro lado el número de categorías es sólo de 1 cuando debe ser al menos 4 indicando que el instrumento discrimina las diversas partes diferentes.
224
R&R – Medias Rangos Gráficas
Perc
ent
Part-to-PartReprodRepeatGage R&R
80
40
0
% Contribution% Study Var% Tolerance
Sam
ple R
ange 0.0010
0.0005
0.0000
_R=0.000417
UCL=0.001073
LCL=0
1 2 3
Sam
ple M
ean 0.0050
0.0045
0.0040
__X=0.004717
UCL=0.005143
LCL=0.004290
1 2 3
Partes10987654321
0.006
0.005
0.004
Operadores321
0.006
0.005
0.004
Partes
Aver
age
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
0.0050
0.0045
0.0040
Operadores123
Gage name:Date of study:
Reported by:Tolerance:Misc:
Components of Variation
R Chart by Operadores
Xbar Chart by Operadores
Datos by Partes
Datos by Operadores
Operadores * Partes Interaction
Gage R&R (Xbar/ R) for Datos
La gráfica R se mantiene en control indicando que las mediciones se realizaron en forma adecuada.La gráfica X barra sólo presenta 5 de 30 puntos fuera de control, debería ser al menos el 50%, indicando que el equipo no discrimina las diferentes partes.
225
R&R por ANOVA
Calculo con Minitab
(con los datos del ejemplo anterior)
226
R&R por ANOVAInstrucciones de Minitab
Seleccione en el menú de la barra de herramientas STAT>QUALITY TOOLS>GAGE STUDY > Gage R&R (Crossed)
Seleccione C1 (parte), C2 (operador), C3 (Medición)
Método de Análisis ANOVA
En Options Seleccionar: Study variation 5.15 Process tolerance 0.006 Alfa to remove interaction 0.25
227
R&R por ANOVAResultados de Minitab
Gage R&R Study - ANOVA Method Two-Way ANOVA Table With Interaction Source DF SS MS F P Partes 9 0.0000086 0.0000010 12.2885 0.000 Operadores 2 0.0000002 0.0000001 0.9605 0.401 Partes * Operadores 18 0.0000014 0.0000001 0.7398 0.757 Repeatability 60 0.0000063 0.0000001 Total 89 0.0000165 Los operadores y la interacción no fueron significativos, sólo las partes
Gage R&R %Contribution Source VarComp (of VarComp) Total Gage R&R 0.0000001 50.93 Repeatability 0.0000001 50.93 Reproducibility 0.0000000 0.00 Operadores 0.0000000 0.00 Part-To-Part 0.0000001 49.07 Total Variation 0.0000002 100.00 Study Var %Study Var %Tolerance Source StdDev (SD) (5.15 * SD) (%SV) (SV/Toler) Total Gage R&R 0.0003150 0.0016222 71.36 27.04 Repeatability 0.0003150 0.0016222 71.36 27.04 Reproducibility 0.0000000 0.0000000 0.00 0.00 Operadores 0.0000000 0.0000000 0.00 0.00 Part-To-Part 0.0003092 0.0015923 70.05 26.54 Total Variation 0.0004414 0.0022731 100.00 37.88 Number of Distinct Categories = 1
La interacción no es significativa, y los errores de R&R indican queequipo de medición no es adecuadoni el número de categorías.
228
R&R por ANOVAResultados de Minitab
Pe
rcen
t
Part-to-PartReprodRepeatGage R&R
80
40
0
% Contribution% Study Var% Tolerance
Sam
ple
Rang
e 0.0010
0.0005
0.0000
_R=0.000417
UCL=0.001073
LCL=0
1 2 3
Sam
ple
Mea
n 0.0050
0.0045
0.0040
__X=0.004717
UCL=0.005143
LCL=0.004290
1 2 3
Partes10987654321
0.006
0.005
0.004
Operadores321
0.006
0.005
0.004
Partes
Aver
age
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
0.0050
0.0045
0.0040
Operadores123
Gage name:Date of study:
Reported by:Tolerance:Misc:
Components of Variation
R Chart by Operadores
Xbar Chart by Operadores
Datos by Partes
Datos by Operadores
Operadores * Partes Interaction
Gage R&R (ANOVA) for Datos Las conclusiones son similares que con el método de X barra – R.No hay interacción parte - operador
229
Análisis de Sistemas de Medición
4. Estudios R&R (anidado)Método de Medias Rangos
– Método largo
230
R&R Anidado Los estudios de repetibilidad y reproducibilidad
determinan cuanto de la variación observada del proceso es debida a la variación del sistema de medición.
Usar la opción Gage R&R (Nested) cuando cada parte sea medida por un solo operador, tal como en pruebas destructivas.
El estudio de R&R (anidado) utiliza el método ANOVA para evaluar la repetibilidad y reproducibilidad, para analizar la reproduciblidad dentro de sus componentes operador y operador
231
R&R Anidado
232
R&R Anidado De ser necesario hacer pruebas destructivas, se debe
procurar que todas las partes dentro de un mismo lote sean lo suficientemente idénticas para considerarlas similares. Si no se puede hacer ésta consideración entonces la variación entre parte y parte dentro de un lote enmascarará la variación del sistema.
Para el caso de pruebas destructivas si cada lote es medido por cada operador entonces realizar el estudio R&R (Nested); si todos los operadores miden partes de cada uno de los lotes, entonces utilizar el estudio R&R (Crossed).
En resumen siempre que cada operador mida partes diferentes se tiene un estudio R&R anidado.
233
R&R Anidado - datosEjemplo: Archivo gagenest.mtw de Minitab En este ejemplo, 3 operadores mide cada uno 5 partes
diferentes dos veces, para un total de 30 mediciones. Cada una de las partes es única al operador; no se presenta el caso de que dos operadores midan la misma parte. PartNum Operator Measure PartNum Operator Measure 1 Daryl 1.48 1 Daryl 1.48 1 Daryl 1.43 1 Daryl 1.43 2 Daryl 1.83 2 Daryl 1.83 2 Daryl 1.83 2 Daryl 1.83 3 Daryl 1.53 3 Daryl 1.53 3 Daryl 1.52 3 Daryl 1.52 4 Beth 1.38 1 Beth 1.38 4 Beth 1.78 1 Beth 1.78 5 Beth 1.33 2 Beth 1.33 ... ... ... ... ... ...
234
R&R Anidado – Instrucciones de Minitab
1 File > Open worksheet > GAGENEST.MTW.
2 Seleccionar Stat > Quality Tools > Gage Study > Gage R&R Study (Nested).
3 En Part or batch numbers, poner Part.
4 En Operators, seleccionar Operator.
5 En Measurement data, seleccionar Response.
6 Dar OK.
235
R&R Anidado – Resultados de Minitab
Gage R&R (Nested) for Response Source DF SS MS F P Operator 2 0.0142 0.00708 0.00385 0.996 Part (Operator) 12 22.0552 1.83794 1.42549 0.255 Repeatability 15 19.3400 1.28933 Total 29 41.4094 Gage R&R %Contribution Source VarComp (of VarComp) Total Gage R&R 1.28933 82.46 Repeatability 1.28933 82.46 Reproducibility 0.00000 0.00 Part-To-Part 0.27430 17.54 Total Variation 1.56364 100.00 Study Var %Study Var %Tolerance Source StdDev (SD) (5.15 * SD) (%SV) (SV/Toler) Total Gage R&R 1.13549 5.84777 90.81 116.96 Repeatability 1.13549 5.84777 90.81 116.96 Reproducibility 0.00000 0.00000 0.00 0.00 Part-To-Part 0.52374 2.69725 41.88 53.95 Total Variation 1.25045 6.43984 100.00 128.80 Number of Distinct Categories = 1 El método no es adecuado ni para control del proceso o liberación debe logra
La contribución de diferencia entre partes del 17.54% es << que la variación del sistema de medición (total Gage R&R ) de 82.46%.Indica un alto error del sistema de medición.Con categorías de 1 el sistema de medición no distingue las partes.
236
R&R Anidado – Resultados gráficos de Minitab
Perc
ent
Part-to-PartReprodRepeatGage R&R
100
50
0
% Contribution% Study Var% Tolerance
Sam
ple
Rang
e 4
2
0
_R=1.313
UCL=4.290
LCL=0
Billie Nathan Steve
Sam
ple
Mea
n
18
16
14
__X=15.147
UCL=17.617
LCL=12.678
Billie Nathan Steve
OperatorPart
SteveNathanBillie543211514131211109876
18
16
14
OperatorSteveNathanBillie
18
16
14
Gage name:Date of study:
Reported by:Tolerance:Misc:
Components of Variation
R Chart by Operator
Xbar Chart by Operator
Response By Part ( Operator )
Response by Operator
Gage R&R (Nested) for Response
Sistema de medición inadecuado
237
Análisis de Sistemas de Medición
6. Estudios de Linealidad y sesgo
238
Estudios de linealidad y sesgo
La Linealidad del Gage indica que tan exacto son las mediciones a través del rango esperado de las mediciones. Contesta a la pregunta ¿Mi gage tiene la misma exactitud para todos los tamaños de objetos a medir?.
El bias o exactitud del gage examina la diferencia entre la media de los datos observados y un valor de referencia o patrón. Contesta a la pregunta, ¿Qué tan exacto es mi gage comparado con un patrón?.
239
Estudios de linealidad y sesgoDatos y ejemplo
Los datos se estructuran de manera que cada fila contiene una parte, el valor de referencia, y la medición observada en esa parte (la respuesta). Las partes pueden ser textos o números
Ejemplo: Un supervisor selecciona 5 partes que representan el
rango esperado de las mediciones. Cada parte fue medida por inspección de Layout para determinar su valor de referencia (patrón). Un operador mide aleatoriamente cada parte 12 veces.
Se obtiene la variación del proceso (14.1941) del estudio Gage R&R usando el método ANOVA (renglón Total variation de la columna Study Var (6*SD)).
240
Estudios de linealidad y sesgoDatos y ejemplo
Part Master Response Part Master Response 1 2 2.7 3 6 6 1 2 2.5 3 6 6.1 1 2 2.4 3 6 6.4 1 2 2.5 3 6 6.3 1 2 2.7 3 6 6 1 2 2.3 3 6 6.1 1 2 2.5 4 8 7.6 1 2 2.5 4 8 7.7 1 2 2.4 4 8 7.8 1 2 2.4 4 8 7.7 1 2 2.6 4 8 7.8 1 2 2.4 4 8 7.8 2 4 5.1 4 8 7.8 2 4 3.9 4 8 7.7 2 4 4.2 4 8 7.8 2 4 5 4 8 7.5 2 4 3.8 4 8 7.6 2 4 3.9 4 8 7.7 2 4 3.9 5 10 9.1 2 4 3.9 5 10 9.3 2 4 3.9 5 10 9.5 2 4 4 5 10 9.3 2 4 4.1 5 10 9.4 2 4 3.8 5 10 9.5 3 6 5.8 5 10 9.5 3 6 5.7 5 10 9.5 3 6 5.9 5 10 9.6 3 6 5.9 5 10 9.2 3 6 6 5 10 9.3 3 6 6.1 5 10 9.4
241
Estudios de linealidad y sesgoInstrucciones de Minitab
1 File > Open worksheet > GAGELIN.MTW.
2 Seleccionar Stat > Quality Tools > Gage Study > Gage Linearity and Bias Study.
3 En Part numbers, seleccionar Part.4 En Reference values, seleccionar Master.
5 En Measurement data, seleccionar Response.
6 En Process Variation, teclear 14.1941. Click OK.
242
Estudios de linealidad y sesgoInstrucciones de Minitab
Reference Value
Bias
108642
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0
Regression95% CI
DataAvg Bias
Perc
ent
BiasLinearity
10
5
0
Gage Linearity
Slope -0.13167 0.01093 0.000
Predictor Coef SE Coef PConstant 0.73667 0.07252 0.000
S 0.23954 R-Sq 71.4%Linearity 1.86889 % Linearity 13.2
Gage Bias
2 0.491667 3.5 0.0004 0.125000 0.9 0.2936 0.025000
Reference
0.2 0.6888 -0.291667 2.1 0.000
10 -0.616667 4.3 0.000
Bias %Bias PAverage -0.053333 0.4 0.040
Gage name:Date of study:
Reported by:Tolerance:Misc:
Percent of Process Variation
Gage Linearity and Bias Study for Response
243
Estudios de linealidad y sesgoInterpretando los resultados
El porcentaje de linealidad (valor absoluto de la pendiente * 100) es 13.2, que significa que la Linealidad del gage es del 13% de la variación total.
El porcentaje de sesgo para el promedio de referencia es 0.4, lo que significa que el sesgo del gage es menor que 0.4% de la variación total observada.
244
Análisis de Sistemas de Medición
7. Estudios R&R por atributos-Método analítico
245
R&R por Atributos- Método analítico
Se deben tomar al menos 8 partes para realizar un estudio del gage por atributos.
La parte más pequeña debe tener cero aceptaciones, y la parte más grande debe tener el número máximo de posibles aceptaciones. Para la AIAG, exactamente 6 partes deben tener un número mayor que cero aceptaciones y menos que 20 (máximo número de aceptaciones permitidas).
Por el método de regresión, se pueden tener más de seis partes entre los extremos de valores de referencia.
246
R&R por Atributos- Método analítico: Datos
Partes Referencia Aceptaciones
1 1.35 02 1.4 33 1.45 84 1.5 135 1.55 156 1.6 187 1.65 198 1.7 20
Summarized Data
Estructura de datos resumidos de tal forma que cada fila contiene el número o nombre de la parte, el valor de referencia y la cuenta resumida.
Partes Referencia Respuesta1 1.35 Rechazo1 1.35 Rechazo1 1.35 Rechazo1 1.35 Rechazo... ... ...8 1.7 Aceptación8 1.7 Aceptación8 1.7 Aceptación8 1.7 Aceptación
Raw Data
Estructura de datos individaules de manera que cada fila contiene el número o nombre de la parte, valor de referencia y respuesta binaria (aceptación o rechazo).
247
R&R por Atributos- Método analítico: Datos
Ejemplo: Un fabricante de automóviles quiere medir
el sesgo y repetibilidad de un sistema automatizado de medición.
El sistema tiene una tolerancia inferior de -0.020 y una tolerancia superior de 0.020.
El fabricante corre 10 partes, a través del gage 20 veces, las partes tienen valores de referencia en intervalos de 0.005 desde - 0.05 hasta 0.005.
248
R&R por Atributos- Método analítico: Datos
Ejemplo: Cada parte se prueba 20 veces con el Gage (Dimensión 0.020 a 0.020)Partes Referencia Aceptaciones
1 -0.05 02 -0.045 13 -0.04 24 -0.035 55 -0.03 86 -0.025 127 -0.02 178 -0.015 209 -0.01 2010 -0.005 20
249
R&R por Atributos- Método analítico: Instr. Minitab
1. File > Open worksheet > AUTOGAGE.MTW.
2. Seleccionar Stat > Quality Tools > Gage Study > Attribute Gage Study (Analytic Method).
3. En Part numbers, seleccionar Part number.4. En Reference values, seleccionar Reference.5. Seleccionar Summarized counts y teclear
Acceptances. En Number of trials, teclear 20.
6. Seleccionar Lower limit y teclear -0.020. OK.
250
R&R por Atributos- Método analítico: Resultados
Reference Value of Measured Part
Perc
ent o
f Acc
epta
nce
-0.01-0.02-0.03-0.04-0.05
99
95
80
50
20
5
1
Reference Value of Measured Part
Prob
abilit
y of
Acc
epta
nce
0.000-0.025-0.050
1.0
0.5
0.0
L Limit
Bias: 0.0097955Pre-adjusted Repeatability: 0.0494705Repeatability: 0.0458060
Fitted Line: 3.10279 + 104.136 * ReferenceR - sq for Fitted Line: 0.969376
AIAG Test of Bias = 0 vs not = 0T DF P-Value
6.70123 19 0.0000021
Gage name:Date of study:
Reported by:Tolerance:Misc:
Attribute Gage Study (Analytic Method) for Acceptances
251
R&R por Atributos- Método analítico: Resultados
Interpretación
El Sesgo en el sistema de gage por atributos es de 0.0097955
La repetibilidad ajustada es de 0.0458060.
La prueba de sesgo indica que es significativamente diferente de cero (t = 6.70123, df = 19, p = 0.00), sugiriendo que el sesgo está presente en el sistema de medición por atributos.
252
Análisis de Sistemas de Medición
8. Estudios R&R por atributos-Método de acuerdo por
atributos
253
Método GR&R por atributosEstudios sobre la varianza Estudios de GR&R
datos discretos
¿ Cuántos atributosSe evalúan ?
UnoVarios
Técnica Kappa(Clasificación
Nominal)
Técnica Kendall(ClasificaciónMulti-nominal)
Documentar estudioy definir siguiente
fecha de evaluación.
ÍndiceKappa > 0.7
SI
Estandarizar criterios de evaluación, ayudas(visuales, estandares, etc.), tips, Capacitación,
Práctica, entrenamiento, etc.
NO
254
Estudios R&R por atributosMétodo de acuerdo por atributos Usar el análisis de acuerdo por atributos para
evaluar las calificaciones nominales u ordinales proporcionadas por varios evaluadores.
Las mediciones son calificaciones subjetivas de la gente en vez de mediciones físicas. Algunos ejemplos incluyen: Calificaciones de desempeño de los automóviles Clasificación de calidad de las fibras como
“buena” o “mala”. Calificaciones de color, aroma y gusto del vino
en una escala de 1 a 10.
255
Estudios R&R por atributosMétodo de acuerdo por atributos En estos casos la característica de calidad es difícil
de definir y evaluar.
Para obtener clasificaciones significativas, más de un evaluador debe calificar la medición de respuesta.
Si los evaluadores están de acuerdo, existe la posibilidad de que las apreciaciones sean exactas.
Si hay discrepancias, la utilidad de la evaluación es limitada.
256
Estudios R&R por atributosAcuerdo por atributos - Datos
Los datos pueden ser texto o numéricos. Las calificaciones asignadas pueden ser Nominales u ordinales.
Los datos nominales son variables categóricas que tienen dos o más niveles sin orden natural. Por ejemplo, los niveles en un estudio de gustación de comida que puede incluir dulce, salado o picoso.
Los datos ordinales son variables categóricas que tienen tres o más niveles con ordenamiento natural, tales como: en desacuerdo total, en desacuerdo, neutral, de acuerdo, y completamente de acuerdo.
257
Estudios R&R por atributosAcuerdo por atributos - Datos
Los datos pueden estar apilados o en diferentes columnas
Sample Appraiser Response1 A Good1 A Good1 B Bad1 B Good2 A Good2 A Good2 B Good2 B Good3 A Bad3 A Good3 B Bad3 B Bad4 A Good4 A Good4 B Good4 B Good5 A Bad5 A Bad5 B Good5 B Bad
Attribute column data
Sample Appraiser A Trial 1
Appraiser A Trial 2
Appraiser B Trial 1
Appraiser B Trial 2
1 Good Good Bad Good2 Good Good Good Good3 Bad Good Bad Bad4 Good Good Good Good5 Bad Bad Good Bad
Multiple columns data
258
Estudios R&R por atributosMétodo Kappa
Una técnica utilizada para evaluar la confiabilidad de mediciones de datos discretos es el índice Kappa, el cual está dado por la siguiente formula :
Suponga que se evalúan 12 muestras por 2 inspectores obteniendo los siguientes resultados :
K=Pobservada
- P chance1 - P chance
259
Estudios R&R por atributosMétodo Kappa
Parte Inspector A Inspector BBuena
BuenaBuenaBuenaBuenaMala
BuenaBuenaBuenaMala BuenaMala
BuenaBuenaBuenaMala BuenaMala BuenaBuenaBuenaMala BuenaMala
123456789
101112
0.667 0.000 0.6670.080 0.250 0.333 0.750 0.250
Tabla de ContingenciaInspector A
Inspector B
Buena MalaBuena
Mala
-0.917K =
0.5835=1- 0.5835 0.8
Pobservada = S xii = xbb + xmm = 0.667 + 0.25 = 0.917
Pchance = SS Pcci*Pccj
= PbbA*PbbB
+ PmmA*PmmB
Pchance = (0.75)(0.667) + (0.25)(0.33) = 0.5835
260
Método KappaDetermine si el sistema de medición es
confiable:
El valor máximo posible de Kappa es 1.0, cuanto más cercano esté a este valor el sistema de medición es confiable. En términos generales se puede decir que si K es menor a 0.7, el sistema de medición no es aceptable.
261
Método KendallCuando se tienen varios inspectores y la
clasificación de la muestra puede ser multi-nominal, se puede utilizar el índice de Kendall
Para explicarlo consideraremos el siguiente ejemplo, en el cual participan 5 inspectores y analizan 10 muestras las cuales clasifican en 5 categorías distintas.
262
Método KendallCostura ancha
Costura angosta
Costura incompleta
Costura dispareja
Costura perfecta S5
x 2 ij
i=1
Muestra
123456789
10
0230040003
00002040028
11003010006
00200005007
4205010050
12 17
179
1325131717252513
1740.240.76
0.160. 84
0.120.88
0. 140. 86
0. 340. 66
pq
Fp =50
F
263
Método Kendall El indice Kappa para cada categoría está dado por:
Donde : Kcategoria j = Índice Kappa de la Categoría j n = Número de unidades m = Número de inspectores k = Número de categorías pi = evaluación dentro de la categoría i/(n x m) qi = 1 - pi
KCategoría j= 1-S
n
i=1
x 2 ij x ij(m- )
nm(m-1) p qj j
264
Método KendallEl numerador del índice Kappa para la categoría
“Costura ancha” sería entonces :
El denominador del índice Kappa para la categoría “Costura ancha” sería entonces :
10 x 5 x (5-1) x 0.24 x 0.76 = 36.48
Por lo tanto, el índice Kappa para la categoría “Costura ancha” sería :
[0 x (5-0)] + [2 x (5-2)] + [3 x (5-3)] + [0 x (5-0)] + [0 x (5-0)] + [4 x (5-4)] + [0 x (5-0)] + [0 x (5-0)] + [0 x (5-0)] + [3 x (5-3)] =22
KCostura ancha
= 1- 2236.48
= 0.4
265
Método KendallEl índice Kendall de todo el estudio está dado por la
siguiente fórmula::
Donde : Ktotal = Índice Kendall n = Número de unidades m = Número de inspectores k = Número de categorías pi = evaluación dentro de la categoría i/(n x m) qi = 1 - pi
K total= 1 -
nm2 - S Sn k
x 2 ij
i=1 j=1
nm(m-1)Sk
j=1
p qj j
266
Método KendallEl índice Kendall para el ejemplo dado es:
El valor máximo posible de Kendall es 1.0, cuanto más cercano esté a este valor el sistema de medición es confiable. En términos generales se puede decir que si K es menor a 0.7, el sistema de medición no es aceptable.
K total= 1-
10 x (5)2 -174
10 x 5 x 4[( (0.24 X 0.76) + (0.16 X 0.84) + (0.12 X 0.88) + (0.14 X 0.86) + (0.34 X 0.66)
)]=1- (76/153.44) = 0.5
267
Estudios R&R por atributosAcuerdo por atributos - Datos
Ejemplo: Una empresa está entrenando a cinco evaluadores para
la porción escrita de un examen estándar de doceavo grado.
Se requiere determinar la habilidad de los evaluadores para calificar el examen de forma que sea consistente con los estándares.
Cada uno de los evaluadores califica 15 exámenes en una escala de cinco puntos (-2, -1, 0, 1, 2):
268
Estudios R&R por atributosAcuerdo por atributos - Datos
Appraiser Sample Rating Attribute Holmes 8 0 0Simpson 1 2 2 Duncan 8 0 0
Montgomery 1 2 2 Hayes 8 0 0Holmes 1 2 2 Simpson 9 -1 -1Duncan 1 1 2 Montgomery 9 -1 -1Hayes 1 2 2 Holmes 9 -1 -1
Simpson 2 -1 -1 Duncan 9 -2 -1Montgomery 2 -1 -1 Hayes 9 -1 -1
Holmes 2 -1 -1 Simpson 10 1 1Duncan 2 -2 -1 Montgomery 10 1 1Hayes 2 -1 -1 Holmes 10 1 1
Simpson 3 1 0 Duncan 10 0 1Montgomery 3 0 0 Hayes 10 2 1
Holmes 3 0 0 Simpson 11 -2 -2Duncan 3 0 0 Montgomery 11 -2 -2Hayes 3 0 0 Holmes 11 -2 -2
Simpson 4 -2 -2 Duncan 11 -2 -2Montgomery 4 -2 -2 Hayes 11 -1 -2
Holmes 4 -2 -2 Simpson 12 0 0Duncan 4 -2 -2 Montgomery 12 0 0Hayes 4 -2 -2 Holmes 12 0 0
Simpson 5 0 0 Duncan 12 -1 0Montgomery 5 0 0 Hayes 12 0 0
Holmes 5 0 0 Simpson 13 2 2Duncan 5 -1 0 Montgomery 13 2 2Hayes 5 0 0 Holmes 13 2 2
Simpson 6 1 1 Duncan 13 2 2Montgomery 6 1 1 Hayes 13 2 2
Holmes 6 1 1 Simpson 14 -1 -1Duncan 6 1 1 Montgomery 14 -1 -1Hayes 6 1 1 Holmes 14 -1 -1
Simpson 7 2 2 Duncan 14 -1 -1Montgomery 7 2 2 Hayes 14 -1 -1
Holmes 7 2 2 Simpson 15 1 1Duncan 7 1 2 Montgomery 15 1 1Hayes 7 2 2 Holmes 15 1 1
Simpson 8 0 0 Duncan 15 1 1Montgomery 8 0 0 Hayes 15 1 1
269
Estudios R&R por atributosAcuerdo por atributos – Instr.
Minitab1 Abrir el archive ESSAY.MTW.2 Seleccionar Stat > Quality Tools > Attribute
Agreement Analysis.3 En Attribute column, poner Rating.
4 En Samples, poner Sample.5 En Appraisers, poner Appraiser.6 En Known standard/attribute, poner Attribute.7 Checar Categories of the attribute data are
ordered y poner OK 8 In Addition seleccionar coeficientes Kappa y
Kendall
270
Resultados
Each Appraiser vs Standard Assessment Agreement Appraiser # Inspected # Matched Percent 95 % CI Duncan 15 8 53.33 (26.59, 78.73) Hayes 15 13 86.67 (59.54, 98.34) Holmes 15 15 100.00 (81.90, 100.00) Montgomery 15 15 100.00 (81.90, 100.00) Simpson 15 14 93.33 (68.05, 99.83) # Matched: Appraiser's assessment across trials agrees with the known standard.
271
Resultados
All Appraisers vs Standard Assessment Agreement # Inspected # Matched Percent 95 % CI 15 6 40.00 (16.34, 67.71) # Matched: All appraisers' assessments agree with the known standard.
Between Appraisers Assessment Agreement # Inspected # Matched Percent 95 % CI 15 6 40.00 (16.34, 67.71) # Matched: All appraisers' assessments agree with each other.
272
Resultados
Appraiser
Perc
ent
SimpsonMontgomeryHolmesHayesDuncan
100
80
60
40
20
0
95.0% CIPercent
Date of study: Reported by:Name of product:Misc:
Assessment Agreement
Appraiser vs Standard
273
Resultados
Índice Kappa de Cohen Un estadístico popular para medir el nivel de acuerdo
entre dos personas calificadoras con un intento o dentro de un calificador con dos intentos.
El índice Kappa de Cohen Kappa es calculado de manera diferente que el índice de Kappa de Fleiss.
Los rangos de Kappa van de -1 a +1. Entre mayor sea el valor de Kappa, es más fuerte el acuerdo. Si Kappa = 1, existe un acuerdo perfecto. Si Kappa = 0, el acuerdo es similar a lo que pudiera ser esperado por el azar.
274
Resultados
Minitab muestra tres tablas de acuerdo: Cada evaluador vs el estándar, Entre evaluadores y Todos los evaluadores vs estándar.
Los estadísticos de Kappa y Kendall también se incluyen en cada una de las tablas. En general estos estadísticos sugieren buen acuerdo.
El coeficiente de Kendall entre evaluadores es 0.966317 (p = 0.0); para todos los evaluadores vs estándar es 0.958192 (p = 0.0). Sin embargo la observación del desempeño de Duncan y Haues indica que no se apegan al estándar.
275
Resultados
La gráfica de Evaluadores vs. Estándar proporciona una vista gráfica de cada uno de los evaluadores vs el estándar, pudiendo comparar fácilmente la determinación de acuerdos para los cinco evaluadores.
Se puede concluir que Duncan, Hayes y Simpson requieren entrenamiento adicional.
276
Sistema de Medición de AtributosEjemplo comparación pasa no
pasa
Un sistema de medición de atributos compara cada parte con un estándar y acepta la parte si el estándar se cumple.
La efectividad de la discriminación es la habilidad del sistema de medición de atributos para discriminar a los buenos de los malos.
277
Sistema de Medición de Atributos
Ejemplo comparación pasa no pasa
1. Selecciona un mínimo de 20 unidades del proceso. Estas unidades deben representar el espectro completo de la variación del proceso (buenas, erroneas y en límites).
2. Un inspector “experto” realiza una evaluación de cada parte, clasificándola como “Buena” o “No Buena”.
3. Cada persona evaluará las unidades, independientemente y en orden aleatorio, y las definirá como “Buenas” o “No Buenas”.
4. Ingresa los datos en el archivo Attribute Gage R&R.xls para cuantificar la efectividad del sistema de medición.
278
GR&R de Atributos - EjemploREPORTELegenda de Atributos
FECHA:1G = Bueno NOMBRE:2NG = No Bueno PRODUCTO:SBU:
COND. DE PRUEBA:Población Conocida Persona #1 Persona #2
Muestra # Atributo #1 #2 #1 #2
% DE EFECTIVIDAD DE DISCRIMINACION (3) -> 85.00%(4) -> 85.00%
1 G G G G G Y Y2 G G G G G Y Y3 G G G G G Y Y4 G G G G G Y Y5 G G G G G Y Y6 G NG G G G N N7 G G G G G Y Y8 G G G G G Y Y9 NG G G NG NG N N
10 NG NG NG G G N N11 G G G G G Y Y12 G G G G G Y Y13 NG NG NG NG NG Y Y14 G G G G G Y Y15 G G G G G Y Y16 G G G G G Y Y17 NG NG NG NG NG Y Y18 G G G G G Y Y19 G G G G G Y Y20 G G G G G Y Y
% DEL EVALUADOR (1) -> 95.00% 100.00%% VS. EL ATRIBUTO (2) -> 90.00% 95.00%
Esta es la medida
general de consistencia
entre los operadores
y el “experto”. ¡90% es lo mínimo!
Acuerdo
Y=Sí N=NoAcuerdo
Y=Sí N=No
% DE EFECTIVIDAD DE DISCRIMINACION VS. EL ATRIBUTO
279
Sistema de Medición de Atributos
Pasa no pasa – Datos en MinitabMuestra Atributo Persona 1A Persona 1B Persona 2A Persona 2B
1 G G G G G2 G G G G G3 G G G G G4 G G G G G5 G G G G G6 G NG G G G7 G G G G G8 G G G G G9 NG G G NG NG10 NG NG NG G G11 G G G G G12 G G G G G13 NG NG NG NG NG14 G G G G G15 G G G G G16 G G G G G17 NG NG NG NG NG18 G G G G G19 G G G G G20 G G G G G
280
Sistema de Medición de AtributosPasa no pasa –Instrucciones en
Minitab1 Usar los datos anteriores.2 Seleccionar Stat > Quality Tools > Attribute
Agreement Analysis.
3 En Multiple columns, con Persona 1ª - Persona – 2B.
4 En Number of appraisers, 2.5 En Number of trials, 2.
6 En Known standard/attribute, poner Atributo7 no Checar Categories of the attribute data
are ordered y poner OK
281
Sistema de Medición de AtributosPasa no pasa – Resultados de
MinitabAttribute Agreement Analysis Persona 1A, Persona 1B, Persona 2A, Persona 2B Within Appraisers Appraiser # Inspected # Matched Percent 95 % CI 1 20 19 95.00 (75.13, 99.87) 2 20 20 100.00 (86.09, 100.00) # Matched: Appraiser agrees with him/herself across trials. Fleiss' Kappa Statistics Appraiser Response Kappa SE Kappa Z P(vs > 0) 1 G 0.82684 0.223607 3.69774 0.0001 NG 0.82684 0.223607 3.69774 0.0001 2 G 1.00000 0.223607 4.47214 0.0000 NG 1.00000 0.223607 4.47214 0.0000 Each Appraiser vs Standard Appraiser # Inspected # Matched Percent 95 % CI 1 20 18 90.00 (68.30, 98.77) 2 20 19 95.00 (75.13, 99.87) Between Appraisers # Inspected # Matched Percent 95 % CI 20 17 85.00 (62.11, 96.79) Fleiss' Kappa Statistics Response Kappa SE Kappa Z P(vs > 0) G 0.663222 0.0912871 7.26524 0.0000 NG 0.663222 0.0912871 7.26524 0.0000 All Appraisers vs Standard # Inspected # Matched Percent 95 % CI 20 17 85.00 (62.11, 96.79) # Matched: All appraisers' assessments agree with the known standard. Fleiss' Kappa Statistics Response Kappa SE Kappa Z P(vs > 0) G 0.792005 0.111803 7.08391 0.0000 NG 0.792005 0.111803 7.08391 0.0000
282
Sistema de Medición de AtributosPasa no pasa – Resultados de
Minitab
Appraiser
Perc
ent
21
100
95
90
85
80
75
70
95.0% CIPercent
Appraiser
Perc
ent
21
100
95
90
85
80
75
70
95.0% CIPercent
Date of study: Reported by:Name of product:Misc:
Assessment Agreement
Within Appraisers Appraiser vs Standard
283
Interpretación de Resultados1. % del Evaluador es la consistencia de una
persona.2. % Evaluador vs Atributo es la medida de el
acuerdo que hay entre la evaluación del operador y la del “experto”.
3. % de Efectividad de Selección es la medida de el acuerdo que existe entre los operadores.
4. % de Efectividad de Selección vs. el Atributo es una medida general de la consistencia entre los operadores y el acuerdo con el “experto”.
284
Estudio de Repetibilidad y Reproducibilidad de Atributos -
Guías de AceptabilidadAunque el 100% es el resultado que deseamos obtener, en un estudio de repetibilidad y reproducibilidad de atributos, la siguiente guía se usa frecuentemente:
Porcentaje GuíaDe 90% a 100%De 80% a 90%Menos de 80%
AceptableMarginalInaceptable
285
Método sencillo Tomar 50 piezas, 40 de las cuales dentro de
especificaciones y 10 fuera de especificaciones
Probarlas con dispositivos “pasa” y “no pasa” por medio de 3 operadores
Si no coinciden todos los operadores en al menos el 90%, los dispositivos o gages “pasa, no pasa” no son confiables
286
V.C.3 Sistemas de medición en la empresa
287
Medición de desempeño en la empresa
Contadores automáticos Reportes generados por computadora
Auditorías internas y externas Evaluación de proveedores
Reportes gerenciales
Encuestas internas y externas Reportes diversos
288
Medición de desempeño en la empresa - Aspectos
Proveedores No. De desviaciones Porcentaje de entregas a tiempo Porcentaje de entregas anticipadas Costo de embarque por unidad Porcentaje de cumplimiento en especificaciones Costo unitario actual vs costo unitario histórico Monto de lo rechazado vs monto de las compras Oportunidad de la asistencia técnica
289
Medición de desempeño en la empresa - Aspectos
Ventas y mercadotecnia Crecimiento en ventas por periodo de tiempo Porcentaje de participación de mercado Monto de ventas / mes Monto promedio de ventas por transacción Tiempo promedio de clientes en visita al sitio
Web Efectividad de eventos de ventas Monto vendido vs monto gastado en publicidad
290
Medición de desempeño en la empresa - Aspectos
Satisfacción de cliente externo Comparación ponderada vs competencia Valor percibido medido por el cliente Rango de satisfacción del producto / servicio Evaluación de la competencia técnica Porcentaje de clientes retenidos
291
Medición de desempeño en la empresa - Aspectos
Satisfacción de cliente interno Tasa de satisfacción del empleado Tasa de satisfacción en el puesto Indicador de efectividad de la capacitación Evaluación de avance en imparcialidad Retroalimentación sobre principales políticas y
procedimientos Conocimiento de metas y avances de la
empresa
292
Medición de desempeño en la empresa - Aspectos
Investigación y desarrollo No. De proyectos en desarrollo Porcentaje de proyectos dentro del presupuesto No. De proyectos fuera de programa Gastos de desarrollo vs ingresos por ventas Confiabilidad de solicitudes de cambios al
diseño
293
Medición de desempeño en la empresa - Aspectos
Ingeniería Evaluación del desempeño del producto No. De requerimientos de acción correctiva Porcentaje de acciones correctivas cerradas Evaluación de control de mediciones Disponibilidad de asistencia técnica
294
Medición de desempeño en la empresa - Aspectos
Manufactura Capacidad de proceso de máquinas y procesos
clave Porcentaje de tiempos muertos de máquina Tiempos de ciclo promedio (líneas clave) Medición del control de orden y limpieza Adecuación de la capacitación a operadores
295
V.C.4 Metrología
296
Metrología Metrología. Es la ciencia de las mediciones. Deriva del
griego “metrón” medida y “logos” lógica. Sus elementos clave son:
El establecimiento de estándares de medición que sean internacionalmente aceptados y definidos
El uso de equipo de medición para correlacionar la extensión que los datos del producto y proceso están conforme a especificaciones
La calibración regular de equipos de medición, rastreables a estándares internacionales establecidos
297
Metrología Unidades de medición
El sistema internacional de unidades SI clasifica las mediciones en 7 categorías: Longitud (metro) Tiempo (segundo) Masa (kilogramo) Corriente eléctrica (ampere) Temperatura (Kelvin) Iluminación (candela) Cantidad de sustancia (mole)
298
299
Metrología Temperatura
Temperatura en ºF = 1.8 (Temp ºC) +32
Temperatura en ºC = (Temp ºF – 32) / 1.8
Temperatura en ºK = Temp ºC + 273.15
300
Metrología Calibración
Es la comparación de un estándar de medición o instrumento de exactitud conocida con otro instrumento para detectar, correlacionar, reportar o eliminar por ajuste, cualquier variación en la exactitud del instrumento que se está comparando.
La eliminación del error es la meta primaria del sistema de calibración
301
Metrología Variabilidad total del producto
La variabilidad total en el producto incluye la variabilidad del proceso de medición.
Errores de medición El error del instrumento de medición es el valor
del instrumento de medición menos el valor verdadero.
mediciónprocesototal 222
patronmedicionerror 222
errorpatronmedicion 222
302
Metrología Errores de medición
El intervalo de confianza para la media de las mediciones se reduce tomando mediciones múltiples de acuerdo al teorema del límite central con la siguiente relación:
nlecturasmedicion
303
Metrología Errores de mediciónHay muchas razones para que un equipo de medición
genere variaciones por error, incluyendo las categorías siguientes: Variación por el operador Variación de operador a operador Variación del equipo Variación de los materiales Variación en procedimientos Variación en el software Variación de laboratorio a laboratorio
304
Metrología Intervalo de calibración
Es aceptado generalmente que el intervalo de calibración del equipo de medición se base en la estabilidad, propósito y grado de uso.
La estabilidad se refiere a la habilidad de un instrumento de medición para manejar de manera consistente sus características metrológicas durante el tiempo.
305
Metrología Intervalo de calibración
El propósito es importante, en general las aplicaciones críticas incrementan la frecuencia y las aplicaciones menores disminuyen la frecuencia.
El grado de utilización o uso se refiere a que tan frecuentemente se utiliza el instrumento y a que condiciones ambientales se expone.
El equipo de medición y prueba debe ser trazable a registros que indiquen la fecha de la última calibración, por quién fue calibrado y cuando está planeada su próxima calibración. Algunas veces se usa la codificación.
306
Metrología Estándares de calibración
El valor verdadero reconocido de acuerdo al SI se denomina Estándar
Los estándares primarios de referencia son copias del kilogramo internacional y los sistemas de medición que responden a definiciones de las unidades fundamentales a las unidades derivadas de la tabla SI.
Los estándares nacionales se toman como la autoridad central para evaluar la exactitud, y todos los niveles de estándares de trabajo son trazables a este “ gran” estándar
307
Estándares internacionales En México se tiene el CENEAM o el Centro Nacional de Metrológia
• En EUA se tiene el NIST (National Institute of Standards and Technologý)
• Un Estándar primario es certificado por NIST o por una organización alterna que use procedimientos de calibración actualizados
• Los Estándares secundarios son calibrados por el depto. de Metrología de las empresas en base a los estándares primarios, para efectos de calibración.
308
Estándares internacionales• Los Estándares secundarios se
transfieren a Estándares de trabajo en producción.
• Para determinar la exactitud de los sistemas de medición se debe conocer su rastreabilidad a Estándares nacionales e internacionales.
Resolución: Para que el equipo de medición tenga una discriminación adecuada en la evaluación de las partes, su resolución debe ser al menos 1/10 de la variabilidad del proceso ( LTNS - LTNI = 6 )
309
Metrología Estándares de calibraciónLa trazabilidad hacia debajo de la trazabilidad se
muestra a continuación
National Institute Standards and Technology Laboratorios de Estándares Laboratorios de Metrología Laboratorios de Sistema de Control de Calidad Centros de Trabajo
310
Metrología Resumen del ISO 10012
“Quality assurance requirement for measuring euipment – Part 1: Metrological confirmation system for measuring equipment”.
Contiene requerimientos de aseguramiento de calidad para asegurar que las mediciones sean hechas con la exactitud intencionada.
311
Metrología Resumen del ISO 10012 – Elementos clave
Todos los equipos de medición deben ser identificados, controlados, y calibrados. Deben mantenerse los registros de la calibración y trazabilidad a estándares nacionales
Debe determinarse la incertidumbre de la medición
Se deben tener disponibles los procedimientos para asegurar que el equipo de medición no conforme no sea utilizado
312
Metrología Resumen del ISO 10012 – Elementos clave
Debe establecerse un sistema de etiquetado que muestre la identificación única y su estado
Se debe establecer la frecuencia de recalibración
Las calibraciones deben ser trazables a estándares nacionales
Se requieren procedimientos documentados para la calificación y entrenamiento del personal
313
V.D Estadística básica
314
V.D Estadística básica1. Términos básicos
2. Teorema del límite central
3. Estadística descriptiva
4. Métodos gráficos
5. Conclusiones estadísticas válidas
315
V.D.1 Términos básicos
“La estadística descriptiva nos proporciona métodos para organizar y resumir información, la estadística inferencial se usa para obtener conclusiones a partir de una muestra”
Por ejemplo, sí deseamos saber el promedio de peso de las personas en una población tenemos dos opciones:
Pesar a todas y cada una de las personas, anotar y organizar los datos, y calcular la media.
Pesar solo una porción o subconjunto de la población (muestra). Registrar y organizar los datos y calcular la media de la muestra, tomándola para pronosticar o Inferir la media de toda la población.
Estadística
317
Población y muestra
Población: Es la colección de todos los elementos (piezas, personas, etc.). En nuestro caso sería un número infinito de mediciones de la característica del proceso bajo estudio.
Muestra: Es una parte o subconjunto representativo de la población, o sea un grupo de mediciones de las características.
318
Estadísticos y parámetros
Estadístico: Es una medición tomada en una muestra que sirve para hacer inferencias en relación con una población (media de la muestra, desviación estándar de la muestra se indican con letras latinas X, s, p).
Normalmente es una variable aleatoria y tiene asociada una distribución.
Parámetro: Es el valor verdadero en una población (media, desviación estándar, se indican con letras griegas , m, )
319
Tipos de datos
Datos continuos Los datos que tienen un valor real (temperatura, presión, tiempo, diámetro, altura )
Datos discretos: Datos que toman valores enteros (0, 1, 2, 3, etc.)
Datos por atributos: Bueno - malo, pasa - no pasa, etc.
320
V.D.2 Teorema del límite central
321
Teorema del límite central La distribución de las medias de las muestras
tiende a la normalidad independientemente de la forma de la distribución poblacional de la que sean obtenidas. Es la base de las cartas de control X-R.
322
Teorema del límite central Por lo anterior la dispersión de las medias es
menor que para los datos individuales
Para las medias muestrales, el error estándar de la media se relaciona con la desviación estándar de la población como sigue:
XXs
n
323
Teorema del Límite Central La distribución de las medias de las muestras tienden a
distribuirse en forma normal
Por ejemplo los 300 datos (cuyo valor se encuentra entre 1 a 9) pueden estar distribuidos como sigue:
0
10
20
30
40
50
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Frec.
Población con media m y desviación estándar y cualquier distribución.
Seleccionando muestras de tamaño n y calculando la X-media o promedio en cada una
X-media 1 X-media 2 X-media 3Conforme el tamaño de muestra se incrementa las muestras se distribuyen normalmente con media de medias m y desviación estándar de las medias de las muestras / Ön. También
se denomina Error estándar de la media.
Teorema del Límite Central
325
La distribución de las medias de las muestras tienden a distribuirse en forma normal
Tomando de muestras de 10 datos, calculando su promedio y graficando estos promedios se tiene:
0
2
4
6
8
10
3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
Frec.
Teorema del Límite Central
326
DEFINICIONEs una ayuda gráfica para el control de las variaciones de
los procesos administrativos y de manufactura.
CausaespecialCausas
normales ocomunes
Cartas de Control
327
Variación observada en una Carta de Control
Una Carta de control es simplemente un registro de datos en el tiempo con límites de control superior e inferior, diferentes a los límites de especificación.
El patrón normal de un proceso se llama causas de variación comunes.
El patrón anormal debido a eventos especiales se llama causa especial de variación.
328
Variación – Causas comunes
Límiteinf. deespecs.
Límitesup. deespecs.
Objetivo
329
Variación – Causas especialesLímiteinf. deespecs.
Límitesup. deespecs.
Objetivo
“Escuche la Voz del Proceso” Región de control, captura la variaciónnatural del proceso
original
Causa Especialidentifcada
El proceso ha cambiado
TIEMPO
Tendencia del proceso
LSC
LIC
Aplicación en la carta de controlMEDIDAS
CALIDAD
331
Corridas 7 puntos consecutivos de un lado de X-media.
Puntos fuera de control 1 punto fuera de los límites de control a 3 sigmas en cualquier dirección (arriba o abajo).
Tendencia ascendente o descendente 7 puntos consecutivos aumentando o disminuyendo.
Adhesión a la media15 puntos consecutivos dentro de la banda de 1 sigma del centro.
Otros2 de 3 puntos fuera de los límites a dos sigma
Patrones Fuera de Control
332
Proceso en Control estadístico
Sucede cuando no se tienen situaciones anormales y aproximadamente el 68% (dos tercios) de los puntos de la carta se encuentran dentro del 1 de las medias en la carta de control.
Lo anterior equivale a tener el 68% de los puntos dentro del tercio medio de la carta de control.
Patrón de Carta en Control Estadístico
333
Aplicación en Intervalos de confianza
Intervalo de confianza para la media: A) Sigma conocida y n>30 (n es tamaño de
muestra)
B) Sigma desconocida y n<30, los grados de libertad son gl = n-1.
2
2
X Zn
X tn
m
m
334
Aplicación en Intervalos de confianza
Intervalo de confianza para proporciones y varianza: Para proporciones, p es la proporción y n>30
Para la varianza
2
(1 )p pp Zn
2 22
2 2
, 1 1 , 12 2
( 1) ( 1)
n n
n s n s
335
V.D.3 Estadística descriptiva
336
No existen en la naturalezados cosas exactamente iguales,
ni siquiera los gemelos, por tanto la variación es inevitable y es analizada por la Estadística
Estadística Descriptiva
337
Estadística descriptiva La estadística descriptiva incluye:
Medidas de tendencia central
Medidas de dispersión
Funciones de densidad de probabilidad
Distribuciones de frecuencia y
Funciones acumulativas de distribución
338
Estadística descriptiva Medidas de tendencia central
Representan las diferentes formas de caracterizar el valor central de un conjunto de datos
Media muestral poblacional
nxix
nxim
Ejemplo 1: En un equipo de fútbol, una muestra de estaturas de sus integrantes son las siguientes: 1.70,1.79,1.73,1.67,1.60,1.65,1.79,1.84,1.67,1.82, 1.74. Calcule la media.
73.11119
nxix
339
Estadística descriptiva Medidas de tendencia central
Mediana: es el valor medio cuando los datos se arreglan en orden ascendente o descendente, en el caso de n par, la mediana es la media entre los valores intermedios
Ejemplo 2: Para el ejemplo anterior cual es la mediana? Ordenando los datos de mayor a menor se obtiene: 1.60,1.65,1.67,1.67,1.70,1.73,1.74,1.79,1.79,1.82,1.84; como tenemos 11 datos el número es non por lo que (n+1)/2 = 12/2 = 6, buscando el número que ocupa la sexta posición en los datos ordenados encontramos el valor de la mediana
73.1~ x
2
122~
nnX
340
Estadística descriptiva Medidas de tendencia central
Moda: Valor que más se repite, puede haber más de una
Media acotada (Truncated Mean): Se elimina cierto porcentaje de los valores más altos y bajos de un conjunto dado de datos (tomando números enteros), para los valores restantes se calcula la media.
341
Estadística descriptiva Medidas de tendencia central
Ejemplo 3: Para la siguiente serie de datos calcule la media acotada al 20%: 68.7,34.3,97.9,73.4,8.4,42.5,87.9,31.1,33.2,97.7,72.3,54.2,80.6,71.6,82.2, Como tenemos 11 datos, el 20% de 11 es 2.2, por lo cual eliminamos 2 datos el más bajo y el más alto, ordenado los datos obtenemos: 8.4,31.1,33.2,34.3,42.5,54.2,68.7,71.6,72.3,73.4,80.6,82.2,87.9,97.7,97.9, los valores a eliminar son: 8.4 y 97.9; calculando la media de los datos restantes obtenemos 82.6320,. x
342
Estadística descriptiva
343
Estadística descriptiva Medidas de dispersión:
Rango: Es el valor mayor menos el valor menor de un conjunto de datos
Por ejemplo para el conjunto de datos siguiente: 2.0,2.1,2.4,2.5,2.6,2.8,2.9,2.9,3.0,3.1,3.6,3.8,4.0,4.0 Su rango es R = 4.0 – 2.0 = 2.0
344
Estadística descriptiva Medidas de dispersión:
Varianza: es el promedio de las desviaciones al cuadrado respecto a la media (n para población y n-1 para muestra para eliminar el sesgo)
n
xxi 22 )(
1)( 2
2
nxxis
345
Estadística descriptiva Medidas de dispersión:
Desviación estándar: es la raíz cuadrada de la varianza ya sea poblacional o muestral S
1)( 2
2
nxxis
1)( 2
nxxis
Ejemplo 4: La resistencia al rompimiento de dos muestras de botellas es la siguiente: Muestra 1: 230 250 245 258 265 240
Muestra 2: 190 228 305 240 265 260
s = 5
790 = 12.56 s =
57510
= 38.75
346
Estadística descriptiva Medidas de dispersión:
Coeficiente de variación: es igual a la desviación estándar dividida por la media y se expresa en porcentaje
)100(var..
XsCViacióndeeCoeficient
Por ejemplo si la media de tiempos de espera es de 78.7 y su desviación estándar es 12.14, el CVt:
%05.12)100(7.78
14.12tCV
Por otra parte si la media de salarios es de 10 y su desviación estándar de 2, el CVs de salarios es:
%20)100(102
sCV
Por tanto la dispersión de los salarios es mayor que la de los tiempos de espera, es posible comparar estas dispersiones con el CV aunque los dos conjuntos de datos sean completamente disímbolos.
347
Estadística descriptiva Función de densidad de probabilidad
El área bajo la curva de densidad de probabilidad a la izquierda de un valor dado x, es igual a la probabilidad de la variable aleatoria en el eje x para X<= x
Para distribuciones continuas
Para distribuciones discretas
1)()( xdxf
n
xf0
1)(
348
Estadística descriptiva Función de distribución acumulada
xtdtfxF )()()(
Función de
densidad
Función dedistribución acumulada
349
Métodos gráficos Se incluyen los métodos siguientes:
Diagramas de caja Diagramas de tallo y hojas Diagramas de dispersión
Análisis de patrones y tendencias
Histogramas Distribuciones de probabilidad normales Distribuciones de Weibull
350
V.D.4 Métodos gráficos
351
Diagrama de cajaPERCENTILES, DECILES Y QUARTILES Cada conjunto de datos ordenado tiene tres cuartiles que lo
dividen en cuatro partes iguales.
El primer cuartil es ese valor debajo del cual clasifica el 25% de las observaciones y sobre el cual se encuentra el 75% restante.
El segundo cuartil divide a los datos a la mitad similar a la mediana.
El tercer cuartil es el valor debajo del cual se encuentra el 75% de las observaciones.
Los deciles separan un conjunto de datos ordenado en 10 subconjuntos iguales y los percentiles en 100 partes
352
Diagrama de cajaPERCENTILES, DECILES Y QUARTILES La ubicación de un percentil se encuentra en:
Donde:Lp es el sitio del percentil deseado en una serie ordenadan es el número de observacionesP es el percentil deseado
100
)1( PnLp
353
Diagrama de caja Por ejemplo para los datos siguientes:
3 10 19 27 34 38 48 56 67 74
4 12 20 29 34 39 48 59 67 74
7 14 21 31 36 43 52 62 69 76
9 15 25 31 37 45 53 63 72 79
10 17 27 34 38 47 56 64 73 80
Diagrama de cajaLa localización del percentil 35 se halla en:
O sea que el percentil 35 está al 85% del trayecto comprendido entre la observación 17 que es 29 y la observación 18 que es 31 o sea L35 = 29 + (0.85)(31-29) = 30.7. Por tanto el 35% de las observaciones están por debajo de 30.7 y el 65% restante por encima de 30.7.
De la misma forma los percentiles 25, 50 y 75 proporcionan la localización de los cuartiles Q1, Q2 y Q3 respectivamente.
Q1: es el número que representa al percentil 25
Q2 o Mediana: es el número que representa al percentil 50
Q3: es el número que representa al percentil 75 (hay 75% de los datos por debajo de este).
Rango o Recorrido intercuartílico: es la diferencia entre Q1 y Q3.
85.17
10035)150(35 L
DEFINICION: Es una ayuda gráfica para ver la variabilidad de los datos.
• Permite identificar la distribución de los datos, muestra la mediana, bases y extremos.
• Mediana = dato intermedio entre un grupo de datos ordenados en forma ascendente
Mediana
Valormínimo
Valormáximo
Primer cuartil Tercer cuartil
Gráficas de caja
356
Métodos gráficos Diagramas de caja
Representan un resumen de los datos. La línea media es la mediana, los lados son el primer y tercer cuartil. El máximo y el mínimo se dibuja como puntos al final de las líneas (bigotes)
357
Métodos gráficos Diagramas de tallo y hojas
El diagrama consiste del agrupamiento de los datos por intervalos de clase, como tallos y los incrementos de datos más pequeños como hojas.
HojasTallos
358
Métodos gráficos Diagramas de dispersión
Es una gráfica de muchos puntos coordenados X-Y que representan la relación entre dos variables. También se denomina carta de correlación. Se puede tomar la variable dependiente para el eje Y y la dependiente en el eje X.
La correlación tiene las siguientes fuentes: Una relación de causa efecto Una relación entre dos causas Una relación entre una causa y dos o más causas
359
Métodos gráficos Diagramas de dispersión
Positiva débil Positiva fuerte Sin correlación
Negativa fuerte
Relaciones no lineales
360
Métodos gráficos Coeficiente de correlación
El coeficiente de correlación “r” determina el grado de asociación entre dos variables X y Y
361
Métodos gráficos Análisis de correlación
Busca descubrir relaciones, aplicar el sentido común
La línea de “mejor ajuste” es la línea de regresión, sin embargo un análisis visual debiera ser suficiente para identificar si hay o no hay relación
Los diagramas de dispersión deben ser analizados antes de tomar decisiones sobre correlación estadística
362
Métodos gráficos Análisis de patrones y tendencias
Para visualizar el comportamiento de los datos en el tiempo
Tendencia creciente
Tendencia decrecienteCorrida de proceso
Valores anormales Ciclos Variabilidad creciente
363
Métodos gráficos Análisis de patrones y tendencias
Para visualizar el comportamiento de los datos en el tiempo Tendencia
creciente
364
Histogramas
365
Métodos gráficos Histogramas
Son gráficas de columnas de frecuencia que muestran una imagen estática del comportamiento del proceso y requieren un mínimo de 50 a 100 puntos
La frecuencia en cada barra o intervalo es el número de puntos que caen dentro de ese intervalo
Un proceso estable muestra un histograma con forma de campana unimodal, es predecible
366
Métodos gráficos Histogramas
Un proceso inestable muestra un histograma que no tiene una forma acampanada. Sin embargo los procesos que siguen una distribución exponencial, lognormal, gamma, beta, Weibull, Poisson, binomial, hipergeométrica, geométrica, etc. existen como procesos estables
Cuando la distribución es acampanada, la variación alrededor de la media es aleatoria, otras variaciones son debidas a causas especiales o asignables.
367
DEFINICION Un Histograma es la organización de un número de
datos muestra que nos permite visualizar al proceso de manera objetiva.
Permite ver la distribución que tienen los procesos de manufactura y administrativos vs. especificaciones
Permiten ver la frecuencia con la que ocurren las cosas.
La variabilidad del proceso se representa por el ancho del histograma, se mide en desviaciones estándar o .Un rango de ± 3 cubre el 99.73%.
Métodos gráficos
368
Histograma de Frecuencia
En un proceso estable las mediciones se distribuyen normalmente, a la derecha y a la izquierda de la media adoptando la forma de una campana.
TAMAÑO TAMAÑO
TAMAÑO TAMAÑO
TAMAÑO
MEDICIONES
Media
MEDICIONES
DEFINICION Un Histograma es la organización de un número de datos
muestra que nos permite visualizar al proceso de manera objetiva.
• Permite ver la distribución de la frecuencia con la que ocurren las cosas en los procesos de manufactura y administrativos.
• La variabilidad del proceso se representa por el ancho del histograma, se mide en desviaciones estándar o , ± 3 cubre el 99.73%.
LSELIE
Histograma de Frecuencia
Las distribuciones pueden variar en:
POSICIÓN AMPLITUD FORMA
… O TENER CUALQUIER COMBINACION
Media - Promedio numérico o centro de gravedad del histograma de mediciones
Medidas de Tendencia central
- Usa todos los datos - Le afectan los extremos
Donde, Fi = Frecuencia de cada mediciónxi = Valor de cada medición
individual
Mediana - Es el valor que se encuentra en medio de los datos o mediciones
Moda - Es el valor que más se repite
n
ii
n
iii
F
XFX
1
1
*
Medidas de variabilidad o Dispersión – Desviación Estándar
S es usada cuando los datos corresponden a una muestra de la población. Como es el caso de una muestra de mediciones.
típicamente es usada si se está considerando a toda la población
1
/**1
2
1
2
n
nXFXFs
n
iii
n
iii
n
nXFXFn
iii
n
iii /**
1
2
1
2
Rango: Valor Mayor – Valor menor
Coeficiente de variación: (Desv. Estándar / Media )*100%,Se usa para comparar datos en diferentes niveles de media o
tipo. Por ejemplo:
Material No. de Media Desviación Coeficiente Observaciones Aritmética Estándar de Variación
n s Srel A 160 1100 225 0,204 B 150 800 200 0,250
El Material A tiene una menor variabilidad relativa relativa que el material B
Error estándar de la Media: Es la desviación estándar de las medias de las muestras de mediciones, se representa como la desviación estándar de la población entre la raíz de n = número de mediciones por muestra.
Medidas de Dispersión- Rango, CV
374
Histogramas con Datos agrupadosEl Histograma es una gráfica de las frecuencias que presenta los diferentes datos o valores de mediciones agrupados en celdas y su frecuencia.
Una tabla de frecuencias lista las categorías o clases de valores con sus frecuencias correspondientes, por ejemplo:
CLASE FRECUENCIA1-5 76-10 1211-15 1916-20 1621-25 826-30 4
Definiciones - datos agrupadosLímite inferior y superior de clase Son los numeros más pequeños y más grandes de las clases (del ejemplo, 1 y 5; 6 y 10; 11 y 15; 16 y 20; 21 y 25; 26 y 30)
Marcas de claseSon los puntos medios de las clases (del ejemplo 3, 8, 13, 18, 23 y 28)
Fronteras de clase Se obtienen al incrementar los límites superiores de clase y al decrementar los inferiores en una cantidad igual a la media de la diferencia entre un límite superior de clase y el siguiente límite inferior de clase (en el ejemplo, las fronteras de clase son 0.5, 5.5, 10.5, 15.5, 20.5, 25.5 y 30.5)
Ancho de claseEs la diferencia entre dos límites de clase inferiores consecutivas(en el ejemplo, es 5).
Construcción del histograma - datos agrupadosPaso 1. Contar los datos (N)Paso 2. Calcular el rango de los datos R = (Valor mayor- valor menor)
Paso 3. Seleccionar el número de columnas o celdas del histograma (K). Como referencia si N = 1 a 50, K = 5 a 7; si N = 51 - 100; K = 6 - 10. También se utiliza el criterio K = Raíz (N)
Paso 4. Dividir el rango por K para obtener el ancho de clase
Paso 5. Identificar el límite inferior de clase más conveniente y sumarle el ancho de clase para formar todas las celdas necesarias
Paso 6. Tabular los datos dentro de las celdas de clasePaso 7. Graficar el histograma y observar si tiene una forma normal
Ejemplo: Datos para histogramaDatos:
19 21 25 33 30 27 31 25 35
37 44 43 42 39 43 40 38 37
36 42 41 44 32 45 46 47 45
54 52 50 48 49 47 48 49 47
52 51 50 49 58 59 61 62 63
59 61 66 76 70
Ejemplo: Construcción del histograma
Paso 1. Número de datos N = 50
Paso 2. Rango R = 76 - 16 = 60
Paso 3. Número de celdas K = 6;
Paso 4. Ancho de clase = 60 / 6 = 10
Paso 5. Lím. de clase: 15-24, 25- 34, 35- 44, 45- 54, 55 - 64, 65-74, 75-94Paso 6. Número de datos: 2 7 14 17 7 2 1
Marcas de clase 19.5 29.5 39.5 49.5 59.5 69.5 79.5
Paso 7. Graficar el histograma y observar si tiene una forma normal
379
• Accesar el menu de análisis de datos con HERRAMIENTAS, ANALISIS DE DATOS, HISTOGRAMAS
• Marcar los datos de entrada en RANGO DE ENTRADA, marcar el rango de los límites superiores de clase en RANGO DE CLASES, indicar GRAFICA, marcar el área de resultados con RANGO DE SALIDA y obtener resultados y gráfica
NOTA: Los datos deben estar en forma no agrupada, Excel forma los grupos en forma automática o se le pueden proporcionar los límites de las celdas.
Histograma en Excel
380
Construcción del histograma
02468
1012141618
15-24
25-34
35-44
45-54
55-64
65-75
Frec.
381
Rango: Valor Mayor – Valor menor
Coeficiente de variación: (Desv. Estándar / Media *100%Se usa para comparar datos en diferentes niveles de media o
tipo. Por ejemplo:
Material No. de Media Desviación Coeficiente Observaciones Aritmética Estándar de Variación
n s Srel
A 160 1100 225 0,204 B 150 800 200 0,250
El Material A tiene una menor variabilidad relativa relativa que el material B
Otras medidas de Dispersión- Rango, CV
Media - Promedio numérico o centro de gravedad del histograma
Cálculo de la media - datos agrupados
- Usa todos los datos - Le afectan los extremos
Donde, Fi = Frecuencia de cada observaciónxi = Valor de cada marca de clase
Mediana - Es el valor que se encuentra en medio de los datos
Moda - Es el valor que más se repite
n
ii
n
iii
F
XFX
1
1
*
Desviación Estándar - Datos agrupados S es usada cuando los datos corresponden a una muestra de la población
Nota: Cada Xi representa la marca de clase
típicamente es usada si se está considerando a toda la población
NOTA: Para lo cálculos con Excel, se puede utilizar el mismo método que para datos no agrupados, tomando como Xi los valores de las marcas de clase.
1
/**1
2
1
2
n
nXFXFs
n
iii
n
iii
n
nXFXFn
iii
n
iii /**
1
2
1
2
384
Ejercicio de Histogramas
Datos:
6.40 6.39 6.41 6.39 6.40 6.39 6.40 6.37 6.40 6.38
6.42 6.38 6.40 6.38 6.416.40 6.41 6.41 6.43 6.39
6.41 6.35 6.39 6.41 6.436.38 6.40 6.42 6.37 6.40
6.37 6.43 6.43 6.39 6.426.40 6.42 6.39 6.42 6.38
6.42 6.40 6.38 6.45 6.416.39 6.44 6.36 6.44 6.36
385
V.D.5 Conclusiones estadísticas válidas
386
Estadística descriptiva e inferencial
Estudios descriptivos enumerativos : Los datos enumerativos son los que pueden
ser contados.
Para Deming: En un Estudio enumerativo la acción se toma en
el universo. En un estudio analítico la acción será tomada en
un proceso para mejorar su desempeño futuro
387
Obteniendo conclusiones válidas
Obtención de conclusiones estadísticas válidas El objetivo de la estadística inferencial es
obtener conclusiones acerca de las características de la población (parámetros , m, ) con base en la información obtenida de muestras (estadísticos X, s, r)
Los pasos de la estadística inferencial son: La inferencia La evaluación de su validez
388
Obteniendo conclusiones válidas
Los pasos de la estadística inferencial son: Definir el objetivo del problema en forma precisa
Decidir si el problema se evaluará con una o dos colas
Formular una hipótesis nula y la alterna
Seleccionar una distribución de prueba y un valor crítico del estadístico reflejado el grado de incertidumbre que puede ser tolerado (alfa, riesgo)
389
Obteniendo conclusiones válidas
Los pasos de la estadística inferencial son: Calcular el valor del estadístico de prueba con la
información de la muestra
Comparar el valor del estadístico calculado vs su valor crítico y tomar una decisión de aceptar o rechazar la hipótesis nula
Comunicar los hallazgos a las partes interesadas
390
Obteniendo conclusiones válidas
Hipótesis nula a ser probada (Ho) y alterna (Ha)
La hipótesis nula puede ser rechazada o no ser rechazada no puede ser aceptada
La hipótesis alterna incluye todas las posibilidades que no están en la nula y se designa con H1 o Ha.
Ho: Ya = Yb Ha: Ya Yb Prueba de dos colas Ho: A B Ha: A<B Prueba de cola
izquierda
391
Obteniendo conclusiones válidas
Estadístico de prueba: Para probar la hipótesis nula sobre un
parámetro poblacional, se debe calcular un estadístico de prueba de la información de la muestra
El estadístico de prueba se compara con un valor crítico apropiado
Se toma una decisión de rechazar o no rechazar la hipótesis nula
392
Obteniendo conclusiones válidas
Tipos de errores: Error tipo I: resulta cuando se rechaza Ho
siendo verdadera, se denomina como alfa o riesgo del productor
Error tipo II: resulta cuando no se rechaza Ho siendo que es falsa, es denominado beta o riesgo del consumidor
Incrementando el tamaño de muestra se reducen alfa y beta. Alfa es normalmente 5%. Alfa y beta son inversamente relativos
393
V.E Probabilidad
394
Conceptos básicos de probabilidad
Principios básicos: La probabilidad de un evento varia entre 0 y 1
(éxito) Un evento simple no puede descomponerse El conjunto de resultados posibles del experimento
se denomina espacio muestral La suma de las probabilidades en el espacio
muestra es 1 Si se repite un experimento un gran número de
veces N y el evento E es observado nE veces, la probabilidad de E es aproximadamente:
( ) EnP EN
395
Conceptos básicos de probabilidad
Eventos compuestos (conjunto de dos o más eventos): La unión de A o B contiene elementos de A o de
B
La intersección de A y B contiene elementos comunes que se localizan al mismo tiempo en A y en B
396
ProbabilidadIntroducción:Diferencia entre experimento deterministico y aleatorio (estocastico).
Deterministico. Se obtienen el mismo resultado, con condiciones experimentales similares • La caída de un cuerpoAleatorio. Se obtienen distintos resultados , aunque se repitan en condiciones similares.• Tiempo de vida de un componente eléctrico
397
Conceptos relacionados a experimentos aleatorios:
Variable aleatoria. Es el nombre Que se le da a la característica (s) de interés observada en un experimento. Dicha variable es denotada por letras mayúsculas. Pueden ser Continuas o Discretas.
Espacio muestra. Es el conjunto de todos los posibles valores Que toma una variable aleatoria en un experimento. Puede ser finito o infinito.
Evento. Puede ser uno o una combinación de los valores Que toma una variable aleatoria
398
Espacio MuestralConsiste en todos los posibles resultados de un
experimento.Para el lanzamiento de una moneda es (A,S).
399
Probabilidad histórica o frecuentista.
Una forma de conocer algo acerca del comportamiento de una variable aleatoria es conociendo como se comporto en el pasado. Note Que si un experimento se realizo un gran numero de veces, N, y la se observo Que en n veces sucedía el evento A, entonces n/N es un estimación razonable de la proporción de tiempos Que el evento A sucederá en el futuro. Para un gran numero de experimentos N, se puede interpretar dicha proporción como la probabilidad de del evento A.
P EventoAnNN
( ) lim
400
Ejemplo
prob
abilid
ad d
e ca
ras
n0 500 1000
0
.5
1
» en los 1900-s , Karl Pearson lanzo una moneda 24,000 veces y obtuvo 12,012 caras, dando una proporción de 0.5005.
Definición Clásica de Probabilidad. La probabilidad de un evento A, puede ser calculada mediante la relación de el numero de respuestas en favor de A, y el numero total de resultados posibles en un experimento.
P EventoAFavorable A
Total resultados( )
##
Note Que para las dos definiciones dadas de probabilidad esta será un numero entre 0 y 1.Ejemplo 1. Se observa si 3 artículos tienen defecto o no , con defecto (m) o sin defecto (v).S={vvv,mvv,vmv,vvm,vmm,mvm,mmv,mmm} es el espacio muestral . Asociada a este espacio muestral se puede definir la variable aleatoria X=# de defectos, la cual toma los valores {0,1,2,3}
402
Probabilidades de Eventos 1. P(E) 0 2. P(S) = 1 3. Si E1,En son mutuamente disjuntos
entonces
n
ii
n
ii EPEP
11
)(
Resultados 1. Si A B entonces P(A) P(B) 2. Si P(Ec)=1-P(E) 3. P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) 4. Si B1B2…Bn = S entonces
n
iiBEPEP
1
)()(
403
Ejemplo:Datos (N=20):650 740 760 810 850 850 880 900 930 930 950 960960 980 980 980 1000 1000 1000 1070
El experimento:Seleccionamos al azar un numero ?
Cuál es S?
Sea E el evento en el que elegimos el 1000?P(E) =
Sea E el evento él numero es menor o igual a 760.P(E) =P(Ec) =
404
Sea E1 el evento en el cual elegimos 1000 y E2 es elevento en el cual elegimos un numero menor o igual a760.P(E1
E2) =
Sea E1 el evento en el cual elegimos 850 y E2 sea elevento el cual obtenemos un numero menor a 880.P(E1
E2) =
Leyes de probabilidades1. En un experimento, si P(A) e la probabilidad de un evento A, entonces la probabilidad de Que no suceda A es: P A P A( ) ( ) 1
2. En un experimento, si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes entonces la probabilidad de Que ocurra A o el evento B es
P A o B P A P B( ) ( ) ( )
Para el caso de dos eventos A y B Que no son mutuamente excluyentes.P A o B P A P B P AyB( ) ( ) ( ) ( )
A las dos ecuaciones se les conoce como Leyes de adición de probabilidad
406
Reglas de la probabilidad
• Ley de la AdiciónSi 2 eventos A y B no son mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad que el evento A o el evento B ocurra es:
• Ley de la Multiplicación probabilidad que ambos A y B ocurran es
Cuando los eventos A y B son independientes, entonces P(A|B) = P(A) y
P(AB)P(B)P(A)B)orP(A
A)P(A)|P(BB)P(B)|P(AP(AB)
P(A)P(B)P(AB)
Permutaciones Definición.
Un arreglo ordenado de r objetos diferentes es llamado una permutación .
El numero resultante de ordenar n objetos diferentes tomando r a la vez será representado por el símbolo n
rP
Antes revisemos el concepto de factorial !!!!!!
Considere el siguiente caso: Hay 3 libros: Uno de Historia (H), Uno de Física (F), Otro de Matemáticas (M). Note Que existen 6 formas de acomodar dichos libros.
{ HFM, HMF, FHM, FMH, MHF, MFH } Aquí importa el orden
3*2*1=6
408
Diagramas de árbolEn casos simples resultan útiles los diagramas de árbol para enumerar objetos en forma sistemática.Ejemplo: Se desea conocer todas las formas posibles de hacer un experimento que consiste en 4 componentes de auto a {L1, L2, L3, L4}, entonces cada componente es sometido a tres diferentes temperaturas de {A1, A2, A3} hasta que se obtiene una falla.
L2
L3
L4
L1A1
A1
A1
A2
A2
A2
A3
A3
A3
A2A1
A3
12 tratamientos
409
El numero de formas de ordenar n objetos distintos en n lugares diferentes es :
n n n n! ( )( )...( )( ) 1 2 2 1
n! se lee como n factorial¿ Que pasa cuando tenemos solo r lugares para acomodar n objetos, tal Que n es mayor o igual que r?En este caso el numero de arreglos resulta ser:
n n n n r n r P
Pn
n r
rn
rn
( )( )...( [ ])( [ ])!
( )!
1 2 2 1
410
Ejemplo: Suponga que a un grupo de motores se les aplicara un tratamiento que consiste en dos aplicaciones de diferentes intensidades de presión. Hay 10 diferentes intensidades y el orden de administrar las intensidades es importante, ¿ cuantos motores se ocupan si cada tratamiento se tiene que llevar a cabo?.10 intensidades (i1,i2,…,i10 ) y 2 aplicaciones.Nos interesa contar los pares (i1,12),(i1,i3),…..
P2
10 10!8!
90 .
411
CombinacionesUna combinación es un arreglo de distintos elementos , en donde una combinación difiere de otra solamente si el contenido del arreglo es distinto.
!! En este caso no es importante el orden de los objetos !!
Definición. (Combinaciones). El numero de combinaciones de n objetos tomando r a la vez es el numero de maneras de formar un subconjunto de tamaño r de los n objetos. Esto se denota como:
nr
nC
r
412
Cnr
Pr
nr n rr
n rn
!!
!( )!
Teorema 2.
Ejemplo: En un lote de producción 100 chips de computadora, un comprador desea adquirir 10 chips, ¿ de cuantas formas se pueden seleccionar 10 chips de ese lote?.
Cnr
nr n rr
n
!
!( )! )!100!
10!(100 10
413
V.E.2 Distribuciones de probabilidad
414
Distribuciones usadas por los Black Belts
Distribución Binomial Distribución Poisson
Distribución Normal Distribución Chi Cuadrada
Distribución t de Student Distribución F
415
Tipos de variables aleatorias
Tipos de variables aleatorias Discretas Continuas
Variable aleatoria: Es aquella función que a cada resultado posible de un experimento le asocia un numero real.Se denotan con letras Mayúsculas: X,Y,Z,etc....
416
Variables aleatorias discretasEs aquella variable que únicamente toma valores susceptibles de contarse.Ejemplo 1: Considere el experimento de tomar al azar una ficha de asistencia de un numero de empleados. Sea X la variable numero de ausencias al año de un empleado. Note que X toma valores 0,1,2,...,250.
Ejemplo 2: Considere un experimento que consiste en medir el numero de artículos defectos de un lote de producto. Si Y es la variable numero de defectos , toma valores 0,1,2,...
417
Distribuciones y funciones de probabilidad
Toda variable aleatoria tiene asociada una función de probabilidades
Ejemplo : Se lanzan dos monedas y observamos el numero Y de caras.
Espacio muestral:{a, as, sa, ss}Y toma valores 0,1,2.
418
Función de probabilidades para Y.
y P(Y=y)
0 1/4
1 1/2
2 1/4
-0.2 0.3 0.8 1.3 1.8y
0.26
0.31
0.36
0.41
0.46
0.51
pGráfica
Y
P(Y=y)
419
La distribución de probabilidades puede ser una Tabla, una Gráfica o una formula.
Formula para la distribución de probabilidades de la tabla
anterioryy
yyYPyP )5(.)5(.
3)()( 3
420
Requisitos para una distribuciónde probabilidad discreta
)()(
).(.21)(0.1
xXPxf
yP
yP
X
ytoda
En algunas ocasiones la notación usada es:
421
Funciones de distribución acumulativa
La función de distribución de probabilidades acumulativa es calcula sumando las probabilidades obtenidas hasta un determinado valor de la variable aleatoria.
)()( xXPxFX Esta función tiene propiedades.
0)(1)(
1)(0
xFLimxFLim
xF
x
x
422
Función de distribución acumulativa para Y=#de caras
-0.2 0.3 0.8 1.3 1.8y
0.3
0.5
0.7
0.9
F(x)
0 1 2
423
Valor Esperado o Media de una variable aleatoria
discreta
La media o valor esperado de una variable aleatoria discreta X , denotada como o E(X), es Xm
xx
XX xXxPxxfXE )()()(m
La media es el centro de la masa del rango de los valores de X.
424
Calculo de la media para la variable de No. De defectos
Xm
215.004003.03014.02178.01805.00
)(4
0
x
X XXxPm
En este caso note que esta media no toma un valor entero como X
425
0 1 2 3 4x
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
prob
Media Xm
426
Ejercicio: La demanda de un producto es -1,0,1,2 por dia (-1 significa devolución). Con probabilidades dadas por 1/5,1/10,2/5,3/10. Calcular la demanda esperada. Xm
427
Varianza de una variable aleatoria
Sea Y una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidades P(X=x). Entonces , la varianza de Y es:
x
XXX xXPxXE )()(])[( 222 mm
Medida de dispersión
428
2147.00)215.04(003.0)215.03(
014.0)215.02(
178.0)215.01(805.0)215.00(
)()(
22
2
22
22
x
XX xXPx m
429
La desviación estándar de una variable aleatoria es simplemente la raíz cuadrada de la varianza
2XX
430
Distribuciones Discretas Uniforme discreta. La variable aleatoria toma un numero finito de n valores , cada uno con igual probabilidad.
nxXPxf 1)()(
4310 2 4 6 8 1e+001
x
0.05
0.07
0.09
0.11
0.13
0.15
prob
Uniforme discreta con n=10
432
121
2)1(
22
n
n
X
X
m
La media y varianza de la distribución Uniforme discreta son:
Aplicaciones
433
Distribución hipergeométrica Se aplica cuando la muestra (n) es una
porporción relativamente grande en relación con la población (n > 0.1N).
El muestreo se hace sin reemplazo P(x,N,n,D) es la probabilidad de exactamente x
éxitos en una muestra de n elementos tomados de una población de tamaño N que contiene D éxitos. La función de densidad de distribución hipergeométrica:
Nn
DNxn
Dx
CCC
xP)(
)!(!!
xnxnC n
x
434
Distribución hipergeométrica La media y la varianza de la distribución
hipergeométrica son:
NnD
m
112
NnN
ND
NnD
435
Distribución hipergeométricaEjemplo: De un grupo de 20 productos, 10 se
seleccionan al azar para prueba. ¿Cuál es la probabilidad de que 10 productos seleccionados contengan 5 productos buenos? Los productos defectivos son 5 en el lote.
N = 20, n = 10, D = 5, (N-D) = 15, x = 5
P(x=5) = 0.0183 = 1.83% 0183.0
!10!10!20
!10!5!15
!0!5!5
)5(
P
436
Distribución BinomialEnsayo Bernoulli. Es un experimento aleatorio que solo tiene dos resultados. Éxito o fracaso. Donde la probabilidad de éxito se denota por p
• Suponga se realizan n experimentos Bernoulli independientes.
• Suponga que la variable X de interés es el numero de éxitos.
• X toma valores 0,1,2,...,n
437
Distribución binomial Se utiliza para modelar datos discretos y se
aplica para poblaciones grandes (N>50) y muestras pequeñas (n<0.1N).
El muestreo binomial es con reemplazamiento. Es apropiada cuando la proporción defectiva
es mayor o igual a 0.1. La binomial es una aproximación de la
hipergeométrica La distribución normal se paroxima a la
binomial cuando np > 5
438
nxppxn
xXPxf xnx ,...,1,0)1()()(
La variable aleatoria X tiene una distribución binomial
)1()(
)(2 pnpXV
npXE
X
X
m
Tiene media y varianza.
439
Distribución de Poisson Se utiliza para modelar datos discretos Se aproxima a la binomial cuando p es igual o
menor a 0.1, y el tamaño de muestra es grande (n > 16) por tanto np > 1.6
440
Distribución de Poisson Una Variable aleatoria X tiene distribución Poisson si toma probabilidades con.
,...1,0!
)(
xx
exfx
pn
pn
m
m
441
La Distribución Normal
Los primeros industriales frecuentemente se basaban en el conocimiento de limites normales para clasificar artículos o procesos como correctos o de otro modo.
Por ejemplo, el colesterol arriba de 250 mg/dl es ampliamente conocido que incrementa el riesgo de un paro cardiaco. Una determinación precisa - pudiera ser asunto de vida o muerte.
Sin embargo , no todas las variables son normales. Por ejemplo: urea y ph
IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
Abraham Simon de Carl Francisde Moivre Laplace Gauss Galton
CARACTERISTICAS DE UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL
La distribución normal es simétrica alrededor de su media.
Es asintotica - la curva se acerca a eje x pero nunca lo toca.
La curva normal es acampanada y tiene un solo pico en toda la distribución.
La media, mediana, y moda de la distribución son las mismas y están localizadas en el pico.
La mitad del área de la curva esta arriba del punto central (pico), y la otra mitad esta abajo.
CARACTERISTICAS DE UNA DISTRIBUCION NORMAL
Teóricamente, la curva se extiende a - infinito
Teóricamente, la curva se extiende a + infinito
Media, mediana, y moda son iguales
Cola Cola
La Normal is simétrica - -
445
446
f t t( ) exp
12
12
2
m
Distribución de la Función Normal
Función de Densidad de Probabilidad Normal
Distribución Normal
m = 500 = 30 = 50 = 70
0.0000
0.0020
0.0040
0.0060
0.0080
0.0100
0.0120
0.0140
200 400 600 800 1000Tiempo
f(t)
Curvas Normales con Medias iguales pero Desviaciones estándar diferentes
m20
3.13.9 = 5.0
Normales con Medias y Desviaciones estándar diferentes
m= 5, = 3m = 9, = 6m = 14, = 10
449
La distribución Normal estándar
La distribución normal estándar es una distribución de probabilidad que tiene media 0 y desviación estándar de 1.
El área bajo la curva o la probabilidad desde menos infinito a más infinito vale 1.
La distribución normal es simétrica, es decir cada mitad de curva tiene un área de 0.5.
La escala horizontal de la curva se mide en desviaciones estándar, su número se describe con Z.
Para cada valor Z se asigna una probabilidad o área bajo la curva mostrada en la Tabla de distribución normal
450
Las distribuciones pueden variar en:POSICIÓN AMPLITUD FORMA
… O TENER CUALQUIER COMBINACION
451
x x+s x+2s x+3sx-sx-2sx-3s
Xm3 m2 m m m m2 m3
Para la población - se incluyen TODOS los datos
Para la muestra
La Distribución Normal
452
z0 1 2 3-1-2-3
x x+ x+2 x+3x-x-2x-3X
La desviación estándarsigma representa la distancia de la media alpunto de inflexión de la curva normal
La Distribución Normal Estándar
Alrededor de 68 % del area bajo la curva normal está entre más una y menos una desviación estándar de la media. Esto puede ser escrito como: m ± 1s.
Cerca del 95 % del área bajo la normal está entre más y menos 2 desviaciones estándar de la media, m ± 2s.
Prácticamente toda (99.74 %) el área bajo la normal esta entre 3 desviaciones de la media m ± 3s.
AREA BAJO LA CURVA NORMAL
454
Distribución normal estándar con media = 0 y desviación estándar = 1: Para Z = (X - Xmedia )/ s1. Área desde menos infinito a un valor de Z se obtiene como sigue:- Colocarse en una celda vacía- Accesar el menú de funciones con Fx, ESTADÍSTICAS,
DISTR.NORM.ESTAND, dar valor de Z y obtener el área requerida
Z Area
2. Un valor de Z específico para una cierta área (por ejemplo 0.05) se obtiene como sigue:
- Colocarse en una celda vacía- Accesar el menú de funciones con Fx, ESTADÍSTICAS, o
DISTR.NORM.ESTAND.INV, dar valor del área y se obtiene la Z
Cálculos con Excel – Dist. Normal Estándar
m m1 m2 m3m1m2m3
Entre:
1. 68.26%
2. 95.44%
3. 99.97%
456
68%34% 34%
95%
99.73%
+1s
+2s
+3s
Características de la Distribución Normal
El valor de ZDetermina el número de desviaciones estándar entre algún valor x y la media de la población, mu Donde sigma es la desviación estándar de la población.
En Excel usar Fx, ESTADISTICAS, NORMALIZACIÓN, para calcular el valor de Z
z = x - m
68%34% 34%
95%68%
99.73%68% 2.356%2.356%
Proceso con media =100y desviación estándar = 10
70 80 90 100 110 120 130
90 110
80 120
70 130
459
Áreas bajo la curva normal
Distribución normal estándar con media = 0 y desviación estándar = 1: Para Z = (X - Xmedia )/ s1. Área desde menos infinito a un valor de Z se obtiene como sigue:- Colocarse en una celda vacía- Accesar el menú de funciones con Fx, ESTADÍSTICAS,
DISTR.NORM.ESTAND, dar valor de Z y obtener el área requerida
Z Area
2. Un valor de Z específico para una cierta área (por ejemplo 0.05) se obtiene como sigue:
- Colocarse en una celda vacía- Accesar el menú de funciones con Fx, ESTADÍSTICAS, o
DISTR.NORM.ESTAND.INV, dar valor del área y se obtiene la Z
Cálculos con Excel – Dist. Normal Estándar
Distribución normal, dadas una media y desviación estándar: 1. Área desde menos infinito a X se obtiene como sigue:- Colocarse en una celda vacía- Accesar el menú de funciones con Fx, ESTADÍSTICAS,
DISTR.NORM, dar el valor de X, Media, Desviación Estándar s, VERDADERO y se obtendrá el área requerida
X Area
2. Un valor de X específico para una cierta área (por ejemplo 0.05) se obtiene como sigue:
- Colocarse en una celda vacía- Accesar el menú de funciones con Fx, ESTADÍSTICAS,
DISTR.NORM.INV, dar el valor del área, Media y Desviación Estándar y se obtendrá el valor de la X
Cálculos con Excel – Distr. Normal
1. Identificar la variable de interés.2. Identificar los parámetros de la variable (su
media y desv. estándar).3. ¿Cual es la pregunta área bajo la curva de
probabilidad normal?4. Convertir los valores a la distribución normal
estándar (estandarización Z = (X-Media)/S) .5. Encuentre la probabilidad en tabla de la normal
estándar o por Excel.
Calculo de Probabilidades normales
El agua usada diariamente por persona en México está distribuida normalmente con media 20 litros y una desviación de 5 lts..
¿Entre que valores cae cerca del 68% el agua usada por una persona en Mexico?
m ± 1s = 20 ± 1(5). Esto es, cerca del 68% de la cantidad usada por persona cae entre 15 lts. y 25 lts..
De manera similar para 95% y 99%, el intervalo será de 10 lts a 30 lts y 5 lts a 35 lts.
Ejemplo
El agua usada diariamente por persona en México es distribuida normalmente con media 20 litros y una desviación de 5 lts. Sea X el uso diario de agua.
Cual es la probabilidad que una persona seleccionada al azar use menos de 20 lts./dia?
El valor z asociado es z = (20 - 20)/5 = 0. entonces,
P(X < 20) = P(z < 0) = 0.5.
Ejemplo
Que porciento usa entre 20 y 24 lts? El value z asociado con X = 20 es z = 0 y con
X = 24, z = (24 - 20)/5 = 0.8. Entonces, P(20 < X < 24) = P(0 < z < 0.8) =
P(0.8) - P(0) = 0.7881- 0.5 = 0.2881 o 28.81%.
¿Que porciento usa entre 16 y 20 lts?
El valor z1 para X = 16 es z1 = (16 - 20)/5 = -0.8,
y para X = 20, z2 = 0. Entonces, P(16 < X < 20) = P(-0.8 < z < 0) = P(0) - P(-0.8) = 0.5 - 0.2119 = 0.2881 = 28.81%.
Ejemplo
0.8
P(0 < z < 0.8) = 0.2881.
Cual es la probabilidad que una persona seleccionada al azar use mas de 28 lts?
El valor z asociado a X = 28 es
z = (28 - 20)/5 = 1.6. Ahora, P(X > 28) = P(z > 1.6) = 1 - P(z < 1.6) = 1 - 0.9452 = 0.0548.
Ejemplo
P(z > 1.6) =1 - 0.9452=0.0548
Area = 0.9452
1.6 z
• ¿Que porcentaje usa entre 18 y 26 lts?
El valor z asociado con X = 18 es z = (18 - 20)/5 = -0.4, y para X = 26, z = (26 - 20)/5 = 1.2. entonces, P(18 < X < 26)= P(-0.4 < z < 1.2) = F(1.2) - F(-0.4)= 0.8849 - 0.3446 = 0.5403.
Ejemplo
470
El tiempo de vida de las baterías del conejito tiene una distribución aproximada a la normal con una media de 85.36 horas y una desviación estándar de 3.77 horas.
¿Qué porcentaje de las baterías se espera que duren 80 horas o menos?
¿Cuál es la probabilidad de que una batería dure entre 86.0 y 87.0 horas?
¿Cuál es la probabilidad de que una batería dure más de 87 horas?
Ejemplos
¿Que porcentaje de las baterías se espera que duren 80 horas o menos?
Z = (x-mu) / sZ = (80-85.36)/(3.77)= - 5.36/ 3.77 = -1.42
85.3680
-1.42 0
Área bajo la curva normal
0 1
86 8785.36
¿Cuál es la probabilidad de que una batería dure entre 86.0 y 87.0 horas?
Área bajo la curva normal
85.36 87
¿Cuál es la probabilidad de que una batería dure más de 87 horas?
1.67 = .33 ó 33% de las veces una batería durará más de 87 horas
Área bajo la curva normal
474
Considere una media de peso de estudiantes de 75 Kgs. con una desviación estándar de 10Kgs. Contestar lo siguiente:
¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante pese más de 85Kgs.?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante pese menos de 50Kgs.?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que pese entre 60 y 80 Kgs.?.
4. ¿Cuál es la probabilidad de que pese entre 55 y 70 Kgs.?
5. ¿Cuál es la probabilidad de que pese entre 85 y 100Kgs.?
Ejercicios
475
Distribuciones muestrales
476
A las distribuciones de los estadísticas muestrales se les llama distribuciones muestrales.
POBLACION
477
Distribuciones Derivadas del muestreo de Poblaciones Normales
Población
Muestra
Aparecen distribuciones muestrales:Normal, Chi-cuadrada, t-student, F
478
Distribución de la Media:
Si es una muestra aleatoria de una Poblacion (X) con distribución normal .Entonces se
distribuye normal con media y varianza
nXXX ,...,, 21
),( 2mn X
,m n/2
)/,( 2 nnX m
479
Distribuciones usadas normalmente
Distribución Chi Cuadrada
Esta distribución se forma al sumar los cuadrados de las variables aleatorias normales estándar.
Si Z es una variable aleatoria normal, entonces el estadístico Y siguiente es una variable aleatoria Chi cuadrada con n grados de libertad.
223
22
21 .... nzzzzy
480
Distribución de la varianza.
Repaso de la distribución ji-cuadrada.
La función de densidad de probabilidad con k grados de libertad y la función gama Γ es:
.0,
22
1)( 21
2
2
xex
kxf
xk
k
k=grados de libertad. (1,2,...)
481
K=1 K=5
K=25K=50
Gráficas de la distribución ji-cuadrada
Con k grande ji-cuadrada se hace normal
482
Media y varianza de una ji-cuadrada.E(X)=kV(X)=2k
Calculo de puntos críticos usando las tablas de ji-cuadrada
)( 2,kXP
483
Ejemplo: Calcule el valor critico que satisface
05.)( 220,05.0 XP
41.31220,05.0
De tablas de ji-cuadrada con alfa=.05 y k=20
484
Resultado:
Si es una muestra aleatoria de una Poblacion (X) con distribución normal .Entonces se
distribuye ji-cuadrada con k= n-1 grados de libertad.
Donde S cuadrada es la varianza muestral.
nXXX ,...,, 21
),( 2mn 22
)1( Sn
21
22
)1(
nSn
485
Distribución t-student
Si es una muestra aleatoria de una Población (X) con distribución normal . Entonces se distribuye t-student con n-1 grados de libertad.
nXXX ,...,, 21
),( 2mn
)/()( nsX m
1)/()( ntnsX m
486
),(]12/][2/[
]2/)1[()(2/)1(2
xxkk
kxfk
Función de Distribución t-student
K=1 K=10
K=100
487
Función de Distribución t-student
488
Distribución t de Student La media y la varianza de la distribución t son:
De una muestra aleatoria de n artículos, la probabilidad de que
Caiga entre dos valores especificados es igual al área bajo la distribución de probabilidad t de Student con los valores correspondientes en el eje X, con n-1 grados de libertad
0m
3;2
kk
k
3;2
kk
k
nsxt/m
489
Distribución t de StudentEjemplo:
La resistencia de 15 sellos seleccionados aleatoriamente son: 480, 489, 491, 508, 501, 500, 486, 499, 479, 496, 499, 504, 501, 496, 498
¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia promedio de los sellos sea mayor a 500?. La media es 495.13 y la desviación estándar es de 8.467.
t = -2.227 y el área es 0.0214
3;2
kk
k
227.215/467.850013.495
t
490
Distribución F
Surge de dividir dos ji-cuadradas independientes
F=(W/u)/(Y/v)
W se distribuye ji-cuadrada con u g.l.Y se distribuye ji-cuadrada con v g.l.
El uso de esta distribución es para comparar varianzas (Recuerde el análisis de varianza)
491
Distribución F.
),0(
]1][2/[)2/(
/]2/)[()(2/)(
1)2/(2
x
xvuvu
xvuvuxfvk
uu
u=10
v=5
u=20
v=20
Función de densidad de la Distribución F
492
Distribución F.Función de densidad de la Distribución F
493
Distribución F Para determinar la otra cola de la distribución
F se determina con la expresión.
Falfa, k1, k2 = 1 / F(1-alfa), k2, k1
Dado K1 = 8 y K2 = 10, F0.05 = 3.07, encontrar el valor de F0.05 con K1 = 10 y K2 = 8
F0.05,10,8 = 1/ F0.95,8,10 = 1/ 3.07 = 0.326
494
V.E.3 Otras distribuciones
495
Distribución Bivariada La distribución conjunta de dos variables es
llamada una distribución bivariada. El coeficiente de correlación es :
496
Distribución Exponencial Se usa para modelar artículos con una tasa de
falla constante y está relacionada con la distribución de Poisson.
Si una variable aleatoria x se distribuye exponencialmente, entonces el recíproco de x, y = 1/x sigue una distribución de Poisson y viceversa.
La función de densidad de probabilidad exponencial es: Para x >= 0 x
x
eexf
1)(
497
Distribución Exponencial Donde Lambda es la tasa de falla y theta es la
media La función de densidad de la distribución
exponencial
498
Distribución Exponencial Es usada como el modelo, para la parte de
vida útil de la curva de la bañera, i.e., la tasa de falla es constante
Los sistemas complejos con muchos componentes y múltiples modos de falla tendrán tiempos de falla que tiendan a la distribución exponencial
Desde una perspectiva de confiabilidad, es la distribución más conservadora para predicción.
Distribución Exponencial
La forma de la exponencial siempre es la misma
El modelo exponencial, con un solo parámetro, es el más simple de todo los modelos de distribución del tiempo de vida. Las ecuaciones clave para la exponencial se muestran:
Distribución Exponencial
h
@
)(:FALLA DETASA
1:VARIANZA
693.02ln:MEDIANA
1:MEDIA
)(:PDF)(:DADCONFIABILI
1)(:CDF
2
t
m
etfetR
etF
t
t
t
Función de Densidad de Probabilidad Exponencial
0.0000
0.0005
0.0010
0.0015
0.0020
0.0025
0.0030
0.0035
0 500 1,000 1,500 2,000Tiempo
f(t)
= 0.003, MEDIA = 333
= 0.002, MEDIA = 500
= 0.001, MEDIA = 1,000
500
R(t) = e(-t) (Confiabilidad)
Función de Confiabilidad Exponencial
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
1.200
0 500 1,000 1,500 2,000Tiempo
R(t)
= 0.003, MTBF = 333
= 0.002, MTBF = 500
= 0.001, MTBF = 1,000
Distribución Exponencial
501
h(t) = 1MEDIA(Velocidad de Falla)
Función de la Tasa de Falla Exponencial
0.000
0.001
0.002
0.003
0.004
0 500 1,000 1,500 2,000Tiempo
h(t)
= 0.001, MTBF = 1,000
= 0.002, MTBF = 500
= 0.003, MTBF = 333
Distribución Exponencial
Note que la tasa de falla tiende a ser una constante para cualquier tiempo. La distribución exponencial es la única que tiene una velocidad de falla constante
502
Distribución Lognormal La transformación más común se hace
tomando el logaritmo natural, pero también se puede hacer con los logaritmos base 2 y base 10.
Y = x1 x2 x3Ln y = ln x1 + ln x2 + ln x3
La función de densidad de probabilidad lognormal es con Y = ln(t): 2
21
21)(
y
yy
y
et
tf
m
503
Distribución Lognormal La media y la varianza de la distribución
lognormal son las siguientes:
)2/( 2meMedia
)1)((22 )2( m eeVar
504
Un tiempo de falla se distribuye según una Lognormal si el logaritmo del tiempo de falla está normalmente distribuido.
La Distribución Lognormal es una distribución sesgada hacia la derecha.
La PDF comienza en cero, aumenta hasta su moda y diminuye después.
Distribución Lognormal
505
Si un tiempo t está distribuido Lognormal, t~LN(mt, t) y si Y = ln(t) entonces Y~N(my, y)
Distribución Lognormal
2
21
21)(
y
yy
y
et
tf m
2
21
21)(
y
yy
y
eyf m
y
TttF
)ln(
)( 50
y
yyyF
m
)(
2exp
2
50y
yt T
mm )ln( 50Ty m
2
250
1
)exp(
t
t
tyT
m
mm
ym
CDF
MEDIA
MEDIANA
t y = ln(t)
2
2
1lnt
t
m 1)exp()exp( 222
50 yyT VARIANZA
(z) es la CDF de la Normal estándar
506
La Distribución de vida Lognormal, como la Weibull, es un modelo muy flexible que puede empíricamente ajustar a muchos tipos de datos de falla.
En su forma de dos parámetros tiene los parámetros sln(t) = sy parámetro de forma, y T50 = la mediana (un parámetro de escala)
Si el tiempo para la falla t, tiene una distribución Lognormal, entonces el logaritmo natural del tiempo de falla (y =ln(t)) tiene una distribución normal con media my = ln T50 y desviación estándar sy.
Distribución Lognormal
507
Esto hace a los datos lognormales convenientes para trabajarlos así:
Determine los logaritmos naturales de todos los tiempos de falla y de los tiempos censurados (y = ln(t)) y analice los datos normales resultantes.
Posteriormente, haga la conversión a tiempo real y a los parámetros lognormales usando y como la forma lognormal y T50 = exp(my como (mediana) el parámetro de escala.
Distribución Lognormal
508
Distribución Lognormal
Ejemplo: Dado t~LN(25,4), encuentre P(t<18) Calculemos los valores que nos permiten
usar la tabla normal estándar
Para poder usar las Tablas de la Normal Estándar:P(t<18) = P{Z<[ln(t/ T50)]/ y] =
P{Z<[ln(18/24.7)]/0.159} = P(Z<-1.99) = 0.023
68.242541251
2
2
2
50
t
ttT
m
m
02527.02541ln1ln
2
2
22
t
ty m
1589.002527.0 y
509
Función de Distribución Lognormal
f tt
t( ) exp
ln( )
12
12
2
m
donde m y son funciones de ln’sFunción de Densidad de Probabilidad Lognormal
0.0000
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
0 1 2 3 4 5 6 7Tiempo
f(t)
m = 0 = 0.5
m = 0 = 1
m = 1 = 0.5
m = 1 = 1
Distribución Lognormal
510
R t f t dt f t d t z dzt t z t
( ) ( ) [ln( )] [ln( )] ( )ln( ) [ln( )]
Función de Distribución Lognormal donde z[ln(t)] = [ln(t)-m/]
(z) = normal estandarizada normal pdfFunción de Confiabilidad Lognormal
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
0 1 2 3 4 5 6 7Tiempo
R(t)
m = 0 = 0.5
m = 0 = 1
m = 1 = 0.5
m = 1 = 1
Distribución Lognormal
511
h ( ) ( )( )
t f tR t
Función de Distribución Lognormal
Función Tasa de Falla Lognormal
0.0000
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
0.6000
0.7000
0 1 2 3 4 5 6 7Tiempo
h(t)
m = 0 = 0.5
m = 0 = 1
m = 1 = 0.5
m = 1 = 1
Distribución Lognormal
512
Número de ciclos de falla en la fatiga de los metales y partes metálicas, en niveles de tensión mucho menores que sus límites
Representa bien el tiempo de falla de los dispositivos mecánicos, especialmente en el caso de uso
La resistencia de materiales frecuentemente sigue una distribución Lognormal
Las variables de peso son frecuentemente bien representadas con una distribución Lognormal
Es una buena distribución para cualquier variable La medida de cualquier resultado el cual es el resultado de
una proporción o efecto multiplicativo es Lognormal
Distribución Lognormal
513
Distribución de Weibull La distribución de Weibull es una de las más
utilizadas en confiabilidad y estadística.
La versión de dos parámetros forma y escala (que representa la vida característica) no incluye el parámetro de localización es cero.
La versión de tres parámetros tiene una parámetro de localización cuando hay un tiempo de falla diferente de cero para la primera falla
514
Distribución de Weibull La función de densidad de probabilidad de
Weibull de 3 parámetros es:
Para x es el parámetro de forma es el parámetro de escala es el parámetro de localización
xxxf exp)(
1
515
Distribución de Weibull La función de densidad de probabilidad de
Weibull de 3 parámetros también se puede expresar como:
Para t 0 es el parámetro de forma es el parámetro de escala es el parámetro de localización diferente de cero
También es la vida característica si el parámetro
de localización es cero, de otra forma será +
tytf exp)(
1
516
Distribución de Weibull La media y la varianza de la distribución de
Weibull es:
m 11
1121 222
517
Distribución de Weibull Efecto del parámetro de forma Beta con Theta
= 100 y Delta = 0
518
Distribución de Weibull Efecto del parámetro de escala Theta
519
Distribución de Weibull Efecto del parámetro de escala Delta
520
El Modelo Weibull En muchas aplicaciones de confiabilidad, el
supuesto de tasa de riesgo constante no es apropiado.
Los artículos mecánicos tienen Failure Rate Creciente.
Otros artículos pueden ser Failure Rate Decreciente.
0
1
2
3
4
5
6
0 0.5 1 1.5 2
Time (t)
h(t)
Failure Rate Constante
Failure RateCrecienteFailure
Rate Decreciente
521
Un modelo que puede representar un amplio espectro de comportamientos es el modelo Weibull.
La densidad del modelo Weibull puede tomar muchas y diferentes formas.
Note que si = 1 entonces se tiene el modelo exponencial como caso particular del modelo Weibull.
1
1
)(
)(
exp)(
)(
tth
tttf
etS t
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.5 1 1.5 2
Time (t)
f(t)
= 0.5
= 2
= 3
= 1
Modelo Weibull
522
Modelo Weibull El modelo Weibull es
FRC si = 1 FRI si > 1 FRD si < 1
Entonces el parámetro muestra la forma de la función de riesgo.
0
1
2
3
4
5
6
0 0.5 1 1.5 2
Time (t)
h(t)
= 0.5 = 3
= 1FRC
FRIFRD
523
Modelo Weibull Que es ?
Entonces presenta la escala de h(t).
0
1
2
3
4
5
6
0 0.5 1 1.5 2
Time (t)
h(t) = 3 = 2 = 1
524
Modelo Weibull Los momentos de la distribución Weibull son:
11211][][)(
)(][
111)(][
22
22
0
22
0
TETETVar
dttftTE
dtttfTE
0
1 exp dxxxk k
525
El tiempo de vida (sobre horas) de cierto tipo de resorte usado continuamente bajo condiciones de funcionamiento, es sabido que tiene una distribución de Weibull con parámetro de forma 0.00022 y de escala 1.28.
Cuál es el tiempo medio de falla?
Cuál es la probabilidad de que un resorte funcionará por 500 horas?
Cuál es la probabilidad que un resorte que ha funcionado por 200 horas funcione por otras 500 horas?
Modelo Weibull
526
Se tiene un sistema de n componentes. Los componentes son independientes e
idénticamente distribuidos de acuerdo a una distribución Weibull.
Cual es la distribución del tiempo de vida del sistema?
Se sabe que
Entonces
},,min{ 1 nTTT
)},,(min{ 1 tTTPtTP n
Modelo Weibull
527
Distribución Weibull
La distribución de Weibull es un modelo de distribución de vida útil muy flexible, para el caso de 2 parámetros:
1
2
2
1
1
:FALLA DETASA
1121:VARIANZA
2ln:MEDIANA
11:MEDIA
)(:DADCONFIABILI
1)(:CDF
t
ettf
etR
etF
t
t
t
Donde h (etha) es un parámetro de escala (la vida característica) y beta se conoce como el parámetro de forma (pendiente) y G es la función Gamma con G(N)=(N-1)! para N entero
528
Distribución Weibull
1
2
2
1
1
:FALLA DETASA
1121:VARIANZA
2ln:MEDIANA
11:MEDIA
)(:DADCONFIABILI
1)(:CDF
t
ettf
etR
etF
t
t
t
Una forma más general de 3 parámetros de la Weibull incluye un parámetro de tiempo de espera localización ó desplazamiento). Las fórmulas se obtienen reemplazando t por (t-g). No puede ocurrir una falla antes de g horas, el tiempo comienza en g no en 0.
529
Función de Distribución Weibullf t t t( ) exp
1
Función de Densidad de Probabilidad Weibull
0.0000
0.0010
0.0020
0.0030
0 500 1000 1500 2000 2500 3000Tiempo
f(t)
= 0.5 = 1000
= 1.0 = 1000
= 3.4 = 1000
Distribución Weibull
530
Funciones de Distribución Weibull R t t( ) exp
Función de Confiabilidad Weibull
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
0 500 1000 1500 2000 2500 3000Tiempo
R(t)
= 0.5 = 1000
= 1.0 = 1000
= 3.4 = 1000
Distribución Weibull
531
Funciones de Distribución Weibull h
( )tt
1
Función Tasa de Falla Weibull
0.0000
0.0020
0.0040
0.0060
0 500 1000 1500 2000 2500 3000Tiempo
h(t)
= 3.4 = 1000
= 1.0 = 1000
= 0.5 = 1000
Distribución Weibull
532
Distribución Weibull La función pdf de la distribución exponencial
modela la característica de vida de los sistemas, la Weibull modela la característica de vida de los componentes y partes
Modela fatiga y ciclos de falla de los sólidos Es el traje correcto para datos de vida
La función de distribución Weibull pdf es una distribución de la confiabilidad de los elementos de una muestra
Muy flexible y puede tomar diferentes formas
Distribución Weibull
533
Distribución Weibull Tiene usted una Distribución Weibull con =2 y =2, ¿Cuál es la media y la varianza?
2
2 1121varianza
11
m
12 3
Archivo Weibull.xls
534
tiempo
Índi
ce d
e fa
lla
Tiempo de vida útilFallastempranas
Desgaste
decreciente
< 1
constante
= 1
creciente
> 1
< 1 disminuye la tasa de riesgo, implica mortalidad infantil = 1 tasa de riesgo constante, fallas aleatorias1< < 4 aumenta la tasa de riesgo, fallas por corrosión, erosión > 4 aumenta rápidamente la tasa de riesgo, implica fallas por desgaste y envejecimiento
Las tres porciones de la curva de tina de la bañera tienen diferentes índices de falla. Las fallas tempranas se caracterizan por un índice de falla decreciente, la vida útil por un índice de falla constante y el desgaste se caracteriza por un índice de falla creciente. La distribución de Weibull puede modelar matemáticamente estas tres situaciones.
Distribución Weibull
< 1 (Tasa de riesgo decreciente)
• Implica mortalidad infantil
• Si esto ocurre, puede existir: Carga, inspección o prueba inadecuada Problemas de Manufactura Problemas de reparación
• Si un componente sobrevive la mortalidad infantil , la resistencia a fallar mejora con la edad.
= 1 (Tasa de riesgo constante)
• Implica fallas aleatorias(Distribución Exponencial)
• Una parte vieja es tan buena como una nueva
• Si esto ocurre: Mezcla de modos de falla Las fallas pueden deberse a eventos
externos, como:luminosidad o errores humanos
Fundido y removido antes de su desgaste1 <4 (Tasa de Riesgo creciente)
• Si esto ocurre La mayoría de los baleros y engranes
fallan Corrosión o Erosión El reemplazo programado puede ser
efectivo en costo- =3.44aprox. Normal, =2Rayleigh
4 (La tasa de riesgo crece rápidamente)
• Implica edad avanzada y rápido desgaste
• Si esto ocurre, sospeche de: Propiedades del material Materiales frágiles como la cerámica Variabilidad pequeña en manufactura o
material
La Distribución Weibull - Interpretación
536
• Cuando = 2.5 la Weibull se aproxima a la distribución Lognormal(estas distribuciones son tan cercanas que se requieren tamaños de muestra mayores a 50 para distinguirlas).
• Cuando se modela el tiempo que se necesita para que ocurran reacciones químicas, se ha mostrado que la distribución Lognormal usualmente proporciona un mejor ajuste que la Weibull.
• Cuando = 5 la Weibull se aproxima a una Normal puntiaguda.
Distribución Weibull
537
Debido a su flexibilidad,hay pocas tasas de falla observadas que no pueden modelarse adecuadamente mediante la Weibull. Algunos ejemplos son.
1.La resistencia a la ruptura de componentes o el esfuerzo requerido para la fatiga de metales.
2.El tiempo de falla de componentes electrónicos.
3.El tiempo de falla para artículos que se desgastan, tales como las llantas de un automóvil.
4.Sistemas que fallan cuando falla el componente más débil del sistema(la distribución Weibull representa una distribución de valor extremo).
Distribución Weibull
538
• ¿Qué pasa en una distribución Weibull si el tiempo tiene el valor de la vida característica, t = ?
Distribución Weibull
6321.0)(1)(
3678.0exp)(
t si
exp)(
1
tRtF
etR
ttR
Al llegar al tiempo de vida igual a la vida característica el 63.2% de los elementos habrá fallado. Este hecho se usa en las gráficas para identificar el valor de h (eta)
Este mismo resultado se obtiene para el caso exponencial, recordando que la Weibull se puede reducir a una exponencial cuando b = 1.
539
V.F Capacidad de procesos
540
V.F Capacidad de procesos1. Índices de capacidad de procesos2. Índices de desempeño de procesos
3. Capacidad a corto y a largo plazo4. Capacidad de proceso de datos no normales
5. Capacidad de proceso para datos por atributos
6. Estudios de capacidad de procesos7. Desempeño de procesos vs. especificaciones
541
V.F.1 Índices de capacidad del proceso
Nigel´s Trucking Co.
Teoría del camión y el túnel• El túnel tiene 9' de ancho (especificación). El camión tiene 10’ y el chofer es perfecto(variación del proceso). ¿Pasaría el camión? NO, la variabilidad del proceso es mayor que la especificación.• Centrar es hacer que el promedio del proceso sea igual al centro de laespecificación. Si el camión tiene 8 pies de ancho ¿pasará el camión?, Si. Siel chofer puede mantener el centro del camión en el centro del túnel. De otra forma chocará con las paredes del túnel y no pasará a pesar de ser más angosto.
Ancho 9´
El proceso debe estar en control, tener capacidad y estar centrado
543
Objetivos de la capacidad del proceso
1. Predecir que tanto el proceso cumple especificaciones
2. Apoyar a diseñadores de producto o proceso en sus modificaciones
3. Especificar requerimientos de desempeño para el equipo nuevo
4. Seleccionar proveedores
5. Reducir la variabilidad en el proceso de manufactura
6. Planear la secuencia de producción cuando hay un efecto interactivo de los procesos en las tolerancias
544
Análisis de la capacidad de proceso – Estudios de capacidad La capacidad del proceso es un patrón
predecible de comportamiento estadístico estable donde las causas de variación se comparan con las especificaciones.
545
_Xxi
s
Z
LIEEspecificación inferior
LSEEspecificación superior
p = porcentaje de partes fuera de Especificaciones
Análisis de la capacidad de proceso – Estudios de capacidad
546
¿Cómo vamos a mejorar esto?
Podemos reducir la desviación estándar...
Podemos cambiar la media...
O (lo ideal sería, por supuesto) que podríamos cambiar ambas
Cualquiera que sea la mejora que lleve a cabo,asegúrarse que se mantenga
547
Procedimiento1. Seleccionar una máquina donde realizar el estudio
2. Seleccionar las condiciones de operación del proceso
3. Seleccionar un operador entrenado
4. El sistema de medición debe tener habilidad (error R&R < 10%)
5. Cuidadosamente colectar la información
6. Construir un histograma de frecuencia con los datos
7. Calcular la media y desviación estándar del proceso
548
Objetivos: Establecer un estado de control sobre el
proceso de manufactura mantenerlo en el tiempo.
Al comparar el proceso vs los límites de especificación pueden ocurrir los siguientes eventos: No hacer nada Cambiar las especificaciones Centrar el proceso+ Reducir la variabilidad Aceptar las pérdidas
Análisis de la capacidad de proceso – Estudios de capacidad
549
Identificación de características: Deben ser indicativas de un factor clave en la
calidad del producto o proceso
Debería ser posible ajustar el valor de la característica como factor de control
Las condiciones de operación que afecten la característica medida deben ser identificadas y controladas
El PPAP indica la evaluación una inicial de la capacidad
Análisis de la capacidad de proceso – Estudios de capacidad
550
La desviación estándar del proceso cuando se encuentra en control se determina como sigue con base en una carta de control X-R siempre que esté bajo control estadístico:
Desv. Est. st
(Within)=
Rango medio
Constante d2 de acuerdo al tamaño de subgrupo en X-R
D2 = 1.128 para carta I-MR con n=2D2= 2.326 para carta X-R con n=5
Estimación de la desviación estándar
con el proceso normal o en control
551
Límites de tolerancia natural del proceso
LTNS = Media + 3*sigma
LTNI = Media – 3*sigma
Si los límites de especificación son: LIE y LSE
El Cp = (LSE – LIE) / (LTNS – LTNI) debe ser mayor a 1
552
Los valores de Z inferior y Z superior se calculan de acuerdo a las fórmulas siguientes:
Zi = LIE - promedio del procesoDesviación Estándar - st
LSE - Promedio del proceso
Desviación Estándar - st
La fracción defectiva se calcula con la distribución normal estándar:
P(Zi) = Área en tabla (-Z) P(Zs) = 1 – Área corresp. a Zs en tabla (+Z)
Zs =
Fracción defectiva = P(Zi) + P(Zs)
Capacidad del procesoZ’s y P(Z’s) Fracción defectiva
553
El índice de capacidad potencial del Proceso (Cp) mide la variación del proceso en relación con el rango de Especificación.
Cp = ToleranciaVariación del proceso
=LSE - LIE
6 Desviaciones Estándar - st
La relación de capacidad (CR) es la inversa del cálculo de Cp. Este índice le indica que porcentaje de la especificación está siendo usado por la variación del proceso.
CR = Rango del procesoTolerancia
= 6 desviaciones estándar - stLSE - LIE
Índices de Capacidad Potencial del proceso en control – Corto
plazo
Otro índice que toma en cuenta el centrado del proceso vsMedia de Especificaciones M es:
22 )(6 MX
LIELSECpm
554
Cpk es una medida de la capacidad real del proceso en función de la posición de la media del proceso (X) en relación con con los límites de especificación.
Con límites bilaterales da una indicación del centrado.
Es el menor de:
Cpk = LSE - promedio del proceso3 desviaciones Est. - st y
Promedio del proceso - LIE3 desviaciones Estándar - st
Índice de capacidad real del proceso
en control estadístico – corto plazo
555
Cálculo de la capacidad del proceso
Habilidad o capacidad potencial Cp = (LSE - LIE ) / 6 st
Debe ser 1.33, si está entre 1 – 1.33 requiere mucho control, <1 inac.para tener el potencial de cumplir con especificaciones (LIE, LSE)
Habilidad o capacidad real Cpk = Menor | ZI y ZS | / 3El Cpk debe ser 1.33 para que elproceso cumpla especificaciones, entre 1 y 1.33 requiere control, <1 inac.
556
Tasa de falla vs Cp
557
Tasa de capacidad
Tasa de capacidad l Cp = 6 st/ (LSE - LIE )
Debe ser <= 0.75 si está entre 0.75 y 1 requiere mucho control, >1 inac.para tener el potencial de cumplir con especificaciones (LIE, LSE)
Índice Cpm basado en el índice de Taguchi, equivale al Cp tomando en cuenta el centrado:T = valor objetivo
558
Los valores de Z inferior y Z superior se calculan de acuerdo a las fórmulas siguientes:
Zi = LIE - promedio del procesoDesviación Estándar - st
LSE - Promedio del proceso
Desviación Estándar - st
La fracción defectiva se calcula con la distribución normal estándar:
P(Zi) = Área en tabla (-Z) P(Zs) = 1 – Área corresp. a Zs en tabla (+Z)
Zs =
Fracción defectiva = P(Zi) + P(Zs)
Capacidad del procesoZ’s y P(Z’s) Fracción defectiva
559
Capacidad de proceso a partir de Histogramas y Distribución
normal
560
EjemploSe tomaron los datos siguientes:
265 205 263 307 220 268 260 234 299197 286 274 243 231 267 281 265 214346 317 242 258 276 300 208 187 264280 242 260 321 228 250 299 258 267265 254 281 294 223 260 308 235 283200 235 246 328 296 276 264 269 235221 176 248 263 231 334 280 265 272265 262 271 245 301 280 274 253 287261 248 260 274 337 250 278 254 274278 250 265 270 298 257 210 280 269215 318 271 293 277 290 283 258 275251
561
Ejemplo (cont…)Agrupando los datos en celdas se tiene:
Intervalo Marca Frecuencia Frecuencia de clase de clase Frecuencia Relativa Absoluta170 - 189 179.5 2 0.02 0.02190 - 209 199.5 4 0.04 0.06210-229 219.5 7 0.07 0.13230-249 239.5 13 0.13 0.26250-269 259.5 32 0.32 0.58270-289 279.5 24 0.24 0.82290-309 299.5 11 0.11 0.93310-329 319.5 4 0.04 0.97330-349 339.5 3 0.03 1.00 .
562
Ejemplo (cont…)
El histograma es el siguiente (se observa con forma normal):
05
101520253035
170-189
210-229
250-269
290-309
330-349
Frec.
563
Ejemplo (cont…)
Calculando la media y la desviación estándar se tiene:
X-media = 264.06 s = 32.02
La variabilidad del proceso se encuentra en 6 = 192.12Si las especificaciones fueran LIE = 200 y LSE = 330
Cp = (330 - 200 ) / 192.2 < 1 no es hábil el proceso
Zi = (330 - 264.06) / 32.02 Zs = (200 - 264.06) / 32.02
Cpk = menor de Zi y Zs < 1 el proceso no cumple especificaciones
564
EjercicioCalcular la capacidad del proceso con la distribución de frecuencias siguiente considerando LIE = 530 y LSE = 580:
Intervalo Frecuencia Frecuenciade clase Marca de clase Frecuencia Relativa Absoluta .
531 - 535 533 6536 - 540 538 8541 - 545 543 12546 - 550 548 13551 - 555 553 20556 - 560 558 19561 - 565 563 13566 - 570 568 11571 - 575 573 8
565
Ejemplo de capacidad de proceso
13.612.812.011.210.49.6
LSL USLProcess Data
Sample N 50StDev(Within) 0.85577StDev(Overall) 0.80259
LSL 9.00000Target *USL 14.00000Sample Mean 11.74400
Potential (Within) Capability
CCpk 0.97Overall Capability
Pp 1.04PPL 1.14PPU 0.94Ppk
Cp
0.94Cpm *
0.97CPL 1.07CPU 0.88Cpk 0.88
Observed PerformancePPM < LSL 0.00PPM > USL 0.00PPM Total 0.00
Exp. Within PerformancePPM < LSL 671.85PPM > USL 4191.66PPM Total 4863.51
Exp. Overall PerformancePPM < LSL 314.35PPM > USL 2470.24PPM Total 2784.59
WithinOverall
Process Capability of Viscosidad
566
Interpretación de salida Minitab
Desviación estándar “Within” se determina con R / d2, se usa para determinar los índices de capacidad a corto plazo Cp, Cpk y PPM “Within”
Desviación estándar “Overall” det. Con la desviación estándar de los datos S/C4, donde C4=4(n–1)/(4n-3)), se usa para determinar los índices de Desempeño Pp, Ppk y PPM “Overall”
El “Observed Perfomance” se determina comparando los datos de la muestra con las especificaciones
567
Capacidad a partir de cartas de control
568
EN CASOS ESPECIALES COMO ESTOSDONDE LAS VARIACIONES PRESENTES SON TOTALMENTE INESPERADASTENEMOSUN PROCESO INESTABLE o “IMPREDECIBLE”. ?
? ? ? ?? ?
569
Bases del CEP
SI LAS VARIACIONES PRESENTES SON IGUALES, SE DICE QUE SE TIENE UN PROCESO “ESTABLE”. LA DISTRIBUCION SERA “PREDECIBLE” EN EL TIEMPO
Predicción
Tiempo
570
Control y Capacidad de Proceso Control de Proceso:
Cuando la única fuente de variación es normal o de causa común, se dice que el proceso esta operando en “CONTROL”.
Capacidad de Proceso:
Medición estadística de las variaciones de causa común que son demostradas por un proceso. Un proceso es capaz cuando la causa común de variación cae dentro de las especificacionesdel cliente. La capacidad no se puede determinar a menos que el proceso se encuentre en Control y Estable.
571
Proceso en Control Estadístico La distribución de la mayoría de las características medidas forman una curva en forma de campana o normal, si no hay causas especiales presentes, que alteren la normalidad . ¿cuales son las causas comunes?|
Distribucióndel Proceso
Area entre 0 y 1s -Probabilidad de Ocurrencia
_ x= media s= sigma; es la desviación estándar; medida de la variación del proceso.14 % 14 %
2% 2%-3s -2s -1s x +1s +2s 3s
99.73%
34% 34%
x
572
Ejemplo de carta de control X-R
Sample
Sam
ple
Mea
n
18161412108642
90
80
70
60
__X=72.69
UCL=86.84
LCL=58.53
Sample
Sam
ple
Rang
e
18161412108642
48
36
24
12
0
_R=24.54
UCL=51.89
LCL=0
Xbar-R Chart of Pulse1
573
Desviación estándar: Si el proceso sigue una distribución normal y
está en control estadístico, entonces la desviación estándar puede ser estimada de:
Para procesos nuevos, se puede estimar la capacidad del proceso de una producción piloto
Estudios de capacidad
2dR
R
574
Desviación Estándar del proceso
Donde, = Desviación estándar de la poblaciónd2 = Factor que depende del tamaño del subgrupo en la carta de control X - RC4 = Idem al anterior para una carta X - S
NOTA: En una carta por individuales, d2 se toma para n = 2 y Rango Medio= Suma rangos / (n -1)
= R o = S d2 c4
575
Capacidad de procesoCuando las causas comunes son la única variación:
Cp El índice de capacidad potencial del proceso compara la amplitud del proceso con la amplitud especificada. Cp = (LSE - LIE) / 6
Cpk El índice de capacidad real del proceso compara la media real con el límite de especificaciones más cercano (LE) a esta.
Cpk = LE – Xmedia Cpk = menor |Z1 ; Z2| / 3 3
576
Ejemplo (carta X - R) De una carta de control X - R (con subgrupo n = 5) se obtuvo lo siguiente, después de que el proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes:
Xmedia de medias = 264.06 Rmedio = 77.3
Por tanto estimando los parámetros del proceso se tiene:
m = X media de medias = Rmedio / d2 =77.3 / 2.326 = 33.23
[ d2 para n = 5 tiene el valor 2.326]
Si el límite de especificación es: LIE = 200. El Cpk = (200 - 264.06) / (77.3) (3) = 0.64 por tanto el proceso no cumple con las especificaciones
577
Ejemplo (carta X - S)
De una carta de control X - S (con subgrupo n = 5) se obtuvo lo siguiente, después de que el proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes:
Xmedia de medias = 100 Smedio = 1.05
Por tanto estimando los parámetros del proceso se tiene:
m = X media de medias = Smedio / C4 = 1.05 / 0.94 = 1.117
[ C4 para n = 5 tiene el valor 0.94 ]Si el límite de especificación es: LIE = 85 y el LSE = 105. El Cpk = (105 - 100) / (1.117 ) (3) = 1.492El Cp = (105 - 85) / 6 (1.117 ) = 2.984por tanto el proceso es capaz de cumplir con especificaciones
578
Ejercicios 1) De una carta de control X - R (con subgrupo n = 8) se obtuvo lo siguiente, después de que el proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes (LIE = 36, LSE = 46):
Xmedia de medias = 40 Rmedio = 5
2) De una carta de control X - S (con subgrupo n = 6) se obtuvo lo siguiente, después de que el proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes (LIE = 15, LSE = 23):
Xmedia de medias = 20 Smedio = 1.5
579
V.F.2 Índices de desempeño del proceso
580
Se toman todos los datos del proceso históricos, no importa que el proceso no esté en control o no sea normal.
Desv. Est. lt(Overall)
=
Estimación de la desviación estándar
con el proceso a largo plazo
44
1
2
)(
34)1(4
1
)(
CdatosDesvest
CS
nnn
XXin
i
lt
581
El índice de desempeño potencial del Proceso (Pp) mide la variación del proceso en relación con el rango de Especificación.
Pp = ToleranciaVariación del proceso
=LSE - LIE
6 Desviaciones Estándar - lt
La relación de capacidad (CR) es la inversa del cálculo de Cp. Este índice le indica que porcentaje de la especificación está siendo usado por la variación del proceso.
CR = Rango del procesoTolerancia
= 6 desviaciones Est. - ltLSE - LIE
Índices de desempeño Potencial del proceso – Largo plazo
582
Ppk es una medida del desempeño real del proceso en función de la posición de la media del proceso (X) en relación con con los límites de especificación.
Con límites bilaterales da una indicación del centrado.
Es el menor de:
Ppk = LSE - promedio del proceso3 desviaciones est. - lt y
Promedio del proceso - LIE3 desviaciones Estándar - lt
Índice de desempeño real del proceso – largo plazo
583
Cálculo del desempeño del proceso a lago plazo
Índice de desempeño potencial Pp = (LSE - LIE ) / 6 lt
Debe ser 1 de preferencia >1.33para tener el potencial de cumplir con especificaciones (LIE, LSE)
Índice de desempeño real Ppk = Menor | ZI y ZS | / 3El Ppk debe ser 1 para que elproceso cumpla especificacionesde preferencia > 1.33
584
IIIF.5 Capacidad a corto y a largo plazo
585
Corto y largo plazos Corto plazo:
Es un periodo corto de tiempo en el cual no hay cambios significativos en el proceso en relación a las 6M’s (personal, materiales, métodos, medio ambiente, mediciones, máquinas)
Largo Plazo Es el periodo de tiempo en el cual ya han
ocurrido todos los cambios posibles en el proceso, se trata de información histórica
586
Carta de corridas cortas Se puede utilizar una carta X-R modificada
para corridas cortas, con base en subgrupos de 3 a 10 piezas.
Inicialmente se utilizan A2 y D4 para calcular los límites de control que se modifican al tomar más puntos
El Cpk calcualdo de esta forma se considera preliminar
587
V.F.4 Análisis de la Capacidad de procesos no normales
588
Procesos no normales Los datos no siempre se ajustan a la
distrubución normal. Una estrategia es traansformar los datos no normales para lograr un comportamiento normal
Una alternativa es la transformación de potencia de Box-Cox dada por:
0;1)(
2
xx
0;)ln()( x
589
Procesos no normales Dadas las observaciones X1, X2, X3,….., Xn,
seleccionar la potencia que maximice el logaritmo
Con la media aritmética de los datos transformados dada por:
n
ii
n
i
i xn
xxnxf11
2
)ln()1())()((
ln2
)(
n
iix
nx
1
)(1)(
590
Capacidad de procesos no normales y transformaciones de
datos Para procesos no normales, utilizar la
distribución de Weibull
Para transformaciones de datos no normales en normales utilizar la transformación de Box Cox
591
Capacidad de procesos no normales usando la distribución
de Weibull Con archivo de Minitab TILES.MTW
7.56.04.53.01.50.0
LSL USLProcess Data
Sample N 100Shape 1.69368Scale 3.27812
LSL 0.00000Target *USL 8.00000Sample Mean 2.92307
Overall CapabilityPp 0.81PPL 1.03PPU 0.73Ppk 0.73
Observed PerformancePPM < LSL 0PPM > USL 20000PPM Total 20000
Exp. Overall PerformancePPM < LSL 0.0PPM > USL 10764.5PPM Total 10764.5
Process Capability of WarpingCalculations Based on Weibull Distribution Model
592
Capacidad de procesos no normales transformando datos
con Box - Cox Con archivo de Minitab TILES.MTW, lamda =
0.5
Lambda
StDe
v
543210-1-2
20
15
10
5
0
Lower CL Upper CL
Limit
Lambda
0.500000
(using 95.0% confidence)Estimate 0.345504Lower CL 0.052120Upper CL 0.642093Best Value
Box-Cox Plot of Warping
593
Capacidad de procesos no normales transformando datos
con Box - Cox Con la raíz cuadrada de los datos y de los límites de
especificaciones se tiene:
2.82.42.01.61.20.80.40.0
LSL USLProcess Data
Sample N 100StDev(Within) 0.51337StDev(Overall) 0.53934
LSL 0.00000Target *USL 2.82843Sample Mean 1.62374
Potential (Within) Capability
CCpk 0.92Overall Capability
Pp 0.87PPL 1.00PPU 0.74Ppk
Cp
0.74Cpm *
0.92CPL 1.05CPU 0.78Cpk 0.78
Observed PerformancePPM < LSL 0.00PPM > USL 20000.00PPM Total 20000.00
Exp. Within PerformancePPM < LSL 781.08PPM > USL 9472.66PPM Total 10253.74
Exp. Overall PerformancePPM < LSL 1303.73PPM > USL 12754.26PPM Total 14057.99
WithinOverall
Process Capability of Transf
594
Capacidad de procesos por Pearson
• Independientemente de si los datos siguen una distribución normal o no, se pueden calcular los índices de capacidad y habilidad de proceso determinando los valores de los “Percentiles” o “límites de control” equivalentes a un área bajo la curva de 0.135% de cada lado de la misma.
• Este método ha sido propuesto por Clements (1989) con base en las curvas de Karl Pearson (1893), para ello, es necesario caracterizar la curva de distribución de acuerdo a su posición (Media), dispersión (Desviación Estándar) y forma (Grado de asimetría mediante el Sesgo y grado de “achatamiento” o Kurtosis).
595
Capacidad de procesos por Pearson
Procedimiento : Identificar los límites de especificación de la
variable de interés (LSE, LIE) Calcular la Media (y). Calcular la Desviación estándar (s ó s) Calcular el coeficiente de sesgo (a3)
596
Capacidad de procesos por Pearson
Cálculo del sesgo:
Donde : momento 3 = m3 = (S(yi – y)3)/n
a3 = n .(n-1)(n-2) S
i=1
n ( ) yi – y s
3O bien :
a3 > 0 a3 < 0a3 = 0
597
Capacidad de procesos por Pearson
Calcular el coeficiente de curtosis (a4 -3)
a4 = m4 / 4 Donde : momento 4 = m4 = (S(yi – y)4)/n
a4-3 = n (n+1) .(n-1)(n-2)(n-3) S
i=1
n ( ) yi – y s
4{ } 3 (n-1)2 .(n-2)(n-3) -
O bien :
Curva Leptocúrtica : a4 > 3
Curva Mesocúrtica : a4 = 3Curva Platicúrtica : a4 < 3
598
Con Minitab Stat > Basic Statistics > Display descriptive statistics >> Graphs... >> Graphical Summary
1.000.850.700.550.40
95% Confidence Interval for Mu
0.580.530.48
95% Confidence Interval for Median
Variable: Dist.1
0.47619
0.12829
0.51402
Maximum3rd QuartileMedian1st QuartileMinimum
NKurtosisSkewnessVarianceStDevMean
P-Value:A-Squared:
0.52875
0.17075
0.57338
1.111110.588240.513160.454550.34483
962.485151.44751
2.15E-020.1464900.543699
0.0003.073
95% Confidence Interval for Median
95% Confidence Interval for Sigma
95% Confidence Interval for Mu
Anderson-Darling Normality Test
Descriptive Statistics
599
Con MinitabDe la tabla 2 de las curvas de Pearson obtenga
la Mediana estandarizada (M’) :Para coeficiente de sesgo positivo cambie el signo a
M’.Para coeficiente de sesgo negativo deje el signo de
M’.Calcular el percentil 0.135 estimado (PI) :
PI = y – s * PI’Calcular percentil 99.865 estimado
(PS) : PS = y + s * PS’Calcular la Mediana estimada (M) :
M = y + s * M’
600
Con MinitabCalcular el índice de capacidad potencial de proceso
(Pp). LSE - LIE PS - PI
Pp =
Calcular el índice de habilidad del proceso (Ppk)
Ppk = min {Ppi, Pps}
M - LIE M - PI
Ppi =
LSE – M PS - M
Pps =
Tabla 1a de PearsonCurtosis Sesgo Curtosis
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0-1.4 1.512 1.421 1.317 1.206 1.092 0.979 0.868 0.762 -1.4-1.2 1.727 1.619 1.496 1.364 1.230 1.100 0.975 0.858 0.747 -1.2-1.0 1.966 1.840 1.696 1.541 1.384 1.232 1.089 0.957 0.836 -1.0-0.8 2.210 2.072 1.912 1.736 1.555 1.377 1.212 1.062 0.927 0.804 0.692 -0.8-0.6 2.442 2.298 2.129 1.941 1.740 1.539 1.348 1.175 1.023 0.887 0.766 0.656 -0.6-0.4 2.653 2.506 2.335 2.141 1.930 1.711 1.496 1.299 1.125 0.974 0.841 0.723 0.616 -0.4-0.2 2.839 2.692 2.522 2.329 2.116 1.887 1.655 1.434 1.235 1.065 0.919 0.791 0.677 0.574 -0.20.0 3.000 2.856 2.689 2.500 2.289 2.059 1.817 1.578 1.356 1.163 1.000 0.861 0.739 0.630 0.531 0.00.2 3.140 2.986 2.834 2.653 2.447 2.220 1.976 1.726 1.485 1.269 1.086 0.933 0.801 0.686 0.583 0.20.4 3.261 3.088 2.952 2.785 2.589 2.368 2.127 1.873 1.619 1.382 1.178 1.008 0.865 0.742 0.634 0.536 0.40.6 3.366 3.164 3.045 2.896 2.714 2.502 2.267 2.015 1.754 1.502 1.277 1.087 0.931 0.799 0.685 0.583 0.469 0.60.8 3.458 3.222 3.118 2.986 2.821 2.622 2.396 2.148 1.887 1.625 1.381 1.172 1.000 0.857 0.736 0.629 0.533 0.81.0 3.539 3.266 3.174 3.058 2.910 2.727 2.512 2.271 2.013 1.748 1.491 1.262 1.072 0.917 0.787 0.675 0.575 0.484 1.01.2 3.611 3.300 3.218 3.115 2.983 2.817 2.616 2.385 2.132 1.876 1.602 1.357 1.149 0.979 0.840 0.721 0.617 0.510 1.21.4 3.674 3.327 3.254 3.161 3.043 2.893 2.708 2.488 2.243 1.981 1.713 1.456 1.230 1.045 0.894 0.768 0.659 0.562 0.475 1.41.6 3.731 3.349 3.282 3.199 3.092 2.957 2..787 2.581 2.345 2.089 1.821 1.556 1.316 1.113 0.950 0.815 0.701 0.600 0.510 1.61.8 3.782 3.367 3.306 3.229 3.133 3.011 2.855 2.664 2.438 2.189 1.925 1.664 1.404 1.185 1.008 0.863 0.743 0.638 0.546 0.461 1.82.0 3.828 3.382 3.325 3.255 3.167 3.055 2.914 2.736 2.524 2.283 2.023 1.755 1.494 1.261 1.068 0.913 0.785 0.676 0.580 0.494 2.02.2 3.870 3.395 3.342 3.277 3.196 3.093 2.964 2.800 2.600 2.369 2.116 1.850 1.584 1.339 1.132 0.964 0.828 0.714 0.615 0.526 0.445 2.22.4 3.908 3.405 3.356 3.295 3.220 3.126 3.006 2.855 2.669 2.448 2.202 1.940 1.673 1.420 1.198 1.018 0.873 0.752 0.649 0.557 0.475 2.42.6 3.943 3.415 3.367 3.311 3.241 3.153 3.043 2.904 2.730 2.521 2.283 2.026 1.760 1.501 1.267 1.073 0.918 0.791 0.683 0.589 0.504 2.62.8 3.975 3.423 3.378 3.324 3.259 3.177 3.075 2.946 2.784 2.586 2.358 2.107 1.844 1.581 1.338 1.131 0.965 0.830 0.717 0.620 0.533 2.83.0 4.004 3.430 3.387 3.326 3.274 3.198 3.103 2.983 2.831 2.646 2.427 2.183 1.924 1.661 1.410 1.191 1.013 0.870 0.752 0.651 0.562 3.03.2 4.031 3.436 3.395 3.346 3.288 3.216 3.127 3.015 2.874 2.699 2.491 2.254 2.000 1.738 1.483 1.253 1.063 0.911 0.787 0.681 0.590 3.23.4 4.056 3.441 3.402 3.356 3.300 3.233 3.149 3.043 2.911 2.747 2.549 2.321 2.072 1.813 1.555 1.317 1.115 0.953 0.822 0.712 0.618 3.43.6 4.079 3.446 3.408 3.364 3.311 3.247 3.168 3.069 2.945 2.790 2.602 2.383 2.140 1.884 1.626 1.381 1.169 0.996 0.858 0.744 0.646 3.63.8 4.101 3.450 3.414 3.371 3.321 3.259 3.184 3.091 2.974 2.829 2.651 2.440 2.205 1.953 1.695 1.446 1.224 1.041 0.895 0.775 0.674 3.84.0 4.121 3.454 3.419 3.378 3.329 3.271 3.200 3.111 3.001 2.864 2.695 2.494 2.265 2.018 1.762 1.510 1.281 1.088 0.932 0.807 0.702 4.04.2 4.140 3.458 3.423 3.384 3.337 3.281 3.213 3.129 3.025 2.895 2.735 2.543 2.321 2.080 1.827 1.574 1.338 1.135 0.971 0.839 0.730 4.24.4 4.157 3.461 3.428 3.389 3.344 3.290 3.225 3.145 3.047 2.923 2.771 2.588 2.374 2.138 1.889 1.636 1.396 1.184 1.011 0.872 0.758 4.44.6 4.174 3.464 3.431 3.394 3.350 3.299 3.236 3.160 3.066 2.949 2.805 2.629 2.424 2.194 1.948 1.697 1.453 1.234 1.052 0.905 0.786 4.64.8 4.189 3.466 3.435 3.399 3.356 3.306 3.246 3.173 3.084 2.972 2.835 2.668 2.470 2.246 2.005 1.756 1.510 1.285 1.094 0.939 0.815 4.85.0 4.204 3.469 3.438 3.403 3.362 3.313 3.256 3.186 3.100 2.994 2.863 2.703 2.513 2.296 2.059 1.813 1.566 1.336 1.137 0.975 0.844 5.05.2 4.218 3.471 3.441 3.406 3.367 3.320 3.264 3.197 3.114 3.013 2.888 2.735 2.562 2.342 2.111 1.867 1.621 1.387 1.181 1.010 0.874 5.25.4 4.231 3.473 3.444 3.410 3.371 3.326 3.272 3.207 3.128 3.031 2.911 2.765 2.589 2.386 2.160 1.920 1.675 1.438 1.225 1.047 0.904 5.45.6 4.243 3.475 3.446 3.413 3.375 3.331 3.279 3.216 3.140 3.047 2.933 2.793 2.624 2.427 2.206 1.970 1.727 1.489 1.270 1.085 0.935 5.65.8 4.255 3.477 3.448 3.416 3.379 3.336 3.286 3.225 3.152 3.062 2.952 2.818 2.656 2.465 2.250 2.019 1.778 1.539 1.316 1.123 0.966 5.86.0 4.266 3.478 3.451 3.419 3.383 3.341 3.292 3.233 3.162 3.076 2.970 2.841 2.685 2.501 2.292 2.065 1.827 1.588 1.361 1.162 0.999 6.06.2 4.276 3.480 3.453 3.422 3.386 3.345 3.297 3.240 3.172 3.089 2.987 2.863 2.713 2.535 2.332 2.109 1.874 1.635 1.407 1.202 1.031 6.26.4 4.286 3.481 3.454 3.424 3.389 3.349 3.303 3.247 3.181 3.100 3.003 2.883 2.739 2.567 2.369 2.151 1.919 1.682 1.452 1.242 1.065 6.46.6 4.296 3.483 3.456 3.426 3.392 3.353 3.308 3.254 3.189 3.111 3.017 2.902 2.763 2.597 2.405 2.191 1.962 1.727 1.496 1.282 1.099 6.66.8 4.305 3.484 3.458 3.429 3.395 3.357 3.312 3.260 3.197 3.122 3.030 2.919 2.785 2.624 2.438 2.229 2.004 1.771 1.540 1.323 1.134 6.87.0 4.313 3.485 3.459 3.431 3.398 3.360 3.316 3.265 3.204 3.131 3.043 2.936 2.806 2.651 2.469 2.265 2.044 1.814 1.583 1.363 1.169 7.07.2 4.322 3.486 3.461 3.432 3.400 3.363 3.321 3.270 3.211 3.140 3.054 2.951 2.825 2.675 2.499 2.300 2.083 1.855 1.625 1.403 1.204 7.27.4 4.330 3.487 3.462 3.434 3.403 3.366 3.324 3.275 3.218 3.148 3.065 2.965 2.843 2.698 2.527 2.333 2.120 1.895 1.666 1.443 1.240 7.47.6 4.337 3.488 3.464 3.436 3.405 3.369 3.328 3.280 3.224 3.156 3.075 2.978 2.860 2.720 2.554 2.364 2.155 1.933 1.706 1.482 1.276 7.67.8 4.344 3.489 3.465 3.437 3.407 3.372 3.331 3.284 3.229 3.164 3.085 2.990 2.876 2.740 2.579 2.394 2.189 1.970 1.744 1.521 1.311 7.88.0 4.351 3.490 3.466 3.439 3.409 3.374 3.335 3.289 3.235 3.171 3.094 3.002 2.891 2.759 2.603 2.422 2.221 2.005 1.782 1.559 1.347 8.08.2 4.358 3.491 3.467 3.440 3.411 3.377 3.338 3.292 3.240 3.177 3.103 3.013 2.906 2.777 2.625 2.449 2.252 2.040 1.818 1.596 1.382 8.28.4 4.365 3.492 3.468 3.442 3.412 3.379 3.340 3.296 3.244 3.183 3.111 3.023 2.919 2.794 2.646 2.475 2.282 2.073 1.854 1.632 1.418 8.48.6 4.371 3.492 3.469 3.443 3.414 3.381 3.343 3.300 3.249 3.189 3.118 3.033 2.932 2.810 2.666 2.499 2.310 2.104 1.888 1.667 1.452 8.68.8 4.377 3.493 3.470 3.444 3.416 3.383 3.346 3.303 3.253 3.195 3.125 3.042 2.943 2.825 2.685 2.522 2.337 2.135 1.921 1.702 1.486 8.89.0 4.382 3.494 3.471 3.445 3.417 3.385 3.348 3.306 3.257 3.200 3.132 3.051 2.955 2.839 2.703 2.544 2.363 2.164 1.953 1.736 1.520 9.09.2 4.388 3.495 3.472 3.447 3.418 3.387 3.351 3.309 3.261 3.205 3.138 3.059 2.965 2.853 2.720 2.565 2.388 2.192 1.984 1.768 1.553 9.29.4 4.393 3.495 3.473 3.448 3.420 3.388 3.353 3.312 3.265 3.209 3.144 3.067 2.975 2.866 2.736 2.585 2.411 2.219 2.014 1.800 1.586 9.49.6 4.398 3.496 3.473 3.449 3.421 3.390 3.355 3.315 3.268 3.214 3.150 3.075 2.985 2.878 2.752 2.604 2.434 2.245 2.042 1.831 1.617 9.69.8 4.403 3.496 3.474 3.450 3.422 3.392 3.357 3.317 3.272 3.218 3.156 3.082 2.994 2.890 2.766 2.622 2.456 2.271 2.070 1.861 1.648 9.810.0 4.408 3.497 3.475 3.451 3.424 3.393 3.359 3.320 3.275 3.222 3.161 3.088 3.003 2.901 2.780 2.639 2.476 2.295 2.097 1.890 1.679 10.010.2 3.425 3.395 3.361 3.322 3.278 3.226 3.166 3.095 3.011 2.911 2.793 2.655 2.496 2.318 2.123 1.918 1.708 10.210.4 3.396 3.363 3.325 3.281 3.230 3.171 3.101 3.019 2.921 2.806 2.671 2.515 2.340 2.148 1.945 1.737 10.410.6 3.364 3.327 3.283 3.233 3.175 3.107 3.026 2.930 2.818 2.686 2.533 2.361 2.172 1.972 1.765 10.610.8 3.329 3.286 3.237 3.179 3.112 3.033 2.940 2.829 2.700 2.551 2.382 2.196 1.998 1.793 10.811.0 3.289 3.240 3.184 3.118 3.040 2.948 2.840 2.714 2.567 2.401 2.218 2.023 1.819 11.011.2 3.243 3.188 3.123 3.046 2.956 2.851 2.727 2.583 2.420 2.240 2.047 1.845 11.211.4 3.191 3.128 3.053 2.964 2.861 2.739 2.598 2.438 2.261 2.070 1.870 11.411.6 3.195 3.132 3.058 2.972 2.870 2.751 2.613 2.456 2.281 2.093 1.895 11.611.8 3.137 3.064 2.979 2.879 2.762 2.627 2.473 2.301 2.115 1.919 11.812.0 3.141 3.070 2.986 2.888 2.773 2.641 2.489 2.320 2.136 1.942 12.012.2 3.075 2.993 2.896 2.784 2.653 2.505 2.338 2.157 1.965 12.2
Sesgo 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
Tabla 1b de PearsonCurtosis Sesgo Curtosis
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Sesgo 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
Tabla 2 de PearsonCurtosis Sesgo Curtosis
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0-1.4 0.000 0.053 0.111 0.184 0.282 0.424 0.627 0.754 -1.4-1.2 0.000 0.039 0.082 0.132 0.196 0.284 0.412 0.591 0.527 -1.2-1.0 0.000 0.031 0.065 0.103 0.151 0.212 0.297 0.419 0.586 -1.0-0.8 0.000 0.026 0.054 0.085 0.123 0.169 0.231 0.317 0.439 0.598 0.681 -0.8-0.6 0.000 0.023 0.047 0.073 0.104 0.142 0.190 0.254 0.343 0.468 0.616 0.653 -0.6-0.4 0.000 0.020 0.041 0.064 0.091 0.122 0.161 0.212 0.280 0.375 0.504 0.633 0.616 -0.4-0.2 0.000 0.018 0.037 0.058 0.081 0.108 0.141 0.183 0.237 0.311 0.413 0.542 0.638 0.574 -0.20.0 0.000 0.017 0.034 0.053 0.073 0.097 0.126 0.161 0.206 0.266 0.347 0.456 0.579 0.621 0.531 0.00.2 0.000 0.015 0.032 0.049 0.068 0.089 0.114 0.145 0.183 0.233 0.299 0.388 0.501 0.605 0.582 0.20.4 0.000 0.014 0.029 0.045 0.063 0.082 0.105 0.132 0.165 0.208 0.263 0.336 0.433 0.545 0.607 0.536 0.40.6 0.000 0.013 0.028 0.043 0.059 0.077 0.097 0.122 0.151 0.188 0.235 0.297 0.379 0.481 0.579 0.579 0.589 0.60.8 0.000 0.013 0.026 0.040 0.055 0.072 0.091 0.113 0.140 0.172 0.213 0.266 0.336 0.425 0.527 0.590 0.533 0.81.0 0.000 0.012 0.025 0.038 0.053 0.068 0.086 0.106 0.130 0.159 0.196 0.242 0.301 0.379 0.474 0.563 0.569 0.484 1.01.2 0.000 0.011 0.024 0.036 0.050 0.065 0.082 0.100 0.122 0.148 0.181 0.222 0.274 0.341 0.426 0.520 0.576 0.524 1.21.4 0.000 0.011 0.023 0.035 0.048 0.062 0.078 0.095 0.116 0.140 0.169 0.206 0.252 0.310 0.385 0.474 0.554 0.555 0.475 1.41.6 0.000 0.010 0.022 0.034 0.046 0.060 0.075 0.091 0.110 0.132 0.159 0.192 0.233 0.285 0.351 0.432 0.518 0.564 0.510 1.61.8 0.000 0.010 0.021 0.032 0.044 0.057 0.072 0.087 0.105 0.126 0.151 0.180 0.217 0.264 0.323 0.396 0.480 0.549 0.540 0.461 1.82.0 0.000 0.009 0.020 0.031 0.043 0.065 0.069 0.084 0.101 0.120 0.143 0.171 0.204 0.246 0.299 0.365 0.443 0.521 0.552 0.494 2.02.2 0.000 0.009 0.020 0.030 0.042 0.054 0.067 0.081 0.097 0.115 0.137 0.162 0.193 0.231 0.279 0.338 0.410 0.488 0.544 0.522 0.445 2.22.4 0.000 0.009 0.019 0.029 0.040 0.052 0.065 0.078 0.094 0.111 0.131 0.155 0.183 0.218 0.261 0.315 0.381 0.456 0.524 0.538 0.475 2.42.6 0.000 0.008 0.018 0.029 0.039 0.051 0.063 0.076 0.091 0.107 0.126 0.148 0.175 0.207 0.246 0.295 0.355 0.426 0.498 0.539 0.503 2.62.8 0.000 0.008 0.018 0.028 0.038 0.049 0.061 0.074 0.080 0.104 0.122 0.143 0.167 0.197 0.233 0.278 0.333 0.398 0.470 0.526 0.522 2.83.0 0.000 0.008 0.017 0.027 0.037 0.048 0.059 0.072 0.085 0.101 0.118 0.138 0.161 0.189 0.222 0.263 0.313 0.374 0.443 0.506 0.530 3.03.2 0.000 0.008 0.017 0.027 0.037 0.047 0.058 0.070 0.083 0.098 0.114 0.033 0.155 0.181 0.212 0.250 0.296 0.352 0.417 0.483 0.525 3.23.4 0.000 0.008 0.017 0.026 0.036 0.046 0.057 0.068 0.081 0.095 0.111 0.129 0.150 0.174 0.203 0.239 0.281 0.333 0.394 0.460 0.513 3.43.6 0.000 0.007 0.016 0.025 0.035 0.045 0.056 0.067 0.079 0.093 0.108 0.125 0.145 0.168 0.196 0.228 0.268 0.316 0.373 0.437 0.495 3.63.8 0.000 0.007 0.016 0.025 0.034 0.044 0.054 0.066 0.078 0.091 0.105 0.122 0.141 0.163 0.188 0.219 0.256 0.301 0.354 0.415 0.475 3.84.0 0.000 0.007 0.015 0.025 0.034 0.043 0.053 0.064 0.076 0.089 0.103 0.119 0.137 0.158 0.182 0.211 0.246 0.288 0.337 0.395 0.495 4.04.2 0.000 0.007 0.015 0.024 0.033 0.043 0.053 0.063 0.075 0.087 0.101 0.116 0.133 0.153 0.176 0.204 0.236 0.276 0.322 0.376 0.435 4.24.4 0.000 0.007 0.015 0.024 0.033 0.042 0.052 0.062 0.073 0.085 0.099 0.113 0.130 0.149 0.171 0.197 0.228 0.265 0.308 0.359 0.416 4.44.6 0.000 0.007 0.015 0.023 0.032 0.041 0.051 0.061 0.072 0.084 0.097 0.111 0.127 0.145 0.167 0.191 0.220 0.255 0.296 0.344 0.399 4.64.8 0.000 0.006 0.015 0.023 0.032 0.041 0.050 0.060 0.071 0.082 0.095 0.109 0.124 0.142 0.162 0.186 0.213 0.246 0.285 0.330 0.382 4.85.0 0.000 0.006 0.014 0.023 0.031 0.040 0.049 0.059 0.070 0.081 0.093 0.107 0.122 0.139 0.158 0.181 0.207 0.238 0.274 0.317 0.367 5.05.2 0.000 0.006 0.014 0.022 0.031 0.040 0.049 0.058 0.069 0.080 0.092 0.105 0.119 0.136 0.155 0.176 0.201 0.231 0.265 0.306 0.353 5.25.4 0.000 0.006 0.014 0.022 0.030 0.039 0.048 0.057 0.068 0.078 0.090 0.103 0.117 0.133 0.151 0.172 0.196 0.224 0.257 0.295 0.340 5.45.6 0.000 0.006 0.014 0.022 0.030 0.039 0.047 0.057 0.067 0.077 0.089 0.101 0.115 0.131 0.148 0.168 0.191 0.218 0.249 0.285 0.328 5.65.8 0.000 0.006 0.014 0.022 0.030 0.038 0.047 0.056 0.066 0.076 0.087 0.100 0.113 0.128 0.145 0.164 0.186 0.212 0.242 0.277 0.317 5.86.0 0.000 0.006 0.014 0.021 0.029 0.038 0.046 0.055 0.065 0.075 0.086 0.098 0.111 0.126 0.142 0.161 0.182 0.207 0.235 0.268 0.307 6.06.2 0.000 0.006 0.013 0.021 0.029 0.037 0.046 0.055 0.064 0.074 0.085 0.097 0.110 0.124 0.140 0.158 0.178 0.202 0.229 0.261 0.298 6.26.4 0.000 0.006 0.013 0.021 0.029 0.037 0.045 0.054 0.063 0.073 0.084 0.096 0.108 0.122 0.137 0.155 0.175 0.197 0.223 0.254 0.289 6.46.6 0.000 0.006 0.013 0.021 0.028 0.037 0.045 0.054 0.063 0.073 0.083 0.094 0.107 0.120 0.135 0.152 0.171 0.193 0.218 0.247 0.281 6.66.8 0.000 0.006 0.013 0.021 0.028 0.036 0.044 0.053 0.062 0.072 0.082 0.093 0.105 0.118 0.133 0.150 0.168 0.189 0.213 0.241 0.273 6.87.0 0.000 0.005 0.013 0.020 0.028 0.036 0.044 0.053 0.061 0.071 0.081 0.092 0.104 0.117 0.131 0.147 0.165 0.185 0.209 0.236 0.267 7.07.2 0.000 0.005 0.013 0.020 0.028 0.036 0.044 0.052 0.061 0.070 0.080 0.091 0.103 0.115 0.129 0.145 0.162 0.182 0.205 0.230 0.260 7.27.4 0.000 0.005 0.013 0.020 0.027 0.035 0.043 0.052 0.060 0.070 0.079 0.090 0.101 0.114 0.128 0.143 0.160 0.179 0.201 0.226 0.254 7.47.6 0.000 0.005 0.012 0.020 0.027 0.035 0.043 0.051 0.060 0.069 0.079 0.089 0.100 0.113 0.126 0.141 0.157 0.176 0.197 0.221 0.249 7.67.8 0.000 0.005 0.012 0.020 0.027 0.035 0.043 0.051 0.059 0.068 0.078 0.088 0.099 0.111 0.124 0.139 0.155 0.173 0.193 0.217 0.243 7.88.0 0.000 0.005 0.012 0.019 0.027 0.034 0.042 0.050 0.059 0.068 0.077 0.087 0.098 0.110 0.123 0.137 0.153 0.170 0.190 0.213 0.238 8.08.2 0.000 0.005 0.012 0.019 0.027 0.034 0.042 0.050 0.058 0.067 0.076 0.086 0.097 0.109 0.121 0.135 0.151 0.168 0.187 0.209 0.234 8.28.4 0.000 0.005 0.012 0.019 0.260 0.034 0.042 0.050 0.058 0.067 0.076 0.086 0.096 0.108 0.120 0.134 0.149 0.165 0.184 0.205 0.229 8.48.6 0.000 0.005 0.012 0.019 0.026 0.034 0.041 0.049 0.057 0.066 0.075 0.085 0.095 0.107 0.119 0.132 0.147 0.163 0.181 0.202 0.225 8.68.8 0.000 0.005 0.012 0.019 0.026 0.033 0.041 0.049 0.057 0.066 0.075 0.084 0.094 0.106 0.118 0.131 0.145 0.161 0.179 0.199 0.221 8.89.0 0.000 0.005 0.012 0.019 0.026 0.033 0.041 0.049 0.057 0.065 0.074 0.084 0.094 0.105 0.116 0.129 0.143 0.159 0.176 0.196 0.218 9.09.2 0.000 0.005 0.012 0.019 0.026 0.033 0.040 0.048 0.056 0.065 0.073 0.083 0.093 0.104 0.115 0.128 0.142 0.157 0.174 0.193 0.214 9.29.4 0.000 0.005 0.012 0.019 0.026 0.033 0.040 0.048 0.056 0.064 0.073 0.082 0.092 0.103 0.114 0.127 0.140 0.155 0.172 0.190 0.211 9.49.6 0.000 0.005 0.012 0.019 0.025 0.033 0.040 0.048 0.055 0.064 0.072 0.082 0.091 0.102 0.113 0.125 0.139 0.153 0.170 0.188 0.208 9.69.8 0.000 0.005 0.012 0.018 0.025 0.032 0.040 0.047 0.055 0.063 0.072 0.081 0.091 0.101 0.112 0.124 0.137 0.152 0.168 0.185 0.205 9.8
10.0 0.000 0.005 0.011 0.018 0.025 0.032 0.040 0.047 0.055 0.063 0.071 0.080 0.090 0.100 0.111 0.123 0.136 0.150 0.166 0.183 0.202 10.010.2 0.000 0.032 0.039 0.047 0.054 0.063 0.071 0.080 0.089 0.099 0.110 0.122 0.135 0.149 0.164 0.181 0.200 10.210.4 0.000 0.032 0.039 0.047 0.054 0.062 0.071 0.079 0.089 0.099 0.109 0.121 0.133 0.147 0.162 0.179 0.197 10.410.6 0.000 0.039 0.046 0.054 0.062 0.070 0.079 0.088 0.098 0.109 0.120 0.132 0.146 0.160 0.177 0.195 10.610.8 0.000 0.046 0.054 0.061 0.070 0.078 0.088 0.097 0.108 0.119 0.131 0.144 0.159 0.175 0.192 10.811.0 0.000 0.053 0.061 0.069 0.078 0.087 0.097 0.107 0.118 0.130 0.143 0.157 0.173 0.190 11.011.2 0.000 0.061 0.069 0.078 0.087 0.096 0.106 0.117 0.129 0.142 0.156 0.171 0.188 11.211.4 0.000 0.069 0.077 0.086 0.095 0.105 0.116 0.128 0.141 0.154 0.169 0.186 11.411.6 0.000 0.068 0.077 0.086 0.095 0.104 0.116 0.127 0.139 0.153 0.168 0.184 11.611.8 0.000 0.076 0.085 0.094 0.104 0.115 0.126 0.138 0.152 0.166 0.182 11.812.0 0.000 0.076 0.085 0.094 0.104 0.114 0.125 0.137 0.150 0.165 0.181 12.012.2 0.000 0.084 0.093 0.103 0.113 0.124 0.136 0.149 0.163 0.179 12.2
Sesgo 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
Procedimiento : Obtener el índice de capacidad potencial de proceso a
corto plazo (Cp) y el índice de capacidad real de proceso aen el largo plazo (Ppk).
Calcular el índice de desempeño potencial de proceso (Zcp).
Zst = 3 Cp (P/especif. Bilaterales) Zst = 3 Cpk (P/especif. Unilaterales)
Calcular el índice de desempeño real de proceso (Zlp): Zlt = 3 Ppk
Calcule el índice de desempeño entre grupos (Zshift): Zshift = Zst - Zlt
Índices de desemepeño
Índices de desempeño Analice la información; se consideran como
valores aceptables los siguientes: Zlt > 3 ; Zst > 4 ; Zshift < 1.5
Zst4.0 6.0
Zshi
ft
2.00.00.0
1.0
2.0
3.0
Zlp =
4Zlp
=5Zlp
=3
Zlp =
2
Zlp =
1
Zlp =
0Zlp =
-1
Cont
rol
Capacidad/Diseño/TecnologíaZst
4.0 6.0
Zshi
ft
2.00.00.0
1.0
2.0
3.0
Cont
rol
Capacidad/Diseño/Tecnología
Buen
oM
alo
Malo Bueno
Estado deseado
Pobre control
Pobre capacidad
Pobre control y pobre capacidad
606
Capacidad de procesos bajo Seis Sigma
607
Capacidad de procesos bajo Seis Sigma
Motorola notó que muchas operaciones en productos complejos tendían a desplazarse 1.5 sobre el tiempo, por tanto un proceso de 6 a la larga tendrá 4.5 hacia uno de los límites de especificación, generando 3.4 DPMOs (defectos por millón de oportunidades)
608
Variación a Corto Plazo (periodo durante el cual no se presenta ningún cambio en el proceso)Zst = Zlt + 1.5
Variación a largo plazo (periodo en el cual ya se han presentado todos los cambios posibles en el proceso) - Zlt
Variación Global - Zbench.
609
DNOSAJJMAMFEDNOSAJJMAMFE
3.5
Salida
Mes
Variabilidad Total
(Natural)
Variabilidad “entre subgrupos”
Variabilidad combinada“dentro del subgrupo”+=
2.5
1.5
LIE
Capacidad a Largo Plazo
LSE
Capacidad a Corto Plazo
Capacidad en el corto y largo plazo
610
Rendimiento de la capacidad realRecibo de partes del proveedor
45,000 Unidades
desperdiciadas
51,876 Unidades
desperdiciadas
Correcto la primera
vez
Después de la inspección de recepción
De las operaciones de Maquinado
En los puestos de prueba - 1er intento
125,526 unidades desperdiciadaspor millón de oportunidades
28,650 Unidades
desperdiciadas
95.5% de rendimiento
97% de rendimiento
94.4% de
rendimiento
YRT = .955*.97*.944 = 87.4%
1,000,000 unidades
611
Ejemplos de defectos / unidad
Determinar DPU en la producción de 100 unidades
DPU = D/U = (20+10+12+4)/100=0.46Si cada unidad tiene 6 oportunidades para defecto
(características A, B, C, D, E y F), calcular DPO y DPMO
DPO = DPU / O = 0.46/6 = 0.078 DPMO = 78,333
Defectos 20 10 12 4Unidade
s70 20 6 4
612
Relaciones de sigmas La probabilidad de uno o más defectos es:
P(d) = 1- Yrt = 1 – FPY o P(d) = 1 – Yrt para varios procesos
Si se tiene FPY = 95% P(d) = 0.05
Entonces la Z a largo plazo se encuentra en tablas como Zlt = 1.645 sigma y por tanto la Zst a corto plazo es:
Zst = 1.645 + 1.5 (corrimiento) = 3.145
613
¿Como calcular la capacidad Seis Sigma para un proceso (equivale a la Zst de corto plazo)?
¿Qué proceso se considera? Facturación y CxC ¿Cuántas unidades tiene el proceso? 1,283 ¿Cuántas están libres de defectos? 1,138
Calcular el desempeño del proceso 1138/1283=0.887 Calcular la tasa de defectos 1 - 0.887 = 0.113
Determinar el número de oportunidades que pueden ocasionar un defecto (CTQs) 24
Calcular la tasa de defecto por caract. CTQ 0.113 / 24 = .004709
Calcular los defectos x millón de oportunidades DPMO = 4,709
Calcular #sigmas con tabla de conversión de sigma 4.1
614
V.F.5 Capacidad de procesos por atributos
615
Capacidad de proceso para datos por atributos
En este caso la capacidad del proceso es la proporción media de producto no conforme
Para cartas p y np, la capacidad del proceso es la p media de fracción no conforme. Se puede usar 1 – p.
Para cartas c, la capacidad del proceso es el promedio de las no conformidades, c media, para una muestra fija de tamaño n.
Para cartas u, la capacidad del proceso es el promedio de las no conformidades por unidad, u media
616
Planta escondida
$1/Unit $1/Unit $1/Unit $1/Unit 100 100
10Rework Rework Rework Rework
100 100 100
10 10 10
Y1=0.90 Y2=0.90 Y3=0.90 Y3=0.90 100 90 81 73 66
10 9 8 7
617
La eficiencia rolada$1/Unit $1/Unit $1/Unit $1/Unit
100 100
10Reproceso Reproceso Reproceso Reproceso
100 100 100
10 10 10
1 – YRT = Probabilidad de un defecto/unidad = 1 – 0.67 = 0.33 = 33%1 + (1 – YRT) = Numero de unidades equivalentes iniciadas para producir una unidad buena = 1 + (1 - 0.67) = 1.33
YRT = e- DPU = e- (40/100) = e- 0.4 = 0.67 = 67%
Aproximando de Binomial a Poisson :
0.9 x 0.9 x 0.9 x 0.9 = 0.94 = 66/100 = 0.66 = 66%
YRT = pi=1
nYi =
618
Costos de pobre calidad
$1/Unit $1/Unit $1/Unit $1/Unit 100 100
10Rework Rework Rework Rework
100 100 100
10 10 10
Considerando :• No existe scrap ni costos de inventarios• Precio de Ventas = $5.00/Unidad
Por lo tanto :• Como el número de unidades equivalentes iniciadas para producir
una unidad buena = 1.33• Costo de producir una unidad buena = 1.33*$4 = $5.32• Utilidades = $5.00 - $5.32 = -$0.32/Unidad• COPQ = ($5.32-$4.00)/$5.00 = 26.4% de las ventas
619
Eficiencias y DPMOs PPMs
El desempeño de un proceso también puede ser expresado en términos de eficiencia. Las 3 eficiencias más usadas son :
Eficiencia de primer paso (bien a la primera vez), eficiencia final (Yfinal) o “First Time Yield” (YFT)
Eficiencia rolada o “Rolled-Throughput Yield” (YRT)
Eficiencia Normalizada (Ynorm)
620
Eficiencias y DPMOs PPMs Eficiencia de primer paso (bien a la primera
vez), eficiencia final (Yfinal) o “First Time Yield” (YFT)Yfinal = Número de unidades buenas antes de retrabajo
Número de unidades probadas ó evaluadas
621
Eficiencias y DPMOs PPMs Eficiencia rolada o “Rolled-Throughput Yield”
(YRT)Y1=S1/E Y2=S2/S1 Y3=S3/S2 Yn=Sn/Sn-1 ....
. E S1 S2 S3 Sn-1 Sn
Donde : e = 2.71828182845 m = Número de oportunidades por unidad
Para datos continuos : YRT = p
i=1
nYi = Y1 x Y2 x Y3 x....x Yn
Para datos discretos (Aproximación de Binomial a Poisson) :YRT = e-TDPU
YRT = e-(DPO)m
Donde : Y1, Y2, Y3,...., Yn son “first time Yield” de los pasos 1, 2, 3,...,n
622
Eficiencias y DPMOs PPMs
Eficiencia Normalizada (Ynorm)
Ynorm = (YRT)1/k
Cálculo de DPU a partir de la Eficiencia :
DPU = 1 - Y
Eficiencia a partir de PPM’s :Y = 1 – (PPM/1’000,000)
Cálculo de la Eficiencia Normalizada (Ynorm) :
623
V.F.7 Desempeño de proceso vs especificaciones
624
Símbolos utilizadosD = Defectos O = Oportunidades para defectoU = Unidades Yrt = Rendimiento (lo bueno)
Relaciones de defectos:Total de oportunidades = TO = TOP = U x ODefectos por unidad = DPU = D/U = - ln (Y)Defectos por unidad normalizada = -ln (Y norm)Defectos por oportunidad = DPU/O = D/ (U xO)Defectos por millón de oportunidades = DPMO =
DPO x 1 millón
625
Relaciones con el rendimiento Y
La probabilidad de encontrar X defectos con la distribución de Poisson es:
X es un entero y DPU > 0 Para el caso de que X sea cero se tiene
Rendimiento o FRC = P(X=0) = Exp(-DPU)
626
Fórmulas de desempeño
627
Rolled Troughput Yield (Yrt) Yrt es el cálculo acumulativo del índice de
defectos a lo largo de procesos múltiples
La probabilidad de un defecto es 1 – P(Yrt) = 0.05
628
Tablero de control de variable discreta
Se utiliza cuando se va a evaluar el desempeño de un CTQ, pero hay desempeños parciales en el tiempo.
Defina el defecto, la unidad y el número de oportunidades por unidad
Defina que es un corto plazo
Evalúe el desempeño en DPMO y Z del CTQ en varios (k) cortos plazos
629
Tablero de control de variable discreta
Evalúe el desempeño en DPMO del largo plazo, considerando lo siguiente
Dlt = S Dsti i = 1
k
TotOplt = S [Ui*(Op/U)i ] i = 1
k
DPMOlt = Dlt .TotOplt* 106
Donde :Dlt = Defectos de largo plazoDst = Defectos de corto plazoU = Número de unidades
Op/U = Oportunidades por unidadTotOp = Total de oportunidades
DPMOlt = Defectos por Millón de Oportunidades k = Número total de características críticas
630
Tablero de control de variable discreta
Con los DPMOlt evalúe la Zlt Identifique la Z de corto plazo más pequeña y
ésta será la Zst Calcule la Zshift considerando que :
Zshift = Zst - Zlt
631
Tablero de control de variable continua
Se utiliza cuando se va a evaluar el desempeño de un CTQ, pero hay desempeños parciales en el tiempo.
Determine la variable y los Límites de Especificación
Defina que es un periodo de tiempo
Recolecte datos de cada periodo y calcule la desviación estándar de Corto plazo (Sst) y las PPM’s de cada periodo de tiempo
Calcule la Zst y Zlt de cada periodo de tiempo
632
Tablero de control de variable discreta
Calcule la Sst total del CTQ mediante:
Calcule la Zst total del CTQ Calcule los PPM’s totales mediante un
promedio ponderado
g (nj-1) sj
2j=1 (n-g)sst =Donde : n = Número Total de Datos
nj = Número de datos del grupo j
sj = Desviación Estándar del grupo j
g = Número de grupos
633
Tablero de control de variable discreta
Con los PPM’s totales obtenga Zlt total del CTQ Calcule la Zshift considerando que :
Donde : PPM = PPM Totales PPMj = PPM’s del periodo i ni = Número de datos del
periodo i N = Número total de datos
PPM = S PPMi niN i = 1
k
634
Tablero de control de variable discreta
Con los DPMOlt evalúe la Zlt Identifique la Z de corto plazo más pequeña y
ésta será la Zst Calcule la Zshift considerando que :
Zshift = Zst - Zlt
635
Tablero de control de variable múltiple
Se utiliza cuando se va a evaluar el desempeño de un Producto, Proceso ó Sistema a partir del desempeño de varios CTS’s, CTQ’s ó CTP’s
Defina el Producto, Proceso ó Sistema a evaluar
Identifique los CTS’s, CTQ’s ó CTP’s del Sistema a evaluar
Evalúe de forma individual cada CTS, CTQ ó CTP en términos de DPMOlt
636
Tablero de control de variable múltiple
• Calcule la eficiencia (Yftlt) de cada CTS, CTQ ó CTP considerando que:
• Evalúe desempeño potencial de cada característica crítica expresado en DPMOst, el cual se puede obtener a partir de la Zst ó los menores DPMO que el proceso ha demostrado generar a corto plazo.
yftlti = 1 –
Donde :yftlti
= Eficiencia de la característica crítica iDPMOlti
= Defectos por Millón de Op. de la caract. i
DPMOlti
106
637
Tablero de control de variable múltiple
Calcule la eficiencia (yftst) de cada CTS, CTQ ó CTP considerando que :
yftsti = 1 – DPMOsti
106
Calcule las eficiencias roladas (YRT) de Corto (st) y largo plazo (lt) del Producto, Proceso ó Sistema mediante :
YRTlt = P yftlti i = 1
k Donde :YRTlt = Eficiencia rolada total del sistemaYRTst = Eficiencia rolada potencial del sistemayftlti
= Eficiencia de la característica crítica iyftsti
= Eficiencia potencial de la característica crítica i k = Número total de características
YRTst = P yftsti i = 1
k
638
Tablero de control de variable múltiple
Calcule la Eficiencia Normalizada (ynorm) de corto (st) y largo plazo (lt) :Ynormst
= (YRTst)1/k
Ynormlt = (YRTlt)1/k
En caso de que cada Característica Crítica tenga un diferente nivel de importancia, entonces la Eficiencia Normalizada se puede obtener ponderando las eficiencias de cada Característica usando la siguiente fórmula :
Ynorm = (d1I1) x (d2
I2) x … x (dnIn)
(1/SIi)
I es la importancia. La característica crítica con mayor valor de I es ponderado con mayor peso al calcular el valor total compuesto Y
639
Tablero de control de variable múltiple
• Calcule los DPMO totales del sistema mediante:
• Con los DPMOst obtenga la Zst, con los DPMOlt obtenga la Zlt
Calcule la Zshift del sistema mediante :
DPMOst = (1 – Ynormst)*106 DPMOlt = (1 – Ynormlt
)*106
Zshift = Zst - Zlt