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ALVITREZ BRAVO FLUJO NO PERMANENTE
Oscilación de líquido en un tubo en U.
ALVITREZ BRAVO FLUJO NO PERMANENTE
INDICE
I. Introducción 2
II. Objetivos 3
III. Fundamentos Teóricos 3
Oscilación de líquido en un tubo en U. 3 Oscilación de Depósitos. 6 Métodos de Runge-Kutta. 7
IV. Metodología 12
Planteamiento del problema. 12 Metodología de solución. 13
V. Cálculos y Resultados 20
Tablas 24 Graficas 32
VI. Conclusiones y/o Recomendaciones 38
VII. Bibliografía 40
VIII. Anexo 41
ALVITREZ BRAVO FLUJO NO PERMANENTE
I. INTRODUCCION
Hasta este punto, todos los casos analizados de movimiento de fluidos han sido considerados a régimen permanente. Sin embargo, existen casos en los que no es posible reducir a situaciones de régimen permanente pues la variación de los parámetros a través del tiempo es considerable.
El análisis de flujo no permanente es mucho más complejo que en un flujo permanente, debido a que los parámetros no solo dependen de la posición, sino también del tiempo; lo cual se introduce como una variable más en la ecuación diferencial que gobierna el movimiento del flujo. Debido a la complejidad, estas ecuaciones diferenciales en su mayoría deben ser resueltas por métodos numéricos, debido a que las soluciones analíticas son muy complejas o simplemente no es posible hallarlas.
Existen muchas aplicaciones del flujo no permanente a la ingeniería, uno de estos es la oscilación de depósitos de sección variable. El caso que se resolverá a continuación es un problema de oscilación de depósitos con sección transversal variable, para lo cual se proceden a igualar los volúmenes de los depósitos a volúmenes de tuberías equivalentes, con lo cual se obtienen las ecuaciones diferenciales que gobiernan el fenómeno, los cuales serán resueltas por el Método de Runge-Kutta de 4° Orden.
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II. OBJETIVOS
a) Analizar y visualizar la variación de la posición y la velocidad con respecto al tiempo de un sistema compuesto de dos depósitos de sección variable que para nuestro caso consta de de un tronco parábola-tronco de cono y semiesfera-tronco parábola
b) Solucionar la ecuación diferencial ordinaria que gobierna el fenómeno mediante métodos numéricos y la solución analítica para una sola iteración.
c) Aplicar el método de Runge-Kutta de 4° orden para el desarrollo del problema de depósitos
d) Analizar las graficas que nos da el programa.e) Ver como es la oscilación en los depósitos.f) Ver cómo se van modificando las alturas de los depósitos.
III. FUNDAMENTOS TEORICOS
Oscilación de un líquido en un tubo de u
Consideremos un líquido contenido en un tubo en forma de U de sección uniforme S. La longitud del líquido es L, y su volumen S·L. En la situación de equilibrio la altura del líquido en ambas ramas es la misma. Supongamos que por algún procedimiento, se desnivela el líquido en las dos ramas.
Si consideramos el líquido como un fluido ideal, libre de rozamiento con las paredes del recipiente que lo contiene, el líquido empezará a oscilar con un periodo que depende únicamente de la longitud L de de la columna de líquido.
Vamos a deducir la fórmula del periodo de las oscilaciones de un líquido en un tubo en forma de U, a partir de las ecuaciones de la dinámica.
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Cuando el líquido se desplaza x hacia la derecha, el desnivel entre las dos ramas del tubo en forma de U es 2x, tal como se aprecia en la figura. La fuerza F que se opone al movimiento de todo el fluido, es el peso de la columna de fluido de sección S y altura 2x.
La masa de todo el fluido es ρSL La fuerza F tiene por módulo, ρS(2x) g, y es de sentido
contrario al desplazamiento x.
La ecuación del movimiento se escribe (masa por aceleración igual a fuerza)
Se trata de la ecuación diferencial de un MAS cuya frecuencia angular es ω2=2g/L o cuyo periodo es
La solución de la ecuación diferencial es
x=Asen(ωt+φ).
La velocidad de la columna de líquido en el instante t es
v=dx/dt= Aωcos(ωt+φ).
donde A y φ se determinan a partir de las condiciones iniciales.
Para conseguir un desnivel inicial entre las dos ramas del tubo, se pone un corcho en el extremo de una de las ramas, se extrae algo de aire, el líquido en esta rama se eleva h0 y desciende la misma longitud en la otra rama. Se descorcha la rama, y se empieza a contar el tiempo, en el instante inicial t=0, tenemos x=h0 y v=0.
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Con estas condiciones iniciales φ=π/2, x=h0cos(ωt), y v=-ωh0sen(ωt)
Utilizando la formula de Colebrook para sustituir la resistencia τ o se tiene:
1ρ
∂ p∂ s
+g ∂ z∂ s
+v ∂ v∂ s
+ f .v2
2 .D=0
Integrando esta ecuación entre las secciones 1 y 2, el primer término se elimina ya que los
límites son p = 0 en cada caso, el tercer término se elimina ya que ∂ v
∂ s=0
, y los términos cuarto y quinto son independientes de s; por lo tanto,
dvdt
+ f2 .D
+v|v|+ 2. gL
z=¿0
El signo de valor absoluto en la velocidad se requiere para que la resistencia se oponga a
la velocidad, ya sea positiva o negativa. Expresando v=dz
dt
d2 zdt2
+ f2D
dzdt
|dzdt
|+ 2gLz=¿0
Debido al término en v cuadrado, la ecuación diferencial no es lineal. Puede integrarse una vez con respecto a t, pero no se conoce una solución cerrada para la segunda
integración. Si se conocen las condiciones iniciales: t=¿ to , z=¿ zo , dz /dt=¿0 este problema es fácilmente resuelto por el método de Runge-Kutta de 4° orden.
A continuación se ve un breve ejemplo de la oscilación de una tubería en u
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Oscilación en Depósitos
La oscilación en dos depósitos conectados por una tubería puede ser representada por la misma ecuación que rige el caso de la oscilación en un tubo en U (con excepción de los términos constantes). Si z1 y z2 representan los desplazamientos de las superficies de los depósitos, desde su posición de equilibrio y si z1 representa el desplazamiento de una partícula de agua de la tubería conectora, desde su posición de equilibrio.
∀=¿ A1 . z1=¿A2 . z2 =Az
En donde A1 y A2 son las áreas de los depósitos, las cuales se supondrán constantes en esta derivación. Tomando en consideración las pérdidas menores en el sistema a través de una longitud equivalente Le de tuberías y accesorios, es posible escribir la ecuación de Euler (incluyendo resistencia).
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d2 z
dt2++
f Le
2DLdzdt
2
++ gL( z 1+z2 )=¿0
d2 z
dt 2++
f Le
2DLdzdt
2
++ gAL
( 1A1
+ 1A2
)z==0……………….(α)
La ecuación (α) es valida para depósitos cilíndricos.
Método de Runge-Kutta
Runge-Kutta no es un solo método iterativo, sino una familia de métodos iterativos tanto implícitos como explícitos para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias. Estas técnicas fueron desarrolladas aproximadamente en el año 1900 por los matemáticos David T. Runge y Martín W. Kutta. El miembro más utilizado para la solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias es Método de Runge-Kutta de 4° orden, la cual proporciona un margen aceptable de error respecto a la solución analítica de la ecuación diferencial.
El Método de Runge-Kutta de 4° orden resuelve ecuaciones diferenciales de la forma:
dy ( t )dt
=¿ f ( t , y )
y ( to )=¿ yo
Para lo cual utiliza la siguiente relación:
y i++1=¿ y i++ 16( (k1++2k2++2k3++k4 ) )
En donde los valores de las constantes son k 1 , k 2 , k 3 y k 4 y h es el tamaño de paso:
k 1=¿h . f ( t i , y i)
k 2=¿h . f ( ti++ h2, y i++
k1
2)
k 3=¿ h. f ( ti++ h2, yi++
k2
2)
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k 4=¿h . f ( t i++h , y i++k 1)
Para el problema a resolver, la ecuación diferencial es de la forma:
F1=¿ dzdt
=¿V
F2=¿−−C1(Z1( z )−−Z2( z ))−C2V .|V|
h=¿ Δt
Con lo cual, la relación para el proceso iterativo será:
zn++ 1=¿ zn+ +k z1+ +2k z 2 + +2k z3+ +k z 4
6
V n+ +1=¿V n+ +kV 1 + +2kV 2+ +2kV 3+ +kV 4
6
Ejemplo de Runge kutta
Determine y (0.5) utilizando el método de Runge-Kutta de cuarto orden, en el intervalo de interés [0, 0.5], en 5 intervalos.
PVI { y’ =4e0.8x – 0.5y ; y(0) =2 ; y(0.5) =? }
h =0.5 – 0 / 5 h =0.1
por lo tanto x0 =0, x1 =0.1, x2 =0.3, x4 =0.4, x5 =0.5
ITERACIÓN I i =0 ; x0 =0 ; y0 =2
K1 =f [0, 2] =4e(0.8*0) – (0.5 * 2)
K1 =3
K2 =f [0 +0.1/2, 2 +(0.1 *3) /2] =f [0.05, 2.15] =4e(0.8*0.05) – (0.5 * 2.15)
K2 =3.088243
K3 =f [0 +0.1/2, 2 +(0.1 *3.088243) /2] =f [0.05, 2.154412]
K3 =4e(0.8*0.05) – (0.5 * 2.154412)
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K3 =3.086037
K4 =f [0 +0.1, 2 +(0.1 *3.086037)] =f [0.1, 2.308603]
K4 =4e(0.8*0.1) – (0.5 * 2.308603)
K4 =3.178846
y1(0.1) =2 +{0.1 /6 [3 +(2 *3.088243) +(2 *3.086037) +3.178846]}
y1(0.1) =2.308790
ITERACIÓN II i =1 ; x1 =0.1 ; y1 =2.308790
K1 =f [0.1, 2.308790] =4e(0.8*0.1) – (0.5 * 2.308790)
K1 =3.178753
K2 =f [0.1 +0.1/2, 2.308790 +(0.1 *3.178753) /2] =f [0.15, 2.467727]
K2 =4e(0.8*0.15) – (0.5 * 2.467727)
K2 =3.276123
K3 =f [0.1 +0.1/2, 2.308790 +(0.1 *3.276123) /2] =f [0.15, 2.472596]
K3 =4e(0.8*0.15) – (0.5 * 2.472596)
K3 =3.273689
K4 =f [0.1 +0.1, 2.308790 +(0.1 *3.273689)] =f [0.2, 2.636158]
K4 =4e(0.8*0.2) – (0.5 * 2.636158)
K4 =3.375964
y2(0.2) =2.308790 +{0.1 /6 [3.178753 +(2 *3.276123) +(2 *3.273689) +3.375964]}
y2(0.2) =2.636362
ITERACIÓN III i =2 ; x2 =0.2 ; y2 =2.636362
K1 =f [0.2, 2.636362] =4e(0.8*0.2) – (0.5 * 2.636362)
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K1 =3.375862
K2 =f [0.2 +0.1/2, 2.6366362 +(0.1 *3.375862) /2] =f [0.25, 2.805155]
K2 =4e(0.8*0.25) – (0.5 * 2.805155)
K2 =3.483033
K3 =f [0.2 +0.1/2, 2.636362 +(0.1 *3.483033) /2] =f [0.25, 2.810513]
K3 =4e(0.8*0.25) – (0.5 * 2.810513)
K3 =3.480354
K4 =f [0.2 +0.1, 2.636362 +(0.1 *3.480354)] =f [0.3, 2.984397]
K4 =4e(0.8*0.3) – (0.5 * 2.984397)
K4 =3.592798
y3(0.3) =2.636362 +{0.1 /6 [3.375862 +(2 *3.483033) +(2 *3.480354) +3.592798]}
y2(0.3) =2.984619
ITERACIÓN IVi =3 ; x3 =0.3 ; y3 =2.984619
K1 =f [0.3, 2.984619] =4e(0.8*0.3) – (0.5 * 2.984619)
K1 =3.592687
K2 =f [0.3 +0.1/2, 2.984619 +(0.1 *3.592687) /2] =f [0.35, 3.164253]
K2 =4e(0.8*0.35) – (0.5 * 3.164253)
K2 =3.710392
K3 =f [0.3 +0.1/2, 2.984619 +(0.1 *3.710392) /2] =f [0.35, 3.170138]
K3 =4e(0.8*0.35) – (0.5 * 3.170138)
K3 =3.707450
K4 =f [0.3 +0.1, 2.984619 +(0.1 *3.707450)] =f [0.4, 3.355364]
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K4 =4e(0.8*0.4) – (0.5 * 3.355364)
K4 =3.830829
y4(0.4) =2.984619 +{0.1 /6 [3.592687 +(2 *3.710392) +(2 *3.707450) +3.830829]}
y2(0.4) =3.355606
ITERACIÓN V i =4 ; x4 =0.4 ; y4 =3.355606
K1 =f [0.4, 3.355606] =4e(0.8*0.4) – (0.5 * 3.355606)
K1 =3.830708
K2 =f [0.4 +0.1/2, 3.355606 +(0.1 *3.830708) /2] =f [0.45, 3.547141]
K2 =4e(0.8*0.45) – (0.5 * 3.547141)
K2 =3.959747
K3 =f [0.4 +0.1/2, 3.355606 +(0.1 *3.959747) /2] =f [0.45, 3.553593]
K3 =4e(0.8*0.45) – (0.5 * 3.553593)
K3 =3.956521
K4 =f [0.4 +0.1, 3.355606 +(0.1 *3.956521)] =f [0.5, 3.751258]
K4 =4e(0.8*0.5) – (0.5 * 3.751258)
K4 =4.091669
y5(0.5) =3.355606 +{0.1 /6 [3.830708 +(2 *3.959747) +(2 *3.956521) +4.091669]}
La solución requerida es y5(0.5) =3.751521
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IV. METODOLOGIA
Planteamiento del Problema
Se dispone de un sistema de depósitos conectado por una tubería larga de longitud L=700m de diámetroDt=2m, con un factor de fricción f=0.02 y la suma total de perdidas es Σ k=8m. Este sistema esta formado de dos depósitos (1 y 2), en el cual el depósito 1 está compuesto de dos secciones un tronco parabólico y tronco de cono el depósito 2 de una sección tronco parabólico y semiesfera. Inicialmente el nivel de agua en el depósito 1, respecto al Nivel Aguas Tranquilas (N.A.T) es Z1=HA1=8m. Las dimensiones del sistema de depósitos son mostrados en la siguiente figura.
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Metodología de Solución
En este punto se procede a calcular las ecuaciones que gobiernan las formas de los depósitos, tanto para el depósito 1 como para el depósito 2.
DEPOSITO 1
TRONCO PARABOLA INVERTIDA
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De la relación ∀T = ∀PI
Hallando la ecuación de la parábola invertidaLa ecuación es de la forma:Z−¿
Para Z=0 , x=DAC
2→ [H PA+∆h ]=4 p [DAC
2 ]2
………… α
Para Z=HPA , x=DAP
2→ ∆ h=p DAP
2
………………………………βDe α y β
p=H PA
DAC2−DAP
2
hPA+∆h=HPA
D AC2−DAP
2 DAP2
→x2=−[DAC
2−D AP2 ]
4HPA
Z+DAC
2
4
De la relación
∀T = ∀PI→π DT2 z=π∫
0
Z 1 [−[DAC2−DAP
2 ]H PA
y+DAC2]dZ
z12−2
DAC2 HPA
DAC2−DAP
2 z1+2DT
2HPA
DAC2−DAP
2 z= 0
La solución de z1 en función z será para Z1≥0
z1=DAC
2H PA
DAC2−DAP
2−√[ DAC2 HPA
DAC2−DAP
2 ]2
−2DT
2H PA
DAC2−DAP
2 z
TRONCO DE CONO
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La ecuación es de la siguiente forma:z−z0=m [ x−x0 ] Para z=0 , x=
DAC
2
Para z=−H A 2, x=DT
2De los dos puntos que pertenecen a la recta hallo la pendiente la cual es:
m=2H A2
DAC−DT
x=DAC
2+
[DAC−DT ]2H A2
z
→x2=14 [DAC+
[DAC−DT ]H A 2
z ]2
∀T = ∀trono decono→π DT2 z=π∫
−z1
0 [DAC+(DAC−DT )
H A 2
z ]2
dz
La solución de z2 en función z será para z1<0
z1=2H A2
DAC−DT{DAC
2−[[ DAC
2 ]3
−38
DT2 [DAC−DT ]H A2
z ]13 }
DEPOSITO 2
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TRONCO PARABOLA HACIA ARRIBA
De la relación ∀T = ∀P
Hallando la ecuación de la parábola no invertidaLa ecuación es de la forma:z+(H ¿¿PB+∆h ')=4 p ' x2 ¿
Para z=0 , x=DPB
2→ [H PB+∆h ' ]=p ' DPB
2 ………… θ
Para z=−H PB , x=DT
2→ ∆ h'=p ' DT
2 …………………….
φDe θ y φ
p '=HPB
DPB2−DT
2
H PB+∆h '=H PB
DPB2−DT
2 DPB2
→x2=[DPB
2−DT2 ]
4H PB
z+¿ DPB
2
4
De la relación
∀T = ∀p→π DT2 z=π ∫
−z2
0 [ [DPB2−DT
2 ]H PB
z+DPB2]dz
z22−2
DPB2 HPB
DPB2−DT
2 z2+2DT
2H PB
DPB2−DT
2 z=0
La solución de z2en función z será para z2<0 será
z2=DPB
2H PB
DPB2−DT
2 −√(DPB
2H PB
DPB2−DT
2 )2
−2DT
2H PB
DPB2−DT
2 z
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SEMIESFERA
La ecuación de la esfera es de la siguiente forma:
Ojo R=DPB2
radio de la semiesfera
x2+ z2=R2
→ x2=R2−z2
De la relación ∀t= ∀c→πDT2 z=π∫
0
Z2
(R2−z2 )dz
Z23−3R2Z2+
34DT
2
Z=0
Z2 =-real(-1/4*(-3*DT^2*Z+(-64*R^6+9*DT^4*Z^2)^(1/2))^(1/3)-R^2/(-3*DT^2*Z+(-64*R^6+9*DT^4*Z^2)^(1/2))^(1/3)-1/2*i*3^(1/2)*(1/2*(-3*DT^2*Z+(-64*R^6+9*DT^4*Z^2)^(1/2))^(1/3)-2*R^2/(-3*DT^2*Z+(-64*R^6+9*DT^4*Z^2)^(1/2))^(1/3)))
ALVITREZ BRAVO FLUJO NO PERMANENTE
POR CONTINUIDAD SE HALLARAN LAS VELOCIDADES EN LOS DEPOSISTOS 1 Y 2
QT=QPI V T AT=V PI API
AT=πDT
2
4
API=π x2=π4 [−[DAC
2−D AP2 ]
HPA
z1+DAC2]
V PI=V T DT
2
[−[DAC2−DAP
2 ]HPA
z1+D AC2]
QT=Qtroncodecono V T AT=V troncode cono Atroncode cono
AT=DT
2
4
At .cono=π x2=π4 [DAC+
[DAC−DT ]H A2
z1]2
V troncodecono=V T DT
2
[D AC+[DAC−DT ]
H A 2
z1]2
QT=QP V T AT=V P AP
AT=DT
2
4
AP=π x2=π4 [ [DPB
2−DT2 ]
H PB
z2+DPB2]
Hallando la velocidad en la esferaQT=Qe V T At=V e Ae
V Tπ4DT
2=V e π x2 sabemos q x2+ y2=R2→x2=R2−Z2
2
Tenemos que para Z2 su velocidad en la esfera será
ALVITREZ BRAVO FLUJO NO PERMANENTE
V P=V T DT
2
[DPB2−DT
2 ]H PB
z2+DPB2
V e=DT
2V T
4 [R2−Z22 ]
LAS ECUACIONES DE LAS POSICIONES HALLADAS EN FUNCION DE Z
z1=DAC
2H PA
DAC2−DAP
2−√[ DAC2 HPA
DAC2−DAP
2 ]2
−2DT
2H PA
DAC2−DAP
2 z z1≥0
z1=2H A2
DAC−DT{DAC
2−[[ DAC
2 ]3
−38
DT2 [DAC−DT ]H A2
z ]13 } z1 < 0
z2=DPB
2H PB
DPB2−DT
2 −√(DPB
2H PB
DPB2−DT
2 )2
−2DT
2H PB
DPB2−DT
2 z z2 < 0
z2 =-real(-1/4*(-3*DT^2*Z+(-64*R^6+9*DT^4*Z^2)^(1/2))^(1/3)-R^2/(-3*DT^2*Z+(-64*R^6+9*DT^4*Z^2)^(1/2))^(1/3)-1/2*i*3^(1/2)*(1/2*(-3*DT^2*Z+(-64*R^6+9*DT^4*Z^2)^(1/2))^(1/3)-2*R^2/(-3*DT^2*Z+(-64*R^6+9*DT^4*Z^2)^(1/2))^(1/3))) z2 > 0
LAS ECUACIONES HALLADAS DE LAS VELOCIDADES DE LOS DEPOSITOS 1 Y 2
V 1=V T DT
2
[−[DAC2−DAP
2 ]H PA
z1+DAC2] z1≥0
V 1=V T DT
2
[DAC+[DAC−DT ]
H A2
z1]2 z1 < 0
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V 2=V T DT
2
[DPB2−DT
2 ]H PB
z2+DPB2 z2 < 0
V 2=DT
2V T
4 [R2−Z22 ]
z2 > 0
Hallando las celeridades C1Y C2
c1=gL
=9.81700
=0.0140
c2=(L+
k DT
f) f
2DT L=
(700+ 8×20.02
)×0.02
2×2×700=0.0107
De la siguiente ecuación tenemos paraz1≥0 hallar el valor de z de la tubería
z12−2
DAC2 HPA
DAC2−DAP
2 z1+2DT
2HPA
DAC2−DAP
2 z= 0
Por dato tenemos que H A1=z1 ( z )=8m como z1 ( z )≥0 está en la parte tronco parabólico invertida del depósito 1 y de ahí hallaremos z de la siguiente ecuación
ALVITREZ BRAVO FLUJO NO PERMANENTE
z12−2
DAC2 HPA
DAC2−DAP
2 z1+2DT
2HPA
DAC2−DAP
2 z= 0
82−262 x1062−32 x 8+2
22 x1062−32 z= 0 → z=z0=50.4m
Como z1>0→z2<0 tenemos la siguiente ecuación
De la siguiente ecuación para z2<0 tenemos el tronco de cono del depósito 2 remplazando el valor de z hallado anteriormente
z2=DPB
2H PB
DPB2−DT
2 −√(DPB
2H PB
DPB2−DT
2 )2
−2DT
2H PB
DPB2−DT
2 z
z2=8214
82−22−√( 82 14
82−22)
2
−222 14
82−2250.4 → z2=¿ 3.5786m
Pero z2 debe ser negativo entonces z2=¿ -3.5786m
Para el depósito 1 z1=8m
Para el depósito 2 z2=¿ -3.5786m
Condiciones iníciales
Se tiene la condición inicial paraz=z0. Se muestran los siguientes valores de las condiciones iníciales a continuación:
CONDICIONES INICIALES
z0=z=¿ 50.4m Altura de la tubería V 0=V=0 Velocidad inicial n=9000 Número de iteraciones∆ t=0.2 Diferencial del tiempot=30'=1800 s Tiempo finalDT=2 Diámetro de la tuberíaz1(1)=8m Altura del depósito 1z2(1)=−3.5786m Altura del depósito 2V 1 (1 )=0 Velocidad en el depósito 1V 2 (1 )=0 Velocidad en el depósito 2
ALVITREZ BRAVO FLUJO NO PERMANENTE
V. CALCULOS Y RESULTADOS
z=z0=50.4
v=v0=0
∆ t=0.2
Nuestras ecuaciones a usar
F1=dzdt
= v
F2=dvdt
= -c1 [z1 [z ]−z2 [z ]]−c2 v|v|
h=∆ t
k z1=∆ t F1 [V n ] k v 1=∆ t F2 [Zn ,V n ]
k z2=∆ t F1 [V n+0.5k v1 ] k v 2=∆ t F2 [Zn+0.5k z1 ,V n+0.5 kv 1 ]
k z3=∆ t F1 [V n+0.5k v 2 ] k v 3=∆ t F2 [Zn+0.5k z2 ,V n+0.5 kv 2 ]
k z4=∆ t F1 [V n+kv 3 ] k v 4=∆ t F2 [Zn+kz3 ,V n+k v3 ]
Y finalmente Para los Nuevos z y v
z=z0+kz1+2kz2+2kz3+kz4
6
ALVITREZ BRAVO FLUJO NO PERMANENTE
V=V 0+kv1+2k v2+2kv3+kv4
6
Hallando los nuevos Z y V con el método Runge-Kutta
c1=0.0140
c2=0.0107
Para la primera iteración de las condiciones iníciales
z=z0=50.4
v=v0=0
∆ t=0.2
kz1=0.2×0=0
z1=62 10
62−32 −√ [ 621062−32 ]
2
−222 10
62−32 50.4→ z1=8m
z2=−[ 82 1482−22−√( 8214
82−22 )2
−22214
82−22 50.4 ]→ z2=−3.5786m
kv1=0.2 [−c1 [8−[−3.5786 ] ]−c2 0|0|]=−0.0325
kz2=0.2[0+−0.03252 ]=−0.0032
z1=62 10
62−32 −√ [ 621062−32 ]
2
−222 10
62−32 [50.4+ 02 ]→ z1=8m
z2=−[ 82 1482−22−√( 8214
82−22 )2
−22214
82−22 [50.4+ 02 ] ]→ z2=−3.5786m
ALVITREZ BRAVO FLUJO NO PERMANENTE
kv2=0.2[−c1 [8−[−3.5786 ] ]−c2[0+−0.03252 ]|0+−0.0325
2 |]=−0.0325
kz3=0.2[0+−0.03252 ]=−0.0032
z1=62 10
62−32 −√ [ 621062−32 ]
2
−222 10
62−32 [50.4+−0.00322 ]→ z1≅ 8m
z2=−[ 82 1482−22−√( 8214
82−22 )2
−22214
82−22 [50.4+−0.00322 ]]→ z2≅−3.5786m
kv3=0.2[−c1 [8−[−3.5786 ] ]−c2[0+−0.03252 ]|0+−0.0325
2 |]=−0.0325
kz 4=0.2 [0+ [−0.0325 ] ]=−0.0065
z1=62 10
62−32 −√ [ 621062−32 ]
2
−222 10
62−32 [50.4+ [−0.0032 ] ]→ z1≅ 8m
z2=−[ 82 1482−22−√( 8214
82−22 )2
−22214
82−22 [50.4+ [−0.0032 ] ]]→ z2≅−3.5786m
kv 4=0.2 [−c1 [8−[−3.5786 ] ]−c2 [0+ [−0.0325 ] ]|0+ [−0.0325 ]|]=−0.0324
z=50.4+0+2 [−0.0032 ]+2 [−0.0032 ]+ [−0.0065 ]
6 ¿50.3968m
v=0+[−0.0325 ]+2 [−0.0325 ]+2 [−0.0325 ]+ [−0.0324 ]
6 ¿-0.0325m/s
Ahora hallamos las nuevas posiciones de los depósitos z1 y z2
z1=62 10
62−32 −√ [ 621062−32 ]
2
−222 10
62−32 50.3968→ z1=7.9964m
ALVITREZ BRAVO FLUJO NO PERMANENTE
z2=−[ 82 1482−22−√( 8214
82−22 )2
−22214
82−22 50.3968]→ z2=−3.5778m
Ahora hallamos las nuevas velocidades de los depósitos v1 y v2
V 1=−0.0325m22
[−[62−32 ]10
7.9964+62] = -0.0090 m/s
V 2=−[ −0.0325m 22
[82−22 ]14
−3.5778+82 ] = 0.0027 m/s
Los resultados de las demás iteraciones se verán en las siguientes tablas
ALVITREZ BRAVO FLUJO NO PERMANENTE
TABLAS
∆ t=0.2
Tiempo Tubería Deposito1 Deposito2
v z v1 z1 v2 z20 0.0000 50.4000 0.0000 8.0000 0.0000 -3.5786
0.2 -0.0325 50.3968 -0.0090 7.9964 0.0027 -3.5778
0.4 -0.0649 50.3870 -0.0180 7.9919 0.0053 -3.5764
0.6 -0.0973 50.3708 -0.0270 7.9856 0.0080 -3.5746
0.8 -0.1297 50.3481 -0.0359 7.9775 0.0107 -3.5722
1 -0.1620 50.3189 -0.0448 7.9677 0.0133 -3.5693
1.2 -0.1943 50.2833 -0.0537 7.9561 0.0160 -3.5658
1.4 -0.2265 50.2412 -0.0624 7.9427 0.0186 -3.5618
1.6 -0.2587 50.1927 -0.0711 7.9276 0.0212 -3.5573
1.8 -0.2907 50.1377 -0.0797 7.9109 0.0239 -3.5523
2 -0.3227 50.0764 -0.0882 7.8924 0.0265 -3.5467
2.2 -0.3546 50.0087 -0.0965 7.8722 0.0291 -3.5406
2.4 -0.3863 49.9346 -0.1048 7.8505 0.0316 -3.5341
2.6 -0.4179 49.8541 -0.1129 7.8271 0.0342 -3.5270
2.8 -0.4494 49.7674 -0.1209 7.8021 0.0368 -3.5194
3 -0.4807 49.6744 -0.1287 7.7756 0.0393 -3.5112
3.2 -0.5118 49.5752 -0.1364 7.7476 0.0418 -3.5026
3.4 -0.5428 49.4697 -0.1440 7.7180 0.0443 -3.4935
3.6 -0.5736 49.3580 -0.1513 7.6870 0.0468 -3.4839
3.8 -0.6043 49.2403 -0.1585 7.6546 0.0493 -3.4738
4 -0.6347 49.1164 -0.1656 7.6208 0.0517 -3.4632
4.2 -0.6649 48.9864 -0.1724 7.5857 0.0541 -3.4522
4.4 -0.6949 48.8504 -0.1791 7.5492 0.0565 -3.4406
4.6 -0.7247 48.7084 -0.1856 7.5114 0.0589 -3.4286
4.8 -0.7543 48.5605 -0.1919 7.4724 0.0612 -3.4162
5 -0.7836 48.4068 -0.1981 7.4322 0.0635 -3.4032
5.2 -0.8127 48.2471 -0.2040 7.3908 0.0658 -3.3899
5.4 -0.8415 48.0817 -0.2098 7.3483 0.0680 -3.3760
5.6 -0.8701 47.9105 -0.2154 7.3047 0.0703 -3.3617
5.8 -0.8984 47.7337 -0.2208 7.2600 0.0725 -3.3470
6 -0.9264 47.5512 -0.2260 7.2143 0.0746 -3.3319
6.2 -0.9542 47.3632 -0.2310 7.1676 0.0768 -3.3163
6.4 -0.9816 47.1696 -0.2359 7.1200 0.0789 -3.3004
6.6 -1.0088 46.9705 -0.2405 7.0714 0.0809 -3.2840
6.8 -1.0357 46.7661 -0.2450 7.0220 0.0830 -3.2672
7 -1.0622 46.5563 -0.2493 6.9717 0.0850 -3.2500
ALVITREZ BRAVO FLUJO NO PERMANENTE
24 -2.0810 16.4596 -0.2714 1.9210 0.1401 -1.0388
24.2 -2.0801 16.0434 -0.2700 1.8671 0.1397 -1.0109
24.4 -2.0790 15.6275 -0.2686 1.8135 0.1394 -0.9831
24.6 -2.0777 15.2119 -0.2672 1.7602 0.1390 -0.9553
24.8 -2.0762 14.7965 -0.2658 1.7072 0.1386 -0.9276
25 -2.0745 14.3814 -0.2643 1.6545 0.1382 -0.9000
25.2 -2.0725 13.9667 -0.2629 1.6021 0.1378 -0.8725
25.4 -2.0704 13.5524 -0.2615 1.5499 0.1374 -0.8451
25.6 -2.0680 13.1385 -0.2600 1.4981 0.1370 -0.8177
25.8 -2.0655 12.7252 -0.2585 1.4465 0.1366 -0.7904
26 -2.0627 12.3124 -0.2571 1.3952 0.1361 -0.7633
26.2 -2.0598 11.9001 -0.2556 1.3443 0.1357 -0.7362
26.4 -2.0566 11.4885 -0.2541 1.2936 0.1352 -0.7092
26.6 -2.0533 11.0775 -0.2527 1.2432 0.1347 -0.6823
26.8 -2.0498 10.6672 -0.2512 1.1931 0.1342 -0.6555
27 -2.0461 10.2576 -0.2497 1.1433 0.1338 -0.6288
27.2 -2.0422 9.8487 -0.2482 1.0938 0.1332 -0.6022
27.4 -2.0382 9.4407 -0.2467 1.0446 0.1327 -0.5757
27.6 -2.0339 9.0335 -0.2452 0.9958 0.1322 -0.5493
27.8 -2.0295 8.6271 -0.2437 0.9472 0.1317 -0.5230
28 -2.0249 8.2217 -0.2422 0.8989 0.1312 -0.4968
28.2 -2.0202 7.8172 -0.2407 0.8509 0.1306 -0.4708
28.4 -2.0153 7.4136 -0.2392 0.8032 0.1301 -0.4448
28.6 -2.0102 7.0111 -0.2377 0.7558 0.1295 -0.4190
28.8 -2.0050 6.6095 -0.2362 0.7087 0.1289 -0.3932
29 -1.9996 6.2091 -0.2346 0.6620 0.1284 -0.3676
29.2 -1.9940 5.8097 -0.2331 0.6155 0.1278 -0.3421
29.4 -1.9883 5.4115 -0.2316 0.5693 0.1272 -0.3168
29.6 -1.9824 5.0144 -0.2301 0.5234 0.1266 -0.2915
29.8 -1.9764 4.6185 -0.2286 0.4779 0.1260 -0.2664
30 -1.9702 4.2239 -0.2271 0.4326 0.1254 -0.2414
30.2 -1.9639 3.8305 -0.2255 0.3877 0.1248 -0.2165
30.4 -1.9575 3.4383 -0.2240 0.3430 0.1241 -0.1917
30.6 -1.9509 3.0475 -0.2225 0.2987 0.1235 -0.1671
30.8 -1.9442 2.6580 -0.2210 0.2546 0.1229 -0.1425
31 -1.9373 2.2698 -0.2194 0.2109 0.1222 -0.1182
31.2 -1.9303 1.8830 -0.2179 0.1675 0.1216 -0.0939
31.4 -1.9232 1.4977 -0.2164 0.1243 0.1210 -0.0698
31.6 -1.9159 1.1138 -0.2149 0.0815 0.1203 -0.0458
31.8 -1.9086 0.7313 -0.2134 0.0390 0.1197 -0.0219
32 -1.9010 0.3504 -0.2118 -0.0032 0.1190 0.0018
ALVITREZ BRAVO FLUJO NO PERMANENTE
80 1.0430 -21.1971 0.1435 -2.1124 -0.0740 1.3647
80.2 1.0504 -20.9878 0.1443 -2.0930 -0.0743 1.3498
80.4 1.0577 -20.7769 0.1450 -2.0735 -0.0746 1.3348
80.6 1.0649 -20.5647 0.1457 -2.0538 -0.0749 1.3198
80.8 1.0720 -20.3510 0.1463 -2.0340 -0.0752 1.3048
81 1.0789 -20.1359 0.1470 -2.0140 -0.0755 1.2897
81.2 1.0857 -19.9194 0.1476 -1.9938 -0.0757 1.2745
81.4 1.0924 -19.7016 0.1482 -1.9735 -0.0760 1.2593
81.6 1.0989 -19.4825 0.1487 -1.9530 -0.0762 1.2440
81.8 1.1053 -19.2621 0.1493 -1.9323 -0.0765 1.2287
82 1.1116 -19.0404 0.1498 -1.9115 -0.0767 1.2133
82.2 1.1177 -18.8174 0.1503 -1.8906 -0.0769 1.1979
82.4 1.1238 -18.5933 0.1508 -1.8695 -0.0772 1.1824
82.6 1.1296 -18.3679 0.1512 -1.8483 -0.0774 1.1669
82.8 1.1354 -18.1414 0.1517 -1.8269 -0.0776 1.1514
83 1.1410 -17.9138 0.1521 -1.8054 -0.0778 1.1358
83.2 1.1465 -17.6850 0.1525 -1.7837 -0.0779 1.1202
83.4 1.1519 -17.4552 0.1528 -1.7619 -0.0781 1.1046
83.6 1.1571 -17.2243 0.1532 -1.7399 -0.0783 1.0889
83.8 1.1622 -16.9924 0.1535 -1.7178 -0.0785 1.0732
84 1.1672 -16.7594 0.1538 -1.6956 -0.0786 1.0575
84.2 1.1720 -16.5255 0.1541 -1.6732 -0.0788 1.0417
84.4 1.1767 -16.2906 0.1544 -1.6507 -0.0789 1.0259
84.6 1.1813 -16.0548 0.1546 -1.6281 -0.0790 1.0101
84.8 1.1857 -15.8181 0.1548 -1.6053 -0.0792 0.9943
85 1.1901 -15.5805 0.1550 -1.5824 -0.0793 0.9784
85.2 1.1942 -15.3421 0.1552 -1.5594 -0.0794 0.9625
85.4 1.1983 -15.1028 0.1554 -1.5363 -0.0795 0.9466
85.6 1.2022 -14.8628 0.1555 -1.5130 -0.0796 0.9307
85.8 1.2060 -14.6220 0.1556 -1.4897 -0.0797 0.9147
86 1.2097 -14.3804 0.1557 -1.4662 -0.0798 0.8988
86.2 1.2132 -14.1381 0.1558 -1.4425 -0.0799 0.8828
86.4 1.2166 -13.8951 0.1559 -1.4188 -0.0799 0.8668
86.6 1.2199 -13.6514 0.1559 -1.3950 -0.0800 0.8508
86.8 1.2231 -13.4071 0.1559 -1.3710 -0.0801 0.8348
87 1.2261 -13.1622 0.1559 -1.3469 -0.0801 0.8187
87.2 1.2290 -12.9167 0.1559 -1.3228 -0.0802 0.8027
87.4 1.2318 -12.6706 0.1559 -1.2985 -0.0802 0.7866
87.6 1.2344 -12.4240 0.1558 -1.2741 -0.0803 0.7706
87.8 1.2369 -12.1769 0.1558 -1.2496 -0.0803 0.7545
88 1.2393 -11.9292 0.1557 -1.2251 -0.0803 0.7385
ALVITREZ BRAVO FLUJO NO PERMANENTE
200 0.3507 -14.7796 0.0453 -1.5214 -0.0232 0.9364
200.2 0.3574 -14.7088 0.0462 -1.5145 -0.0236 0.9316
200.4 0.3640 -14.6366 0.0470 -1.5073 -0.0241 0.9268
200.6 0.3705 -14.5632 0.0478 -1.5001 -0.0245 0.9218
200.8 0.3770 -14.4884 0.0486 -1.4928 -0.0249 0.9168
201 0.3835 -14.4124 0.0494 -1.4853 -0.0253 0.9117
201.2 0.3899 -14.3351 0.0502 -1.4776 -0.0257 0.9065
201.4 0.3963 -14.2564 0.0509 -1.4699 -0.0261 0.9013
201.6 0.4026 -14.1766 0.0517 -1.4620 -0.0265 0.8959
201.8 0.4089 -14.0954 0.0525 -1.4540 -0.0269 0.8905
202 0.4151 -14.0130 0.0532 -1.4459 -0.0273 0.8850
202.2 0.4213 -13.9294 0.0540 -1.4376 -0.0277 0.8795
202.4 0.4274 -13.8445 0.0547 -1.4292 -0.0281 0.8738
202.6 0.4335 -13.7584 0.0555 -1.4207 -0.0284 0.8681
202.8 0.4395 -13.6711 0.0562 -1.4121 -0.0288 0.8623
203 0.4455 -13.5826 0.0569 -1.4033 -0.0292 0.8564
203.2 0.4514 -13.4929 0.0576 -1.3945 -0.0296 0.8504
203.4 0.4573 -13.4021 0.0583 -1.3855 -0.0299 0.8444
203.6 0.4631 -13.3100 0.0590 -1.3764 -0.0303 0.8383
203.8 0.4688 -13.2169 0.0597 -1.3671 -0.0306 0.8322
204 0.4746 -13.1225 0.0603 -1.3578 -0.0310 0.8259
204.2 0.4802 -13.0270 0.0610 -1.3483 -0.0313 0.8196
204.4 0.4858 -12.9304 0.0616 -1.3387 -0.0317 0.8133
204.6 0.4913 -12.8327 0.0623 -1.3290 -0.0320 0.8068
204.8 0.4968 -12.7339 0.0629 -1.3192 -0.0324 0.8003
205 0.5023 -12.6340 0.0635 -1.3092 -0.0327 0.7937
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205.4 0.5129 -12.4309 0.0648 -1.2890 -0.0334 0.7804
205.6 0.5182 -12.3278 0.0654 -1.2787 -0.0337 0.7736
205.8 0.5234 -12.2237 0.0659 -1.2683 -0.0340 0.7668
206 0.5285 -12.1185 0.0665 -1.2578 -0.0343 0.7599
206.2 0.5336 -12.0123 0.0671 -1.2472 -0.0346 0.7530
206.4 0.5386 -11.9050 0.0676 -1.2365 -0.0349 0.7459
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206.8 0.5485 -11.6876 0.0687 -1.2148 -0.0355 0.7318
207 0.5533 -11.5774 0.0693 -1.2037 -0.0358 0.7246
207.2 0.5581 -11.4663 0.0698 -1.1926 -0.0361 0.7173
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207.8 0.5720 -11.1272 0.0713 -1.1585 -0.0369 0.6953
208 0.5765 -11.0124 0.0718 -1.1470 -0.0372 0.6878
ALVITREZ BRAVO FLUJO NO PERMANENTE
400 -0.3637 5.8633 -0.0425 0.6597 0.0233 -0.3664
400.2 -0.3663 5.7903 -0.0428 0.6511 0.0235 -0.3617
400.4 -0.3689 5.7167 -0.0431 0.6424 0.0236 -0.3569
400.6 -0.3714 5.6427 -0.0434 0.6337 0.0238 -0.3522
400.8 -0.3739 5.5682 -0.0436 0.6250 0.0239 -0.3474
401 -0.3764 5.4931 -0.0439 0.6162 0.0241 -0.3425
401.2 -0.3788 5.4176 -0.0441 0.6073 0.0242 -0.3377
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401.8 -0.3857 5.1883 -0.0448 0.5805 0.0246 -0.3229
402 -0.3879 5.1109 -0.0451 0.5715 0.0248 -0.3180
402.2 -0.3901 5.0331 -0.0453 0.5624 0.0249 -0.3130
402.4 -0.3923 4.9549 -0.0455 0.5533 0.0250 -0.3079
402.6 -0.3944 4.8762 -0.0457 0.5441 0.0252 -0.3029
402.8 -0.3964 4.7971 -0.0459 0.5349 0.0253 -0.2978
403 -0.3985 4.7176 -0.0461 0.5257 0.0254 -0.2927
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403.4 -0.4024 4.5575 -0.0465 0.5071 0.0256 -0.2825
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403.8 -0.4061 4.3958 -0.0469 0.4883 0.0259 -0.2721
404 -0.4079 4.3144 -0.0470 0.4789 0.0260 -0.2669
404.2 -0.4096 4.2326 -0.0472 0.4694 0.0261 -0.2617
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405.6 -0.4207 3.6512 -0.0482 0.4024 0.0267 -0.2246
405.8 -0.4221 3.5669 -0.0484 0.3927 0.0268 -0.2193
406 -0.4234 3.4823 -0.0485 0.3830 0.0269 -0.2139
406.2 -0.4247 3.3975 -0.0486 0.3733 0.0269 -0.2085
406.4 -0.4260 3.3125 -0.0487 0.3635 0.0270 -0.2031
406.6 -0.4272 3.2271 -0.0488 0.3538 0.0271 -0.1977
406.8 -0.4284 3.1416 -0.0489 0.3440 0.0271 -0.1922
407 -0.4295 3.0558 -0.0490 0.3342 0.0272 -0.1868
407.2 -0.4306 2.9698 -0.0491 0.3243 0.0273 -0.1813
407.4 -0.4316 2.8836 -0.0492 0.3145 0.0273 -0.1759
407.6 -0.4326 2.7971 -0.0492 0.3046 0.0274 -0.1704
407.8 -0.4336 2.7105 -0.0493 0.2948 0.0274 -0.1649
408 -0.4345 2.6237 -0.0494 0.2849 0.0275 -0.1594
ALVITREZ BRAVO FLUJO NO PERMANENTE
800 -0.2426 -0.9643 -0.0272 -0.1119 0.0152 0.0633
800.2 -0.2420 -1.0128 -0.0272 -0.1172 0.0151 0.0663
800.4 -0.2414 -1.0611 -0.0271 -0.1225 0.0151 0.0693
800.6 -0.2407 -1.1093 -0.0271 -0.1278 0.0150 0.0723
800.8 -0.2400 -1.1574 -0.0270 -0.1331 0.0150 0.0753
801 -0.2393 -1.2054 -0.0269 -0.1383 0.0150 0.0783
801.2 -0.2386 -1.2532 -0.0269 -0.1435 0.0149 0.0813
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801.8 -0.2363 -1.3956 -0.0266 -0.1591 0.0148 0.0902
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802.2 -0.2347 -1.4899 -0.0265 -0.1694 0.0147 0.0961
802.4 -0.2338 -1.5367 -0.0264 -0.1745 0.0146 0.0990
802.6 -0.2330 -1.5834 -0.0263 -0.1796 0.0146 0.1019
802.8 -0.2321 -1.6299 -0.0262 -0.1846 0.0145 0.1048
803 -0.2312 -1.6762 -0.0261 -0.1897 0.0145 0.1077
803.2 -0.2302 -1.7224 -0.0260 -0.1947 0.0144 0.1105
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803.8 -0.2273 -1.8596 -0.0258 -0.2096 0.0142 0.1191
804 -0.2263 -1.9050 -0.0257 -0.2145 0.0142 0.1219
804.2 -0.2252 -1.9501 -0.0255 -0.2194 0.0141 0.1247
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804.8 -0.2220 -2.0843 -0.0252 -0.2339 0.0139 0.1331
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805.2 -0.2197 -2.1727 -0.0250 -0.2434 0.0137 0.1386
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805.8 -0.2162 -2.3034 -0.0246 -0.2576 0.0135 0.1467
806 -0.2149 -2.3465 -0.0245 -0.2622 0.0135 0.1494
806.2 -0.2137 -2.3894 -0.0243 -0.2668 0.0134 0.1521
806.4 -0.2124 -2.4320 -0.0242 -0.2714 0.0133 0.1547
806.6 -0.2112 -2.4744 -0.0241 -0.2760 0.0132 0.1574
806.8 -0.2099 -2.5165 -0.0239 -0.2805 0.0131 0.1600
807 -0.2085 -2.5583 -0.0238 -0.2850 0.0131 0.1626
807.2 -0.2072 -2.5999 -0.0237 -0.2895 0.0130 0.1652
807.4 -0.2059 -2.6412 -0.0235 -0.2939 0.0129 0.1677
807.6 -0.2045 -2.6822 -0.0234 -0.2983 0.0128 0.1703
807.8 -0.2031 -2.7230 -0.0232 -0.3027 0.0127 0.1728
808 -0.2017 -2.7635 -0.0231 -0.3070 0.0126 0.1753
ALVITREZ BRAVO FLUJO NO PERMANENTE
1000 0.1629 2.3662 0.0185 0.2692 -0.0103 -0.1507
1000.2 0.1617 2.3987 0.0183 0.2729 -0.0102 -0.1527
1000.4 0.1605 2.4309 0.0182 0.2765 -0.0101 -0.1547
1000.6 0.1592 2.4628 0.0181 0.2801 -0.0101 -0.1567
1000.8 0.1579 2.4946 0.0179 0.2837 -0.0100 -0.1587
1001 0.1566 2.5260 0.0178 0.2872 -0.0099 -0.1607
1001.2 0.1553 2.5572 0.0176 0.2907 -0.0098 -0.1626
1001.4 0.1540 2.5881 0.0175 0.2942 -0.0097 -0.1646
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1002.2 0.1486 2.7092 0.0169 0.3079 -0.0094 -0.1722
1002.4 0.1472 2.7388 0.0167 0.3112 -0.0093 -0.1740
1002.6 0.1458 2.7681 0.0166 0.3145 -0.0092 -0.1759
1002.8 0.1444 2.7971 0.0164 0.3178 -0.0091 -0.1777
1003 0.1430 2.8259 0.0163 0.3210 -0.0090 -0.1795
1003.2 0.1416 2.8543 0.0161 0.3242 -0.0090 -0.1813
1003.4 0.1401 2.8825 0.0160 0.3274 -0.0089 -0.1830
1003.6 0.1386 2.9104 0.0158 0.3305 -0.0088 -0.1848
1003.8 0.1372 2.9380 0.0156 0.3336 -0.0087 -0.1865
1004 0.1357 2.9653 0.0155 0.3367 -0.0086 -0.1882
1004.2 0.1342 2.9922 0.0153 0.3398 -0.0085 -0.1899
1004.4 0.1327 3.0189 0.0151 0.3428 -0.0084 -0.1916
1004.6 0.1311 3.0453 0.0150 0.3457 -0.0083 -0.1932
1004.8 0.1296 3.0714 0.0148 0.3487 -0.0082 -0.1948
1005 0.1280 3.0971 0.0146 0.3516 -0.0081 -0.1965
1005.2 0.1265 3.1226 0.0144 0.3545 -0.0080 -0.1980
1005.4 0.1249 3.1477 0.0143 0.3573 -0.0079 -0.1996
1005.6 0.1233 3.1726 0.0141 0.3601 -0.0078 -0.2012
1005.8 0.1217 3.1971 0.0139 0.3629 -0.0077 -0.2027
1006 0.1201 3.2212 0.0137 0.3656 -0.0076 -0.2042
1006.2 0.1185 3.2451 0.0135 0.3683 -0.0075 -0.2057
1006.4 0.1168 3.2686 0.0134 0.3709 -0.0074 -0.2072
1006.6 0.1152 3.2918 0.0132 0.3735 -0.0073 -0.2086
1006.8 0.1135 3.3147 0.0130 0.3761 -0.0072 -0.2101
1007 0.1119 3.3373 0.0128 0.3787 -0.0071 -0.2115
1007.2 0.1102 3.3595 0.0126 0.3812 -0.0070 -0.2129
1007.4 0.1085 3.3813 0.0124 0.3836 -0.0069 -0.2142
1007.6 0.1068 3.4029 0.0122 0.3860 -0.0068 -0.2156
1007.8 0.1051 3.4241 0.0120 0.3884 -0.0067 -0.2169
1008 0.1034 3.4449 0.0118 0.3908 -0.0066 -0.2182
ALVITREZ BRAVO FLUJO NO PERMANENTE
1792 -0.0495 2.1599 -0.0056 0.2411 0.0031 -0.1350
1792.2 -0.0506 2.1499 -0.0057 0.2399 0.0032 -0.1343
1792.4 -0.0516 2.1397 -0.0058 0.2387 0.0033 -0.1337
1792.6 -0.0526 2.1292 -0.0060 0.2375 0.0033 -0.1330
1792.8 -0.0537 2.1186 -0.0061 0.2363 0.0034 -0.1323
1793 -0.0547 2.1078 -0.0062 0.2350 0.0035 -0.1316
1793.2 -0.0557 2.0967 -0.0063 0.2338 0.0035 -0.1309
1793.4 -0.0568 2.0855 -0.0064 0.2325 0.0036 -0.1302
1793.6 -0.0578 2.0740 -0.0065 0.2312 0.0036 -0.1295
1793.8 -0.0588 2.0624 -0.0066 0.2298 0.0037 -0.1287
1794 -0.0598 2.0505 -0.0068 0.2285 0.0038 -0.1280
1794.2 -0.0608 2.0385 -0.0069 0.2271 0.0038 -0.1272
1794.4 -0.0618 2.0262 -0.0070 0.2257 0.0039 -0.1264
1794.6 -0.0627 2.0138 -0.0071 0.2242 0.0040 -0.1256
1794.8 -0.0637 2.0011 -0.0072 0.2228 0.0040 -0.1248
1795 -0.0647 1.9883 -0.0073 0.2213 0.0041 -0.1240
1795.2 -0.0656 1.9752 -0.0074 0.2198 0.0041 -0.1231
1795.4 -0.0666 1.9620 -0.0075 0.2183 0.0042 -0.1223
1795.6 -0.0675 1.9486 -0.0076 0.2168 0.0043 -0.1214
1795.8 -0.0685 1.9350 -0.0077 0.2152 0.0043 -0.1206
1796 -0.0694 1.9212 -0.0078 0.2136 0.0044 -0.1197
1796.2 -0.0703 1.9072 -0.0079 0.2120 0.0044 -0.1188
1796.4 -0.0713 1.8931 -0.0080 0.2104 0.0045 -0.1179
1796.6 -0.0722 1.8787 -0.0081 0.2088 0.0045 -0.1170
1796.8 -0.0731 1.8642 -0.0082 0.2071 0.0046 -0.1160
1797 -0.0740 1.8495 -0.0084 0.2054 0.0047 -0.1151
1797.2 -0.0749 1.8346 -0.0084 0.2037 0.0047 -0.1142
1797.4 -0.0758 1.8195 -0.0085 0.2020 0.0048 -0.1132
1797.6 -0.0766 1.8043 -0.0086 0.2003 0.0048 -0.1122
1797.8 -0.0775 1.7889 -0.0087 0.1985 0.0049 -0.1112
1798 -0.0784 1.7733 -0.0088 0.1967 0.0049 -0.1103
1798.2 -0.0792 1.7575 -0.0089 0.1949 0.0050 -0.1093
1798.4 -0.0801 1.7416 -0.0090 0.1931 0.0050 -0.1082
1798.6 -0.0809 1.7255 -0.0091 0.1913 0.0051 -0.1072
1798.8 -0.0817 1.7093 -0.0092 0.1894 0.0051 -0.1062
1799 -0.0825 1.6928 -0.0093 0.1876 0.0052 -0.1051
1799.2 -0.0833 1.6763 -0.0094 0.1857 0.0052 -0.1041
1799.4 -0.0841 1.6595 -0.0095 0.1838 0.0053 -0.1030
1799.6 -0.0849 1.6426 -0.0096 0.1819 0.0053 -0.1019
1799.8 -0.0857 1.6255 -0.0097 0.1799 0.0054 -0.1009
1800 -0.0865 1.6083 -0.0097 0.1799 0.0054 -0.1009
ALVITREZ BRAVO FLUJO NO PERMANENTE
GRAFICAS
TUBERIA
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60TIEMPO Vs POSICION DE LA TUBERIA
Alvitrez Bravo
TIEMPO EN SEGUNDOS
ALT
UR
AS
DE L
A T
UBER
IA
ALVITREZ BRAVO FLUJO NO PERMANENTE
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5TIEMPO Vs VELOCIDAD DE LA TUBERIA
Alvitrez Bravo
TIEMPO EN SEGUNDOS
VELO
CID
AD
ES
DE L
A T
UBER
IA
ALVITREZ BRAVO FLUJO NO PERMANENTE
DEPOSITO1
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800-4
-2
0
2
4
6
8TIEMPO Vs POSICION DEL DEPOSITO 1
Alvitrez Bravo
TIEMPO EN SEGUNDOS
ALT
UR
AS
DEL D
EPO
SIT
O 1
ALVITREZ BRAVO FLUJO NO PERMANENTE
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3TIEMPO Vs VELOCIDAD DEL DEPOSITO 1
Alvitrez Bravo
TIEMPO EN SEGUNDOS
VELO
CID
AD
ES
DEL D
EPO
SIT
O 1
ALVITREZ BRAVO FLUJO NO PERMANENTE
DEPOSITO2
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800-4
-3
-2
-1
0
1
2
3TIEMPO Vs POSICION DEL DEPOSITO 2
Alvitrez Bravo
TIEMPO EN SEGUNDOS
ALT
UR
AS
DEL D
EPO
SIT
O 2
ALVITREZ BRAVO FLUJO NO PERMANENTE
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15TIEMPO Vs VELOCIDAD DEL DEPOSITO 2
Alvitrez Bravo
TIEMPO EN SEGUNDOS
VELO
CID
AD
ES
DEL D
EPO
SIT
O 2
ALVITREZ BRAVO FLUJO NO PERMANENTE
VI. CONCLUSIONES , RECOMENDACIONES
* En el análisis de los resultados, perteneciente al depósito 1, se puede observar que en un estado permanente la altura inicial es de 8 metros y cuando se inicia la oscilación después de un determinado tiempo, se llega a una altura de -0.3834 debajo del nivel de aguas tranquilas para un tiempo de 163s.
* En el análisis de los resultados, perteneciente al depósito 2, se puede observar que en un estado permanente la altura inicial es de -3.5786 metros y cuando se inicia la oscilación después de un determinado tiempo, se llega a una altura de 0.2198 metros arriba del nivel de aguas tranquilas en un tiempo de 163 s.
* Además se puede observar del análisis de los datos obtenidos, que en ambos depósitos cuando se llega a su máxima altura o máximo descenso, el valor de la velocidad tiende a ser muy pequeña.
* De los datos se observa que 30 minutos después de iniciado el movimiento el depósito 1 llega a una altura de 0.1799 m sobre el nivel de aguas tranquilas, lo cual representa el 2.2487% de la altura en el inicio del movimiento, con lo cual se puede decir que se encuentra estable.
* De la misma manera, se observa que 30 minutos después de iniciado el movimiento en el depósito 2, se llego a una altura de -0.1009m sobre el nivel de aguas tranquilas, lo cual representa un 2.8195% de la altura inicial de este deposito
* Se debe tener mucho cuidado al momento de reemplazar las expresionesz1=f [ z ] y z2=g [z ] en la ecuación diferencial que gobierna el movimiento, ya que un reemplazo un inadecuado puede generar fenómenos que físicamente no son viables.
* Debido a que no se ha simplificado al máximo las expresiones, esto generara un margen de error lo cual se puede considerar despreciables.
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* Se puede haber aplicado el método de euler pero se procedió aplicar este método funge kutta dando resultados más exactos.
* vemos que según la grafica para un tiempo 575.6s la velocidad de la tubería es 0.04274m/s
* vemos que según la grafica para un tiempo 509.4s la velocidad del depósito 1 es -0.00021m/s
* vemos en las graficas que según va pasando el tiempo las alturas de las oscilaciones va reduciéndose asta que formen una línea donde se interpretara que se a llegado a la estabilidad del movimiento del agua y quedara en estado permanente
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VII. BIBLIOGRAFIA
* Víctor L. Streeter. Mecánica de Fluidos. Novena Edición
* Método de Runge-Kutta. Wikipedia, CHAPRA
* Apuntes de clase. Curso de Flujo No permanente
* Cesar Pérez López. Matlab y sus aplicaciones en las Ciencias y la Ingeniería.
* Métodos Numéricos usando Matlab. Jhon H. Mathews.
*Apuntes de clase. Curso de Métodos Numéricos II.
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VIII. ANEXO
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