Post on 02-Jul-2015
1
Radicales
Definición del concepto
Vocabulario
Propiedades de los radicales
Simplificar expresiones con radicales
Preparado por Profa.Carmen Batiz UGHS
Estándar: Numeración y Operación
Expectativa 2
2
¿A qué conjunto pertenece los radicales no exactos?
Los radicales pertenecen a los números irracionales. Éstos son números cuya expresión decimal tiene infinitas cifras no periódicas.
3
Números Reales
Números Racionales Números Irracionales
Enteros fracciones y decimales finitos
Números Naturales
ceroNúmerosNegativos
Números Positivos
Fracciones y decimales infinitos Radicales no exactos
∏
4
Indica cúal de éstos números son irracionales
2/125 d.
8 .
3 .
4 .
c
b
a entero númeroun , esno
infinito númeroun es ,si
5 25 o, =n
infinito númeroun es ,si
5
RadicalesSurgen de los exponentes fraccionarios
Ejemplos:
( ) = 3u
=
5
132
3
2
= 2
1
v
m
xx
m23
35 32vu
6
Generalización
El símbolo se denomina radical,n es índiceb es radicando
bm
n = bmn
m es el exponente
7
Ejemplos:
9 10436 yx
5 3327 yx=
A. Expresa cada exponente racional en forma radical.
• u1/5
• (6x2y5)2/9
• (3xy)3/5
B. Expresa a la forma de exponentes racional.
(9u)1/4
-(2x)4/7
(x3 + y3)1/3
5 u=9 252 )6( yx
( )3 35 xy
1 9
2 2
3
4
47
3
.
. ( )
.
x33
u
x
y
−
+
8
Intenta:A. Expresa cada exponente racional en forma radical.
• u2/3
• (xy)1/5
• 3x2/3y
B. Expresa a la forma de exponentes racional.
3 2
7 4
2
)( .3
2 .2
2 .1
mn
x
u
−
9
Intenta:A. Expresa cada exponente racional en forma radical.
• u2/3
• (xy)1/5
• 3x2/3y
B. Expresa a la forma de exponentes racional.
(2u)1/2
-21/7 x4/7
(mn)2/3
3 2u5 xy
3 2 3 xy
3 2
7 4
2
)( .3
2 .2
2 .1
mn
x
u
−
10
Propiedades de los radicalesSea k, n y m números mayores o iguales a 2; y x y números reales positivos:
mn/1/11/n
n mk/k
n
n
nn
m/m
x x = .5
x x= .4
y
x = .3
x xy.2
x= .1
==
=
⋅=
=
⋅ mnmm n
kn km
n
n
m m
xx
x
y
x
y
xx
11
Ejemplos: Simplifica utilizando las propiedades de los radicales.
(3x2y)5/5
x 4/6
x2/3= x0 = 1
ó 3
1 3 x=x
27
3
3
1/12 x=( ) 3/14/1x= .4
x
x 3.
27
.2
= )3( .1
3 4
3 2
6 4
3
5 52
x
x
yx
=
=
= (3x2y)
3
3 x
Propiedad 1
Propiedad 3
Propiedad 1/P. Exponentes
Propiedad 5
12
Intenta: Simplifica utilizando las propiedades de los radicales.
= .4
x 3.
8
.2
= xy .1
3
6 4
3
3 3
x
x
x
=
=
13
Intenta:
6 x=
2
x3
Simplifica utilizando las propiedades de los radicales.
x1/3 y3/3
x 4/6 = x1/2
x4/6-1/2 =
ó 2
1 3 x=
3
3
8
x
6 x= .4
x 3.
8
.2
= xy .1
3
6 4
3
3 3
x
x
x
=
=
= (x1/3y)
x4/6-3/6 = x 1/6
14
Simplificando Números Irracionales
15
Ejemplos:
3 2 3 =
2 3 3 33 ⋅ ⋅ ⋅
3 332 ⋅=
=3 54 .1
Simplifica.
Descomponer en factores primos
Propiedad 1 de los radicales
16
Ejemplos:
=3 54 .1
Simplifica.
17
Ejemplos:
=25312x .2 zy
Simplifica.
Descomponer en factores primos
18
Ejemplos:
xyzyx 32 2/22/42/22/2=
242322 zyyxx ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=25312x .2 zy
32 3 z2 xyxy=
Simplifica.
Descomponer en factores primos
Propiedad 1 de los radicales
19
Ejemplos:
3 2416 .3 yx
Simplifica.
20
Ejemplos:
3 222x xy=
=3 2416 .3 yx 3 233 22 xyx⋅⋅
3 23/33/3 22 xyx=
Simplifica.
Propiedad 1 de los radicales
21
Ejemplos:
=3 27 .4
Simplifica.
22
Ejemplos:
=3 27 .43 33
33 2/1 ==
( ) 3/12/33=
Simplifica.
Propiedad 5 de los radicales/Propiedad de los exponentes
23
Intenta:
=
=
=
=
3
3 63
232
3
10 .4
32 .3
75x .2
16 .1
yx
zy
Simplifica utilizando las propiedades de los radicales y de los exponentes.
24
Intenta:
3 2 2 =
32 2 2xy x=
=33/3 2 2=⋅3 322
35 2222 yzyx⋅⋅
=
=
=
=
3
3 63
232
3
10 .4
32 .3
75x .2
16 .1
yx
zy
3 63322 yx ⋅⋅
yxy 3 z5=
( ) =3/12/110 =6/110 6 10
Simplifica utilizando las propiedades de los radicales y de los exponentes.
25
Práctica -Ejercicios sugeridos
Algebra -Barnett
p. 23-24 (1-40) p. 32-33 (1-70) Algebra -Larson
p.685 Algebra Glencoe
p. 724 (20-27)
26
Operaciones con Radicales
27
Multiplicación de Radicales
Para multiplicar radicales : Se multiplica los coeficientes y los radicales siguiendo las reglas de éstos. Luego se simplifica el radical si es posible.
28
Multiplicación de RadicalesEJEMPLOS:
21
4
7
12.3
15873.2
10352.1
⋅
⋅⋅
⋅
29
Multiplicación de RadicalesEJEMPLOS:
15873.2
10352.1
⋅⋅
⋅ 2256 ⋅=256 ⋅=
230=
532473 ⋅⋅⋅⋅=532723 ⋅⋅⋅⋅=
2106=
30
Multiplicación de RadicalesEJEMPLOS:
21
4
7
12.3 ⋅
377
434
⋅⋅⋅⋅=
7
4=
37
342
2
⋅⋅=
31
Otros Ejemplos:
)32)(32(52 .4
)23)(23( .3
)23)(23( .2
)53(32 .1
.
+−
−+
++
−
Multiplica
32
Otros Ejemplos:
)23)(23( .2
)53(32 .1
.
++
−
Multiplica
31092 −=31032 −⋅=
3106 −=
P. distributiva
P. 1 Radicales
432329 +++=
432323 +++=
347 +=
Multiplicación cada término del primer paréntesis con cada término del segundo paréntesis.
33
Otros Ejemplos:
)32)(32(52 .4
)23)(23( .3
.
+−
−+
Multiplica
432329 −−+=432323 −−+= 1−=
)94(52 −=
)32(52 −=)1(52 −=
52−=
34
Racionalizando denominadores
Racionalizar es eliminar cualquier raíz en un denominador.
35
Racionalizando denominadores
1
2
32
42 4
.
.
.
.
3
5
6
2x
10x
3y
3
3
2
3
x
x
Ejemplos.
36
Racionalizando denominadores
=x
x
2
26
2x
6 .2
5
3 .1 =⋅
5
5 3 5
5
==x
x
2
2 =2)2(
26
x
x 3 2x
x
3
=25
53
37
Racionalizando denominadores
34
2
3
3
2
3y .4
2
10x .3
x
x=⋅
3 2
3 2
)2(
)2(
x
xx
x
2
4 10x 3 23
3 22
3 22
2
2
x
x⋅3 33
3 22
2
12
xx
yx==
3
2
23
3
y
x x2
3 22
2
12
x
yx=
=3 3
3 23
)2(
)2( 10
x
xx
38
Intenta
12
2
23
2 3
37
63
42
3 5
.
.
.
.+
Racionaliza y simplifica.
39
Intenta
32
3.2
2
2.1 • =2
22 2
2= 2
• =3
33 3
6= = 3
2
Racionaliza y simplifica.
40
Intenta
53
2.4
63
7.3
+
=⋅
=7
7 9
7
3 7• =7
7
7 7
21= 7
3
3 5
3 5
−−
= 2 3 10
9 25
−−
=2 3 10
22
−−
Racionaliza y simplifica.
41
Sumando y Restando Radicales
Para sumar los radicales, éstos deben tener el mismo índice y el mismo radicando. Si es así, entonces se suma los coeficientes y se escribe el término semejante.
(3 x + + + + −5 2 4y x y) ( )
42
Sumando y Restando Radicales
(3 x + + + + −5 2 4y x y) ( )
4 x + 6 y − 2
43
Intenta:
1 2 40 60
2 45 80 2 180
312
7
4
21
28
3
.
.
.
−
+ −
+ −
Suma y simplifica.
44
Intenta:
2 2 2 5 2 5 3⋅ ⋅ − ⋅
4 10 2 15−
2 2 5 4 4 5 3⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
60402.1 −
Suma y simplifica.
45
Intenta:
9 5 4 4 5 2 9 4 5⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
57−
5125453 −+
18028045.2 −+Suma y simplifica.
523252253 ⋅⋅−⋅+
46
Intenta:
3
3
3
72
21
21
37
12
7
7
7
32 ⋅−⋅
⋅+⋅=
3
212
21
212
7
212 −+=
21
2172
21
212
21
2132 ⋅−+⋅=
21
2114
21
212
21
216 −+= 21
216−=
3
72
37
12
7
32 −
⋅+=
3
47
37
4
7
43 ⋅−⋅
+⋅=3
28
21
4
7
12.3 −+
Suma y simplifica.
47
Práctica- Ejercicios sugeridos Algebra Barnett
p. 39-40 (1-54) Algebra Larson
p. 692 (1-30) Algebra Glencoe
p. 724 (28-49) impares
p. 729-730 (1-42) impares
48
Resolviendo Ecuaciones con Radicales
49
Regla General:
La operación inversa de una raíz cuadrada es el cuadrado de un número.
Repasemos operaciones inversas:Suma Resta
Multiplicación División
¿Cuál es la operación inversa de una raíz cuadrada?
Es por eso que para eliminar una raiz cuadrada,
sólo tienes que cuadrar esta. Ejemplo:
x = 5( )2 ( )2
x = 25
50
Regla General:Repasemos operaciones inversas:
Suma Resta
Multiplicación División
51
Entonces...
¿Cuál es la operación inversa de una raíz cuadrada?
52
Entonces...
La operación inversa de una raíz cuadrada es el cuadrado de un número.
¿Cuál es la operación inversa de una raíz cuadrada?
x = 5
( )2 ( )2 x = 25
53
EJEMPLO:x = 5
( )2 ( )2
x = 25
x = 5
54
Otros ejemplos:
1 3 8. x =
2 3 1 5. x − =
3 3 1 5. x − =
Encuentra el valor de la variable.
55
Otros ejemplos:
1 3 8. x =
( ) ( ) 2283 =x
( ) ( ) 2283 =x
643 =xx = 21
1
3
Encuentra el valor de la variable.
3
3
64
3
x =
56
Otros ejemplos:
2 3 1 5. x − =( ) 22
513 =−x
3 1 25x − =
3 24x =x = 8
Encuentra el valor de la variable.
57
Otros ejemplos:
3 3 1 5. x − =153 +=x
( ) 2263 =x
3 36x =x = 12
Encuentra el valor de la variable.
58
Intenta:4 9. 2x = x2 −
59
Intenta:
( ) 22
2 92 xx =−
92 =x
92 =x
3 3 −== xóx
x= 92x 2 −
22 92 xx =−
60
Práctica- Ejercicios sugeridos Algebra Larson
p. 698 (1-30) Algebra Glencoe
p. 734-735 (1-39)