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7/21/2019 Números Complejos con sus gráficas
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Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpoalgebraicamente cerrado que los contiene. Todo número complejo puede representarsecomo la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad
imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar y lo denotamos con la letra
Su xpresión de la forma ! " a # b.i donde a y b son números reales $ i es la unidad llamada imaginaria,
definida por las ecuaciones% i " &' o i " '$ a es la parte real y b es la parte imaginaria del númerocomple*o.
Si a " +, el número comple*o + # b.i " b.i, es un número imaginario puro$ si b " +, se obtiene el númeroreala # +.i " a
os números comple*os son iguales si% (a # b.i) " (c # d.i) ⇔ a " c$ b " d es decir, si son iguales suspartes reales e imaginarias por separado.
-n número comple*o es igual a cero si% a # b.i " + ⇔ a " +$ b " +
1.2 Representación gráfica
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En el número complejo llamaremos a la parte real y ala parte imaginaria.
Como los números complejos son pares de números reales podemos efectuar unarepresentación de los mismos mediante el plano (Gráfica 1) En estarepresentación se le dice eje real ( Re) al eje de las y eje imaginario ( Im) aleje de las .
Gráfica 1: Representación del número complejo .
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Operaciones
efiniremos cada comple*o z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (e(z ), /m(z )),
en el que se definen las siguientes operaciones%
• Suma
• 0roducto por escalar
• 1ultiplicación
• /gualdad
2 partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes%
• esta
• i3isión
2l primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al
segundo (que llamaremos b), parte imaginaria. Se
denomina número imaginario puro a aquel que est4 compuesto
sólo por la parte imaginaria, es decir, aquel en el que .
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Conjugado de un número complejo
Si es un número complejo llamaremos conjugado
del número z , al número , es decir, al número
complejo que tiene la misma parte real que pero la parte imaginaria de signoopuesto.
Ejemplo. Si , entonces ysi , entonces .
ódulo y argumento de un número complejo
Sea un número complejocualquiera. !lamaremos módulo del número complejo , al número real dado
por y lo denotaremos por . El módulo seinterpreta como la distancia al origen del número (Gráfica 2). "or otra parte, llamaremos argumento del número complejo
, al #ngulo comprendido entre el eje y el radio $ector que determina
a . El argumento de se denota por y se calculamediante la e%presión:
.
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Gráfica 2: ódulo y argumento de un número complejo.
"ropiedad:
Demostración:
&orma trigonom'trica o polar de un número complejo
!a forma trigonom'trica de un número complejo se estalece oser$ando eltri#ngulo amarillo de la Figura 3:
Gráfica 3: &orma trigonom'trica de un número complejo.
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En este caso se tiene que y que
Luego:
Por lo tanto:
Ésta es la llamada forma trigonométrica o polar del número complejo, la cualestá en términos del módulo y el argumento !e denota comúnmentepor
"*E+C-C+ /E !- 0+/-/ -1+-R-
i"#$%• "
• i
• &"
• &i
La propiedad m4s importante de la unidad imaginaria i es%
i'$&"
0or lo tanto% i($ )i'*'$)&"*'$"
ntonces, podemos simplificar la expresión al reescribirla en t5rminos de i( .
0orque "#+($# residuo ",
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i13= (i4)3i1
(1)3i1
i1
6ualquier número a la primera potencia es el mismo número.
i "$i
i "#
$i
"
$i