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1
Unidad 6. Derivadas.
Técnicas de derivación
BACHILLERATOMatemáticas aplicadas a las
Ciencias Sociales II
Resuelve
Página 155
Función derivada
■ Continúa escribiendo las razones por las cuales g (x) es una función cuyo comportamiento respon-de al de la derivada de f (x).
•Enelintervalo(a,b),f(x)esdecreciente.Portanto,suderivadaesnegativa.Esloquelepasaag(x)en(a,b).
• Laderivadade f en b es0: f '(b)=0. Ytambiénesg(b)=0.
• Engeneral: g(x)=f '(x)=0dondef(x)tienetangentehorizontal.
g(x)=f '(x)>0dondef(x)escreciente. g(x)=f '(x)<0dondef(x)esdecreciente.
y = f (x)
y = g(x) = f '(x)
ab
ab
■ Las tres gráficas de abajo, A, B y C, son las funciones derivadas de las gráficas de arriba, 1, 2 y 3, pero en otro orden. Explica razonadamente cuál es la de cada una.
1)B2)A3)CLa derivada se anula en los puntos de tan-gentehorizontal,espositivadondelafunciónes creciente,y esnegativadonde la funcióndecrece.
A
1
B
2
C
3
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
2
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
1 Derivada de una función en un punto
Página 157
1 Halla, paso a paso, las derivadas siguientes:
a) 4x – x 2 en x0 = 3
b) x 3 en x0 = 2
c) x1 en x0 = 2
d) (x – 3)2 en x0 = 1
a) ( ) ( ) ( ) ( )f f3 3 4 3 3 3 12 4 9 6 3 2hh –
hh – h –
hh – – h – h – –h –
2 2+ = + + = + =
f '(3)= l mí8 0h
( ) ( )f f3 3hh –+ = l mí
8 0h(–h–2)=–2
b)( ) ( ) ( )f f2 2 2 8 8 12 6 8 6 12
hh –
hh –
hh h h – h h
3 2 3 2+= + = + + + = + +
f '(2)= l mí8 0h
( ) ( )f f2 2
hh –+
= l mí8 0h
(h2+6h+12)=12
c)–( ) ( )
( )f f2 2 2
121
2 21
hh –
hh
h–+
= + =+
f '(2)= l mí8 0h
( ) ( )f f2 2
hh –+
= l mí8 0h
( )2 21
41
h–
+=
d)( ) ( ) ( ) ( )f f1 1 1 3 4 2 4 4
hh –
hh – –
hh – – h –
2 2+= + = =
f '(1)= l mí8 0h
( ) ( )f f1 1
hh –+
= l mí8 0h
(h–4)=–4
2 Halla, paso a paso, la derivada lateral f ' (0+) de f (x) = x y justifica la respuesta.
Sih>0,( ) ( )f f0 0 10
hh –
hh
h–+
= =
l mí8 0h
( ) ( )f f0 0
hh –+
= l mí8 0h
1h=+∞→Noexistef '(0+).
3 ¿Qué condición debe cumplir una función, f, para ser derivable en el intervalo [1, 5)?
Paraquefseaderivableen[1,5),debeserloenelintervaloabierto(1,5)y,además,debeexistirladerivadalateralf '(1+).
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
3
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Página 159
4 Estudia la derivabilidad en x0 = 3 de la función:
f (x) = ,
,x x x
x x3 3
3 9 3– ≤– >
2*
•Continuidadenx0=3:
( )
( )( ) ( )
( )
( )
l m f x l m
l m f x l ml m f x f
x x
x
3 0
3 9 03 0
–
–
í í
í íí
8 8
8 88
x x
x xx 3
3 3
3 3
2–
=
== =
=
=+
_
`
a
bb
b
Portanto,f(x)escontinuaenx0=3.
•Derivabilidadenx0=3:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
' '
' '
l m f x l m x f
l m f x l m f
2 3 3 3
3 33
–í í
í í8 8
8 8
x x
x x
3 3
3 3
–– –
= = =
= = = ++ +
4 Lasderivadaslateralesexistenycoinciden.
Portanto,f(x)esderivableenx0=3.Además,f '(3)=3.
5 Estudia la derivabilidad en x0 = 0 de la función:
f (x) = ,,
x xx x
xx
5 32 3
00
––
≤>
2
2+
+ +*
•Continuidadenx0=0:
( ) (
( ) (( )
)
)
l m f x l m
l m f x l ml m f x
x x
x x
5 3 3
2 3 33
–
–
í í
í íí
8 8
8 88
x x
x xx
0 0
0 00
2
2
– –=
==
+ =
+ + =+ +
_
`
a
bb
b.Además,f(0)=3.
Portanto,f(x)escontinuaenx0=0.
•Derivabilidadenx0=0:
f '(x)=( ) ( ) '( )
( ) ( ) '( )
'
'8
x x
x x
l m f x l m x f
l m f x l m x f
2 5 0
2 2 0
2 5 5 0
2 2 2 0
– si
– si
– –
–
í í
í í
<
>
8 8
8 8
x x
x x
0 0
0 0
–– –
+
= = =
= + = = ++ +
Z
[
\
]]
]*
Lasderivadaslateralessonfinitasperonocoinciden.Portanto,noesderivableenx0=0.
6 Estudia la derivabilidad de la siguiente función en x = 0:
f (x) = ,
,x
xxx
00
– – ≤>
*
•Continuidadenx0=0:
( ) ( )
( ) ( ) ( )l m f x l m
l m f x l ml m f x
x
x
0
0 0– –í í
í íí
8 8
8 88
x x
x xx
0 0
0 00
– –= =
= = =+ +
_
`
a
bb
b.Además,f(0)=0.
Portanto,f(x)escontinuaenx0=0.
•Derivabilidadenx0=0:
f '(x)=( ) ∞
( ) ∞
'
'8
xx
xx
l m f x l mx
l m f x l mx
21 0
21 0
21
21
–si
si
–í í
í í
<
>
8 8
8 8
x x
x x
0 0
0 0
– –= = +
= = ++ +
Z
[
\
]]
]]
Z
[
\
]]
]]
Lasderivadaslateralesnoexistenalserinfinitosloslímites.Portanto,noesderivableenx0=0.
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
4
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
7 Calcula m y n para que f (x) sea derivable en :
f (x) = ,
,x mx
x nxx
5 00
––
≤>
2
2+
+*
• Six≠0,lafunciónescontinuayderivable,puesestáformadapordospolinomios.
•Continuidadenx=0:
( ) ( )
( )
l m f x l m x mx
l m l m
f
5 5
0 5
–í í
í í8 8
8 8
x x
x x
0 02
0 02
–= + =
=
+( ) ( )f x x n n–= + =
_
`
a
bbb
bb
Paraquef(x)seacontinuaenx=0,hadeser:n=5.
•Derivabilidadenx=0:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
' '
' '
l m f x l m x m m f
l m f x l m x f
2 0
2 0 0
– –
–
í í
í í8 8
8 8
x x
x x
0 0
0 0
–– –
= = =
= = = ++ +
4 Paraqueseaderivableenx=0,hadeser:–m=0→m=0 Portanto,f(x)esderivableenÁparam=0yn=5.
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
5
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
3 Reglas de derivación
Página 163
1 Utiliza las reglas de derivación para calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones:
a) f (x) = xx
11 –
+ b) f (x) =
xx
11 –
+
c) f (x) = ln xx
11 –
+ d) f (x) =
tg xtg x
11 –
+
e) f (x) = tg xtg x
11 –
+ f ) f (x) = ln etg x
g) f (x) = 3x 1+ h) f (x) = ( )log cossen x x· 2
i) f (x) = tg 2 x + sen 2 x j) f (x) = cossen x x1 1· –+
k) f (x) = 7sen (x 2 + 1) l) f (x) = ( )sen x x x3 2 2–5 3+
m) f (x) = sen x x 12+ + n) f (x) = ( )cos x x3 –2 23 +
a)f '(x)=( )
· ( ) ( ) ·( ) ( )x
x xx
x xx1
1 1 1 11
1 11
2– – – – – – –2 2 2+
+ =+
+ =+
b)Utilizamoselresultadoobtenidoena):
f '(x)= ·( ) ( ) ( )
xx x x x2 1
11
12
1 11
––
––
2 3
++
=+
c)Utilizamoselresultadoobtenidoena):
f '(x)= ·( ) ( ) ( )
( )
xx x x x
xx
111
12
1 12 1
12
––
––
––
2 2 2
++
=+
+ =
Deotraforma:Sitomamoslogaritmospreviamente:
f(x)=ln(1–x)–ln(1+x).Derivamos:
f '(x)=x x x
x xx1
111
11 1
12
–– –
–– – –
––
2 2+= + =
d)f '(x)=( )
( ) ( ) ( ) · ( )tg x
tg x tg x tg x tg x1
1 1 1 1– – –2
2 2
++ + +
=
=( )
( ) [ ]( )( )
tg xtg x tg x tg x
tg xtg x
11 1 1
12 1– – – –
2
2
2
2
++ +
=++
Deotraforma:Sitenemosencuentaelresultadoobtenidoena):
f '(x)=( )
· [ ]( )
· ( )( )( )
tg xD tg x
tg xtg x
tg xtg x
12
12 1
12 1– – –
2 22
2
2
+=
++ =
++
e)Teniendoencuentaelresultadoobtenidoend):
f '(x)=( )( )
( ) ( )
( )
tg xtg x tg x
tg x
tg x tg x
tg x
2 111
12 1
1 1
1–
·–
–
–2
2
3
2
++
=+
++
Tambiénpodríamoshaberllegadoaesteresultadoutilizandolosresultadosdelapartadoenb).
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
6
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
f)f(x)=ln lne etg x2
( )/tg x tg x 2= =
f '(x)=tg x2
1 2+
g)f(x)= 3 3( )/x x1 1 2=+ +
f '(x)=3(x+1)/2· · ·ln ln21 3
23 3x 1= +
h)f(x)= ( · ) [ ( ( )]log cos log log cossen x x sen x x22 = +
f '(x)= · · ··
cosln cos ln ln cos
cossen x
xx
sen xsen x x
x sen x2101
101
102– –2 2
+ = =< F
= ··
··ln cos
cosln
coslnsen x x
x sen xsen x
xtg x10
42 10
422
10 24–2 2
= =
Deotraforma:
f(x)= ( · )log cos logsen x x sen x2222 = d n
f '(x)=( ) /ln
coslnsen x
xtg x
2101
2 22
10 24· ··
=
i) f '(x)= · [ ] · [ ] · ( ) · ( ) ·cos costg x D tg x sen x D sen x tg x tg x sen x x tg x tg x sen x x2 2 2 1 2 2 22+ = + + = + +
j) f '(x)= · · ( )cos cosx
xx
sen xx sen x2 11
2 111 1
–– – –
++ + + =
= · ·cos cosx
xx
sen xx sen x2 11
2 111 1–
–– –
++ +
k)f '(x)=7sen(x2+1)·ln7·D[sen(x2+1)]=7sen(x2+1)·ln7·2x·cos(x 2+1)
l) f '(x)= ( ) ·cos x x x xx x
3 2 2 15 13
2– –5 3 423
3+ +f p
m)f '(x)= · ( )cos cossen x x
x xsen x x
x x2 1
1 22 1
22 2+ +
+ =+ ++
n)f '(x)= ( ) · ( ) ·( ( ))( ) · ( )cos x x sen x x
x xx2 3 3
31 2 3 1– – –
–– –23 23
2 23+ +
++ =: D
=( ) )
( )( ( ) )
( ) · ( ( ) )( ) · ( )cosx x
x xx x
x sen x xsen x x x3 3
2 33 3
5 2 2 33 2 5–
– ––
– –– –2 23
23
2 23
2323
++ =
+++
2 Halla las derivadas primera, segunda y tercera de las siguientes funciones:
a) y = x 5b) y = x cos xc) y = sen 3 x + cos 2 x + x
a)y=x5→y'=5x4;y''=20x3;y'''=60x2
b)y=x cos x→y'=cos x–x sen x
y''=–sen x–sen x–x cos x=–2sen x–x cos x
y'''=–2cos x – cos x + x sen x = –3cos x +x sen x
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
7
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
c)f '(x)= [ ] [ ]cos cos cos cossen x D sen x x D x sen x x x sen x3 2 1 3 2 1· · · – ·2 2+ + = +
f ''(x)= ·cos cos cossen x x sen x sen x sen x x sen x x sen x sen x6 3 2 2 6 3 2· – · – –2 2 2 2 3+ = +
f '''(x)= [ ] [ ] [ ]cos cos cos cos cosx x sen x x D x sen x D sen x sen x D sen x x6 6 2 9 4 4· · · – · · –2 2+ + =
· · · ·cos cos cos cos cosx sen x x sen x x sen x x x sen x6 12 9 4 4– –3 2 2= + + =
· ·cos cos cosx x sen x x sen x6 21 8–3 2= +
3 Calcula f ' (1) siendo:
f (x) = x
x x e2 3
3 ·25
34
f(x)= ·· ·· · · · · ··
xx e
xx x e e x xx e
2 3 2 33
23
293
/ /
/ / / / / /25
41 5 2 5
1 2 1 3 1 3 4 2 15 4 13 3015
13 303 4
= = =
f '(x)= ·· ·x xe e39
3013
6013 9/
1517 30
1517304 4
– =
Portanto:f '(1)= · e60
13 915 4
4 Calcula f ' 6πb l siendo:
f (x) = (cos 2 3x – sen 2 3x) · sen 6x
f(x)= ( ) · ·cos cosx sen x sen x x sen x sen x3 3 6 6 6212–2 2 = =
f '(x)= cos cosx x2
12 12 6 12=
Portanto:f ' · · ( ) ·π π πcos cos6
66
12 6 2 6 1 6= = = =c m
5 Calcula f ' (0) siendo:
f (x) = ( )ln x x x131 2 1– ·2 2+ + +
f(x)= ( )ln x x x131 2 1–2 2+ + + = ( ) ( )ln x x x
21 1
31 2 1–2 2+ + +
f '(x)= · · ( ) ( )x x
x xx x
x x21
12 1
34 2 1
2 2 22 1
34 2 1– –2
22+ +
+ + =+ ++ + =
= (( )
)x x
x x x xx x
x2 2 2
2 13
8 43
16 24 2 32 2 2
24 3 8– – – – –2
3 2
2+ ++ + = +
+ ++
Portanto:f '(0)=2 33 8–
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
8
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Ejercicios y problemas resueltos
Página 164
1. Función derivada a partir de la definición de derivada
Hazlo tú. Obtén la función derivada de la siguiente función utilizando la definición de derivada:
f (x) = x 1
1+
Representa las gráficas de f y de f '.
f '(x)= l mí8 0h
( ) ( )f x f xhh –+
f(x+h)=x 1
1h+ +
f(x+h)–f(x)=( ) ( ) ( ) ( )x x x xx x
x x11 1
1 11 1
1 11h–
h– – h –
h–h
+ + +=
+ + ++ =
+ + +( ) ( )
( ) ( )f x f x
x x1 11
hh –
h–+
=+ + +
f '(x)= l mí8 0h ( ) ( ) ( )x x x1 1
111
h– – 2+ + +
=+
f '(x)
f (x)–1–2–3–4–5
54321 X
1
2
3
4
5
–5
–4
–3
–2
–1
Y
2. Estudio de la derivabilidad de una función definida a trozos
Hazlo tú. Estudia la derivabilidad de la siguiente función:
f (x) = x xx
x
xx
x
4 2
3
11 1
1
si –si – ≤ ≤si
<
>
2
3+ +
*Representa las gráficas de f y f '.
f(x)estádefinidaporfuncionespolinómicasenlosintervalos(–∞,–1),(–1,1)y(1,+∞).Portanto,escontinuayderivableenellos.
Enx=–1escontinuaporque l mí8x 1–
f(x)=f(–1)=–1.
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
9
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Enx=1noloesporquenoexiste l mí8x 1
f(x)yaqueloslímiteslateralessondistintos:
íl m x
l m x
1
3 3í8
8
x
x
13
1
–=
=+
*
Nopuedeserderivableenx=1pornosercontinua.
f '(x)= ( )( )
''
8xx
xx
x
ff
2 433
11 1
1
1 21 3
si –si –si
––
<< <
<
2–+=
+ =* * →Noesderivableenx=–1.
Gráficadef(x): Gráficadef '(x):
2 4–4 –2–2
4
2
–4
Y
X
2 4–4 –2–2
4
2
–4
Y
X
Página 165
3. Reglas de derivación
Hazlo tú. Calcula las derivadas de estas funciones:
a) f (x) = ( )x
x2 3
1––
2
b) f (x) = x3 – 35
c) f (x) = –x 3e 2x
d) f (x) = sen x2
3
e) f (x) = ln ( )x
x3 1 3
3 2·
–x2
2
+f p
a)f '(x)=( )
( ) ( ) · ( ) ·( )
( ) ( )( )x
x x xx
xx
xx2 3
2 3 1 2 2 3 22 3
2 3 4 12 32 1
–– – – –
–– – –
––
4
2
3 3= = +
b)f(x)=(3–x3)1/5→f '(x)= ( ) ( ) ( )( )
x x x xx
x51 3 3 3 3
5 33
5– – – –
––( / ) /3 1 5 1 2 2 3 4 5
3 45
2– –= =
c)f '(x)=–3x2e2x–x3e2x·2=–e2xx2(2x+3)
d)f '(x)= ·cos cosx x21 3 3
23 3=
e)f(x)=ln(3–2x2)–2ln(3x+1)–x ln3→f '(x)= lnxx
x3 24
3 16 3
–– – –2 +
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
10
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
4. Función continua y derivable
Hazlo tú. Calcula a y b para que f sea derivable.
f (x) = x
ax bxx
2 1 11
– sisi ≥
<3
2 +*
f '(x)= xax
xx
62
11
sisi
<>
2*
Six≠1lafunciónesderivable.Estudiamosahorasuderivabilidadenx=1.
• fdebesercontinuaenx=1:
f(1)=a+b ; l mí8x 1
f(x)= ( )
( )
l m
l m
x
ax b a b
2 1 1–í
í
8
8
x
x
1
1
3
2
–=
+ = ++
Paraquefseacontinuaenx=1,debecumplirsequea+b=1.
• fdebeserderivableenx=1:
f '(1–)=6
f '(1+)=2a
Paraquefseaderivableenx=1,debecumplirseque2a=6.
Resolviendoelsistemaa ba
12 6+ ==
* ,obtenemoslosvalorespedidos:
2a=6→a=3→3+b=1→b=–2
Portanto,sia=3yb=–2lafunciónesderivable.
Página 166
5. Función derivada
Hazlo tú. Calcula la función derivada de esta función y representa f y f '.
f (x) = | 2 – x | + | x + 1 |
|2–x|= ≥xx
xx
22
22
––
sisi
<+
) |x+1|= ≥x
xxx
11
11
– – si –si –
<+
)
f(x)= ≤≤
x
x
xx
x
1 231 2
11 2
2
–
–
si –si –si
<<
+* →Esunafuncióncontinuaporsersumadefuncionescontinuas.
f '(x)=x
xx
202
11 2
2
– si –si –si
<< <<
*f '(–1–)=–2,f '(–1+)=0→Noesderivableenx=–1.
f '(2–)=0,f '(2+)=2→Noesderivableenx=2.
Gráficadef(x): Gráficadef '(x):
2 4–4 –2
4
6
2
–2
Y
X
2 4–4 –2–2
4
2
–4
Y
X
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
11
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
6. Valor de un parámetro para que f sea derivable
Hazlo tú. Halla el valor que ha de tener a para que la siguiente función f (x) sea derivable en todo Á:
f (x) = ax xx
xx
2 22
00
– ––
si ≤si >
4 2
2*
f(x)estádefinidaporfuncionespolinómicasenlosintervalos(–∞,0)y(0,+∞).Portanto,escontinuayderivableenellos.
Continuidadenx=0:
l mí8x 0
f(x)=f(0)=–2→Lafunciónescontinuaparacualquiervalordea.
Derivabilidadenx=0:
f ' (x)=( )( )
''
88
ax xx
x fx f
4 42
0 0 00 0 0
– sisi
<>
3 – ==+* →f(x)esderivableparacualquiervalordea.
Portanto,lafunciónesderivableenÁparacualquiervalordea.
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
12
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Ejercicios y problemas guiados
Página 167
1. Obtención de los valores de dos parámetros para que la función sea derivableCalcular los parámetros a y b para que la siguiente función sea derivable en x = 1:
f (x) = x
xa b e
x
si x
si x1
2
1
1
· ≤
>
x2 1–+ +
+*
Comoqueremosquelafunciónseaderivableenx=1,primerodebesercontinuaendichopunto.
l mí8x 1
f(x)=·( )
( )
l m l m xxa b e
l m l mx
f x a b
f x1
2 1
1í í
í í
8 8
8 8
x xx
x x
1 12 1
1 1
–– –
+ +
+=
= = + +
=+ +
c m* →1+a+b=1→a+b=0
Además,comof(1)=1+a+b,larelaciónanteriorgarantizalacontinuidadenx=1.
Porotraparte,paraqueseaderivableenx=1,lasderivadaslateralesendichopuntodebenseriguales.
f '(x)=
( )
( )
( )
'
'
8
8
xxa b e
x
x f a b
fx
2
12
1 1 2
1211
– ·
–
si –
si –
<
>
x2
1
2
– –+
+
= +
=+* →2–a+b=–21
Resolvemoselsistemayseobtienenlosvaloresbuscados:
,8a b
a b a b0
25 4
545
– – –+ =
+ = = =4
2. Simplificación de la función antes de derivarla utilizando las propiedades de los logaritmos
Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones:
a) y = ln cos x3 ·x 3 b) y = ln x 1
4–
x
2
a)y=ln(3xcos3x)1/2= ( ) '8ln ln cos lncos
lnx x yx
sen x tg x21 3 3
21 3 3
23
23– –+ = =c m
b)y=ln4x–ln(x2–1)1/2=xln4– ( ) '8ln ln lnx yx
xx
x21 1 4
21
12 4
1– –
––
–2
2 2= =
3. Puntos de derivada nulaCalcular los puntos de la siguiente función en los que la derivada se anula:
f (x) = 2x · x100 – 2
f(x)= ( )x x x x x x2 100 4 100 400 4– – –2 2 2 2 4= = →f '(x)=x x
x xx xx x
2 400 4800 16
400 4400 8
––
––
2 4
3
2 4
3=
f '(x)=0→400x–8x3=0→x= 50 ,x=– 50 ,x=0(noválidoporqueenesepuntoseanulaeldenominadordeladerivada).
x= ( ) · · ·8 f50 50 2 50 100 50 2 50–= = =100x= ( ) · ( ) · ·8 f50 50 2 50 100 50 2 50 100– – – – – –= = =Lospuntosson ( , )50 100– – y ( , )50 100 .
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
13
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
4. Ecuaciones de las rectas tangentes a una función en varios puntosCalcular las ecuaciones de las rectas tangentes de la siguiente función en los puntos de abscisas x = 0 y x = 3:
f (x) = ( )e
x 1–x
2
f(0)=1
f(3)=e43
f '(x)= ( ) ( ) ( ) ( )e
x e x ee
x xe
x x xe
x x2 1 1 2 1 1 2 2 2 1 4 3– – – – – – – – – – –x
x x
x x x2
2 2 2 2= = + = +
f '(0)=–3
f '(3)=0
Enx=0larectatangenteesy=1–3x.
Enx=3larectatangenteesy=e43 .
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
14
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Ejercicios y problemas propuestos
Página 168
Para practicar
Definición de derivada
1 Halla la tasa de variación media (T.V.M.) o cociente incremental de las siguientes funciones en los intervalos: [–3, –1]; [0, 2]; [2, 5]; [1, 1 + h].
a) f (x) = x2 + 1 b) f (x) = 7x – 5 c) f (x) = 3 d) f (x) = 2x
¿En cuáles de ellas es constante la T.V.M.? ¿Qué tipo de funciones son?
a)f(x)=x2+1
En[–3,–1] → T.V.M.=( ) ( )f f
21 3
4– – –
–=
En[0,2] → T.V.M.=( ) ( )f f
22 0
2–
=
En[2,5] → T.V.M.=( ) ( )f f
35 2
7–
=
En[1,1+h] → T.V.M.=( ) ( )f f1 1 2 2
hh –
hh h h2+
= + = +
b)f(x)=7x–5
En[–3,–1] → T.V.M.=( ) ( )f f
21 3
7– – –
=
En[0,2] → T.V.M.=( ) ( )f f
22 0
7–
=
En[2,5] → T.V.M.=( ) ( )f f
35 2
7–
=
En[1,1+h] → T.V.M.=( ) ( )f f1 1 7 7
hh –
hh+
= =
c)f(x)=3
En[–3,–1] → T.V.M.=( ) ( )f f
21 3
0– – –
=
En[0,2] → T.V.M.=( ) ( )f f
22 0
0–
=
En[2,5] → T.V.M.=( ) ( )f f
35 2
0–
=
En[1,1+h] → T.V.M.=( ) ( )f f1 1
0hh –+
=
d)f(x)=2x
En[–3,–1] → T.V.M.=( ) ( )f f
21 3
163– – –
=
En[0,2] → T.V.M.=( ) ( )f f
22 0
23–
=
En[2,5] → T.V.M.=( ) ( )f f
35 2
328–
=
En[1,1+h] → T.V.M.=( ) ( ) ( )f f1 1 2 2 2 2 1
hh –
hh– –1 h h+
= =+
Lafunciónb)f(x)=7x–5esunafunciónlinealylaT.V.M.esconstante.Lafunciónc)f(x)=3esunafunciónlinealylaT.V.M.es0(constante).
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
15
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
2 Halla con calculadora el cociente incremental D fh
para x0 = 2 y h = 0,1 de:
a) f (x) = x
b) f (x) = x 2 – 5x + 1
c) f (x) = x1
Compara resultados con las derivadas de estas funciones en el punto de abscisa 2.
a)D fh
=,
( , ) ( ),
, ,f f
0 12 1 2
0 12 1 0 3492– –= =
f '(x)= ( ) ,'8x
f21 2
2 21 0 354= =
b)D fh
=,
( , ) ( ),
, · , ( ) ,f f
0 12 1 2
0 12 1 5 2 1 1 5 0 9
– – – – –2
= + =
f '(x)=2x–5→f '(2)=2·2–5=–1
c)D fh
=–
,( , ) ( )
,, ,
f f0 1
2 1 20 1
2 11
21
0 238–
–= =
f '(x)= ( ) ,'8x
f1 221 0 25– – –2 2= =
3 Halla con calculadora el cociente incremental D fh
para x0 = π/3 y h = 0,01 de:
a) f (x) = sen x
b) f (x) = cos x
c) f (x) = tg x
Compara resultados con las derivadas de estas funciones en el punto de abscisa π/3.
a)D fh
=, ,f senf sen0 01 0 01– –+ +
, , ,
π π π π
0 013
0 013 0 4963 3= =
c c cm m m
f '(x)=cos x→f ' ,π πcos3 3
0 5= =c m
b)D fh
==, ,cos cosf f0 01 0 01– –+ +
, ,,
π π π π3 3
0 01 0 013 3 0 869–= =
c c cm m m
f '(x)=–sen x→f ' ,π πsen3 3
0 866– –= =c m
c)D fh
=, ,f f0 01 0 01– –+ +
, ,,
π π π πtg tg
0 013 3
0 013 3 4 07= =
c c cm m m
f '(x)= ' ,8 ππcos x
f13
3
1 4 02 2= =
cosc m
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
16
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
4 El límite l mí8 0h
( )π πsen senhh –+ es la derivada de la función seno en el punto de abscisa π, es
decir, sen' (π). Por tanto, el límite es:
sen' (π) = cos (π) = –1
Calcula análogamente, es decir, a partir de las reglas de derivación que ya conoces, los siguientes límites:
a) l mí8 0h
4 2hh –+ b) l mí
8 0h e e
h–2 2h+
c) l mí8x 3
( )x
x x3
3 1 1–
– –2 + d) l mí8x 4 x
x464
––3
a) l mí8 0h
4 2hh –+ =
2 41
41= b) l mí
8 0he e
h–2 2h+
=e2
c) l mí8x 3
( )x
x x3
3 1 1–
– –2 + =2·3–3=3 d) l mí8x 4 x
x464
––3
=3·42=48
5 Utiliza la definición de derivada para hallar:
a) f ' (3) en cada caso:
f (x) = x7
3 2– f (x) = x 2 – 4 f (x) = x
x2 +
b) f ' (2) en cada caso:
f (x) = xx
11–
+ f (x) = x 2+ f (x) = (x – 5)2
a)• f '(3)= l mí8 0h
( ) ( )f f3 3hh –+
= l mí8 0h
( / )3 773
hh =
• f '(3)= l mí8 0h
( ) ( )f f3 3hh –+
= l mí8 0h
6 6hh h2 + =
• f '(3)= l mí8 0h
( ) ( )f f3 3hh –+
= l mí8 0h 9 3
292
h h– h –
2+=
b)• f '(2)= l mí8 0h
( ) ( )f f2 2
hh –+
= l mí8 0h
3 92
92
h +=
• f '(2)= l mí8 0h
( ) ( )f f2 2
hh –+
= l mí8 0h
4 h
141
2+=
+
• f '(2)= l mí8 0h
( ) ( )f f2 2hh –+
= l mí8 0h
(h–6)=–6
6 Aplica la definición de derivada para hallar f ' (x).
a) f (x) = x2
5 1+ b) f (x) = 3x 2 – 1 c) f (x) = x + x1
d) f (x) = x 2
1–
e) f (x) = x 2 – x f ) f (x) = x 12 +
a)f '(x)= l mí8 0h
( ) ( )f x f xhh –+
= l mí8 0h
–( )x x2
5 12
5 1
h
h+ + += l mí
8 0h25
25
h
h=
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
17
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
b)f '(x)= l mí8 0h
( ) ( )f x f xhh –+
= l mí8 0h
[ ( ) ] ( )x x3 1 3 1h
h – – –2 2+ = l mí8 0h
x x3 6 6h
h h2 + =
c)f '(x)= l mí8 0h
( ) ( )f x f xhh –+
= l mí8 0h
x xh – –+ +
x x1 1
hh+ = l mí
8 0h ( )x xx x 1
hh –2
++ =
x1 1– 2
d)f '(x)= l mí8 0h
( ) ( )f x f xhh –+
= l mí8 0h
–x x2
12
1
hh – –+ = l mí
8 0h ( ) · ( ) ·x x2 2– h – h–h+
=
= l mí8 0h
( ) · ( ) ( )x x x2 2
121
– h ––
––
2+=
e)f '(x)= l mí8 0h
( ) ( )f x f xhh –+
= l mí8 0h
[( ) ( )] ( )x x x xh
h – h – –2 2+ + = l mí8 0h
x x2 2 1h
h h – h –2 + =
f )f '(x)= l mí8 0h
( ) ( )f x f xhh –+
= l mí8 0h
( )x x1 1h
h –2 2+ + + =
= l mí8 0h
( ( ) )
( ( ) ) ( ( ) )x x
x x x x1 1
1 1 1 1h h
h – h2 2
2 2 2 2
+ + + ++ + + + + + + = l mí
8 0h ( ( ) )( ) ( )
x xx x
1 11 1
h hh –
2 2
2 2
+ + + ++ + + =
= l mí8 0h ( ( ) )x x
x1 1
2h h
h h2 2
2
+ + + ++ = l mí
8 0h ( )x xx1 1
2h
h2 2+ + + +
+ =x
xx
x2 1
212 2+
=+
Reglas de derivación
7 Calcula la derivada de las siguientes funciones:
a) y = xx
33–
2
2
+ b)
( )xx
21
– 2+ c) y =
x xx3 2
+
d) y = , x0 510
–4b l e) y = x3 23 f ) y = ( )x2 3– 7
a)y'=( )
· ( ) ( ) ·( )x
x x x xx
x3
2 3 3 23
12– –2 2
2 2
2 2++ =
+
b)y'=( )
( ) ( ) · ( )( )x
x x xx
x2
2 1 2 22
4–
– ––4
2
3+ + = +
c)y'=· ( ) ·x x x6 3 1– –+
(·
) · ( )x x
x
xx x xx
x x215 62
12 2
2
2
2+= +
+
e o
d)y'= · , · ,x x104 0 5
10 52 0 5
10– – – –
3 3=c cm m
e)y'=D( ) ·x xx
3 3 32
92/ /3 2 3 3 1 3
3 3–= = =
x92
3
f )y'= ( ) · · ( )xx x
x7 2 3 221 7 2 3– –6 6=
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
18
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
8 Halla la derivada de estas funciones:
a) y = ( )x
x1 2
3
+ b) y =
xx 12
3+e o
c) y = ( )x
x2 1 3+
d) y = x x
x4 4
1–
–2
2
+
e) y = xx
11 –
/2 3
+c m f ) y =
xx222
+
a)y'=( )
· ( ) · · ( )( )· ( )
xx x x x
xx x
13 1 2 1
13–
4
2 2 3
3
2
++ + =
++
b)y'= · · · ( ) · ·x
xx
x x xx
xx
x3 1 2 1 3 1 1– –2 2
2
2 2 2
2
2+ + = +e eo o
c)y'=( )
( ) · ( )( )
( )( )x
x x xx
x xx
x2 1
2 1 3 2 12 1
2 1 62 11 4– – –
6
3 2
4 4++ + =
++ =
+
d)y'=( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) · ( )x x
x x x x xx
x x x x4 4
2 4 4 1 2 42
2 2 1 2 2–
– – – – ––
– – – – –2 2
2 2
4
2 2
++ = =
=( )
( ) ( ) ·( )x
x x xxx
22 2 1 2
24 2
–– – – –
––
3
2
3=
e)y'= ·( )
· ( ) ( ) ·( )x
xx
x xxx
xx x
32
11
11 1 1
32
11
11 1– – – –
–– – –
/ /1 3
2
1 3
2
– –
+ ++ = +
++ =d dn n
=( ) · ( ) ( ) ( )x x x x3
21 1
23 1 1
4–
–––
/ /1 3 5 3 53+=
+
f )y'= · ·x
xx
x2 121 2 2– –2 2+ = +e o
9 Deriva las funciones siguientes:
a) y = e 4x (x – 1) b) y = ( )e
x1 –x
2
c) y = 2x d) y = ln (2x – 1)
e) y = e ee e
–x x
x x
–
–+ f ) y = 7e –x
a)y'= · · ( ) · · ( )e x e e x4 1 1 4 3– –x x x4 4 4+ =
b)y'= · ( ) · ( ) · · ( ) ( )e
x e x ee
x xe
x x2 1 1 2 1 1 4 3– – – – – – – – – –x
x x
x x2
2 2 2= = +
c)y'= · ·ln ln2 2
2 22
2 2x
x
x
x 1–=
d)y'=x2 12–
e)y'=( )
( ) ( )( ) ( )e e
e e e ee e
e e ee e
3 2 2 4–
– ––
– – – –––
x x
x x x x
x x
x x x x
x x2
2 2
2
2 2 2 2
2–
– –
–
– –
–+ = + =
f )y'=–7e–x
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
19
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
10 Deriva estas funciones:
a) y = ln (x 2 – 1) b) y = ln x1 –
c) y = lne
xx
d) y = e x 2 + 1
e) y = ln tgx3c m f ) y = ln ln
x1c m
a)y'=x
x1
2–2
b)y'=( )x
xx1
2 11
2 11
––
–
––=
c)y'=· ·ln lne x e x– –
·· ln
ex
ex
x ex x
1 11 –
x
x x
x x2 = =
d)y'=2x e x 2+1
e)y'=tg
tgx x x tg
tgx
x x
1 1 3 33 1 3
3 3· · – –2
2 2
2
+ =+
d ed
n on
f )y'=ln ln
xx x
xx
111 1
11
1· · – –2 =e o
11 Calcula la derivada de estas funciones:
a) y = sen 2 x b) y = sen x 2
c) y = sen x cos 2 x d) y = cos x
sen x1 2
2
+
e) y = sen 2 x 2 f ) y = cos 3 (2x + 1)
a)y'= · cossen x x sen x2 2=
b)y'= ·cos cosx x x x2 22 2=
c)y'= cos cos cos cos cosx x x sen x sen x x sen x x2 2· – · · –2 3 2= =
= ( )cos cos cos cos cos cos cos cosx x x x x x x x2 1 2 2 3 2– – – –3 2 3 3 3= + =
d)y'=( )
· ( ) ·cos
cos cos cosx
sen x x x x sen x sen x1
2 1 22 2
2 2
++ + =
=( )cos
cos cos cosx
sen x x sen x x x sen x1
2 2 22 2
3 3
++ + =
=( )· ( )
( )coscos cos
coscos
xsen x x x sen x
xsen x x
12 1
14
2 2
2 2
2 2++ + =
+
e)y'= cos cossen x x x x sen x x2 2 4· ·2 2 2 2=
f )y'= ( ) [ ( ) ] ( ) ( )cos cosx sen x sen x x3 2 1 2 1 2 6 2 1 2 1· – · –2 2+ + = + +
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
20
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
12 Deriva las funciones siguientes:
a) y = cos 5 (7x 2) b) y = tg x22
c) y = logx1
2
d) y = sen x23 e) y = xx
1 21 2
–+ f ) y = x x+
a)y'= ( ) · ( ( )) · ( ) ( )cos cosx sen x x x x sen x5 7 7 14 70 7 7– –4 2 2 4 2 2=
b)y'= tg x x x x tg x12 2
22
·2 2 2 2+ = +e o
c)y=log21–log2x
y'= ·ln lnx x
121
21– –=
d)y'= · cossen x
x x32
2 23
2
e)y'=·
( )· ( ) ( ) ·
·
( )
( ) ·xx
xx x
xx
x
x xx2 1 2
1 21 2
2 1 2 1 2 2
2 1 21 2
1 24
1 2 1 21 2
2
–
––
–
–
– –
2 2
2+
+ +
=+
=+
=
=( ) · ( ) ( )x x
x x x1 2 1 21 2
21 2 1 2
2
– ––4 3+
=+
f )y'=x x x x x x
xx x x
x2
1 121
42 1
42 1
2++ =
++ =
++e o
13 Calcula la derivada de las siguientes funciones, aplicando previamente las propiedades de los logaritmos:
a) y = ln xx
11 –
+ b) y = ln (x tg x)2 c) y = ln
xx 1–
2
23f p
d) y = ln (2x · sen 2 x) e) y = lnx
x1+
f ) y = ( )ln sen ex
a)y= [ ( ) ( )]ln ln lnxx x x
11
21 1 1– – –
+= +
y'=x x x
x xx2
111
11
21
11 1
11
–– –
–– – –
––
2 2+= + =< =F G
b)y= ( ) [ ( )]ln ln lnx tg x x tg x22 = +
y'=x tg x
tg xx tg x
tg xx
2 1 12 1 2 2
2+
+= + + => =H G +2cotg x+2tg x
c)y= ( )ln ln ln ln lnx
x x x x x1 131 1 2– – – – –2
2323 2 2= =f p
y'= ·( )
·( )x
xx x
xx3
11
2 2 13 1
2 2–
––
–2 2=
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
21
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
d)y= ( ) ( ) ( )ln ln ln ln lnsen x sen x x sen x2 2 2 2x x2 2= + = +
y'= ·ln cos lnsen x
xtg x
2 2 2 2+ = +
e)y= · ( ( ))ln lnx x21 1– +
y'= ·x x x x2
1 11
12 2
1– 2+=
+d n
f )y= ( )ln sen e /x 2
y'=cose e· cos
sen e sen ee e2
1
2·
/
/ //
x
x x
x
x x
2
2 22
=
Página 169
Derivabilidad
14 Observa las gráficas de las siguientes funciones e indica en qué puntos no son derivables:
a) b) c)
2
21
12
2
2
21
12
2
2
21
12
2
d) e) f )
2
4
– 242
1
–1
4
2–2
2
4
– 242
1
–1
4
2–2
2
4
– 242
1
–1
4
2–2
¿Alguna de ellas es derivable en todo Á?
a)Noesderivableenx=–1(tieneunpunto“anguloso”),nienx=2(noestádefinidalafunción).
b)EsderivableentodoÁ.
c)Noesderivableenx=0(tieneunpunto“anguloso”).
d)Lafunciónnoesderivablenienx=–2nienx =2porqueenestosvalorestienepuntosangulosos.
e)Lafunciónnoesderivableenx=0porquenoestádefinidaenesepunto.
f )Lafunciónnoesderivableenx=2porquenoestádefinidaenesepunto.
LaúnicafunciónderivableentodoÁesladelapartadob).
15 Esta es la gráfica de una función y = f (x). Calcula, observándola:
f ' (–1), f ' (1) y f ' (3).
¿En qué puntos no es derivable?
•Enx=–1,larectatangenteafeshorizontal;supendientees0.Portanto,f '(–1)=0.
2
2
•Enx=1,fesunafunciónconstante.Luegof '(1)=0.
• Enx=3,fesunarectaquepasaporlospuntos(2,1)y(4,5).Calculamossupendiente:
m=4 25 1–– =2.Portanto,f '(3)=2.
•Noesderivableenx=0nienx=2,yaqueenellosobservamosquef '(0–)≠f '(0+)yf '(2–)≠f '(2+).
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
22
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
16 Estudia la continuidad y la derivabilidad de las siguientes funciones en los puntos que se indican y represéntalas:
a) f (x) = x
x xxx
3 1 11
– sisi ≥
<2 +) en x = 1 b) f (x) =
xx
xx
00
– sisi ≥
<2
2* en x = 0
c) f (x) = x
xxx
2 14
33
––
sisi ≥
<2) en x = 3 d) f (x) =
xx
xx
3 23 1
22
– si ≤si >+
) en x = 2
a)Continuidadenx=1: Gráfica:
( )
( ) ( )
( )
( )l m f x l m
l m f x l m x x
f
x
2
1 2
3 1 2–í í
í í
8 8
8 8
x x
x x
1
12
1
1
– –=
= + =
=
=
+ + 4 f(x)escontinuaenx=1. Derivabilidadenx=1:
f '(x)= xxx
32 1
11
sisi
<>+
)
( )( )
''
ff
1 31 3
– ==+ 4 f(x)esderivableenx=1yf '(1)=3.
2–2 4
2
4
6
8
10
–4
–2
b)Continuidadenx=0: Gráfica:
( )
( )
( )
l m f x l m
l m f x l m
f
x
x
0
0
0 0
–í í
í í
8 8
8 8
x x
x x
0 0
0 0
2
2
– –= =
=
=
=+ +
4 f(x)escontinuaenx=0. Derivabilidadenx=0:
f '(x)=xx
xx2
200
sisi
– <>
)
2–2–4 4–2
–4
2
4
( )( )
''
ff
0 00 0
– ==+ 4 f(x)esderivableenx=0yf '(0)=0.
c)Continuidadenx=3: Gráfica:
( ) ( )
( ) ( )
( )
l m f x l m x
l m f x l m x
f
12 5
4 5
3 5
–
–
í í
í í
8 8
8 8
x x
x x2
3 3
3 3
– –= =
= =
=+ + 4 f(x)escontinuaenx=3.
Derivabilidadenx=3:
f '(x)= xxx2
2 33
sisi
<>
)
( )( )
''
ff
3 23 6
– ==+ 4 f(x)noesderivableenx=3.
2–2–4 4
2
4
6
8
10
12
–2
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
23
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
d)Continuidadenx=2:
( ) ( )
( ) ( )
l m f x l m x
l m f x l m x
3 2 4
3 1 7
–í í
í í8 8
8 8
x x
x x
2 2
2 2
– –= =
= =++ +
4 f(x)noescontinuaenx=2(tieneunadiscontinuidaddesaltofinito).
Derivabilidadenx=2: Comof(x)noescontinuaenx=2,tampocoesderivableenesepunto. Gráfica:
2–2–4 4
2
4
6
8
10
–2
17 Comprueba que la función f (x) es continua pero no es derivable en x = 2:
f (x) = ( )ln x
xxx
13 6
22
––
sisi ≥
<)
• Six≠2,lafunciónescontinuayderivable.
•Continuidadenx=2:
( )
( ) (
( )
( )
)
ln lnl m f x l m
l m f x l m
f
x
x
2 0
1 1 0
3 6 0
–
–
í í
í í8 8
8 8
x x
x x
2 2
2 2
–=
=
=
= =
=+ 4 f(x)escontinuaenx=2.
•Derivabilidadenx=2:
( ) ( )
( ) ( )
' '
' '
l m f x l m f
l m f x l m fx 11 1 2
3 3 2–
í í
í í8 8
8 8
x x
x x
2 2
2 2
––
= =
= =
=
= ++
4 Lasderivadaslateralesexistenperonocoinciden. f(x)noesderivableenx=2.
18 Estudia la continuidad y la derivabilidad de las siguientes funciones:
a) f (x) = e
x x
xx
x1
3 2
00 3
3–
si ≤sisi ≥
< <
x
2 + +* b) f (x) =
x xxx x
xx
x
2 12 2
8
11 2
2–
si –si – ≤ ≤si
<
>
2
2
+ +++
*
a)Six≠0yx≠3,lafunciónescontinuayderivable. Continuidadenx=0:
( )
( )
( )
l m f x l m e
l m f x l m
f
1
1 1
0 1
í í
í í8 8
8 8
x xx
x x
0 0
0 0
–= =
= =
=+ 4 f(x)escontinuaenx=0.
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
24
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Continuidadenx=3:
( )
( )
( )
( )
l m f x l m
l m f x l m
f
x x
1 1
3 2 2
3 2
–
í í
í í8 8
8 8
x x
x x
3 3
3 32
–=
= =
=
=
+ ++ 4 Los límitespor laderechaypor la izquierdano
coinciden.Lafunciónnoescontinuaenx=3.
Derivabilidadenx=0:
( ) ( )
( ) ( )
' '
' '
l m f x l m f
l m f x l m f
e 1 0
0 0 0
í í
í í8 8
8 8
x x
x x
x0 0
0 0
––
= =
= =
=
= ++
4 Las derivadas laterales existen pero no coinciden, f(x)noesderivableenx=0.
Derivabilidadenx=3:
Comof(x)noescontinuaenx=3,f(x)noesderivableenx=3.
b)Six≠–1yx≠2,f(x)escontinuayderivable.
Continuidadenx=–1:
( )
( )
( )
( )
( )
l m f x l m
l m f x l m
f
x x
x
2 1 0
2 2 0
1 0–
í í
í í8 8
8 8
x x
x x
1
1 1
12
–
– –
– –=
=
=
+ + =
+ =+ 4 f(x)escontinuaenx=–1.
Continuidadenx=2:
( ) ( )
( ) (
( )
)
l m f x l m
l m f x l m
f
x
x x
2 2 6
8 12
2 12
–
í í
í í8 8
8 8
x x
x x
2 2
2 22
– –= =
=
=
+
+ =+ 4 Loslímitesporladerechayporlaizquierdanocoinci-
den,f(x)noescontinuaenx=2.
Derivabilidadenx=–1:
( ) ( )
( ) ( )
( )' '
' '
l m f x l m f
l m f x l m f
x2 2 0 2
2 2 2
í í
í í8 8
8 8
x x
x x
1
1 1
1 ––
– –
– –= =
= =
+ =
= ++
4 Lasderivadaslateralesexistenperonocoinci-den,f(x)noesderivableenx=–1.
Derivabilidadenx=2:
f(x)noescontinuaenx=2→f(x)noesderivableenx=2.
19 Estudia la continuidad y la derivabilidad de las funciones:
a) f (x) = xx
xx
x
0 00 1
1
sisi ≤si ≥
<<2* b) f (x) =
ex
xx1
00–
si ≤si >
x–)
a)Continuidad:
• Six≠0yx≠1→Escontinua,puesestáformadaporfuncionescontinuas.
• Enx=0:
( )
( )
( )
( ) ( ) .
l m f x l m
l m f x l m
f
l mx f x f
0 0
0
0 0
0
í í
í í í8 8
8 8 8
x x
x x x 0
0 0
0 02
–=
=
=
=
= =+ 4 Portanto,lafunciónescontinuaenx=0.
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
25
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
•Enx=1:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
l m f x l m x
l m f x l m x
f
l m f x f
1
1
1 1
1
í í
í í í8 8
8 8 8
x x
x x x
1 12
1 1 1
–= =
= =
=
=+ 4 →Lafunciónescontinuaenx=1y,portanto,es
continuaenÁ.
Derivabilidad:
• Six≠0yx≠1→Lafunciónesderivable.Suderivadaes,enesospuntos:
f '(x)= xx
xx
021
00 1
1
sisisi
<< <>
*•Enx=0:
f '(0–)=0=f '(0+).Portanto,f(x)esderivableenx=0;yf '(0)=0.
• Enx=1:
f '(1–)=2≠f '(1+)=1.Portanto,f(x)noesderivableenx=1.
LafunciónesderivableenÁ–{1}.Suderivadaes:
f '(x)= ≤xx
xx
021
00 1
1
sisisi
<<
>*
b)Continuidad:
• Enx≠0→Lafunciónescontinua,puesestáformadapordosfuncionescontinuas.
• Enx=0:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
l m f x l m e
l m f x l m x
f
l m f x f
1
1 1
0 1
0–
í í
í í í8 8
8 8 8
x xx
x x x
0 0
0 0 0
––
= =
= =
=
=+ 4 →Lafunciónescontinuaen x=0 y,por
tanto,escontinuaentodoÁ.
Derivabilidad:
• Six≠0→Lafunciónesderivable.Además:
f '(x)= e xx1
00
––
sisi
<>
x–)
•Enx=0:
f '(0–)=–1=f '(0+)
Portanto,f(x)esderivableenx=0yf '(0)=–1.LafunciónesderivableentodoÁ.Suderivadasería:
f '(x)=≥
e xx1
00
––
sisi
<x–)
20 a) Calcula los valores de m y n para que f sea derivable en todo Á:
f (x) = x x m
x nxxx
5 11
––
si ≤si >
2
2+
+*
b) ¿En qué puntos es f ' (x) = 0?
a)Paraqueseaderivable,enprimerlugarhadesercontinua.
• Six≠1,lafunciónescontinua,puesestáformadapordospolinomios.
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26
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
•Enx=1:
( )
( )
( )
( )
( )
l m f x l m
l m f x l m
f
x x m m
x nx n
m1
5 4
1
4
– –
– –
–
í í
í í8 8
8 8
x x
x x
1 1
1 1
2
2
–=
=
=
+ = +
+ = +
++ 4
Paraqueseacontinuaenx=1,hadeser–4+m=–1+n;esdecir:m=n+3.
Derivabilidad:
• Six≠1,lafunciónesderivable.Además:
f '(x)=xx n
xx
2 52
11
––
sisi
<>+
)
•Enx=1:
( )( )
''
ff n
1 31 2
––
– == ++ 4
Paraqueseaderivableenx=1,hadeser–3=–2+n,esdecir,n=–1.
Portanto,lafunciónseráderivableentodoÁsim=2yn=–1.Enestecaso,laderivadasería:
f '(x)= ≥xx
xx
2 52
111
––
sisi–
<)
b)f '(x)=2x–5six<1
2x–5=0→x=25 ;pero
25 1>
f '(x)=–2x–1six≥1
–2x–1=0→x=21– ;pero
21– <1
Portanto,f '(x)noseanulaenningúnpunto.
21 Calcula a y b para que las siguientes funciones sean derivables en todo Á:
a) f (x) = ax xx bx
xx
34
22– –
si ≤si >
2
2+* b) f (x) =
x xax b
xx
00
– si ≤si >
3
+*
a)Paraqueseaderivable,enprimerlugar,hadesercontinua.
• Six≠2→lafunciónescontinua,puesestáformadapordospolinomios.
• Enx=2debecumplirseque íl m8x 2
f(x)=f(2):
( ) ( )
( ) ( )
( )
l m f x l m ax x a
l m f x l m x bx b
f a
3 4 6
4 2
2 4 6
– – –
í í
í í8 8
8 8
x x
x x
2 22
2 22
–= + = +
= =
= ++ 4
Paraqueseacontinua,hadeser4a+6=–2b ;esdecir,2a+3=–bobienb=–2a–3.
Derivabilidad:
• Six≠2→lafunciónesderivable.Además:
f '(x)=axx b
xx
2 32
22–
sisi
<>
+)
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
27
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
•Enx=2debecumplirsequef '(2–)=f '(2+):
( )( )
''
ff
ab
2 4 32 4 –
– ==
++ 4
Paraqueseaderivable,hadeser4a+3=4–b ;esdecir,b=–4a+1.
Teniendoencuentalasdoscondicionesobtenidas:
88b a
b aa a a a
b2 34 1
2 3 4 1 2 4 27
– ––
– – ––
== +
= + = ==
4
Portanto,paraquef(x)seaderivableentodoÁ,hadesera=2yb=–7.b)Continuidad:
• Enx≠0→Lafunciónescontinuapuesestáformadapordospolinomios.
• Enx=0:
( ) ( )
( ) ( )
( )
l m f x l m x x
l m f x l m ax b b
f
0
0 0
–í í
í í8 8
8 8
x x
x x
0 03
0 0
– –= =
= + =
=+ + 4
Paraqueseacontinuahadeserb=0.
Derivabilidad:
• Six≠0→Lafunciónesderivable.Además:
f '(x)= xa
xx
3 1 00
– sisi
<>
2*
•Enx=0:
( )( )
''
ff a
0 10
–– ==+ 4
Paraqueseaderivable,hadesera=–1.
Portanto,f(x)serácontinuayderivablesia=–1yb=0.
22 Prueba que la función f (x) = | x + 1 | no es derivable en x = –1.
f(x)=|x+1|=≤≥
xx
xx
11
11
– – si –si –+
)
f(x)esunafuncióncontinua,puesestáformadapordosfuncionescontinuas,six≠–1.• Enx=–1:
( ) ( )
( ) ( )
( )
l m f x l m
l m f x l m b
f
x
x
0
0
1
1
1
– –
–
í í
í í8 8
8 8
x x
x x
1 1
1 1
– –
– –
– –= =
= =
=
++ + 4 fescontinuaenx=–1.
• Suderivada,six≠–1,es:
f '(x)=xx
11
11
– si –si –
<>
)
Lasderivadaslateralesenx=–1son:
( )( )
''
ff
1 11 1–– ––
==
+4 Nocoinciden;portanto,f(x)noesderivableenx=–1.
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
28
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
23 Di si es derivable cada una de las funciones siguientes en los puntos que se indican.
Calcula en dichos puntos las derivadas laterales.
a) f (x) = | x | en x0 = 0
b) f (x) = | x 2 – x – 6 | en x0 = –2 y x1 = 3
a)f(x)= ≥x
xxx
00
– sisi
<)
Estudiamosprimerolacontinuidadenx0=0:
( )
( ) ( ) ( )l m f x l m x
l m f x l m x l m f x f0
0 0 0–í í
í í í8 8
8 88
x x
x xx
0 0
0 00
– –= =
= = = =+ +
4 →Escontinua.
f '(x)=( )( )
''
88
x ffx
11
0 0 10 0 1
– si –si
<>
– ==+*
f '(0–)≠f '(0+)→Noesderivableenx0=0.
b)f(x)= ≤≥
x xx x
x x
xx
x
666
22 33
– ––
– –
si –si –si
<<
2
2
2+ +*
LafunciónescontinuaenÁporserelvalorabsolutodeunafunciónpolinómica.
Calculamoslasderivadaslateralesencadapunto:
f '(x)=x
xx
xx
x
22 33
2 12 12 1–
si –si –si
–
–
<<<
>+*
( )( )
''
ff
22
55
––
–– ==+ 4 →f '(–2–)≠f '(–2+)→Noesderivableenx0=–2.
( )( )
''
ff
3 53 5
–– ==+ 4 →f '(3–)≠f '(3+)→Noesderivableenx1=3.
24 Indica en qué puntos no son derivables las siguientes funciones:
a) f (x) = | x 2 – 4 | b) f (x) = | 2x – 3 |
a)f(x)=|x2–4|
f(x)esunafuncióncontinua,pueseslacomposicióndefuncionescontinuas.Ladefinimosatro-zos:
f(x)= ≤ ≤xx
x
xx
x
444
22 22
––
–
si –si –si
<
>
2
2
2+*
Six≠–2yx≠2,f '(x)esderivableysuderivadaes:
f '(x)=x
xx
xx
x
22 22
222
si –si –si
–<
>< <*
Enx=–2:Hallamoslasderivadaslaterales:
( )( )
''
ff
2 42 4– ––
– ==+ 4 f(x)noesderivableenx=–2.
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
29
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Enx=2:Hallamoslasderivadaslaterales:
( )( )
''
ff
2 42 4
–– ==+ 4 f(x)noesderivableenx=2.
Portanto,f(x)noesderivableenlospuntos(–2,0)y(2,0).
b)f(x)=|2x–3|=/
≥ /x
xxx
2 32 3
3 23 2
––
sisi
<+)
f(x)esunafuncióncontinuapueseslacomposicióndedosfuncionescontinuas(y=2x–3ey=|x|).
Enx≠23 ,f(x)esderivableysuderivadaes:
f '(x)=//
xx
22
3 23 2
– sisi ≥
<)
Enx=23 ,fnoesderivableporquef '
23 2–
–=d n yf '
23 2=
+d n .
25 ¿Cuántos puntos que no tengan derivada hay en la función y = | x 2 – 6x – 8 |?
x2+6x+8=0→x= ± ± ±2
6 36 322
6 426 2– – – –= =
xx
24
––
==
y= ≤ ≤x xx x
x x
xx
x
6 86 8
6 8
44 2
2– – –
si –si – –si –
<
>
2
2
2
+ +
+ +* y'=
xx
x
xx
x
44 2
2
2 62 62 6–
si –si – –si –
–<
<><
+
+*
Lafunciónescontinua,pueseselvalorabsolutodeunafuncióncontinua.
Enx=–4→y'(–4–)=–2≠y'(–4+)=2
Enx=–2→y'(–2–)=–2≠y'(–2+)=2
Lafunciónnoesderivablenienx=–4nienx=–2;esdecir,en(–4,0)yen(–2,0).
Sondospuntos“angulosos”.
26 Estudia la continuidad y la derivabilidad de las siguientes funciones:
a) y = | x – 2 |
b) y = | x 2 + 6x + 8 |
c) y = x + | x – 3 |
d) y = x 2 + | x |
a)Definimoslafunciónporintervalos:
f(x)= ≥xxx
x22 2
2–sisi
– <+)
Derivamos:
f '(x)=xx
11
22
– sisi
<>
)
( )( )
''
ff 1
2 12
–– ==+ 4 f '(2–)≠f '(2+)→Noexistef '(2)
LafunciónesderivableenÁ–{2}.
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
30
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
b)Definimoslafunciónporintervalos.Paraello,calculamoslospuntosenlosquey=0:
x2+6x+8=0→x= ± ±2
6 36 3226 2– – –=
xx
42––
==
f(x)= ≤ ≤x xx x
x
x
x xx6 8
6 8
6 8 44 2
2– – –
si –si –si
––
<
>
2
2
2
+ +
+ +* Derivamos:
f '(x)=x
xx
xx
x
44 2
2
2 62 62 6–
si –si – –si –
–<
>< <
+
+*
( )( )
( )( )
''
ff 4
4 2 4 6 22 4 6 2–
– – –– – –
– ==
+ ==+ 4 f '(–4–)≠f '(–4+)→Noexistef '(–4)
( ) ( )( ) ( )
''
ff
2 2 2 6 22 2 2 6 2– – – – –– – –
– = == + =+ 4 f '(–2–)≠f '(–2+)→Noexistef '(–2)
LafunciónesderivableenÁ–{–4,–2}.
c)Analizamoselsignodex–3paradefinirlafunciónporintervalos:
–x + 3
xx
x – 3
3
( )x xx x x
3 33 2 3
–– –
+ + =+ =
Así:
f(x)=xxx
32 3
33
sisi ≥–
<)
Derivamos:
f '(x)=xx
33
02
sisi
<>
)
( )( )
''
ff 3
3 02
– ==+ 4 f '(3–)≠f '(3+)→Noexistef '(3)
LafunciónesderivableenÁ–{3}.
d)Definimoslafunciónporintervalos.
Recordamosque|x|=xx
xx
00
sisi ≥
– <) .
Así:
f(x)=x x
xx
x x 00
sisi ≥
– <2
2
+*
Derivamos:
f '(x)= xxx
x2 1
00
2 1 sisi
– <>+
)
( )( )
··
''
ff
0 2 0 1 10 2 0 1 1
– –– ==
=+ =+ 4 f '(0–)≠f '(0+)→Noexistef '(0)
LafunciónesderivableenÁ–{0}.
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
31
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
27 a) Comprueba que la siguiente función es derivable y halla f ' (0), f ' (3) y f ' (1):
f (x) = x
x xxx
3 1 11
– sisi ≥
<2 +)
b) ¿Cuál es su función derivada?
c) ¿En qué punto se cumple que f ' (x) = 5?
d) ¿Hay algún punto en el que f ' (x) = –1?
a)Six≠1,lafunciónescontinuayderivable,puesestáformadapordospolinomios.
Continuidadenx=1:
( ) ( )
( ) ( )
l m f x l m x
l m f x l m x x
3 1 2
2
–í í
í í8 8
8 8
x x
x x
1 1
1 12
–= =
= + =+
( )f 1 2=
4 f(x)escontinuaenx=1. Derivabilidadenx=1:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
' '
' '
l m f x l m f
l m f x l m x f
3 3 1
2 1 3 1
í í
í í8 8
8 8
x x
x x
1 1
1 1
––
= = =
= + = = ++
4 Lasderivadaslateralesexistenycoinciden. Luegof(x)esderivableenx=1.Además,f '(1)=3.
Así,f(x)escontinuayderivableentodoÁ.
f '(0)=3
f '(3)=2·3+1=7
b)f (x)= ≥xxx
32 1
11
<+
'
c)Sif '(x)=5,entoncesx≥1.Esdecir:
f '(x)=2x+1=5→x= 24 2 1>=
f '(2)=5
d)f '(x)=–1→2x+1=–1→x=–1(noesválidoporquenopertenecealintervalodedefinición).
Nohayningúnpuntoenelqueladerivadasea–1.
Página 170
Para resolver
28 Calcula el valor de la derivada en x = 0 de cada una de las siguientes funciones:
a) g (x) = e sen f (x) si f (0) = 0 y f ' (0) = 1
b) h (x) = [sen f (x)]3 si f (0) = π4
y f ' (0) = 1
c) j (x) = ( )ln f x si f (0) = e y f ' (0) = 1
a)Aplicamoslaregladelacadena:
g'(x)=D[sen f(x)]·e sen f(x)=f '(x)·cos f(x)·e sen f(x)
g'(0)=f '(0)·cosf(0)·e sen f(0)=1·cos0·e sen f(0)=1·1·1=1
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
32
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
b)Aplicamoslaregladelacadena:
h'(x)= [ ( )] · [ ( )] [ ( )]sen f x D sen f x sen f x3 32 2= ·f '(x)cos f(x)
h'(0)= [ ( )]sen f3 0 2 ·f '(0)·cos f(0)= · · · ·π πcossen34
14
321 1
21
2 23
43 22 2
= = =e o; Ec)Aplicamoslaregladelacadena:
j'(x)=( )
[ ( )]( )( )
·( )
'lnln
lnf xD f x
f xf x
f x2 21=
j'(0)=( ) ( )
( )'ln lnf f
fe e e e2 0 0
02
12 11
21= = =
29 Considera las siguientes funciones polinómicas:
f (x) = x 2 g (x) = 3x + 1
Calcula:
a) ( f ° g )' (x)
b) ( g ° f )' (x)
c) f ° g' (x)
d) f ' ° g (x)
a)(f°g )' (x)=f '[g(x)]g'(x)
Comof(x)=x2yg(x)=3x+1→f '(x)=2x,g'(x)=3
(f°g )' (x)=2·(3x+1)·3=6(3x+1)=18x+6
Tambiénpodemoshacer:
(f°g ) (x)=f [g(x)]=f(3x+1)=(3x+1)2
(f°g )' (x)=2·3(3x+1)=18x+6
b)(g°f)'(x)=g'[f(x)]f '(x)=3·2x=6x
Obien:
(g°f)(x)=g[f(x)]=3x2+1→(g°f)'(x)=6x
c)(f°g' )(x)=f[g'(x)]=f(3)=9
d)(f'°g )(x)=2·g(x)=6x+2,yaquef '(x)=2x.
30 Sean f y g dos funciones tales que f (x) = x 2 + 1 y g ' (x) = cos π x2b l y g (0) = 4. Calcula:
a) ( f ° g )' (0)
b) ( g ° f )' (0)
c) (g –1)' (4)
d) ( f –1)' (5)
a)(f°g )'(0)=f '[g(0)]·g'(0)=2·g(0)·g'(0)=2·4·cos0=8
b)(g°f)'(0)=g'[f(0)]·f '(0)=g'(1)·2·0=0
c)(g–1)'(4)=( ( )) ( )' ' cosg g g41
01
01 11– = = =
d)Paraquefseainyectivaysepuedadeterminarlafunciónrecíproca,supondremosquex>0.
(f–1)'(5)=( ( )) ( ) ·' 'f f f5
121
2 21
41
1– = = =
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
33
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
31 Considera las siguientes funciones:
f (x) = (x + 1)2 g (x) = x 2
a) Calcula:
f ' (x 2) ( f ° g )' (x) g' [ f (x)] ( g ° f )' (x)
b) Si h es una función cualquiera, halla, en función de h' y de h, las derivadas de:
f [h (x)] f [x + h (x)] g [ f (x + h (x))]
a)f '(x)=2(x+1),g '(x)=2x
f '(x2)=2(x2+1)
(f°g )'(x)=f '[g(x)]·g'(x)=f '(x2)·g' (x)=2(x2+1)·2x=4x(x2+1)
g'[f(x)]=g'[(x+1)2]=2(x+1)2
(g°f)'(x)=g'[f(x)]·f '(x)=2(x+1)2·2(x+1)=4(x+1)3
b)f[h(x)]'=f '[h(x)]·h'(x)=2[h(x)+1]·h' (x)
f[x+h(x)]'=f '[x+h(x)]·[1+h'(x)]=2[x+h(x)+1]·[1+h'(x)]
g[f[x+h(x)]]'=g'[f[x+h(x)]]·(f[x+h(x)])'[1+h'(x)]=
=g'[(x+h(x)+1)2]·(f[x+h(x)])'[1+h'(x)]=
=2(x+h(x)+1)2·2[x+h(x)+1]·[1+h'(x)]=
=4(x+h(x)+1)3·[1+h'(x)]
32 a) Representa la función f (x) = | x + 1 | + | x – 3 |.
Observando la gráfica, di en qué puntos no es derivable.
b) Representa f ' (x).
Ayúdate de la resolución del Ejercicio resuelto 5.
a)f(x)= ≤ ≤ ≤ ≤x x
x xx x
xx
x
x
x
xx
x
1 31 31 3
11 33
2 242 2
11 33
– – ––
–
si –si –si
sisisi
–
–
––
<
>
<
>
++ ++ +
=+
* *4
2
4
–2–4 2 4 6
Noesderivablenienx=–1nienx=3.(Sonpuntos“angulosos”).
b)f '(x)=x
xx
202
11 33
– si –si –si
<< <>
*
2
–2–1 3
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
34
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
33 Dada la función f (x) = x · | x | = x
xxx
00
– sisi ≥
<2
2*
a) Halla f ' (x).
b) Halla f '' (x).
Representa gráficamente los resultados.
a)LafuncióndadaescontinuaenÁ.
f '(x)=x x
x x2 0
02– si
si<>
)
Claramentelasderivadaslateralescoincidenenx=0.
Portanto,esderivableyf '(0)=0.
Gráficadef '(x):
2 4–4 –2
4
6
2
–2
Y
X
b)Comosepuedeverenlagráficaanterior,f ' (x)escontinuaenÁ.
f ''(x)=xx
22
00
– sisi
<>
)
Claramentelasderivadaslateralesnocoincidenenx=0.Portanto,noexistef ''(0).
2 4–4 –2–2
4
2
–4
Y
X
34 Las siguientes funciones tienen algún punto donde la derivada no existe. Hállalos en cada caso:
a) f (x) = x23 b) f (x) = x 2+
c) f (x) = x 1–2 d) f (x) = | x – 3 |
e) f (x) = x2
4 5– f ) f (x) = | x 2 – 2x |
a)f(x)=x2/3;Dom f=Á→f '(x)= xx3
232/1 33
– =
f '(x)noexistesix=0;esdecir,f(x)noesderivableenx=0.
b)f '(x)=x2 21+
f '(x)noexistesix=–2;eldominiodef(x)es[–2,+∞).
Portanto,enlospuntosenlosquelafunciónestádefinida,noesderivableenx=–2.
c)Eldominiodelafunciónes(–∞,–1]ø[1,+∞).
f '(x)=x
xx
x2 1
21– –2 2
=
Enlospuntosenlosquef(x)estádefinida,noesderivableenx=–1,nienx=1.
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
35
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
d)f(x)= ≥x
xxx
33
33
––
sisi
<+) ;f '(x)=xx
33
11– si
si<>
)
f(x)escontinuaenÁ;peronoesderivableenx=3,puessusderivadaslateralesnocoinciden.
( )( )
''
ff
3 13 1
–– ==+ 4 Sondistintas.
e)f(x)=≥
x
x
x
x
24 5
24 5
45
45
–
–
si
si
<+
* ;f '(x)=//
xx
22
5 45 4
– sisi
<>
)
f(x)escontinuaenÁ;peronoesderivableenx=45 ,puessusderivadaslateralesnocoinciden.
( )( )//
''
ff
5 4 25 4 2
–– ==+ 4 Sondistintas.
f)f(x)= ≤ ≤x xx x
x x
xx
x
222
00 2
2
––
–
sisisi
<
>
2
2
2+* f '(x)=
xx
x
xx
x
2 22 22 2
00 2
2
––
–
sisisi
<< <>
+* f(x)escontinuaenÁ;peronoesderivableenx=0,nienx=2,puessusderivadaslaterales
nocoinciden:
( )( )
''
ff
22
00
–– ==+ 4 Sondistintas. ( )
( )''
ff
22
22
–– ==+ 4 Sondistintas.
35 ¿Cuál de los siguientes apartados representa la gráfica de una función f y la de su derivada f ' ? Justifica tu respuesta.
a) b) c)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a)Lafunciónenrojoesunarectaquetienependiente3.Portanto,suderivadaesy=3(larectaverde).
Luegoestasgráficassírepresentanaunafunciónysuderivada.b)La función en rojo es un polinomio de 2.° grado, una parábola. Su derivada es una recta. En
x= 0,lafuncióntieneunmáximo;laderivadaseanula.Paraquelarectafueraladerivada,tendríaquepasarpor(0,0).
Norepresentan,portanto,aunafunciónysuderivada.c)Lafuncióntienequeserunpolinomiode3.ergradoporquetienedosextremosrelativos.Sude-
rivadaseráunpolinomiode2.°grado,unaparábola.Enx=1,lafuncióntieneunmáximo;laderivadaseanula,f '(1)=0,ytendríaquepasarpor(1,0).
Estastampocorepresentanaunafunciónysuderivada.
36 Estas gráficas son las funciones derivadas de f, g, h y j:
2
2
2
22
2
2
f '
g'
j'h'
2
a) ¿Cuáles de esas funciones (f, g, h y j) tienen puntos de tangente horizontal?
b) ¿Cuál de estas gráficas es la función derivada de una función polinómica de primer grado?
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
36
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
c) ¿Cuál de ellas corresponde a una función polinómica de segundo grado?
d) ¿Alguna puede ser polinómica de tercer grado?
e) ¿Alguna de las funciones puede ser y = ln x ?
a)Lospuntosdetangentehorizontalsonlospuntosenlosqueseanulaladerivada.
f tieneunpuntodetangentehorizontalenx=–2,puesf '(–2)=0.
jtienedospuntosdetangentehorizontalenx=1yenx=3,puesj'(1)=j'(3)=0.
gyhnotienenningúnpuntodetangentehorizontal.
b)Laderivadadeunafunciónpolinómicadeprimergradoesunafunciónconstante.Portanto,esg'.
c)Laderivadadeunafunciónpolinómicadesegundagradoesunafunciónpolinómicadeprimergrado.Portanto,esf '.
d)Comoj'tieneformadeparábola,alserunafunciónpolinómicadesegundogrado,lafunciónjespolinómicadetercergrado.
e)D[ln x]=x1 ysecorrespondeconlafunciónh'yaquetieneformadehipérbola.
Portanto,hpuedeserlafunciónlogaritmoneperiano.
37 Averigua para qué valores de x es f ' (x) = 0 en cada una de las siguientes funciones:
a) f (x) = ( )x x123 8–2
b) f (x) = x 4 + 2x 2 c) f (x) = x 1
12 +
d) f (x) = e x (x – 1)
a)f(x)= x x12
3 8–3 2→f '(x)= x x
129 16–2
f '(x)=0→9x2–16x=0→x(9x–16)=0 x
x
0
916
=
=
b)f '(x)=4x3+4x=4x(x2+1)
f '(x)=0→4x(x2+1)=0→x=0
c)f '(x)=( )x
x1
2–2 2+
f '(x)=0→–2x=0→x=0
d)f '(x)=e x(x–1)+e x·1=e x(x–1+1)=e xx
f '(x)=0→x=0
38 Averigua si en las siguientes funciones existen puntos en los que f ' (x) = 0:
a) f (x) = xx
12 3–
+ b) f (x) =
xx
162 +
c) f (x) = ln (x + 1) d) f (x) = 10 – (x – 2)4
a)f '(x)=( )
( ) ( ) ·( ) ( )x
x xx
x xx1
2 1 2 3 11
2 2 2 315– – –
2 2 2++ =
++ + =
+ f '(x)≠0paracualquiervalordex.
b)f '(x)=( )
( ) ·( ) ( )x
x x xx
x xx
x1
6 1 6 21
6 6 121
6 6– – –2 2
2
2 2
2 2
2 2
2
++ =
++ =
++
f '(x)=0→–6x2+6=0→x2=1 ( , )
( , )8
8xx
1 1 31 1 3– – –=
=c)f '(x)=
x 11+
≠0paracualquiervalordex.
d)f '(x)=–4(x–2)3
f '(x)=0→x=2→(2,10)
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
37
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
39 Halla la pendiente de la recta tangente a las siguientes funciones en el punto de abscisa que se indica en cada caso:
a) y = sen x cos x en x = π4
b) y = x ln x en x = e
c) y = ex
x
2 en x = 0 y x = 1 d) y = e x 2 – 1 en x = 1
Debemoshallarladerivadaenlospuntosindicadosencadacaso:a)y'= · ( )cos cos cosx x sen x sen x x sen x– –2 2+ =
y'= π4 2
222 0–
2 2= =c e em o o
b)y'= · ;ln lnx xx
x1 1 1· + = + y'(e)=ln e+1=1+1=2
c)y'=( )
·( )( )
exe x e
ee x x
ex x2 2 2– – –
x
x x
x
x
x2
2
2
2 2= =
y' (0)=0;y'(1)=e1
d)y'=2x e x 2–1;y' (1)=2
Página 171
Cuestiones teóricas
40 ¿Cuántos puntos de derivada nula puede tener una función polinómica de tercer grado? ¿Es po-sible que no tenga ninguno? ¿Es posible que solo tenga uno?
Comoladerivadadeunafunciónpolinómicadetercergradoesunafunciónpolinómicadesegundogrado,tieneunmáximodedospuntosdederivadanula.
Puedeserquenotengapuntosdederivadanula.Porejemplo,lafunciónf(x)=x3+xnotienepun-tosdederivadanulaporquef '(x)=3x2+1nuncaseanula.
Tambiénpuedetenerunúnicopuntoconderivadanula.Porejemplo,lafunciónf(x)=(x–2)3solotieneunpuntodederivadanulaporquef '(x)=3(x–2)2soloseanulacuandox=2.
41 Justifica que una función polinómica de segundo grado tiene siempre un punto de tangente horizontal.
Laderivadadeunafunciónpolinómicadesegundogradoesunafunciónpolinómicadeprimergrado.Sif(x)eslafunción,entoncesf '(x)=ax+bcona≠0.
Entalcaso,laecuaciónf '(x)=0→ax+b=0siempretienesoluciónyesaeslaabscisadelpuntodederivadanula.
42 Si una función tiene un punto anguloso en x = a, ¿qué podemos decir de f ' (a)?
f '(a)noexiste.
43 Si la derivada de una función es 0 en todo Á, entonces ¿la función es lineal, constante o cero?
SiladerivadadeunafunciónentodoÁes0,entonceslafunciónesconstante.Laderivadadeunafunciónlinealeselcoeficientedexy,portanto,novale0.
44 ¿Puede haber dos funciones distintas que tengan la misma función derivada? Pon ejemplos de funciones cuya derivada sea f (x) = 2x.
Sí.Porejemplo,lasfuncionesg(x)=x2yh(x)=x2+3tienenlamismaderivada,queeslafunciónf(x)=2x.Sidosfuncionessediferencianenunaconstante,entonceslasderivadassoniguales.
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
38
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
45 Supongamos que existe la derivada de f en a. Explica cuáles de las siguientes igualdades son verdaderas. En el caso de haber alguna falsa, retócala para que sea verdadera:
a) l mí8 0h
( ) ( )f a f a
h– h –
= – f ' (a) b) l mí8 0h
( ) ( )
af f a
h –h –
= f ' (a)
c) l mí8 0h
( ) ( )f a f a2
hh –+
= 2f ' (a) d) l mí8 0h
( ) ( )f a f a2
hh – h+ +
= f ' (a)
a) l mí8 0h
( ) ( )f a f a
h– h –
= l mí8 0h
( ) ( )f a f a
––h
– h –e o =–f '(a)→Verdadero.
b)f '(a)= l mí8 0h
( ) ( )
af f a
h –h – →Estaigualdadesfalsaporqueelresultadodellímiteanterior,sia≠ 0
ylafunciónestádefinidaen0,es ( ) ( )a
f f a0–– .Paraqueseaverdadera,tenemosquesustituirh
pora+hyobtenemosquef '(a)= l mí8 0h
( ) ( )f a f a
hh –+ .
Tambiénseríaverdaderasustituyendoapor0,yaquef '(0)= l mí8 0h
( ) ( )f f
00
h –h – .
c) l mí8 0h
( ) ( )f a f a2hh –+
= l mí8 0h
·( ) ( )f a f a
222hh –+e o =2·f ' (a)→Verdadero.
d) l mí8 0h
( ) ( )f a f a2h
h – h+ += l mí
8 0h
( ) ( ) ( ) ( )f a f a f a f a2h
h – – h+ + +=
= l mí8 0h
( ) ( ) ( ) ( )f a f a f a f a2
hh –
–hh –+ +e o =
=2·f '(a)–f ' (a)=f ' (a)→Verdadero.
Para profundizar
46 Determina, si es posible, el valor del parámetro a para que la función f sea derivable en todo su dominio de definición:
f (x) = ( )lnx x
a exx1
0 11–
si ≤si
<<x1 –*
Paraquef(x)seaderivable,enprimerlugar,hadesercontinua.• Six>0,x≠1:Lafunciónescontinua,puesestáformadaporfuncionescontinuas.• Enx=1:
( ) ( )
( ) [ ( )]
( )
lnl m f x l m x x
l m f x l m a e
f
1
1 0
1 0
–
í í
í í8 8
8 8
x x
x xx1
1 1
1 1–
–= =
= =
=+ 4 f(x)escontinuaenx=0.
Derivabilidad:• Six>0,x≠1:
Esderivable.Además:f '(x)=ln
xx
aex1 0 11
sisi
< <>x1 –
+)
•Enx=1:
( )( )
''
ff a
1 11
– ==+ 4 f(x)esderivableenx=1sia=1.
Luego,paraquefseaderivableentodosudominiodedefinición,hadesera=1.
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
39
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
47 Estudia la continuidad y la derivabilidad de las siguientes funciones:
a) f (x) = | |x1
1+
b) f (x) = | |
xx
1–2
a)Definimoslafunciónporintervalos:
f(x)=≥
x
x
x
x
11
11
0
0
–si
si
<
+*
Continuidad:
• Six≠0:
Escontinua,puesestáformadapordosfuncionescontinuasenlosintervalosenlosqueestándefinidas.
• Six=0:
( )
( )
( )
( ) ( ) .
l m f x l mx
l m f x l mx
f
l m f x f
11 1
11 1
0 1
0
–
–
í í
í í í
8 8
8 8 8
x x
x x x
0 0
0 0 0
–= =
= =
=
=+
4 Escontinuaenx=0.
Portanto,esunafuncióncontinuaenÁ.
Derivabilidad:
• Six≠0:Esderivable.Además:
f '(x)= ( )
( )
x
x
x
x
1
1
0
0
1
1–
si
si
–<
>
2
2+
*•Enx=0:
f '(0–)=1≠f '(0+)=–1→Noesderivableenx=0.
Portanto,esderivableenÁ–{0}.
b)Definimoslafunciónporintervalos:
f(x)=
x
x
x
xx
xx
0
0
1
1
si
si ≥
––
–
<2
2
* EldominiodelafunciónesÁ–{–1,1}.Portanto,enx=–1yenx=1lafunciónnoescontinua
(niderivable).
Continuidad:
• Six≠0,x≠–1,x≠1:
Lafunciónescontinua,puesestáformadaporfuncionescontinuas(enestospuntos).
• Enx=–1yenx=1:
Noescontinua,puesnoestádefinidaenestospuntos.
• Enx=0:
( ) ( ) .f x f 0=
( )
( )
( )
l m f x l mx
x
l m f x l mx
x
f
l m1
0
10
0 0
––
––
í í
í í í8 8
8 8 8
x x
x x x
0 0 2
0 0 2 0
–= =
= =
=
+4 Lafunciónescontinuaenx=0.
Portanto,esunafuncióncontinuaenÁ–{–1,1}.
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
40
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Derivabilidad:• Six≠0,x≠–1,x≠1:Esderivable.Además:
f '(x)= ( )
( )
xx
xx
x
x
11
11
0
0
–
––
si
si–
<
>
2 2
2
2 2
2
+
*•Enx=–1yenx=1:Noesderivable,puesnoestádefinidalafunción.• Enx=0: f '(0–)=1≠f '(0+)=–1→Noesderivableenx=0. Portanto,esderivableenÁ–{–1,1}.
48 Si f (x) = x 2 | x |, halla f ', f '' y f '''.
f(x)=x
xx
x 00
sisi ≥
– <3
3*
Derivando:
f '(x)= x xxx
3 003
– sisi ≥
<2
2*
(Enx=0,tenemosquef '(0–)=f '(0+)=f '(0)=0).
f ''(x)=xx
xx
00
66– si
si ≥<)
(Enx=0,tenemosquef ''(0–)=f '(0+)=f ''(0)=0).
f '''(x)=xx
00
66
sisi
– <>
)
(Enx=0noexistef ''',puestoquef '''(0–)=–6≠f '''(0+)=6).
49 Halla la derivada n-ésima de las siguientes funciones:
a) y = e ax b) y = x1 c) y = ln (1 + x) d) f (x) = x n
a)y'=a e ax;y''=a2e ax;y'''=a3 e ax;…y n)=a n e ax
Lodemostramosporinducción:(paran=1,2,3secumple).
Siy n–1)=a n–1e ax,derivandoobtenemos:
y n)=a · a n–1e ax=a n e ax,comoqueríamosdemostrar.
b)y'=x1–2 ;y''=
x23 ;y'''= x
6–4;…y n)= ( ) !
xn1–
n
n
1+
Lodemostramosporinducción:(paran=1,2,3secumple).
Siy n–1)= ( ) · ( ) !x
n1 1– –n
n 1–,derivandoobtenemos:
y n)= ( ) ( ) ! ( ) ( ) · !xn n
xn1 1 1 1– · – – · –
n
n
n
n
1
1
1
–=+ + ,comoqueríamosdemostrar.
c)y'=x1
1+
;y''=( )x1
1–2+;y'''=
( )x12
3+;…y n)=
( )( ) ( ) !
xn
11 1– –
n
n 1–
+
Lodemostramosporinducción:(paran=1,2,3secumple).
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
41
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Siy n–1)=( )
( ) · ( ) !x
n1
1 2– –n
n
1
2
–
–
+,derivandoobtenemos:
y n)=( )
( ) ( ) ! ( ) ( )( )
( ) · ( ) !x
n nx
n1
1 2 1 11
1 1– · – – – – –n
n
n
n2 1– –
+=
+,comoqueríamosdemostrar.
d)f '(x)=nx n–1
f ''(x)=n(n–1)x n–2
f '''(x)=n (n–1)(n–2)x n–3
…
f n)(x)=n(n–1)(n–2)·…·[n–(n–1)]x n–n=n!
50 Calcula f ' (0) para la siguiente función:
f (x) = ln x
e e2 1x x–
++
Aplica las propiedades de los logaritmos antes de derivar.
Hallamosf '(x)ydespuéssustituimosenx=0.
f(x)= [ ( ) ( )]ln lne e x21 2 1–x x–+ +
f '(x)=e ee e
x21
2 12– –x x
x x––
+ +; E
f '(0)= · ( )21 2 1– –=
51 Prueba, utilizando la definición de derivada, que la siguiente función es derivable en x = 1 y no lo es en x = –1:
f (x) = (1 – x) x1 – 2
Eldominiodedefinicióneselintervalo[–1,1].Portanto,elenunciadoserefierealasderivadaslate-ralesenlospuntosdados.
Veamosprimerosiexisteladerivadaporlaizquierdaenx=1:
l mí8 0h –
( ) ( )f f1 1
hh –+
= l mí8 0h –
( ) ( )1 1 1 1 0h
– – h – h –2+ = l mí8 0h –
2h
–h – h – h2 =
= l mí8 0h –
( )2 0– – h – h2 = →Existeladerivadayf '(1–)=0.
Veamosahoralaexistenciadeladerivadalateralporladerechaenx=–1:
l mí8 0h +
( ) ( )f f1 1
h– h –+
= l mí8 0h +
( ) ( )1 1 1 1 0h
– h – – h –2+ + =
= l mí8 0h +
( )2 2h
– h h – h2 = l mí8 0h +
( )2 2– hh
h – h2
2=> H
= l mí8 0h +
( )2 2 1– hh–< F =+∞→Noexistef '(–1+).
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
42
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Autoevaluación
Página 171
1 Halla la función derivada de las siguientes funciones:
a) y = x x3 2 1+ b) y = x5
c) y = ( )x
x2 2+
d) y = xx
11 –
2
+c m
e) y = e 2x + 1 f ) y = ln x3
1+b l
a)y'= ( )x xx x
x xx
x3 2 1 32 2 1
22 1
3 2 1 32 19 3+ +
+=
++ + =
++
b)y'=·5–
xx
x x21
25–=
c)y'=( )
( ) · ( )( ) ( )x
x x xx
x xxx
22 2 2
22 2
22– – –
4
2
3 3++ + =
++ =
++
d)y'=( )
( ) ( )( ) ( )
( )xx
xx x
xx
x xx2
11
11 1 1 2
11
12
14 1– – – – – – – –
2 2 3+ ++ =
+ +=
+d dn n
e)y'=2e2x+1
f)y'=1+
:x
xx
3
31
31
33
31= + =+
2 Aplica las propiedades de los logaritmos para hallar la derivada de estas funciones:
a) f (x) = ln x x5–25 b) f (x) = ln cos xx x3
2 2
3 +
a)f(x)=ln(x2–5x)1/5= ( )ln x x51 5–2 →f '(x)=
( )x xx
x xx
51
52 5
5 52 5
––
––
2 2=
b)f(x)= ( ) ( )lncos
ln ln cosx
x x x x x321 3 2–
/
2 2
3 1 23 2+ = + →
→f '(x)=( )( )
( )( )
cos cosx xx
xsen x x
x xx
xx sen x
x xx x tg x
21
33 3 2
2 33 1 4
2 33 1 42– – ·
3
2
2
2
3
2
2
2
3
22
++ =
++ + =
++ +
3 Aplica la definición de derivada para hallar f ' (x) siendo:
f (x) = x12
f(x)=x12
f(x+h)–f(x)=( ) ( ) ·
( )( )x x x x
x xx x
x1 1 2h
–h
– hh
– h – h2 2 2 2
2 2
2 2
2
+=
++ =
+
f '(x)= l mí8 0h
( ) ( )f x f x
hh –+
= l mí8 0h
( )x xx
xx
x2 2 2
h h– h – h – –2 2
2
4 3+= =
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
43
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
4 Dada la función f (x) = | x | + | x 2 + 2x |, defínela por intervalos y obtén:
a) f ' (x)
b) f '' (x)
Representa f (x), f ' (x) y f '' (x).
|x|= ≥xx
xx
00
– sisi
<)
|x2+2x|=≥
x xx x
x x
xx
x
22
2
22 00
– –si –si –si
<< <
2
2
2
+
+*
f(x)=|x|+|x2+2x|= ≤≥
x xx x
x x
xx
x3
3
22 00
– –si –si –si
<<
2
2
2
+
+*
2 4–4 –2–2
4
2
Y
X
Gráficadef(x)
f(x)noesderivableenx=–2yx=0yaquelospuntossonangulosos.Laderivadaes:
f '(x)=x
xx
xx
x
22 00
2 12 32 3
si –si –si
– –<
<<>
+
+*
2 4–4 –2–2
4
2
–4
Y
X
Gráficadef '(x)
Alnoexistirf '(–2)nif '(0),noexistenf ''(–2)nif ''(0).
f ''(x)=x
xx
222
22 00
–si –si –si
<< <>
*
2 4–4 –2–2
4
2
–4
Y
X
Gráficadef ''(x)
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
44
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
5 Estudia la continuidad y la derivabilidad de esta función:
f (x) = x x
x
xx
2 1
14
11
– si ≤si >
2 +
+*
f(x)escontinuasix<1ysix>1,porquelasfuncionesqueladefinenloson.
Estudiamoslacontinuidadenx=1.
l mí8x 1
f(x)
( ) ( )
( )
l m f x l m x x
l m f x l mx
2 1 2
14 2
–í í
í í
8 8
8 8
x x
x x
12
1
1
1
– –= + =
=+
=+ +
f(1)=1+2–1=2
Como l mí8x 1
f(x)=f(1)=2,fescontinuaenx=1.
Portanto,fescontinuaenÁ.
Hallamosf '(x)=( )
x
x
x
x
2 2
14
1
1–si
si
<
>2
+
+*
fesderivablesix<1ysix>1.
Estudiamossuderivabilidadenx=1.
( ) ·
( )( )
'
'
f
f
1 2 1 2 4
11 1
4 1– –2
– = + =
=+
=+ 4 Comof '(1–)≠f '(1+),noexistef '(1).
fesderivableenÁ–{1}.
6 Calcula el valor de los parámetros a y b para que la siguiente función sea derivable:
f (x) = ax bx x
xx3 2
00–
sisi ≥
<2
++
)
Representa la función para los valores hallados de a y b.
Paraquefseaderivableenx=0,debesercontinuaenesepunto.
l mí8x 0
f(x)
( )
( )
l m ax b b
l m x x3 2 2–
í
í
8
8
x
x
0
02
–+ =
+ =+
4Paraque l mí
8x 0f(x)=f(0)=2,debeserb=2.
Sib=2,fescontinuaenÁ.
f '(x)=ax
xx2 3
00–
sisi
<>
)Veamossifesderivableenx=0:
( )( )
''
ff
a3
00 –
– ==+ 4 Paraqueexistaf '(0),debesera=–3.
Sia=–3,fesderivableenÁ.
f(x)= ≥xx
xx x
00
3 23 2
sisi
––
<2
++
) X
Y
1
1
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
45
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
7 Indica en qué puntos no es derivable la siguiente función:
f (x) = | x 2 – 4x + 3 |
Justifica tu respuesta.
Definimoslafunciónporintervalos.Paraello,hacemos:
x2–4x+3=0→x= ±2
4 16 12– xx
13
==
f(x)=≤
≥
x xx x
x x
xx
x
4 34 34 3
11 3
3
–– –
–
sisisi
< <
2
2
2
++
+*
Hallamosf '(x):
f '(x)=x
xx
xx
x
11 3
3
2 42 42 4–
sisisi
–
–< <<
>+*
Estudiamosladerivabilidaddefenx=1yenx=3:
( )( )
··
''
ff
1 2 1 4 21 2 1 4 2
– ––
– ==
=+ =+ 4 Comof '(1–)≠f '(1+),noexistef '(1).
( )( )
··
''
ff
3 2 3 4 23 2 3 4 2
– ––
– ==
+ ==+ 4 Comof '(3–)≠f '(3+),noexistef '(3).
fnoesderivablenienx=1,nienx=3.
8 Halla los puntos en los que la pendiente de la recta tangente es igual a 0 en cada una de las siguien-tes funciones:
a) f (x) = xx
11
–2
2 + b) f (x) = x
x1–2
3
a)f '(x)=( )
( ) ( )( )x
x x x xx
x1
2 1 1 21
4–
– ––
–2 2
2 2
2 2+ =
f '(x)=0→–4x=0→x=0
b)f '(x)=( )
( )( )x
x x x xxx x
13 1 2
13
–– –
––
2 2
2 2 3
2 2
4 2=
f '(x)=0→x4–3x2=0→x2(x2–3)=0→x=0,x= 3 ,x=– 3
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
42
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Autoevaluación
Página 171
1 Halla la función derivada de las siguientes funciones:
a) y = x x3 2 1+ b) y = x5
c) y = ( )x
x2 2+
d) y = xx
11 –
2
+c m
e) y = e 2x + 1 f ) y = ln x3
1+b l
a)y'= ( )x xx x
x xx
x3 2 1 32 2 1
22 1
3 2 1 32 19 3+ +
+=
++ + =
++
b)y'=·5–
xx
x x21
25–=
c)y'=( )
( ) · ( )( ) ( )x
x x xx
x xxx
22 2 2
22 2
22– – –
4
2
3 3++ + =
++ =
++
d)y'=( )
( ) ( )( ) ( )
( )xx
xx x
xx
x xx2
11
11 1 1 2
11
12
14 1– – – – – – – –
2 2 3+ ++ =
+ +=
+d dn n
e)y'=2e2x+1
f)y'=1+
:x
xx
3
31
31
33
31= + =+
2 Aplica las propiedades de los logaritmos para hallar la derivada de estas funciones:
a) f (x) = ln x x5–25 b) f (x) = ln cos xx x3
2 2
3 +
a)f(x)=ln(x2–5x)1/5= ( )ln x x51 5–2 →f '(x)=
( )x xx
x xx
51
52 5
5 52 5
––
––
2 2=
b)f(x)= ( ) ( )lncos
ln ln cosx
x x x x x321 3 2–
/
2 2
3 1 23 2+ = + →
→f '(x)=( )( )
( )( )
cos cosx xx
xsen x x
x xx
xx sen x
x xx x tg x
21
33 3 2
2 33 1 4
2 33 1 42– – ·
3
2
2
2
3
2
2
2
3
22
++ =
++ + =
++ +
3 Aplica la definición de derivada para hallar f ' (x) siendo:
f (x) = x12
f(x)=x12
f(x+h)–f(x)=( ) ( ) ·
( )( )x x x x
x xx x
x1 1 2h
–h
– hh
– h – h2 2 2 2
2 2
2 2
2
+=
++ =
+
f '(x)= l mí8 0h
( ) ( )f x f x
hh –+
= l mí8 0h
( )x xx
xx
x2 2 2
h h– h – h – –2 2
2
4 3+= =
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
43
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
4 Dada la función f (x) = | x | + | x 2 + 2x |, defínela por intervalos y obtén:
a) f ' (x)
b) f '' (x)
Representa f (x), f ' (x) y f '' (x).
|x|= ≥xx
xx
00
– sisi
<)
|x2+2x|=≥
x xx x
x x
xx
x
22
2
22 00
– –si –si –si
<< <
2
2
2
+
+*
f(x)=|x|+|x2+2x|= ≤≥
x xx x
x x
xx
x3
3
22 00
– –si –si –si
<<
2
2
2
+
+*
2 4–4 –2–2
4
2
Y
X
Gráficadef(x)
f(x)noesderivableenx=–2yx=0yaquelospuntossonangulosos.Laderivadaes:
f '(x)=x
xx
xx
x
22 00
2 12 32 3
si –si –si
– –<
<<>
+
+*
2 4–4 –2–2
4
2
–4
Y
X
Gráficadef '(x)
Alnoexistirf '(–2)nif '(0),noexistenf ''(–2)nif ''(0).
f ''(x)=x
xx
222
22 00
–si –si –si
<< <>
*
2 4–4 –2–2
4
2
–4
Y
X
Gráficadef ''(x)
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
44
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
5 Estudia la continuidad y la derivabilidad de esta función:
f (x) = x x
x
xx
2 1
14
11
– si ≤si >
2 +
+*
f(x)escontinuasix<1ysix>1,porquelasfuncionesqueladefinenloson.
Estudiamoslacontinuidadenx=1.
l mí8x 1
f(x)
( ) ( )
( )
l m f x l m x x
l m f x l mx
2 1 2
14 2
–í í
í í
8 8
8 8
x x
x x
12
1
1
1
– –= + =
=+
=+ +
f(1)=1+2–1=2
Como l mí8x 1
f(x)=f(1)=2,fescontinuaenx=1.
Portanto,fescontinuaenÁ.
Hallamosf '(x)=( )
x
x
x
x
2 2
14
1
1–si
si
<
>2
+
+*
fesderivablesix<1ysix>1.
Estudiamossuderivabilidadenx=1.
( ) ·
( )( )
'
'
f
f
1 2 1 2 4
11 1
4 1– –2
– = + =
=+
=+ 4 Comof '(1–)≠f '(1+),noexistef '(1).
fesderivableenÁ–{1}.
6 Calcula el valor de los parámetros a y b para que la siguiente función sea derivable:
f (x) = ax bx x
xx3 2
00–
sisi ≥
<2
++
)
Representa la función para los valores hallados de a y b.
Paraquefseaderivableenx=0,debesercontinuaenesepunto.
l mí8x 0
f(x)
( )
( )
l m ax b b
l m x x3 2 2–
í
í
8
8
x
x
0
02
–+ =
+ =+
4Paraque l mí
8x 0f(x)=f(0)=2,debeserb=2.
Sib=2,fescontinuaenÁ.
f '(x)=ax
xx2 3
00–
sisi
<>
)Veamossifesderivableenx=0:
( )( )
''
ff
a3
00 –
– ==+ 4 Paraqueexistaf '(0),debesera=–3.
Sia=–3,fesderivableenÁ.
f(x)= ≥xx
xx x
00
3 23 2
sisi
––
<2
++
) X
Y
1
1
BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
45
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
7 Indica en qué puntos no es derivable la siguiente función:
f (x) = | x 2 – 4x + 3 |
Justifica tu respuesta.
Definimoslafunciónporintervalos.Paraello,hacemos:
x2–4x+3=0→x= ±2
4 16 12– xx
13
==
f(x)=≤
≥
x xx x
x x
xx
x
4 34 34 3
11 3
3
–– –
–
sisisi
< <
2
2
2
++
+*
Hallamosf '(x):
f '(x)=x
xx
xx
x
11 3
3
2 42 42 4–
sisisi
–
–< <<
>+*
Estudiamosladerivabilidaddefenx=1yenx=3:
( )( )
··
''
ff
1 2 1 4 21 2 1 4 2
– ––
– ==
=+ =+ 4 Comof '(1–)≠f '(1+),noexistef '(1).
( )( )
··
''
ff
3 2 3 4 23 2 3 4 2
– ––
– ==
+ ==+ 4 Comof '(3–)≠f '(3+),noexistef '(3).
fnoesderivablenienx=1,nienx=3.
8 Halla los puntos en los que la pendiente de la recta tangente es igual a 0 en cada una de las siguien-tes funciones:
a) f (x) = xx
11
–2
2 + b) f (x) = x
x1–2
3
a)f '(x)=( )
( ) ( )( )x
x x x xx
x1
2 1 1 21
4–
– ––
–2 2
2 2
2 2+ =
f '(x)=0→–4x=0→x=0
b)f '(x)=( )
( )( )x
x x x xxx x
13 1 2
13
–– –
––
2 2
2 2 3
2 2
4 2=
f '(x)=0→x4–3x2=0→x2(x2–3)=0→x=0,x= 3 ,x=– 3