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Versión2012
©UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoosistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperacióndelainformación,sinlaautorizaciónporescritodelaUniversidadVirtualdelEstadodeGuanajuato.
1
Multiplicaciónydivisiónconexpresionesracionales
Por:SandraElviaPérezMárquez.
Para realizar operaciones con expresiones racionales,aplicamoslasmismaspropiedadesytécnicasqueseutilizanconlasfraccionesnuméricas.
¿Recuerdascómohacerlassiguientesoperaciones?
=
52
43
=
÷
52
43
Pararealizarunamultiplicacióndefracciones,semultiplicanumeradorpornumeradorydenominadorpordenominador.
Para realizar una división de fracciones, se multiplica en forma cruzada, es decir, numerador pordenominadorydenominadorpornumerador.
En ocasiones, esmás sencillo si encontramos primero losfactoresprimosparasimplificar.
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2
Enestecasosolamenteel4sepuedefactorizarcomo(2)(2)yahorayasepuedesimplificarelnumeradoryeldenominador:
De la misma forma que se efectúa el procedimiento para los números fraccionarios, se hacen lasoperacionesconexpresionesracionales.
Multiplicacióndeexpresionesracionales
Pararesolverlamultiplicacióndeexpresionesracionales,realizalossiguientespasos:
1)Factoriza completamente todos los numeradores y
denominadores.
2)Simplificalosfactorescomunes.
3)Realizalamultiplicacióndeacuerdoalaregla:
bdac
dc
ba
=⋅
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Observaalgunosejemplos:Ejemplo1:
Multiplicaysimplificaalamínimaexpresión:
+
−
−
+23
23
561830
36603542
xxxx
xx
1. Factorizatodoslosnumeradoresytodoslosdenominadores.
( )( )
( )( )56
3563512567
561830
36603542
2
2
23
23
+
−⋅
−
+=
+
−
−
+
xxxx
xx
xxxx
xx
2. Simplificalosfactorescomunes.
3.-Realizalamultiplicaciónyvuelveasimplificar.
4.-Elresultadodelamultiplicaciónylasimplificaciónes:
27
561830
36603542
23
23
=
+−
−+
xxxx
xx
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Ejemplo2:
Multiplicaysimplificaalamínimaexpresión: =
−−
−−
+−
−+
5432
656
2
2
2
2
xxxx
xxxx
1. Factorizatodoslosnumeradoresytodoslosdenominadores.
=
−−
−−
+−
−+
5432
656
2
2
2
2
xxxx
xxxx ( )( )
)1)(5()1)(3(
)2)(3(23
+−+−
∗−−−+
xxxx
xxxx
2. Simplificalosfactorescomunes.
3.-Realizalamultiplicaciónconlosfactoresquenosesimplificaron.
=
−−
−−
+−
−+
5432
656
2
2
2
2
xxxx
xxxx ( )
)5(1
13
−∗
+x
x ( )( )( )( )
( )( )5
35113
−+
=−
+=
xx
xx
4.-Elresultadodelamultiplicaciónylasimplificaciónes:
( )( )5
35432
656
2
2
2
2
−
+=
−−
−−
+−
−+
xx
xxxx
xxxx
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Ejemplo3:
Multiplicaysimplificaalamínimaexpresión: =
−−
− 3
2
2
4
92
43
aaa
aa
1. Factorizatodoslosnumeradoresytodoslosdenominadores.
( )( )( )( )
3
4
3
2
2
4
912
223
92
43
aaa
aaa
aaa
aa +−
∗−+
=
−−
−
2.-Simplificalosfactorescomunes.
3.-Realizalamultiplicaciónconlosfactoresquenosesimplificaron.
( )( ) ( )
( )2913
91
23
92
43
3
4
3
4
3
2
2
4
+
+=
+∗
+=
−−
− aaaa
aa
aa
aaa
aa
4.-Simplificanuevamente(primerocoeficientes)yaplicalasleyesdelosexponentes.
31
93= y aa
aa
== −343
4
( )( )
( )( )23
12913
92
43
3
4
3
2
2
4
++
=+
+=
−−
− aaa
aaaa
aaa
aa
5.-Elresultadodelamultiplicaciónylasimplificaciónes:
( )( )23
19
24
33
2
2
4
+
+=
−−
− aaa
aaa
aa
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Ejemplo4:
Multiplicaysimplificaalamínimaexpresión:
+
−
−
−+
43
3432
xx
xxx
1.-Factorizalosnumeradoresytodoslosdenominadores.
( )( )43
314
43
3432
+
−∗
−
−+=
+
−
−
−+
xx
xxx
xx
xxx
2.-Simplificalosfactorescomunes.
3.-Realizalamultiplicaciónconlosfactoresquenosesimplificaron.
( ) ( )13
31
43
3432 −
∗−
−=
+
−
−
−+ xx
xxx
xxx
En este caso, observa cómo ( )3−x y ( )x−3 sonfactores que se parecen mucho, sin embargo, no soncompletamente iguales ya que tienen los signosdiferentes.Puedesfactorizarunodeellos,detalformaquequedenlossignosiguales.
4.-Factoriza: 1− en )3( x− deestaforma:
( )( )x+−− 31 5.-Reacomodalostérminosdelbinomio.( )( )31 −− x
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6.-Sustituyeelfactoranteriorenlaexpresión.
( ) ( ) ( )( )( )
( )13
311
13
31
43
3432 −
∗−−
−=
−∗
−
−=
+
−
−
−+ xxxx
xx
xx
xxx
7.-Simplificanuevamentelosfactorescomunes.
8.-Multiplicalostérminosdespuésdelasimplificación.
( )( )
( )( )( )( )
( )11
1111
11
11
43
3432
−
−=
−
−=∗
−
−=
+
−
−
−+ xxxxx
xxx
9.-Divide la expresión entre ( )1− , aplicando las leyes de los signos de la división y reacomodando lostérminosdelbinomio.
( ) ( ) ( )xxxxx
xxx
−=+−=−
−=
+
−
−
−+ 1111
43
3432
10.-Elresultadodelamultiplicaciónylasimplificaciónes:
( )xxx
xxx
−=
+
−
−
−+ 143
3432
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Ejemplo5:
Multiplicaysimplificaalamínimaexpresión:
−
−
+−
−−
−−
−+
62
8665
3212
2
2
2
2
yy
yyyy
yyyy
1.-Factorizatodoslosnumeradoresytodoslosdenominadores.
=
−
−
+−
−−
−−
−+
62
8665
3212
2
2
2
2
yy
yyyy
yyyy ( )( )
( )( )( )( )( )( ) 6
22416
1334
−−
∗−−+−
∗+−−+
yy
yyyy
yyyy
2.-Simplificalosfactorescomunes.
3.-Realizalamultiplicaciónconlosfactoresquenosesimplificaron.
=
−
−
+−
−−
−−
−+
62
8665
3212
2
2
2
2
yy
yyyy
yyyy ( )
( )( )( )4
411
41
14
−+
=∗−
∗+
yy
yy
4.-Elresultadodelamultiplicaciónylasimplificaciónes:
44
62
8665
3212
2
2
2
2
−
+=
−
−
+−
−−
−−
−+
yy
yy
yyyy
yyyy
La multiplicación de expresiones racionales puederealizarseentre dosomásexpresiones comoenel casoanterior.
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Te recomiendo que sigas practicando lamultiplicación de expresiones racionales resolviendolosproblemasdelmismotipo.Recuerdaquesitienesdificultadesconlafactorizaciónpuedesregresarteyrevisarlaslecturascorrespondientes.
Divisióndeexpresionesracionales
Pararealizarladivisióndeexpresionesracionaleshayqueatenderlossiguientespasos:
1)Factoriza completamente todos losnumeradores y
denominadores.
2)Realizaladivisióndeacuerdoalaregla:
3)Simplificalosfactorescomunes.
Observaalgunosejemplos.
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Ejemplo1:
Divideysimplificaalamínimaexpresión: =
++
−÷
+
−
189255
35
2 xxx
xx
1.-Factorizatodoslosnumeradoresytodoslosdenominadores.
( )( )( )36
5535
189255
35
2 ++
−÷
+
−=
++
−÷
+
−
xxx
xx
xxx
xx
2.-Realizaladivisióndeacuerdoalaregla.
3.-Simplificalosfactorescomunes.
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4.-Realizalamultiplicaciónconlosfactoresquenosesimplificaron.
( )56
189255
35
2
+=
++
−÷
+
− xxx
xxx
5.-Elresultadodeladivisiónylasimplificaciónes:
( )56
189255
35
2
+=
++
−÷
+
− xxx
xxx
Ejemplo2:
Divideysimplificaalamínimaexpresión: =
+−
−÷
−−
++
864
3245
2
2
2
2
aaa
aaaa
1.-Factorizatodoslosnumeradoresytodoslosdenominadores.
=
+−
−÷
−−
++
864
3245
2
2
2
2
aaa
aaaa ( )( )
( )( )( )( )( )( )24
221341
−−−+
÷+−++
aaaa
aaaa
2.-Realizaladivisióndeacuerdoalaregla.
3.-Simplificafactorescomunes.
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4.-Realizalamultiplicaciónconlosfactoresquenosesimplificaronutilizandoproductosnotables.
( )( )( )( ) 6
162344
864
3245
2
2
2
2
2
2
−−
−=
+−
−+=
+−
−÷
−−
++
aaa
aaaa
aaa
aaaa
5.-Elresultadodeladivisiónylasimplificaciónes:
616
864
3245
2
2
2
2
2
2
−−
−=
+−
−÷
−−
++
aaa
aaa
aaaa
Ejemplo3:
Divideysimplificaalamínimaexpresión: =
−
+−÷
−+
−
434
61
2
2
2
2
yyy
yyy
1.-Factorizatodoslosnumeradoresytodoslosdenominadores.
( )( )( )( )
( )( )( )( )22
132311
434
61
2
2
2
2
−+
−−÷
−+
−+=
−
+−÷
−+
−
yyyy
yyyy
yyy
yyy
2.-Realizaladivisióndeacuerdoalaregla.
3.-Simplificalosfactorescomunes.
Versión2012
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4.-Realizalamultiplicaciónconlosfactoresquenosesimplificaronutilizandoproductosnotables.
( )( )( )( ) 9
233321
434
61
2
2
2
2
2
2
−
++=
−+
++=
−
+−÷
−+
−
yyy
yyyy
yyy
yyy
5.-Elresultadodeladivisiónylasimplificaciónes
923
434
61
2
2
2
2
2
2
−
++=
−
+−÷
−+
−
yyy
yyy
yyy
Ejemplo4:
Divideysimplificaalamínimaexpresión: =
−
−+÷
+
−22
22
2
22
42
2 yxyxyx
xyxyx
1.-Factorizatodoslosnumeradoresytodoslosdenominadores.
( )( )( )
( )( )( )( )yxyx
yxyxyxxyxyx
yxyxyx
xyxyx
222
242
2 22
22
2
22
−+
−+÷
+
−+=
−
−+÷
+
−
2.-Realizaladivisióndeacuerdoalaregla.
3.-Simplificalosfactorescomunes.
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4.-Realizalamultiplicaciónconlosfactoresquenosesimplificaronutilizandoproductosnotables.
( )( )( ) xyx
yxyxyxxyxyx
yxyxyx
xyxyx
22
22
42
2 2
22
22
22
2
22
+
−−=
+−+
=
−
−+÷
+
−
5.-Elresultadodeladivisiónylasimplificaciónes:
xyxyxyx
yxyxyx
xyxyx
22
42
2 2
22
22
22
2
22
+
−−=
−
−+÷
+
−
Ejemplo5:
Divideysimplificaalamínimaexpresión: =
++
−÷
+
−
444
22
2
2
2 xxx
xxx
1.-Factorizatodoslosnumeradoresytodoslosdenominadores.
( )( )( )( )( )22
2222
444
22
2
2
2 ++
−+÷
+
−=
++
−÷
+
−
xxxx
xxx
xxx
xxx
2.-Observaqueelfactor ( )x−2 sepuedefactorizarcomo ( )( )x+−− 21 .Siacomodamoslostérminosdel
binomiocomo ( )( )21 −− x yelfactor ( )x+2 sepuedereacomodarcomo ( )2+x .3.-Deestaforma,laexpresiónfactorizadaquedadelasiguienteforma:
( )( )( )
( )( )( )( )22
22221
444
22
2
2
2 ++
−+÷
+
−−=
++
−÷
+
−
xxxx
xxx
xxx
xxx
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4.-Realizaladivisióndeacuerdoalaregla.
5.-Simplificalosfactorescomunes.
6.-Elresultadodeladivisiónylasimplificaciónes:
xxxx
xxx 1
444
22
2
2
2
−=
++
−÷
+
−
En la división de expresiones racionales es muyimportante que al realizar la multiplicación en cruz sólodejesexpresadalaoperaciónparapoderhacerdespuéslasimplificacióndefactorescomunes.