1

Módulo 1

ANÁLISIS MATEMÁTICO DE LA

OPTIMIZACIÓN

Copyright ©2005 by South-Western, a division of Thomson Learning. All rights reserved.

2

Matemática de la Optimización

• Muchas teorías económicas empiezan con el supuesto de que un agente económico quiere encontrar el valor óptimo de alguna función– consumidores buscan maximizar utilidad– empresas buscan maximizar utilidad

• Este capítulo introduce a las matemáticas que se emplean en estos problemas

3

Maximización de una función de una variable

• Ejemplo: Administrador de una firma desea maximizar beneficios

)(qf

= f(q)

Cantidad

*

q*

Utilidad máxima * ocurre en q*

4

Maximización de una función de una variable

• El admimistrador posiblemente intentará variar q para ver dónde se obtienen los beneficios máximos– un incremento de q1 a q2 produce un aumento en

= f(q)

Cantidad

*

q*

1

q1

2

q2

0q

5

Maximización de una función de una variable

• Si el producto se incrementa más alla de q*, las utilidades disminuirán– un incremento de q* a q3 conduce a una caída en

= f(q)

Cantidad

*

q*

0q

3

q3

6

Derivadas

• La derivada de = f(q) es el límite de /q para cambios muy pequeños en q

h

qfhqf

dq

df

dq

dh

)()(lim 11

0

• El valor de este ratio depende del valor de q1

7

Valor de una derivada en un punto

• La evaluación de la derivada en el punto q = q1 puede ser denotado

1qqdq

d

• En nuestros ejemplos previos,

01

qqdq

d0

3

qqdq

d0

*qqdq

d

8

Condición de primer orden para un máximo

• Para que una función de una variable to alcance su valor máximo en algún punto, la derivada en ese punto debe ser cero

0 *qq

dq

df

9

Condiciones de segundo orden• La condición de primer orden (d/dq) es una

condición necesaria para un máximo, pero no es una condición suficiente

Cantidad

*

q*

Si la función de utilidad tuviese forma de u, con la condición de primer orden se obtendría q* donde se minimizaría

10

Condiciones de segundo orden

• Esto puede significar que para que q* sea un óptimo,

* para 0 qqdq

d

y * para 0 qq

dq

d

• Por lo tanto, en q*, d/dq debe ser decreciente

11

Segundas derivadas

• La derivada de una derivada se denomina segunda derivada

• La segunda derivada puede denotarse por

)(" o o 2

2

2

2

qfdq

fd

dq

d

12

Condiciones de segundo orden

• La condición de segundo orden para un máximo (local) es

0)("*

*

2

2

qqqq

qfdq

d

13

Reglas para hallar derivadas

0 entonces constante, una es Si 1. dx

dbb

)(')]([

entonces constante, una es Si 2. xbfdx

xbfdb

1 entonces constante, es Si 3. bb

bxdx

dxb

xdx

xd 1ln 4.

14

Reglas para hallar derivadas

aaadx

da xx

constantecualquier para ln 5.

– un caso especial de esta regla es dex/dx = ex

15

Reglas para hallar derivadas

)(')(')]()([

6. xgxfdx

xgxfd

)()(')(')()]()([

7. xgxfxgxfdx

xgxfd

• Supongamos que f(x) y g(x) son dos funciones de x y f’(x) y g’(x) existe

• Entonces

16

Reglas para hallar derivadas

0)( que dado

)]([

)(')()()(')()(

8.2

xg

xg

xgxfxgxf

dx

xgxf

d

17

Reglas para hallar derivadas

dz

dg

dx

df

dz

dx

dx

dy

dz

dy 9.

• Si y = f(x) y x = g(z) y si existen f’(x) y g’(x), entonces:

• Se denomina la regla de la cadena. La regla de la cadena nos permite estudiar cómo una variable (z) afecta otra variable (y) a través de su influencia sobre alguna variable intermedia (x)

18

Reglas para hallar derivadas

axaxaxax

aeaedx

axd

axd

de

dx

de

)(

)( 10.

• Algunos ejemplos de la regla de la cadena incluyen

)ln()ln()(

)(

)][ln()][ln( 11. axaaax

dx

axd

axd

axd

dx

axd

xx

xdx

xd

xd

xd

dx

xd 22

1)(

)(

)][ln()][ln( 12.

2

2

2

22

19

Ejemplo de maximización de utilidad

• Suponga que la relación entre utilidad y producto es

= 1,000q - 5q2

• La condición de primer orden para un máximo es

d/dq = 1,000 - 10q = 0

q* = 100• Dado que la segunda derivada es siempre -10, q =

100 es un máximo global

20

Funciones de varias variables

• La mayoría de los objetivos de los agentes económicos dependen de varias variables

– existen trade-offs (disyuntivas)• La dependencia de una variable (y) sobre una serie

de otras variables (x1,x2,…,xn) se denota por

),...,,( nxxxfy 21

21

• La derivada parcial de y con respecto a x1 se denota por

Derivadas

111

o o o 1

ffx

f

x

yx

• Se entiende que al calcular una derivada parcial, todas las demás x’s se mantienen constantes

22

• Una definición más formal de la derivada parcial es

Derivadas parciales

h

xxxfxxhxf

x

f nn

hxx n

),...,,(),...,,(lim

2121

0,...,1 2

23

Calculando derivadas parciales

2122

2111

2221

2121

2

y 2

entonces ,),( If 1.

cxbxfx

f

bxaxfx

f

cxxbxaxxxfy

2121

21

22

11

21

y

entonces ,),( Si 2.

bxaxbxax

bxax

befx

faef

x

f

exxfy

24

Calculando derivadas parciales

22

211

1

2121

y

entonces ,lnln),( Si 3.

x

bf

x

f

x

af

x

f

xbxaxxfy

25

Derivadas parciales

• Las derivadas parciales son la expresión matemática del supuesto ceteris paribus – muestra cómo los cambios en una variable

afectan algunos resultados cuando otras influencias se mantienen constantes

26

Derivadas parciales

• Debemos tener en cuenta cómo están medidas las variables– Si q representa la cantidad de gasolina

demandada (medida en billones de litros) y p representa el precio en dólares por litro, entonces q/p medirá el cambio en la demanda (en billones de litros por año) para un cambio en el precio de un dólar por litro

27

Elasticidad• Las elasticidades miden el efecto

proporcional del cambio en una variable sobre otra

• La elasticidad de y con respecto a x es

y

x

x

y

y

x

x

y

xx

yy

e xy

,

28

Elasticidad y forma funcional• Suponga que

y = a + bx + otros términos

• En este caso,

bxa

xb

y

xb

y

x

x

ye xy ,

• ey,x no es constante

– es importante notar el punto en el cual la elasticidad va a ser computada

29

Elasticidad forma funcional

• Supongamos que

y = axb

• En este caso,

bax

xabx

y

x

x

ye

bb

xy

1,

30

Elasticidad y forma funcional

• Supongamos que

ln y = ln a + b ln x

• En este caso,

x

yb

y

x

x

ye xy ln

ln,

• Las elasticidades pueden calcularse a través de la diferenciación logarítmica

31

Derivada parcial de segundo-orden

• La derivada parcial de una derivada parcial se denomina derivada parcial de segundo-orden

ijijj

i fxx

f

x

xf

2)/(

32

Teorema de Young

• Bajo condiciones generales, no importa el orden en el cual se realiza la diferenciación parcial para evaluar las derivadas parciales de segundo orden

jiij ff

33

Uso de las parciales de segundo-orden

• Las parciales de segundo-orden juegan un papel importante en muchas teorías económicas

• Una de las más importantes es la parcial de segundo orden de la misma variable, fii

– muestra cómo la influencia marginal de xi sobre y (y/xi) cambia a medida que se incrementa xi

– un valor de fii < 0 indica rendimiento maginal decreciente

34

Diferencial total• Supongamos que y = f(x1,x2,…,xn)

• Si todas las x’s varían en una pequeña cantidad, el efecto total sobre y será

n

n

dxx

fdx

x

fdx

x

fdy

...2

2

1

1

nndxfdxfdxfdy ...2211

35

Condición de primer orden para un máximo (o mínimo)

• Una condición necesaria para un máximo (o mínimo) de la función f(x1,x2,…,xn) es que dy = 0 para cualquier combinación de cambios pequeños en las x’s

• La única forma de que esto sea cierto es si

0...21 nfff

• Un punto en el que esta condición se verifica se denomina punto crítico

36

Encontrar un máximo• Supongamos que y es una función de x1 y x2

y = - (x1 - 1)2 - (x2 - 2)2 + 10

y = - x12 + 2x1 - x2

2 + 4x2 + 5

• Condiciones de primer orden implican que

042

022

2

2

1

1

xx

y

xx

y

O2

1

2

1

*

*

x

x

37

Frontera de posibilidades de producción

• Ejemplo anterior: 2x2 + y2 = 225

• Puede re-escribirse: f(x,y) = 2x2 + y2 - 225 = 0

• Dado que fx = 4x y fy = 2y, la disyuntiva de coste de oportunidad entre x e y es

y

x

y

x

f

f

dx

dy

y

x 2

2

4

38

Teorema de la función implícita

• No siempre será posible resulver funciones implícitas de la forma g(x,y)=0 para funciones explícitas de la forma y = f(x)– los matemáticos han derivado las condiciones

necesarias– en muchas aplicaciones económicas, estas

condiciones son las mismas que las condiciones de segundo orden para un máximo (o mínimo)

39

El teorema de la envolvente

• El teorema de la envolvente considera cómo el valor óptimo de una función en particular cambia cuando un parámetro de esa función cambia

• La forma más simple de verlo es mediante un ejemplo

40

El teorema de la envolvente

• Supongamos que y es una función de x

y = -x2 + ax

• Para valores diferentes de a, esta función representa una familia de parábolas invertidas

• Si a a asignamos un valor específico, entonces y es una función de x solamente y el valor de x que maximiza y puede calcularse

41

El teorema de la envolvente

Valor de a Valor de x* Valor de y* 0 0 0 1 1/2 1/4 2 1 1 3 3/2 9/4 4 2 4 5 5/2 25/4 6 3 9

Valores óptimos de x e y para valores alternativos de a

42

El teorema de la envolvente

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 1 2 3 4 5 6 7a

y*A medida que a aumenta,el valor máximo defor y (y*) se incrementa

La relación entre a e yes cuadrática

43

El teorema de la envolvente• Supongamos que estamos interesados en

cómo y* cambia a medida que a cambia

• Hay dos formas de hacer esto– calculamos la pendiente de y directamente– mantenemos x constante en su valor óptimo y

calculamos y/a directamente

44

El teorema de la envolvente• Para calcular la pendiente de la función,

debemos resolver para el valor óptimo de x para cualquier valor de a

dy/dx = -2x + a = 0

x* = a/2

• Sustituyendo, obtenemos

y* = -(x*)2 + a(x*) = -(a/2)2 + a(a/2)

y* = -a2/4 + a2/2 = a2/4

45

El teorema de la envolvente• Por lo tanto,

dy*/da = 2a/4 = a/2 = x*

• Pero, podemos ahorrar tiempo utilizando el teorema de la envolvente– Para cambios pequeños en a, dy*/da puede ser

computado manteniendo x en x* y calculando y/ a directamente de y

46

El teorema de la envolvente

y/ a = x

• Manteniendo x = x*

y/ a = x* = a/2

• Es el mismo resultado obtenido anteriormente

47

El teorema de la envolvente• El teorema de la envolvente afirma que el cambio

en el valor óptimo de una función con respecto a un parámetro de la función puede ser encontrado diferenciando parcialmente la función objectivo mientras se mantiene constante x (o varias x’s) en este valor óptimo

)}(*{*

axxa

y

da

dy

48

El teorema de la envolvente• El teorema de la envolvente puede extenderse al

caso donde y es una función de varias variablesy = f(x1,…xn,a)

• Encontrar un valor óptimo para y consistiría en resolver n ecuaciones de primer orden

y/xi = 0 (i = 1,…,n)

49

El teorema de la envolvente• Valores óptimos para estas x’s se determinarían

como una función de a

x1* = x1*(a)

x2* = x2*(a)

xn*= xn*(a)

.

.

.

50

El teorema de la envolvente• Sustituyendo en la función objectivo original

resulta en una expresión para el valor óptimo de y (y*)

y* = f [x1*(a), x2*(a),…,xn*(a),a]

• Diferenciando resulta

a

f

da

dx

x

f

da

dx

x

f

da

dx

x

f

da

dy n

n

...* 2

2

1

1

51

El teorema de la envolvente• Debido a las condiciones de primer orden, todos

los términos excepto f/a son iguales a cero si las x’s están en sus valores óptimos

• Por lo tanto,

)}(*{*

axxa

f

da

dy

52

Maximización restringida• ¿Qué ocurre si no son posibles todos los valores de

las x’s?– puede ser que todos los valores de x tengan que ser

positivos

– las elecciones de los consumidores están limitadas por la cantidad de poder adquisitivo disponible

• Un método para resolver problemas de maximización restringidas es el método del multiplicador Lagrangiano

53

Método del multiplicador Lagrangiano

• Supongamos que queremos encontrar los valores de x1, x2,…, xn que maximizan

y = f(x1, x2,…, xn)

sujeta a una restricción que permite utilizar sólo ciertos valores de las x’s

g(x1, x2,…, xn) = 0

54

Método del multiplicador Lagrangiano

• El método del multiplicador Lagrangiano comienza con la siguiente expresión

L = f(x1, x2,…, xn ) + g(x1, x2,…, xn)

donde es una variable adicional denominada multiplicador de Lagrange

• Cuando la restricción se mantiene, L = f porque g(x1, x2,…, xn) = 0

55

Método del multiplicador Lagrangiano

• Condiciones de primer orden

L/x1 = f1 + g1 = 0

L/x2 = f2 + g2 = 0

.

L/xn = fn + gn = 0

.

.

L/ = g(x1, x2,…, xn) = 0

56

Método del multiplicador Lagrangiano

• Generalmente las condiciones de primer orden pueden resolverse para x1, x2,…, xn y

• La solución tendrá dos propiedades:– las x’s cumplirán con la restricción– estas x’s harán del valor de L (y por lo tanto de

f) tan grande como sea posible

57

Método del multiplicador Lagrangiano

• El multiplicador Lagrangiano () tiene una importante interpretación económica

• Las condiciones de primer orden implican que

f1/-g1 = f2/-g2 =…= fn/-gn = – los numeradores miden el beneficio marginal que una

unidad más de xi tendrán para la función f

– los denominadores reflejan la carga agregada sobre la restricción de utilizar más xi

58

Método del multiplicador Lagrangiano

• En las elecciones óptimas para las x’s, el ratio del beneficio marginal de incrementar xi y el coste marginal de incrementar xi sería el mismo para cada x

es el ratio común de coste-beneficio para todas las x’s

i

i

x

x

de marginal coste

de marginal beneficio

59

Método del multiplicador Lagrangiano

• Si se relajase la restricción en una pequeña cantidad, no importaría que x está cambiando

• El multiplicador Lagrangiano provee una medida de cómo la relajación dela restricción afectaría el valor de y

provee un “precio sombra” para la restricción

60

Método del multiplicador Lagrangiano

• Un valor alto de indica que y puede incrementarse sustancialmente relajando la restricción– cada x tiene un alto ratio coste-benecio

• Un valor bajo de indica que no hay mucho que ganar al relajar la restricción

=0 implica que la restricción no es vinculante (cambiando la restricción no cambia la solución óptima)

61

Dualidad

• Cualquier problema de maximización restringida está vinculado con un problema dual de minimización restringida que enfoca la atención sobre las restricciones del problema original

62

Dualidad• Individuos que maximizan su utilidad sujeta a una

restricción presupuestaria– problema dual: los individuos minimizan el gasto

necesario para lograr un nivel dado de utilidad

• Las firmas minimizan el coste de los insunmos para producir un nivel dado de producto– problema dual: las firmas maximizan el producto para

costes de insumos adquiridos

63

Maximización restringida• Supongamos que un agricultor tiene cierta

extensión de valla (P) y desea encerrar la forma rectangular más grande posible

• Denotemos x como la extensión de un lado

• Denotemos y como la extensión del otro lado

• Problema: escoger x e y tal que se maximiza el área (A = x·y) sujeta a la restricción de que el perímetro es fijo en P = 2x + 2y

64

Maximización restringida• Configurando el multiplicador Lagrangiano

L = x·y + (P - 2x - 2y)

• Las condiciones de primer orden para un máximo son

L/x = y - 2 = 0

L/y = x - 2 = 0

L/ = P - 2x - 2y = 0

65

Maximización restringida• Dado que y/2 = x/2 = , x debe ser igual a y

– el campo sería cuadrado

– x e y serían escogidos tal que el ratio de beneficios marginales y costes marginales serían iguales

• Dado que x = y e y = 2, podemos utilizar la restricción para mostrar que

x = y = P/4

= P/8

66

Maximización restringida• Interpretación del multiplicador de Lagrange

– si el agricultor estuviese interesado en conocer qué campo adicional puede tener valla agregando un metro adicional de valla, sugiere que puede saberlo dividiendo el perímetro presente (P) por 8

– por lo tanto, el multiplicador Lagrangiano provee información acerca del valor implícito de la restricción

67

Maximización restringida• Problema dual: escoger x e y para minimizar la

cantidad de valla requirida para rodear el campo

minimizar P = 2x + 2y sujeta a A = x·y

• Configurando el Lagrangiano:

LD = 2x + 2y + D(A - xy)

68

Maximización restringida• Conditiones de primer orden:

LD/x = 2 - D·y = 0

LD/y = 2 - D·x = 0

LD/D = A - x·y = 0

• Resolviendo, tenemos

x = y = A1/2

• El multiplicador Lagrangiano (D) = 2A-1/2

69

Teorema de la envolvente & maximización restringida

• Supongamos que queremos maximizar

y = f(x1,…,xn;a)

sujeta a la restricción

g(x1,…,xn;a) = 0

• Una forma de resolver sería fijando la expresión para el Lagrangiano y resolver las condiciones de primer orden

70

Teorema de la envolvente & Maximización restringida

• Alternativamente, puede demostrarse que

dy*/da = L/a(x1*,…,xn*;a)

• El cambio en el valor máximo de y que resulta cuando a cambia puede encontrarse diferenciando parcialmente L y evaluando la derivada parcial en el punto óptimo

71

Restricciones con desigualdad

• En algunos problemas económicos no necesitamos que las restricciones se cumplan exactamente

• Por ejemplo, supongamos que buscamos maximizar y = f(x1,x2) sujeta a

g(x1,x2) 0,

x1 0, and

x2 0

72

Restricciones con desigualdad

• Una forma de resolver este problema es introduciendo tres nuevas variables (a, b, y c) que convierte las desigualdades en igualdades

• Para asegurar que se cumplen las desigualdades, elevamos al cuadrado estas nuevas variables para asegurar que sus valores son positivos

73

Restricciones con desigualdad

g(x1,x2) - a2 = 0;

x1 - b2 = 0; and

x2 - c2 = 0

• Cualquier solución que obedece estas tres restricciones de igualdad también cumplirán con las restricciones de desigualdad

74

Restricciones de desigualdad• Podemos establecer el siguente

Lagrangiano

L = f(x1,x2) + 1[g(x1,x2) - a2] + 2[x1 - b2] + 3[x2 -

c2]

• Con lo cual obtendremos ocho condiciones de primer orden

75

Restricciones de desigualdad

L/x1 = f1 + 1g1 + 2 = 0

L/x2 = f1 + 1g2 + 3 = 0

L/a = -2a1 = 0

L/b = -2b2 = 0

L/c = -2c3 = 0

L/1 = g(x1,x2) - a2 = 0

L/2 = x1 - b2 = 0

L/3 = x2 - c2 = 0

76

Restricciones de desigualdad• De acuerdo con la tercera condición, ya sea a o 1 =

0– si a = 0, la restricción g(x1,x2) se cumple exactamente

– si 1 = 0, la disponibilidad de alguna holgura de la restricción implica que su valor para la función objetivo es 0

• Similares relaciones de complementariedad de holguras (formadas por el conjunto de las restricciones de menor o igual multiplicadas por su correspondiente ) también se cumplen para x1 y x2

77

Restricciones de desigualdad

• A estos resultados se los conoce como las condiciones de Kuhn-Tucker– muestran que las soluciones para problemas de

optimización que involucran a restricciones con desigualdades diferirán de problemas similares que involucran restricciones con igualdades

– no podemos equivocarnos trabajando principalmente con restricciones con igualdades, hay que considerar las desigualdades

78

Condiciones de segundo orden – funciones de una variable

• Denotemos y = f(x)

• Una condición necesaria para un máximo es que

dy/dx = f ’(x) = 0

• Para asegurar que el punto es un máximo, y debe ser decreciente para los movimientos fuera de él

79

Condiciones de segundo orden- funciones de una variable

• La diferencial total mide el cambio en y

dy = f ’(x) dx

• Para estar en un máximo, dy debe ser decreciente para incrementos pequeños en x

• Para ver los cambios en dy, debemos utilizar la segunda derivada de y

80

Condiciones de segundo orden – funciones de una variable

• Notemos que d 2y < 0 implica que f ’’(x)dx2 < 0

• Dado que dx2 debe ser positivo, f ’’(x) < 0

• Esto significa que la función f debe tener una forma cócava en el punto crítico

22 )(")("])('[

dxxfdxdxxfdxdx

dxxfdyd

81

Condiciones de segundo orden – funciones de dos variables

• Supongamos que y = f(x1, x2)

• Las condiciones de primer orden para un máximo son

y/x1 = f1 = 0

y/x2 = f2 = 0

• Para asegurar que el punto es un máximo, y debe disminuir para movimientos en cualquier dirección fuera del punto crítico

82

Condiciones de segundo orden – funciones de dos variables

• La pendiente en la dirección x1 (f1) debe ser decreciente en el punto crítico

• La pendiente en la dirección x2 (f2) debe ser decreciente en el punto crítico

• Pero, se deben establecer condiciones sobre las derivadas parciales cruzadas (f12 = f21) para asegurar que dy es decreciente para todos los movimientos a través del punto crítico

83

Condiciones de segundo orden – funciones de dos variables

• La diferencial total de y está dado por

dy = f1 dx1 + f2 dx2

• La diferencial de esta función es

d 2y = (f11dx1 + f12dx2)dx1 + (f21dx1 + f22dx2)dx2

d 2y = f11dx12 + f12dx2dx1 + f21dx1 dx2 + f22dx2

2

• Por el teorema de Young, f12 = f21 y

d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx2

2

84

Condiciones de segundo orden- funciones de dos variables

d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx2

2

• Para que esta ecuación sea indefectiblemente negativa para cualquier cambio en las x’s, f11 y f22 deben ser negativas

• Si dx2 = 0, entonces d 2y = f11 dx12

– para d 2y < 0, f11 < 0

• Si dx1 = 0, entonces d 2y = f22 dx22

– para d 2y < 0, f22 < 0

85

Condiciones de segundo orden – funciones de dos variables

d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx2

2

• Si ni dx1 o dx2 son cero, entonces d 2y será sin

ambigüedad negativo sólo si

f11 f22 - f122 > 0

– las derivadas parciales de segundo orden (f11 y f22)

deben ser suficientemente negativas tal que compensan cualquier tipo de efectos contratio de las derivadas parciales cruzadas (f12 = f21)

86

Maximización restringida

• Supongamos que queremos escoger x1 y x2 para maximizar

y = f(x1, x2)

• Sujeta a la restricción linearc - b1x1 - b2x2 = 0

• Podemos establecer el Lagrangiano

L = f(x1, x2) + (c - b1x1 - b2x2)

87

Maximización restringida

• Las condiciones de primer orden son

f1 - b1 = 0

f2 - b2 = 0

c - b1x1 - b2x2 = 0

• Para asegurar que tenemos un máximo, debemos usar la diferencial total de “segundo” orden

d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx2

2

88

Maximización restringida• Sólo los valores de x1 y x2 que satisfacen la

restricción pueden ser consideradas como alternativas válidas para el punto crítico

• Por ello, debemos calcular la diferencial total de la restricción

-b1 dx1 - b2 dx2 = 0

dx2 = -(b1/b2)dx1

• Estos son los cambios relativos permitidos en x1 y x2

89

Maximización restringida• Debido a las condiciones de primer orden que

implican que f1/f2 = b1/b2, podemos sustituir y obtener

dx2 = -(f1/f2) dx1

• Dado

d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx2

2

podemos sustituir dx2 y tenemos

d 2y = f11dx12 - 2f12(f1/f2)dx1

2 + f22(f12/f2

2)dx12

90

Maximización restringida• Combinando términos y reordenando

d 2y = f11 f22

- 2f12f1f2 + f22f12 [dx1

2/ f22]

• Por lo tanto, para d 2y < 0, debe ser cierto que

f11 f22

- 2f12f1f2 + f22f12 < 0

• Esta ecuación caracteriza un conjunto de funciones denominadas funciones cuasi-cóncavas– cualquier par de puntos dentro del conjunto puede formar

una línea introducida completamente en el conjunto

91

Funciones cóncavas y cuasi-cóncavas

• Las diferencias entre las funciones cóncavas y cuasi-cóncavas pueden ilustrarse con la función

y = f(x1,x2) = (x1x2)k

donde las x’s pueden tomar solamente valores positivos y k puede tomar una variedad de valores positivos

92

Funciones cóncavas y cuasi-cóncavas

• No importa que valores toma k, esta función es cuasi-cóncava

• Si la función es cóncava o no depende del valor de k– si k < 0.5, la función es cóncava– si k > 0.5, la función es convexa

93

Funciones homogéneas• Una función f(x1,x2,…xn) es homogénea de

grado k si

f(tx1,tx2,…txn) = tk f(x1,x2,…xn)

– cuando una función es homogénea de grado uno, duplicando todos los argumentos duplica el valor de la función

– cuando una función es homogéna de grado cero, duplicando todos los argumentos deja la función sin cambios

94

Funciones homogéneas

• Si una función es homogénea de grado k, las derivadas parciales de la función será homogénea de grado k-1

95

Teorema de Euler

• Si diferenciamos la definición de homogeneidad con respecto a la proporcionalidad del factor t, obtenemos

ktk-1f(x1,…,xn) x1f1(tx1,…,txn) + … + xnfn(x1,…,xn)

• Esta relación se denomina teorema de Euler

96

Teorema de Euler

• El teorema de Euler muestra que, para funciones homogéneas, hay una relación definida entre los valores de la función y los valores de sus derivadas parciales

97

Funciones homotéticas

• Una función homotética es una que se forma tomando una transformación monotónica de una función homogénea– no tienen las propiedades de homogeneidad de

sus funciones subyacentes

98

Funciones homotéticas

• Tanto para funciones homogéneas como para las homotéticas, las disyuntivas implícitas entre las variables en la función dependen solamente de los ratios de aquellas variables, no de sus valores absolutos

99

Funciones homotéticas• Supongamos que examinamos la función implícita

de dos variables f(x,y) = 0• La disyuntiva implícita entre x e y para una

función de dos variables

dy/dx = -fx/fy

• Si asumimos que f es homogénea de grado k, sus derivadas parciales serán homogéneas de grado k-1

100

Funciones homotéticas• La disyuntiva implícita entre x e y es

),(

),(

),(

),(1

1

tytxf

tytxf

tytxft

tytxft

dx

dy

y

x

yk

xk

• Si t = 1/y,

1,

1,

1,'

1,'

yx

f

yx

f

yx

fF

yx

fF

dx

dy

y

x

y

x

101

Funciones homotéticas

• La disyuntiva no está afectada por la transformación monotónica y permanece una función solamente del ratio x e y

102

Puntos importantes a considerar:

• Utilizando matemáticas tenemos una forma conveniente para que los economistas desarrollen sus modelos– las implicaciones de varios supuestos

económicos pueden estudiarse a través de herramientas matemáticas

103

Puntos importantes a considerar:

• Las derivadas se usan a menudo en economía porque los economistas están interesados en cómo los cambios marginales en una variable afectan a otras– las derivadas parciales incorporan el supuesto

ceteris paribus utilizando en muchos modelos económicos

104

Puntos importantes a considerar:

• Las matemáticas para optimización es una herramienta importante para el desarrollo de modelos que asumen que los agentes económicos racionalmente persiguen algunas metas– las condiciones de primer orden requieren

todas las derivadas parciales sean cero

105

Puntos importantes a considerar:

• La mayoría de los problemas de optimización económica involucran restricciones en las elecciones que los agentes pueden realizar– las condiciones de primer orden para un

máximo sugieren que cada actividad puede operar a un nivel en el cual el beneficio marginal de la actividad es igual a su coste marginal

106

Puntos importantes a considerar:

• El multiplicador Lagrangiano se emplea para ayudar a resolver problemas de maximization– el multiplicador Lagrangiano puede ser

interpretado como el valor implícito (precio sombra) de la restricción

107

Puntos importantes a considerar:

• El teorema de la función implícita ilustra la dependencia de las elecciones que resultan de un problema de optimización sobre los parámetros del problema

108

Puntos importantes a considerar:

• El teorema de la envolvente examina cómo las elecciones óptimas cambiarán a medida que cambia el parámetro del problema

• Algunos problemas de optimización pueden involucrar restricciones que son desigualdades antes que igualdades

109

Puntos importantes a considerar:

• Condiciones de primer orden son necesarias pero no suficientes para asegurar un máximo o un mínimo– las condiciones de segundo orden que

describen la curvatura de una función deben revisarse

110

Puntos importantes a considerar:

• Ciertos tipos de funciones ocurren en muchos problemas económicos– funciones cuasi-cóncavas obedecen las condiciones

de segundo orden de problemas de máximo o mínimo restringido donde las restricciones son lineales

– las funciones homotéticas tienen la propiedad de que las disyuntivas implícitas entre las variables dependen solamente de los ratios de estas variables