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UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE INGENIERÍA DOCTORADO EN CIENCIAS APLICADAS
Modelo Simplificado para la Evaluación del Daño en
Muros Estructurales Bajos de Concreto Armado
Sujetos a Cargas Laterales
Tesis presentada en cumplimiento parcial de los requisitos para la obtención del título de
Doctor en Ciencias Aplicadas
Candidato: Ingº Edward D. Thomson B.
Tutor: Prof. Julio Flórez López
Mérida, Venezuela
Junio de 2003
2
AGRADECIMIENTOS
Al profesor Julio Flórez López por haberme estimulado y ofrecido su guía
continuamente en el transcurso del desarrollo de este trabajo.
Los profesores Pether Inglessis, Mónica Puglisi y Ricardo Picón por su ayuda
prestada y su apoyo permanente.
A mi esposa e hijos quienes tuvieron paciencia conmigo.
A los técnicos del Laboratorio de Materiales y Ensayos, Eli Saúl, Oneide, Rafael,
por su valiosa colaboración en la construcción de los especimenes y en el posterior
ensayo de ellos.
En general, a todos los que de una forma u otra contribuyeron a la culminación de
este trabajo.
3
CONTENIDO
1. Introducción________________________________________________ 11
1.1 ANTECEDENTES ______________________________________________ 14
1.2 OBJETIVOS ___________________________________________________ 14
2. REVISION BIBLIOGRAFICA_________________________________ 15
2.1 Mecanismos de resistencia al corte. ________________________________ 15
2.2 Estado actual del conocimiento en relación a la predicción de la resistencia
de muros estructurales a cargas laterales monotónicas.___________________________ 18
2.3 Estado del arte en el análisis no-lineal de muros estructurales sometidos a
cargas horizontales de carácter histerético._____________________________________ 22
3. Programa experimental _______________________________________ 25
3.1 Introducción ___________________________________________________ 25
3.2 Definición geométrica de los muros y sus características resistentes _____ 25
3.3 Descripción del sistema de cargas__________________________________ 27
3.4 Descripción del sistema de adquisición de datos ______________________ 28
3.5 Resultados experimentales________________________________________ 28
4. Modelo de daño por corte para acciones monotónicas ______________ 40
4.1 Introducción ___________________________________________________ 40
4.2 Desplazamientos generalizados ____________________________________ 41
4.3 Deformaciones generalizadas y esfuerzos generalizados de un miembro __ 41
4.4 Fuerzas internas generalizadas ____________________________________ 42
4.5 Fuerzas externas________________________________________________ 43
4.6 Ecuaciones de compatibilidad _____________________________________ 43
4.7 Ecuaciones de equilibrio _________________________________________ 45
4
4.8 Ley de comportamiento para el caso elástico_________________________ 46
4.9 Ley de comportamiento para modelos elasto-plásticos degradables ______ 47
4.10 Función de fluencia de un miembro dañado _________________________ 52
4.11 Identificación de la función de resistencia al agrietamiento_____________ 52
4.12 Cálculo de los parámetros del modelo ______________________________ 54
4.13 Significado físico de la variable de daño por corte ____________________ 57
5. Modelo de daño por corte para acciones histeréticas________________ 63
5.1 Ley de estado para un miembro sometido a cargas histeréticas _________ 63
5.2 Ley de evolución del daño ________________________________________ 65
5.3 Ley de evolución del daño con fatiga de bajo ciclaje___________________ 66
5.4 Ley de evolución de las deformaciones permanentes para el caso histerético
69
6. Implementación numérica del modelo histerético en ABAQUS _______ 76
6.1 Introducción ___________________________________________________ 76
6.2 Resolución numérica de una estructura de muros con daño por corte ____ 77
6.3 IMPLEMENTACIÓN DEL MODELO EN ABAQUS. ________________ 86
7. Simulaciones numéricas ______________________________________ 96
7.1 Introducción ___________________________________________________ 96
7.2 Ensayo del muro MC-04 _________________________________________ 96
7.3 Simulación de un muro ensayado por Paulay ________________________ 98
7.4 Simulación de un muro de tres niveles ensayado por Vulcano _________ 102
8. Conclusiones ______________________________________________ 106
9. RECOMENDACIONES _____________________________________ 108
10. REFERENCIAS ___________________________________________ 109
11. APÉNDICE A _____________________________________________ 113
11.1 Procedimiento para el cálculo de los parámetros del modelo __________ 113
5
11.2 Cálculo de los parámetros del modelo para el muro MC-01 ___________ 115
11.3 Cálculo de los parámetros del modelo para el muro MC-02 ___________ 116
6
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1 Tipos de muros estructurales ____________________________________ 12
Figura 1.2 Definición de variables geométricas ______________________________ 13
Figura 2.1 Falla por tracción diagonal ______________________________________ 16
Figura 2.2 Falla parcial por tracción diagonal ________________________________ 16
Figura 2.3 Falla por compresión diagonal ___________________________________ 17
Figura 2.4 Aplastamiento generalizado del concreto___________________________ 17
Figura 2.5 Falla por deslizamiento_________________________________________ 18
Figura 3.1 Vista del sistema de carga el los muros ____________________________ 27
Figura 3.2 Historia de desplazamientos impuestos para el muro MC-01 ___________ 28
Figura 3.3 Ensayo del Muro MC-01 _______________________________________ 29
Figura 3.4 Estado del muro MC-01 al fin del ensayo __________________________ 29
Figura 3.5 Historia de desplazamientos impuestos para el muro MC-02 ___________ 30
Figura 3.6 Ensayo del muro MC-02 _______________________________________ 30
Figura 3.7 Estado del muro MC-02 al final del ensayo _________________________ 31
Figura 3.8 Preparación del muro MC-03 ____________________________________ 32
Figura 3.9 Historia de desplazamientos para el muro MC-04 ____________________ 32
Figura 3.10 Ensayo del muro MC-04 ______________________________________ 33
Figura 3.11 Estado del muro MC-04 al final del ensayo ________________________ 33
Figura 3.12 Historia de desplazamientos para muros MC-05, MC-06 y MC-07 _____ 34
Figura 3.13 Ensayo del muro MC-05 ______________________________________ 35
Figura 3.14 Ensayo del muro MC-06 ______________________________________ 35
Figura 3.15 Ensayo del muro MC-07 ______________________________________ 35
Figura 3.16 Estado del muro MC-05 al final del ensayo ________________________ 36
Figura 3.17 Estado del muro MC-06 al final del ensayo ________________________ 36
Figura 3.18 Estado del muro MC-07 al final del ensayo ________________________ 37
Figura 3.19 Condición del refuerzo del muro MC-05 al final del ensayo ___________ 38
Figura 3.20 Barra fracturada en el muro MC-06 ______________________________ 38
Figura 3.21 Refuerzo horizontal fracturado en el muro MC-07 __________________ 39
7
Figura 4.1 Desplazamientos generalizados del nodo “i” ________________________ 41
Figura 4.2 Deformaciones generalizadas____________________________________ 42
Figura 4.3 Esfuerzos generalizados ________________________________________ 42
Figura 4.4 Fuerzas internas de un miembro__________________________________ 42
Figura 4.5 Fuerzas externas ______________________________________________ 43
Figura 4.6 Desplazamientos diferenciales del nodo “i”_________________________ 44
Figura 4.7 Ensayo del muro MC-01 _______________________________________ 53
Figura 4.8 Función de resistencia al agrietamiento ____________________________ 54
Figura 4.9 Simulación del ensayo del muro MC-01 ___________________________ 55
Figura 4.10 Simulación del ensayo del muro MC-02 __________________________ 56
Figura 4.11 Muro MC-01 ∆=4 mm ds = 0,16 ______________________________ 57
Figura 4.12 Muro MC-01 ∆=6 mm ds = 0,31 ______________________________ 58
Figura 4.13 Muro MC-01 ∆=8 mm ds = 0,47 ______________________________ 58
Figura 4.14 Muro MC-01 ∆=10 mm ds = 0,59 _____________________________ 59
Figura 4.15 Muro MC-02 ∆=6 mm ds = 0,17 ______________________________ 59
Figura 4.16 Muro MC-02 ∆=8 mm ds = 0,27 ______________________________ 60
Figura 4.17 Muro MC-02 ∆=10 mm ds = 0,36 _____________________________ 60
Figura 4.18 Muro MC-02 ∆=14 mm ds = 0,51 _____________________________ 61
Figura 4.19 Muro MC-02 ∆=16 mm ds = 0,57 _____________________________ 61
Figura 4.20 Muro MC-02 ∆=18 mm ds = 0,63 _____________________________ 62
Figura 4.21 MC-02 ∆=20 mm ds = 0,67 __________________________________ 62
Figura 5.1 Significado físico de las variables de daño__________________________ 64
Figura 5.2 Superposición de ensayos MC-05, MC-06 y MC-07 __________________ 70
Figura 5.3 Fricción de Coulomb __________________________________________ 71
Figura 5.4 Interacción entre funciones de fluencia ____________________________ 75
Figura 5.5 Efecto del parámetro γ sobre los lazos histeréticos ___________________ 75
Figura 6.1 Flujograma general____________________________________________ 87
Figura 6.2 Flujograma UEL______________________________________________ 87
Figura 6.3 Flujograma SUPERDEG _______________________________________ 89
Figura 6.4 Flujograma DEFTOT __________________________________________ 90
8
Figura 6.5 Flujograma DEG _____________________________________________ 92
Figura 6.6 Flujograma RESIDUAL________________________________________ 93
Figura 6.7 Flujograma RESIDU __________________________________________ 94
Figura 6.8 Flujograma CAL_JACOB ______________________________________ 95
Figura 7.1 Ensayo del muro MC-04 _______________________________________ 97
Figura 7.2 Simulación del ensayo del muro MC-04 ___________________________ 98
Figura 7.3 Espécimen Wall 1 de Paulay ____________________________________ 99
Figura 7.4 Ensayo del espécimen Wall 1 de Paulay __________________________ 101
Figura 7.5 Simulación del ensayo del espécimen Wall 1 de Paulay ______________ 101
Figura 7.6 Sección transversal Specimen 6 de Vulcano _______________________ 103
Figura 7.7 Proyección vertical del Specimen 6 de Vulcano ____________________ 103
Figura 7.8 Ensayo del Specimen 6 de Vulcano ______________________________ 104
Figura 7.9 Simulación del Specimen 6 de Vulcano___________________________ 105
9
LISTA DE TABLAS
Tabla 3.1 Dimensiones de los muros _______________________________________ 26
Tabla 3.2 Características del refuerzo en muros ______________________________ 27
Tabla 4.1 Características resistentes de los muros MC-01 y MC-02_______________ 57
Tabla 4.2 Parámetros del modelo para los muros MC-01 y MC-02 _______________ 57
Tabla 7.1 Características resistentes del muro MC-04 _________________________ 96
Tabla 7.2 Parámetros del modelo para el muro MC-04_________________________ 97
Tabla 7.3 Características de los especimenes de Paulay _______________________ 100
Tabla 7.4 Características resistentes del muro Wall 1 de Paulay ________________ 100
Tabla 7.5 Parámetros del modelo para el muro Wall 1 de Paulay________________ 100
Tabla 7.6 Propiedades resistentes del Specimen 6 de Vulcano __________________ 103
Tabla 7.7 Parámetros del modelo para el Specimen 6 de Vulcano _______________ 104
Tabla 11.1 Características resistentes del muro MC-01 _______________________ 116
Tabla 11.2 Parámetros del modelo para el muro MC-01_______________________ 116
Tabla 11.3 Características resistentes del muro MC-02 _______________________ 117
Tabla 11.4 Parámetros del modelo para el muro MC-02_______________________ 117
10
RESUMEN
En este trabajo se presenta el desarrollo de un nuevo modelo simplificado de daño
por corte que toma en cuenta la reducción de rigidez y resistencia debida al agrietamiento
diagonal y las deformaciones permanentes que ocurren debido a la fluencia del refuerzo y
al deslizamiento por corte a través de las grietas. El modelo está basado en los principios
de la mecánica de la fractura y la mecánica del daño en medios continuos.
En el capítulo 1 se introduce el tema de muros de cortante y sus modos de falla.
En el capítulo 2 se revisa la literatura disponible sobre el análisis no lineal de muros
de corte de concreto armado.
En el capítulo 3 se presenta el programa experimental desarrollado con el fin de
calibrar el modelo de daño propuesto.
En el capítulo 4 se desarrollan las expresiones del modelo para cargas monotónicas.
Se propone una función de fluencia y una función de daño basada en el criterio de
Griffith. Se explica la identificación de la función de resistencia al agrietamiento
necesaria para la aplicación del criterio de Griffith. Se presenta la simulación numérica
de dos muros ensayados bajo carga monotónica.
En el capítulo 5 se desarrollan las expresiones del modelo para cargas histeréticas.
Se generaliza la función de fluencia para incluir efectos de endurecimiento isótropo y se
agrega una función de deslizamiento por corte para tomar en cuenta el estrangulamiento
de los lazos histeréticos. Se supone comportamiento unilateral para generalizar la
función de daño para cargas histeréticas.
En el capítulo 6 se explica la implementación del modelo en un programa de
elementos finitos comercial (ABAQUS, 2001), como un elemento de usuario.
En el capítulo 7 se realizan varias simulaciones numéricas de ensayos
experimentales.
En el capítulo 8 se presentan las conclusiones y en el capítulo 9 las
recomendaciones.
11
1. INTRODUCCIÓN
Los muros estructurales de concreto armado comprenden todos aquellos elementos
verticales de una estructura cuyas secciones transversales son de forma alargada, es decir,
su largo es mucho mayor que su espesor. En la Figura 1.1 se muestran diferentes tipos de
muros estructurales que se diferencian tanto por su sección transversal como por su forma
en elevación.
Los muros estructurales son muy usados para dar a las estructuras resistencia ante
cargas laterales provenientes de sismos, viento, etc. Tienen la ventaja de poseer una alta
rigidez y elevada resistencia a dichas cargas siempre que estén aplicadas dentro de su
plano.
12
Alzado Sección Alzado Sección
concreto
huecos
hueco
Alzado Sección Alzado Sección
concreto
huecos
hueco
Figura 1.1 Tipos de muros estructurales
De acuerdo a su comportamiento, pueden clasificarse en:
Muros de corte: las deflexiones y la resistencia son controladas por esfuerzos
cortantes.
Muros de corte y flexión: las deflexiones y la resistencia son controladas por
esfuerzos de flexión.
Muros dúctiles: poseen buenas características de disipación de energía bajo cargas
reversibles.
Una característica importante de los muros estructurales es el cociente H/Lw (H:
altura del muro, Lw: largo del muro, ver Figura 1.2). Se ha determinado de manera
aproximada que para H/Lw>2 las deflexiones están dominadas por los efectos de flexión,
mientras que para H/Lw<1,5 las deflexiones están dominadas por los efectos de corte.
13
Lw
H
tV
Lw
H
tV
Figura 1.2 Definición de variables geométricas
El presente trabajo se limita al estudio de muros estructurales de pequeña altura
(“low-rise shearwalls” o “squat shearwalls” en inglés) con H/Lw<1,5 , cuyo
comportamiento está dominado por corte. Debido a esto la ductilidad que se puede lograr
en estos muros es muy limitada. La razón es que los mecanismos de resistencia al corte
en elementos de concreto armado son muy frágiles y no permiten desarrollar una
ductilidad muy grande en comparación con los mecanismos de resistencia a flexión, que
por naturaleza son muy dúctiles.
14
1.1 ANTECEDENTES
Desde el año 1991 se ha venido desarrollando en la Universidad de Los Andes un
modelo simplificado de daño para miembros de concreto armado (ver Referencias:
Flórez-López, J. 1993a , 1993b, 1995; Cipollina, A. 1992; Puglisi, M. 1994; Thomson,
E. 1996, Thomson, et al, 1998). A través del tiempo se ha ido refinando dicho modelo
hasta incluir en el estado actual varios efectos como: plasticidad y daño bajo cargas
monotónicas e histeréticas, daño por fatiga de bajo ciclaje, secciones asimétricas y el
efecto de la carga axial. Dicho modelo aunque bastante refinado requiere de mejoras, ya
que solamente es capaz de describir adecuadamente el comportamiento de algunos
miembros de concreto armado, en los cuales los esfuerzos producidos por flexión son los
que controlan el comportamiento no-lineal.
1.2 OBJETIVOS
En algunos miembros de concreto armado, principalmente en muros estructurales,
sucede que el comportamiento no-lineal es controlado por la magnitud de los esfuerzos
de corte antes que por los esfuerzos debidos a flexión. De allí que en el presente proyecto
se desarrolla un modelo capaz de modelar miembros dominados por corte, siguiendo los
lineamientos generales de la mecánica de la degradación.
Una vez desarrollado y refinado dicho modelo, se demuestra la posibilidad de
integrar este modelo con el desarrollado anteriormente para miembros dominados por
efectos de flexión.
Como culminación, se demuestra la aplicabilidad práctica de la utilización de estos
modelos para la evaluación de estructuras existentes bajo sismos reales, así como la
posibilidad de evaluar diseños de edificaciones nuevas con el fin de predecir su
comportamiento durante un sismo y poder mejorar el diseño de tal forma que el daño
durante un movimiento sísmico pueda ser controlado adecuadamente para evitar un
colapso catastrófico de la estructura.
15
2. REVISION BIBLIOGRAFICA
2.1 Mecanismos de resistencia al corte.
Paulay, et.al. (1982) describen los mecanismos de resistencia a corte presentes en
muros de poca altura, los cuales se mencionan a continuación.
2.1.1 Fallas por tracción diagonal.
Cuando el refuerzo horizontal por corte es insuficiente, puede desarrollarse un
plano de falla diagonal como se muestra en la Figura 2.1. Este modo de falla está
controlado casi exclusivamente por la resistencia del refuerzo horizontal en el muro. Una
falla por tracción diagonal también puede desarrollarse a lo largo de un plano de falla
más inclinado (Figura 2.2). Si existe la posibilidad de transferencia de cortante por la
porción restante del muro, tal grieta diagonal no necesariamente conduce a la falla. La
prevención de la falla por tracción diagonal en muros estructurales resistentes a sismos
debe lograrse por medio del diseño de suficiente refuerzo horizontal capaz de transferir
un cortante sustancialmente mayor al que produce la fluencia del acero vertical por
flexión.
16
Figura 2.1 Falla por tracción diagonal
Figura 2.2 Falla parcial por tracción diagonal
2.1.2 Fallas por compresión diagonal.
Cuando el esfuerzo cortante promedio en el muro es grande y existe adecuado
refuerzo horizontal, el concreto puede aplastarse bajo compresión diagonal como se
muestra en la Figura 2.3.
Cuando se aplica carga cíclica reversible de tal forma que dos conjuntos de
agrietamientos diagonales se han desarrollado (Figura 2.4), la falla por compresión
diagonal puede ocurrir a un nivel de cortante mucho menor. Las grietas diagonales que
se intersectan, y que se abren y cierran de manera cíclica con la carga, reducen
considerablemente la resistencia a compresión del concreto. A menudo el aplastamiento
del concreto se extiende rápidamente a lo largo del muro (Figura 2.4). La falla por
compresión diagonal resulta en una dramática e irrecuperable pérdida de resistencia. Por
lo tanto, la falla por compresión diagonal es muy indeseable en muros que deberían
responder de una manera dúctil. La limitación del máximo esfuerzo cortante que ocurre
17
en el momento de alcanzarse la máxima resistencia a flexión permite verificar que una
falla por compresión diagonal no impida el desarrollo de un comportamiento dúctil.
Figura 2.3 Falla por compresión diagonal
Figura 2.4 Aplastamiento generalizado del concreto
2.1.3 Fallas por deslizamiento a lo largo de un plano horizontal.
Las fallas por tracción diagonal y por compresión diagonal pueden prevenirse
mediante la colocación de suficiente refuerzo horizontal y la limitación del esfuerzo
cortante nominal en el muro, como se ha descrito antes. Luego, se esperaría que las
deformaciones inelásticas requeridas para disipación de energía podrían desarrollarse
principalmente en la deformación post-fluencia del acero vertical por flexión. Sin
embargo, después de varios ciclos de carga reversible que produzcan fluencia apreciable
en el refuerzo vertical, puede ocurrir deslizamiento a lo largo de grietas de flexión que se
interconectan y forman un plano aproximadamente horizontal (Figura 2.5). Tales
desplazamientos son responsables de una reducción significativa de rigidez,
particularmente para valores pequeños de la carga horizontal, y consecuentemente, una
reducción de la disipación de energía.
18
Figura 2.5 Falla por deslizamiento
2.2 Estado actual del conocimiento en relación a la predicción de
la resistencia de muros estructurales a cargas laterales
monotónicas.
La resistencia de muros estructurales a cargas laterales es función de diversos
parámetros. A continuación se transcriben las ecuaciones que describen la resistencia
lateral de estos muros en función del tipo de falla que se pueda producir.
2.2.1 Resistencia lateral asociada a la resistencia a flexión (Vnf).
La resistencia a flexión de un muro se puede determinar aplicando la teoría
convencional de columnas de concreto armado, con las hipótesis comúnmente aceptadas.
Como es bien sabido, esta resistencia es principalmente función de la cuantía de refuerzo
vertical en el muro. Para el caso particular de muros con refuerzo vertical uniforme,
Cárdenas, et al (1973) propusieron la siguiente ecuación:
0,5 1 1nn s y w
s y w
N cM A f LA f L
⎛ ⎞⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
Ecuación 2.1
donde,
: es el área total de acero de refuerzo vertical en el muro: es el esfuerzo de fluencia del refuerzo vertical
: longitud del muro (ver Fig. 1.2): carga axial que actúa simultáneamente en la
s
y
w
n
Af
LN secciónc : profundidad del eje neutro en la sección
19
Esta ecuación se obtiene al aplicar la teoría convencional de concreto armado para
columnas, introduciendo algunas simplificaciones. De esta manera se obtiene una buena
aproximación a la resistencia a flexión para columnas sometidas a cargas axiales menores
a la balanceada, que es usada extensamente por diseñadores en la actualidad.
La profundidad del eje neutro “c” puede calcularse con:
12 0,85w
cL
ω αω β
+=
+ Ecuación 2.2
donde,
'.n
w c
NL t f
α = Ecuación 2.3
'.ys
w c
fAt L f
ω = Ecuación 2.4
' 2
'1 ' 2c
0,85 280f1,05- 0,65 280
1400
c
c
si f kg cm
si f kg cmβ
⎧ ≤⎪= ⎨
≥ >⎪⎩
concreto del compresión la a aresistenci :f
muro del espesor :t´c
Una vez determinada la resistencia a flexión, la resistencia a cargas laterales se
obtiene por simple equilibrio:
HMV n
nf = Ecuación 2.5
donde, H es la altura del muro o distancia desde el punto de aplicación de la carga
hasta la base del muro.
Se usa acá la notación Vnf para distinguir este valor de la resistencia del muro a
corte propiamente dicho que se denota Vn.
20
2.2.2 Resistencia al corte propiamente dicha (Vn).
La resistencia a cortante en muros se debe tanto al concreto (Vc) como al refuerzo
de acero (Vs), siendo el total:
scn VVV += Ecuación 2.6
Para calcular la resistencia del concreto (Vc), deben considerarse dos casos: el
agrietamiento diagonal por corte (“web shear cracking”), y el agrietamiento diagonal por
efectos de flexión (“flexural shear cracking”).
2.2.2.1 Agrietamiento diagonal por corte.
Este agrietamiento comienza en la parte media del muro debido a los esfuerzos
principales de tracción producidos por la carga lateral. La ecuación semi-empírica
deducida usando el círculo de Mohr para calcular los esfuerzos principales en el muro es
la misma que se publica en la Norma ACI 318 (1999) con el número 11-31 y que se
transcribe a continuación para unidades del sistema métrico:
´0,88 .4.
nc c
w
N dV f t dL
= + Ecuación 2.7
donde,
0,8. wd L=
El resto de las variables han sido definidas antes en el texto.
2.2.2.2 Agrietamiento diagonal por flexión.
El agrietamiento diagonal por flexión se refiere a grietas que inicialmente son
debidas a flexión (aparecen en dirección horizontal), pero que luego se inclinan hacia la
dirección diagonal. La expresión deducida considerando la formación de una grieta por
flexión a una altura de Lw/2 por encima de la base del muro, y ajustando con respecto a
resultados experimentales es la que se muestra en la Norma ACI 318 (1999) con el
número 11.32 y que se transcribe a continuación para unidades del sistema métrico:
21
´
´
0,33 . 0,210,16 . 1
2
nc
wc c
u
u w
N df t dLV f t d M
V L
+= +
− Ecuación 2.8
2.2.2.3 Resistencia al corte provista por el refuerzo horizontal.
Después de la formación de las grietas inclinadas, se puede deducir la expresión que
permite calcular la fuerza cortante capaz de ser resistida por los estribos, que es la
fórmula 11-33 de la Norma ACI (1999):
2
yvs s
dfAV = Ecuación 2.9
donde,
Av: área total de refuerzo horizontal dentro de una distancia s2
s2: separación del refuerzo horizontal
2.2.2.4 Ecuación de Barda (Vnb)
Barda, et al (1977) proponen la siguiente ecuación basada en ensayos realizados
sobre muros bajos con elementos de borde.
' 'nbV 2,12 0,66 .
4.n
c c yw w
NHf f f d tL L t
ρ⎛ ⎞
= − + +⎜ ⎟⎝ ⎠
Ecuación 2.10
donde,
'
: ( )
1,59h v
y c
cuantía geométrica de refuerzo el menor entre y
f f
ρ ρ ρ
ρ ≤
2.2.3 Resistencia al agrietamiento por flexión.
La resistencia al agrietamiento por flexión no determina la falla de un muro, sin
embargo, es un valor que es conveniente conocerlo, especialmente a nivel experimental,
cuando se desea describir el comportamiento de un muro desde carga cero hasta la falla.
Es relativamente fácil de determinar aplicando la teoría de la elasticidad. Incluyendo el
efecto de la carga axial se obtiene la siguiente expresión:
22
2´ .2
. 6.w
cr cw
t LNV ft L H
⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠ Ecuación 2.11
2.3 Estado del arte en el análisis no-lineal de muros estructurales
sometidos a cargas horizontales de carácter histerético.
Existen en la literatura muchos modelos matemáticos que permiten simular el
comportamiento no-lineal de elementos de concreto de manera adecuada. Estos modelos
pueden clasificarse en tres grandes grupos: a) Modelos de plasticidad concentrada; b)
Modelos de plasticidad distribuida; c) Modelos multicapa.
Los modelos de plasticidad concentrada son mas sencillos y fáciles de implementar,
por cuanto consideran concentrados todos los efectos de no linealidad de los materiales
(plasticidad, agrietamiento, deslizamiento, etc) en resortes o articulaciones de longitud
cero, cuyo comportamiento es descrito mediante reglas mas o menos complicadas,
dependiendo del modelo. Algunos de los modelos más comúnmente usados han sido
descritos por Mahin y Bertero (1975), Bazant y Bhat (1977), Ma, et al (1976) y
Reinhorn, et al (1992). La dificultad inherente a estos modelos está en la determinación
de los parámetros de calibración, los cuales requieren de muchos resultados
experimentales. Aún actualmente, no se conoce bien el efecto de las diferentes variables
de diseño (cuantía del refuerzo, esbeltez del miembro, refuerzo transversal por corte y por
confinamiento, etc), sobre dichos parámetros. En resumen, estos modelos funcionan muy
bien en la simulación de resultados experimentales, pero en análisis reales, cuando no se
pueden ensayar los miembros involucrados, no hay mucha confianza en la escogencia de
los parámetros en cuestión.
Los modelos de plasticidad distribuida son algo mas complicados que los
anteriores, ya que toman en cuenta la distribución de los efectos inelásticos a lo largo de
una longitud finita como es descrito por Kunnath, et al (1990). Son menos populares que
los anteriores porque, además de tener las mismas desventajas de los modelos de
23
plasticidad concentrada tienen una incertidumbre adicional que es la determinación de la
longitud de la zona en que se distribuyen los efectos inelásticos.
Los modelos multicapa, basados principalmente en el método de elementos finitos,
usan una alta discretización de cada miembro para lograr representar detalladamente cada
material, incluso cada barra de refuerzo. Adicionalmente, el comportamiento de cada
material es representado por leyes constitutivas que generalmente son bien conocidas.
De esta manera, cualquier configuración del concreto y del refuerzo puede ser
representada. Los resultados obtenidos por modelos de este tipo son en general muy
buenos. Sin embargo, aún en el momento actual, con el gran avance en la capacidad de
los sistemas de computación, el costo computacional para resolver estructuras de tamaño
regular a base de estos modelos, es prohibitivo.
Vulcano (1992) clasifica los modelos usados para predecir el comportamiento no
lineal de muros estructurales en dos grandes grupos: a) modelos detallados, derivados de
la mecánica de los sólidos y basados en una interpretación detallada del comportamiento
local (enfoque microscópico); b) modelos basados en una idealización simplificada, que
son capaces de predecir un comportamiento global específico con precisión razonable
(enfoque macroscópico).
El mismo autor analiza algunos modelos macroscópicos que han sido propuestos y
compara los resultados analíticos con los experimentales para evaluar la efectividad y
confiabilidad de los modelos seleccionados. Los modelos analizados son: el modelo de
viga equivalente, el modelo de armadura equivalente y algunas variantes de modelos de
múltiples elementos verticales. Se concluye que los modelos de muros basados en el
enfoque macroscópico son más efectivos que los modelos de elementos finitos
microscópicos, para el análisis no lineal de estructuras de múltiples niveles. Los modelos
de viga equivalente y armadura equivalente presentan muchas limitaciones. En particular
el modelo de viga equivalente no puede representar las variaciones del eje neutro de la
sección, lo cual da origen a errores en la descripción de la interacción del muro con el
resto de los miembros de la estructura. Por su parte, la implementación del modelo de
armadura equivalente tiene muchas dificultades para definir las propiedades de los
elementos de la armadura, especialmente bajo cargas cíclicas. Este autor considera que
los modelos de múltiples elementos verticales resultan ser los mejores para el propósito
24
mencionado arriba, especialmente en lo que se refiere a tomar en cuenta la variación de la
posición del eje neutro. Según demuestra, un modelo multi-componente predice de
manera precisa la respuesta a flexión, aún usando el mínimo número de elementos
verticales (n=4), con la ventaja de un costo computacional mínimo. Sin embargo, la
precisión de la predicción depende de la correcta escogencia del valor de un parámetro
que depende de la esperada distribución de la curvatura a lo largo del miembro. Se indica
que la incertidumbre en la determinación de este parámetro puede eliminarse al aumentar
el número de elementos verticales, pero a un mayor costo computacional. Además, bajo
esfuerzos cortantes de gran magnitud la interacción de la respuesta a corte y la respuesta
a flexión introduce un elemento adicional de incertidumbre en el modelo que hace difícil
una buena predicción de la respuesta.
Colotti (1993) y Ghobarah (1999) reportan modelos multi-componente similares al
propuesto por Vulcano (1992) incluyendo algunos refinamientos que permiten aproximar
mejor el comportamiento real, sin embargo tienen el mismo problema que todos los
modelos de este tipo, es decir, un alto costo computacional, tanto en la preparación de los
datos de entrada como en el análisis propiamente dicho.
25
3. PROGRAMA EXPERIMENTAL
3.1 Introducción
El programa experimental fue diseñado para cumplirse en tres etapas. En la
primera etapa se ensayaron dos muros MC-01 y MC-02 bajo cargas monotónicas, con el
fin de permitir la calibración del modelo de daño que se propone en el Capítulo 4. En la
segunda etapa se ensayaron dos muros MC-03 y MC-04 bajo cargas histeréticas con el fin
de validar el modelo de daño que se propone en el Capítulo 5 para cargas histeréticas. En
la tercera etapa se ensayaron tres muros MC-05, MC-06 y MC-07 bajo cargas histeréticas
con el fin de estudiar el efecto de las condiciones de adherencia en las barras horizontales
sobre el efecto de estrangulamiento “pinching” observado en los resultados
experimentales.
Todos los ensayos mencionados arriba se llevaron a cabo en el Laboratorio de
Materiales y Ensayos, de la Facultad de Ingeniería en la Universidad de Los Andes,
Mérida, Venezuela.
3.2 Definición geométrica de los muros y sus características
resistentes
Los muros fueron construidos con dos geometrías básicas: Tipo I y Tipo II. Los
valores de las variables geométricas definidas en la Figura 1.2 se muestran en la Tabla
3.1.
26
Tabla 3.1 Dimensiones de los muros
Geometría tipo Lw (mm) H (mm) t (mm)Tipo I 585 700 100Tipo II 830 700 100
Los muros MC-01, MC-04, MC-05, MC-06 y MC-07 fueron construidos con la
geometría Tipo I, mientras que los muros MC-02 y MC-03 fueron construidos con la
geometría Tipo II.
Las características del refuerzo para cada muro están dadas en la Tabla 3.2. Las
variables indicadas en la tabla corresponden a: ρv : cuantía de refuerzo vertical en el
muro distribuido uniformemente; ρh : cuantía de refuerzo horizontal en el muro
distribuido uniformemente; As : área de acero vertical adicional en cada extremo del
muro. La resistencia a compresión del concreto a los 28 días en todos los muros fue de
aproximadamente 370 kg/cm2 . La resistencia nominal a la fluencia del refuerzo (fy) fue
de 5000 kg/cm2 en el refuerzo vertical y horizontal uniformemente distribuido (alambres
de 5 mm de diámetro nominal) y de 4200 kg/cm2 en el acero vertical adicional (cabillas
de ½” de diámetro nominal). Todos los muros se diseñaron para que su resistencia a
cortante resultara menor que su resistencia a flexión, siendo esta condición una necesidad
para el desarrollo del modelo de daño por corte como se explica en el capítulo siguiente.
Obviamente, el diseño de un muro dúctil requiere que el modo de falla esté dominado por
flexión ya que este tipo de falla es mas dúctil y fácil de controlar que la falla dominada
por corte, sin embargo, en el presente trabajo la intención no fue de evaluar diseños de
muros dúctiles, sino la de desarrollar un modelo capaz de poder modelar muros que
pudieran fallar por corte antes que por flexión, o que por lo menos su falla estuviera
dominada por efectos de corte.
27
Tabla 3.2 Características del refuerzo en muros
Muro ρv ρh As (cm2)MC-01 0,0033 0,0026 2,54MC-02 0,0028 0,0026 2,54MC-03 0,0028 0,0026 2,54MC-04 0,0033 0,0026 2,54MC-05 0,0033 0,0026* 3,81MC-06 0,0033 0,0026** 3,81MC-07 0,0033 0,0026*** 3,81
Notas: * barras rectas sin doblar alrededor del acero vertical (mínima adherencia)
** estribos con tuercas soldadas para mejorar adherencia (máxima adherencia
*** estribos dobles, cada estribo abarcando cuatro barras verticales (adherencia med
3.3 Descripción del sistema de cargas
En la Figura 3.1 se muestra una foto del sistema usado para aplicar una carga
horizontal al tope del muro, con el fin de simular el tipo de carga que es impuesto por un
sismo a una estructura conformada por muros estructurales. El sistema consiste en un
marco de carga rígido, un actuador hidráulico de 25.000 kg de capacidad, controlado
electrónicamente a través de un software especializado y una viga de soporte en la base a
la cual se fija el espécimen.
Figura 3.1 Vista del sistema de carga el los muros
Todos los ensayos se realizaron bajo la modalidad de control de desplazamientos,
en la cual la magnitud del desplazamiento se impone en forma de rampa con una
28
velocidad constante. La velocidad de imposición del desplazamiento usada en todos los
ensayos fue de 0,01 mm/seg, por lo cual se consideran estos ensayos como cuasi-
estáticos.
3.4 Descripción del sistema de adquisición de datos
El sistema de adquisición de datos forma parte integral del sistema de cargas y
permitió el registro de la fuerza aplicada en el tope del muro y el desplazamiento
horizontal correspondiente. El registro de estas dos variables se realizó a una rata de dos
lecturas por segundo, mientras se aplicaba la carga o se descargaba.
Adicionalmente, se registró mediante una cámara digital, el estado de agrietamiento
del muro, a intervalos regulares durante el ensayo.
3.5 Resultados experimentales
3.5.1 Muro MC-01
Este muro fue ensayado bajo cargas monotónicas con descargas repetidas a
diferentes desplazamientos hasta llegar a la falla. En la Figura 3.2 se muestra la historia
de desplazamientos impuestos al muro y en la Figura 3.3 se muestra la historia de carga
vs desplazamiento obtenida en el ensayo.
V=0V=0
V=0V=0
V=0
∆
∆= 2 mm∆= 4 mm
∆= 6 mm∆= 8 mm
∆= 10 mm∆= 12 mm
tiempo
V=0V=0
V=0V=0
V=0
∆
∆= 2 mm∆= 4 mm
∆= 6 mm∆= 8 mm
∆= 10 mm∆= 12 mm
tiempo
Figura 3.2 Historia de desplazamientos impuestos para el muro MC-01
29
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
0 2 4 6 8 10 12 14
Desplazamiento horizontal en el tope (mm)
Fuer
za h
oriz
onta
l en
el to
pe (K
g)
Figura 3.3 Ensayo del Muro MC-01
En la Figura 3.4 se observa el estado de agrietamiento del muro al final del ensayo.
Como puede observarse, la falla del muro se produjo por agrietamiento debido a tracción
diagonal, lo cual es evidencia de la predominancia de los efectos de corte sobre los
efectos de flexión en concordancia con las hipótesis planteadas en el diseño.
Figura 3.4 Estado del muro MC-01 al fin del ensayo
3.5.2 Muro MC-02
Este muro también fue ensayado bajo cargas monotónicas con descargas repetidas a
diferentes desplazamientos hasta llegar a la falla. En la Figura 3.5 se muestra la historia
30
de desplazamientos impuestos al muro y en la Figura 3.6 se muestra la historia de carga
vs desplazamiento obtenida en el ensayo.
V=0V=0
V=0V=0
V=0
∆∆=
2 m
m
∆= 4
mm
∆= 6
mm
∆= 8
mm
∆= 1
0 m
m
∆= 1
2 m
m
tiempo
∆= 1
4 m
m
∆= 1
6 m
m
∆= 1
8 m
m
∆= 2
0 m
m
∆= 2
2 m
m
V=0V=0
V=0V=0
V=0
V=0V=0
V=0V=0
V=0
∆∆=
2 m
m
∆= 4
mm
∆= 6
mm
∆= 8
mm
∆= 1
0 m
m
∆= 1
2 m
m
tiempo
∆= 1
4 m
m
∆= 1
6 m
m
∆= 1
8 m
m
∆= 2
0 m
m
∆= 2
2 m
m
V=0V=0
V=0V=0
V=0
Figura 3.5 Historia de desplazamientos impuestos para el muro MC-02
0
5000
10000
15000
20000
25000
0 5 10 15 20 25
Desplazamiento en el tope (mm)
Fuer
za h
oriz
onta
l en
el to
pe (K
g)
Figura 3.6 Ensayo del muro MC-02
31
En la Figura 3.7 se observa el estado de agrietamiento del muro al final del ensayo.
Otra vez, puede observarse que la falla del muro se produjo por agrietamiento debido a
tracción diagonal, lo cual es evidencia de la predominancia de los efectos de corte sobre
los efectos de flexión en concordancia con las hipótesis planteadas en el diseño.
Figura 3.7 Estado del muro MC-02 al final del ensayo
3.5.3 Muro MC-03
La modalidad propuesta para el ensayo de este muro fue bajo cargas histeréticas.
Adicionalmente, se realizó un cambio en el dispositivo usado para sujetar el espécimen.
Como puede observarse en la Figura 3.8, se colocaron un par de tirantes verticales que
permitieran introducir una componente vertical de fuerza en ambos extremos del muro.
Desafortunadamente, bajo la acción de estos tirantes, la resistencia lateral del muro se
incrementó por encima de la capacidad del actuador hidráulico, por lo cual el ensayo del
espécimen fue un fracaso. Por esta razón no se incluye en los resultados.
32
Figura 3.8 Preparación del muro MC-03
3.5.4 Muro MC-04
Este muro se ensayó bajo cargas histeréticas siguiendo una historia de
desplazamientos impuestos como se muestra en la Figura 3.9. La respuesta del muro bajo
esta historia de cargas se muestra en la Figura 3.10.
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
0 100 200 300 400 500 600
tiempo
∆ (mm)
P=0
Figura 3.9 Historia de desplazamientos para el muro MC-04
33
-15000
-10000
-5000
0
5000
10000
15000
-20,0 -15,0 -10,0 -5,0 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0
Desplazamiento en el tope (mm)
Fuer
za h
oriz
onta
l en
el to
pe (k
g)
Figura 3.10 Ensayo del muro MC-04
En la Figura 3.11 se observa el estado de agrietamiento del muro al final del ensayo.
Figura 3.11 Estado del muro MC-04 al final del ensayo
3.5.5 Muros MC-05, MC-06 y MC-07
Estos muros fueron ensayados todos bajo cargas histeréticas con la misma historia
de desplazamientos como se muestra en la Figura 3.12. En la Figura 3.13, Figura 3.14, y
Figura 3.15, se muestran las respuestas de cada uno de estos muros a la historia de cargas
34
dada. Puede observarse que la condición de adherencia en el refuerzo horizontal no tiene
efecto aparente sobre el estrechamiento de los lazos histeréticos (“pinching”), aunque sí
tiene efecto sobre el máximo desplazamiento alcanzado antes de la falla.
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
0 100 200 300 400tiempo
∆ (mm)
P=0
Figura 3.12 Historia de desplazamientos para muros MC-05, MC-06 y MC-07
-20000
-15000
-10000
-5000
0
5000
10000
15000
20000
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
Desplazamiento en el tope (mm)
Fuer
za e
n el
tope
(Kg)
35
Figura 3.13 Ensayo del muro MC-05
-20000
-15000
-10000
-5000
0
5000
10000
15000
20000
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
Desplazamiento en el tope (mm)
Fuer
za e
n el
tope
(Kg)
Figura 3.14 Ensayo del muro MC-06
-20000
-15000
-10000
-5000
0
5000
10000
15000
20000
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
Desplazamiento en el tope (mm)
Fuer
za e
n el
tope
(Kg)
Figura 3.15 Ensayo del muro MC-07
36
En la Figura 3.16, Figura 3.17, y Figura 3.18, se muestra el estado final de
agrietamiento de cada uno de estos muros.
Figura 3.16 Estado del muro MC-05 al final del ensayo
Figura 3.17 Estado del muro MC-06 al final del ensayo
37
Figura 3.18 Estado del muro MC-07 al final del ensayo
Las causas que produjeron diferencias en el máximo desplazamiento alcanzado por
los muros MC-05, MC-06 y MC-07 se analizan a continuación, basadas en la observación
de la condición del refuerzo horizontal al final del ensayo, luego de demolerse el concreto
del muro.
El muro MC-05 alcanzó el máximo desplazamiento horizontal antes de la falla, ya
que a pesar de que las barras horizontales no estaban ancladas alrededor del acero
vertical, sin embargo la adherencia entre las cabillas y el concreto fue buena,
alcanzándose la falla por adherencia sólo en las etapas posteriores del ensayo. La falla
definitiva se produjo por deslizamiento de las cabillas horizontales, ya que luego de
demoler el muro se verificó que no hubo fractura en estas barras como puede observarse
en la Figura 3.19.
38
Figura 3.19 Condición del refuerzo del muro MC-05 al final del ensayo
El muro MC-06 no alcanzó igual desplazamiento máximo debido a la fractura
prematura del refuerzo horizontal en la zona adyacente a las tuercas que se le soldaron a
este refuerzo. Evidentemente, la presencia de las tuercas obligó a una concentración de la
fluencia del refuerzo en esas secciones, lo cual, después de los ciclos iniciales de carga,
provocó el debilitamiento y posterior fractura de dicho refuerzo. En la Figura 3.20 se
demuestra lo señalado en el texto.
TuercaTuerca
Barra fracturada
TuercaTuerca
Barra fracturada
Figura 3.20 Barra fracturada en el muro MC-06
En forma similar, el muro MC-07 no alcanzó el mismo desplazamiento máximo que
el muro MC-05, debido a que la longitud de cada uno de los estribos era la mitad de la
longitud horizontal del muro. Esto implica que la longitud a lo largo de la cual puede
fluir cada barra es mucho menor. Como resultado, estas barras se fracturaron para un
39
desplazamiento menor del muro. En la Figura 3.21 puede observarse la fractura en el
refuerzo horizontal al final del ensayo.
Figura 3.21 Refuerzo horizontal fracturado en el muro MC-07
40
4. MODELO DE DAÑO POR CORTE PARA
ACCIONES MONOTÓNICAS
4.1 Introducción
Consideremos una estructura (ver Figura 4.1), formada por “m” miembros
deformables conectados entre sí por “n” nodos, sometida a un sistema de cargas
cualquiera. Las variables a considerar en el análisis son: los desplazamientos
generalizados de los nodos, los esfuerzos generalizados de los miembros y las fuerzas
externas aplicadas.
El problema puede considerarse en dos partes: el problema global y el problema
local. En el problema global se resuelve el sistema de ecuaciones de equilibrio de los
nodos para obtener los desplazamientos nodales de la estructura, mientras que en el
problema local se calculan las fuerzas internas y la contribución de cada miembro a los
desplazamientos de la estructura.
41
i jU1
U2
U3
posición original
posición deformada
i jU1
U2
U3
posición original
posición deformada
Figura 4.1 Desplazamientos generalizados del nodo “i”
4.2 Desplazamientos generalizados
Los desplazamientos generalizados del nodo “i” se representan mediante el vector:
{ } { }321ti U,U,UU = donde U1 es el desplazamiento horizontal del nodo “i”, U2 es el
desplazamiento horizontal del mismo nodo y U3 es la rotación del nodo “i” con respecto a
la posición inicial como se muestra en la Figura 4.1. Los desplazamientos nodales de
toda la estructura se agrupan en el vector: { } { } { } { }( )tn
tj
ti
t U,...,U,UX = . Luego, los
desplazamientos de cualquier miembro “b” que une los nodos “i” y “j” vienen definidos
por el vector: { } { } { }( )tj
ti
tb U,Uq = .
4.3 Deformaciones generalizadas y esfuerzos generalizados de un
miembro
Dado un miembro “b” de una estructura, las deformaciones generalizadas del
miembro se denotan por: { } { }δφφφ ,, jit = , donde: ji y φφ representan las rotaciones de
los extremos “i” y “j” respecto de la cuerda “ij” del miembro respectivamente y δ
representa la deformación axial del miembro, según se muestra en la Figura 4.2.
42
Lo
Lo+δ
i j
iφ jφ
Lo
Lo+δ
i j
iφ jφ
Figura 4.2 Deformaciones generalizadas
Los esfuerzos generalizados del miembro se denotan por: { } ( )N,M,MM jit = ,
donde: Mi y Mj son los momentos flectores en los extremos “i” y “j” del miembro
respectivamente, y N es la fuerza axial, como se muestra en la Figura 4.3.
Mi
Mj
NMi
Mj
N
Figura 4.3 Esfuerzos generalizados
4.4 Fuerzas internas generalizadas
Las fuerzas internas generalizadas que actúan sobre el miembro en la configuración
deformada, están contenidas en el vector: { } ( )654321t Q,Q,Q,Q,Q,QQ = como se muestra
en la Figura 4.4. Cada una de las fuerzas corresponde a un desplazamiento nodal posible.
Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
Q6Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
Q6
Figura 4.4 Fuerzas internas de un miembro
43
4.5 Fuerzas externas
Las fuerzas externas se consideran aplicadas en los nodos de la estructura y se
representan por el vector: { } ( )n3321t P,...,P,P,PP = . Se incluyen aquí las cargas aplicadas
a la estructura y las reacciones en los apoyos (ver Figura 4.5).
P1
P2
P3
P3n-2
P3n-1
P3n
P1
P2
P3
P3n-2
P3n-1
P3n
Figura 4.5 Fuerzas externas
La solución al problema planteado como es la determinación de los
desplazamientos generalizados de la estructura bajo un sistema de cargas cualquiera,
requiere del planteamiento de ecuaciones de compatibilidad, ecuaciones de equilibrio y
leyes de comportamiento, los cuales se enuncian a continuación.
4.6 Ecuaciones de compatibilidad
Las ecuaciones de compatibilidad relacionan las deformaciones generalizadas con
los desplazamientos generalizados para cada miembro () mediante relaciones
geométricas. En la Figura 4.6 se muestran las figuras en base a las cuales se determinan
las ecuaciones de compatibilidad.
44
dq1
dδ
α dφi
dφj
dq2
dδ
α
dφi
dφj
dφi = dq3
dq1
dδ
α dφi
dφj
dq2
dδ
α
dφi
dφj
dφi = dq3
Figura 4.6 Desplazamientos diferenciales del nodo “i”
Al dar el desplazamiento diferencial dqi en el nodo “i”, se pueden determinar las
relaciones que existen entre este desplazamiento y las deformaciones φi, φj y δ. Dichas
relaciones son:
( )
( )
( )qcosdqdL
qsendqd
Lqsendqd
1
1j
1i
αδ
αφ
αφ
−=
=
=
Ecuación 4.1
De manera análoga se obtienen las relaciones para el resto de los desplazamientos
del nodo “i” y del nodo “j”. En resumen, las relaciones de compatibilidad pueden
expresarse en forma matricial de la siguiente manera:
{ } ( )[ ]{ }dqqBd =φ Ecuación 4.2
donde ( )[ ]qB se conoce con el nombre de “Matriz de transformación” y queda
conformada de la siguiente manera para el caso general de grandes desplazamientos:
( )[ ]
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
=
0qsenqcos0qsenqcos
1qL
qcosqL
qsen0qL
qcosqL
qsen
0qL
qcosqL
qsen1qL
qcosqL
qsen
qB
αααα
αααα
αααα
Ecuación 4.3
Para el caso particular de pequeños desplazamientos, ( )[ ] [ ]oBqB ≅ , siendo [ ]oB la
matriz de transformación en la configuración inicial del miembro, por lo que la ecuación
de compatibilidad queda:
45
{ } [ ]{ }qBo=φ Ecuación 4.4
donde,
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
=
0sencos0sencos
1L
cosL
sen0L
cosL
sen
0L
cosL
sen1L
cosL
sen
Boooo
oooo
o
αααα
αααα
αααα
Ecuación 4.5
4.7 Ecuaciones de equilibrio
Se deben plantear ecuaciones de equilibrio para cada nodo de la estructura y para
cada miembro. En las primeras, las fuerzas externas aplicadas deben ser iguales a la
suma de las fuerzas internas, que en el caso estático pueden expresarse en forma matricial
de la siguiente manera:
{ } { }∑=
=−m
1bb 0QP Ecuación 4.6
En el caso dinámico, deben tomarse en cuenta las fuerzas inerciales, quedando
expresada la ecuación matricial:
{ } [ ] ( ){ } ( ) 0tPtqmQ b
m
1b
m
1bb =−+∑ ∑
= =&& Ecuación 4.7
El segundo conjunto de ecuaciones de equilibrio relaciona las fuerzas internas
necesarias para equilibrar los esfuerzos generalizados. De forma matricial, y para el caso
de pequeños desplazamientos, estas ecuaciones son:
{ } [ ] { }MBQ to= Ecuación 4.8
Es relativamente fácil demostrar que la matriz [ ]toB es la traspuesta de la misma
matriz de transformación definida anteriormente para las ecuaciones de compatibilidad.
46
4.8 Ley de comportamiento para el caso elástico
Esta ley describe la relación entre los esfuerzos y las deformaciones generalizadas
de un miembro de la estructura, y toma en cuenta las características propias del material
que compone la estructura. La expresión típica de esta ley se muestra en la siguiente
ecuación matricial:
{ } [ ]{ }MFo=φ Ecuación 4.9
donde [ ]oF es la matriz de flexibilidad del miembro en coordenadas locales y que
puede definirse de la siguiente manera incluyendo los efectos de las deformaciones de
cortante:
[ ] [ ] [ ] [ ]so
fo
aoo FFFF ++= Ecuación 4.10
Las matrices [ ] [ ] [ ]so
fo
ao Fy F ,F representan la flexibilidad debida a fuerzas axiales,
efectos de flexión y efectos de corte, respectivamente. Estas matrices tienen las
siguientes expresiones de acuerdo a ():
47
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
EAL00
000
000
F ao Ecuación 4.11
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
000
0EI3L
EI6L
0EI6L
EI3L
F fo Ecuación 4.12
1 1 0
1 1 0
0 0 0
v v
so
v v
GA L GA L
FGA L GA L
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Ecuación 4.13
donde E es el módulo de elasticidad del material, A es el área de la sección
transversal, Av es el área de corte, usualmente el área de la sección transversal dividido
por 1,2 para secciones rectangulares, I es el momento de inercia de la sección transversal,
G es el módulo de elasticidad a cortante y L es la longitud del miembro. Puede notarse
que para valores grandes de L, la componente debida al cortante se reduce mientras que
la componente debida a flexión aumenta. Este es el caso de miembros esbeltos en los que
las deformaciones por cortante pueden despreciarse.
4.9 Ley de comportamiento para modelos elasto-plásticos
degradables
En los modelos que incluyen efectos inelásticos, la relación entre esfuerzos
generalizados y deformaciones generalizadas no es lineal. En estos casos la ley de
comportamiento queda plenamente definida por la ley de estado y las leyes de evolución
de las variables internas incluidas en el modelo. En el caso de miembros que sufren daño
por efectos de flexión, se usa típicamente un modelo de disipación concentrada (Flórez
48
López, 1993b), en el cual cada miembro se representa mediante un ensamblaje de un
miembro elástico y dos rótulas inelásticas en los extremos, en las cuales se consideran
concentrados todos los efectos inelásticos. En el caso presente se usará un modelo
similar, con la diferencia de que sólo se considerará la posibilidad de daños por efectos de
cortante distribuidos de manera uniforme en el miembro. Esto equivale a suponer que el
miembro no sufre daño ni deformaciones permanentes debidos a efectos de flexión, lo
cual es una simplificación de lo que ocurre en miembros reales, pero necesaria para el
desarrollo inicial del modelo.
En la Mecánica de la Degradación para medios continuos se usa el concepto de
variable de daño para medir la intensidad de microfisuras y microgrietas en un miembro.
Esta variable puede tomar valores en el intervalo [0,1]. El valor cero corresponde a un
material intacto y el valor uno a un material completamente dañado. La ley de estado
para materiales degradables según esta teoría se expresa de la siguiente manera:
( ) ( )1 . . pd Eσ ε ε= − − Ecuación 4.14
donde σ es el esfuerzo nominal, “d” es la variable de daño, E es el módulo de
elasticidad inicial y ε la deformación unitaria. Siguiendo este mismo concepto por
analogía con el modelo desarrollado para flexión por Flórez López (1993b), se introduce
una variable de daño para efectos de cortante (ds) de tal forma que la flexibilidad a
cortante de un miembro dañado puede expresarse de la siguiente manera:
( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1 01 11 1 01 1
0 0 0
v s v s
ss
v s v s
GA L d GA L d
F dGA L d GA L d
⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥
⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Ecuación 4.15
De igual manera que en la Mecánica de la Degradación, esta variable de daño puede
tomar valores en el intervalo [0,1]. Un valor de cero implica un miembro no dañado que
tiene una flexibilidad dada por la ecuación 3.10, mientras que un valor de uno caracteriza
un miembro totalmente dañado con flexibilidad a cortante infinita. Se supone que el
daño evoluciona continuamente desde cero hasta uno en función de las cargas aplicadas
49
al miembro y siguiendo la ley de evolución del daño descrita posteriormente.
Físicamente, la variable de daño mide el grado de agrietamiento del miembro, es decir, ds
igual a cero indica que no hay agrietamiento, y ds igual a uno representa un miembro tan
agrietado que no posee rigidez por cortante.
Entonces, la matriz de flexibilidad de un miembro degradable queda expresada de la
siguiente manera:
( )[ ] [ ] [ ] ( )[ ]ssf
oa
os dFFFdF ++= Ecuación 4.16
Sustituyendo y sumando los términos de las matrices queda:
( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1 03 1 6 1
1 1 06 1 3 1
0 0
v s v s
sv s v s
L LEI GA L d EI GA L dL LF dEI GA L d EI GA L d
LEA
⎡ ⎤+ − +⎢ ⎥− −⎢ ⎥
⎢ ⎥= − + +⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ − −⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Ecuación 4.17
Luego, al invertir la matriz de flexibilidades se obtiene la matriz de rigideces del
miembro, la cual es:
( )[ ] ( )[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡== −
333231
232221
1312111
ss
SSSSSSSSS
dFdS Ecuación 4.18
donde,
( )( )( )( )
2
11 22 2
2
12 21 2
13 23 31 32 33
1 34 *1 12
1 62 *1 12
0 ; S
v s
v s
v s
v s
GA L d EIEIS SL GA L d EI
GA L d EIEIS SL GA L d EI
EAS S S SL
⎧ ⎡ ⎤− +⎣ ⎦⎪ = =⎡ ⎤− +⎪ ⎣ ⎦
⎪⎡ ⎤− −⎪⎪ ⎣ ⎦= =⎨⎡ ⎤− +⎪ ⎣ ⎦
⎪⎪ = = = = =⎪⎪⎩
Ecuación 4.19
50
Puede notarse que si el coeficiente de cortante ( )2 1v sGA L d− es mucho mayor que
EI, los elementos de la matriz de rigideces tienden a los bien conocidos términos: LEI4
y LEI2 .
Las expresiones para las matrices de flexibilidad y de rigidez en coordenadas
globales (de orden 6x6) pueden obtenerse de las ecuaciones 3.17 a 3.19 aplicando los
métodos convencionales.
La ecuación 3.10 muestra que las deformaciones de un miembro pueden separarse
en tres componentes. La primera componente está relacionada con las fuerzas axiales y
no genera rotaciones en el miembro, solo alargamientos o acortamientos de la cuerda. La
segunda componente está relacionada con los efectos de flexión y la última componente
es debida a efectos de cortante. Cuando las acciones sobre el miembro exceden algún
valor crítico, se producen deformaciones plásticas o permanentes en el miembro. Como
se ha mencionado anteriormente, se supone (en principio) que no ocurren deformaciones
permanentes en la dirección axial ni rotaciones plásticas por flexión. En otras palabras,
solo ocurren deformaciones plásticas debidas a los efectos de corte. Físicamente eso
significa que no ocurre fluencia del refuerzo longitudinal.
Sin embargo, pueden ocurrir deformaciones plásticas debidas a fluencia del
refuerzo transversal. Estas rotaciones plásticas están relacionadas con los efectos de
corte y se tomarán en cuenta en el modelo que se está proponiendo. Una particularidad
de las rotaciones relacionadas con el cortante es que tienen el mismo valor y signo en
ambos extremos. Por lo tanto, la ley de estado para un miembro con deformaciones por
corte, daño y rotaciones plásticas será:
{ } ( ) { }psF d Mφ φ− = ⎡ ⎤⎣ ⎦ Ecuación 4.20
donde el vector de deformaciones plásticas { }pφ tiene la siguiente forma general:
{ } ( ), ,0p p ps sφ φ φ= Ecuación 4.21
Al introducir las variables internas sd y psφ , se hacen necesarias ecuaciones
adicionales para definir el problema, las cuales son conocidas como “Leyes de
Evolución” de las variables internas, cuya definición se describe en la sección que sigue.
51
4.9.1 Ley de evolución del daño
La energía de deformación complementaria (W*) de un miembro “dañado” es:
{ } ( )[ ]{ }MdFM21W s
t* = Ecuación 4.22
Por lo tanto, de acuerdo a la Mecánica del Daño, la tasa de disipación de energía del
miembro se define como:
s
*
s dWG
∂∂
−= Ecuación 4.23
Sustituyendo las expresiones de M y F(ds) en la ecuación 3.23, la expresión para la
energía complementaria queda:
( ) ( )
( )
* 2 21 12 3 1
16 1
i jv s
i jv s
LW M MEI GA L d
LM MEI GA L d
⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥−⎣ ⎦
⎡ ⎤+ − +⎢ ⎥−⎣ ⎦
Ecuación 4.24
entonces, según la ecuación 3.23,
( )( ) ( )
( )( )
2 22 2
2
2
1 1 12 1 1
12 1
s i j i jv s v s
i js
v s
G M M M MGA L d GA L d
M MG
GA L d
= + +− −
+=
−
Ecuación 4.25
Sabiendo que ( )i jV M M L= + es la fuerza cortante en el miembro (en ausencia
de cargas aplicadas al miembro transversales a su eje), puede escribirse:
( )
2
212 1s
v s
V LGGA d
=−
Ecuación 4.26
El criterio de Griffith, que es la base de la Mecánica de la Fractura, establece que
solo puede haber propagación de una grieta si la tasa de disipación de energía es igual a
la resistencia al agrietamiento del miembro, es decir:
52
( )sss dRG silo so0d =>& Ecuación 4.27
donde R(ds) es la resistencia al agrietamiento del miembro, que es una función del
estado de daño del miembro. Como sucede en la Mecánica de la Fractura, la función de
resistencia al agrietamiento debe ser identificada con la ayuda de resultados
experimentales, lo cual se describe en una sección posterior.
Puede notarse que el daño en el miembro depende (como se ha supuesto al inicio)
de la magnitud de la fuerza cortante. Por ejemplo, un miembro sujeto a flexión pura
( )0mm ji ≠−= no desarrollaría daños por cortante, ya que la tasa de disipación de
energía sería cero.
4.10 Función de fluencia de un miembro dañado
La función de fluencia fs que permite el cálculo de la rotación plástica por cortante p
sφ de un miembro puede derivarse de los mismos principios generales descritos por
Flórez López (1993b). La única diferencia es que en este caso la función de fluencia
depende de la fuerza cortante V:
( )1p
y s s ys
Vf c Vd
φ= − −−
Ecuación 4.28
donde cs y Vy son propiedades dependientes del miembro. La evolución de la
rotación plástica ocurre solo si la función de fluencia se iguala a cero:
0 0ps ysolo si fφ > =& Ecuación 4.29
4.11 Identificación de la función de resistencia al agrietamiento
Para realizar la identificación de la función de resistencia al agrietamiento se realiza
el ensayo de un muro sometido a cargas y descargas repetidas en las cuales se incrementa
sucesivamente el desplazamiento máximo con respecto al ciclo anterior. El muro en
cuestión se diseñó de tal forma que la resistencia a flexión resultara mayor que la
resistencia a fuerza cortante, con el fin de obligar la falla por esta causa. De esta manera
se pretende cumplir con la hipótesis asumida en la propuesta del modelo, donde se
supone que el daño por flexión es despreciable.
53
Dentro del programa experimental se realizó el ensayo de un muro bajo las
condiciones mencionadas arriba. El espécimen correspondiente se denominó: muro MC-
01. En la Figura 4.7 se muestra la gráfica de la fuerza horizontal aplicada en el tope del
muro con respecto al desplazamiento horizontal resultante en el ensayo.
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
0 2 4 6 8 10 12 14
Desplazamiento horizontal en el tope (mm)
Fuer
za h
oriz
onta
l en
el to
pe (K
g)
Figura 4.7 Ensayo del muro MC-01
De la Ec. 3.17 puede observarse que la pendiente de cada descarga elástica en el
ensayo tiene la expresión:
( )
11
3 1v s
Z HEI GA H d
=+
−
Ecuación 4.30
De donde, si Z se calcula del experimento, puede determinarse el valor de la
variable de daño (ds) para cada descarga:
1 11 13
sv
d HGA HZ EI
⎛ ⎞⎜ ⎟
= − ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠
Ecuación 4.31
De esta manera se puede conocer el daño calculado en cada etapa del experimento.
A la vez puede calcularse el valor de la tasa de disipación de energía (variable
termodinámica asociada al daño, Gs) de la Ec. 3.26 para cada descarga. En la Figura 4.8
54
se muestra una gráfica de ds vs Gs para este ensayo. Esto nos permite proponer una
ecuación para la resistencia al agrietamiento similar a la propuesta por Cipollina (1992)
para vigas con daño por flexión:
( ) ( )( )
ln 11
ss crs s
s
dR d G q
d−
= +−
Ecuación 4.32
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000
Tasa de disipación de energía, Gs (Kg.cm)
Varia
ble
de d
año
(ds)
EnsayoGs=R(ds)
Figura 4.8 Función de resistencia al agrietamiento
4.12 Cálculo de los parámetros del modelo
Los parámetros del modelo (Vy, cs, Gcrs y qs) podrían irse “adivinando” hasta
obtener el mejor ajuste con los resultados experimentales. Sin embargo, es mejor aplicar
un procedimiento analítico basado en el conocimiento de características del muro que
pueden calcularse usando la teoría convencional de concreto armado. Este procedimiento
consiste en el planteamiento y la solución de un sistema de ecuaciones no lineales que se
describe a continuación.
55
0
0
0
cr sp
p
u
p pu u
Para V V d
Para V V
Para V V dV
Para V V
φ
φ φ
= → =
= → =
= → =
= → =
Ecuación 4.33
donde,
Vcr : fuerza cortante para la cual se produce la primera grieta diagonal en el muro
Vp : fuerza cortante para la cual comienza a fluir el refuerzo horizontal en el muro
Vu : fuerza cortante máxima que soporta el muro p
uφ : rotación plástica última que soporta el muro
En el Apéndice A se describe la solución de este sistema de ecuaciones para el caso
particular de los dos muros ensayados monotónicamente (MC-01 y MC-02). En la Figura
4.9 se muestra la simulación del ensayo del muro MC-01 con los parámetros calculados
de acuerdo al procedimiento descrito arriba. Adicionalmente se muestra en la Figura
4.10 una simulación similar para el muro MC-02.
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
0 2 4 6 8 10 12 14Desplazamiento en el tope (mm)
Fuer
za e
n el
tope
(Kg)
EnsayoSimulación
Figura 4.9 Simulación del ensayo del muro MC-01
56
0,0
5000,0
10000,0
15000,0
20000,0
25000,0
0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0Desplazamiento en el tope (mm)
Fuer
za e
n el
tope
(Kg)
EnsayoSimulación
Figura 4.10 Simulación del ensayo del muro MC-02
En la Tabla 4.1 y la Tabla 4.2 están mostrados los valores de las características
resistentes de los muros y los parámetros calculados, los cuales fueron usados en las dos
simulaciones anteriores. Adicionalmente, es necesario acotar que para el cálculo de la
rigidez inicial de los muros se usaron las características de la sección gruesa de concreto
y el módulo de elasticidad del concreto, sin embargo, fue necesario aplicar un factor de
corrección para obtener una pendiente inicial de la curva carga-desplazamiento igual a la
del ensayo. Este factor fue de 0,10 para el muro MC-01 y 0,07 para el muro MC-02. La
diferencia entre la rigidez inicial calculada con las características de la sección gruesa y la
rigidez observada en el ensayo puede ser debida a varios factores. Un factor podría ser el
hecho de que el muro se agrieta por flexión a un nivel de carga muy bajo que es muy
difícil de registrar con el equipo disponible, esto implica que la sección resistente en
realidad es mucho menor que la sección gruesa e interviene adicionalmente el refuerzo.
Otro factor es la flexibilidad del marco de ensayo, que implica que la deformación total
registrada en el tope del muro tiene una componente debida a las deformaciones del
marco de ensayo y los aparejos usados para sujetar el espécimen.
57
Tabla 4.1 Características resistentes de los muros MC-01 y MC-02
Muro Vcr (Kg) Vp (Kg) Vu (Kg)MC-01 1000 2000 14585 0,004MC-02 1000 5000 23700 0,01
( )pu radφ
Tabla 4.2 Parámetros del modelo para los muros MC-01 y MC-02
Muro Vy (Kg) cs (Kg.mm) Gcrs (Kg.mm) qs (Kg.mm)MC-01 2011 9396000 58 -33445MC-02 5081 5931000 64 -98192
4.13 Significado físico de la variable de daño por corte
En esta sección se muestran una serie de fotos que muestran el estado de
agrietamiento del muro con el valor correspondiente de la variable de daño ds calculada
según el modelo propuesto.
De la Figura 4.11 a la Figura 4.14 se muestra la secuencia correspondiente al muro
MC-01.
ds = 0,16ds = 0,16
Figura 4.11 Muro MC-01 ∆=4 mm ds = 0,16
58
ds = 0,31ds = 0,31
Figura 4.12 Muro MC-01 ∆=6 mm ds = 0,31
ds = 0,47ds = 0,47
Figura 4.13 Muro MC-01 ∆=8 mm ds = 0,47
59
ds = 0,59ds = 0,59
Figura 4.14 Muro MC-01 ∆=10 mm ds = 0,59
Puede observarse que una vez que se forman las grietas diagonales principales,
éstas sólo crecen ligeramente antes de producirse la falla (en las fotos compare las grietas
marcadas con los números 3, 4 , y 5 que corresponden a los desplazamientos horizontales
6, 8 y 10 mm).
De la Figura 4.15 a la Figura 4.20 se muestra la secuencia correspondiente al muro
MC-02.
ds = 0,17ds = 0,17
Figura 4.15 Muro MC-02 ∆=6 mm ds = 0,17
60
ds = 0,27ds = 0,27
Figura 4.16 Muro MC-02 ∆=8 mm ds = 0,27
ds = 0,36ds = 0,36
Figura 4.17 Muro MC-02 ∆=10 mm ds = 0,36
61
ds = 0,51ds = 0,51
Figura 4.18 Muro MC-02 ∆=14 mm ds = 0,51
ds = 0,57ds = 0,57
Figura 4.19 Muro MC-02 ∆=16 mm ds = 0,57
62
ds = 0,63ds = 0,63
Figura 4.20 Muro MC-02 ∆=18 mm ds = 0,63
ds = 0,67ds = 0,67
Figura 4.21 MC-02 ∆=20 mm ds = 0,67
63
5. MODELO DE DAÑO POR CORTE PARA
ACCIONES HISTERÉTICAS
5.1 Ley de estado para un miembro sometido a cargas
histeréticas
La energía de deformación complementaria de un miembro dañado sometido a
cargas histeréticas, puede expresarse como:
{ } ( ) ( ){ }* 12 s sW M M F d M F d M+ −
+ − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Ecuación 5.1
donde, M+ = la parte positiva de M, y M
− = la parte negativa de M, esto es,
0
0
0
0
M M si M y
M de lo contrario
M M si M y
M de lo contrario
+
+
−
−
= >
=
= <
=
Ecuación 5.2
Ahora existen dos variables de daño, sd + y sd − , que permiten caracterizar el estado
del agrietamiento por corte bajo acciones positivas y negativas, respectivamente. En la
Figura 5.1 se muestra el significado físico que tienen estas dos variables.
64
V (+)
sd +
V (-)
sd −
V (+)
sd +
V (-)
sd −
Figura 5.1 Significado físico de las variables de daño
El uso de dos variables de daño independientes permite describir un
comportamiento “unilateral”. El concepto de “unilateralidad” en la mecánica del daño en
medios continuos se asocia a la suposición de que el daño producido bajo acciones
positivas no tiene efecto sobre el comportamiento bajo acciones negativas y viceversa.
Esta idealización debe considerarse como una idealización del comportamiento real y no
como el resultado de observaciones experimentales.
Las matrices de flexibilidad tienen la misma forma básica de la ecuación 4.17,
sustituyendo la variable ds por: sd + y sd − , quedando definidas como:
( )( ) ( )
( ) ( )
1 1 03 61 1
1 1 06 31 1
0 0
v s v s
sv s v s
L LEI EIGA L d GA L d
L LF dEI EIGA L d GA L d
LEA
+ +
++ +
⎡ ⎤⎢ ⎥+ − +
− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ = − + +⎣ ⎦ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Ecuación 5.3
( )( ) ( )
( ) ( )
1 1 03 61 1
1 1 06 31 1
0 0
v s v s
sv s v s
L LEI EIGA L d GA L d
L LF dEI EIGA L d GA L d
LEA
− −
−− −
⎡ ⎤⎢ ⎥+ − +
− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ = − + +⎣ ⎦ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Ecuación 5.4
Ahora, la ley de estado para miembros con daño por corte bajo cargas reversibles y
tomando en cuenta la posibilidad de deformaciones permanentes, queda definida de la
siguiente manera:
65
{ } ( ) ( )p s sF d M F d Mφ φ + −+ −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Ecuación 5.5
De nuevo, la introducción de variables internas requiere de ecuaciones adicionales
que permitan describir el comportamiento de ellas.
5.2 Ley de evolución del daño
Se sigue usando el criterio de Griffith para definir la ley de evolución del daño, solo
que ahora existe una expresión para el daño positivo y otra para el daño negativo, como
se indica a continuación.
( )( )
0
0
s s s
s s s
d solo si G R d
d solo si G R d
+ + +
− − −
> >
> >
&
& Ecuación 5.6 a y b
Donde sG+ y sG− se obtienen en forma similar a la ecuación 4.23, es decir,
* *
s ss s
W WG y Gd d
+ −+ −
∂ ∂= − = −
∂ ∂ Ecuación 5.7
Sustituyendo los diferentes términos involucrados y desarrollando las derivadas, se
obtienen las expresiones siguientes.
( )2
22 (1 )i j i j i j
sv s
M M M M M MG
GA L d+ + −+ − ++
+
+ + +=
− Ecuación 5.8
( )2
22 (1 )i j i j i j
sv s
M M M M M MG
GA L d− + −− − +−
−
+ + +=
− Ecuación 5.9
En este caso puede notarse que la tasa de disipación de energía no depende
exclusivamente del corte, a diferencia del caso monotónico. Sin embargo, si el miembro
no está cargado transversalmente en su longitud (cargas aplicadas solo en los extremos
como es el caso general de muros estructurales), los momentos Mi y Mj tienen el mismo
signo y por lo tanto los términos i jM M+ −
y i jM M− +
desaparecen y quedan
expresiones similares a la ecuación 4.26, y se verifica que la tasa de disipación de energía
depende exclusivamente del corte, como se muestra en las ecuaciones 5.10 y 5.11.
66
2
22 (1 )sv s
V LGGA d
++=
− Ecuación 5.10
2
22 (1 )sv s
V LGGA d
−−=
− Ecuación 5.11
Se usa la misma función de resistencia al agrietamiento que se usó para acciones
monotónicas, donde las variables y parámetros tienen los mismos significados. Las
expresiones particulares para daño positivo y daño negativo resultan:
( ) ( )( )
ln 1
1s
s crs ss
dR d G q
d
++
+
−= +
− Ecuación 5.12
( ) ( )( )
ln 1
1s
s crs ss
dR d G q
d
−−
−
−= +
− Ecuación 5.13
Nótese que se está suponiendo la simetría del muro, ya que los parámetros Gcrs y qs
son los mismos para daño positivo y daño negativo. El modelo puede generalizarse si se
desea para muros asimétricos, definiendo parámetros diferentes para acciones positivas y
negativas. La determinación de estos parámetros se realiza de la misma forma que para
el caso monotónico.
Los efectos de fatiga de bajo ciclaje no pueden ser representados por el modelo
propuesto aquí, sin embargo, estos efectos pueden ser incluidos de manera relativamente
sencilla, según Puglisi y Flórez López (1994).
5.3 Ley de evolución del daño con fatiga de bajo ciclaje
Los efectos de fatiga de bajo ciclaje no pueden ser representados por el modelo
descrito en la sección anterior, sin embargo, estos efectos pueden ser incluidos de manera
relativamente sencilla, en forma similar a como lo hicieron Puglisi y Flórez López (1994)
y Thomson, et al (1998).
Las características que tiene el modelo con fatiga de bajo ciclaje son:
• No se introducen nuevas variables internas.
• Se sigue relacionando la evolución del daño con la tasa de disipación de
energía.
67
• Bajo cargas monotónicas se obtiene la misma respuesta que en el modelo
anterior.
• Se supone que no hay evolución del daño durante las descargas elásticas.
• El incremento del daño es posible durante las fases de carga aun cuando el
valor de la tasa de disipación de energía es menor que la resistencia al
agrietamiento. Esto es, la evolución del daño por efectos de fatiga es
posible.
• Solo se necesita un parámetro adicional.
• Se incluye el criterio de Griffith como un caso particular.
En base a las características indicadas, se propone una ley de evolución del daño
adaptada para muros con daño por corte. Para cargas positivas resulta:
( )
0
ss crs s s
s
s
Gsi G G entonces d GRR
d
de lo contrario d
λ
λ
++ + +
+
+
≥ =∂∂
=
& &
&
Ecuación 5.14
Y, para cargas negativas:
( )
0
ss crs s s
s
s
Gsi G G entonces d GRR
d
de lo contrario d
λ
λ
−− − −
−
−
≥ =∂∂
=
& &
&
Ecuación 5.15
Donde, , , crs s sR G G y G+ − han sido definidos anteriormente y los puntos sobre las
variables de daño y sobre la tasa de disipación de energía, representan las derivadas
respecto del tiempo. La constante λ es el nuevo parámetro introducido por la ley de
fatiga y puede tomar valores entre 0 y +∞.
Durante una carga monotónica, las ecuaciones 5.14 y 5.15, y la ley de Griffith dan
la misma evolución del daño, independientemente del parámetro λ , como se muestra a
continuación:
68
( ) 11
0,
, ; 01 1
s
ss
Para d de acuerdo al criterio de Griffith
GRR G o de manera similarλ
λ
λλ λ
+
++++
>
= = ∀ ≥+ +
&
Ecuación 5.16
Para el caso negativo sucede lo mismo. Puede notarse que al derivar la ecuación
5.16 con respecto al tiempo se obtiene la ecuación 5.14.
Bajo cargas histeréticas, la ley de fatiga (ecuaciones 5.14 y 5.15) y el criterio de
Griffith dan resultados diferentes, ya que, de acuerdo a la ecuación 5.14, puede haber
evolución del daño aun cuando la tasa de disipación de energía es menor que la
resistencia al agrietamiento, R. Las ecuaciones 5.14 y 5.15 caracterizan una evolución
del daño que siempre es positiva o nula ( )0, 0s sd d+ −≥ ≥& & , ya que
0 0 0s sR y R d y R d+ −> ∂ ∂ > ∂ ∂ > .
También puede notarse que la ley de fatiga se hace nuevamente igual al criterio de
Griffith cuando λ tiende a infinito, ya que para valores de la tasa de disipación de
energía (Gs) menores que la resistencia al agrietamiento (R), la relación ( )sG R λ tiende a
cero cuando λ tiende a infinito. En este caso, la evolución del daño solamente es posible
cuando la tasa de disipación de energía es igual a R. Por lo tanto, en ese caso particular,
la evolución del daño dada por la ley de fatiga iguala los valores de daño predichos por el
criterio de Griffith en cualquier caso, aun bajo cargas histeréticas.
De hecho, la constante λ puede considerarse como un “freno de fatiga”. El
máximo efecto de fatiga se consigue cuando λ = 0 y no existe efecto de fatiga alguno,
solo daño frágil, cuando λ = ∞ . En simulaciones realizadas por Puglisi y Flórez López
(1994) y Thomson, et al (1998), se encontró que para valores de 30λ = o mas, los
efectos de fatiga son despreciables.
69
5.4 Ley de evolución de las deformaciones permanentes para el
caso histerético
La ley de evolución es similar a la del caso monotónico, solo que se incluye la
posibilidad de endurecimiento cinemático además del endurecimiento isotrópico.
Adicionalmente, deben definirse dos funciones de fluencia, una para acciones positivas y
otra para acciones negativas. La ley de evolución se define en la ecuación 5.17 y las
funciones de fluencia en la ecuación 5.18.
0 0ps ysolo si fφ > =& Ecuación 5.17
( )( )
( )
( )
. . 0 1 1
1
1
ps s
s s
ys
ys
Vsi cd d
Ventonces f X Rd
Vde lo contrario f X Rd
α φ+ −
+
−
⎡ ⎤⎢ ⎥− ≥
− −⎢ ⎥⎣ ⎦
= − −−
= − + −−
Ecuación 5.18
donde X es un término de endurecimiento cinemático y R es un término de
endurecimiento isótropo, que se definen en las ecuaciones 5.19 y 5.20.
. . ps sX cα φ= Ecuación 5.19
( )1 . .s s yR c p Vα= − − Ecuación 5.20
La variable ps es la rotación plástica por corte máxima acumulada durante toda la
historia de carga. El parámetro α es una constante que toma valores entre cero y uno.
Este parámetro puede interpretarse como el porcentaje de endurecimiento plástico que
corresponde a endurecimiento cinemático. En las simulaciones llevadas a cabo dentro
del marco de esta tesis, se usó un valor constante de α = 0,60 , lo cual resultó adecuado
para el tipo de muros considerados.
Adicionalmente, la observación de los resultados experimentales muestra
estrangulamiento de los lazos histeréticos (efecto “pinching”). De acuerdo a Picón, et al
(2002) y Picón, et al (2003), en el caso de vigas anchas, este fenómeno observado en los
lazos histeréticos se debe al deslizamiento del refuerzo por falla de adherencia. Por esta
70
razón, se realizaron los ensayos MC-05, MC-06 y MC-07 para determinar si el
estrangulamiento de los lazos histeréticos podía atribuirse al deslizamiento de las barras
de refuerzo horizontal con respecto al concreto circundante en el caso de muros.
La observación de la respuesta de estos muros presentada en el capítulo 3 (Figura
3.13 a Figura 3.15), permite llegar a la conclusión de que la condición de adherencia en el
refuerzo no afecta el grado de estrangulamiento de los lazos histeréticos. En la Figura 5.2
se muestra una superposición de los tres ensayos, en la cual se verifica la conclusión
anterior.
-20000,0
-15000,0
-10000,0
-5000,0
0,0
5000,0
10000,0
15000,0
20000,0
-20,0 -15,0 -10,0 -5,0 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0Desplazamiento en el tope (mm)
Fuer
za h
oriz
onta
l en
el to
pe (K
g)
Adherencia mejorada
Adherencia normal
Adherencia reducida
Figura 5.2 Superposición de ensayos MC-05, MC-06 y MC-07
Luego, revisando la literatura disponible, se encontró que Paulay, et al (1982)
observaron el mismo fenómeno en muros ensayados por ellos. En ese caso, la causa del
estrangulamiento fue evidente: el deslizamiento por corte a lo largo de una grieta
horizontal en la base del muro, al vencerse la resistencia a la fricción entre las caras de la
grieta. Esta conclusión, aunada a la observación detenida de los muros MC-05, MC-06 y
MC-07 en el transcurso de los ensayos, nos permite postular que la causa principal del
estrangulamiento de los lazos histeréticos en los muros ensayados dentro del marco de
este trabajo, es el deslizamiento por corte a lo largo de las grietas diagonales presentes en
el muro. Cuando comienzan a cerrarse las grietas, al invertirse el signo de la carga,
71
empieza a actuar la fricción entre las caras de las grietas. Este fenómeno es descrito
adecuadamente por el modelo propuesto, aunque su naturaleza es diferente al fenómeno
de deslizamiento por falla de adherencia para el cual fue propuesto originalmente el
modelo por Picón, et al (2002) y Picón, et al (2003). En el caso de los muros ensayados,
no hubo agrietamiento importante por flexión en la base del muro y no se produjo
deslizamiento a lo largo de ese plano.
5.4.1 Modelado del estrangulamiento en muros de corte
5.4.1.1 Fricción de Coulomb en interfases
Considere una interfase entre dos medios continuos como se muestra en la Figura
5.3(a), siendo σ y τ el esfuerzo normal y el esfuerzo cortante, respectivamente, en la
interfase. Si la superficie se caracteriza por un criterio de fricción de Coulomb, el
desplazamiento relativo “h” entre los dos bloques obedece la siguiente ley:
s
s
0 if ( ) 00 if ( ) 0
hh
⎧ > τ − τ σ =⎪⎨
= τ − τ σ <⎪⎩
&
& Ecuación 5.21
στ
τ
σZona de no-deslizamiento
hτ = τs(σ)
στ
τ
σZona de no-deslizamiento
hτ = τs(σ)
Figura 5.3 Fricción de Coulomb
Donde el término sτ es la resistencia al deslizamiento que depende del esfuerzo
normal. El dominio de no-deslizamiento, suponiendo una resistencia arbitraria se
representa en la Figura 5.3(b). Puede notarse que el deslizamiento ocurre cuando el
esfuerzo cortante alcanza la resistencia al deslizamiento. Este último no es constante,
sino que depende del esfuerzo normal. Para valores más altos del esfuerzo normal de
compresión, se incrementa la resistencia al deslizamiento. Una presentación general de
72
comportamiento de interfases puede encontrarse en textos de plasticidad, como por
ejemplo: Salençon (1983).
5.4.1.2 Función de deslizamiento de una grieta de cortante
El proceso de deslizamiento que ocurre a lo largo de una grieta por cortante puede
explicarse en términos de plasticidad por fricción de Coulomb. Considere una grieta por
cortante en un muro estructural que se ha formado bajo carga positiva. A medida que se
reduce la carga hasta cero, la grieta permanece abierta. Luego, al aplicarse la carga en el
sentido negativo, la fricción a lo largo de la grieta es pequeña, pero a medida que la grieta
comienza a cerrarse, la fricción aumenta gradualmente, lo cual puede visualizarse como
un incremento gradual del esfuerzo normal y consecuencialmente en la resistencia al
deslizamiento.
Adicionalmente, si ha ocurrido fluencia del refuerzo horizontal al abrirse la grieta,
es evidente que para cerrarse nuevamente, el refuerzo debe fluir en compresión. Por lo
tanto, existe una interacción entre dos fenómenos: deslizamiento a lo largo de la grieta y
fluencia del refuerzo. Ambos fenómenos generan rotaciones plásticas en el muro.
Para modelar el deslizamiento a lo largo de grietas por cortante, se usa nuevamente
la hipótesis de disipación concentrada. Esto es, se supone que las rotaciones plásticas
generadas por deslizamiento a lo largo de las grietas por cortante pueden concentrarse en
la variable interna: psφ .
Se puede usar una generalización del concepto de plasticidad por fricción de
Coulomb para describir el comportamiento de un muro inelástico con deslizamiento.
Con esta finalidad, se introduce una función de deslizamiento:
s sf V k= − Ecuación 5.22
La ecuación 5.22 se puede interpretar como sigue: existirán incrementos en la
rotación plástica debido a deslizamiento a lo largo de las grietas de cortante, sólo si la
fuerza cortante alcanza el valor crítico ks. En el caso de plasticidad por fricción de
Coulomb, se acepta que el valor crítico de deslizamiento depende del esfuerzo normal en
la interfase. Para deslizamiento a lo largo de grietas por cortante se supondrá que el valor
crítico ks corresponde a una función de endurecimiento. La determinación analítica de la
73
función de endurecimiento es un problema sumamente complejo, en vista de lo cual se
propone una expresión fenomenológica:
( ). ..pssigno V
s ok V e γ φ= Ecuación 5.23
Se ha escogido una función exponencial de la rotación plástica para obtener las
curvas típicas “estranguladas” cuando existe deslizamiento en el muro. El parámetro Vo
se llamará “resistencia al deslizamiento”, y es un concepto similar a la resistencia a la
fluencia en plasticidad, es decir, Vo es la fuerza cortante que produce deslizamiento
cuando aún no han ocurrido rotaciones plásticas. El cálculo del parámetro γ se discute en
la siguiente sección.
5.4.1.3 Función de deslizamiento por corte con daño
Para modelar deslizamiento por corte junto con daño debido al agrietamiento, se
propone una función de deslizamiento similar a la propuesta por Picón, et al (2002) y
Picón, et al (2003), quienes modelaron este fenómeno introduciendo una función de
fluencia por deslizamiento, adicional a la función de fluencia original. Haciendo la
analogía, para el caso de muros, se propone una función de fluencia por deslizamiento
que tiene la siguiente forma.
( )( )
( )( )
( )( )
. .
. .
. . 0 1 1
.1
.1
ps
ps
ps s
s s
signo Vs o
s
signo Vs o
s
Vsi cd d
Ventonces f V ed
Vde lo contrario f V ed
γ φ
γ φ
α φ+ −
+
−
⎡ ⎤⎢ ⎥− ≥
− −⎢ ⎥⎣ ⎦
= −−
= −−
Ecuación 5.24
En la ecuación 5.24, γ es un parámetro que debe calcularse resolviendo las
siguientes ecuaciones.
74
( )
( )
0
0
y s s s
y s s s
cuando f f entonces G R d para acciones positivas
o
cuando f f entonces G R d para acciones negativas
+ +
− −
= = =
= = =
Ecuación 5.25
Como resultado de la aplicación de estas ecuaciones se puede deducir la siguiente
expresión para acciones positivas:
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
2
2
2ln
12 2 1
1 1 1
v s
os
v s ss y s s s
GA R dLVd
GA d R dd V d c p
L
γ
α
+
+
+ ++ +
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠=
−− − − − −
Ecuación 5.26
Y, para acciones negativas:
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
2
2
2ln
12 2 1
1 1 1
v s
os
v s ss y s s s
GA R dLVd
GA d R dd V d c p
L
γ
α
−
−
− −− −
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠=
−− − − − −
Ecuación 5.27
El efecto del parámetro γ sobre las curvas histeréticas puede verse en la Figura 5.5.
Ahora existen dos funciones de fluencia que interactúan, la primera debida a la
fluencia del refuerzo, propiamente dicha, y la segunda debida a deslizamiento por corte.
La función que controlará la evolución de las deformaciones permanentes será aquella
cuyo valor sea máximo en el instante dado. En la Figura 5.4 se muestran las formas de
estas funciones de fluencia y su interacción.
75
Rotación plástica
Fuer
za c
orta
nte
V0
Vyfy = 0
fs = 0
Rotación plástica
Fuer
za c
orta
nte
V0
Vyfy = 0
fs = 0
Figura 5.4 Interacción entre funciones de fluencia
Rotación plástica
Fuer
za c
orta
nte
fy = 0γ
fs = 0
d
Rotación plástica
Fuer
za c
orta
nte
fy = 0γ
fs = 0
d
Figura 5.5 Efecto del parámetro γ sobre los lazos histeréticos
76
6. IMPLEMENTACIÓN NUMÉRICA DEL
MODELO HISTERÉTICO EN ABAQUS
6.1 Introducción
El modelo propuesto en el capítulo anterior, se implementa como un elemento finito
nuevo en un programa comercial de elementos finitos llamado ABAQUS (2001). La
implementación del modelo puede ser utilizada en cualquier otro programa comercial,
siempre y cuando éste permita realizar un análisis no lineal. La implementación actual del
modelo permite el análisis de estructuras aporticadas bajo acciones histeréticas de tipo
estático y/o dinámico para calcular la respuesta de la estructura.
Para realizar el análisis de la estructura, el problema se divide en dos partes, un
problema global y otro problema local. El primero se resuelve mediante el programa
comercial de elementos finitos utilizado (en este caso ABAQUS, 2001) y determina los
desplazamientos nodales de la estructura. El segundo es resuelto por la subrutina
SUPERDEG, desarrollada por Ramirez, A. (1995), modificada por Flórez López y
Marante en un trabajo mas reciente aún no publicado, y en este trabajo se adecúa para
modelar el daño por corte en muros, tomando pequeños o grandes desplazamientos.
77
6.2 Resolución numérica de una estructura de muros con daño
por corte
El modelo histerético de daño por corte, es utilizado para el análisis estático de
estructuras de muros elasto-plásticos degradables de concreto armado. La resolución
numérica de este análisis se plantea de tal manera que a partir de los datos del problema
se determinan los desplazamientos, deformaciones y esfuerzos generalizados, variables y
fuerzas internas. En el problema global se resuelve numéricamente el sistema de
ecuaciones de equilibrio de los nodos, para obtener los desplazamientos generalizados de
la estructura. En el problema local se determinan las fuerzas internas, el aporte de cada
miembro a la rigidez de la estructura con el jacobiano local, y el aporte de cada miembro
a la masa de la estructura con el jacobiano inercial, en función de los desplazamientos
nodales del miembro.
6.2.1 Datos del problema
Geometría de la estructura (coordenadas de los nodos y restricciones de los apoyos).
Características de los miembros de la estructura: masa, parámetros del modelo y
ceros numéricos.
Historia de carga y/o desplazamientos aplicados en los nodos en un intervalo de
tiempo.
6.2.2 Variables que son incógnitas del problema
Desplazamientos, velocidades y aceleraciones:
{ } ( )
{ } { } { } { }{ }{ } { } { }{ }
1 2 3, ,
, , ,
,
t
i
t t t t
i j n
t t t
i j
U U U U
X U U U
q U U
=
=
=
L Ecuación 6.1
Deformaciones en los miembros:
{ } { }, ,ti jφ φ φ δ= Ecuación 6.2
Esfuerzos internos en los miembros:
78
{ } { }, ,ti jM M M N= Ecuación 6.3
Variables internas: daños y plasticidad
{ } { }{ } { }
,
, ,0
ts s
tp p ps s
D d d
φ φ φ
+ −=
= Ecuación 6.4
Fuerzas Internas:
{ } { }1 2 3 4 5 6, , , , ,tQ Q Q Q Q Q Q= Ecuación 6.5
6.2.3 Ecuaciones a verificar:
Ecuaciones de compatibilidad:
{ } [ ]{ }( )d B q dqφ = Grandes desplazamientos Ecuación 6.6
{ } [ ]{ }Bo qφ = Pequeños desplazamientos Ecuación 6.7
Ecuaciones de equilibrio de la estructura y del miembro:
{ } [ ]{ } { }..
1 1
( ) ( ) 0m m
b b b
Q m q t P t= =
+ − =∑ ∑ Caso dinámico Ecuación 6.8
{ } [ ] { }( ) tQ B q M= Grandes desplazamientos Ecuación 6.9
{ } [ ] { }tQ Bo M= Pequeños desplazamientos Ecuación 6.10
Ley de comportamiento:
Ley de estado:
{ } ( ) ( )p s sF d M F d Mφ φ + −+ −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Ecuación 6.11
Leyes de evolución de la plasticidad y de los daños, las cuales están representadas
en las ecuaciones 5.14, 5.6a y 5.6b respectivamente.
Condiciones de admisibilidad termodinámicas, para verificar si las variables
internas (plasticidad y daños) están activas o no. Estas condiciones están representadas
en las ecuaciones.
79
Al considerar el comportamiento del material no lineal es necesario utilizar un
método de resolución paso a paso. En estos métodos, se discretiza el intervalo de tiempo
para el cual se analiza la estructura en pequeños pasos, y se calculan las incógnitas
suponiendo que el comportamiento de la estructura es lineal en cada paso.
El problema se fundamenta en la resolución numérica de un sistema de ecuaciones
no lineales para cada paso y puede dividirse en un problema global y “m” problemas
locales, siendo “m” el número total de miembros de la estructura.
6.2.4 Solución del problema global
La solución del problema global consiste en la resolución numérica del sistema de
ecuaciones de equilibrio de los nodos para obtener los desplazamientos de la estructura
{ }X . La ecuación de equilibrio puede escribirse de la forma siguiente:
( ){ } { } [ ] ( ){ } { }1 1
0m m
r rbb
b b
L X Q m q X P= =
= + − =∑ ∑ && Ecuación 6.12
Por ser el comportamiento no lineal, el problema debe ser resuelto por un método
iterativo, por ejemplo el método de Newton, donde cada iteración “a” consiste en resolver
el siguiente problema lineal:
( ){ } ( ){ } { } { }( )111
0s ss s
s
LL X L X X XX
∂∂ −−
−
⎡ ⎤≅ + − =⎢ ⎥
⎣ ⎦ Ecuación 6.13
donde
[ ]11 1 1
m
bbs s s
L Q qmX X X
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂=− − −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∑ &&
Ecuación 6.14
Es el Jacobiano del problema global. El primer término, 1s
QX
∂∂
−
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
es el Jacobiano
local en coordenadas globales y [ ]1
bs
qmX
∂∂
−
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
&& es el Jacobiano inercial. El vector
{ }1sX − contiene los desplazamientos generalizados de la estructura calculados en la
80
iteración precedente. Los términos para determinar el Jacobiano del problema global son
calculados en el problema local y transferidos al global para el análisis de la estructura.
6.2.5 Solución del problema local
La solución del problema local implica el cálculo numérico de las fuerzas internas,
el jacobiano local y el jacobiano inercial en función de los desplazamientos de los
miembros, a través de la subrutina llamada (SUPERDEG). El algoritmo de esta subrutina
se basa en determinar estas variables para cada iteración de la siguiente manera:
6.2.5.1 Cálculo de los esfuerzos generalizados y las variables internas en
el paso
Las deformaciones generalizadas pueden calcularse a partir de los desplazamientos
generalizados empleando las ecuaciones de compatibilidad (en pequeños o grandes
desplazamientos). Esto no representa ninguna dificultad particular puesto que se trata de
una aplicación directa de las ecuaciones 6.6 y 6.7.
La determinación de los esfuerzos generalizados, en función de las deformaciones,
se realiza a través de la ley de comportamiento, y consiste en resolver un sistema de
ecuaciones donde las únicas incógnitas son los esfuerzos generalizados { }M y las
variables internas { } { },p Dφ . Esta Ley de Comportamiento formada por la Ley de
Estado (ecuación 6.11) y las Leyes de Evolución (ecuaciones 5.14, 5.6a y 5.6b)
conforman un sistema de ecuaciones, el cual se representa como:
{ }( ){ }( ){ }
, , 0
, , 0k
k k
R M ARV
V M A
φ
φ
⎧ ⎫=⎪ ⎪= ⎨ ⎬=⎪ ⎪⎩ ⎭
Ecuación 6.15
Donde { } 0R = es la ley de estado presentada en la ecuación 6.11 en función de los
esfuerzos (M), las deformaciones (φ) y las variables internas del modelo { } { }1 kA AL ,
siendo { } { } { } { } { } { }1 2 3, ,ps s sA A d A dφ + −= = = .
81
Las ecuaciones { } { }10, , 0
kV V= =L , representan las leyes de evolución
asociadas a cada variable interna. Estas leyes de evolución pueden expresarse de una
manera única como se muestra:
( ), ,i i i k ii
i i
h M A si A esta activaV
A si A no esta activaφ⎧
⎨∆⎩
Ecuación 6.16
Donde hi representa la función inelástica (de fluencia o de daño) correspondiente a
la variable interna Ai , y ∆Ai es el incremento de la variable interna en el paso
considerado.
El sistema de ecuaciones antes mencionado { } 0RV = , es posible resolverlo
aplicando el método de Newton, sin embargo surge el inconveniente de no conocer cuáles
son las variables internas activas durante el paso en cuestión. Para superar esto, se
emplea un algoritmo llamado “Predictor-Corrector-Verificador” que consiste en
determinar los esfuerzos generalizados y las variables internas en tres etapas:
Primera Etapa: predicción elástica.
En este primer paso se determinan los esfuerzos generalizados suponiendo que no
hay incrementos en ninguna variable interna (Ak=0). Los esfuerzos generalizados son
calculados por medio de la Ley de Estado (ecuación 6.11) en el paso considerado. Esta
predicción puede verificarse calculando las funciones inelásticas con los esfuerzos
generalizados encontrados:
( ), ,i i i i kh h M Aφ= Ecuación 6.17
Ahora, existen dos posibilidades: una, que todas las funciones inelásticas sean
negativas o nulas, esto significa que la predicción es correcta, no hay incrementos de
ninguna variable interna durante el paso y los esfuerzos generalizados calculados en la
predicción son correctos. En este caso terminaría el cálculo de los esfuerzos al final del
paso. La segunda posibilidad surge cuando una o varias funciones inelásticas son
positivas. Esto significa que la predicción no es correcta y que hay cambio en al menos
una de las variables internas durante el paso. En este caso hace falta pasar a la segunda
etapa.
Segunda Etapa: corrección inelástica.
82
Esta corrección consiste en recalcular los esfuerzos generalizados y las variables
internas al final del paso, sabiendo que existen cambios en al menos una variable interna
del modelo. Se supondrán activas aquellas variables cuya función inelástica “hi” ha dado
un valor positivo durante la predicción elástica, y las restantes se supondrán pasivas. Esta
etapa puede ahora ser resuelta por el método de Newton, obteniéndose los esfuerzos
generalizados y los valores de las variables internas al final del paso. Se debe verificar si
las variables internas supuestas activas lo son, y esto se hace en la tercera etapa.
Tercera Etapa: Verificación.
En esta etapa se verifican las suposiciones referentes a las variables internas activas
y pasivas en el incremento, que permitieron la corrección inelástica. Esta verificación se
hace en dos pasos:
En el primero, se calculan las funciones inelásticas de las variables internas que
fueron supuestas pasivas en la corrección con los nuevos valores obtenidos para las
variables internas al final del paso. Si alguna de estas funciones es positiva, entonces la
variable interna que corresponde a esta función no es pasiva durante el incremento, las
hipótesis realizadas para la corrección son erróneas y debe por lo tanto realizarse una
nueva corrección inelástica.
En el segundo paso, se calculan los términos de disipación de las desigualdades
termodinámicas asociadas a las variables internas que fueron supuestas activas durante la
corrección. Al proceder paso a paso, estas desigualdades se traducen como:
( )( )( )
1
1
0
0
r ri i i
p pi i i r i r
d d d
M X φ φ
−
−
∆ = − ≥
− − ≥ Ecuación 6.18
Si alguna de estas desigualdades no se cumple, entonces la variable interna asociada
a la desigualdad en cuestión no es válida, las hipótesis en la etapa de corrección no son
correctas y debe realizarse otra corrección.
En el caso de que todas las desigualdades se cumplan para las variables supuestas
activas, y las funciones inelásticas sean negativas o cero para las variables supuestas
pasivas en la etapa de corrección, entonces los valores obtenidos de los esfuerzos
generalizados y de las variables internas son correctos. Al concluir las tres etapas quedan
definidas cuáles variables internas están activas y cuáles no en el paso que se está
83
analizando y al mismo tiempo se obtienen los esfuerzos generalizados en cada miembro
de la estructura.
6.2.5.2 Determinación de las fuerzas internas.
Las fuerzas internas se calculan a partir de los esfuerzos generalizados
empleando las ecuaciones de equilibrio (ecuaciones 6.9 y 6.10) del miembro. Como en
las deformaciones generalizadas, este cálculo consiste en la aplicación directa de dichas
ecuaciones.
6.2.5.3 Cálculo del Jacobiano local en coordenadas globales.
El jacobiano local en coordenadas globales se puede determinar en dos procesos:
Primero: determinación del Jacobiano local en coordenadas locales.
El jacobiano local en coordenadas locales se define como la derivada de los
esfuerzos con respecto a las deformaciones Mφ
⎡ ⎤∂⎢ ⎥∂⎣ ⎦
. El cálculo de dicha matriz se hace a
partir de las deformaciones y esfuerzos generalizados calculados previamente. A partir
de la ecuación 6.15, la cual define la Ley de Estado y las Leyes de Evolución de las
variables internas como función de las deformaciones generalizadas, y derivándola
parcialmente con respecto a las deformaciones se obtiene el siguiente sistema de
ecuaciones matriciales:
k
k
k
k
AR M R RM A
AV M V VM A
∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ φ ∂ ∂ φ ∂ φ
∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ φ ∂ ∂ φ ∂ φ
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
+ = −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
Ecuación 6.19
La expresión constituye un sistema de ecuaciones matriciales con dos incógnitas:
las matrices M∂∂φ
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
y kA∂∂φ
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
. La primera matriz es el Jacobiano Local en Coordenadas
Locales, el cual se obtiene al resolver el sistema de ecuaciones matriciales propuesto.
Segundo: determinación del Jacobiano local en coordenadas globales.
84
El cálculo del Jacobiano local en coordenadas globales Qq
∂∂
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
, se obtiene derivando
la ecuación de equilibrio del miembro con respecto a los desplazamientos del miembro:
[ ] [ ] [ ]( )( )
ttB qQ MM B q
q q q∂∂ ∂
∂ ∂ ∂
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ Ecuación 6.20
El primer término de la expresión del jacobiano local en coordenadas globales se
anula en el caso de pequeños desplazamientos. En el caso de grandes desplazamientos, al
derivar, y después de simplificar algunos términos se obtiene:
[ ] { } [ ]2
( ) tB q NM Jq L
∂∂
⎡ ⎤=⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦ Ecuación 6.21
Donde,
[ ]
2 2
2 2
2 2
2 2
0 00 0
0 0 0 0 0 00 00 0
0 0 0 0 0 0
Sen Sen Cos Sen Sen CosSen Cos Cos Sen Cos Cos
JSen Sen Cos Sen Sen Cos
Sen Cos Cos Sen Cos Cos
α α α α α αα α α α α α
α α α α α αα α α α α α
⎡ ⎤− −⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥
= ⎢ ⎥− −⎢ ⎥
⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
L : es la longitud del miembro.
N : es la carga axial del miembro en el paso que se está analizando.
α : es la inclinación del miembro con respecto a los ejes de referencia.
El segundo término podemos expresarlo en función del jacobiano local en
coordenadas locales de la siguiente manera:
[ ]( )M M M B qq q
∂ ∂ ∂φ ∂∂ ∂φ ∂ ∂φ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Ecuación 6.22
Por lo tanto,
85
[ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( )t tM MB q B q B qq
∂ ∂∂ ∂ φ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Ecuación 6.23
Quedando definido el jacobiano local en coordenadas globales de la siguiente
manera:
[ ] [ ] [ ]2 ( ) ( )tQ N MJ B q B qq L
∂ ∂∂ ∂φ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦⎣ ⎦ Ecuación 6.24
6.2.5.4 Cálculo del Jacobiano inercial en coordenadas globales
Al considerar el análisis dinámico, y tomar la ecuación de equilibrio de las fuerzas
del miembro, podemos definir el término de las fuerzas inerciales como:
[ ]{ } { }Im q Q=&& Ecuación 6.25
Al derivar las fuerzas inerciales con respecto a los desplazamientos del miembro, se
obtiene:
[ ] [ ]Ib b
b
Q m qq mq q q
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
&&&& Ecuación 6.26
Las derivadas de las aceleraciones y velocidades con respecto a los desplazamientos
generalizados dependen del algoritmo empleado. En el caso del Método de Newton
utilizado previamente estas derivadas se definen como:
[ ] ( ) [ ]2
11 1 1q qX t X t
ϑ∂ ∂∂ β ∂ β
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥∆ ∆⎣ ⎦ ⎣ ⎦
&& & Ecuación 6.27
Donde [ ]1 es la matriz unitaria de orden seis, ∆t es el incremento de tiempo
utilizado en el paso que se está analizando, β y ϑ son parámetros de integración para
obtener exactitud y estabilidad en la integración numérica.
Se puede expresar en forma definitiva el Jacobiano local en coordenadas globales,
considerando las fuerzas internas, las inerciales y las fuerzas de amortiguación de la
estructura:
86
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
2
2
( ) ( )
1 1 1 1
tL N MJ B X B XX L
m Ct t
∂ ∂∂ ∂ φ
ϑβ β
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦−
+ +∆ ∆
Ecuación 6.28
6.3 IMPLEMENTACIÓN DEL MODELO EN ABAQUS.
6.3.1 Solución del problema global
La solución del problema global es realizada por el programa ABAQUS (2001). La
inclusión del elemento de usuario se realiza mediante una subrutina llamada UEL. Esta
subrutina es llamada cada vez que ABAQUS necesita información sobre el elemento. En
ella debe estar definida la contribución de cada elemento a la rigidez y a la masa de la
estructura. ABAQUS al llamar a UEL, suministra las variables de los nodos que
correspondan al elemento en el paso actual del análisis, como los desplazamientos, las
velocidades y las aceleraciones. Existe un intercambio de datos controlados que
dependen del tipo de elemento y de su contribución a la estructura como el vector
residual, el jacobiano local en coordenadas globales y otras variables asociadas al
elemento. Esto sirve para que ABAQUS determine los nuevos desplazamientos nodales
de la estructura para el siguiente paso (ver Figura 6.1).
87
Programa comercial de elementos finitos
ABAQUS
UELUEL
ABAQUSABAQUS
desplazamientos generalizados { }q
Resolución problema local
Fuerzas residuales, Jacobiano
{ }
,p
QQ q
Dφ∂ ∂
Programa comercial de elementos finitos
ABAQUS
UELUEL
ABAQUSABAQUS
desplazamientos generalizados { }q
Resolución problema local
Fuerzas residuales, Jacobiano
{ }
,p
QQ q
Dφ∂ ∂
Figura 6.1 Flujograma general
Este intercambio frecuente de datos entre ABAQUS y SUPERDEG a través de
UEL amerita dos subrutinas, una que interpreta las variables de ABAQUS para que
puedan ser leídas por SUPERDEG y la otra que hace la interpretación inversa. Esta
primera subrutina se llama TRAD_ABAQUS_DEG, y la otra TRAD_DEG_ABAQUS
como se muestra en la Figura 6.2. Esto se hace con el propósito de permitir que
SUPERDEG pueda acoplarse de manera relativamente fácil a cualquier programa
comercial de elementos finitos no lineal, ya que las únicas subrutinas que habría que
modificar serían estas dos.
Traducción ABAQUS-SUPERDEG
Traducción ABAQUS-SUPERDEG
SUPERDEGSUPERDEG
Traducción SUPERDEG-ABAQUS
Traducción SUPERDEG-ABAQUS
UELUEL
Traducción ABAQUS-SUPERDEG
Traducción ABAQUS-SUPERDEG
SUPERDEGSUPERDEG
Traducción SUPERDEG-ABAQUS
Traducción SUPERDEG-ABAQUS
UELUEL
Figura 6.2 Flujograma UEL
La solución del problema global de la estructura (echa por ABAQUS, 2001),
integra el problema dinámico mediante el siguiente sistema de ecuaciones:
88
( ) ( ){ } { } [ ] ( ){ }( ) ( ){ } { } ( ){ }
1
1 0
tt t t t
tt t t t
Q Q m q
P P L
α α
α α
+ ∆ + ∆
+ ∆ + ∆
+ − + −
+ + + + =
&& Ecuación 6.29
Este sistema de ecuaciones es a su vez resuelto por el método iterativo de Newton.
6.3.2 Solución del problema local
El problema local se resuelve mediante la implementación del elemento de usuario
a través de la subrutina SUPERDEG, programada en el lenguaje FORTRAN 77.
SUPERDEG consiste básicamente en cuatro subrutinas (ver Figura 6.3), las cuales se
describirán brevemente con ayuda de flujogramas. Estas subrutinas son:
• Cálculo de las deformaciones (DEFTOT)
• Cálculo de los esfuerzos y variables internas (DEG)
• Cálculo de las fuerzas internas y las fuerzas residuales (RESIDU)
• Cálculo del jacobiano local e inercial (CAL_JACOB)
Estas subrutinas son aplicación directa de la resolución de sistemas de ecuaciones
extensos, excepto la subrutina DEG. En ella se resuelve la ley de comportamiento y es
un poco más complicada.
89
• Pequeños desplazamientos• Grandes desplazamientos• Análisis estático• Análisis dinámico
• Pequeños desplazamientos• Grandes desplazamientos• Análisis estático• Análisis dinámico
SUPERDEGSUPERDEG
DeformacionesDEFTOT
DeformacionesDEFTOT
DEGDEG
Fuerzas residualesRESIDU
Fuerzas residualesRESIDU
Jacobiano localCAL_JACOB
Jacobiano localCAL_JACOB
{ } { } { }, ,pM Dφ
• Análisis estático• Análisis dinámico
{ }Q
⎡ ⎤∂⎢ ⎥∂⎣ ⎦
• Pequeños desplazamientos• Grandes desplazamientos• Análisis estático• Análisis dinámico
• Pequeños desplazamientos• Grandes desplazamientos• Análisis estático• Análisis dinámico
SUPERDEGSUPERDEG
DeformacionesDEFTOT
DeformacionesDEFTOT
DEGDEG
Fuerzas residualesRESIDU
Fuerzas residualesRESIDU
Jacobiano localCAL_JACOB
Jacobiano localCAL_JACOB
{ } { } { }, ,pM Dφ
• Análisis estático• Análisis dinámico
{ }Q
⎡ ⎤∂⎢ ⎥∂⎣ ⎦
Figura 6.3 Flujograma SUPERDEG
6.3.2.1 Cálculo de las deformaciones (DEFTOT)
En esta subrutina se obtienen las deformaciones totales de cada elemento aplicando
las leyes de compatibilidad, considerando desplazamientos grandes o pequeños como se
muestra en la Figura 6.4.
6.3.2.2 Cálculo de los esfuerzos y de las variables internas (DEG)
La subrutina DEG resuelve el sistema formado por las ecuaciones que componen la
Ley de Comportamiento. En la Figura 6.5 se muestra el flujograma general de esta
subrutina. El sistema de ecuaciones es resuelto por el método de Newton, aplicando el
algoritmo Predictor-Corrector-Verificador mencionado anteriormente. De esta manera se
obtienen los esfuerzos generalizados y variables internas actualizadas.
90
DEFTOTDEFTOT
Pequeñosdesplazamientos
Pequeñosdesplazamientos
Matriz de transformaciónMatriz de transformación[ ]oB
{ } [ ]{ }oB qφ =
{ }( )( )
( )
3
6
oi
j o
o
q q
q q
L q L
θ θφφ φ θ θ
δ
⎧ ⎫+ −⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = + −⎡ ⎤⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎩ ⎭
SiNo
DEFTOTDEFTOT
Pequeñosdesplazamientos
Pequeñosdesplazamientos
Matriz de transformaciónMatriz de transformación[ ]oB
{ } [ ]{ }oB qφ =
{ }( )( )
( )
3
6
oi
j o
o
q q
q q
L q L
θ θφφ φ θ θ
δ
⎧ ⎫+ −⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = + −⎡ ⎤⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎩ ⎭
SiNo
Figura 6.4 Flujograma DEFTOT
Este método de resolución del sistema de ecuaciones genera la construcción de un
nuevo Jacobiano, definido en este trabajo como HIPERMATRIZ. Esta hipermatriz se
genera al derivar parcialmente el vector { }RV con respecto a los esfuerzos generalizados
{ }M , a las deformaciones plásticas { }pφ , y al daño { }D , quedando expresada de la
siguiente manera:
, ,
p
p
p
R R RM DRVHIPERMATRIZ
M D f f fM D
∂ ∂ ∂∂ ∂φ ∂∂
∂ ∂φ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂φ ∂
⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎢ ⎥→ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦
Ecuación 6.30
Cada una de las sub-matrices están conformadas por expresiones extensas y
numerosas, como por ejemplo:
91
1 1 1
2 2 2
3 3 3
i j
i j
i j
R R RM M N
R R RRM M M N
R R RM M N
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂∂∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Ecuación 6.31
Donde el vector { }R es:
1 11 12 11 12
2 21 22 21 22
3 33
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
pi s s i s j s i s j
pi s s i s j s i s j
R F d M F d M F d M F d MR F d M F d M F d M F d MR F N
φ φφ φ
δ
+ + + + − − − −
+ + + + − − − −
⎧ ⎫− − − − −⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ = − − − − −⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎩ ⎭ ⎩ ⎭
Ecuación 6.32
Realizando el mismo procedimiento con el vector { }V , de las variables internas, se
logran obtener los términos restantes de las otras sub-matrices.
Luego de hacer varias iteraciones en el problema local y lograr la convergencia, se
calculan las fuerzas termodinámicas asociadas a las variables internas. En un proceso
previo llamado RESIDUAL han quedado definidas cuáles de las variables internas están
activas o no.
En el proceso RESIDUAL (ver Figura 6.6), se actualiza el vector { }RV verificando
si algunas de las variables internas se encuentran activas o no. Esta decisión se toma al
chequear las funciones de fluencia y de daño. Si alguna de ellas es mayor que cero, la
variable interna asociada a dicha función se encuentra activa. Al definir cuáles de las
variables están activas y cuales pasivas, se procede a ensamblar el vector { }RV .
92
DEGDEG
Residual inicial(Predicción elástica)
Residual inicial(Predicción elástica)
Contador: ite=ite+1Contador: ite=ite+1
ite > max_iteite > max_ite
HipermatrizHipermatriz
Solución sistema de ecuacionesMétodo de Newton
Solución sistema de ecuacionesMétodo de Newton
Actualización de esfuerzos yVariables internas
Actualización de esfuerzos yVariables internas
ResidualResidual
ConvergenciaConvergencia
Fuerzas termodinámicasasociadas
Fuerzas termodinámicasasociadas
No hay convergenciadel problema local
No hay convergenciadel problema local
Si
No
Si
No
, ,pRV
M D∂
∂ ∂φ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ] ( ) { } p
MRV X RV X donde XX
Dφ
⎧ ⎫∂ ⎪ ⎪⎡ ⎤ ∆ = − =⎡ ⎤ ⎨ ⎬⎣ ⎦⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ⎪ ⎪
⎩ ⎭
{ }( )
( )( )
1
2
0
0
p
R ley de estado
RV V
V D
φ
⎧ ⎫⎪ ⎪
= ∇ =⎨ ⎬⎪ ⎪∇ =⎩ ⎭
{ }RV
DEGDEG
Residual inicial(Predicción elástica)
Residual inicial(Predicción elástica)
Contador: ite=ite+1Contador: ite=ite+1
ite > max_iteite > max_ite
HipermatrizHipermatriz
Solución sistema de ecuacionesMétodo de Newton
Solución sistema de ecuacionesMétodo de Newton
Actualización de esfuerzos yVariables internas
Actualización de esfuerzos yVariables internas
ResidualResidual
ConvergenciaConvergencia
Fuerzas termodinámicasasociadas
Fuerzas termodinámicasasociadas
No hay convergenciadel problema local
No hay convergenciadel problema local
Si
No
Si
No
, ,pRV
M D∂
∂ ∂φ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ] ( ) { } p
MRV X RV X donde XX
Dφ
⎧ ⎫∂ ⎪ ⎪⎡ ⎤ ∆ = − =⎡ ⎤ ⎨ ⎬⎣ ⎦⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ⎪ ⎪
⎩ ⎭
{ }( )
( )( )
1
2
0
0
p
R ley de estado
RV V
V D
φ
⎧ ⎫⎪ ⎪
= ∇ =⎨ ⎬⎪ ⎪∇ =⎩ ⎭
{ }RV
Figura 6.5 Flujograma DEG
93
RESIDUALRESIDUAL
Cálculo de R(Ley de estado)
Cálculo de R(Ley de estado)
Pequeñasdeformaciones
Pequeñasdeformaciones
Cálculo de las funciones inelásticas para cada variable interna
Cálculo de las funciones inelásticas para cada variable interna
VerificaciónVerificación
ActivasActivas
EnsamblajeEnsamblaje
SiNo
{ } { } ( ) { }( ) { }
ps
s
R F d M
F d M
φ φ ++
−−
⎡ ⎤= − − ⎣ ⎦⎡ ⎤− ⎣ ⎦
{ } { } ( ) { }( ) { }
,
,
ps
s
R F d N M
F d N M
φ φ ++
−−
⎡ ⎤= − − ⎣ ⎦⎡ ⎤− ⎣ ⎦
i oV α α= −i iV V=
SiNo
{ }R
RVV
⎧ ⎫= ⎨ ⎬
⎩ ⎭
RESIDUALRESIDUAL
Cálculo de R(Ley de estado)
Cálculo de R(Ley de estado)
Pequeñasdeformaciones
Pequeñasdeformaciones
Cálculo de las funciones inelásticas para cada variable interna
Cálculo de las funciones inelásticas para cada variable interna
VerificaciónVerificación
ActivasActivas
EnsamblajeEnsamblaje
SiNo
{ } { } ( ) { }( ) { }
ps
s
R F d M
F d M
φ φ ++
−−
⎡ ⎤= − − ⎣ ⎦⎡ ⎤− ⎣ ⎦
{ } { } ( ) { }( ) { }
,
,
ps
s
R F d N M
F d N M
φ φ ++
−−
⎡ ⎤= − − ⎣ ⎦⎡ ⎤− ⎣ ⎦
i oV α α= −i iV V=
SiNo
{ }R
RVV
⎧ ⎫= ⎨ ⎬
⎩ ⎭
Figura 6.6 Flujograma RESIDUAL
6.3.2.3 Cálculo de las Fuerzas Internas y de las Fuerzas Residuales
El cálculo de las fuerzas internas consiste en la resolución de la ecuación de
equilibrio del miembro. En el caso dinámico es necesario calcular las fuerzas inerciales
y sumarlas a las fuerzas internas para obtener la contribución del elemento a las fuerzas
94
nodales de la estructura. Para grandes desplazamientos, la matriz de transformación está
dada en términos de los desplazamientos (ver Figura 6.7).
RESIDUFuerzas residuales
RESIDUFuerzas residuales
Pequeñasdeformaciones
Pequeñasdeformaciones
Fuerzas internasFuerzas internas
DinámicoDinámico
Masa consistenteAceleración
Masa consistenteAceleración
Fuerzas inercialesFuerzas inerciales
Fuerzas residuales(internas + residuales)
Fuerzas residuales(internas + residuales)
( ) tB q⎡ ⎤⎣ ⎦ [ ]t
oB
{ } ( ) { }tQ B q M= ⎡ ⎤⎣ ⎦
SiNo
SiNo
RESIDUFuerzas residuales
RESIDUFuerzas residuales
Pequeñasdeformaciones
Pequeñasdeformaciones
Fuerzas internasFuerzas internas
DinámicoDinámico
Masa consistenteAceleración
Masa consistenteAceleración
Fuerzas inercialesFuerzas inerciales
Fuerzas residuales(internas + residuales)
Fuerzas residuales(internas + residuales)
( ) tB q⎡ ⎤⎣ ⎦ [ ]t
oB
{ } ( ) { }tQ B q M= ⎡ ⎤⎣ ⎦
SiNo
SiNo
Figura 6.7 Flujograma RESIDU
6.3.2.4 Calculo del Jacobiano Local e Inercial en Coordenadas Globales
El jacobiano local en coordenadas globales se determina a partir del jacobiano local
en coordenadas locales, M∂∂φ
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
, el cual es obtenido de un sistema de ecuaciones
matriciales expresado anteriormente en la ecuación 6.19. De esta manera podemos
determinar el jacobiano local en coordenadas globales por medio de la ecuación 6.24 para
95
grandes desplazamientos, o para pequeños desplazamientos. El jacobiano inercial solo
aparece si el análisis es dinámico, y es determinado por la ecuación 6.28.
CAL_JACOBCálculo del Jacobiano
CAL_JACOBCálculo del Jacobiano
Cálculo MatrizTangente
Cálculo MatrizTangente
Pequeñosdesplazamientos
Pequeñosdesplazamientos
( ) tB q⎡ ⎤⎣ ⎦ [ ]t
oB
Grandesdesplazamientos
Grandesdesplazamientos
DinámicoDinámico
SiNo
[ ] [ ]tQ MB Bq
∂ ∂∂ ∂φ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦⎣ ⎦
[ ] [ ]tBQ Q M
q q q∂∂ ∂
∂ ∂ ∂
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Q Q jacobiano inercialq q
∂ ∂∂ ∂
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
SiNo
SiNo
CAL_JACOBCálculo del Jacobiano
CAL_JACOBCálculo del Jacobiano
Cálculo MatrizTangente
Cálculo MatrizTangente
Pequeñosdesplazamientos
Pequeñosdesplazamientos
( ) tB q⎡ ⎤⎣ ⎦ [ ]t
oB
Grandesdesplazamientos
Grandesdesplazamientos
DinámicoDinámico
SiNo
[ ] [ ]tQ MB Bq
∂ ∂∂ ∂φ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦⎣ ⎦
[ ] [ ]tBQ Q M
q q q∂∂ ∂
∂ ∂ ∂
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Q Q jacobiano inercialq q
∂ ∂∂ ∂
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
SiNo
SiNo
Figura 6.8 Flujograma CAL_JACOB
96
7. SIMULACIONES NUMÉRICAS
7.1 Introducción
En este capítulo se usa la implementación numérica del modelo de daño por corte
en ABAQUS para llevar a cabo la simulación numérica de varios ensayos experimentales
que se describen a continuación. La versión del modelo de daño implementado, no
incluye los efectos de fatiga de bajo ciclaje en esta primera etapa de desarrollo. Sin
embargo, ya se ha explicado la manera de incluir estos efectos en el modelo de daño en la
sección 5.3.
7.2 Ensayo del muro MC-04
Las características de este muro están descritas en el capítulo 3. Los valores de los
parámetros del modelo usados para la simulación se calcularon de la manera explicada en
el capítulo 4. En la Tabla 7.1 se presentan los valores de las características resistentes del
muro y en la Tabla 7.2 los parámetros del modelo usados en la simulación. En la Figura
7.1 se muestra la respuesta del muro ensayado en el laboratorio, y en la Figura 7.2 se
muestran los resultados de la simulación.
Tabla 7.1 Características resistentes del muro MC-04
Muro Vcr (Kg) Vp (Kg) Vu (Kg)MC-04 1000 2000 14585 0,004
( )pu radφ
97
Tabla 7.2 Parámetros del modelo para el muro MC-04
Muro Vy (Kg) cs (Kg.mm) Gcrs (Kg.mm) qs (Kg.mm) Vo (Kg) αMC-04 2011 9396000 58 -33445 5000 0,50
-20000
-15000
-10000
-5000
0
5000
10000
15000
20000
-20,0 -15,0 -10,0 -5,0 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0
Desplazamiento en el tope (mm)
Fuer
za h
oriz
onta
l en
el to
pe (K
g)
Figura 7.1 Ensayo del muro MC-04
98
-20000
-15000
-10000
-5000
0
5000
10000
15000
20000
-20,00 -15,00 -10,00 -5,00 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00
Desplazamiento en el tope (mm)
Fuer
za h
oriz
onta
l en
el to
pe (K
g)
Figura 7.2 Simulación del ensayo del muro MC-04
7.3 Simulación de un muro ensayado por Paulay
Paulay, et al (1982), ensayaron cuatro especimenes de muros bajos de concreto
armado. De estos cuatro muros, se escogió el espécimen denominado Wall 1 para
realizar una simulación del ensayo correspondiente. Este espécimen muestra una
configuración convencional de refuerzo que cae dentro de los alcances e hipótesis
planteados en el modelo propuesto. El espécimen Wall 2 posee refuerzo en dirección
diagonal, lo cual no está tomado en cuenta en el modelo propuesto, y los especimenes
Wall 3 y Wall 4 fueron construidos con alas en los extremos del muro. Aunque es
factible que el modelo sea capaz de modelar el comportamiento de muros con alas, el
comportamiento de este tipo de muros no está cubierto dentro de los alcances propuestos
en este trabajo. La aplicabilidad del modelo propuesto para modelar muros con alas
podría ser estudiada en desarrollos posteriores del presente modelo.
Las características del espécimen Wall 1 se muestran en Figura 7.3 y las
propiedades del refuerzo y del concreto en la Tabla 7.3. En la Tabla 7.4 se presentan los
valores de las características resistentes del muro y en la Tabla 7.5 los parámetros del
modelo usados en la simulación. En la Figura 7.4 se muestra la respuesta del muro
ensayado en el laboratorio, y en la Figura 7.5 se muestran los resultados de la simulación.
99
Adicionalmente, es de hacer notar que fue necesaria la aplicación de un factor de 0,33 a
las características de la sección gruesa de concreto, para obtener una rigidez inicial
acorde con la observada en el experimento. Este factor reduce tanto los productos EI, AE
como el producto GAv.
Figura 7.3 Espécimen Wall 1 de Paulay
100
Tabla 7.3 Características de los especimenes de Paulay
Tabla 7.4 Características resistentes del muro Wall 1 de Paulay
Muro Vcr (kN) Vp (kN) Vu (kN)Wall 1 147 196 820 0,003
( )pu radφ
Tabla 7.5 Parámetros del modelo para el muro Wall 1 de Paulay
Muro Vy (kN) cs (kN.mm) Gcrs (kN.mm) qs (kN.mm) Vo (kN) αWall 1 198 670540 21 -1739 250 0,60
101
-1000,0
-800,0
-600,0
-400,0
-200,0
0,0
200,0
400,0
600,0
800,0
1000,0
-20,0 -15,0 -10,0 -5,0 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0
Desplazamiento en el tope (mm)
Fuer
za h
oriz
onta
l en
el to
pe (k
N)
Figura 7.4 Ensayo del espécimen Wall 1 de Paulay
-1000,0
-800,0
-600,0
-400,0
-200,0
0,0
200,0
400,0
600,0
800,0
1000,0
-20,0 -15,0 -10,0 -5,0 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0
Desplazamiento en el tope (mm)
Fuer
za h
oriz
onta
l en
el to
pe (k
N)
Figura 7.5 Simulación del ensayo del espécimen Wall 1 de Paulay
Como puede verse de la comparación del ensayo con la simulación, el modelo
propuesto no es capaz de representar los efectos de fatiga de bajo ciclaje que están
presentes en el ensayo, cuando se aplican dos ciclos consecutivos de carga a un mismo
nivel de desplazamiento. Sin embargo, el comportamiento general, las deformaciones
102
permanentes, el estrangulamiento por deslizamiento en las grietas, están descritos
adecuadamente por el modelo. Es interesante notar también que en este muro el
deslizamiento por corte se produjo principalmente en una grieta horizontal en la base del
muro. A pesar de que el modelo fue desarrollado para tomar en cuenta el deslizamiento
por corte en grietas diagonales, es capaz de simular también el tipo de deslizamiento que
se produce en este muro.
7.4 Simulación de un muro de tres niveles ensayado por Vulcano
Vulcano y Bertero (1987) ensayaron varios muros de tres niveles de los cuales se
escogió el que se identifica como Specimen 6 para realizar una simulación de su
comportamiento bajo cargas de tipo sísmico. En la Figura 7.6 se muestra una sección del
muro con su respectivo refuerzo. El refuerzo es el mismo para todos los niveles. En la
Figura 7.7 se muestra una vista en proyección vertical del muro. En la Tabla 7.6 se
presentan los valores de las características resistentes del muro y en la Tabla 7.7 los
parámetros del modelo usados en la simulación. En la Figura 7.8 se muestra la respuesta
del muro ensayado en el laboratorio, y en la Figura 7.9 se muestran los resultados de la
simulación. Adicionalmente, es de hacer notar que fue necesaria la aplicación de un
factor de 0,07 a las características de la sección gruesa de concreto, para obtener una
rigidez inicial acorde con la observada en el experimento. Este factor reduce tanto los
productos EI, AE como el producto GAv.
103
Figura 7.6 Sección transversal Specimen 6 de Vulcano
Figura 7.7 Proyección vertical del Specimen 6 de Vulcano
Tabla 7.6 Propiedades resistentes del Specimen 6 de Vulcano
Muro Vcr (kN) Vp (kN) Vu (kN)Specimen 6 - Nivel 1, 2 y 3 2 706 824 0,015
( )pu radφ
104
Tabla 7.7 Parámetros del modelo para el Specimen 6 de Vulcano
Muro Vy (kN) cs (kN.mm) Gcrs (kN.mm) qs (kN.mm) Vo (kN) αSpecimen 6 -
Nivel 1 1059 78705 0,01 -6478 100000 0,60
Specimen 6 - Nivel 2 y 3 1059 78705 0,01 -5013 100000 0,60
-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
-50,0 -30,0 -10,0 10,0 30,0 50,0
Desplazamiento en el tope (mm)
Fuer
za h
oriz
onta
l en
el to
pe (k
N)
Figura 7.8 Ensayo del Specimen 6 de Vulcano
105
-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
-50 -30 -10 10 30 50
Desplazamiento en el tope (mm)
Fuer
za h
oriz
onta
l en
el to
pe (k
N)
Figura 7.9 Simulación del Specimen 6 de Vulcano
Puede observarse en la Figura 7.8 que el efecto de deslizamiento por corte
(estrangulamiento de los lazos histeréticos) es despreciable en este ensayo. Esto se debe
a que, a pesar de los muros son bajos considerando la altura de entrepiso, la esbeltez
general del muro es mucho mayor, resultando para el comportamiento general de la
estructura una dominación del efecto de flexión sobre el de corte. Con todo, se
demuestra en la Figura 7.9 que el modelo propuesto también es capaz de representar el
comportamiento de este tipo de estructuras.
106
8. CONCLUSIONES
Se ha desarrollado un modelo simplificado de daño por corte para el análisis de
elementos tipo muro de corte sujetos a cargas laterales que pueden ser monotónicas o
histeréticas. El modelo está basado en las nociones y métodos de la mecánica de la
fractura y la mecánica del daño para medios continuos.
El modelo permite, al menos de manera cualitativa, representar los siguientes
efectos:
a. La degradación de resistencia y rigidez debida principalmente al
agrietamiento diagonal por corte.
b. Deformaciones permanentes debidas a fluencia del refuerzo horizontal en el
muro.
c. Deslizamiento por corte a lo largo de las grietas que produce
estrangulamiento de los lazos histeréticos (“pinching”).
d. Comportamiento unilateral.
El modelo es relativamente simple y la mayoría de los parámetros requeridos están
relacionados con la resistencia del muro y su geometría a través de variables que pueden
calcularse usando la teoría convencional del concreto armado.
107
El modelo programado para ABAQUS no incluye efectos de fatiga de bajo ciclaje,
pero éstos podrían incluirse sin mayor complicación, de la forma que se explica en el
texto.
El modelo puede incluirse en la librería de elementos de cualquier programa de
análisis por elementos finitos que tenga capacidad para realizar análisis no-lineal.
Se propone que el efecto de estrangulamiento que se observa en los lazos
histeréticos de los muros ensayados, es debido al deslizamiento por corte a lo largo de las
grietas diagonales.
108
9. RECOMENDACIONES
El modelo propuesto fue desarrollado para muros en los que el efecto predominante
es la fuerza cortante, por lo que corresponde solo al inicio del estudio de los efectos de
daño por corte en esta Universidad, por lo cual hay varias áreas donde pueden realizarse
desarrollos posteriores, como son:
a. Inclusión de efectos de fatiga de bajo ciclaje.
b. Inclusión de efectos combinados de daño por corte y flexión. Esto permitiría
realizar análisis de estructuras compuestas por muros y pórticos, además de
poder analizar muros en los cuales la fuerza cortante no es el efecto
predominante..
c. Determinar la correlación entre el parámetro de deslizamiento por corte (Vo) y
características geométricas (relación H/Lw) o características mecánicas (cuantías
de refuerzo).
Adicionalmente, una vez perfeccionado el modelo se requiere de un estudio de
daños admisibles que permita formar criterios de aceptación o rechazo en la evaluación
de estructuras existentes o en la evaluación de nuevos diseños. Esto, a su vez permitiría
el desarrollo de recomendaciones que pudieran ser incluidas en códigos de diseño para
mejorar los criterios usados actualmente en el diseño sismorresistente.
109
10. REFERENCIAS
ABAQUS, User´s manual, (2001). Versión 6.2. Hibbitt, Karlson & Sorensen, Inc.
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202.
113
11. APÉNDICE A
11.1 Procedimiento para el cálculo de los parámetros del modelo
A continuación se presentan las ecuaciones y el procedimiento seguido para
calcular los parámetros del modelo de corte (Vy, cs, Gcrs y qs) a partir de las características
resistentes del muro que son: Vcr , Vp , Vu y puφ , definidos en el capítulo 4.
El sistema de ecuaciones no lineal que debe resolverse para calcular los parámetros
del modelo fue presentado en el capítulo 4 (ecuación 4.33). A continuación se muestra la
expresión detallada de dichas ecuaciones y el procedimiento seguido para su solución.
0cr sPara V V d= → = Ecuación 11.1
Al sustituir estos valores en la función de daño, puede despejarse el valor de Gcrs,
quedando:
2.2. .
cr wcrs
v
V LGG A
= Ecuación 11.2
A continuación se analiza la tercera ecuación del sistema:
0uPara V V dV= → = Ecuación 11.3
De la función de daño igualada a cero, con ds = du se despeja 2V , siendo du el valor
de la variable de daño cuando V es máximo:
114
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
22
22
22
.1 1 . . 1 .ln 1 02 .
.1 1 . . 1 .ln 12 .
2. . 1 . . 1 .ln 1
wu crs s u u
v
wu crs s u u
v
vu crs s u u
w
V L d G q d dG A
V L d G q d dG A
G AV d G q d dL
− − − − − =
= − + − −
⎡ ⎤= − + − −⎣ ⎦
Ecuación 11.4
Luego, derivando e igualando a cero:
( ) ( )2. 1 . . ln 1 1 0u crs s ud G q d− − − − + =⎡ ⎤⎣ ⎦ Ecuación 11.5
Donde existen dos incógnitas: qs y du . Al sustituir la condición: para V = Vu , ds =
du:
( ) ( ) ( )2
2.1 1 . . 1 .ln 1 02 .
u wu crs s u u
v
V L d G q d dG A
− − − − − = Ecuación 11.6
Se obtiene otra ecuación con las mismas dos incógnitas que permite resolver el
valor de estos dos parámetros. Como el sistema formado por estas dos ecuaciones es no
lineal, no es posible una solución explícita. Sin embargo, es muy fácil programar una
hoja de cálculo en la cual se itera sobre la variable du, calculando qs de la ecuación 11.5 y
sustituyendo ambos valores en la ecuación 11.6 hasta verificar que ésta se anule.
Ahora, de la segunda ecuación:
0ppPara V V φ= → = Ecuación 11.7
Al sustituir estos valores en la función de daño, considerando que ds = dp , donde dp
corresponde al valor de la variable de daño cuando comienza a fluir el refuerzo, queda:
( ) ( ) ( )2
2.1 1 . . 1 .ln 1 02 .
p wp crs s p p
v
V Ld G q d d
G A− − − − − = Ecuación 11.8
Donde la única incógnita es dp. Desafortunadamente, no es posible despejar la
incógnita, sin embargo, es posible resolver la ecuación en forma similar al sistema
planteado arriba. Es decir, iterando sobre dp hasta que la ecuación 11.8 se anule. Esto es
fácil de programar en una hola de cálculo.
115
Luego, al sustituir la ecuación 11.7 en la función de fluencia con ds = dp , se puede
calcular Vy :
01
1
py
p
py
p
VV
d
VV
d
− =−
=−
Ecuación 11.9
De la cuarta ecuación:
p pu uPara V V φ φ= → = Ecuación 11.10
Al sustituir estos valores en la función de fluencia, puede despejarse el valor de cs :
. 01
11
pus u y
u
us yp
u u
V c Vd
Vc Vd
φ
φ
− − =−
⎛ ⎞= −⎜ ⎟−⎝ ⎠
Ecuación 11.11
11.2 Cálculo de los parámetros del modelo para el muro MC-01
Datos:
'2
58,5 c700 c
100 c
370
0,1025
w
c
L mH mt m
kgfcm
factor
==
=
=
=
El factor mencionado arriba es el que permite obtener una rigidez inicial calculada
en base a las características de la sección gruesa, igual a la rigidez inicial del espécimen
en el ensayo.
Cálculos:
( )
2
2
15100 370 290454
290454 1210232* 1 0, 2
ckgE E
cmkgG
cm
= = =
= =+
116
2
34
9 2
6
58,5*10 487,5 1,210*58,5 166835
12* 4,967 10 .* 6,047 10
v
g
v
A cm
I I cm
factor EI x kg cmfactor GA x kg
= =
= = =
=
=
Los valores usados para las características resistentes del muro no fueron calculados
usando la teoría convencional del concreto armado, sino que fueron tomados
directamente de los resultados experimentales y se muestran en la Tabla 11.1.
Tabla 11.1 Características resistentes del muro MC-01
Muro Vcr (Kg) Vp (Kg) Vu (Kg)MC-01 1000 2000 14585 0,004
( )pu radφ
Siguiendo el procedimiento descrito arriba, se procedió al cálculo de los parámetros
del modelo. Los valores que resultaron están resumidos en la Tabla 11.2.
Tabla 11.2 Parámetros del modelo para el muro MC-01
Gcrs (kg.cm) du qs (kg.cm) Ec.11.6 dp Ec.11.8 Vy (kg) cs (kg)5,8 0,632 -3344,5 0 0,005 0 2011 9,396E+06
11.3 Cálculo de los parámetros del modelo para el muro MC-02
Datos:
'2
83,0 c700 c
100 c
370
0,065
w
c
L mH mt m
kgfcm
factor
==
=
=
=
El factor mencionado arriba es el que permite obtener una rigidez inicial calculada
en base a las características de la sección gruesa, igual a la rigidez inicial del espécimen
en el ensayo.
117
Cálculos:
( )
2
2
15100 370 290454
290454 1210232* 1 0, 2
ckgE E
cmkgG
cm
= = =
= =+
2
34
9 2
6
83,0*10 691,7 1,210*83,0 476489
12* 8,996 10 .* 5,441 10
v
g
v
A cm
I I cm
factor EI x kg cmfactor GA x kg
= =
= = =
=
=
Los valores usados para las características resistentes del muro no fueron calculados
usando la teoría convencional del concreto armado, sino que fueron tomados
directamente de los resultados experimentales y se muestran en la Tabla 11.3.
Tabla 11.3 Características resistentes del muro MC-02
Muro Vcr (Kg) Vp (Kg) Vu (Kg)MC-02 1000 5000 23700 0,01
( )pu radφ
Siguiendo el procedimiento descrito arriba, se procedió al cálculo de los parámetros
del modelo. Los valores que resultaron están resumidos en la Tabla 11.4.
Tabla 11.4 Parámetros del modelo para el muro MC-02
Gcrs (kg.cm) du qs (kg.cm) Ec.11.6 dp Ec.11.8 Vy (kg) cs (kg)6,4 0,632 -9819,2 0 0,016 0 5081 5,931E+06