Post on 11-Dec-2015
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EJERCICIOS DE MÉTODOS
DE LOCALIZACION ESPACIAL
I N T E G R A N T E S : A V I L E S V A L E N C I A R O L A N D O
M E D I N A A R A U C O E D U A R D O
M U R I E L Z E L A D A M A R C E L O
S A N C H E Z V A R G A S L I M B E R
S A N D O V A L V E L A S Q U E Z A L E X A N D E R
S O R I A G O M E Z A R I E L
C A R R E R A : I N G E N I E R I A E L E C T R O M E C Á N I C A
M A T E R I A : R O B Ó T I C A I N D U S T R I A L
MATRICES DE TRANSFORMACION HOMOGENEA
1.-Hallar la matriz de transformación homogénea que describa la orientación y la
posición de la pinza con respecto al sistema de referencia fijo OXoYoZo según se
indica en la figura.
PINZA= EFECTOR TERMINAL
ROBOT con 6 grados de libertad
Brazo--- 3 grados de libertad
Muñeca---3 grados de libertad
Z6
Zo
Xo
YoO
X3
Y3
Z3
Y6
X6
T6
ANGULOS DE EULER
EJERCICIOS DE ROLL PITCH Y YAW
Rotaciones con respecto a los ejes X,Y y Z
En tres dimensiones se pueden hacer tres dimisiones diferentes:
Rotación en OX
Rotación en OY
Rotación en OZ
Rotación con respecto al eje Y
Si se hace una rotación tomando como eje de giro al Y, la matriz de rotación R(y,Ø)
es:
Ejemplo Rotacion OY
Encontrar el vector Pxyz, cuando el punto Puvw=[1,1,2], con con respecto al eje OY
Sea el sistema OUVW rotado 45 con respecto al eje OY fijo. El punto Puvw=[1,2,3],
encontrar el punto con respecto al sistema OXYZ
Ejemplo de varias rotaciones
Para encontrar la rotación con respecto a un punto, normalmente se utilizan varias
rotaciones
Una de ellas es rotar α sobre el eje OX, después Ø sobre el eje OY u finalmente θ
sobre el eje OZ
A la matriz resultante se le conoce como matriz de transformación
Es importante recordar el orden de rotaciones, ya que no son conmutativas
Encontrar la matriz de transformación con el punto Puvw=[1,2,3], con respecto al eje
X,Y y Z (en ese orden) con los angulos α=90, Ø=90 y θ=90
Pxyz=R(xα,)R(y,Ø)R(z,θ)Punw
PAR DE ROTACIÓN
La representación de la orientación de un sistema
OUVW con respecto al sistema de referencia OXYZ también
puede realizarse mediante la definición de un vector
k(kx,ky,kz) y un ángulo θ sobre el eje k.
El eje ha de pasar por el origen O de ambos sistemas.
Al par (k,θ) se le denomina par de rotación y se
puede demostrar que es único.
PAR DE ROTACIÓN
Al igual que los ángulos de Euler, no se trata de un método que permita realizar una
visualización sencilla de la orientación, salvo en casos muy concretos en los que el
vector k coincide con algunos de los ejes coordenados del Sistema OXYZ.
Para la definición de orientación con este método, es necesario definir cuatro
parámetros distintos:
Kx,ky,kz y θ, Se puede representar como ROT(K,θ).
La aplicación de un par de rotación que rote un vector p un Angulo θ alrededor del eje
k se realiza a través de la siguiente expresión:
( , ) = −( ) θ+ ( ∙ )( − )
PAR DE ROTACIÓN
EJEMPLO
VECTOR P : [2 ,5,0]
VECTOR K : [1,0,0]
ANGULO θ : 45
COS 45 =0,707
SIN 45 = 0,707
ROT(K,θ) P :
=[1.414,3.536,0]
-( ) θ=[0,0,-3.356]
( ∙ )( − )=[0.586 ,0,0]
TOTAL : [2,3,536,-3,536]
PAR DE ROTACIÓN
El par de rotación solo sirve para la representación de orientaciones.
Es compacto, pues únicamente usa 4 parámetros para la definición de orientación
de un sistema respecto a otro.
Se puede aplicar para la rotación de un vector r un ángulo θ alrededor del eje k. Sin
embargo, la composición de rotaciones presenta una expresión complicada, lo que
limita su utilización práctica en algunas aplicaciones.
CUATERNIONES.
Desarrollaremos la aplicación de los cuaterniones en
tres tipos de ejercicios.
- Representación de rotaciones en el espacio
alrededor de un eje.
- Rotación de un punto en el espacio alrededor de un
vector.
- Rotación de rectas.
REPRESENTACIÓN DE ROTACIONES EN EL
ESPACIO ALREDEDOR DE UN EJE.
ROTACIÓN DE UN PUNTO EN EL ESPACIO
ALREDEDOR DE UN VECTOR.
q\P 0
0 0
0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
Q*P p
0 0
0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0
0 0
P(0, 3, 2)
P(0, -2, 3)
ROTACIÓN DE RECTAS.
q\Q 0
0 0
0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
P(0, 3, 2)
P(0, -2, 3)
Q(3, 0, 2)
Q(3, 2, 0)
Transformando:
PREMULTIPLICACION Y
POSTMULTIPLICACION
PREMULTIPLICACION
OBTENER LA MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN QUE REPRESENTA AL
SISTEMA O'UVW OBTENIDO A PARTIR DEL SISTEMA OXYZ
MEDIANTE UN GIRO DE ÁNGULO -90º ALREDEDOR DEL EJE OX, DE
UNA TRASLACIÓN DE VECTOR PXYZ(5,5,10) Y UN GIRO DE 90º
SOBRE EL EJE OZ. ES DECIR, LA PREMULTIPLICACION SE HACE DE
DERECHA A IZQUIERDA.
¿Para que se busca una
premultiplicacion?...
LA PREMULTIPLICACION ES PARTE DE UN MÉTODO, EL MÉTODO DE
TRANSFORMACION DE MATRICES HOMOGENEAS.
ESTE PASO NOS SIRVE PARA OBTENER LA MATRIZ RESULTANTE DESPUES DE
REALIZAR DESPLAZAMIENTOS.
POSTMULTIPLICACION
OBTENER LA MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN QUE REPRESENTA
LAS SIGUIENTES TRANSFORMACIONES SOBRE UN SISTEMA
OXYZ FIJO DE REFERENCIA: UN GIRO DE 90º SOBRE EL EJE OZ,
UNA TRASLACIÓN DE VECTOR PXYZ(5,5,10) Y FINALMENTE
MEDIANTE UN GIRO DE ÁNGULO -90º ALREDEDOR DEL EJE OX.
EN POCAS PALABRAS…REGRESAR A SU POSICION INICIAL EL
VECTOR… LA POSTMULTIPLICACION SE REALIZA, DE IZQUIERDA
A DERECHA
¿PARA QUE POSTMULTIPLICAR?
AL IGUAL QUE LA PREMULTIPLICACION, LA POSTMUTIPLICACION ES UN PASO
MUY IMPORTANTE DENTRO DEL METODO DE TRANSFORMACION.
NOS PERMITE OBTENER LA MATRIZ PARA QUE NUESTRO SISTEMA REGRESE A SU
POSICION ORIGINAL, PASANDO POR LOS MISMOS MOVIMIENTOS DEL EJEMPLO
PASADO.