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Cátedra de Ingeniería Rural Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real
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Tema 7: EL METODO DE CROSS APLICADO A ESTRUCTURAS
TRANSLACIONALES
− Relaciones entre desplazamiento y pares de empotramiento.
− Relaciones entre fuerzas y pares de empotramiento.
− Relaciones entre fuerzas y desplazamientos.
− Resumen de conclusiones.
− Simplificaciones estructurales en los casos más usuales.
− Desarrollo del método para estructuras con nudos desplazables.
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RELACION entre DESPLAZAMIENTOS y PARES DE EMPOTRAMIENTO
Se suponen rigideces K y K’, y factores de transmisión β y β’, según se considere el extremo origen.
Ltag
δ=θ=θ
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Sustituyendo θ por su tangente Lδ
, los pares de empotramiento valen:
( )K''KL
MA +β⋅⋅δ
=
( )'KKL
MB +β⋅⋅δ
=
Si I y E son constantes, 21
'=β=β ; L
IE4'KK
⋅⋅== . Operando se obtiene:
( )22A LIE6
121
LIE4
LIE4
21
LIE4
LK''K
LM
δ⋅⋅⋅=
+⋅
δ⋅⋅⋅=
⋅⋅
+⋅⋅⋅
⋅δ
=+β⋅⋅δ
=
( )22B LIE6
121
LIE4
LIE4
21
LIE4
L'KK
LM
δ⋅⋅⋅=
+⋅
δ⋅⋅⋅=
⋅⋅
+⋅⋅⋅
⋅δ
=+β⋅⋅δ
=
Por tanto, 2BA LIE6
MMδ⋅⋅⋅
== .
Si la pieza es empotrada-articulada, 2A LIE3
Mδ⋅⋅⋅
= .
Si la situación de partida es la inversa, es decir, si se conocen los pares de
empotramiento MA y MB en una pieza que puede desplazarse de B a B’, se obtiene el desplazamiento δ por cualquiera de las relaciones siguientes:
K''KLMA
+β⋅⋅
=δ
'KKLMB
+β⋅⋅
=δ
Si I y E son constantes:
IE6LM
IE6LM 2
B2
A
⋅⋅⋅
=⋅⋅
⋅=δ
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RELACION entre FUERZAS y PARES DE EMPOTRAMIENTO
Al llegar a una posición de equilibrio, se cumple:
0M =∑ (1)
0MMLF BA =−−⋅
0F =∑ (2)
0FT =−
Para poder calcular estos pares de empotramiento es necesario recurrir a
las expresiones obtenidas al estudiar las relaciones entre desplazamientos y pares de empotramiento y así disponer del siguiente sistema:
0MMLF BA =−−⋅
( )K''KL
MA +β⋅⋅δ
=
( )'KKL
MB +β⋅⋅δ
=
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Haciendo
φ=+β⋅+β⋅
='KK
K''KMM
B
A , φ⋅= BA MM ,
de donde se obtiene:
0MMLF BA =−−⋅
0MMLF BB =−φ⋅−⋅
φ+⋅
=1
LFMB
φ+φ⋅⋅
=1
LFMA
Si sucede que las piezas son de sección constante y del mismo material,
21
=β ; y L
IE4K
⋅⋅= . Operando se tiene:
1
LIE4
21
LIE4
LIE4
21
LIE4
'KKK''K
=⋅⋅
+⋅⋅⋅
⋅⋅+⋅
⋅⋅
=+β⋅+β⋅
=φ
2LF
1LF
MA
⋅=
φ+φ⋅⋅
=
2LF
1LF
MB
⋅=
φ+⋅
=
Por tanto, 2
LFMM BA
⋅== .
Si la situación de partida es la inversa, es decir, si se conocen los pares de
empotramiento MA y MB en una pieza que puede desplazarse de B a B’, se obtiene la fuerza mediante la siguiente ecuación:
LMM
F0MMLF BABA
+=→=−−⋅
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RELACION entre EMPUJES y DESPLAZAMIENTOS
0MMLF BA =−−⋅
( )K''KL
MA +β⋅⋅δ
=
( )'KKL
MB +β⋅⋅δ
=
Eliminamos los pares de las expresiones anteriores, así se obtiene la fuerza
en función del desplazamiento.
( ) ( ) 0'KKL
K''KL
LF =+β⋅⋅δ
−+β⋅⋅δ
−⋅
Despejando F:
( ) ( )[ ]β+⋅+β+⋅⋅δ
= 1K'1'KL
F2
Si se realiza la simplifación de suponer las piezas de sección constante y
del mismo material, se obtiene:
( ) ( )[ ]
+⋅
⋅⋅+
+⋅
⋅⋅⋅
δ=β+⋅+β+⋅⋅
δ=
2
11
L
IE4
2
11
L
IE4
L1K'1'K
LF
22
3L
IE12F
δ⋅⋅⋅=
Al igual que en los casos anteriores, es inmediato obtener la relación
inversa; en este caso la obtención del desplazamiento en función de la fuerza F:
( ) ( )[ ]β+⋅+β+⋅⋅
=δ1K'1'K
LF
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RESUMEN
Conocidos
Desconocidos Desplazamientos Fuerzas Momentos
Desplazamientos 3 1
Fuerzas 3 2
Momentos 1 2
La relación entre todos los factores viene determinada por el sistema:
0MMLF BA =−−⋅
( )K''KL
MA +β⋅⋅δ
=
( )'KKL
MB +β⋅⋅δ
=
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GRADO DE TRANSLACIONALIDAD o GRADO DE DESPLAZABILIDAD
El grado de translacionalidad o grado de desplazabilidad de una estructura es el número desplazamientos posibles en la misma que resultan ser linealmente independientes entre sí.
Es el número de reacciones exteriores que es necesario añadir para que la
estructura sea intranslacional.